Dimensionamento de Sapatas

ESTRUTURAS DE BETÃO II

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

MÓDULO 3 – FUNDAÇÕES DE EDIFÍCIOS

Carla Marchão

Júlio Appleton

José Camara

Ano Lectivo 2008/2009

ÍNDICE

1. DIMENSIONAMENTO DE ZONAS DE DESCONTINUIDADE............................................. 1

2. TIPOS DE FUNDAÇÕES ...................................................................................................... 9

3. FUNDAÇÕES DIRECTAS (SAPATAS)................................................................................ 9

3.1. TIPOS DE SAPATAS ......................................................................................................... 9

3.1.1. Sapatas rígidas ........................................................................................................ 9

3.1.2. Sapatas flexíveis .................................................................................................... 10

3.2. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS ............................................................................ 10

3.2.1. Sapata sem excentricidade de carga .................................................................... 10

3.2.2. Sapata com excentricidade de carga .................................................................... 11

4. SAPATAS LIGADAS POR UM LINTEL DE FUNDAÇÃO ................................................. 19

5. DIMENSIONAMENTO DE UM MACIÇO DE ENCABEÇAMENTO DE ESTACAS ........... 25

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2008/2009 Estruturas de Betão II

MÓDULO 3– Fundações de Edifícios

Carla Marchão; Júlio Appleton; José Camara

1

1. Dimensionamento de Zonas de Descontinuidade

Nas estruturas em geral, e de betão estrutural em particular, há zonas em que, por

razões da sua geometria ou do tipo de carregamento (em especial se se tratar de

acções concentradas) o comportamento afasta-se claramente do das teorias clássicas

de peça linear ou de laje da mecânica estrutural. Essas zonas são denominadas de

zonas D (Descontinuidade), ao passo que as zonas com comportamento uniforme e

regular se chamam de B (Bernoulli, Bending). Na figura 1 representam-se uma série

de situações que caracterizam uma zona D como:

a – zona de mudança de altura de uma viga

b – abertura numa alma de viga

c – zona de um nó de ligação de uma viga e um pilar

d – situação de uma sapata, elemento com comportamento bi-dimensional mas

em que a altura é grande em relação às dimensões em planta

e – zona de ancoragens de cabos de pré-esforço

f – zona de aplicação de uma carga concentrada numa viga

g – zona com geometria de consola curta

h – situação de uma denominada viga-parede (viga com uma relação l/h

pequena)




2

Figura 1 – Ilustração de zonas das estruturas de betão que têm um comportamento diferente do de peça linear

Em termos do dimensionamento do betão estrutural é natural que os modelos a

adoptar nestas zonas sejam diferentes dos aplicados nos elementos com

comportamento uniforme. Na figura 2 representa-se o modelo de campos de tensão de

escoras e tirantes e o correspondente para uma viga contínua. É de realçar nesse

modelo que, junto aos apoios, também se tem zonas D, onde os campos de

compressões deixam de ser “paralelos” para tomarem uma forma em leque e, as

correspondentes resultantes, ficam com maior inclinação.




3

θ

Zona B -campo de tensões no betão (paralelo na zona corrente da viga

Zona B -campo de tracções nos estribos

Zona D -campo de tensões no betão em leque junto ao apoio

(a) Modelo de campos de tensão

θθ1 θ

z

(b) Modelo equivalente e “discreto” de escoras e tirantes

Figura 2 – Modelo (a) de campos de tensão e (b) de escoras e tirantes numa viga contínua de betão armado

Para geometrias diferentes há que encontrar, para cada situação, um modelo de

dimensionamento apropriado que seja representativo do encaminhamento das

principais forças no elemento, numa situação próxima da rotura.




4

Figura 3 – Modelos de dimensionamento de vigas com aberturas e distribuição de armaduras resultante

Na figura 3 representam-se, como exemplo, modelos possíveis para o dimensionamento

de duas vigas em T com disposições diferentes de aberturas nas almas. Em tais

situações as expressões gerais dos regulamentos para verificação da segurança ao

esforço transverso não são aplicáveis. Há que avaliar as forças nos tirantes e escoras

do modelo e, a partir dessas forças, verificar a segurança em relação ao nível de

tensões no betão e avaliar as armaduras necessárias para resistir às tracções.

Assim para o betão há que verificar que:

σRd,max = Fcd

Ac ≤ fcd (1.a)

ou

σRd,max = FAc

≤ 0.6 ν fcd (1.b)

com ν = 1 – fck/250.




5

A expressão 1.a deve ser utilizada quando não há tensões na direcção transversal

(como nas compressões por flexão) ou quando há compressão moderada, e a

expressão 1.b se há tracções transversais (como nas compressões inclinadas das

almas das vigas).

E para as armaduras há que verificar que:

As ≥ FSd

fsyd

Na figura 4 apresenta-se um caso tipo de uma zona D que se refere a uma consola

curta, sendo especialmente importante notar que:

� A força de tracção é constante em todo o comprimento contrariamente à

situação de uma consola de vão maior

� O valor da força de tracção é inferior à que adviria do cálculo em relação ao

eixo do pilar. A força de dimensionamento vale:

� FSd = PSd . az

� Em que “a” é a distância na horizontal do ponto de aplicação de carga à

resultante da compressão no pilar

P

P

T C

α

PM

Figura 4 – Modelo de dimensionamento de uma consola curta

Também a transmissão ao apoio de uma carga concentrada aplicada numa viga,

próxima do apoio, segue um processo de transmissão semelhante. Na figura 5 está

representada essa transmissão em que, função da distância entre os eixos de

aplicação da carga e do apoio, se considera uma repartição adequada da força entre

dois sistemas estruturais (o primeiro semelhante ao considerado no caso anterior da




6

consola curta, o segundo semelhante ao do comportamento de uma viga nas zonas de

extremidade, com campos de tensão em leque).

z

(1 - α) P

zT

C

(1 - α) R1 α R1

C

Tz

α P(i) Modelo 1 (ii) Modelo 2

Pa

R1 R2

R1

P

C

T

Para z2 < a < 2 z ⇒ α =

13

2a

z - 1

Se a = z ⇒ α = 13 ; se a = 1.5 z ⇒ α =

23

Figura 5 – Esquema de transmissão de uma carga próxima do apoio com repartição da carga por dois

modelos complementares

Como se verifica, a modelação por escoras e tirantes do betão armado próximo da

rotura, para peças com comportamento unidimensional e geometria diversa, não é

mais do que a generalização do modelo de treliça da viga a situações particulares de

geometria e/ou carregamento.

Por outro lado, as fundações directas, denominadas de sapatas, têm um

comportamento bi-dimensional, tipo laje fungiforme, em que a altura é tal que a

distribuição de tensões é diferente da resultante da teoria das lajes. De facto, para

sapatas rígidas, solução corrente na prática, a altura deve ter um valor entre a

distância da face do pilar ao limite da sapata e metade desse valor – ver figura 6.

A distribuição de tensões, próximo da rotura, em ambas as direcções é do tipo da

representada na figura, gerando-se campos de tensão em leque que exigem, para

equilíbrio das tensões no solo, uma distribuição parabólica de forças de tracção na

face inferior da base, como representada na figura 6.a).




7

N/2 N/2

N/2 N/2

N

N/2

N

N/2

Fmáx

DFT

Fmáx

Figura 6 – Distribuição dos campos de tensão nas sapatas numa dada direcção e representação de um

modelo simples para determinação da força máxima nas armaduras.

O valor máximo destas tracções nas armaduras pode ser estimada com base num

modelo definido em termos resultantes como indicado na figura 6.b). Modelos para

outros tipos de carregamentos, em particular de esforços axiais com excentricidades,

serão referidos no capítulo referente às fundações. É, no entanto, importante

compreender desde já que, tal como numa laje fungiforme, as forças de tracção nas

armaduras têm de ser dimensionadas para o equilíbrio da totalidade das tensões no

terreno numa e noutra direcção. É uma questão básica de equilíbrio na transmissão das

cargas do pilar ao terreno, ou se quisermos pensar inversamente, do terreno ao pilar.

No caso de fundações indirectas a transmissão das cargas do pilar às estacas faz-se

através do denominado maciço de encabeçamento. Nestes casos estabelecem-se

modelos, por vezes tridimensionais, de transmissão da carga como o representado na

figura 7. Os modelos de transmissão de cargas, uma vez que se tratam de acções

concentradas, são do tipo dos referidos nas figuras 4 e 5, mas tendo em consideração

a eventual tridimensionalidade de transmissão das cargas.




8

N/2

N/2

N/4

N/4

N/4

N/4

Figura 7 – Modelo tridimensional de transmissão de carga de um pilar às estacas através de um maciço

de encabeçamento.




9

2. Tipos de Fundações

a) Fundações directas por sapatas

� Solo superficial com boas características de resistência

� Edifícios de pequeno ou médio porte.

b) Ensoleiramento geral

� Edifício de porte elevado e características resistentes do solo que conduzam

a uma área de sapatas superior a 50% da área total

� Particularmente aconselhável se o nível freático se encontrar acima do nível

de fundação.

c) Fundações profundas

� Camadas superficiais de terreno pouco consistentes

� Cargas elevadas por pilar.

3. Fundações directas (sapatas)

3.1. TIPOS DE SAPATAS

3.1.1. Sapatas rígidas

NM

A (x B)

H

ba

Pré-dimensionamento:

Área em planta: σadm ≥ Nraro

A × B

Altura: A - a

4 ≤ H ≤ A - a

2

(⇔ H ≥ b/2 – condição de rigidez)

� Quando a sapata é rígida, pode admitir-se que a tensão no solo é uniforme.




10

3.1.2. Sapatas flexíveis

� Podem surgir problemas de punçoamento

� Devido à deformabilidade da sapata, em geral não se pode admitir que a

tensão no solo é uniforme

⇒ Não é aconselhável a utilização de sapatas flexíveis.

3.2. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS

Para o dimensionamento de sapatas rígidas utilizam-se modelos de escoras e tirantes

(modelos de “encaminhamento de cargas”).

3.2.1. Sapata sem excentricidade de carga

N

A

a

d≈0.9H

N/2N/2

a/4

N/2N/2

α

α

N/2Ft

Fc

Como as dimensões da sapata são conhecidas, é possível determinar a tangente do

ângulo α:

tg α = d

A - a

4

(1)

Através do equilíbrio do nó indicado, obtém-se

tg α = N / 2

Ft (2)

igualando (1) e (2), obtém-se a expressão para o cálculo da força de tracção:

Ft = N (A - a)

8d




11

A área de armadura pode ser determinada pelas expressões:

As = Ft fsyd

⇒

As

s = Ft fsyd

⋅ 1 x , sendo x a área carregada na direcção ortogonal.

3.2.2. Sapata com excentricidade de carga

(i) e > A / 4 (tensões no solo em menos de metade da sapata)

α

N

0.15a

x

N

Fc

Ft

N

αd≈0.9H

M

e

e = M N ; x =

A

2 - e × 2 = A – 2e


ângulo α:

tg α = d

e - 0.35a (1)


tg α = N Ft (2)


Ft = N (e - 0.35a)

d


As = Ft fsyd

⇒

As

s = Ft fsyd

⋅ 1 y , sendo y a área carregada na direcção ortogonal.




12

(ii) e < A / 4 (tensões no solo em mais de metade da sapata)

NM0.15a

A/4x

α

R1

R1

d≈0.9Hα

Ft

Fc

a

R2

e = M N ; x =

A

2 - e × 2 = A – 2e


ângulo α:

tg α = d

A/4 - 0.35a (1)


tg α = R1 Ft (2)


Ft = R1 (A/4 - 0.35a)

d

O valor da reacção R1 pode ser determinado utilizando a relação

N A - 2e =

R1 A / 2 ⇒ R1 =

A 2 ×

N A - 2e


As = Ft fsyd

⇒

As

s = Ft fsyd

⋅ 1 y , sendo y a área carregada na direcção ortogonal.




13

EXERCÍCIO S1

Considere a sapata de fundação de um pilar isolado, representada na figura.

2.50

0.75

2.50

2.00

0.50

0.40

Dimensione e pormenorize as armaduras da sapata para as combinações de acções

consideradas:

Combinação 1: 1.5 cp + 1.5 sc

Combinação 2: cp + ψ2 sc + 1.5 E

Os esforços na base do pilar, para cada uma das acções, são os seguintes:

Acções N [kN] M [kNm]

Cargas permanentes -700.0 0.0

Sobrecarga (ψ2 = 0.2) -300.0 0.0

Sismo 50.0 300.0

Adopte para materiais C20/25 e A400NR e considere que a tensão de segurança do

solo é de 3.0 kg/cm2 (300 kN/m2).




14

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO S1

1. Esforços de dimensionamento

a) Combinação 1

Nsd,1 = (700 + 300) × 1.5 = 1500 kN

Msd,1 = 0

b) Combinação 2

b.1) N > 0 (sismo a carregar)

Nsd,2.1 = 700 + 0.2 × 300) + 1.5 × 50 = 835 kN

Msd,2.1 = 1.5 × 300 = 450 kNm

b.2) N < 0 (sismo a aliviar)

Nsd,2.2 = 700 + 0.2 × 300) - 1.5 × 50 = 685 kN

Msd,2.2 = 1.5 × 300 = 450 kNm

2. Dimensionamento

2.1. Direcção x

(i) Combinação 1

N

σ

� Verificação da rigidez da sapata:

2.5 - 0.5 4 = 0.5 m < 0.75 m

2.0 - 0.4 4 = 0.4 m < 0.75 m

� Verificação da tensão no solo

σ = Nsd

A × B = 1500

2.5 × 2.0 = 300 kN/m2 <450 kN/m2




15

� Cálculo das armaduras

N

A

a

d≈0.9H

N/2N/2

a/4

N/2N/2

α

α

N/2Ft

Fc

tg α = d

( A - a) / 4 = 0.68

2.5/4 - 0.5/4 = 1.36

tg α = N / 2

Ft ⇔ Ft =

N / 2 tg α =

7501.36 = 551.5 kN

As = Ft fsyd

= 551.5

348×103 × 104 = 15.85 cm2

As

s = Ft fsyd

⋅ 1 x =

15.852 = 7.93 cm2/m

(ii) Combinação 2.1


Nsd = 835 kN ; Msd = 450 kN ⇒ e = 450 835 = 0.539 m < A / 4 = 2.5 / 4 = 0.625 m

(tensões no solo em mais de metade da sapata)

Zona carregada: x = A – 2e = 2.5 – 2 × 0.539 = 1.42 m

σ = Nsd

Acarregada =

835 1.42 × 2.0 = 294.0 kN/m2 < 450 kN/m2




16


tg α = 0.68

0.625 - 0.175 = 1.51

tg α = R1 Ft

⇔ Ft = R1

tg α = 7351.51 = 486.8 kN

As = Ft fsyd

= 486.8

348×103 × 104 = 14.0 cm2

As

s = Ft fsyd

⋅ 1 x =

14.02 = 7.0 cm2/m

(iii) Combinação 2.2


Nsd = 685 kN ; Msd = 450 kN ⇒ e = 450 685 = 0.657 m > A / 4 = 2.5 / 4 = 0.625 m

(tensões no solo em menos de metade da sapata)

Zona carregada: x = A – 2e = 2.5 – 2 × 0.657 = 1.19 m

σ = Nsd

Acarregada =

685 1.19 × 2.0 = 287.8 kN/m2 < 450 kN/m2


tg α = 0.68

0.657 - 0.175 = 1.41

tg α = N Ft

⇔ Ft = N

tg α = 6851.41 = 485.8 kN

As = Ft fsyd

= 485.8

348×103 × 104 = 13.96 cm2

As

s = Ft fsyd

⋅ 1 x =

13.962 = 7.0 cm2/m




17

2.2. Direcção y

A carga é centrada para todas as combinações, logo Ft = N (A - a)

8d

(i) Combinação 1

Ft = 1500 × (2 - 0.4)

8 × 0.68 = 441.2 kN

As

s = Ft fsyd

⋅ 1 x = =

441.2 348×104 ×

12.5 × 104 = 5.07 cm2/m

(ii) Combinação 2.1

Ft = 835 × (2 - 0.4)

8 × 0.68 = 245.6 kN

As

s = Ft fsyd

⋅ 1 x = =

245.6 348×104 ×

11.42 × 104 = 4.97 cm2/m

(iii) Combinação 2.2

Ft = 685 × (2 - 0.4)

8 × 0.68 = 201.5 kN

As

s = Ft fsyd

⋅ 1 x = =

201.5 348×104 ×

11.19 × 104 = 4.87 cm2/m




18

EXERCÍCIO S2

Considere o sistema constituído por duas sapatas ligadas por um lintel, como indicado

na figura.

0.40 2.00

0.80

2.502.501.50

0.70

0.40

0.50

0.60

N1 = 500 kN

M1 = ± 300 kNm

0.50

M1 = ± 500 kNm

N2 = 1000 kN

Dimensione e pormenorize as armaduras da sapata e do lintel para os esforços

indicados (materiais: C20/25 e A400NR).




19


1. Modelo de cálculo

4.500.50

R1 R2

A B

2. Determinação das reacções R1 e R2

� Contribuição de N1

N1

R1

A

R2

B

Σ MA = 0 ⇔ 0.5 N1 = -R2 × 4.5 ⇒ R2 = -0.11 N1 ; R1 = 1.11 N1

� Contribuição de M1 e M2

M1

R1

A

M2

R2

B

Σ MB = 0 ⇔ 4.5 R1 – (M1 + M2) = 0 ⇒ R1 = M1 + M2

4.5 ; R2 = - M1 + M2

4.5




20

� Cálculo de R1 e R2

R1 = 1.11 N1 ± M1 + M2

4.5 = 1.11 × 500 ± 300 + 500

4.5 = 732.8 kN

377.2 kN

R1 = N2 - 0.11 N1 ± M1 + M2

4.5 = 1000 - 0.11 × 500 ± 300 + 500

4.5 = 1122.8 kN

767.2 kN

3. Dimensionamento da sapata 1

(i) Direcção x

500

3000.175

0.72

732.8

Fc

Ft

α

732.8

tg α = 0.72

1.5 / 2 - 0.15 × 0.5 = 1.07

tg α = R1 Ft

⇔ Ft = R1 tg α =

732.81.07 = 684.9 kN

As = Ft fsyd

= 684.9

348×103 × 104 = 19.68 cm2

As

s = Ft fsyd

⋅ 1 x =

19.682 = 9.84 cm2/m

(ii) Direcção y (não há momento)

0.5/4

R1/2

N1

N1/2

0.72α

R1/2Ft

Fc

N1/2

R1/2

α




21

tg α = d

( A - a) / 4 = 0.72

2.0/4 - 0.4/4 = 1.8

tg α = R1 / 2

Ft ⇔ Ft =

R1 / 2 tg α =

366.41.8 = 203.6 kN

As = Ft fsyd

= 203.6

348×103 × 104 = 5.85 cm2

As

s = Ft fsyd

⋅ 1 x =

5.851.5 = 3.90 cm2/m




22

4. Dimensionamento da sapata 2

(i) Direcção x

N2/2

0.175

N2

R2/2

R2/2

R2/2

0.72

Fc

Ft

α

α

M2

tg α = 0.72

2.5 / 4 + 0.175 = 0.9

tg α = R2 / 2

Ft ⇔ Ft =

R2 / 2 tg α =

1122.8 / 20.9 = 623.8 kN

As = Ft fsyd

= 623.8

348×103 × 104 = 17.9 cm2

As

s = Ft fsyd

⋅ 1 x =

17.92 = 9.0 cm2/m


tg α = d

( A - a) / 4 = 0.72

2.0/4 - 0.4/4 = 1.8

tg α = R2 / 2

Ft ⇔ Ft =

R2 / 2 tg α =

1122.8 / 21.8 = 311.9 kN

As = Ft fsyd

= 311.9

348×103 × 104 = 8.96 cm2

As

s = Ft fsyd

⋅ 1 x =

8.962.5 = 3.58 cm2/m




23

5. Dimensionamento da viga de fundação

4.500.50

732.8 1122.8

300500 1000

500

DMF[kNm]

300550

500

( - )

(+)

233.3

233.3550

500

Msd = 550 kNm ⇒ µ = 0.174 (d = 0.63) ; ω = 0.197 ⇒ As = 28.48 cm2

Vsd = 550 + 500

4.5 = 233.3 kN

Asw s =

Vsd 0.9d ⋅ cotg θ ⋅ fsyd

= 233.3

0.9 × 0.63 × cotg 30 × 348×103 × 104 = 6.83 cm2/m




24

EXERCÍCIO S3

Considere o maciço de encabeçamento de estacas representado na figura.

1.20

0.30 0.60 1.20 0.60 0.30

0.80

Nsd = 5600 kN

Msd = 2160 kNm

3.00

3.00

a) Determine o esforço axial nas estacas.

b) Dimensione o maciço de encabeçamento (materiais: C20/25 e A400NR).

c) Pormenorize as armaduras.




25


ALÍNEA A)

Ni = N n ±

M ⋅ ei Σ ei

2 = 5600

4 ± 2160 × 0.9

4 × (0.6 + 0.3)2 = 2000 kN (2 estacas)

800 kN (2 estacas)

ALÍNEA B)

(i) Direcção x

0.28

1.10

5600 kN

α

2000 kN

Fc

Ft

α

2000

800 kN

2160 kNm

tg α = 1.10

0.9 - 0.28 = 1.77

tg α = R Ft

⇔ Ft = R

tg α = 2000 1.77 = 1129.9 kN

As = Ft fsyd

= 1129.9

348×103 × 104 = 32.5 cm2


tg α = 1.10

0.9 - 0.2 = 1.57

tg α = R Ft

⇔ Ft = R

tg α = 2000 1.57 = 1272.7 kN

As = Ft fsyd

= 1272.7

348×103 × 104 = 36.6 cm2

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