Dimensionamento e pormenorização de elementos … 12 – Tabela de referência do processo...

i

Dimensionamento e pormenorização de elementos estruturais

tipo parede com pré-esforço

Resumo

Este trabalho tem como objectivo aplicar, num caso prático, uma metodologia de concepção e

dimensionamento de estruturas com elementos de parede em que seja necessário pré-esforço.

Com base num projecto recentemente desenvolvido para o novo Hotel Savoy a construir no

Funchal, considerou-se uma zona particular que serve de base para este trabalho. Nesta zona

do edifício houve a necessidade, por razoes urbanísticas e arquitectónicas, de provocar uma

excentricidade no volume dos pisos superiores em relação aos inferiores, tendo-se previsto

transversalmente três alinhamentos de parede que têm naturalmente alguma interacção entre

si. Estes pórticos surgem, assim, de forma a contrariar as deformações na extremidade da

consola global da referida zona através da aplicação de pré-esforço. Realizou-se um estudo

para conceber uma solução de traçado de cabos e quantidades de pré-esforço eficaz, na

medida em que contraria as deformações de uma forma económica e com um controlo de

eventual fendilhação. As verificações para a segurança à rotura são também avaliadas.

A solução concebida revelou-se aceitável, com deformações finais nas extremidades das

consolas praticamente nulas e com quantidades de pré-esforço acomodáveis nas paredes, em

geral, e nas zonas de cruzamento de cabos e zonas de ancoragens em particular.

Relativamente à verificação da segurança à rotura, ilustram-se procedimentos gerais para a

sua implementação, verificando-se as zonas com necessidade de mais armadura para além da

malha geral adoptada.

Palavras-chave:

projecto

pré-esforço

elementos de parede

deformabilidade

interacção entre pórticos

verificação da segurança

ii

Design and detail of structural elements such as wall elements

with prestressed concrete

Abstract

This paper aims to apply, in a case study, a methodology for design of structures with wall

elements where the use of prestressed is required.

Based on a recently developed project for the new Savoy Hotel in Funchal, it was considered a

particular part of the structure that serves as basis for this work. In this part of the building there

was a need, due to urban and architectural reasons, to cause an eccentricity of the volume on

the upper floors relatively to the other floors. Three wall alignments, which have some

interaction between them, where predicted. These frame walls were designed, in order to

balance the deformation of the global console through the prestress effect. A study to design

prestress cables layout and its quantities was done, showing a good result in deformation terms

with an economically solution that controls cracking as well.

The final solution proved to be acceptable, with nearly no deflections at the ends of the

consoles and prestress quantity easily accommodated in the walls at cables crossing an in the

anchoring zones. Regarding the ultimate state limit, the design procedures adopted are shown

with steel quantities that led to a safe and easy to apply solution.

Keywords:

project

prestress

wall elements

deformability

frames interaction

safety requirements

iii

Índice

RESUMO I

ABSTRACT II

ÍNDICE III

ÍNDICE DE TABELAS V

ÍNDICE DE FIGURAS VII

SIMBOLOGIA X

1 INTRODUÇÃO 1

2 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 3

2.1 INTRODUÇÃO 3

2.2 ANÁLISE DE PROBLEMAS DE ELASTICIDADE PLANA 4

2.2.1 TEORIA DA ELASTICIDADE PLANA 4

2.2.2 CÁLCULO DE SOLUÇÕES APROXIMADAS 6

3 O PRÉ-ESFORÇO 8

3.1 INTRODUÇÃO 8

3.2 CARACTERÍSTICAS DO AÇO DE PRÉ-ESFORÇO 10

3.3 ANÁLISE ELÁSTICA DE VIGAS COM PRÉ-ESFORÇO 13

3.4 PERDAS DE TENSÃO 16

3.4.1 PERDAS INSTANTÂNEAS 16

3.4.2 PERDAS DIFERIDAS 19

3.5 ANÁLISE DE SECÇÕES EM ESTADO LIMITES ÚLTIMO 21

3.6 EFEITO DE ESTRUTURAS HIPERSTÁTICAS 23

3.7 APLICAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO EM ELEMENTOS DE PAREDE 24

3.7.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS EM ELEMENTOS DE

PAREDE 25

4 ENQUADRAMENTO GERAL DO CASO DE ESTUDO 35

iv

5 ANÁLISE DO EIXO L 39

5.1 ANÁLISE INDEPENDENTE DO EIXO L 41

5.1.1 SEM PRÉ-ESFORÇO 43

5.1.2 1ª SOLUÇÃO DE TRAÇADO DE CABOS DE PRÉ-ESFORÇO 44

5.1.3 2ª SOLUÇÃO DE TRAÇADO DE CABOS DE PRÉ-ESFORÇO 46

5.1.4 COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES 47

6 ANÁLISE GLOBAL 50

6.1 ANÁLISE DO EIXO L 52

6.2 ANÁLISE DO EIXO M 55

6.3 ANÁLISE DO EIXO N 60

6.4 ANÁLISE DAS QUANTIDADES DE PRÉ-ESFORÇO 63

6.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 64

6.5.1 ANÁLISE ÀS DEFORMAÇÕES 65

6.5.2 ANÁLISE ÀS TENSÕES 67

6.6 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 69

7 CONCLUSÃO 75

8 BIBLIOGRAFIA 76

ANEXOS 77

ANEXO 1: DIAGRAMAS DE FORÇAS PARA COMBINAÇÃO QUASE PERMANENTE 78

ANEXO 2: DIAGRAMAS DE FORÇAS EM ESTADO LIMITE ÚLTIMO 82

ANEXO 3: DESENHOS 88

v

Índice de Tabelas

Tabela 1 – Propriedades usuais de um cordão de pré-esforço . 11

Tabela 2 – Propriedades dos cabos de pré-esforço com diâmetros de bainhas e forças máximas

associadas1. 11

Tabela 3 – Características do aço de pré-esforço. 12

Tabela 4 – Esforços nas zonas indicadas da parede do Eixo L. 41

Tabela 5 – Cargas consideradas na parede do Eixo L, quando considerado isoladamente. 42

Tabela 6 – Acções admitidas nos pisos para determinação das cargas a considerar no pórtico L isolada

para as cargas quase permanentes (ψ2=0.2). 42

Tabela 7 – Esforços nas zonas críticas da parede do Eixo L, para a combinação fundamental de acções

com o modelo isolado. 43

Tabela 8 – Quantidade de armadura nas secções de esforços máximos no elemento do Eixo L

determinados pelo método de elementos finitos. 43


determinados pelo método tradicional. 44

Tabela 10 – Forças de pré-esforço para os cabos da solução com cabos rectos. 45

Tabela 11 – Forças de pré-esforço para o traçado de cabos da solução com cabos curvos. 47

Tabela 12 – Tabela de referência do processo iterativo. 51

Tabela 13 – Deformações obtidas para os traçados de cabos com 1 cabo parabólico e 2 cabos a fazer o

mesmo efeito. 54

Tabela 14 – Deformação relativa da extremidade da consola em cada pórtico para o pré-esforço a

actuar no eixo L. 55

Tabela 15 – Deformação da consola devido a forças de pré-esforço a actuar com ou sem o cabo

número 3. 58

Tabela 16 – Deformação da consola devido a forças de pré-esforço de 1000KN nos cabos com

extremidades em recta ou em parábola. 59


actuar no eixo M. 60


actuar no eixo N. 62

Tabela 19 – Quadro referência para uma força de 1000KN em cada cabo de pré-esforço. 63

Tabela 20 – Forças de pré-esforço finais adoptadas em cada cabo. 64

Tabela 21 – Número de cordões adoptados em cada eixo. 64

Tabela 22 – Deformações nos respectivos pórticos após aplicação do pré-esforço. 65

Tabela 23 – Determinação das zonas referentes ao método de cálculo de armaduras nos pontos

indicados. 70

Tabela 24 – Determinação das armaduras referentes aos pontos indicados. 71

vi

Tabela 25 – Determinação das zonas referentes ao método de cálculo de armaduras nos pontos da

zona de aberturas. 72

Tabela 26 – Determinação das armaduras referentes aos pontos da zona de aberturas. 72

vii

Índice de Figuras

Figura 1 – Modelo tridimensional do edifício com evidência dos pórticos/parede adoptados. 1

Figura 2 – Crescimento da indústria de betão pré-esforçado nos Estados Unidos e Canadá [11]. 9

Figura 3 – Gráfico tensão-deformação de um aço de pré-esforço. 12

Figura 4 – Fases da vida de um elemento pré-esforçado, por pré-tensão. 14

Figura 5 – Diagrama de tensões num elemento de viga sujeito à aplicação de pré-esforço. 15

Figura 6 – Esquema geral do efeito do atrito nos cabos de pré-esforço. 17

Figura 7 – Diagrama de representação de perdas por reentrada de cunhas. 18

Figura 8 – Comportamento em E.L.U. de uma viga sujeita à flexão. 21

Figura 9 – Viga hiperstática sujeita a pré-esforço. 23

Figura 10 – Forças necessárias para estabelecer o equilíbrio no elemento de placa. 26

Figura 11 – Equilíbrio de forças segundo as direcções de disposição de armadura. 26

Figura 12 – Distribuição das zonas I, II, III e IV. 28

Figura 13 – Equilíbrio de um elemento de placa à compressão. 29

Figura 14 – Círculo de Mohr para um estado de compressão biaxial. 30

Figura 15 – Modelo de viga simplesmente-apoiada com um vão de 10.8m sujeita a 10KN/m. 31

Figura 16 – Diagrama de forças F11 [MN/m] na viga considerada como exemplo. 32

Figura 17 – Diagrama de forças na secção da viga considerada como exemplo. 32

Figura 18 – Fotomontagem do edifício em estudo. 35

Figura 19 – Modelo tridimensional da zona do edifício em estudo. 36

Figura 20 – Modelo e corte do eixo L. 37

Figura 21 – Modelo e corte do eixo M. 37

Figura 22 – Modelo e corte do eixo N. 38

Figura 23 – Diagrama de Forças F₁₁ [MN/m] no elemento de parede do Eixo L, na modelação conjunta

da estrutura para uma combinação fundamental. 39

Figura 24 – Equivalência entre o momento global e os momentos inferior e superior das consola e o

efeito global de flexão. 40

Figura 25 – Resultantes do diagrama de tensões axiais nas secções indicadas. 41

Figura 26 – Distribuição de cargas no elemento de parede do eixo L. 42

Figura 27 – 1ª solução de traçado de cabos de pré-esforço no eixo L. 44

Figura 28 – Deformada da parede do Eixo L devido ao pré-esforço a actuar isoladamente na consola

inferior. 45

Figura 29 – Traçado do cabo de pré-esforço adoptado e diagrama de forças F₁₁ [MN/m] para a

combinação quase permanente, na parede do Eixo L. 46

Figura 30 – Traçado de cabos da 2ª solução. 47

Figura 31 – Diagramas de Forças F₁₁ [MN/m] antes da aplicação do pré-esforço na parede do Eixo L,

para uma combinação quase permanente de acções. 48

viii

Figura 32 – Diagramas de Forças F₁₁ [MN/m] após a aplicação do pré-esforço na parede do Eixo L, para

uma combinação quase permanente de acções. 48

Figura 33 – Deformada do elemento de parede do eixo L nas soluções inicial e final para uma

combinação quase permanente de acções. 49

Figura 34 – Representação da deformação relativa da consola. 51

Figura 35 – Diagrama de forças F11 e F22 [MN/m] devido a cargas quase permanentes na parede do

eixo L. 52

Figura 36 – 1º Traçado de cabos no eixo L, com um cabo parabólico-recto e um cabo recto vertical no

pilar direito. 53

Figura 37 – Traçado de cabo curvo concebido para o eixo L. 53

Figura 38 – Variação da extremidade do traçado do cabo parabólico. 54

Figura 39 – Solução de traçado de cabos no eixo L. 55

Figura 40 – Zona de descontinuidade no pórtico do eixo M. 56

Figura 41 – Diagramas de forças F11 [MN/m] devido a cargas quase permanentes na direcção

horizontal na parede do Eixo M. 56

Figura 42 – Diagramas de forças F22 [MN/m] devido a cargas quase permanentes na direcção vertical

na parede do Eixo M. 57

Figura 43 – 1ª solução de traçado de cabos na parede do eixo M. 57

Figura 44 – Modelo de encaminhamento das cargas no eixo M. 58

Figura 45 – Extremidade dos cabos curvos em parábola. 59

Figura 46 – Solução de traçado de cabos no eixo M. 60

Figura 47 – Diagrama de forças F11 e F22 [MN/m] devido às cargas quase permanentes na parede do

eixo N. 61

Figura 48 – Solução de traçado de cabos adoptado no eixo N. 62

Figura 49 – Pormenorização do cruzamento de cabos na zona de ligação do eixo M. 65

Figura 50 – Deformada da parede do eixo L para a actuação das cargas permanentes e das forças de

pré-esforço. 66

Figura 51 – Deformada da parede do eixo M para a actuação das cargas permanentes e das forças de

pré-esforço. 66

Figura 52 – Deformada da parede do eixo N para a actuação das cargas permanentes e das forças de

pré-esforço. 67

Figura 53 – Diagrama de forças F11 [MN/m] para a combinação quase permanente no eixo L, após

aplicação do pré-esforço. 68

Figura 54 – Diagrama de forças F11 [MN/m] para a combinação quase permanente no eixo M, após

aplicação do pré-esforço. 68

Figura 55 – Diagrama de forças F11 [MN/m] na parede do eixo L indicando os pontos para aplicação do

método de determinação da armadura na zona superior. 70

ix

Figura 56 – Diagrama de forças F11 [MN/m] na parede do eixo L indicando os pontos para aplicação do

método de determinação da armadura na zona das aberturas. 72

Figura 57 – Pormenorização de armaduras horizontais no eixo L. 73

Figura 58 – Pormenorização de armaduras verticais no eixo L. 74

x

Simbologia

Maiúsculas Latinas

A área operador diferencial de compatibilidade

Ac área da secção de betão

Ap área de armadura de pré-esforço

As área de armadura ordinária operador diferencial de compatibilidade

operador diferencial de relações constitutivas

E módulo de elasticidade , módulo de elasticidade do betão após a consideração da fluência

Ecm modulo de elasticidade do betão

Ep módulo de elasticidade da armadura de pré-esforço

F força

vector das forças do elemento

Fc resultante da força de compressão na secção

Fp resultante da força de pré-esforço

Fs resultante da força de tracção na armadura ordinária na secção

I inércia da secção matriz de rigidez do elemento

L comprimento do elemento

LN linha neutra

M valor do momento flector

Mh valor do momento flector hiperstático

Msd valor de cálculo do momento flector actuante na secção

N esforço axial

P valor da força de pré-esforço a longo prazo

Po valor da força de pré-esforço inicial

W Módulo de flexão elástico

Minúsculas Latinas

a altura entre a resultante de zona comprimida e a armadura traccionada numa secção

b largura da secção transversal

d altura útil da secção

vector dos deslocamentos livres do elemento

xi

e excentricidade do cabo em relação ao centro de gravidade da secção

vector das forças de massa do elemento

fcd valor de cálculo de resistência do betão à compressão

fck valor característico de resistência do betão à compressão

fp0,1k valor característico de cedência de aços de alta resistência

fpk valor característico da resistência de aços de alta resistência

fpyd valor de cálculo de cedência da aços de alta resistência

fyd valor de cálculo de cedência de armadura ordinária

h altura da secção

l comprimento do elemento

k desvio angular parasita vector normal exterior esforço axial na direcção x esforço axial na direcção y

p valor da carga distribuída ao longo de uma viga

tensor das tensões numa fronteira T

u coeficiente de atrito vector dos deslocamentos independentes do elemento

x altura da zona comprimida numa secção

Maiúsculas Gregas

Δ incremento

vector das funções de aproximação domínio do elemento

Minúsculas Gregas

β soma dos ângulos de desvio

δ valor da deformação vector das deformações independentes do elemento extensão de retracção do betão extensão da armadura de pré-esforço instantânea

ângulo do campo de compressões coeficiente de Poisson esforço de corte no elemento factor de eficiência

xii

tensão tensor das tensões tensão a tempo infinito

ω percentagem mecânica de armadura

φ (t,ti) coeficiente de fluência no intervalo de tempo [t,ti]

φc coeficiente de fluência do betão

Abreviaturas

E.L.U. Estado Limite Último

C.Q.P. Combinação Quase Permanente

P.P. Peso Próprio

R.C.P. Restante Carga Permanente

SC. Sobrecarga

1

1 Introdução

No último século, os avanços tecnológicos ao nível da Engenharia Civil e, em particular, na

construção foram bastante significativos, apesar de nem sempre reconhecidos pela

comunidade em geral. No que diz respeito aos materiais mais “tradicionais” como o betão,

houve uma grande inovação através do estudo da sua composição e na descoberta de novos

materiais com melhores características que se adaptam a situações muito adversas. Por outro

lado, o avanço no campo da informática foi enorme, o que permitiu o desenvolvimento de

software de cálculo com potencialidades para analisar situações estruturalmente complexas e

ao alcance da generalidade dos projectistas. Estes aspectos são apenas um exemplo das

razões porque hoje é possível conceber estruturas que há um século atrás seriam

impensáveis, sendo permitida a arquitectos e engenheiros uma muito maior capacidade para

desenvolver as suas estruturas. É neste contexto que a execução de projectos com soluções

muito diferentes e complexas são possíveis em prazos muito curtos como o caso que serve de

base a este trabalho, o Hotel Resort Savoy.

Com base no referido projecto, é neste trabalho estudada uma solução estrutural para viabilizar

o projecto de uma zona do referido edifício em que um volume dos pisos superiores tem uma

excentricidade face aos restantes. Em termos de concepção estrutural, surgiu a necessidade

de criar as condições para rigidificar esta zona no seu conjunto e poder aplicar o pré-esforço de

uma forma eficaz, pelo que foram criados três pórticos/parede dispostos como se observa na

Figura 1. Verificou-se que, com a aplicação do pré-esforço, existe interactividade entre os

vários pórticos tornando esta situação sem uma solução directa e única, necessitando, na sua

resolução, de um conjunto de iterações até se obter um bom resultado.

Figura 1 – Modelo tridimensional do edifício com evidência dos pórticos/parede adoptados.

2

Tal como neste projecto, outras situações com uma volumetria do mesmo tipo terão certamente

uma concepção idêntica, passando inicialmente pela rigidificação da estrutura e, se houver a

necessidade, a aplicação do pré-esforço. Por este motivo, houve neste estudo a preocupação

de apresentar uma metodologia que se possa adaptar a outras situações. Em primeiro plano, a

compreensão e percepção do comportamento da estrutura torna-se essencial para a

concepção de uma solução para a estrutura. Em seguida, a concepção de uma solução de

traçado de cabos e das suas quantidades tendo em conta a interacção estrutural torna-se, em

geral, num processo iterativo que foi muito interessante neste estudo. Finalmente, na

verificação à rotura nos elementos de parede é apresentada com base numa metodologia que

permite o dimensionamento das armaduras em das direcções que não são as principais.

3

2 Método dos Elementos Finitos

2.1 Introdução

Em situações correntes de Engenharia Civil, deparamo-nos com problemas complexos, em que

uma análise manual de cada zona em separado torna-se uma tarefa difícil e pouco fiável, deste

modo, é corrente recorrer a programas de cálculo automático para poder ter a percepção do

comportamento global de uma estrutura. A avaliação do comportamento da zona estudada

neste trabalho é certamente uma dessas situações em que um modelo global foi essencial na

determinação de esforços e deformações, em especial devido à interacção existente entre os

elementos de parede da estrutura estudada.

Ferramentas deste tipo utilizam formulações baseadas no método dos elementos finitos. O

método dos elementos finitos é um método numérico que permite, hoje em dia, obter uma

aproximação da solução de qualquer problema estrutural. Normalmente, no âmbito da

Engenharia de estruturas, os problemas têm uma solução analítica “exacta”, mas é conhecido,

que mesmo no caso de problemas de elasticidade linear há situações, como em placas ou

lajes, em que a solução exacta não pode ser determinada, recorrendo-se, então, a um

processo de aproximação obtido com rigor suficiente para um projecto de engenharia. Este tipo

de aproximações faz com que os resultados, em termos de esforços e deformações, tenham

um erro pequeno quando comparado com a utilidade deste tipo de ferramentas. Dos vários

tipos de formulações que podem existir, a mais simples é a de garantir que os deslocamentos

são compatíveis entre os nós comuns dos elementos e que, naturalmente, as condições de

apoio da estrutura não são violadas.

Para as paredes pré-esforçadas, podemos estudá-los como um problema de placa em que se

admite um estado plano de tensão, ou seja, que a parede é uma peça laminar plana e que os

esforços estão aplicados no seu plano médio. A espessura da placa é constante e não existem

tensões perpendicularmente ao plano da placa tendo-se portanto um problema bidimensional.

Apresentam-se em seguida as bases da teoria da elasticidade plana e de formulação dos

elementos finitos.

4

2.2 Análise de Problemas de Elasticidade Plana

2.2.1 Teoria da elasticidade plana

Para um dado elemento com um domínio contínuo bidimensional Ω, podemos admitir um

campo de deslocamentos

! ", #, #$ (2.1)

em que ux e uy representam o deslocamento de qualquer ponto do domínio em relação a um

referencial escolhido.

Admitindo como válida a hipótese dos pequenos deslocamentos, podemos definir a relação

deformações-deslocamento por

! . , (2.2)

em que A é um operador diferencial de compatibilidade,

!&'''() )* 00 ) )#*) )#* ) )* ,-

--. (2.3)

e ε o tensor das deformações dado por,

! / , #, #0, #1. (2.4)

As relações constitutivas ou relações tensão-deformação são dadas por,

! . (2.5)

em que σ é o tensor das tensões dado por,

5

! / , #, #, #1 (2.6)

e D é um operador que relaciona os dois vectores, dependente do módulo de elasticidade E e o

coeficiente de Poisson ν. Para o caso de um estado plano de tensão temos,

! 23456 /1 0 1 00 0 34568

1. (2.7)

Através destas duas relações (compatibilidade e constitutivas), num elemento sujeito a um

carregamento no seu domínio que introduza um campo de deslocamentos u, é possível

determinar o campo de tensões nesse mesmo elemento. Ao introduzir mais uma relação

fundamental, a relação de equilíbrio, é possível determinar, a partir das forças de massa

existentes e/ou de outras forças aplicadas, as tensões que surgem na fronteira do elemento de

modo a verificar o equilíbrio global do elemento. Deste modo, podemos definir um vector de

forças de massa dado por,

! ", #, #$ (2.8)

que deve respeitar a equação de equilíbrio

9 . : ! 0. (2.9)

Do mesmo modo se pode determinar as componentes do tensor das tensões numa fronteira Τ,

! ", #, #$ (2.10)

numa faceta com normal exterior,

! " , # , #$ (2.11)

se se verificarem as equações de equilíbrio definidas por,

; ! : ! : <. (2.12)

6

2.2.2 Cálculo de soluções aproximadas

A solução exacta de um problema de elasticidade plana satisfaz simultaneamente as condições

de compatibilidade, as relações constitutivas e as condições de equilíbrio. Contudo, na maioria

das situações correntes, não é possível obter a expressão analítica da solução exacta com um

número finito de parcelas. Portanto, é necessário obter uma solução aproximada, sendo a

alternativa mais simples a de determinar uma solução que seja compatível, conseguindo-se

garantir de forma exacta as relações de compatibilidade, mas não as relações de equilíbrio.

Surge assim, o conceito de funções de aproximação ψ (x), tal que,

! Ψ. (2.13)

em que d corresponde ao vector de deslocamentos livres do elemento e o vector > (x), as

funções que representam a deformada do elemento quando o respectivo deslocamento livre di

toma o valor unitário. Deste modo, quaisquer que sejam os valores do vector d, o campo de

deslocamentos é compatível.

Aplicando a teoria da elasticidade plana, podemos escrever novamente as três relações

fundamentais. As deformações correspondem a

! .Ψ. ? ! . (2.14)

e,

! @1 00 00 1A. (2.15)

As tensões são determinadas através de,

! . . . (2.16)

Ao aplicar estas equações a casos práticos, verifica-se que não é possível equilibrar as

tensões obtidas e forças de massa com o carregamento imposto no elemento para quaisquer

valores de d. No entanto, é possível calcular estes valores que conseguem equilibrar o trabalho

das mesmas tensões e forças de massa com o trabalho realizado pelo carregamento através

do Principio do Trabalhos Virtuais. Obtém-se assim a seguinte equação matricial,

B 9Ω Ω D d ! B Ψ9Ω Ω : B Ψ9Ω Τ. (2.17)

7

Em resumo, podemos escrever esta mesma equação na forma,

. ! . (2.18)

em que a matriz K é a matriz de rigidez e F o vector de forças. Cada componente da matriz K

representa o valor da força no sistema quando é aplicado o deslocamento unitário

correspondente. Resolvendo o sistema de equações, obtém-se as componentes do vector d

que correspondem à solução do problema e que permitem depois, pelas equações anteriores

avaliar os estados de deformação (2.14) e de tensão (2.16) no elemento.

8

3 O Pré-esforço

3.1 Introdução

A técnica de pré-esforço apresenta um campo de aplicação que não se restringe apenas ao

betão pré-esforçado. Por exemplo, há séculos que esta técnica é aplicada em barris de vinho,

onde barras metálicas são aquecidas previamente para depois comprimir a madeira que

constitui os barris, evitando assim a possibilidade de haver fugas de líquido. É interessante

notar que este princípio é usado hoje em dia, no pré-esforço de reservatórios em betão

estrutural para contribuir para o mesmo efeito, a estanquidade.

Embora tivessem existido diversas tentativas de utilizar a técnica de pré-esforço nas estruturas

de betão no final do século XIX, não emergiu como uma solução aceitável até meio século

mais tarde, quando o engenheiro francês, Eugene Freyssinet, contrariou com eficiência os

fenómenos de fluência e retracção ao longo do tempo, utilizando aços de alta resistência como

armadura de pré-esforço. Após a aplicação do pré-esforço, o betão continua a deformar-se

com o tempo devido aos fenómenos referidos, podendo chegar a causar um encurtamento total

de cerca de 0.7 a 0.8/1000 do seu comprimento. Ora com o aço normal não seria razoável

impor à partida, extensões superiores a 1.5/1000 o que implicaria que a maior parte da acção

do pré-esforço era perdida devido às perdas por encurtamento do betão ao longo do tempo.

Com o aço de alta resistência, por outro lado, conseguem-se extensões impostas da ordem de

7/1000. Deste modo, ao surgir o efeito do encurtamento do betão, a tensão no aço só é

afectada numa percentagem da ordem de 10 a 15%.

De facto, só depois da segunda guerra mundial, com os avanços tecnológicos na produção do

betão e com a obtenção de aços de maior resistência, o betão pré-esforçado passou a ser uma

escolha clara na reconstrução da Europa do pós-guerra e na América, como mostra a Figura 2.

Uma das primeiras obras mais importantes com o recurso ao pré-esforço terá sido a

reconstrução do porto transatlântico em Le Havre, na Normandia, concebida por Freyssinet, em

1933 [11]. O pré-esforço veio permitir que as limitações de projecto, quer no comprimento dos

vãos como no nível de carga, pudessem ser superadas nas estruturas de betão face aos

valores correntes. Deste modo, arquitectos e engenheiros têm agora mais possibilidades nas

opções de concepção das suas estruturas tendo menos limitações, em termos de comprimento

de vãos livres e de esbeltezas.

9

Figura 2 – Crescimento da indústria de betão pré-esforçado nos Estados Unidos e Canadá [11].

A resistência do betão à tracção é baixa, apenas cerca de 1/12 da resistência à compressão,

sendo natural a utilização do aço no betão armado para resolver essa insuficiência num

material de grande utilidade face à sua facilidade de moldagem. Assim, nas zonas passíveis de

se desenvolverem forças de tracção, são dispostas armaduras formando assim o tradicional

betão armado, que, no entanto apresenta várias limitações. O betão que envolve as armaduras

não acompanha a sua extensão, surgindo assim, fendas, que deverão ser controladas, mas

não podem ser evitadas. Como é conhecido, o betão é pesado e uma parcela importante acaba

por não ter uma contribuição significativa para a rigidificação da estrutura, servindo para

envolver as armaduras e contribuindo para o peso próprio da estrutura. Assim, torna-se lógico

aumentar o rendimento da participação do betão, introduzindo forças internas de tal modo que

nas zonas de tracções devido às cargas, se tenha a parcial ou total compressão do material.

No betão pré-esforçado as tensões de compressão introduzidas pelos cordões de aço de alta

resistência vão contrariar as tensões de tracção devidas às cargas normais de serviço.

As forças de compressão introduzidas pelo pré-esforço podem ser por pré-tensionamento ou

pós-tensionamento das armaduras. No aço pré-tensionado, o aço é esticado antes que o betão

esteja colocado. Os cordões de aço são colocados entre dois pontos fixos e esticados a 70 a

80 por cento da sua força máxima e só depois se procede à betonagem. Após o betão ter

alcançado a resistência requerida, as forças nas ancoragens dos cabos são libertadas e por

aderência das extremidades da peça, são introduzidas as forças de compressão no betão. No

método de pós-tensionamento, o aço é esticado depois do betão fazer presa. A betonagem é

10

feita deixando bainhas para os cabos de pré-esforço, não existindo contacto com o aço. Uma

vez endurecido o betão, os cordões de aço são introduzidos nas bainhas e esticados nas

extremidades onde são ancorados, transmitindo aí as forças de compressão ao betão.

Um projectista de estruturas em betão estrutural procura a segurança, funcionalidade,

durabilidade, economia e estética e para alcançar estes objectivos, o engenheiro deve ter um

conhecimento aprofundado dos princípios do comportamento do betão pré-esforçado. A

concepção de estruturas deste tipo deve ter em conta três fases distintas, mas que se

interligam entre si: a concepção, a análise e o dimensionamento, sendo que a concepção do

pré-esforço é a fase mais interessante e criativa de todo este processo. Tendo em conta as

limitações de funcionalidade próprias de cada obra, a fase de concepção envolve arte,

experiência, conhecimento das técnicas de construção, intuição e criatividade. Na maior parte

dos casos, o engenheiro tem em consideração o conhecimento adquirido em experiências

passadas como guia para a solução mais eficiente e económica. Na fase de análise, a

estrutura é idealizada como um conjunto de elementos estruturais, onde é considerada a actuar

a distribuição de cargas aplicadas, sendo avaliadas as deformações, as tensões e as suas

resultantes (esforços) identificando-se as zonas de principal preocupação. Nesta fase, é

assumido um comportamento elástico linear e a estrutura é analisada com recurso a

programas de cálculo automático. Na fase de dimensionamento, é verificada a segurança dos

elementos que compõem a estrutura para as diferentes combinações de acções, sendo

verificadas as dimensões dos elementos e calculadas as quantidades de armadura necessária,

tanto ordinária como de pré-esforço. Neste trabalho, é dada especial atenção à explicação da

segunda e terceira fase do processo relativo à estrutura do caso de estudo.

3.2 Características do Aço de Pré-esforço

O aço de pré-esforço pode ser usado de várias formas, usualmente como fios, cabos ou

barras. Os cabos de pré-esforço são constituídos por um conjunto de cordões que, por sua vez

são compostos por fios entrelaçados entre si com propriedades de alta resistência. Através de

processos de fabrico próprio, conseguem-se soluções com capacidades resistentes 3 a 4

vezes mais elevadas que das armaduras ordinárias. As tabelas seguintes indicam as

propriedades dos cordões e cabos normalmente utilizados em Portugal,

11

Tabela 1 – Propriedades usuais de um cordão de pré-esforço 1.

Tabela 2 – Propriedades dos cabos de pré-esforço com diâmetros de bainhas e forças máximas

associadas1.

Os diagramas tensão-deformação de fios de aço de alta resistência usados no pré-esforço

mostram que a rotura ocorre entre 4 a 6% de extensão do aço após um patamar de cedência

considerável. A tensão última característica, fpk, na maioria dos aços de alta resistência é

compreendida entre 1700MPa a 1900MPa, comparada com a tensão de um aço ordinário de

400MPa a 600MPa, e o módulo de elasticidade toma normalmente valores de 190GPa a

200GPa. Como se observa pelo diagrama da Figura 3, não é claro o início da cedência do aço,

pelo que se introduz o conceito de tensão de cedência equivalente. O valor definido para esta

tensão é o ponto na curva tensão-deformação que intersecta uma linha com inclinação igual ao

módulo de elasticidade e que começa com 0.1‰ da extensão do aço, tal como indica a Figura

3 [8].

1 Fonte: VSL International, Post-Tensioning System

Euronorm ASTM Euronorm ASTM

Diâmetro Nominal [mm] 12.9 12.7 15.7 15.2

Área [mm²] 100 98.7 150 140

Massa [kg/m] 0.785 0.775 1.18 1.10

Tensão de Cedência [MPa] 1580 1670 1500 1670

Tensão Máxima [MPa] 1860 1860 1770 1860

Força Pré-esforço Maxima [KN] 186.0 183.7 265.0 260.7

Módulo de Elasticidade [Gpa]

Tipo de Cordão13 mm (0.5'') 15 mm (0.6'')

≈ 195

Euronorm ASTM

1 25/30 186 184

2 40/45 372 367

3 40/45 558 551

4 45/50 744 735

6 50/55 1116 1102

7 55/60 1302 1286

12 65/72 2232 2204

18 80/87 3348 3307

19 80/87 3534 3490

22 85/92 4092 4041

31 100/107 5766 5695

37 120/127 6882 6797

43 130/137 7998 7899

55 140/150 10230 10104

13 mm (0.5'')

nº de

cordões

Diâmetro

Interno/Externo

Força Pré-esforço Maxima [KN]

Euronorm ASTM

1 30/35 265 261

2 45/50 530 521

3 45/50 795 782

4 50/55 1060 1043

6 60/67 1590 1564

7 60/67 1855 1825

12 80/87 3180 3128

18 95/102 4770 4693

19 95/102 5035 1953

22 110/117 5830 5735

31 130/137 8215 8082

37 140/150 9805 9646

43 150/160 11395 11210

55 170/180 14575 14339

15 mm (0.6'')

nº de

cordões

Diâmetro

Interno/Externo

Força Pré-esforço Maxima [KN]

12

Figura 3 – Gráfico tensão-deformação de um aço de pré-esforço.

As dimensões dos fios variam entrem 2mm a 8mm de diâmetro. Os cordões são normalmente

conjuntos de 7 fios entrelaçados em hélice e têm diferentes diâmetros dependendo dos fios

utilizados, estando usualmente compreendidos entre 8mm a 18mm. No estudo apresentado

neste trabalho, foi utilizado o aço A1860/1670 com cordões de 1.5cm2 de área.

Tensão Última (fpk) Tensão de Cedência (fp0,1k) Módulo de Elasticidade (E)

1860 MPa 1670 MPa 195 GPa

Tabela 3 – Características do aço de pré-esforço.

Para um aço com estas características, é possível conhecer a força máxima que cada cordão é

capaz de mobilizar,

! D G 1860 D 10J D 1.5 D 104L ! 279P (3.1)

No entanto, sabemos que é conveniente limitar a força de pré-esforço a aplicar nos cabos a

0,75fpk ou 0,85fp,01,k para que se disponha de uma reserva em relação ao início da cedência do

aço, existindo indicação da regulamentação nesse sentido. Por outro lado, se tivermos em

conta perdas de tensão nos cabos, cerca de 10% para perdas instantâneas e 20% para perdas

diferidas (apresentadas com mais pormenor nos capítulos seguintes), podemos estimar a

tensão última em cada cordão de pré-esforço a longo prazo,

! 1860 D 10J D 0.75 D 0.80 D 0.90 Q 1000 RST (3.2)

logo, a força útil de um cordão é da ordem de,

! 1000 D 10J D 1.5 D 104L Q 150P (3.3)

13

Este valor é um dado de base que nos facilita a avaliação expedita das quantidades de pré-

esforço, nomeadamente na definição do número de cordões e/ou cabos, uma vez determinada

a força de pré-esforço necessária para um dado traçado de cabos.

3.3 Análise Elástica de Vigas com Pré-esforço

A função do pré-esforço é melhorar a resposta do elemento às acções externas. O pré-esforço

produz um sistema de forças internas auto-equilibradas constituído por forças de tracção nos

cabos de pré-esforço e forças de compressão no betão. Devido a este sistema auto-

equilibrado, a concepção e o dimensionamento do betão pré-esforçado torna-se especial face à

utilização de outras possíveis soluções. No betão pré-esforçado, é necessário ter em conta

todos as fases da aplicação do pré-esforço, pois pode haver situações condicionantes a

quando da aplicação do pré-esforço. Existem então, várias limitações durante as fases de vida

de um elemento a pré-esforçar (ver Figura 4 para o caso de um elemento pré-tensionado):

a) Aplicação da força no cabo: é necessário limitar a tensão máxima no aço de pré-

esforço e verificar as tensões transmitidas pela ancoragem.

b) Análise do estado de tensão inicial: é necessário verificar quando o nível de cargas

aplicadas é baixo e o valor de pré-esforço elevado, antes das perdas, se os estados

limites em termos de tensões ou aberturas de fendas são respeitados.

c) Durante a vida útil da estrutura: é necessário verificar que, após os fenómenos de

fluência e retracção e outras perdas de tensão, a estrutura tem um comportamento

adequado sem exibir deformações e fendilhação excessivas.

d) Situação de rotura: finalmente, é necessário verificar que o nível de segurança à

rotura do elemento é adequado face às exigências regulamentares.

14

Figura 4 – Fases da vida de um elemento pré-esforçado, por pré-tensão.

Um elemento pré-esforçado, apesar de passar pelas fases descritas, é normalmente

dimensionado para que não apresente fendilhação nas zonas principais após a aplicação das

cargas quase permanentes, ou seja, para que a fibra mais traccionada do elemento não

exceda a tensão mínima de tracção do betão sob cargas permanentes, o que equivale em

geral a contrariar 80 a 90% das cargas permanentes. Sendo assim, consideram-se duas fases

distintas, a fase imediatamente seguida ao tensionamento dos cabos e consequente

compressão do elemento, em que a força devida ao pré-esforço é máxima e as cargas

permanentes são mais baixas, usualmente apenas o peso próprio (fase a) e b)). A outra fase

ocorre ao longo do tempo com o pré-esforço a ter as perdas diferidas, as cargas permanentes

com um nível superior e, ainda, uma certa percentagem das sobrecargas (fase c)). Esta é a

fase para a qual se dimensionam as forças de pré-esforço.

15

O método normal para avaliar o valor de pré-esforço é considerando-o como uma acção

separada das outras acções permanentes aplicadas no elemento. A Figura 5 representa os

diagramas de tensões num elemento de viga, devido à aplicação do pré-esforço, ao efeito das

cargas e à sua sobreposição para obter as condições de tensão final na altura do elemento.

Figura 5 – Diagrama de tensões num elemento de viga sujeito à aplicação de pré-esforço.

Ao definir-se o critério que todas as fibras da secção em questão não estejam traccionadas, a

força necessária para puxar o cabo é o da descompressão. Para tal usamos a seguinte

expressão,

U V.W U VX Y 0 (3.4)

onde,

• W é o módulo de flexão elástico

• A é a área da secção

• e é a excentricidade da força P

• P é a força de pré-esforço nos cabos

A expressão é facilmente explicada, pois a tensão na fibra mais traccionada tem de ser

compensada pela tensão imposta pelo cabo de pré-esforço, avaliando-se assim a força

necessária a ter no cabo. O facto de se igualar a zero garante a não existência de tracções na

secção.

É de facto, importante referir neste capítulo, que a primeira avaliação do pré-esforço é, em

serviço, para uma combinação quase permanente de acções, em geral, para avaliar a acção do

pré-esforço como forma de anular ou contrariar uma parcela importante da deformação e/ou

controlar o nível de tensões. Só posteriormente se verifica a segurança à rotura para a

combinação fundamental. Esta ordem processual é compreensível, pois o pré-esforço é

concebido, no essencial, para assegurar o bom funcionamento da estrutura durante a vida útil

desta e não com a preocupação principal de assegurar a capacidade resistente da estrutura.

16

3.4 Perdas de Tensão

Geralmente denomina-se por perdas de tensão de pré-esforço à diferença entre a força no

cabo de pré-esforço no momento da sua aplicação e a força exercida no mesmo cabo em

qualquer outro momento da vida da estrutura.

As perdas de tensão nos cabos de pré-esforço constituem um inconveniente que tem de ser

tido em consideração. Efectivamente, será necessário aplicar uma força de pré-esforço inicial

superior, para que se consiga a força desejável a longo prazo. Logo, o dimensionamento de um

elemento de betão pré-esforçado é efectuado com base na avaliação da tensão no betão após

as perdas de força nos cabos. É, assim, essencial para o cálculo, efectuar uma previsão das

perdas de que permita o correcto dimensionamento.

Diferenciaremos as perdas instantâneas das perdas diferidas ao longo do tempo para poder ter

em conta o valor inicial da força de pré-esforço, como descrito anteriormente de uma forma

simplificada.

3.4.1 Perdas Instantâneas

3.4.1.1 Atrito nos cabos

No pré-esforço por pós-tensão, os cordões de pré-esforço ao serem tensionados impõem um

deslocamento relativo entre eles e a bainha que agrupa os respectivos cordões. A força de

contacto entre a bainha e os cordões provoca, por atrito, uma reacção que se opõe ao

deslizamento. As perdas de força ao longo do cabo por atrito serão tanto maiores quanto, para

o mesmo coeficiente de atrito, menor for o raio do traçado de cabos, porque nessa situação

aumenta a pressão local sobre a bainha. De facto, os cabos encostam-se à bainha nos locais

de traçado curvilíneo fazendo surgir uma força de desvio (ver Figura 6).

17

Figura 6 – Esquema geral do efeito do atrito nos cabos de pré-esforço.

Sendo µ o coeficiente de atrito entre o cabo e a bainha e P a força de tensão nas armaduras,

temos que,

S ! UZ. S. [ (3.5)

G SS ! UZ. [ (3.6)

resolvendo a equação obtemos,

S ! S\. ]4^[. (3.7)

Assim resulta que para uma força P0 numa extremidade, a força em qualquer ponto do traçado

a uma distância x será,

S ! S\. ]4^_`a. (3.8)

onde k.x é o desvio angular parasita, para ter em conta eventuais desvios no posicionamento

do cabo.

18

3.4.1.2 Reentrada de cunhas

Quando os cordões são pré-esforçados por pós-tensão, no momento de fixar os cabos nas

ancoragens, a tensão é transferida ao betão. Inevitavelmente, existe sempre um pequeno

escorregamento na extremidade dos cordões que ficam fixos à ancoragem que varia entre

5mm a 8mm. As perdas de tensão deste tipo não afectam mais do que uma pequena extensão

do comprimento dos cabos de pré-esforço, pois o atrito entre o cabo e a bainha impede que

este fenómeno se desenvolva a partir de uma certa distância ω dada por,

∆c ! B ∆d\ (3.9)

em que L é o comprimento do cabo e Δε a variação de extensão nos cabos.

A perda de tensão na extremidade é determinada através da seguinte expressão,

∆S ! 2 e f (3.10)

onde p é a perda por atrito por metro linear ou o declive do diagrama representado de seguida.

Figura 7 – Diagrama de representação de perdas por reentrada de cunhas.

3.4.1.3 Deformação instantânea do betão

Quando um elemento é pré-esforçado, o betão ao ser comprimido impõe uma contracção a

todos os cabos que já tivessem sido tensionados e fixos ao betão. Num elemento que disponha

apenas de um cabo de pré-esforço, em que todos os cordões são tensionados ao mesmo

tempo, o betão encurta, mas permanece com a mesma tensão, logo não se verifica este tipo de

perda. Apenas se verificam estas perdas quando há cabos tensionados e são aplicados cabos

suplementares. Nestes casos, quando o betão encurta, provoca uma perca de tensão nos

19

primeiros cabos já aplicados. Estas perdas são, no entanto, pouco significativas e podem ser

calculadas com recurso à seguinte expressão,

∆S ! V . V . ∑ h.∆iij (3.11)

onde,

• Ecm (t) representa o módulo de elasticidade do betão

• h ! k438k , onde n é o numero de cabos de pré-esforço idênticos na mesma secção

• ∆ representa a tensão no betão devido ao carregamento e ao pré-esforço após

perdas.

3.4.2 Perdas Diferidas

3.4.2.1 Fluência

A resposta do betão depende da história do carregamento. Se a tensão no betão se mantiver

no tempo, a extensão vai aumentando, correspondendo esta deformação à fluência, que é

bastante significativa nas estruturas pré-esforçadas em que o betão se encontra, em princípio,

totalmente comprimido.

A extensão total que o fenómeno da fluência introduz no betão é difícil de estimar com um

grande rigor, a menos que sejam efectuadas ensaios específicos para casos especiais em

obra, pelo que há que admitir, em geral, desvios de cerca de ±30% [11]. Por este facto, muitas

vezes recorre-se a avaliações aproximadas sem utilizar as diferentes expressões existentes,

mais complexas, de cálculo daquele efeito.

A forma normalmente utilizada para estimar as deformações devido a este fenómeno baseia-se

na alteração do módulo de elasticidade, com base no coeficiente de fluência φ(t,ti). Este

coeficiente é o rácio entre a extensão do betão t dias após o início do carregamento e a

extensão do betão no tempo ti em que a tensão foi aplicada e depois mantida constante. Deste

modo obtemos a seguinte relação,

, ! i1:l,m (3.12)

20

Ao contribuir para o encurtamento do betão, a fluência, provoca uma diminuição da tensão na

armadura de pré-esforço, por um efeito semelhante ao já referido na questão da deformação

instantânea do betão. De forma a evitar a determinação do coeficiente de fluência para cada

caso específico, utiliza-se um valor aproximado para o coeficiente de fluência e a expressão

seguinte para determinar a perda de força de pré-esforço por fluência,

∆S ! US. S. li. iij (3.13)

3.4.2.2 Retracção

A menos que o betão seja mantido em água ou num ambiente com a 100% de humidade, o

betão perde água e reduz o seu volume com o tempo. Este é o fenómeno da retracção do

betão que é fortemente dependente da quantidade de água presente na mistura e com a

qualidade dos agregados que compõem o betão, sendo que quanto mais duros e densos forem

os agregados, menor é a absorção, logo menor é a retracção.

Tal como no fenómeno da fluência, a retracção corresponde a um encurtamento do betão e a

uma consequente diminuição de tensão nas armaduras de pré-esforço. A sua determinação

pode ser efectuada com recurso à seguinte expressão,

∆S ! UV . V . (3.14)

3.4.2.3 Relaxação das armaduras

O aço de pré-esforço está sujeito a um nível elevado de tensões de tracção ao longo da sua

vida útil apresentando alguma relaxação. Este fenómeno implica uma perda de tensão no aço

quando submetido a uma extensão constante. O nível de relaxação das armaduras depende

bastante do tipo de aço utilizado (alta ou baixa relaxação) e do nível de tensão aplicado.

Existem várias classes de aço definindo o tipo de relaxação, onde é normal considerar valores

de perdas limitados.

• Aços de relaxação normal: ∆S n 15%

• Aços de baixa relaxação: ∆S n 6%

• Aços de muito baixa relaxação: ∆S n 2 T 4%.

21

3.5 Análise de Secções em Estado Limites Último

Como referido no anteriormente, para a combinação quase permanente de acções, excluindo

as zonas de introdução das forças de pré-esforço, os elementos de betão pré-esforçado devem

manter-se sem fendas. Contudo, para níveis de acção superiores, mesmo em serviço, é

possível o aparecimento de fendas e o comportamento passa a ter características diferentes.

Na secção fendilhada, o betão deixa praticamente de ter contribuição para a resistência do

elemento e surge depois, um estado em que o equilíbrio é estabelecido unicamente pela força

de compressão no betão e as forças de tracção nas armaduras, quer de pré-esforço quer

armaduras ordinárias (ver Figura 8). A verificação da segurança à rotura, com níveis de

fiabilidade adequados, constitui, como se sabe, uma questão fundamental, em qualquer obra

(fase d) referida anteriormente).

Figura 8 – Comportamento em E.L.U. de uma viga sujeita à flexão.

Considera-se que o momento aplicado a uma dada secção atinge a capacidade resistente se a

zona comprimida exceder a capacidade resistente do betão ou a parte traccionada exceder a

capacidade das armaduras ordinárias ou de pré-esforço. É para essa situação que é avaliada a

resistência da secção tirando partido da capacidade máxima dos matérias e dimensionada a

armadura ordinária a adoptar numa secção pré-esforçada. O equilíbrio de forças e de

momentos permite encontrar a solução para as duas incógnitas. Vejamos então,

! . q (3.15)

! . q (3.16)

! 0.85i D 0,8 D r (3.17)

22

Por equilíbrio de forças,

! : (3.18)

É possível escrever a equação do equilíbrio de momentos em relação ao ponto de aplicação

das armaduras de pré-esforço e considerando que a distância entre as armaduras ordinárias e

de pré-esforço é desprezável,

Rq ! . T (3.19)

em que,

T ! U 0.4 (3.20)

Deste modo, é possível escrever o seguinte sistema de equações,

; ! : Rq ! . T <

s t ! . q : . q ! RqT <

s RqT ! . q : . q

G uv ! wvxy 4uz.z|x|x (3.21)

Refere-se que a força de pré-esforço aplicada nos cabos está contida no valor . q, tal que,

. q ! . : . Δ (3.22)

em que,

S ! . (3.23)

e

Δ ! q U (3.24)

23

É de salientar, ainda, que se se considerar a força de pré-esforço como uma acção sobre a

estrutura de betão, a verificação da segurança é estabelecida de forma equivalente,

considerando do lado da resistência apenas o termo . Δ, que corresponde à parcela que é

mobilizada na rotura para além da força de pré-esforço. É para esta situação que é verificada a

segurança à rotura de um elemento de parede, considerando as tensões e deformações que o

pré-esforço introduz, surgindo um estado de tensão devido à acção das cargas da estrutura e

ao pré-esforço. Tal como se verificará no subcapítulo 3.7, é possível encontrar uma

metodologia capaz de verificar a segurança à rotura em elementos de parede e dimensionar as

armaduras para uma situação como esta.

3.6 Efeito de Estruturas Hiperstáticas

Em qualquer estrutura pré-esforçada, isostática ou hiperstática, a acção do pré-esforço pode

ser avaliada considerando os efeitos das forças concentradas nas ancoragens e as forças

radiais devido à curvatura do traçado. Se a estrutura é isostática, o pré-esforço não tem

nenhuma influência sobre as reacções de apoio da estrutura, que são só função das cargas

exteriores. Resulta, portanto, que o efeito do pré-esforço pode ser compreendido de maneira

muito simples, em função da excentricidade do cabo.

Pelo contrário, numa estrutura hiperstática, o pré-esforço, ao querer introduzir deformações à

estrutura, provoca reacções de apoio que é necessário ter em consideração na avaliação do

estado de tensão do betão. Consideraremos, por exemplo, a viga hiperstática indicada na

Figura 9. Se a convertermos numa viga isostática, suprimindo o apoio central, o pré-esforço

provocará uma deformação, que depende do traçado de cabos, gerando na zona de apoio

central uma flecha. Atendendo à estrutura em causa, verificamos que o sistema só será

compatível com as ligações ao exterior se considerarmos reacções de apoio que levem a que a

flecha no apoio central seja nula. Estas reacções são auto-equilibradas e denominam-se de

reacções hiperstáticas devendo a sua acção somar-se à acção isostática referida

anteriormente.

Figura 9 – Viga hiperstática sujeita a pré-esforço.

Como vimos anteriormente, o momento provocado pelo pré-esforço no betão, em qualquer

secção de uma estrutura isostática, é dado por,

24

R ! S D ] (3.25)

sendo, P, o esforço normal de pré-esforço e, e, a excentricidade da aplicação de P ao centro

de gravidade da secção.

Num sistema hiperstático, pelo contrário, temos adicionalmente o momento hiperstático de pré-

esforço, como foi descrito anteriormente, tal que,

R ! S D ] :R~ (3.26)

3.7 Aplicação do Pré-esforço em Elementos de Parede

O tipo de estrutura a ser analisada neste trabalho, em especial, os elementos de parede, não

se podem considerar como elementos de peça linear, pelo que tendo em conta os princípios

gerais atrás referidos, há que os adaptar às características destes elementos. De facto, por um

lado, as peças não dispõem de uma geometria baseadas nos princípios de peça linear e, por

outro, são altamente hiperstáticas. Sendo assim, uma análise ao traçado de cabos e às

quantidades de pré-esforço necessário não é simples de avaliar, sendo que o auxílio de

ferramentas de cálculo automático pode ser bastante útil, mesmo em fases preliminares do

estudo.

Em elementos com estas características, após a definição de um traçado de cabos, o efeito do

pré-esforço não pode ser calculado através da análise de secções. Por outro lado, os efeitos de

cada traçado de cabos na resposta da estrutura são mais difíceis de perceber. É por este

motivo que se recorre, em geral, nestas situações, à escolha do traçado de cabos de pré-

esforço e do seu valor através de procedimentos iterativos.

O pré-esforço corresponde a uma deformação imposta à estrutura e é principalmente utilizado

para garantir um bom comportamento em serviço devendo ser avaliada a força de pré-esforço

para contrariar o mais efectivamente possível as deformações. Para o caso específico de

paredes, em particular com consolas significativas, como é o caso de estudo apresentado nos

capítulos seguintes, é importante garantir que a deformação das extremidades seja controlada,

tendo consciência que dessa forma se está também a diminuir as tracções devidas às cargas.

Deste modo, tanto o traçado de cabos como as quantidades de pré-esforço devem ser

definidos depois de um conjunto de iterações em que se tente eliminar as tracções nos

elementos e verificar, ao mesmo tempo, o efeito obtido ao nível das deformações, recorrendo a

programas de cálculo automático. Esta metodologia é aplicada no caso de estudo deste

trabalho.

25

3.7.1 Verificação da Segurança aos Estados Limites Últimos em

Elementos de Parede

Numa estrutura de betão armado é necessário que todas as zonas tenham um

dimensionamento consistente de tal forma que o rigor exigido seja equivalente. Utilizando os

modelos correntes de dimensionamento de vigas, pilares, lajes, etc. não é possível generalizá-

los a zonas de descontinuidades como recantos, aberturas ou situações de geometria

complexa como as que temos no caso de estudo, sem discutir a forma e o modelo mais

adequado de dimensionamento. Normalmente recorre-se à experiência e prática do engenheiro

projectista para resolver estes casos, quer seja com o desenvolvimento de modelos simples de

escoras e tirantes ou, mais directamente, por metodologias de verificação de segurança

aplicadas aos resultados da distribuição de tensões obtidas admitindo comportamento elástico.

Nestes casos, temos que avaliar as forças de tracção que se possam mobilizar e calcular as

quantidades de armadura necessárias. Para verificar as tensões no betão, calculam-se as

tensões de compressão nas zonas de maior tensão e comparam-se com as admissíveis para

cada combinação de acções. Há que adoptar, em geral, todas as disposições gerais de

pormenorização de armaduras em estruturas de betão armado, como por exemplo, a

verificação da quantidade mínima de armadura, a verificação de empalmes, o espaçamento de

armaduras, etc.

No caso do pré-esforço, este vai introduzir uma deformação e um estado de tensão na

estrutura de betão, pelo que iremos considerá-lo no dimensionamento da estrutura como uma

acção sobre o betão armado, provocando efeitos isostáticos e hiperstáticos. Por outro lado, o

aço dos cabos de pré-esforço pode ser considerado como armadura ordinária na parcela

disponível entre a sua capacidade resistente e a força de pré-esforço aplicada como referido no

subcapítulo 3.5. Deste modo, uma estrutura com cabos de pré-esforço só irá necessitar de

armadura ordinária, para alem dos valores considerados como mínimos, nas zonas onde a

reserva de resistência dos cabos de pré-esforço não garantirem a segurança aos estados

limites últimos.

A verificação da segurança em elementos do tipo parede é tratada, ao nível da licenciatura, de

uma forma bastante superficial. Iremos analisar neste trabalho, com base na distribuição de

tensões elásticas obtidas por cálculo automático, como a segurança à rotura da estrutura é

estabelecida. Torna-se então necessário entender as opções que são necessárias tomar para,

com base nos dados das análises, chegar ao dimensionamento das armaduras. Em qualquer

elemento de parede, a segurança é verificada se as armaduras dispostas, em geral, segundo

duas direcções perpendiculares, forem suficientes para equilibrar as forças de tracção

existentes e as compressões forem menores que os valores máximos admissíveis no betão.

26

Estando um elemento de parede sujeito a um estado plano de tensão como o indicado na

Figura 10, compreende-se que as direcções principais de tensão não são coincidentes com os

eixos x e y (segundo os quais se pretende dispor as armaduras) devido à presença de efeitos

de corte segundo aquelas direcções. Num elemento, a colocação das armaduras é feita, em

geral, segundo direcções ortogonais, pelo que na maioria das situações não se verifica a

coincidência entre estas e as direcções principais de tensão. Seria ideal dispor os varões

segundo as direcções principais de tracção, o que naturalmente não é prático. Desta forma, é

necessária uma metodologia que possibilite calcular armaduras orientadas nas direcções

ortogonais para estados de tensão cujas direcções principais não coincidam com estes eixos.

Figura 10 – Forças necessárias para estabelecer o equilíbrio no elemento de placa.

Figura 11 – Equilíbrio de forças segundo as direcções de disposição de armadura.

Recorrendo à Figura 11, considera-se que o equilíbrio do elemento é estabelecido admitindo

um campo uniforme de compressões com uma inclinação θ relativamente ao eixo horizontal, de

tal modo que os eixos das direcções principais de tensão se encontram rodados de θ graus em

relação aos eixos de disposição de armaduras, sendo possível escrever o equilíbrio entre a

27

resultante de forças nas armaduras e as resultantes de tensão na faceta respectiva segundo os

eixos x e y [9], tal que,

; sin ! sin : cos cos ! cos : sin < (3.27)

s ; ! : cot ! : tan < (3.28)

em que é, portanto, o ângulo do campo de compressões.

Deste modo, o cálculo das armaduras para uma situação com tracções nas duas direcções faz-

se segundo as seguintes expressões,

X * X

(3.29)

O ângulo do campo de compressões é arbitrário, no entanto é possível determinar o ângulo

para o qual a área total de armadura é mínima,

! * : * ! : : cot : tan q (3.30)

Derivando a equação 3.30, concluímos que o ângulo que minimiza a armadura é θ = 45º, que

simplifica a equação 3.28, pois para este valor de θ tem-se que,

; ! : || ! : ||< (3.31)

Refira-se que se considera o módulo da força de corte, pois as armaduras são independentes

deste sinal. Com estas expressões é possível conhecer os valores dos esforços para os quais

necessitamos de armadura de tracção. De acordo com a expressão (3.32) é possível

determinar os valores da relação entre os esforços de tracção e de corte para os quais é

necessária armadura em ambas as direcções,

; ! : || 0 ! : || 0< G t k|5| U1 k|5| U1< (3.32)

28

Do mesmo modo, podemos determinar os valores para os quais apenas é necessária

armadura numa direcção. Então,

Se ! 0, ; 0 ! : || cot ! : || tan < G t cot ! 4k|5| ! U 56k 0

< G k|5| 3k |5|* (3.33)

Se ! 0, ; ! : || cot 0 ! : || tan < G t ! U 56k 0 tan ! 4k|5|

< G k|5| 3k |5|* (3.34)

As expressões (3.32) a (3.34) definem os limites entre as zonas I, II, III e IV. O gráfico da Figura

12 ilustra a região de valores das equações descritas, sendo que a zona I corresponde aos

valores que verificam o sistema (3.32), a zona II em que apenas é necessária armadura

segundo a direcção y e a zona III em que se dispõe armadura apenas na direcção x. A zona IV

corresponde à região de valores de força para os quais não é necessária armadura.

Figura 12 – Distribuição das zonas I, II, III e IV.

Após o conhecimento da zona em que se encontra o elemento, recorre-se à respectiva

expressão para determinar a força de tracção e determinar as áreas de armaduras

necessárias. Por outro lado, há necessidade de verificar a segurança do betão à compressão.

29

Apresentam-se, em seguida, as expressões para determinar a força de compressão para as

diversas zonas com base na Figura 13.

Figura 13 – Equilíbrio de um elemento de placa à compressão.

Considerando o equilíbrio segundo x tem-se que,

cos U cos : sin ! cos

G ! U : tan (3.35)

e substituindo Fx pela equação (3.28),

G ! tan : cot (3.36)

Aplicando a equação (3.36) às respectivas zonas, temos para a zona I que,

! sincos (3.37)

Por outro lado, considerando θ = 45º,

! 2. || (3.38)

Para a zona II,

cot ! 4k|5| G i ! 1: || 2 || (3.39)

30

Para a zona III,

tan ! 4k|5| G i ! 1: ##|| 2 ##|| (3.40)

A verificação da segurança ao esmagamento do betão nas bielas de compressão é, então, feita

comparando o valor da tensão de compressão actuante, indicado pelas expressões relativas às

referidas zonas, com o valor resistente da tensão de compressão no betão. De acordo com a

ENV 1992-1-1, na secção 4.3.2.4 relativa a secções sujeitas a esforços de corte, a tensão de

compressão no betão deve ser limitada por um factor de eficácia para a ter em conta a perda

de resistência do betão fendilhado, tal que,

! 0.7 U 8\\ 0.5 (3.41)

Deste modo, a tensão de compressão resistente a ser considerada, deve ser a seguinte,

! . q (3.42)

Para a zona IV, temos um estado de compressão biaxial, pelo que é necessário recorrer ao

círculo de Mohr para determinar os esforços máximos de compressão indicados por nI e nII na

Figura 14.

Figura 14 – Círculo de Mohr para um estado de compressão biaxial.

De acordo com a Figura 14, através do conhecimento dos valores nxx, nyy e ν, é possível

determinar os valores das tensões principais máximas,

! k4k8 8 : 8 (3.43)

31

! k4k8 (3.44)

! : (3.45)

! U (3.46)

Na verificação da segurança de elementos que se encontrem na zona IV, deixa de haver a

necessidade de considerar o factor de diminuição da resistência do betão à compressão, pois

não existe, em princípio, fendilhação, tomando-se como valor admissível o valor da tensão

resistente do betão à compressão fcd.

A metodologia apresentada permite analisar cada elemento de uma estrutura, mas tal processo

pode tornar-se ineficiente, se tiver de ser aplicado a todos os pontos de uma parede e, ainda,

de difícil julgamento em termos de solução de pormenorização a adoptar. Torna-se assim

importante definir as zonas onde há necessidade de avaliar as quantidades de armadura e

assumir, de forma segura, que estas são suficientes para todo o elemento. Relativamente às

zonas II e III, é importante salientar que apesar de, em termos de segurança à rotura não ser

necessária armadura, é natural a colocação de armaduras de distribuição na direcção

perpendicular. No exemplo prático seguinte ilustra-se o tipo de verificação a estabelecer e

algumas das dificuldades associadas a este procedimento

3.7.1.1 Ilustração da metodologia

Como ilustração simples do principio de utilização de uma distribuição de tensões elásticas na

avaliação da segurança ao Estado Limite Último, utilizaremos uma viga simplesmente-apoiada

com 10.8m e secção quadrada de 0.30m x 0.50m sujeita a uma carga de 10KN/m,

comparando-a com a formulação corrente.

Figura 15 – Modelo de viga simplesmente-apoiada com um vão de 10.8m sujeita a 10KN/m.

Através do modelo de elementos finitos, obtemos a distribuição de forças segundo x

apresentada na Figura 16,

32

Figura 16 – Diagrama de forças F11 [MN/m] na viga considerada como exemplo.

O diagrama mostra tracções na zona inferior da viga e compressões na face superior, tal como

se esperaria. A força resultante será dada pela resultante do diagrama de tracções na zona

mais solicitada, ou seja, a meio vão. Como estamos perante uma situação de flexão pura, o

diagrama será linear com a linha neutra a meio da secção e o valor máximo de tensão positiva

e negativa iguais,

Figura 17 – Diagrama de forças na secção da viga considerada como exemplo.

Conhecendo a força por metro dada pelo programa de cálculo automático, estamos em

condições de determinar o momento provocado pela carga aplicada a meio vão da viga através

do módulo de flexão elástico do betão W,

! ¡jT ! rD¢312 ¢2¤ ! rD¢

26 ! 0.3D0.526 ! 0.0125jJ (3.47)

logo,

R ! D ! 3456.4 0.3* D 0.0125 ! 144P.j (3.48)

Para determinar a armadura pelo método representado, podemos calcular a resultante de

tracções, ou seja, a área do diagrama de forças positivas,

33

! 3456.4 D 0.25 2* ! 437.4P (3.49)

Numa viga com estas condições de apoio, na secção de meio vão, o campo de tensões tem a

direcção coincidente com o eixo da viga, pelo que o esforço de corte toma um valor nulo e a

componente nyy não é significativa,

; ! ! 437.4P ! 0 < (3.50)

Deste modo, a área de armadura necessária considerando um aço A500NR seria de,

! (3.51)

¥ 437.4435000 ! 10.05ij8

É importante notar, que neste método, estamos a considerar a armadura disposta no ponto da

resultante das forças de tracção, ou seja, admitir as armaduras dispostas a 1/3 de metade da

altura da viga, a partir da face sua inferior.

Para comparação e apreciação dos resultados, se se efectuasse o mesmo cálculo de acordo

com o cálculo corrente de armadura de vigas em flexão teríamos sucessivamente,

R ! eD¦28 ! 10D10.828 ! 145.8P.j (3.52)

e o “cálculo” de armadura,

Z ! Rr.2.i ! 145.80.3D0.452D20000 ! 0.120 G f ! 0.131 (3.53)

! f. r. . q q ! 0.131 D 0.3 D 0.4 D 20000 435000* ! 7.23ij8 (3.54)

Há ainda, diferenças nos valores obtidos pelos dois procedimentos. Relativamente ao valor do

momento máximo actuante, a diferença é pouco significativa e deve-se essencialmente ao

facto de haver uma pequena imprecisão do programa de cálculo automático por elementos

finitos. Tal como já foi referido, as aproximações do método dos elementos finitos podem

afectar o rigor da solução, no entanto, será por diferenças que não comprometem as soluções

em termos de engenharia. No que diz respeito à metodologia utilizada na avaliação das

34

armaduras, as diferenças são relativamente sensíveis. Ao adoptarmos, no caso de análise por

elementos finitos, uma distribuição elástica de tensões em que o braço entre as compressões e

as tracções é inferior ao que se pode mobilizar próximo da rotura, os valores de armadura

serão certamente superiores. No entanto, esta metodologia, para geometrias mais complexas,

é aceitável e, em geral, conservativa.

35

4 Enquadramento Geral do Caso de Estudo

O caso de estudo apresentado neste trabalho resulta do projecto do novo Hotel Savoy a ser

construído no Funchal, cuja fotomontagem é a apresentada na Figura 18.

Figura 18 – Fotomontagem do edifício em estudo.

O edifício destina-se a ser um Hotel Resort com uma zona do lado direito da imagem destinada

a imobiliária, que será a parte objecto de análise neste trabalho. Trata-se de um edifício com 13

pisos em altura, que na zona em causa teve de ser concebido com algumas limitações a nível

urbanístico e de arquitectura. Desta forma, aquelas imposições conduziram a um recuo dos

pisos superiores na fachada nascente. O modelo tridimensional desta parte da estrutura mostra

como aquele aspecto impôs um bloco saliente sem apoios para a transmissão directa das

cargas verticais.

36

Figura 19 – Modelo tridimensional da zona do edifício em estudo.

A translação do posicionamento dos pisos superiores e a necessidade de ter uma largura

disponível, da ordem dos 15 metros para cada piso, fez com que os pisos superiores ficassem

em consola, com cerca de 6 m. É normal, então, que o equilíbrio global deste conjunto e a sua

deformabilidade tenham de ser analisados com detalhe especial.

Numa estrutura deste tipo, o recurso ao pré-esforço é uma escolha natural, pois é a solução

mais eficaz e que conduz a um melhor comportamento da estrutura, em termos de controlo da

deformação, mas também de segurança à rotura, com vantagens claras face a uma solução

tradicional apenas em betão armado. Contudo, é necessário conceber a estrutura com

características geométricas favoráveis para que a aplicação do pré-esforço seja eficiente.

Foram criados 3 pórticos em parede de betão o mais rígidos possível onde o pré-esforço

pudesse ser aplicado e uma viga/parede perpendicular a estes pórticos na zona da

extremidade da consola, no primeiro piso do volume saliente (ver Figura 19). A concepção

destes elementos não faz parte deste estudo, onde se deu especial atenção ao

37

dimensionamento do pré-esforço. O primeiro pórtico, eixo L, situa-se num dos extremos do

bloco e engloba a parede menos alta que liga apenas dois pisos, o piso inferior do bloco e a

sua cobertura, tendo 2 aberturas para janelas (ver Figura 20). O pórtico M, sensivelmente no

meio, envolve três pisos da zona saliente, apresentando uma altura superior ao pórtico L (ver

Figura 21). Finalmente, o eixo N, adjacente ao núcleo de elevadores e à restante estrutura do

hotel, apresenta uma parede que certamente irá ter menores deformações devido à sua

localização, perto de zonas mais rígidas (ver Figura 22). A designação dos eixos, com letras de

L a N, é uma consequência da denominação dos eixos no projecto de arquitectura. Nas figuras

referidas, a geometria dos pórticos e a sua modelação é de fácil compreensão, sendo de notar

que, devido a exigências funcionais do hotel houve que considerar as aberturas indicadas,

algumas com vãos significativos. Em anexo, são também apresentadas as plantas principais do

edifício nesta zona.

Figura 20 – Modelo e corte do eixo L.

Figura 21 – Modelo e corte do eixo M.

38

Figura 22 – Modelo e corte do eixo N.

Para a concepção e análise do pré-esforço é fundamental compreender o comportamento da

estrutura para as cargas verticais em termos de deformação da consola no seu conjunto e para

cada pórtico. A influência que a excentricidade do bloco superior da estrutura tem nos

elementos verticais inferiores, a deformação da estrutura no seu todo devido a uma rotação

global, as dificuldades que as aberturas nos pórticos possam introduzir, etc. são aspectos

importantes avaliar antes da concepção dos traçados de cabos de pré-esforço para conseguir

um dimensionamento eficaz. No que se segue, irá fazer-se em primeiro lugar, uma análise

particular de um dos eixos, eixo L, com vista a compreender com mais detalhe o

comportamento desta consola com aberturas, antes de efectuar a análise global da estrutura

com os diversos pórticos.

39

5 Análise do Eixo L

A estrutura do eixo L, o primeiro dos 3 pórticos apresentados no capítulo anterior, é uma

parede em consola com duas aberturas. A opção pela análise do comportamento deste pórtico

independentemente da estrutura global, como considerado no subcapítulo 5.1, é importante

para ajudar a responder ao desafio que é proposto neste trabalho, pois trata-se de uma

tipologia estrutural especial. O estudo isolado desta parede, com aberturas, permite uma

melhor compreensão do comportamento dos outros pórticos.

Figura 23 – Diagrama de Forças F₁₁ [MN/m] no elemento de parede do Eixo L, na modelação

conjunta da estrutura para uma combinação fundamental.

Antes da consideração do modelo independente, analisaram-se os resultados do modelo

conjunto da estrutura tendo-se constatado, desde logo, que a estrutura do eixo L apresenta

importantes tracções na zona mais superior e compressões na zona mais inferior, tal como

demonstra o diagrama de forças da Figura 23, onde é possível identificar facilmente essas

zonas. Neste diagrama, as zonas comprimidas estão representadas a vermelho e as

traccionadas a azul. Estas tensões já eram esperadas, já que, considerando esta parede como

um modelo de viga em consola, é natural que surja uma resultante de tracções na zona

superior e outra de compressões na zona inferior devido, ao momento negativo global que se

gera no encastramento.

Ao analisarmos o seu comportamento com mais pormenor, verificamos que temos também

esta parede a funcionar como duas consolas à flexão (a superior e a inferior às aberturas)

ligadas por dois elementos verticais. Estes permitem, por esforço transverso, a transmissão de

efeitos axiais, referidos anteriormente, caso contrario teríamos as duas consolas a funcionar

independentemente. Ao existir esta ligação, surgem esforços axiais, iguais e de sinal contrário,

40

em cada uma das consolas. Recorrendo ao modelo da Figura 24, concluímos que o momento

global na consola tem de ser estaticamente equivalente à soma dos momentos nas consolas

superior e inferior e a um efeito conjunto com compressões na zona inferior e tracções no topo,

tal como mostra a equação indicada na mesma figura.

R§ ! R3 :R8 : P. ¢ (5.1)

Figura 24 – Equivalência entre o momento global e os momentos inferior e superior das consola e

o efeito global de flexão.

Compreende-se que a tracção na consola superior e a compressão na consola inferior têm

obrigatoriamente que se anular, pois o equilíbrio axial tem de se verificar. Na realidade, as

resultantes do diagrama de tensões do modelo global de elementos finitos mostram que isso

não se verifica, pois tem-se na consola superior um esforço axial de N=1006,0KN e na consola

inferior N=-1265,1 KN.

41

Figura 25 – Resultantes do diagrama de tensões axiais nas secções indicadas.

Esta diferença deve-se ao facto de no modelo global da estrutura existir a contribuição das

lajes dos pisos superior e inferior na distribuição de tensões axiais referidas. De facto, as lajes

no plano perpendicular a este pórtico e ligadas a estas consolas, têm alguma contribuição no

comportamento da parede, fazendo com que a analise dos resultados do modelo da parede

seja menos imediata. Deste modo, para ter um modelo de mais fácil compreensão, resolveu-se

isolar esta parede do resto da estrutura.

Consola Superior

N₁₁ (KN) M₃₃ (KN.m)

1006,0 -536,2

Tabela 4 – Esforços nas zonas indicadas da parede do Eixo L.

5.1 Análise independente do eixo L

Como discutido, o facto da parede estar englobada na estrutura, há uma dependência global e

uma distribuição de tensões que dificulta a análise dos resultados. Para fazer uma análise

particular desta parede e estudar os traçados de cabos de pré-esforço tomámo-la a actuar

isoladamente estimando as cargas a si transmitidas pela estrutura. Para esta parede, estas

acções são transmitidas pelos pisos estruturais e pela viga/parede perpendicular à extremidade

da consola.

Consola Inferior

N₁₁ (KN) M₃₃ (KN.m)

-1265,1 -1279,0

42

Figura 26 – Distribuição de cargas no elemento de parede do eixo L.

Admitiu-se que a parede deste eixo está sujeita a uma carga distribuída, p1 (referida na Tabela

5), resultante das cargas do piso superior, uma carga distribuída, p2, resultante das cargas do

primeiro piso e uma carga concentrada, P, que simula a carga transmitida pela parede

transversal à extremidade da consola. Estas acções resultaram de uma avaliação por áreas de

influência e com base nas cargas indicadas na Tabela 6.

P [KN] p₁ [KN/m] p₂ [KN/m]

E.L.U. 912,5 57,4 50,3

C.Q.P. 603,4 42,5 30,5

Tabela 5 – Cargas consideradas na parede do Eixo L, quando considerado isoladamente.

P.P. R.C.P. SC.

Carga [KN/m²] 25xh 4 2

Tabela 6 – Acções admitidas nos pisos para determinação das cargas a considerar no pórtico L

isolada para as cargas quase permanentes (ψ2=0.2).

Na Tabela 7 estão apresentados os esforços resultantes na zona do encastramento de ambas

as consolas, tal como foi efectuado para o modelo global. Como esperado, verifica-se agora,

no modelo isolado que os esforços são da mesma ordem de grandeza dos anteriores havendo

um perfeito equilíbrio axial, pois neste modelo não há influência das lajes. Deste modo, o

equilíbrio, de acordo com a equação (5.1) pode ser verificado, o que dá confiança e torna mais

fiáveis as avaliações do comportamento global para as cargas e para o efeito dos cabos de

pré-esforço.

43

Consola Superior

N₁₁ (KN) M₃₃ (KN.m)

1731,6 -528,2

Tabela 7 – Esforços nas zonas críticas da parede do Eixo L, para a combinação fundamental de

acções com o modelo isolado.

5.1.1 Sem Pré-esforço

Uma solução sem recurso ao pré-esforço seria, como referido anteriormente, uma solução

pouco razoável porque certamente as tracções nalgumas zonas conduziriam a percentagens

de armaduras ordinárias elevadas com a consequente dificuldade de pormenorização de forma

a respeitar boas praticas de projecto. Ao adoptar uma solução que não utilize armaduras de

pré-esforço torna-se bastante difícil garantir um bom estado de funcionalidade da estrutura. De

qualquer forma, avaliam-se as quantidades de armadura necessárias para a verificação da

segurança aos Estados Limites Últimos, no caso sem pré-esforço.

Considerou-se também útil comparar a determinação das quantidades de armadura recorrendo

a ambos os métodos apresentados no capítulo 3.7.1. De acordo com o primeiro método,

determinaram-se as resultantes das zonas de tracção, F11, dos diagramas de forças

apresentados na Figura 25 e a armadura necessária de acordo com a expressão (3.29). As

quantidades de armaduras são apresentadas na Tabela 8.

Consola Inferior

F₁₁ (KN) As (cm²)

1691,3 38,9


determinados pelo método de elementos finitos.

É importante notar que neste método, as resultantes F11, são as resultantes da área do

diagrama que se encontra à tracção, enquanto que os esforços N₁₁ e M33 referidos na Tabela 7

são resultantes de todo o diagrama de forças segundo a direcção horizontal.

De acordo com o método tradicional, teremos que determinar a quantidade de armadura

recorrendo a tabelas de flexão composta,

Consola Inferior

N₁₁ (KN) M₃₃ (KN.m)

-1731,6 -1533,2

Consola Inferior

F₁₁ (KN) As (cm²)

618,9 14,2

44

Consola Superior

N₁₁ (KN) M₃₃ (KN/m) µ ν ω As (cm²)

1731,6 -528,6 0,03 0,17 0,17 38,69

Consola Inferior

N₁₁ (KN) M₃₃ (KN/m) µ ν ω As (cm²)

-1731,6 -1533,2 0,09 -0,17 0,07 15,93


determinados pelo método tradicional.

Em ambos os métodos, as quantidades de armadura para verificar a segurança ao Estado

Limite Último são bastante próximas, o que mostra a adequabilidade de ambas as

metodologias. Relativamente às quantidades de armadura, verificam-se que nestas zonas são

realizáveis em termos de pormenorização, no entanto, pelos vários motivos já citados,

recorreu-se a uma alternativa com pré-esforço.

5.1.2 1ª Solução de Traçado de Cabos de Pré-Esforço

Como referido anteriormente, é necessário garantir que as tensões provocadas pelas acções

sobre a consola sejam controladas, pelo que se ensaiou, em primeira-mão, uma solução com

cabos rectos. Por outro lado, como foi verificado, devido às aberturas na parede, há uma

parcela de resposta que envolve a consola superior e outra a inferior, pelo que se estudou a

opção de um cabo em cada uma dessas zonas, como mostra a Figura 27.

Figura 27 – 1ª solução de traçado de cabos de pré-esforço no eixo L.

Tendo cada uma das consolas um momento negativo, é sensato dispor cada cabo o mais

próximo da face traccionada para contrariar as tracções no encastramento como mostra a

Figura 27. Por outro lado, o cabo deve ser prolongado até à extremidade para ganhar eficiência

em termos de deformação.

45

Na tabela seguinte, mostra-se a eficiência de cada um dos cabos indicando-se as forças de

pré-esforço, após perdas, que os cabos necessitam para se obter uma deformação nula na

ponta da consola. Sendo a deformação obtida para uma força de pré-esforço 1000KN dado por

um valor x, a força necessária para anular a deformação das cargas quase permanentes tem

de ser proporcional a esse valor.

Consola Superior

δ (c.q.p.) (mm) δ (imposta P=1000) (mm) P (KN)

4,0 -0,8 5000

Consola Inferior


4,0 0,0 -

Tabela 10 – Forças de pré-esforço para os cabos da solução com cabos rectos.

Como indicado na tabela referida e ilustrado na Figura 28, o cabo de pré-esforço na consola

inferior, não é eficiente em termos de ganhos de deformação. O cabo inferior introduz um efeito

de compressão global no betão que pode ser eficaz no controlo de algumas tracções na parte

inferior da consola, mas no que diz respeito ao contrariar a deformação, é totalmente

ineficiente. Considerou-se, então, ser mais eficaz só adoptar cabos na consola superior, pelo

que se analisa seguidamente essa hipótese.

Figura 28 – Deformada da parede do Eixo L devido ao pré-esforço a actuar isoladamente na

consola inferior.

A acção do cabo superior ao actuar isoladamente no elemento, introduz uma deformação

positiva de 0,8mm, pelo que para se ter um ganho de 4,0mm, é necessário multiplicar a força

no cabo por cerca de 5 vezes. O resultado seria uma força de 5000KN.

46

Figura 29 – Traçado do cabo de pré-esforço adoptado e diagrama de forças F₁₁ [MN/m] para a

combinação quase permanente, na parede do Eixo L.

Na Figura 29 mostra-se a distribuição de forças horizontais na parede do eixo L, para o traçado

de cabos recto com um pré-esforço de 5000 KN e para a combinação quase permanente de

acções. Neste caso, toda a zona superior fica à compressão, anula-se a deformação da

consola, mas gerem-se algumas tracções na consola inferior, em particular na zona do vão.

5.1.3 2ª Solução de Traçado de Cabos de Pré-Esforço

A 2ª solução passa por considerar um traçado com cabos curvos, seguindo a solução mais

corrente para uma consola, ou seja, cabos com traçado parabólico, com excentricidade

máxima junto ao encastramento e o mais pequena possível na extremidade contrária (ver

Figura 30). Este traçado permite, em princípio, obter melhores resultados no controlo de

tensões na consola, pois apresenta um traçado que acompanha melhor o diagrama de

momentos e introduz, neste elemento, uma força vertical na extremidade da consola que não

surge com o cabo recto. Por outro lado, numa viga em consola com um traçado parabólico, é

conhecido que este deve, na extremidade, estar próximo do centro de gravidade de modo a

minimizar tensões na face inferior. Neste caso, em particular, não é possível colocar a

extremidade do cabo junto ao centro de gravidade da secção conjunta, pelo que se teve em

consideração essa limitação geométrica. Nesta hipótese, só se consideram cabos superiores.

47

Figura 30 – Traçado de cabos da 2ª solução.

Consola Superior


4,0 -0,8 5000

Tabela 11 – Forças de pré-esforço para o traçado de cabos da solução com cabos curvos.

5.1.4 Comparação das Soluções

É curioso verificar, através da Tabela 11, que apesar de não se esperarem diferenças

significativas em termos do controlo de deformação, chegamos ao mesmo valor de pré-esforço

que na solução com cabos rectos e que as tracções na zona inferior diminuem. Este facto

deve-se, portanto, pela introdução de uma força vertical que provoca na estrutura um diagrama

de esforço transverso, contrariando assim a deformação por corte deste elemento.

Compreende-se, desta forma, que a primeira solução contraria de forma mais eficaz a

deformação por flexão da parede, enquanto que a segunda solução, contraria a deformação

por corte encontrando-se resultados em termos de deformação bastante idênticos.

Face aos resultados anteriores, opta-se pelo cabo parabólico mais favorável em termos das

tensões na parte inferior da parede. Nas Figura 31 e 32 mostra-se a distribuição de tensões

antes e após a aplicação do pré-esforço. Refira-se no entanto, que a aplicação de pré-esforço

mais ligeiro na consola inferior poderia ser útil para anular as ligeiras tracções.

48

Figura 31 – Diagramas de Forças F₁₁ [MN/m] antes da aplicação do pré-esforço na parede do Eixo L,

para uma combinação quase permanente de acções.

Figura 32 – Diagramas de Forças F₁₁ [MN/m] após a aplicação do pré-esforço na parede do Eixo L,

para uma combinação quase permanente de acções.

O traçado de cabos idealizado e o valor de pré-esforço devem servir de base para esta parede

quando inserida no modelo global, mas é natural que haja necessidade de fazer alguma

adaptação, em especial no valor de pré-esforço, já que passa a existir a mobilização do modelo

no seu conjunto.

49

Figura 33 – Deformada do elemento de parede do eixo L nas soluções inicial e final para uma

combinação quase permanente de acções.

50

6 Análise Global

A análise do problema proposto passa, por um lado, pela análise de cada um dos elementos de

parede resistente e também, pela análise conjunta do edifício. O facto da distribuição de cargas

ser diferente pelas paredes dos eixos e estas apresentarem geometrias diversas, provoca

necessariamente uma interacção de comportamento entre os pórticos, pelo que uma análise

global é bastante útil.

É importante salientar que uma análise de pré-esforço numa situação deste tipo não é directa,

nem existe uma forma única de definir o traçado e quantidades de cabos para verificar a

segurança. É necessário estudar alternativas, comparar soluções e verificar a interacção da

estrutura face a modificações do traçado e quantidades de pré-esforço. Este é um processo

iterativo e que nos deve conduzir na procura de uma boa solução. A escolha do traçado de

cabos nos pórticos passa por uma análise do comportamento da estrutura, tentando-se

contrariar as deformações e tensões devidas às cargas permanentes. É natural que diferentes

projectistas possam chegar a diversas soluções e possivelmente, todas soluções aceitáveis.

Os traçados de cabos adoptados neste caso foram essencialmente de dois tipos, parabólicos e

rectos. O cabo recto verificou-se ser importante no controlo da tracção nos pilares. Verifica-se

que a estrutura apresenta deformações devido ao comportamento da consola como elemento

rígido, gerando tracções em alguns pilares na direcção vertical. Ao pré-esforçar os pilares, é

garantido o controlo dessas tracções e, também, a diminuição da deformação que o bloco em

conjunto apresenta. Este facto é verificado no modelo de elementos finitos desenvolvido, onde

se nota uma influência importante dos cabos de tracção para contrariar a deformação global da

estrutura. Os cabos parabólicos nas consolas são eficientes para reduzir a deformação das

próprias consolas. Como a rotação das consolas se dá em torno dos pilares interiores, é

necessário encontrar uma solução que consiga contrariar bem esse efeito, aproveitando as

excentricidades máximas.

Como objectivo na escolha da solução de pré-esforço devemos ter a minimização da

deformação na extremidade da consola, no entanto, o eventual deslocamento por compressão

dos pilares não pode ser evitado à custa do pré-esforço. É uma deformação esperada em

qualquer estrutura, pelo que faz sentido apenas tomar como referência o controlo da

deformação da extremidade do bloco em relação ao topo do pilar que suporta a consola e não

o deslocamento total que teria em conta a deformação vertical da estrutura global. Como se

ilustra na Figura 34.

51

Figura 34 – Representação da deformação relativa da consola.

Combinação L M N

Δδ (C.Q.P.) [mm] 5,29 4,13 1,74

ΔδL (P=1000KN) [mm]

ΔδM (P=1000KN) [mm]

ΔδN (P=1000KN) [mm]

Tabela 12 – Tabela de referência do processo iterativo.

De modo a tornar o processo iterativo mais simples, construiu-se a Tabela 12, que serve como

base a todo este processo. Para uma força de pré-esforço nos cabos de 1000KN, é

determinada a deformação na extremidade da consola em relação ao ponto de rotação acima

referido. Para cada um dos traçados das paredes dos eixos L, M e N é indicada a deformação

relativa em todos os eixos. Deste modo, consegue-se, por um lado, perceber a influência de

cada traçado na estrutura, nomeadamente em cada pórtico e, por outro lado, medir a influência

dos diferentes cabos de pré-esforço na deformação da estrutura. Para optimizar a solução,

cada mudança efectuada quer no traçado quer na quantidade de pré-esforço é comparada com

a anterior. No final, pretende-se que o somatório dos efeitos do pré-esforço de cada eixo

resulte em deformações que contrariam o melhor possível as deformações devidas às cargas

quase permanentes.

52

6.1 Análise do Eixo L

De modo a contrariar as tensões devidas às cargas permanentes indicadas na Figura 35, toma-

se inicialmente, para o traçado de cabos no eixo L, a solução obtida no processo anterior, com

o complemento do cabo vertical (ver Figura 36).

Figura 35 – Diagrama de forças F11 e F22 [MN/m] devido a cargas quase permanentes na parede do

eixo L.

53

Figura 36 – 1º Traçado de cabos no eixo L, com um cabo parabólico-recto e um cabo recto vertical

no pilar direito.

Como tentativa para melhorar a solução, pensou-se em substituir o traçado proposto com dois

cabos, por apenas um cabo que efectuasse o mesmo efeito. Pelo facto de existirem menos

ancoragens, é possível economizar, logo concebeu-se o traçado representado na Figura 37 e

procedeu-se à comparação entre as duas soluções em termos de eficiência para o

comportamento da estrutura.

Figura 37 – Traçado de cabo curvo concebido para o eixo L.

Nesta fase, recorreu-se ao método apresentado na Tabela 12 para obter uma boa base de

comparação e perceber o efeito de ambas as soluções na estrutura.

54

ΔδL (P=1000KN) [mm]

Traçado L M N

1 Cabo -0,76 -0,33 -0,11

2 Cabos -0,76 -0,33 -0,10

Tabela 13 – Deformações obtidas para os traçados de cabos com 1 cabo parabólico e 2 cabos a

fazer o mesmo efeito.

De acordo com a Tabela 13, os cabos de pré-esforço a actuarem no eixo L com 1000KN dão-

nos os valores de deformação relativa das consolas nos vários eixos, verificando-se que

deformação obtida em ambas as soluções é praticamente igual tornando ambas as soluções

boas. A solução com apenas um cabo apresenta menos ancoragens, é favorável, mas pode

apresentar mais dificuldades em obra devido ao seu traçado parabólico e também a maiores

perdas por atrito, no entanto, optou-se neste estudo por esse traçado.

Por outro lado, percebeu-se ser importante adoptar também um cabo de pré-esforço vertical

complementar para contrariar a rotação dos pilares e melhorar o comportamento da estrutura,

logo optou-se pelo cabo curvo referido e um cabo recto no pilar direito. O cabo curvo deverá

ter, como se verá adiante, a maior quantidade de pré-esforço por ser o mais eficaz no controlo

da deformação da estrutura.

O cabo vertical é prolongado até ao segundo piso inferior ao bloco em consola, pois as

tracções no pilar devido às acções permanentes terminam um pouco acima desse ponto.

Uma vez escolhido o cabo parabólico, poderíamos discutir alguns detalhes do traçado em

particular, se na extremidade da consola, o cabo deve ser em curva ou em recta (ver Figura

38).

Figura 38 – Variação da extremidade do traçado do cabo parabólico.

Como já foi analisado com a parede isolada, optou-se pelo cabo curvo, por alcançar melhores

resultados.

55

Figura 39 – Solução de traçado de cabos no eixo L.

Combinação L M N

Δδ (C.Q.P.) [mm] 5,29 4,13 1,74

ΔδL (P=1000KN) [mm] -1,14 -0,49 -0,16


actuar no eixo L.

Refira-se que o cabo principal tem um traçado com uma semi-parábola desde a ponta

esquerda até ao ponto mais elevado e outra semi-parábola desse ponto até a um troço final

recto. Entre as duas semi-parábolas, com raios de curvatura dentro de limites aceitáveis, existe

um pequeno troço recto que se situa com a maior excentricidade possível (ver Figura 39). Este

traçado é escolhido na medida em que tenta anular as tracções existentes para as cargas

permanentes da Figura 35.

6.2 Análise do Eixo M

Em relação ao eixo M, a zona de ligação entre os dois blocos, referida na Figura 40, verifica-se

ser estruturalmente sensível devido à maior dimensão do bloco em consola face ao resto da

estrutura e às tracções que se têm nessa zona (ver Figura 41 e 42). É, portanto, importante,

optar por cabos que transmitam as cargas da consola ao bloco inferior de uma forma eficaz, o

que por razões de geometria, não é conveniente com um cabo. Definiu-se a solução à custa de

dois cabos (ver Figura 43), um para contrariar a rotação do bloco, com um traçado o mais em

cima possível de modo a ser mais eficaz e outro para contrariar as tracções com componente

longitudinal na zona referida fazendo uma ligação mais eficaz à estrutura inferior.

56

Figura 40 – Zona de descontinuidade no pórtico do eixo M.


horizontal na parede do Eixo M.

57


vertical na parede do Eixo M.

Figura 43 – 1ª solução de traçado de cabos na parede do eixo M.

Verifica-se também, neste pórtico, a vantagem de pré-esforçar os pilares. Considerou-se

interessante analisar a eficiência do cabo 3 (Figura 43), pelo facto de este passar na zona

crítica referida e poder contribuir para contrariar a rotação global da estrutura, apesar de em

58

termos de tensões a sua utilidade não ser evidente devido ao pilar estar sujeito a tensões de

compressão.


Cabo 3 L M N

Com -0,62 -0,69 -0,19

Sem -0,39 -0,42 -0,11

Tabela 15 – Deformação da consola devido a forças de pré-esforço a actuar com ou sem o cabo

número 3.

Verificou-se que o cabo 3 introduz ganhos de cerca de 30% ao nível da deformabilidade da

estrutura, o que não deixa de ser significativo. Se for tida em conta a rotação global da

estrutura, verifica-se que a extremidade da consola subiu cerca de 0,27mm devido à presença

deste cabo.

Outra questão interessante é discutir o encaminhamento das cargas até ao encastramento e

em particular o andamento das tracções principais. Sendo esta uma parede com vários pisos,

as cargas que surgem na extremidade do bloco são “suspensas” por tracção ao longo da altura

para serem depois transmitidas por flexão (principalmente no elemento superior mais rígido) à

zona maciça de parede e através desta à ligação ao bloco inferior. (ver Figura 44).

Figura 44 – Modelo de encaminhamento das cargas no eixo M.

59

As tracções podem ser resistidas através da armadura ordinária ou contrariadas através dos

cabos de pré-esforço. Se estes forem dispostos de modo a contrariar os efeitos das cargas, as

tracções são eficientemente diminuídas.

A extremidade do cabo tem alguma relevância no encaminhamento destas cargas, pois com

um traçado parabólico na extremidade esquerda consegue-se fazer a transmissão de tracção

ao pilar de extremidade mais eficientemente apesar de, eventualmente, menos eficiente em

termos de deformação. Deste modo, tal como se mostra na Figura 45, testou-se a solução com

extremidades em parábola em ambos os cabos 1 e 2, ainda que no segundo cabo o efeito da

parábola será certamente pouco relevante já que a flecha é pequena.

Figura 45 – Extremidade dos cabos curvos em parábola.


Tipo de Extremidade L M N

Linear -0,62 -0,69 -0,19

Parabólico -0,53 -0,66 -0,17

Tabela 16 – Deformação da consola devido a forças de pré-esforço de 1000KN nos cabos com

extremidades em recta ou em parábola.

60

Comparando as duas soluções, verificamos que em termos de deformação da consola a

solução com cabos curvos na extremidade ligeiramente menos eficiente, tal como mostra a

Tabela 16.

Apesar de ser aceitável qualquer das soluções adoptam-se, neste estudo, os cabos rectos

como indicado na Figura 46 e com valores de deformação, considerando para todos os cabos

com 1000K,N indicados na Tabela 17.

Figura 46 – Solução de traçado de cabos no eixo M.

Combinação L M N

Δδ (C.Q.P.) [mm] 5,29 4,13 1,74

ΔδM (P=1000KN) [mm] -0,62 -0,69 -0,19


actuar no eixo M.

6.3 Análise do Eixo N

No eixo N, a situação que se verifica é, de certa forma, semelhante à encontrada nos eixos

anteriores. Este pórtico, sendo o que se situa mais próximo da zona rígida da estrutura,

61

nomeadamente o núcleo de elevadores, é o que menos se deforma, consequentemente, é em

termos de tensão e deformação o menos crítico. Na análise ao diagrama de forças na direcção

vertical deste eixo (ver Figura 47), observa-se que toda a parede se encontra sem tracções, à

excepção da zona representada na cor verde-escuro.

Figura 47 – Diagrama de forças F11 e F22 [MN/m] devido às cargas quase permanentes na parede do

eixo N.

A solução definida foi a de um cabo recto e outro parabólico-linear como indicado na Figura 48.

O cabo recto, como nos pórticos anteriores, tem o objectivo de contrariar as tracções no pilar

62

mais recuado. Apesar deste pórtico não apresentar tracções verticais nesta zona, é

conveniente adoptar esse cabo para dar continuidade à força de compressão imposta pelo

traçado de cabo parabólico. Não foi considerado um cabo recto no pilar mais largo devido ao

facto de este se encontrar totalmente à compressão na direcção vertical. As deformações

relativas obtidas para as forças de 1000KN nos dois cabos são indicadas na Tabela 18.

Figura 48 – Solução de traçado de cabos adoptado no eixo N.

Combinação L M N

Δδ (C.Q.P.) [mm] 5,29 4,13 1,74

ΔδN (P=1000KN) [mm] -0,20 -0,18 -0,22


actuar no eixo N.

63

6.4 Análise das quantidades de pré-esforço

Neste capítulo, pretende-se avaliar conjuntamente os efeitos dos cabos para definir as

quantidades de pré-esforço a adoptar e garantir que a deformação seja a menor possível,

contrariando simultaneamente as tracções principais. Como já discutido, cabos verticais nos

pilares são aplicados para contrariar as suas tracções que consequentemente, trazem,

também, alguns benefícios à deformação da estrutura. Contudo, são os cabos diagonais que

efectivamente conduzem a resultados mais eficientes como foi sentido nas análises anteriores.

Sendo assim, serão nesses cabos que se adoptam maiores quantidades de pré-esforço.

Como se observa pela Tabela 19, uma força de pré-esforço de 1000KN em todos os cabos não

é suficiente para obter resultados satisfatórios em termos de deformações como seria de

esperar.

Combinação L M N

Δδ (CQP) [mm] 5,29 4,13 1,74

ΔδL (P=1000KN) [mm] -1,14 -0,49 -0,16

ΔδM (P=1000KN) [mm] -0,62 -0,69 -0,19

ΔδN (P=1000KN) [mm] -0,20 -0,18 -0,22

Σ Δδ [mm] -1,96 -1,36 -0,57

Tabela 19 – Quadro referência para uma força de 1000KN em cada cabo de pré-esforço.

Verifica-se pelo somatório da deformação imposta pelos cabos deverão ser necessárias forças

de pré-esforço cerca de 3 vezes superiores. Na mesma tabela, é possível verificar que cada

traçado de cabos é mais eficaz no seu próprio eixo, mas não deixam de ter uma influência

significativa nos outros eixos. Nota-se, também, a maior rigidez da parede do eixo N, já que é a

que menos se deforma devido à acção do pré-esforço e que a parede do eixo L é a que deverá

ter maiores quantidades de pré-esforço por ser o traçado que maiores deformações impõe à

estrutura, como seria de esperar por estar na extremidade do bloco estrutural.

Após as análises anteriores, os efeitos de cada traçado na estrutura estão globalmente

compreendidos, pelo que se achou conveniente efectuar uma análise mais detalhada no que

toca à distribuição das quantidades de pré-esforço em cada parede. Assim, ao baixar o valor

do pré-esforço nos cabos rectos e aumentar nos cabos curvilíneos e, em especial nos cabos do

eixo L, devido à particularidade deste eixo ser bastante mais flexível que os restantes,

melhorar-se-á a eficiência da solução. Depois de uma série de iterações, conclui-se que uma

boa solução poderia ser a resumida,

64

Força de Pré-esforço [KN]

Traçado L M N

Curvo 3600 3600+2100 2100

Recto 2100 1800+1800 2100

Tabela 20 – Forças de pré-esforço finais adoptadas em cada cabo.

Refira-se que no caso do eixo M no traçado 1 (ver Figura 43) se adoptou 3600KN e no traçado

3, 2100KN.

6.5 Considerações Finais

Como se discutiu, para o tipo de cordões adoptados, podemos prever uma força de pré-esforço

da ordem de 150KN (ver capitulo 3.2), pelo que a tabela referida está de acordo com este

valor, resultando então, que o numero de cabos adoptados para os diferentes traçados são os

indicados na Tabela 21.

Traçado L M N

Curvo 2x12 2x12 + 2x7 2x7

Recto 2x7 1x12 + 1x12 2x7

Tabela 21 – Número de cordões adoptados em cada eixo.

Para o número de cordões pretendidos, é importante verificar se é possível a disposição dos

cabos em obra, em particular, por causa das zonas de ancoragem e de cruzamento dos cabos.

É de referir que não se adoptam cabos de 19 cordões, pois não é uma boa solução para uma

parede com 30cm devido às dimensões das ancoragens necessárias, logo a solução procurada

baseou-se em cabos de 12 ou menos cordões que implica traçados com 2 ou mais cabos.

Nestes casos, o traçado deve ser disposto de forma a que a sua resultante provoque o mesmo

efeito do que a de um só cabo com a mesma força.

Há também que verificar se os cabos conseguem passar nas secções de cruzamento entre

estes, devido à largura da secção ser menor que o diâmetro dos cabos. Nestes casos, houve a

necessidade de ajustar a posição do traçado de cabos e o diâmetro das bainhas a adoptar

garantindo que se garantia a quantidade de pré-esforço necessária e a simetria na secção. A

Figura 49 demonstra um exemplo dessa problemática na zona crítica do eixo M.

65

Figura 49 – Pormenorização do cruzamento de cabos na zona de ligação do eixo M.

Todos os traçados de cabos encontram-se pormenorizados no anexo 3.

6.5.1 Análise às Deformações

Um dos objectivos do estudo, era conceber uma solução de pré-esforço capaz de reduzir as

deformações do volume estrutural em consola, o que foi bem conseguido com se pode verificar

pela deformabilidade global das paredes (ver Tabela 22 e Figuras 49 a 51). Esta solução foi

conseguida aliando a economia às exigências de qualidade do comportamento da estrutura.

Poderia se obter resultados mais atractivos do ponto de vista de deformações e tensões, mas

teríamos de recorrer a soluções com quantidades de pré-esforço maiores, com eventuais

dificuldades de espaço para acomodar os cabos. Desta forma, foi possível obter resultados

muito satisfatórios com uma solução bastante prática e eficaz e tendo em consideração as

condições de execução em obra.

Δδ (C.Q.P.) [mm] 5,29 4,13 1,74

Δδ (PE) [mm] -5,36 -3,54 -1,41

Σ [mm] -0,07 0,59 0,33

Tabela 22 – Deformações nos respectivos pórticos após aplicação do pré-esforço.

66

Figura 50 – Deformada da parede do eixo L para a actuação das cargas permanentes e das forças

de pré-esforço.

Figura 51 – Deformada da parede do eixo M para a actuação das cargas permanentes e das forças

de pré-esforço.

67

Figura 52 – Deformada da parede do eixo N para a actuação das cargas permanentes e das forças

de pré-esforço.

6.5.2 Análise às Tensões

Em termos de distribuição de tensões para a combinação quase permanente de acções os

resultados são igualmente satisfatórios como pode ser verificado nos diagramas de tensões

apresentados no anexo 1 e, em particular, na Figura 53 relativa ao eixo L. Todos os pórticos

encontram-se praticamente sem tracções à excepção de certas zonas localizadas. As zonas

principais que sem pré-esforço estavam sujeitas a tracções importantes devido às cargas

permanentes, estão comprimidas, como é o caso da zona de encastramento da consola da

parede do eixo L e dos pilares, que apresentavam tracções até ao 2º ou 3º piso abaixo da

consola.

Relativamente à parede do eixo L, surgem apenas algumas tracções na zona inferior da

consola na direcção horizontal, com valores inferiores ao de fendilhação. Por outro lado, na

zona superior direita também surgem algumas tracções que, se encontram na zona afectada

pelo cabo curvilíneo. Estas situações irão ser discutidas no subcapítulo seguinte.

68

Figura 53 – Diagrama de forças F11 [MN/m] para a combinação quase permanente no eixo L, após

aplicação do pré-esforço.

A parede do eixo M apresenta algumas tracções em ambas as direcções. Na zona da

extremidade da consola, em altura, existem tracções devido ao encaminhamento das cargas

verticais dos pisos inferiores para os apoios, que são reduzidas devido à aplicação do pré-

esforço. Na direcção horizontal (ver Figura 55), verificam-se algumas tracções nas zonas das

aberturas que não são preocupantes em termos de comportamento global. Por outro lado,

surgem zonas de tracção localizadas devido à aplicação dos cabos de pré-esforço que

naturalmente não podem ser evitadas. No entanto, a zona onde inicialmente se desenvolviam

maiores tracções, a zona de ligação entre os dois blocos, encontra-se à compressão.

Figura 54 – Diagrama de forças F11 [MN/m] para a combinação quase permanente no eixo M, após

aplicação do pré-esforço.

69

Relativamente ao eixo N, os diagramas de forças demonstram que praticamente todo o

elemento se encontra à compressão à excepção das zonas típicas já referidas nos eixos M e L.

6.6 Verificação da segurança aos Estados Limites Últimos

Usualmente, numa zona pré-esforçada em que a deformação da estrutura é bem contrariada, a

segurança aos Estados Limites Últimos não exige a consideração de quantidades de armadura

ordinárias significativas, em especial nos casos em que a sobrecarga é baixa face às acções

permanentes.

É importante referir que para uma combinação fundamental de acções, no que diz respeito à

verificação à rotura, as cargas verticais são majoradas o que não acontece com o efeito do pré-

esforço, deste modo, os campos tensões normalmente agravam-se em comparação com a

situação de serviço.

O aço utilizado nas verificações de segurança apresentadas seguidamente é o A500NR. Foi

considerado judicioso adoptar uma malha geral nas paredes de Ф12//0.15 em cada face (15.08

cm2/m) e verificar em seguida todas as zonas onde fosse necessário mais armadura.

Apresentam-se no Anexo 2 as distribuições de forças nas paredes para a combinação de

acções aos Estados Limites Últimos.

Em todos os eixos, na direcção horizontal, surgem tracções na zona do canto superior direito,

em particular, nos eixos L e M. É natural que, o cabo de pré-esforço adoptado com um raio de

curvatura que introduz forças de compressão no sentido oposto a esta zona, faça surgir

algumas tracções mais significativas na zona do canto com valor superior ao verificado sem os

cabos de pré-esforço. A zona inferior das consolas tem, também, algumas zonas com tracções

que resultaram do pré-esforço adoptado, que foi essencialmente concebido para anular a

deformação da extremidade da consola. Também junto às aberturas, as paredes apresentam

algumas concentrações de tracções que devem ter uma pormenorização adequada para

controlar a fendilhação.

Na direcção vertical o nível de forças de tracção não parece vir a exigir mais armadura do que

a prevista, devendo-se, no entanto, verificar algumas zonas.

A parede do eixo M apresenta, para além das situações referidas em cima, algumas tracções

adicionais na zona entre as aberturas e a extremidade do pórtico devido ao encaminhamento

das tracções até ao encastramento, situação que o pré-esforço não evita. No eixo N, são claras

as tracções na zona entre as duas aberturas superiores. Sendo esta uma secção com uma

70

altura pequena, é fácil compreender o comportamento de viga com tracções a meio vão,

independentes do resto do pórtico.

De modo a verificar a segurança aos Estados Limites Últimos vamos ilustrar o método

apresentado no ponto 3.7.1 para a determinação das armaduras. Conforme foi referido, torna-

se difícil e talvez desnecessário a aplicação deste método a todos os pontos das paredes

devido ao elevado número de valores envolvidos. Por esta razão, são escolhidas algumas

zonas de forma a ser possível a avaliação da armadura a colocar como a indicada na Figura

55.

Figura 55 – Diagrama de forças F11 [MN/m] na parede do eixo L indicando os pontos para aplicação

do método de determinação da armadura na zona superior.

Ao aplicar o método nos pontos representados, podemos construir a seguinte tabela,

Tabela 23 – Determinação das zonas referentes ao método de cálculo de armaduras nos pontos

indicados.

Pontos n11 [KN/m] n22 [KN/m] ν [KN/m] n11/ν n22/ν Zona

(direta-esquerda) - - - - - -

1 370,97 -105,87 161,03 2,30 -0,66 I

2 719,18 25,64 124,03 5,80 0,21 I

3 1033,57 29,57 141,90 7,28 0,21 I

4 1225,77 104,13 80,30 15,26 1,30 I

5 1231,42 -700,54 -295,21 4,17 -2,37 III

6 56,89 -4078,74 -850,53 0,07 -4,80 III

(cima-baixo) - - - - - -

1 1231,42 -700,54 -295,21 4,17 -2,37 III

2 -37,21 -1244,06 -278,59 -0,13 -4,47 IV

71

Considerando o ângulo de compressões θ=45º para a zona I, obtêm-se os valores de

armaduras indicados na Tabela 24.

Tabela 24 – Determinação das armaduras referentes aos pontos indicados.

Face aos valores encontrados há que definir a área de armadura a adoptar na direcção x

naquela zona que se propõe ser o valor máximo naqueles pontos, ou seja,

,©ª«ª ! 35,09ij²/j (6.1)

Observa-se que esta quantidade de armaduras é mais elevada que a área de armadura geral

adoptada, no entanto, verifica-se que esse valor é apenas concentrado na face superior da

parede. Por este motivo, opta-se apenas por adoptar de armadura longitudinal localizada junto

à face superior em que a altura do elemento é da 0,5m. ,©ª«ª ! 35,09 D 0,5 ! 17,55ij² G 6Ф20 (6.2)

Relativamente às tracções existentes na zona das aberturas podemos aplicar um procedimento

semelhante.

Pontos Fx [KN/m] Fy [KN/m] Asx/s [cm²/m] Asy/s [cm²/m]

(direta-esquerda) - - - -

1 532,00 55,16 12,23 1,27

2 843,21 149,67 19,38 3,44

3 1175,47 171,47 27,02 3,94

4 1306,07 184,43 30,02 4,24

5 1526,63 0,00 35,09 0,00

6 907,42 0,00 20,86 0,00

(cima-baixo) - - - -

1 1526,63 0,00 35,09 0,00

2 0,00 0,00 0,00 0,00

72

Figura 56 – Diagrama de forças F11 [MN/m] na parede do eixo L indicando os pontos para aplicação

do método de determinação da armadura na zona das aberturas.

Tabela 25 – Determinação das zonas referentes ao método de cálculo de armaduras nos pontos da

zona de aberturas.

Tabela 26 – Determinação das armaduras referentes aos pontos da zona de aberturas.

Adoptando varões longitudinais, para a força no elemento em causa, ter-se-ia, com base no

mesmo critério referido anteriormente,

,¯ª©ª ! 15,68 D 0,5 ! 7,84ij² G 4Ф16 (6.2)

Pontos (direita-esquerda) n11 [KN/m] n22 [KN/m] ν [KN/m] n11/ν n22/ν Zona

superiores - - - - - -

1 280,31 -1229,14 275,66 1,02 -4,46 III

2 -61,13 -1224,24 457,58 -0,13 -2,68 III

inferiores - - - - - -

1 -128,28 -8,43 632,83 -0,20 -0,01 I

2 389,38 -394,10 292,88 1,33 -1,35 III

3 359,35 -1019,81 22,42 16,03 -45,49 III

4 110,59 -1331,19 -121,90 0,91 -10,92 III

Pontos (direita-esquerda) Fx [KN/m] Fy [KN/m] Asx/s [cm²/m] Asy/s [cm²/m]

superiores - - - -

1 555,97 0,00 12,78 0,00

2 396,45 0,00 9,11 0,00

inferiores - - - -

1 504,55 -8,23 11,60 0,00

2 682,26 0,00 15,68 0,00

3 381,77 0,00 8,78 0,00

3 232,49 0,00 5,34 0,00

73

Apesar de na direcção vertical não haver a necessidade de armaduras de reforço, em todo o

contorno das aberturas é adoptada com a mesma área de aço.

Por outro lado, de acordo com o capítulo 3.7.1, 3.7.1existe a necessidade de efectuar a

verificação da segurança destes elementos à compressão. Recorrendo às expressões

indicadas no mesmo capítulo, para as respectivas zonas do elemento verificou-se que a

segurança ao esmagamento do betão era assegurada.

Em resumo, adoptou-se uma malha em toda a parede, em ambas as direcções, de Ф12//.0.15

e reforçou-se com varões longitudinais em todo o contorno das aberturas e na zona superior

direita. A opção de adoptar varões longitudinais localizados deve-se ao facto de as tracções

existentes serem concentradas. Por outro lado, observa-se que na zona inferior da consola

existem algumas tracções, como já foi referido, mas verifica-se que a armadura geral é

suficiente para garantir a segurança, no entanto, foram dispostos também 4Ф16 em todo o

contorno da parede.

Representam-se nas Figuras 56 e 57 a pormenorização das armaduras resultante do processo

referido.

Figura 57 – Pormenorização de armaduras horizontais no eixo L.

74

Figura 58 – Pormenorização de armaduras verticais no eixo L.

75

7 Conclusão

Neste trabalho, foi estudada a forma como conceber soluções pré-esforçadas em elementos de

parede nos quais existe uma interacção entre os vários pórticos. Hoje em dia, com a

criatividade de arquitectos e o avanço da tecnologia, surgem várias situações em que é

necessária a aplicação de pré-esforço, nomeadamente, como no caso estudado, através da

concepção de vários pórticos com consolas significativas.

Através deste estudo, foi possível ilustrar uma forma simples de conceber uma solução de

betão armado pré-esforçado para estruturas deste tipo. Com a aplicação a uma obra

específica, o Hotel Savoy, foi possível apresentar todo o processo de dimensionamento e que

pode servir de orientação para outros projectos que se encontrem em situações similares.

Penso ter sido um trabalho muito útil para mim, como estudante na vertente de Estruturas e

que possa orientar outros colegas que pretendam conceber soluções pré-esforçadas com

elementos de parede, de uma forma organizada.

Relativamente à solução encontrada, esta revelou-se bastante aceitável. Sendo o objectivo

central controlar as deformações ao longo do volume em consola, verificou-se que após a

aplicação da tensão nos cabos de pré-esforço, a deformação é praticamente nula. Verificam-se

algumas tracções nas paredes mesmo depois da aplicação da tensão nos cabos, mas que

foram bem resolvidas com armadura ordinária. As quantidades de cabos utilizadas são

razoáveis tendo em conta as limitações na secção de ancoragem e o traçado de cabos

mostrou-se ser viável do ponto de vista de aplicação em obra.

76

8 Bibliografia

[1] – Schlaich, Jorg; Schafer, Kurt; Jennewein, Mattias - Toward a Consistent Design Of

Structural Concrete, Special Report

[2] – Pereira, Orlando J. B. A. – Introdução ao método dos elementos finitos na análise de

problemas planos de elasticidade, Instituto Superior Técnico, 2005

[3] – Curso de Betão Armado Pré-Esforçado, Técnica, Revista da associação dos estudantes

do Instituto Superior Técnico, Lisboa, 1978

[4] – Nilson, Arthur H. – Desing Of Presstressed Concrete, John Wiley & Sons Inc., New York

[5] – Warner, R. F. e Faulkes, K. A. – Prestressed Concrete, A Pitman Text, Australia

[6] – Lacroix, R. e Fuentes, A. – Hormigon Pretensado, editores tecnicos asociados, s.a.,

Barcelona

[7] – Moderna Enciclopédia Universal, Lexicoteca, Circulo de Leitores

[8] – O’Brien, Eugene J. e Dixon, Andrew S. – Reinforced and prestressed concrete design, the

complete process, Longman Scientific & Technical

[9] – Cruz, João Sérgio e Almeida, João Carlos F. – Verificação da segurança em estados

planos de tensão em elementos de betão armado, Instituto Superior Técnico

[10] – Owen, D. R. J. e Hinton, E. – Finite Elements In Plasticity: Theory and Practice, Pineridge

Press Limited, Swansea, U.K.

[11] – Collins, Michael P. and Mitchell, Denis – Prestressed Concrete Basics, Canadian

Prestressed Concrete Institute, Canada

[12] – Eurocode 2: Design of concrete structures – Part 1-1: General rules and rules for

buildings, European Committee for standardization, 2005

77

Anexos

78

Anexo 1: Diagramas de Forças para Combinação Quase

Permanente

79

• Eixo L

Anexo 1 – Diagrama de forças F11 para a combinação quase permanente no eixo L, após aplicação

do pré-esforço [MN/m].

Anexo 2 – Diagrama de forças F22 para a combinação quase permanente no eixo L, após aplicação


80

• Eixo M

Anexo 3 – Diagrama de forças F11 para a combinação quase permanente no eixo M, após aplicação


Anexo 4 – Diagrama de forças F22 para a combinação quase permanente no eixo M, após aplicação


81

• Eixo N

Anexo 5 – Diagrama de forças F11 para a combinação quase permanente no eixo N, após aplicação


Anexo 6 – Diagrama de forças F22 para a combinação quase permanente no eixo N, após aplicação


82

Anexo 2: Diagramas de Forças em Estado Limite Último

83

• Eixo L

Anexo 7 – Diagrama de forças F11 para a combinação fundamental no eixo L, após aplicação do

pré-esforço [MN/m].



84



• Eixo M

Anexo 10 – Diagrama de forças F11 para a combinação fundamental no eixo M, após aplicação do


85





86

• Eixo N

Anexo 13 – Diagrama de forças F11 para a combinação fundamental no eixo N, após aplicação do




87



88

Anexo 3: Desenhos

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