Diferentes abordagens do método de elementos finitos usando MATLAB para resolução de equações...
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Diferentes Abordagens do Método de Elementos Finitos usando MATLAB para Resolução de Equações Diferenciais Juliana Reina Martins Gomes* , Messias Meneguette Jr., Fernanda Paula Barbosa Depto Matemática ,Estatística e Computação, FCT- UNESP 19060-900, Presidente Prudente, SP E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] O método de elementos finitos é uma das principais técnicas numéricas utilizadas para se encontrar a solução aproximada de equações diferenciais, contudo este método necessita de uma prévia decomposição do domínio original que está sendo analisado, em elementos finitos. A implementação computacional do método de elementos finitos consiste na montagem de sub- matrizes que computam as propriedades de cada elemento, através de coeficientes de influência, para então se formar o sistema de equações algébricas associadas para a discretização. A aplicação das condições de contorno processa-se de maneira simples, e tem-se a possibilidade de representação de problemas com domínios possuindo uma geometria intrincada [5]. A implementação baseada em elementos finitos pode ser feita com vários tipos de elementos, em cujos nós são computados os valores com base em funções de interpolação, que definem a equação através do interior do domínio. A definição da equação permite a aplicação dos princípios variacional e dos resíduos ponderados. Dentre os métodos variacionais destacamos o Método de Rayleigh-Ritz e dentre os resíduos ponderados destacamos o Método de Galerkin. Esses são os métodos mais conhecidos e deles originou o Método de Elementos Finitos [1]. O método de elementos finitos surgiu como uma nova possibilidade de resolver problemas da teoria da elasticidade, superando as dificuldades e problemas inerentes aos métodos de Rayleigh-Ritz, Galerkin, Resíduos Ponderados e outros. Nos dois primeiros métodos, nem sempre é fácil obter as funções aproximadoras que satisfazem as condições de contorno irregular e saber se elas se aproximam da função exata [2]. ___________________ *Bolsista de Iniciação Científica FAPESP Neste trabalho vamos utilizar a equação diferencial - [ p(x) .u’ ]’ + q(x).u = f(x) , para 0 ≤ x ≤ 1, onde p(x)= x 2 , q(x)= -4 e f(x)= x 2 . Além disso, temos que u(0)=0 e u(1)=0. Com o exemplo acima seguindo [3] e [4] vamos fazer os algoritmos dos Métodos de Elementos Finitos, Rayleigh-Ritz e Galerkin, com as condições de contorno de Dirichlet e com 10 elementos. Depois será feita uma comparação dos três métodos com a solução exata da equação, para assim verificar qual o método que mais se aproxima da solução exata. Todos os algoritmos e gráficos são programados em MATLAB, que é uma linguagem muito acessível. Referências [l] Assan, A. E. Método dos Elementos Finitos: primeiros passos. Campinas, São Paulo. Editora Unicamp, 1999. (Coleção Livro-Texto) [2] Burden, R. L. & Faires, J.D. Análise Numérica. São Paulo, São Paulo. Pioneira Thomson Learning, 2003. [3] Finlayson, B. A.. Numerical methods for problems with moving fronts. Seattle, Washington. Ravenna Park Publishing, Inc. 1992. [4] Nakamura, S. Numerical analysis and Graphic Visualization with MATLAB. Upper Saddle River, New Jersey. Prentice Hall PTR, 2002. [5] Wendlander, E. Modelos Matemáticos e Métodos Numéricos em Águas Subterrâneas. São Carlos, São Paulo. SBMAC, 2003.
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Diferentes Abordagens do Método de Elementos Finitos usando MATLAB para Resolução de Equações Diferenciais
Juliana Reina Martins Gomes*, Messias Meneguette Jr., Fernanda Paula Barbosa Depto Matemática ,Estatística e Computação, FCT- UNESP
19060-900, Presidente Prudente, SP
E-mail: [email protected], [email protected],
O método de elementos finitos é uma das principais técnicas numéricas utilizadas para se encontrar a solução aproximada de equações diferenciais, contudo este método necessita de uma prévia decomposição do domínio original que está sendo analisado, em elementos finitos.
A implementação computacional do método de elementos finitos consiste na montagem de sub-matrizes que computam as propriedades de cada elemento, através de coeficientes de influência, para então se formar o sistema de equações algébricas associadas para a discretização. A aplicação das condições de contorno processa-se de maneira simples, e tem-se a possibilidade de representação de problemas com domínios possuindo uma geometria intrincada [5].
A implementação baseada em elementos finitos pode ser feita com vários tipos de elementos, em cujos nós são computados os valores com base em funções de interpolação, que definem a equação através do interior do domínio. A definição da equação permite a aplicação dos princípios variacional e dos resíduos ponderados.
Dentre os métodos variacionais destacamos o Método de Rayleigh-Ritz e dentre os resíduos ponderados destacamos o Método de Galerkin. Esses são os métodos mais conhecidos e deles originou o Método de Elementos Finitos [1].
O método de elementos finitos surgiu como uma nova possibilidade de resolver problemas da teoria da elasticidade, superando as dificuldades e problemas inerentes aos métodos de Rayleigh-Ritz, Galerkin, Resíduos Ponderados e outros. Nos dois primeiros métodos, nem sempre é fácil obter as funções aproximadoras que satisfazem as condições de contorno irregular e saber se elas se aproximam da função exata [2]. ___________________ *Bolsista de Iniciação Científica FAPESP
Neste trabalho vamos utilizar a equação diferencial
- [ p(x) .u’ ]’ + q(x).u = f(x) , para 0 ≤ x ≤ 1, onde p(x)= x2 , q(x)= -4 e f(x)= x2. Além disso, temos que u(0)=0 e u(1)=0.
Com o exemplo acima seguindo [3] e [4] vamos fazer os algoritmos dos Métodos de Elementos Finitos, Rayleigh-Ritz e Galerkin, com as condições de contorno de Dirichlet e com 10 elementos. Depois será feita uma comparação dos três métodos com a solução exata da equação, para assim verificar qual o método que mais se aproxima da solução exata.
Todos os algoritmos e gráficos são programados em MATLAB, que é uma linguagem muito acessível.
Referências [l] Assan, A. E. Método dos Elementos Finitos:
primeiros passos. Campinas, São Paulo. Editora Unicamp, 1999. (Coleção Livro-Texto)
[2] Burden, R. L. & Faires, J.D. Análise Numérica. São Paulo, São Paulo. Pioneira Thomson Learning, 2003.
[3] Finlayson, B. A.. Numerical methods for problems with moving fronts. Seattle, Washington. Ravenna Park Publishing, Inc. 1992.
[4] Nakamura, S. Numerical analysis and Graphic Visualization with MATLAB. Upper Saddle River, New Jersey. Prentice Hall PTR, 2002.
[5] Wendlander, E. Modelos Matemáticos e Métodos Numéricos em Águas Subterrâneas. São Carlos, São Paulo. SBMAC, 2003.
