Dimensionamento de Pilares Jun 08

7/31/2019 Dimensionamento de Pilares Jun 08

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CTU - Departamento de Estruturas 6 TRU 009 Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 1

Dimensionamento de Pilares

1. Introduo

O presente texto mostra o pr-dimensionamento e o dimensionamento depilares de acordo com o item 15 da NBR 6118: 2003. O exemplo que serve debase para expor a teoria um prtico duplamente simtrico (para facilitar aexplanao), constitudo de 10 pavimentos-tipo e a cobertura. O p-direito igual a 2,85, as lajes so macias e de espessura igual a 0,10. A carga dacobertura admitida igual a 60% da carga do pavimento-tipo. Ver a Figura 1.

Figura 1: Planta do pavimento-tipo, seo transversal, resistncias dos materiais.

5,00m

5,00m

h=0,40m

hlaje=0, 10m

b1=0, 40m

bw=0, 15m

bfl=0,55 m

P2: 0,60/0,25P1: 0,30/0,30 P3: 0,60/0,25V1

V2

V4 V5

6,00m

L1:

h=0,10m

L2:

h=0,10 m

L3:

h=0,10m

Prtico 1

Prtico 2

Prtico 4 Prtico 5

b1=0, 40m b1=0, 40m

bw=0, 15m

bfl=0, 95m

h=0,40m

Vigas internasVigas de borda

Dados: 20Resistncia caracterstica do concreto: 20Mdulo de elasticidade do concreto: 21300Ao CA-50 e Ao CA-60

Estribos 5 6,3 Vigas de borda: 1 10 mm, I 1,373310 mmVigas internas: 1,4 10 mm, I 1,638110 mm

6,00m

P5: 0,40/0,40 P6: 1,40/0,25

P7: 0,25/0,60 V3

Prtico 3

P8: 0,25/1,40 P9: 0,60/0,60

V6

Prtico 6

L4:

h=0,10m

P4: 0,25/0,60

X

Y

Z


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Supe-se, sem verificar nesta etapa, que a estrutura seja suficientementecontraventada ou de ns fixos. Se isto ocorrer, os efeitos de segunda ordemglobaissero desprezveis ( 1,1, cf. o item 15.5.3 da NBR 6118).2. Cargas atuantes

2.1 Lajes

As cargas decorrem do produto da espessura pelo peso especfico do materialconsiderado. As divisrias so estimadas, e a carga varivel estabelecidaconforme a NBR 6120. Ver a Tabela 1.

Tabela 1: Cargas nas lajes1. peso prprio

0,10 25

2,50 /

2. argamassa deregularizao superior(4 cm) 0,04 21 0,84 /

3. argamassa deregularizao inferior(2cm)

0,02 19 0,38 /4. piso cermico (0,8cm) 0,008 18 0,14 /5. divisrias internas ~0,64 0,64 /6. carga varivel 1,50 /Total 6,00 /

As reaes das lajes sobre as vigas decorrem das linhas de ruptura, cf. mostra

a Figura 2, o que permitido na NBR 6118: 2003, itens 14.7.4 e 14.7.6, se 0,30 . A Figura 2 mostra a determinao das reaes das lajes sobre asvigas, usando as charneiras plsticas para delimitar a rea tributriacorrespondente a cada lado do retngulo.

2.2 Vigas

As cargas das vigas compem-se do seu peso prprio, da alvenaria sobre elas( 14 /), e das reaes das lajes obtidas na Figura 2. Ver a Tabela 2.

Tabela 2: Cargas nas vigas

1. peso prprio sob a laje 0,15 0,40 0,10 25 1,13 /2. alvenaria externa (parede de20cm de espessura acabadae altura=2,85-0,30=2,55m)

0,20 2,55 14 7,20 /3. alvenaria interna (parede de

15cm de espessura acabadae altura=2,85-0,30=2,55m))

0,15 2,55 14 5,60 /

Total peso prprio e alvenaria

8,33 1 4 6,73 2,3, 5 6


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Figura 2: Determinao das reaes das lajes.

3,17 m1,83m

1,83m

3,17 m

rea=1,83x5/2=4,575m2

reao=4,575x6/5=5,49 kN/m

rea=3,17x5/2=7,925m2

reao=7,925x6/5=9,51 kN/m

reao=5,49 kN/m reao=9,51 kN/m

60

45 45

601,732m

3,00 m

reao=5,196x6/6=5,20 kN/m

rea=1,732x6/2=5,196m2

reao=9x6/6=9,00 kN/m

rea=6x3/2=9 m2

rea=0,5x(0,268+5)x3=7,902m2

reao=7,902x6/5

=9,48 kN/mreao

=9,48 kN/m

0,268m

45



reao=9,00 kN/m reao=9,00 kN/mreao=9,00 kN/m

reao

=9,48 kN/m

reao

=9,48 kN/m

reao=5,20 kN/m

L3=L2 L4

L1L2

5 m 6m

6m


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Figura 3: Determinao das reaes das vigas.

Figura 3: Determinao das reaes das vigas sobre os pilares.

2.3 Pilares do trreo

As cargas dos pilares compem-se, para o pavimento-tipo, do peso prprio(estimadoigual a 0,25 0,40 2,85 25 7 /) e das reaes de duasvigas. Esta soma multiplicada por 10,6 para considerar os dez pavimentos e acobertura (cuja carga estimada em

60%da carga do pavimento-tipo, como se

disse).

A Figura 3 mostra o clculo das reaes de apoio (pilares), para as vigasprocessadas como contnuas. Com estas reaes determinam-se as cargasverticais mximas nos pilares no trreo, dadas na Tabela 3.

Tabela 3: Cargas caractersticas nos pilares do trreoPilar1 10,6 226 ,47 634 2 10,6 85,849,37 1506 3 10,6 83,649,37 14834 2 1506 5 10,6 2156 ,57 3392 6 10,6 148,4156,57 3306

7 3 1483 8 6 3306 9 10,6 2148 ,47 3220

5,00m

P2=85,8 kNP1=26,4 kN

P4=49,3 kN

P3=83,6 kN

V1=V4

V2=V5

6,00m

P5=156,5 kN P6=148,4 kN

V3=V6

8,33 5,49 14/ 8,33 5,20 14 /

6,73 9,51 9,48 26 / 6,73 2 9 25 /

6,73 2 9,48 26 / 6,73 2 9 25/

P7=49,3 kN P8=156,5 kN P9=148,4 kN

P3=49,3 kN P6=156,5 kN P9=148,4 kN

P2=49,3 kN P5=156,5 kN P8=148,4 kN

P4=85,8 kNP1=26,4 kN P7=83,6 kN


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Note-se que a carga total na fundao, correspondente aos 25 pilares, igual a4 634215063392 4 14833306 3220 50528 . Como area do pavimento-tipo 22 484, resulta a carga por unidade de rea50528 48410,6 9,85 / por pavimento-tipo, um valor prximo dousualmente encontrado na prtica, a saber,

10 /. Note-se ainda que a

parcela permanente implcita em 9,85/ 9,851,5 8,35 /. Istoquer dizer que a carga permanente praticamente ,, 100 90% da cargatotal. Esta uma informao til para a combinao das aes variveis noELU, a saber, carga vertical varivel e vento. Como o vento a ao varivelprincipal, ganha-se pouco com a reduo da sobrecarga varivel vertical pelofator 0,5, na combinao de ambas aes variveis com a cargapermanente. Ver a Tabela 11.2 do item 11.7.1 e o item 11.8.2 da NBR 6118.

4. Pr-dimensionamento dos pilares

As dimenses da seo transversal dos pilares so estabelecidas para atenderas seguintes condies:

(a) resistncia da seo e da pea (i.e., do lance);(b) contraventamento da estrutura completa, e(c) imposies arquitetnicas.

Os pilares de edifcios tm usualmente pequena excentricidade da foranormal, ou seja, a seo s possui compresso (s h banzo comprimido, nomodelo de escoras e tirantes). Admitindo que a fora normal relativa

seja superior a 0,7, pode-se usar o processo aproximado da NBR 6118: 2003,item 17.2.5.1, no qual a flexo-compresso transformada em uma compressocentrada equivalente (i.e., que resulte na mesma armadura).

Como no se conhece a armadura, estima-se um valor da taxa geomtrica total, , entre 1% 3%, onde a rea da seo transversal e , area total da armadura. A escolha arbitrria, mas no se deve ultrapassar4%, pois nos edifcios h emendas por transpasse (o que levaria taxamxima permitida na NBR 6118, item 17.3.5.3.2, igual a

8%). A escolha de

valores baixos leva a reas maiores da seo, e vice-versa. No caso, adota-se, 2%.Por outro lado, tambm no se conhece ainda o momento fletor concomitantecom a fora normal. Mas, de acordo com o item 11.3.3.4.3 da NBR 6118, opilar deve resistir, independentemente do momento solicitante (aindadesconhecido), ao momento resistente mnimo dado por:

, 0,0150,03onde

a altura da seo correspondente ao plano de flexo

considerado, e


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0,0150,03 a excentricidade de 1. ordem, considerada constante no lance do pilar. Se aseo for circular ou anelar, esta altura o seu dimetro (externo), ou seja,

. Logo, a frao

0,015 0,03fica conhecida se a altura for pr-fixada. Se, p.ex., for 0,25, resultar 0,10. A esta excentricidade relativa deve-se acrescer ainda o efeito desegunda ordem local, se houver. Supondo que, para a altura pr-estabelecida,esse acrscimo seja da ordem de 30% 50%, resultar para a excentricidaderelativa total:

0,13 0,15A fora normal da compresso centrada equivalente, igualada foraresistente da seo, dada por:

, 1 0,85 , 0,85onde um fator que depende da forma da seo, do arranjo da armadura edo cobrimento relativo

. Seu valor est usualmente (mas no sempre) na

faixa 3 4. Admitindo-se 3,5, pode-se determinar a rea da seotransversal, bem como suas dimenses, uma vez escolhida sua forma(retangular, circular, etc.). Da equao anterior, obtm-se:

1 0,85 , 0,85

Assim, por exemplo, a rea da seo dos pilares 3 e 7 igual a:

1,4148310 13,50,150,85 201,4 0,024350,85 201,4 153732 250 600Analogamente, so estabelecidas as dimenses dos demais pilares. Ver aTabela 4.


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Tabela 4: Dimenses das sees dos pilares.

Pilar 1 634 888 65722 300 300 0,690,72 e 4 1506 2108 156116 250 600 0,983 e 7 1483 2076 153732 250 600 0,975 3392 4749 351624 600 600 0,926 e 8 3306 4628 342709 250 1400 0,939 3220 4508 333794 600 600 0,99

As dimenses escolhidas para os pilares 6 e 8 (e seus simtricos) visam ocontraventamento da estrutura com pilares-parede associados aos prticos aque pertencem. O pilar 1 tem os lados escolhido iguais a 300,correspondentes a um ndice de esbeltez 12 ,

, 34 35, para que

no haja efeito de 2. ordem local. recomendvel estabelecer pelo menos umdos lados da seo de pilares em flexo composta oblqua sem efeitos de 2.ordem locais na direo paralela a esse lado.

Com as dimenses dos pilares assim estabelecidas, possvel agora analisaros prticos que formam o esqueleto da estrutura. Ver a Figura 1.

5. Anlise dos Prticos

A estrutura mostrada na Figura 1 duplamente simtrica, e ser analisada

para dois carregamentos: cargas gravitacionais, j obtidas para as vigascontnuas, e ainda para a carga de vento. Os prticos 1, 2 e 3 so simtricos, eso respectivamente iguais aos prticos 4, 5 e 6.

5.1 Efeito do vento na direo No caso do vento, alm da simetria da estrutura, pode-se considerar ocarregamento antimtrico. Com isto, nos prticos 1 e 2, os pilares 3 e 6 devementrar com metade de sua rigidez flexo, para o que basta consider-los com 2 . J o prtico 3 deve ter 2 para a viga 3 e para os pilares 7 e 8. Opilar 9 deve ter metade dessa rigidez, ou seja,

4. A presso do vento

considerada nas direes igual a 1 /. Os trs prticos soacoplados entre si, por meio de pndulos de rigidez axial infinita ( , osquais simulam o efeito da laje macia, permitindo transformar a anliseespacial em plana. Sendo a rea tributria da quarta parte da estrutura, porpavimento, igual a 11 2,95 , e considerando a antimetria, tm-se forasnodais iguais a

12 112,951 16,36 atuantes no conjunto dos trs prticos acoplados. Ver a Figura 4.


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Figura 4: Vento , prticos acoplados atravs de pndulos.

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9

Prtico 1 Prtico 2 Prtico 3


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Figura 5: Vento, Fora cortante caracterstica (kN).Como a anlise tira partido da antimetria do carregamento e da dupla simetriada estrutura, os esforos finais nos pilares 3 e 6 devem ser multiplicados por 2.

O mesmo deve ser feito na viga 3 e nos pilares 7 e 8 do prtico 3. No pilar 9desse prtico 3 os esforos devem ser multiplicados por 4. Ver as Figuras 5 e6. Na Tabela 5, resumem-se os esforos da ao do vento na direo , noprimeiro lance dos pilares.

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9


P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9



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Figura 6(a): Vento, Momento fletor caracterstico (kNm). Prtico 1, pilares 1, 2 e3.

Figura 6(b): Vento, Momento fletor caracterstico (kNm). Prtico 2, pilares 4, 5 e 6.P4 P5

P6

Prtico 2

P1 P2 P3 P4

Prtico 1


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Figura 6(c): Vento , Momento fletor caracterstico (kNm). Prtico 3, pilares 7, 8 e 9.

P7 P8 P9

Prtico 3


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Figura 6(d): Vento, Deformada dos prticos.

Tabela 5: Vento, esforos solicitantes caractersticos no primeiro lance dos pilares.Prtico Pilar Base Topo 1 1 7,92 14,90 8,502 28,60 74,50 9,903 2 13,45 26,90 2 35,80 71,60 2 3,80 7,602 4 8,32 16,00 8,505 18,79 39,50 15,906 286,76 173,52 2358,60 717,20 2102,60 205,20

3 7 23,81 7,62 27,50 15,00 23,80 7,608 2 8,07 16,14 2 16,70 33,40 2 7,10 14,209 4 4,23 16,92 4 9,30 37,20 4 3,10 12,40

. 31,60

30,52 29,07 27,15 24,73 21,81

18,39

14,52 10,28 5,90 1,98

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 9


P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9



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Os momentos fletores indicados na Tabela 5 invertem o sentido da base para otopo, com a nica exceo do Pilar 6 (ou seja, os momentos 717,20 205,20 tracionam o mesmo lado do pilar). Como o vento podeinverter seu sentido, estes momentos fletores, na soma com os da cargagravitacional, devem ser considerados com o sentido mais desfavorvel, i.e,

majorando o mdulo do momento final. Note-se, alm disso, que o vento nadireo , no exemplo de mesmo resultado que o da direo , no atuaconcomitantemente com este ltimo. interessante perceber o efeito contraventante diferenciado dos prticos.Considerando a estrutura completa, a fora total do vento

, 11 16,36 4 719,84 Os dois prticos nmero 1 recebem deste total a parcela (ver a Tabela 5 e aFigura 1):

,, 47,9228,60 2 26,90 199,88 199,88719,84 27,8%Os dois prticos nmero 2 recebem deste total a parcela:

,, 48,3218,79 2 173,52 455,48 455,48719,84 63,3%O prtico nmero 3 recebe deste total a parcela:

,, 27,6216,14 1 16,92 64,44 64,44719,84 9%Para conferir, tem-se evidentemente:

,, , 199,88 455,48 64,44 4 11 16,36 719,84 5.2 Cargas Verticais

Para as cargas verticais so processados os prticos 1, 2 e 3, considerando-se

a simetria da estrutura. Portanto, os pilares 3, 6 e 9 tm rigidez flexoreduzida em 50%, atribuindo-lhes o mdulo de elasticidade 2 . Emcontrapartida, os seus esforos solicitantes finais lidos nos resultados doprocessamento devem ser multiplicados por 2. Alm disso, considera-se infinitaa rigidez axial dos pilares, com o que desaparecem os recalques relativosimpostos s vigas dos diferentes pavimentos. Estes recalques tm origem nosencurtamentos diferentes dos pilares e no afundamento do solo das fundaes,ao longo do processo construtivo e mesmo aps a construo, por fluncia doconcreto e do solo. Os recalques relativos, por serem deslocamentos impostosao invs de cargas, geram(como a temperatura, a retrao do concreto, etc.)esforos solicitantes que dependem da rigidez da estrutura. Tm, portanto,maior importncia nos Estados Limites de Utilizao, e tendem a desaparecercom o aumento da carga (Estados Limites ltimos), se houver queda de rigidez


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da estrutura, p.ex., com a formao de fissuras e de sucessivas rtulasplsticas nas vigas. De qualquer modo, com esta hiptese, obtm-sedistribuio uniforme dos esforos solicitantes nos diferentes pavimentossituados longe das extremidades do prtico (i.e., a partir do segundo at openltimo lance).

A Figura 7 mostra parte dos diagramas de momentos fletores caractersticos dacarga vertical, a saber, aqueles dos primeiro e segundo lances, dos prticos 1(Figura 7(a)), 2 (Figura 7(b)) e 3 (Figura 7(c)).

Figura 7(a): Cargas verticais, Momento fletor caracterstico (kNm). Prtico 1, pilares 1, 2 e 3.

P1 P2P3

Prtico 1


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Figura 7(b): Cargas verticais, Momento fletor caracterstico (kNm). Prtico 2, pilares 4, 5 e 6

Figura 7(c): Cargas verticais, Momento fletor caracterstico (kNm). Prtico 3, pilares 7, 8 e 9.

Prtico 3

P7 P8 P9

P4 P5 P6

Prtico 2


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Notar nestas figuras que:

(a) os pilares 3, 6 e 9, situados no eixo de simetria no tm momento fletor.(b) os pilares internos 2, 5 e 8 tm momentos fletores muito pequenos.(c) somente os pilares de borda 1, 4 e 7 tm momentos mais significativos,

cerca de 2 a 4 vezes maiores que os dos pilares 2, 5 e 8,respectivamente.

As duas primeiras constataes reforam e justificam o comportamento de vigacontnua para este carregamento, se, alm disso, os vo no forem muitodiferentes uns dos outros, como o caso do exemplo.

Os diagramas de momentos da Figura 7 tambm permitem concluir que sonulos os momentos fletores (nos pontos de inflexo, ou de inverso decurvatura), a meia altura do lance j a partir do segundo lance. No trreo, oponto onde

0ocorre a

da altura do lance a contar da base do pilar. Vernas Figuras 7(a), (b) e (c) a propagao dos momentos, a qual se d do topopara a base aproximadamente na proporo 2: 1. Se nas extremidades dessespilares de borda houvesse articulao fixa, naturalmente essa proporo seria1: 0. Com isto, pode-se aplicar a aproximao permitida no item 14.6.7.1 daNBR 6118, segundo a qual os momentos fletores das extremidades dos pilaressuperior e inferior, bem como da viga, resultam multiplicando-se o momento deengaste perfeito da viga (bi-engastada) pelas fraes de rigidez seguintes (com ):

,

,

Esta ltima frao decorre do equilbrio do n onde concorrem essas trspeas. Ver a Figura 8.


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Figura 8: Clculo aproximado do momento fletor nos pilares de borda.

Como exemplo, determina-se a seguir os momentos no pilar 4 do prtico 2.

Sendo, cf. as Figuras 1 e 3, para a viga: 5, 1638,1 10, 26 , 26 54,17 . Para os pilares tem-se: , 1,475, ,, 781,25 10. Com estesdados, obtm-se as rigidezes ,, 10 529,661 10 e , 10 327,62 10 nos lances intermedirios. Logo, osmomentos nas extremidades das barras de um lance intermedirio so:

529,661

2529,661327,6254,17 0,382 54,17 20,7

2 20,7 41,4 No processamento do prtico 2, estes momentos so respectivamente iguais a18,9 37,8 , ou aproximadamente 9% menores.No lance inferior tem-se agora ,, 10 529,661 10 ,, 10 397,246 10. Logo, resultam:

529,661529,661397,246327,62 54,17 0,422 54,17 22,9

/2

/2

/22/3

(a) Lances intermedirios, articulaes ameia altura do lance.

(b) Lance inferior: em caso de engaste nabase, a articulao se d a 2linf/3 da

viga. Se a base for articulada, toma-se

100% da altura do lance.

12


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397,246529,661397,246327,62 54,17 0,317 54,17 17,1

22,9 17,1 40

Do processamento do prtico 2, obtm-se respectivamente20,5 10,5% , 14,9 12,9% 35,3 11,8% .Os valores aproximados so aceitveis, pois esto a favor da segurana nospilares, e correspondem na viga a elevar um pouco sua linha de fecho.

6. Verificao dos esforos globais de 2. ordem

Como se viu nos itens 5.1 e 5.2, os prticos sofrem deslocamento lateralapenas pela ao do vento, no caso de estrutura simtrica. Para saber se osdeslocamentos horizontais so importantes a ponto de gerar esforos globaisde 2. ordem no desprezveis, usa-se, no que segue, o coeficiente definidono item 15.5.3 da NBR 6118:

11 ,

onde

, o momento de tombamento resultante da soma dos momentos detodas as foras horizontais com seus valores de clculo (i.e., majorados por 1,4, em relao base da estrutura, e a soma dos momentos resultantes do produto da carga vertical total decada pavimento, com seu valor de clculo, pelo correspondente deslocamentolateral.

O coeficiente pode ser calculado a partir de uma anlise linear de 1. ordem.Se ocorrer

1,1, permite-se considerar a estrutura como sendo de ns fixos,

o que quer dizer que os esforos de 2. ordem so desprezveis (critrio dos10%, i.e., os momentos so majorados em menos de 10%).A questo principal desta equao est na rigidez da estrutura no ELU, a qual:

(a) depende de haver fissurao e plastificao nas vigas,(b) nos pilares, a rigidez depende da fora normal de clculo e da armadura

ainda desconhecida.

A NBR 6118 permite, no item 15.7.2, considerar uma reduo de 30% narigidez flexo das vigas e dos pilares, quando a estrutura decontraventamento for constituda exclusivamente por vigas e pilares e, ainda,se 1,3.


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Com estas restries, obtm-se os deslocamentos laterais de cada pavimentoresultantes da ao do vento pela anlise de 1. ordem j efetuada, majorando-os por 1,4 e dividindo-os por 0,7, para considerar a reduo geral darigidez flexo. Em resumo, multiplicam-se os deslocamentos horizontais daanlise linear com cargas caractersticas por

2, e as cargas propriamente por

1,4. No exemplo, tem-se do processamento da ao do vento os dados databela seguinte, cf. a Figura 6(d):Tabela 6: Dados para o clculo do coeficiente .

Pavimento: Deslocamentohorizontal dopavimento emservio(mm)

2 :Deslocamentohorizontal no ELU,com reduo darigidez e majoraoda carga (mm)

Carga vertical total dopavimento (

Cobertura 31,60 63,20 0,6 4592 2755,210 30,52 61,04

1,4 4592 6428,8

9 29,07 58,148 27,15 54,307 24,73 49,466 21,81 43,625 18,39 36,784 14,52 29,043 10,28 20,562 5,90 11,80

1 1,98 3,96Com os dados da Tabela 6, observando que a carga de vento por pavimento igual a 1,4 416,36 91,62 , obtm-se (com 2,95 , alturado lance, e tambm comprimento equivalente do pilar):

, 1211

91,62 1112 112,95 17838 A soma dos deslocamentos dos dez pavimentos 3,96 11,80 61,04 368,7. Com isto, o momento resultante da soma do produtodas foras verticais totais em cada pavimento pelos correspondentesdeslocamentos vale

2755,263,26428,8368,7 10 2544,4 Com estes momentos obtm-se

1

1 2544,417838 1,17 1,1


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Como se v, h esforos globais de 2. ordem a considerar, o que pode serfeito, cf. o item 15.7.2 da NBR 6118, majorando-se os esforos advindos dasaes horizontais (vento no exemplo) por 0,95 0,95 1,17 1,11. Estasimplificao vlida para 1,3.Concluindo a determinao dos esforos solicitantes a usar nodimensionamento de pilares, os esforos de vento obtidos anteriormentedevem ser multiplicados 0,95 1,11 1,4 1,63, ao passo que os esforosadvindos da carga vertical devem ser multiplicados apenas por 1,4, poisno produzem deslocamentos horizontais, em virtude da simetria da estruturado exemplo.

7. Dimensionamento dos pilares do trreo.

Com as solicitaes determinadas atravs da anlise dos prticos, inclusivecom a considerao do efeito de 2. ordem global, pode-se dimensionar emdefinitivo os pilares. Consideram-se a seguir somente pilares do trreo.Observe-se que indispensvel levar em conta tambm os esforos de 2.ordem locais, se o pilar for esbelto (i.e., se , com e definidos aseguir).

As foras normais nos pilares, cf. as Figuras 7(a), (b) e (c), esto mostradas naTabela 7.

Tabela 7: Foras normais dos pilares.

Pilar 1 2 341,9 683,8 957 300 3002 e 4 844,2 632,1 1476,3 2067 250 6003 e 7 2 446,3 637,9 1530,5 2143 250 6005 21537,4=3074,8 4305 600 6006 e 8 2798,5 1531,4 3128,4 4380 250 14009 4 798,7 3194,8 4473 600 600

7.1 Dimensionamento do pilar 87.1.1 Flexo no plano, e vento na direo (Ver a Figura 1)Como, neste caso, s h momento atuante no plano , tem-se flexocomposta normal, com os esforos dados na Figura 9. A fora normal decorreda soma das reaes do P8 no prtico 3 e do P6 no prtico 2, conforme mostraa Tabela 7.


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Figura 9: Pilar 8, esforos das anlises global e local. Pilar equivalente. Flexo no plano

.

Note-se na Figura 9 que a denominao atribuda ao momento daextremidade que possui o maior mdulo. O sinal da frao negativo (

0)se estes momentos tracionarem faces opostas da seo do pilar. Do contrrio,a frao positiva ou nula.

O dimensionamento do pilar pode ser feito com os seguintes passos:

(a) ndice de esbeltez:

12,, 40,9

(b) Momento resistente mnimo (independente das solicitaes e constante aolongo do pilar):

, 0,0150,03 4380 0,0150,030,25 98,55 (c) O pilar da Figura 9(a), fletido em curvatura dupla (i.e., com inverso de sinaldos momentos), deve ser substitudo por um pilar equivalente, fletido emcurvatura simples, cf. a Figura 9(b), com momentos iguais nas extremidades, ede valor

1 ,

, (kNm)

1,44,4+1,6314,2=29,3

1,4

2,5+1,63

33,40=

58

XY

Z

0,25 2,95

.

,

4380 kN

.

/2 1,475

/2 1,475

,

2.

2.

real

4380 kN


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valendo o que for maior. O fator , igual a 1 no caso de ,, para osmomentos das extremidades da Figura 9(a), igual a:

0,6 0,4 29,358 0,4 0,4O pilar equivalente definido como um pilar fletido em curvatura simples, commesma fora normal e comprimento equivalente que o pilar real, e momentosiguais nas extremidades de valor ,, o que for maior. Nessepilar obtm-se o mesmo momento total mximo que o pilar real, encontradoentre as extremidades, inclusive com a parcela de segunda ordem. Ou seja,nele obtm-se , , , o qual atua em algumponto do pilar real entre as extremidades.

Assim, no exemplo, o pilar equivalente fletido em curvatura simples, teria osmomentos de extremidade iguais a 0,4 58 23,2 , valor muitoabaixo de , 98,55 .Portanto, o pilar equivalente deve ser dimensionado com momentos deextremidade iguais a , 98,55 , restando saber se h efeito de 2.ordem local ou no, o que se decide comparando com o limite ,determinado a seguir.

(d) Clculo de Sendo a excentricidade da fora normal correspondente ao momento resistentemnimo igual a 0,015 0,03 0,25 0,0225, ,, 0,09, resulta:

2512,5 2512,50,091 26,1 35, 35

Como 40,9 35, h efeito local de 2 ordem. Usando o mtodo dopilar-padro com rigidez aproximada, dado no item 15.8.3.3.3 da NBR 6118 ecom mais detalhes em Kimura et al, 2007, obtm-se o momento total do pilaresbelto pela soluo de uma equao do segundo grau, cuja raiz :

42 onde 5 5 0,25 1,25 3205, 43800,25 2,95

320 50,2598,55

31,447

, 4380 0,25 98,55 26978


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Logo, resulta , 134,9 .Este valor 1,37 vezes superior a , 98,55 , por causa do efeitolocal de 2. ordem. Como

,tambm supera

58 , o pilar

dimensionado para os esforos 4380 , 134,9 . Notar que,poderia no ser o mximo momento no pilar, mesmo havendo efeito de2. ordem. Notar tambm que, mantida a mesma fora normal, a mximaarmadura decorre do maior momento fletor, que pode ser, de forma geral,, ou ou,.(e) Determinao da armadura do pilar

Aplica-se o processo aproximado da NBR 6118: 2003, item 17.2.5.1,transformando a flexo-compresso em uma compresso centrada que leve

mesma armadura.

Figura 10: Pilar 8, dados para o clculo de ,. Flexo no plano.Soluo:

(1) Confirmao da condio de aplicabilidade do processo:

Fora normal relativa: , 0,88 0,7 ok(2) Clculo da fora normal equivalente

520

520

780

150

75

75

X

Y

Z

,

134,9

4380

, , , ,


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Conforme a Figura 10, denominando o nmero de barras na facecomprimida pelo momento, e o nmero de barras posicionadas na faceparalela ao plano de flexo (prefere-se esta denominao ao invs daquelaindicada na Fig. 17.2 da NBR 6118,

, para evitar confuso), tem-se:

8 3 1 1 72 3,5

Como 1 e a seo retangular, tem-se 3,5. Sendo 0,2,o coeficiente vale:

10,39 0,01 0,8 10,390,0350,16 3,774

A excentricidade relativa neste caso igual a

,, 0,123. Com estesdados, obtm-se o fator de majorao da fora normal e a fora normalequivalente respectivamente iguais a:

1 1,465

, 1 4380 1,465 6416 A taxa geomtrica da armadura total vale:

, , 0,85 0,85

6416102501400 12,1443512,14 1,46%Logo, a rea da armadura :

, 0,0146 250 1400 5125 Como foram adotadas 18 barras, cf. mostra a Figura 10, tem-se o dimetro:

4 512518 19 20Esta armadura ainda no pode ser considerada definitiva, pois precisoverificar o caso de carga em que o vento atua na direo Y, o que se faz aseguir.


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7.1.3 Flexo no plano , e vento na direo O pilar 8, cf. a Figura 1, para o vento atuando na direo , pertence ao prtico5. Como o pilar 8 simtrico do pilar 6, tomam-se os momentos deste pilar

para vento na direo X, cf. a Tabela 5. J para a carga gravitacional osmomentos so nulos. Ver a Figura 11.

Figura 11: Pilar 8, flexo no plano .Mas, neste caso, o pilar tem esbeltez

12 ,, 7,3 35, e

portanto, no h efeitos de 2. ordem locais a considerar nesse plano. Poroutro lado, na direo considerada tem-se o momento , 43800,0150,031,40 250 1169 , . Logo, odimensionamento deve ser feito para 4380 1169 .

520

520

780

150

75

75

X

Y

Z

, 1169 4380

, , , , 6,3 20

(kNm) (kNm)

0

0

1,63 205,2 334,5

1,63 717,2 1169 (kNm)

334,5

1169

4380 kN

Y

X

Z

1,40

2,95


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Figura 12: Pilar 8, dados para o clculo de ,. Flexo no plano .

Novamente, sendo

, 0,191, 0,222, , 4,5, 10,390,014,50,16 5,405

, 438015,4050,191 8902 obtm-se a taxa geomtrica e a rea da armadura respectivamente iguais a:

, 8902102501400 12,1443512,14 0,0314 3,14% , 4%, 0,0314 250 1400 11007 2225

Esta armadura, indicada na Figura 12, prevalece sobre a anterior. As Figuras13 e 14 mostram a mesma seo verificada pelo programa elaborado porMarino et al, UFPR, 2001, para o atual caso de carga, com as alternativas dearmaduras iguais a 2225 na primeira e 2220 na segunda. Pelos diagramasde interao e pela posio do ponto correspondente aos esforosdimensionantes, v-se que ambas as solues so seguras, mas a maiseconmica , evidentemente, a que contm 2220.


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Figura 13: Seo com 2225.

Figura 14: Seo com 2220.


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10. Bibliografia

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS (ABNT). Projeto deestruturas de concreto - Procedimento: NBR 6118: 2003. Rio de Janeiro,2003.

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS (ABNT). Cargas para oclculo de estruturas de edificaes: NBR 6120. Rio de Janeiro, Nov. 1980.

Buchaim, R. Problemas com ,. Universidade Estadual de Londrina(UEL). Londrina, 2007.

F-Tool Two-dimensional Frame Analysis Tool. Verso Educacional 2.11.Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro PUC-Rio, 2002.(www.tecgraf.puc-rio.br/ftool).

Kimura, A. E. ; dos Santos, L. A.; Frana, R. L S. Exemplos de aplicao dosconceitos da Seo 15. PILARES. Ibracon, So Paulo, 2007.

Marino, M. A.; Scheer, S.; de Oliveira, M. F. F.; Zandon, C. A. W. Programade Solicitaes Normais em Concreto Armado. Oblqua 1.0: FlexoComposta Oblqua (qualquer seo). Universidade Federal do Paran, UFPR.05/2001. (http://www.cesec.ufpr.br/concretoarmado/).

Dimensionamento de Pilares Jun 08

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