Din de Satelites Inpe

7/24/2019 Din de Satelites Inpe

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sid.inpe.br/mtc-m19/2012/01.26.19.13-PUD

CINEMATICA E DINAMICA DE SATELITES

ARTIFICIAIS

Valdemir Carrara

URL do documento original:

INPE

Sao Jose dos Campos

2012
http://urlib.net/8JMKD3MGP7W/3B96GD8http://urlib.net/8JMKD3MGP7W/3B96GD8


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PUBLICADO POR:

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CINEMATICA E DINAMICA DE SATELITES

ARTIFICIAIS

Valdemir Carrara

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RESUMO

Este trabalho descreve o equacionamento necessrio para a compreenso do movimentorotacional de corpos livres no espao, com aplicao a satlites artificiais. O movimentode atitude descrito por meio de relaes cinemticas e dinmicas, que permitem ainterpretao dos efeitos causados por torques internos e externos. Apresenta-se,inicialmente a definio de atitude e as relaes da cinemtica, usando para isso anotao de vetrizes. A distribuio de massa analisada bem como os momentos

principais de inrcia dos corpos. A seguir derivam-se as equaes da dinmica para umcorpo rgido, para um corpo dotado de amortecedores de nutao, para um corpo dotadode rotores, e, finalmente, para um corpo composto por diversos apndices articulados.Este trabalho visou documentar o equacionamento das relaes de movimento a seremutilizadas no simulador de atitude da Plataforma Multi-Misso. Posteriormente adaptou-se o documento de forma a servir igualmente de matria didtico para apoio ao ensinodo movimento de atitude na disciplina Movimento de um Slido, do curso de ps-graduao em Engenharia e Tecnologia Espaciais, modalidade Mecnica Espacial eControle.


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ABSTRACT

This paperdescribes theequations of the rotational motionof bodiesinfreespace, withapplication toartificial satellites.The attitude motion isdescribed bymeans ofdynamicandkinematic relations and the effectscaused byinternal and externaltorques. Initiallyattitude is defined, as well as the kinematic equations usingvectrix notation. The massdistribution is analyzed as well as the inertia momentsand principal axes. Then it isderived the dynamic equations of a rigid body, followed by abody equiped withnutationdampers, a body equiped with rotors and finally abodycomposed of severalarticulatedappendages. Thisstudy aimed todocument themotion equationsto beusedin theattitude simulator ofMulti-Mission Platform. Laterthis documentwas adaptedtosuitalsoas didacticmaterialto support teachingattitude motion topostgraduatecoursein Engineering andSpaceTechnology, Space Mechanicsand Control.

SATELLITE ATTITUDE KINEMATICS AND DYNAMICS


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SUMRIO

Pg.

1 INTRODUO........................................................................................................ 12 TRANSFORMAES DE COORDENADAS....................................................... 3

2.1 Notao de vetores e matrizes .......................................................................... 42.2 Vetrizes............................................................................................................. 62.3 Rotaes entre sistemas de coordenadas .......................................................... 82.4 Operaes entre vetores e entre vetrizes......................................................... 102.5 Didicas .......................................................................................................... 112.6 Problemas ....................................................................................................... 13

3 REPRESENTAO DA ATITUDE ..................................................................... 153.1 Matriz de co-senos diretores........................................................................... 153.2 ngulo e eixo de Euler ................................................................................... 163.3 ngulos de Euler ............................................................................................ 183.4 Parmetros simtricos de Euler ...................................................................... 203.5 Movimento com ngulos infinitesimais ......................................................... 233.6 Problemas ....................................................................................................... 24

4 RELAES DA CINEMTICA........................................................................... 274.1 Velocidade angular......................................................................................... 274.2 Cinemtica em ngulo-eixo de Euler.............................................................. 304.3 Cinemtica em ngulos de Euler .................................................................... 324.4 Cinemtica em parmetros simtricos de Euler ............................................. 33

4.5 Cinemtica em deslocamentos infinitesimais................................................. 344.6 Problemas ....................................................................................................... 355 TENSOR DE INRCIA......................................................................................... 37

5.1 Centro de massa.............................................................................................. 375.2 Tensor de inrcia ............................................................................................ 385.3 Momentos principais de inrcia...................................................................... 405.4 Problemas ....................................................................................................... 42

6 DINMICA DE PEQUENAS MASSAS .............................................................. 456.1 Equao vetorial do momento angular ........................................................... 466.2 Momento angular num sistema girante .......................................................... 496.3 Energia cintica do sistema de massas ........................................................... 50

6.4 Equaes escalares do movimento ................................................................. 517 DINMICA DE UM CORPO RGIDO................................................................. 55

7.1 Equao vetorial do momento angular ........................................................... 557.2 Equaes vetoriais do movimento.................................................................. 577.3 Equaes escalares do movimento ................................................................. 607.4 Equaes em relao ao centro de massa ....................................................... 62

8 CORPO RGIDO ACOPLADO A ROTORES...................................................... 638.1 Vetor do momento angular............................................................................. 638.2 Equaes vetoriais do movimento.................................................................. 648.3 Equaes escalares do movimento ................................................................. 678.4 Equaes em relao ao centro de massa ....................................................... 70


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9 CORPO RGIDO COM AMORTECEDOR DE NUTAO ............................... 739.1 Vetor do momento angular............................................................................. 769.2 Equaes escalares do movimento para amortecedor translacional............... 78

9.3 Equaes em relao ao centro de massa com amortecedor translacional..... 819.4 Equaes escalares do movimento para amortecedor rotacional ................... 8310 CORPO RGIDO ACOPLADO A APNDICES ARTICULADOS................. 87

10.1 Vetor do momento angular............................................................................. 8710.2 Equaes vetoriais do movimento.................................................................. 8810.3 Equaes escalares do movimento ................................................................. 9110.4 Equaes vetoriais do movimento em relao ao centro de massa ................ 9410.5 Equaes escalares do movimento em relao ao centro de massa ............... 9710.6 Equaes vetoriais com velocidades explcitas no tempo............................ 100

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................... 103


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1

1 INTRODUO

Um satlite artificial em rbita da Terra ou vagando pelo espao pode ser considerado

fisicamente como um corpo livre de foras e torques, no sentido de que as aesremanescentes, isto , as foras e torques que ainda restam neste ambiente so depequena intensidade e, portanto, produzem pouco ou nenhum efeito em seu movimento.Mais especificamente, as foras alteram a velocidade do satlite, e, como conseqncia,modificam sua rbita. Por outro lado os torques so responsveis pelo movimento dosatlite ao redor de si, ou seja, alteram a velocidade de rotao dele. Este movimentomuda a orientao com o tempo, e permite que o satlite aponte um dado instrumento

para uma direo escolhida, desde que se consiga dosar o torque convenientemente. Adireo que o satlite aponta conhecida como atitude, e o movimento ditomovimento de atitude. A atitude sempre relacionada a um sistema de referncia, isto, um sistema de coordenadas em relao ao qual a atitude referida ou medida. Para

que o movimento do prprio sistema de coordenadas de referncia no afete ouinfluencie a atitude, desejvel que este sistema seja inercial, que, por definio, indicaum sistema fixo (sem movimento) em relao ao espao. Na prtica no existe umsistema inercial perfeito, pois at mesmo as estrelas mais distantes movem-se comrelao Terra. Contudo, este movimento pode ser ignorado para finalidades analisadasaqui.

O estudo do movimento de atitude pode ser feito de forma independente s suas causas,ao que se chama cinemtica, ou ento levando em conta o movimento ao longo dotempo, conhecido como dinmica. Na verdade ambos so importantes no projeto desatlites, e sero abordados nos prximos captulos.

A modelagem apresentada neste documento visa atender um objetivo estabelecido aalguns anos, de dotar o INPE com um sistema de simulao computacional de atitude,que pudesse ajudar no desenvolvimento das diversas fases de uma misso espacial,desde a anlise da misso, passando pelo projeto e definio do sistema de controle deatitude, e chegando at a fase de simulao em tempo real com equipamentos dentro damalha de controle, para finalidades de qualificao do subsistema.


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2 TRANSFORMAES DE COORDENADAS

O movimento de um corpo rgido no espao usualmente representado por um conjunto

de equaes vetoriais. Livros e artigos empregam notaes distintas, por vezesconflitantes, ao apresentar tais modelos. Um vetor pode, por exemplo, ser denotado emnegrito, como em u, com seta acima ou abaixo do smbolo ( u

, u ), ou ainda em itlico

com ou sem negrito (u , u

), e, finalmente, at mesmo em itlico e sem negrito como em

u. Diante de tantas variaes, natural que surja um pouco de confuso, ainda mais sefor considerado que um vetor necessita ser expresso em uma base ou sistema decoordenadas, e, novamente, novas alternativas se abrem: [ , , ]x y zu u u=u

, ou

( )Tx y zu u u=u

, ou x y zu u u= + +u i j k

, e muitas outras.

Alm disso, vetores unitrios como k aparecem, s vezes, com seta ou, como foigrafado, com um circunflexo superior ou ainda sem qualquer nfase. A indicao detransposio de uma matriz ou vetor sofre de ambigidade: por vezes o sobrescrito T(itlico ou no), e por vezes basta uma apstrofe como em u. A representao doscomponentes do vetor na forma matricial tampouco exclusiva: usam-se igualmente

parntesis ou colchetes para indic-los. Outro problema tpico a possibilidade de serepresentar um mesmo vetor em bases distintas. Uma vez que no se pode escrever:

( , , )x y zu u u=u e ( , , )x y zv v v=u sem que inevitavelmente se conclua que ux= vx,uy= vy

e uz = vz, ento uma indicao clara do sistema de coordenadas no qual o vetor representado torna-se obrigatria. Para isso emprega-se tanto sobrescritos quanto sub-escritos: ou , ou , ou ( , , )x y z ou u u=u . Infelizmente esta tcnica introduz um outro

problema, j que notaes diferentes passam a representar um mesmo vetor, ou seja,parece haver um paradoxo ao se efetuar uma simples soma vetorial como esta:

o a b= +u v w , pois os vetores seriam representados em bases distintas.

Embora seja perfeitamente possvel trabalhar exclusivamente com uma representaovetorial-matricial dependente da base, esta forma exige cuidados especiais sempre quefor necessrio efetuar mudanas de base. As referncias bibliogrficas nesta reafreqentemente cometem imprecises matemticas para o bem da visualizao. A

prpria representao matricial de um vetor uma incoerncia, pois vetores soentidades que possuem mdulo, direo e sentido, o que certamente no se enquadra na

definio de matrizes, muito embora seja possvel atribuir ou deduzir estas qualidades apartir dos componentes expressos numa base qualquer. Alm disso, certas operaescomo o produto escalar e vetorial so definidos para vetores, mas no para matrizes,ainda que seu resultado tambm possa ser obtido, em ltima instncia, por operaesordinrias entre matrizes.

Na busca por uma notao que, mais do que resolver o problema, pudesse oferecer umpouco mais de rigor matemtico e fsico, decidiu-se utilizar o conceito de vetrizes, que,como a mistura do nome indica, permite passar de uma representao para a outra,mantidos os devidos conceitos de cada uma, aliado a um maior rigor matemtico. Esteconceito no de fcil assimilao, embora suas vantagens tornem-se evidentes com


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seu uso intensivo. A formalizao de vetrizes pode ser encontrada em diversos livros, e,em particular, em Hughes (HUGHES, 1986). Ser apresentado aqui, nas prximassees, a definio de vetrizes, suas principais propriedades, e o conceito de didica.

2.1 Notao de vetores e matrizes

Vetores sero representados em negrito, em minsculo, com seta abaixo do smbolo: u ,

ou a . Matrizes de uma ou mais colunas so apresentadas com smbolos em negrito,

como u, vou J. Em geral smbolos em minsculo representaro os vetores ou matrizesde uma coluna. Smbolos em itlicos sero usados para representar escalares.

As principais operaes utilizadas aqui e que envolvem vetores so o produto escalarentre dois vetores:

cosa= u v u v , 2.1

que resulta num escalar igual ao produto do mdulo dos dois vetores e o co-seno dongulo entre ambos, e o produto vetorial:

= u v . 2.2

que resulta um vetor perpendicular a ambos, e cujo mdulo dado pelo produto dos

mdulos dos vetores e o seno do ngulo entre eles:

sen= w u v u v 2.3

Quando os vetores u e v so expressos em termos de combinao linear de versores

unitrios 1a , 2a , 3a de uma base ortonormal, tal que 1 1 2 2 3 3 u u u= + +u a a a e

1 1 2 2 3 3 v v v= + +v a a a , ento o produto escalar facilmente obtido por meio de:

1 1 2 2 3 3a u v u v u v= = + +u v , 2.4

enquanto que o produto vetorial resulta:

2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3 ( ) ( ) ( )u v u v u v u v u v u v= = + + u v a a a 2.5

O mdulo de um vetor pode ser obtido com base nas componentes referidas baseortonormal:

1 1 2 2 3 3u u u u u u u= = = + +u u u 2.6

A representao matricial de um vetor feita na forma de uma matriz coluna:


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5

1

1 2 3 2

3

( )Tv

v v v v

v

= =

v , 2.7

onde o sobrescrito T indica a transposio da matriz. As operaes equivalentes aoproduto escalar e vetorial na representao matricial so efetuadas por:

Ta= v w , 2.8

e

=u v w , 2.9

respectivamente, no qual o sobrescrito indica a composio da matriz anti-simtrica

equivalente ao produto vetorial:

3 2

3 1

2 1

0

0

0

v v

v v

v v

v , 2.10

dado que se conhea as componentes de vnuma dada base: 1 2 3( )Tv v v=v .

Assim como no produto vetorial vale a regra = v w w v , segue tambm que = v w w v . Igualmente, como = v w w v , tambm

T T=v w w v .

Duas propriedades dos vetores so importantes do ponto de vista da anlise dinmica domovimento de um slido: o duplo produto vetorial e o produto misto. Ambas so defcil demonstrao e, portanto, sero apresentadas sem maiores detalhes. O duplo

produto vetorial resulta:

( ) ( ) ( ) = u v w u w v u v w , 2.11

enquanto que o produto misto permite escrever:

= u v w u v w 2.12

As representaes matriciais destas duas propriedades so, respectivamente:

( ) ( )T T = u v w u w v u v w 2.13

e

( )T T T = =u v w u v w v w u 2.14


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6

A combinao das propriedades acima indicadas com aquelas da permutao dosoperadores permite estender ainda mais o nmero de igualdades. Este desenvolvimentoser deixado a cargo do leitor.

2.2 Vetrizes

Uma vez estabelecido que vetores so diferentes de matrizes, introduz-se agora umatransformao que permite passar de uma representao para outra. J que a formamatricial ser usada exclusivamente para a notao dos componentes de um vetor numadada base, seja ento a base FFFFa de um sistema de coordenadas retangulares na qual ovetor v expresso por:

1 1 2 2 3 3 v v v= + +v a a a , 2.15

e tal que os versores ia , (i= 1, 2, 3) que constituem a base de FFFFaso unitrios. Umavetriz FFFFa ento definida como a matriz coluna que armazena, em seus componentes, osversores relativos a esta base:

FFFFa1

2

3

a

a

a

2.16

No h conflito em utilizar o mesmo smbolo FFFFapara denotar a base e a vetriz, pois estaltima fornece justamente os versores da base. Nota-se que a vetriz tanto uma matriz

quanto um vetor, de onde provm o nome de vetriz. Se for definida agora a matrizcoluna dos componentes do vetor v na mesma base, isto , sendo vdado por:

1

2

3

v

v

v

v , 2.17

segue ento imediatamente que se pode perfeitamente passar da representao matricialpara a vetorial (e vice-versa) por meio de simples operaes de produto escalar entrevetores ou produto de matrizes:

T T

a a= =v v v F FF FF FF F , 2.18

e similarmente

1

2

3

a a

= = =

v a

v v v v a

v a

F FF FF FF F 2.19


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7

Estas equaes, embora simples, sintetizam ao mesmo tempo o poder e a flexibilidadedas vetrizes, pois permitem passar de uma representao para outra. claro que destaltima pode-se tambm inferir que

T T T

a a= = v v v F FF FF FF F , 2.20

de onde se percebe que, ao contrrio de um vetor, uma vetriz pode ser transposta.

importante notar que as vetrizes comportam-se tanto como vetores quanto comomatrizes. De fato, percebe-se que:

3 2

3 1

2 1

T

a a a

=

0 a a

a 0 a

a a 0

F F FF F FF F FF F F , 2.21

enquanto que:

T

a a = 1F FF FF FF F 2.22

no qual 1 a matriz identidade de ordem 3.

O produto escalar entre os vetores u e v expressos na base FFFFapode agora ser posto na

forma de vetrizes, resultando:

T T T

a a = =u v u v u v F FF FF FF F , 2.23

j definido anteriormente. O produto vetorial entre u e v realizado de forma similar:

T T T T

a a a a

= = =u v u v u v u v F F F FF F F FF F F FF F F F , 2.24

cuja prova ser deixada a cargo do leitor.

A principal distino entre as representaes evidenciar que um vetor, ao contrrio deseu equivalente matricial, no necessita de uma base. De fato, dados dois sistemas decoordenadas FFFFaeFFFFb, se vae vbrepresentarem respectivamente o vetor v nestas bases,

ento pode-se escrever:

T T

a a b b= =v v v F FF FF FF F , 2.25

e, analogamente,

a a= v vFFFF , b b= v vFFFF 2.26


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8

2.3 Rotaes entre sistemas de coordenadas

Se um sistema de refernciaFFFFbcuja base dada pela vetriz FFFFb=

( )1 2 3

T

b b b possuir

uma dada orientao relativa a um outro sistema FFFFa, ento conhecendo-se os co-senosdiretores dos versores deFFFFbem relao a FFFFa(Figura 2.1) pode-se relacionar os sistemas

por meio de:

1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 3

c c c

c c c

c c c

= + +

= + +

= + +

b a a a

b a a a

b a a a

, 2.27

que leva expresso:

b ba a= CF FF FF FF F , 2.28

no qual a matriz Cbafornece os co-senos diretores da transformao:

1 1 1 2 1 311 12 13

21 22 23 2 1 2 2 2 3

31 32 33 3 1 3 2 3 3

T

ba b a

c c c

c c c

c c c

= = =

b a b a b a

C b a b a b a

b a b a b a

F FF FF FF F 2.29

aFFFFbFFFF

1b

1a

3a

2a

3b

2b

Figura 2.1 Os sistemas de coordenadas FFFFaeFFFFb.

Uma vez que toda matriz de transformao entre sistemas de coordenadas retangulares

ortogonal prpria, ento vale a propriedade:

1 Tba ba ab

= =C C C , 2.30

de onde se conclui que:

1 Ta ab b ba b ba b

= =C C CF F F = FF F F = FF F F = FF F F = F. 2.31

Multiplicando direita pela transposta da vetrizFFFFb, tem-se igualmente que:

T

ab a b= C F FF FF FF F . 2.32


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9

Em particular, quando a transformao envolvendo os sistemas uma rotao puraefetuada ao redor de um dos eixos cartesianos (1, 2 ou 3), ento as matrizes querelacionam os sistemas resultam em (HUGHES, 1986; WERTZ, 1978):

1

1 0 0

( ) 0 cos sen

0 sen cos

C , 2.33

2

cos 0 sen

( ) 0 1 0

sen 0 cos

C 2.34

3

cos sen 0

( ) sen cos 0

0 0 1

C 2.35

A Figura 2.2 ilustra uma transformao de rotao ao redor do eixoz.

za zb

xa

xb ya

yb

Cba= C3()

Figura 2.2 Rotao de um sistema de coordenadas ao redor do eixo z.

Estas matrizes so denominadas bsicas, pois operam em direes especficas. Parainverter qualquer uma delas, basta trocar o sinal do ngulo de rotao, o que leva aoresultado:

1( ) ( ) ( )Ti i i = = C C C . 2.36

Se vae vbrepresentarem a matriz coluna dos componentes do vetor v nas basesFFFFaeFFFFb,

respectivamente, ento por definio tem-se que:

a a= v vFFFF , b b= v vFFFF , 2.37

mas, da inverso desta ltima, Tb b=v v FFFF , que resulta, aps a substituio em va:

T

a a b b ab b= =v v C vF FF FF FF F , 2.38


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10

um resultado j bastante conhecido. Cab representa a matriz, portanto, dos co-senosdiretores da base FFFFana baseFFFFb, ou a matriz de rotao que gira o sistema bem direoao sistema a.

2.4 Operaes entre vetores e entre vetrizes

Com base nas definies de vetrizes e matrizes de mudana de base, pode-se estabeleceras principais propriedades das operaes entre vetores. Seja ento trs vetores u , v e

, cujas representaes matriciais a= u uFFFF , b= v vFFFF e c= wFFFF so conhecidasem bases distintasFFFFa, FFFFbe FFFFc, respectivamente, e tal que Cabe Cacso as matrizes demudana de base entre os sistemas FFFFae FFFFb, e entre FFFFaeFFFFc, ou seja:

T

ab a b= C F FF FF FF F ,T

ac a c= C F FF FF FF F . 2.39

Neste caso, a soma, o produto escalar e o produto vetorial resultam:

( )

( )

( )

T

a ab ac

T T T

b ab ab ac

T T T

c ac ac ab

+ + =

+ +

+ +

+ +

u v w

u C v C w

C u v C C w

C u C C v w

= F= F= F= F

= F= F= F= F

= F= F= F= F

, 2.40

( )T T T T T a b ab ab = = =u v u v u C v C u v F FF FF FF F , 2.41

( )

T T T T T a b a a ab a ab

T T T T T T

a b ab b b b ab

=

= = =

= = =

u v

u v u C v u C v

u v u C v C u v

F F F F FF F F F FF F F F FF F F F F


, 2.42

Mas, substituindo T T Ta b ab= CF FF FF FF F nesta ltima expresso chega-se identidade:

( )T Tab ab ab =C u C u C . 2.43

Considerando que ( )1 2 3 T

a= a a a FFFF e ( )1 2 3 T

b= b b b FFFF , define-se as seguintes

operaes para as vetrizes:

a) Produto escalar de um vetor por uma vetriz, resultando uma matriz coluna:

a a = =v v v F FF FF FF F 2.44

b) Produto vetorial entre um vetor e uma vetriz, resultando uma vetrizFFFFc:

1

2

3

a a a c

= = =

v a

v v a v v

v a

F F F FF F F FF F F FF F F F 2.45


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11

c) Produto escalar entre vetrizes, resultando numa matriz ou num escalar:

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

T

a b ab

=

a b a b a b

a b a b a b C

a b a b a b

F FF FF FF F 2.46

1 1 2 2 3 3 T

a b + + a b a b a b F FF FF FF F 2.47

d) Produto vetorial entre vetrizes, que resulta no produto de uma vetriz vetorial poruma matriz:

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

T

a b a ab

=

a b a b a b

a b a b a b Ca b a b a b

F F FF F FF F FF F F 2.48

e) Produto de uma vetriz por uma matriz coluna, resultando num vetor:

T T

a a= =v v vF FF FF FF F , 2.49

2.5 Didicas

Uma didica definida como o produto entre dois vetores. Representa-se este produtopor uma justaposio dos vetores u e v , resultando numa didica D :

=D u v , 2.50

sendo que este produto, em geral, no comutativo, isto , u v vu . A adio das

didicas I e J tambm uma didica = +D I J . O produto interno entre um vetor euma didica, diferentemente do produto escalar, resulta num vetor:

= u v D , 2.51

e que tambm no comutativo, uma vez que v D D v . Embora uma didica seja

representada por uma seta sob o smbolo, ela possui propriedades diferentes dos vetorese, rigorosamente, no pode ser considerada como um vetor. Por sua vez, se forconsiderado que um dos vetores da didica origina-se do produto vetorial entre doisvetores, define-se ento:

( )= = J w u v w u v w D , 2.52

que tambm uma didica. Contudo, percebe-se novamente que este produto no comutativo e nem recproco como o produto vetorial entre dois vetores:

( )= = K u v w u v w D w 2.53


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12

O duplo produto vetorial na forma ( ) u v w resulta num vetor que se encontra noplano de v e , e assim pode ser posto como uma combinao linear destes dois

vetores, o que leva a:

( ) ( ) ( ) = u v w u w v u v w 2.54

Porm, uma vez que os parntesis do segundo membro so desnecessrios, pois hsomente uma forma de se calcul-lo, ento esta propriedade fica:

( ) ( )wv vw wv vw = = = u v w u w v u v w u D u D u D D 2.55

Decorre da que as didicas surgem sempre em decorrncia de um produto interno, econsiderando a igualdade = = u v w w u v w v u , tem-se igualmente que

vw wv = u D D u 2.56

Substituindo esta propriedade no duplo produto, chega-se a

( ) wv wv vw vw = = u v w u D D u D u u D , 2.57

que mostra que o produto interno entre uma didica e um vetor no comutativo.

Considera-se novamente a didica =D u v , tal que os vetores so conhecidos numabaseFFFFa. Aplicando o conceito de vetrizes, tem-se que

T T T

a a a a= =D u v D F F F FF F F FF F F FF F F F, 2.58de onde se conclui que a representao matricial de uma didica uma matriz quadradade ordem 3, tal que T=D u v . semelhana dos vetores, uma didica tambmexpressa em relao a uma base de coordenadas. Inversamente, a representaomatricial pode ser obtida a partir da sua didica:

T

a a= D DF FFF FF 2.59

Nota-se ainda que o duplo produto interno de vetores por uma didica resulta numescalar, ou seja:

T =u D v u D v , 2.60

caso os dois vetores e a didica sejam todos expressos na mesma base.

Uma didica nula ( =D 0 ) uma didica cuja representao matricial uma matriz nula.Uma didica unitria ( =D 1 ) uma didica cuja representao matricial uma matrizidentidade ( =D 1 ) de ordem 3. O produto interno de uma didica unitria por um vetorqualquer no altera este vetor:

= = u u 1 1 u . 2.61


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13

Uma didica, semelhana de um vetor, pode ser expressa em bases distintas.Considera-se ento a didica D e suas representaes Dae Dbnas bases FFFFaeFFFFb. Como,

da definio, Ta a a= D DF FF FF FF F , segue imediatamente que:

T T T

a a b b b a ab b ba ab b ab= = =D D C D C C D CF F F FF F F FF F F FF F F F . 2.62

Este resultado indica que a transformao de uma didica realizada multiplicando-se amatriz da didica pela matriz de rotao esquerda e pela transposta desta direita.

Um caso particularmente interessante o de uma didica cujos vetores u e v que a

formam so conhecidos em bases distintas, FFFFae FFFFb, respectivamente. Pela definio dadidica tem-se

T T T

a b a ab b= = =D u v u v D F F F FF F F FF F F FF F F F

, 2.63que, inversamente, fornece:

T T T

ab a b a b= = = = D uv D u v D F F F FF F F FF F F FF F F F . 2.64

Porm, pode-se, igualmente, representar esta didica integralmente em qualquer umadas bases, como aD na base FFFFae bD na baseFFFFb, que resultam:

T T T T

a a a a a ab b a ab ab= = =D D D D CF F F F F FF F F F F FF F F F F FF F F F F F . 2.65

e

T T T

b b b b a ab b b ab ab= = =D D D C DF F F F F FF F F F F FF F F F F FF F F F F F . 2.66

As didicas representam um papel importante na dinmica de corpos rgidos. Sermostrado que a inrcia de um corpo de fato uma didica, ou seja, uma matriz. Adidica permite, portanto, que as equaes da dinmica possam ser obtidasconsistentemente na forma vetorial.

2.6 Problemas

2.1) Demonstrar as seguintes propriedades das vetrizes

a) Ta a a = F F FF F FF F FF F F

b) T T T T a a a a = = =u v u v u v u v F F F FF F F FF F F FF F F F

c)( )

T T T T T

a b a a ab a ab

T T T T T T

a b ab b b b ab

= = =

= = =

u v u v u C v u C v

u v u C v C u v



d) ( )T Tab ab ab =C u C u C

e) a a a c = = =v v v F F F FF F F FF F F FF F F F

f) Ta b a ab = CF F FF F FF F FF F F


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14

2.2) Se u , v e forem vetores cujas representaes matriciais so conhecidas nas

bases FFFFa, FFFFbe FFFFc, respectivamente (ou seja, ua, vbewc), pede-se a representao

matricial do duplo produto vetorial ( ) u v w nas 3 bases, supondo conhecidasas transformaes entre os sistemas, isto , Cab, Cbc, eCac.

2.3) Se u for um vetor conhecido na base FFFFaeD for uma didica conhecida na base

FFFFb, pede--se a representao matricial do produto escalar u D nas duas bases,dada a matriz de transformao de coordenadas Cab. Apresentar tambm arepresentao matricial do produto escalar D u .

2.4) Se for um vetor conhecido na base FFFFae D for uma didica conhecida na base

FFFF

b, pede--se a representao matricial do produto vetorial w D nas duas bases,dada a matriz de transformao de coordenadas Cab.

2.5) Provar a igualdade ( ) ( ) = r w r r r 1 rr w .

2.6) Obter a representao matricial da expresso ( )= h r r 1 rr w , sabendo-se que

r e so conhecidos numa mesma base, e que =D rr .

2.7) Mostrar que, qualquer que seja a base da representao matricial do vetor r , a

forma matricial da didica = J r r 1 rr uma matriz simtrica, isto ,T=J J .


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15

3 REPRESENTAO DA ATITUDE

A atitude ou orientao de um corpo no espao definida por um conjunto de

parmetros que permitem, de forma unvoca, correlacionar num instante de tempoqualquer um sistema de coordenadas fixo ao corpo a um outro sistema supostamentefixado a uma base. Em geral assume-se que este ltimo seja inercial ou quase inercial,que significa que seu movimento, em relao a um sistema verdadeiramente inercial,seja desprezvel quando comparado com o movimento prprio do corpo. Por outro lado,a compreenso do que se denomina sistema inercial requer que faa concesses ao rigormatemtico. De fato, considera-se que um sistema inercial seja aquele que no apresentemovimento de rotao. Porm, isto requer dois procedimentos: ser capaz de diferir entremovimentos angulares nfimos e nenhum movimento angular, e medir estes resultadosem relao a um outro sistema que, em essncia, ter que ser ainda mais imvel do queeste que se est tentando medir. bvio que, se existe um sistema mais inercial do

que outro, ento este sistema deva ser adotado, pelo menos por enquanto. Como servisto adiante, pode-se mostrar que o momento angular de um corpo em movimento derotao e no sujeito a torques tende a permanecer imvel inercialmente. Este princpio

permite que se estabeleam direes inerciais baseadas em eixos de rotao.Infelizmente muito difcil encontrar corpos efetivamente livres de torques. O eixo derotao da Terra comumente adotado como uma das direes inerciais, porm sabe-seque este eixo efetua um movimento cnico ao redor de um eixo perpendicular rbitada Terra ao redor do Sol em um perodo de cerca de 20 mil anos. Mesmo este ltimosofre influncias das estrelas prximas e da galxia como um todo e, portanto, no podeser considerado como verdadeiramente inercial. Outra soluo consiste em definir umsistema inercial com base na direo de determinadas estrelas. Sabe-se, contudo, que

estas apresentam movimento relativo ao sistema solar. Atualmente considera-se que amelhor estimativa de sistema inercial seja aquela dada pelas direes de quasaresdistantes. Ainda assim, embora a velocidade de afastamento deles possa ser medida,quase nada pode ser dito a respeito do movimento angular transversal, exceto de quedeve ser suficientemente pequeno para que possa ser desprezado.

Para as finalidades abordadas aqui, suficiente considerar como inercial o sistemageocntrico celeste, cujos eixos coincidem com o eixo de rotao da Terra e com adireo da interseo do plano do equador com o plano da eclptica.

3.1 Matriz de co-senos diretores

Uma matriz de mudana de base, como a matriz de co-senos diretores, constitui umarepresentao da atitude, uma vez que permite estabelecer a orientao de um dadosistema de coordenadas FFFFbem relao base FFFFa. Em geral assume-se que o sistema FFFFbmvel com relao ao sistema FFFFa, mas a matriz no identifica qual dos sistemas omvel e qual o fixo. Matrizes de co-senos diretores so ortogonais prprias e isto querdizer que o produto escalar de uma linha (ou coluna) por outra resulta nulo, j que, pordefinio, as linhas (ou colunas) constituem os componentes dos versores da base dosistema FFFFb em relao ao sistema FFFFa. Alm disso, como tais versores so unitrios,ento o mdulo de cada linha (ou coluna) tambm unitrio. Tem-se com isso 6condies que relacionam entre si as 9 coordenadas dos versores da base. Restam,


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16

portanto apenas 3 parmetros realmente independentes numa matriz. De fato, Eulerenunciou que so necessrios apenas 3 parmetros para definir univocamente aorientao espacial de um sistema de coordenadas em relao a qualquer outro.

Conclui-se, portanto, que uma matriz C de mudana de base no a forma maisapropriada para descrever a atitude de um corpo, porque apresenta alta redundnciainterna.

As matrizes de mudana de base foram vistas no captulo anterior. Resta ainda analisara composio de movimentos neste tipo de representao. Assim, se Cabe Cbcforem asmatrizes que relacionam respectivamente as bases FFFFa com FFFFbe FFFFbcom FFFFc, ento peladefinio

a ab b=v C v , 3.1

e

b bc c=v C v 3.2

de onde decorre que:

a ab bc c ac c= =v C C v C v , 3.3

ou seja:

ac ab bc=C C C , 3.4

do qual se conclui que a matriz resultante de uma seqncia de duas ou maistransformaes entre sistemas dada pelo produto das matrizes de transformaes.Enfatiza-se novamente que este resultado no comutativo, pois a ordem das rotaesinflui na atitude atingida.

3.2 ngulo e eixo de Euler

Euler tambm provou que qualquer orientao pode ser descrita como sendo produzidapor uma rotao de um dado ngulo ao redor de um dado eixo a. Durante a rotao, aorientao do sistema mvel permanece fixa em relao ao eixo de rotao, o que

permite escrever que

=C a a . 3.5

como visto na Figura 3.1. Pode-se mostrar, ento, a partir das propriedades das matrizesde mudana de base e seus autovalores e autovetores, que a matriz Cba dada por:

cos (1 cos ) sinTba + C 1 aa a , 3.6

ou


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17

21 1 2 3 1 3 2

21 2 3 2 2 3 1

2

1 3 2 2 3 1 3

c (1 c ) (1 c ) s (1 c ) s

(1 c ) s c (1 c ) (1 c ) s

(1 c ) s (1 c ) s c (1 c )

ba

a a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a

+ +

= + +

+ +

C , 3.7

condicionado a aTa= 1, onde 1representa a matriz identidade de ordem 3 e a1, a2e a3so os componentes do vetor aem qualquer um dos sistemas. Na equao acima c=cose s= sen. Apesar da aparente reduo no nmero de parmetros para descrever aatitude, ainda assim a condio de que o mdulo de a seja unitrio introduz umacondio a mais, e, novamente, tem-se apenas 3 parmetros realmente independentesnesta representao. Os denominados ngulo e eixo de Euler, e a, podem ser obtidos a

partir da constatao de que o trao da matriz de transformao vale 2cos + 1, e,portanto,

11 22 331cos ( 1)2

c c c = + + . 3.8

bFFaFFFF

a

Figura 3.1 Rotao efetuada com eixo e ngulo de Euler.

Embora possa assumir qualquer valor entre e , costuma-se limit-lo ao intervalo 0

, uma vez que a rotao (a, ) totalmente equivalente a (a, ). Admite-se,portanto, que o seno de seja calculado a partir do co-seno, e com isso tira-se que

23 321 2sen

c ca

=

, 31 132 2sen

c ca

=

, 12 213 2sen

c ca

=

, 3.9

desde que, obviamente, o seno de seja no nulo. Para o caso sen= 0 e cos= 1, ouequivalentemente quando o trao da matriz for igual a 3, nota-se que o eixo de rotao indefinido, porque no houve, na realidade, rotao alguma. Finalmente, se sen= 0 ecos = 1, ou se o trao da matriz for igual a 1, o ngulo dever ser igual , e ascomponentes do eixo sero calculadas por:


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18

111

1

2

ca

+= , 222

1

2

ca

+= , 333

1

2

ca

+= , 3.10

sujeitos s seguintes condies:

12 1 22c a a= , 13 1 32c a a= , 23 2 32c a a= 3.11

Uma seqncia de transformaes pode ser reduzida a um nico ngulo-eixo de Euler.Se (a1,1) e (a2,2) forem as rotaes efetuadas num corpo, ento se pode mostrar queo ngulo e o eixo resultante (a,) sero dados respectivamente por (HUGHES, 1986):

1 2 1 21 2cos cos cos sen sen2 2 2 2 2T = a a 3.12

e

1 2 1 2 1 21 2 1 2sen sen cos cos sen sen sen2 2 2 2 2 2 2

= + +a a a a a 3.13

3.3 ngulos de Euler

Como foi visto, qualquer orientao no espao pode ser descrita por meio de apenas trsparmetros. Euler concluiu que trs ngulos seriam suficientes para estabelecer acorrespondncia entre os sistemas de coordenadas, caso as rotaes fossem realizadasnos eixos cartesianos. Alm disso, qualquer que seja a orientao final, ela pode serobtida a partir de uma seqncia de rotaes realizada ao redor de quaisquer eixos, 1, 2ou 3, desde que a primeira e a segunda, ou a segunda e a terceira rotao no sejamrealizadas sobre o mesmo eixo. So, portanto, vlidas as seqncias de transformaes:1-2-3, 3-1-3, 2-1-3, 1-3-1, etc. A atitude de corpos em rotao ao redor do eixo 3 facilmente visualizada numa transformao 3-1-3, como visto na Figura 3.2, comngulos 1, 2 e 3, respectivamente. Neste caso, 1e 2permanecem fixos, enquantoque 3(t) descreve o movimento de rotao ao redor de 3b . Esta transformao descrita por:

1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3

3 3 1 2 3 1 1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3

1 2 1 2 2

( ) ( ) ( )ba

c c s c s s c c c s s s

c s s c c s s c c c s c

s s c s c

+ = = +

C C C C 3.14

onde ci= cos(i) esi= sen(i), com i= 1, 2, 3. Existem ao todo 12 combinaes entreeixos e ngulos, o que se traduz por um mesmo nmero de matrizes de transformao.Muitas delas so pouco utilizadas, e as mais freqentes em aplicaes de determinao,navegao e controle so a 1-2-3, 3-1-3, 2-1-3 e 3-2-1. Todas as matrizes, contudoapresentam singularidades para certas situaes, que surgem quando o ngulointermedirio assume valores iguais a k/2, para kinteiro. Surge ento dois conjuntos detransformaes, das quais 6 delas so realizadas sobre 3 eixos distintos, em que asingularidade se d para 2= k, e 6 restantes nas quais o primeiro eixo repetido na


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19

terceira rotao, e onde a singularidade ocorre em 2 = (2k +1) /2 (WERTZ. 1978).Nestas ltimas os dois ngulos restantes ficam indeterminados, e no h uma soluonica para a atitude. Para a transformao 3-1-3, por exemplo, a matriz de

transformao na singularidade 2= 0 resulta:

1 3 1 3

1 3 1 3

cos( ) sen( ) 0

sen( ) cos( ) 0

0 0 1ba

+ + = + +

C , 3.15

que equivalente a uma rotao ao redor do eixo 3 de um ngulo 1+ 3, tornando-seimpossvel distinguir os valores individuais deles.

bFFFF

3a

2a

1a

1b

3b 2b

1

3

2

aFFFF

Figura 3.2 Rotao 3-1-3 com seqncia de ngulos 1, 2e 3.

Por sua vez, os ngulos da transformao 3-1-3 (ou outra qualquer) podem sercalculados em funo dos elementos da matriz. De fato, percebe-se facilmente que:

311

32

arctan ,c

c

=

2 33arccos( ),c = 13

323

arctan ,c

c

=

3.16

desde que 20 e 2. Para 20 ou 2, os ngulos so calculados por:

1 0 = ,12

311arctan

c

c

= , 3.17

limitados a 0 1< 360o, 0o2180

oe 0 3< 360o.

importante salientar que a definio de matriz de atitude pode variar nas refernciassobre o assunto. Alguns autores adotam a postura de que a matriz relaciona o sistemafixo com o mvel e outros adotam o contrrio. Sabe-se que uma matriz a inversa daoutra, ou seja, sua transposta, o que permite rapidamente expressar uma em funo daoutra. Contudo, deve-se notar que a inversa de uma seqncia de transformaesconsiste na transformao em ordem inversa:


30/113

20

3 1 1 2 3 3( ) ( ) ( )T

ab ba= = C C C C C 3.18

Em funo das singularidades, ngulos de Euler so pouco utilizados para representar a

atitude em modelos numricos, a menos que se garanta que a atitude estar distante dospontos singulares, pois caso contrrio podem ocorrer erros numricos significativos.Contudo, deve-se reconhecer que os trs ngulos de Euler so de fcil visualizaoquando comparados com outras representaes da atitude.

Da mesma forma que o produto de matrizes no comutativo, uma seqncia de 3rotaes tambm no comuta. Isto significa que a simples troca da ordem das rotaesindividuais leva a resultados e transformaes diferentes.

Outro importante conjunto de ngulos, como mencionado anteriormente, a seqncia1-2-3, cuja matriz de transformao em funo dos ngulos 1, 2e 3 dada por:

3 2 3 1 3 2 1 3 1 3 2 1

3 3 2 2 1 1 3 2 3 1 3 2 1 3 1 3 2 1

2 2 1 2 1

( ) ( ) ( )ba

c c s c c s s s s c s c

s c c c s s s c s s s c

s c s c c

+ = = +

C C C C , 3.19

com os limites 0 1< 360o, 90o290

oe 0 3< 360o. Segue imediatamente que

as relaes inversas so:

321

33

arctan ,c

c

=

2 31arcsen( ),c =

213

11

arctan ,c

c

=

3.20

sujeitas s mesmas restries da transformao 3-1-3 nas situaes nas quais 2 90o.

3.4 Parmetros simtricos de Euler

Uma das vrias formas de se evitar os problemas numricos advindos do uso de ngulosde Euler consiste na representao por parmetros de Euler. Os parmetros baseiam-senum eixo (vetor) e num ngulo de rotao, de forma anloga ao ngulo-eixo de Euler. Ongulo adotado, contudo, a metade do ngulo de rotao , e a direo do eixo fornecida pela matriz coluna a com mdulo unitrio. Os parmetros simtricos soento definidos por:

sen2

= a 3.21

cos2

= 3.22

e satisfazem a condio:

2 2 2 2 21 2 3 1

T + = + + + = . 3.23


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21

Sob tal circunstncia, deve-se indagar qual a vantagem dos parmetros de Euler emrelao ao ngulo-eixo de Euler, j que h pouca diferena entre eles. De fato, mostra-sesem grandes dificuldades (HUGHES, 1986) que se (1, 1) e (2, 2) forem duas

transformaes efetuadas nesta ordem, ento a transformao que resulta destacomposio ser dada por:

1 2 2 1 1 2= + + 3.24

e

1 2 1 2T = , 3.25

que, contrariamente s expresses anlogas em ngulo-eixo de Euler, independem deoperaes trigonomtricas, o que facilita a computao numrica. Devido simetria

destas equaes, os parmetros de Euler so igualmente denominados parmetrossimtricos de Euler, e obedecem lgebra de quatrnions (ou quaternies) introduzidapor Hamilton (HAMILTON, 1844). Quatrnions so nmeros hiper-complexoscompostos por um vetor qe um escalar q, na forma:

x y zq q q q q= + = + + +Q q i j k 3.26

no qual o vetor q= (qxqyqz)T hiper-complexo, tal que i2=j2= k2= ijk = 1. Porm,

o produto das bases imaginrias definido como:

i j= k, jk= i, ki =j 3.27

de onde decorre imediatamente que o produto de quatrnions no comutativo. A partirdesta definio, fica fcil verificar que o produto entre dois quatrnions Q1= 1+ 1eQ2= 2+ 2resulta em:

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2T = + + +Q Q . 3.28

Pela comparao desta ltima equao com a composio de movimentos emparmetros de Euler, conclui-se que a transformao pode igualmente ser efetuada como produto de quatrnions. De fato, uma transformao na forma b ba a=v C v , na qualCba a matriz que relaciona os sistemas FFFFaeFFFFbpode ser igualmente realizada por meio

do produto de quatrnions, desde que um vetor possa ser considerado como umquatrnion com o valor escalar nulo:

b a=v Q v Q 3.29

onde =Q o conjugado do quatrnion Q= + .

Substituindo agora os parmetros simtricos em funo do ngulo-eixo de Eulermostrados acima na matriz de transformao em termos destas variveis, tem-se entoque


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22

2( ) 2 2T Tba= + C 1 3.30

ou ainda na forma completa:

2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 3 2

2 2 2 21 2 3 1 2 3 2 3 1

2 2 2 21 3 2 2 3 1 1 2 3

2( ) 2( )

2( ) 2( )

2( ) 2( )ba

+ +

= + + + +

C 3.31

Os parmetros simtricos de Euler podem igualmente ser calculados em funo doselementos da matriz de transformao entre os sistemas, bastando verificar que:

11

2 = + 3.32

e

23 32

31 13

12 21

1

4

c c

c c

c c

=

3.33

onde 11 22 33c c c = + + o trao da matriz Cba. A ambigidade no sinal de reflete o

fato de que uma transformao (, ) idntica outra na qual os sentidos do ngulo edo eixo so trocados, ou seja, (, ).

Infelizmente, como aponta Klumpp (KLUMPP, 1976), estas relaes falham quando for prximo de zero, ou melhor, quando o ngulo estiver prximo ou for igual a .

Nesta situao ele recomenda adotar um procedimento que permita obter inicialmente omdulo de cada elemento do vetor por meio de:

1| |

2 4ii

i

c = + 3.34

e, em seguida, determina-se o ndice kdo elemento com maior valor absoluto entre ostrs. O sinal deste elemento ento corrigido por meio de:

sgn( )| |k ij ji k c c = , 3.35

enquanto que os demais elementos so obtidos por:

sgn[ ( )]| |k jk kj jc c = + , 3.36

onde sgn() a funo que fornece o sinal do argumento:


33/113

23

1, se 0

sgn( ) 1, se 0

0, se 0

x

x x

x

=

3.37

3.5 Movimento com ngulos infinitesimais

Dada uma representao de atitude qualquer, pode-se verificar qual seria sua forma se,ao invs de relacionar um movimento amplo, fosse este movimento de pequenaamplitude, causado por pequenas variaes dos parmetros. Este estudo

particularmente importante em sistemas do tipo strapdown, nos quais uma plataformasolidria ao corpo mede, a cada instante, os deslocamentos angulares provocados pelamudana de atitude, em trs eixos ortogonais. Se for admitido que o movimento no

provoque velocidades elevadas ou, adicionalmente, que o intervalo de medidas sejasuficientemente pequeno de forma a assegurar medies de pequenos ngulos, entoesta estratgia beneficiada pelas simplificaes introduzidas na cinemtica, tornando,assim, a atualizao da atitude computacionalmente simples e rpida.

Como apenas a representao por ngulos de Euler apresenta a caracterstica de possuiro conjunto mnimo exigido de parmetros (apenas 3 ngulos), ela a mais promissora

para esta anlise. Qualquer uma das 12 diferentes configuraes de seqncia entre oseixos igualmente vlida para isso. Contudo, devem ser descartadas aquelas queapresentam singularidades em 2 0, como a transformao 3-1-3, pois os demaisngulos so indistinguveis nesta posio, como foi mostrado anteriormente. Por outrolado, na transformao 1-2-3 a singularidade ocorre em 290

o, permitindo ento que

se obtenha a matriz de atitude considerando a seqncia de ngulos infinitesimais 1, 2e 3:

3 2

3 1

2 1

1

1

1ba

=

C 1 , 3.38

caso sejam negligenciados os termos de segunda ordem, e tal que ( )1 2 3T

= .

Pode-se igualmente mostrar que todas as transformaes que utilizam 3 eixos distintos(como 3-2-1 ou 2-1-3, por exemplo), geram uma matriz idntica a esta. Este resultado

pode tambm ser obtido por meio da expresso para a matriz de atitude em termos dongulo-eixo de Euler, bastando expandi-la em srie de Taylor, at a primeira ordem:

3 2

3 1

2 1

1

1

1ba

a a

a a

a a

= =

C 1 a . 3.39

Nota-se, porm, que embora o ngulo seja infinitesimal, o eixo mantm-se commagnitude unitria. Tambm no difcil mostrar que um deslocamento angularinfinitesimal nos parmetros simtricos de Euler leva ao seguinte resultado:


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24

3 2

3 1

2 1

1 2 2

2 1 2 2

2 2 1

ba

= =

C 1 3.40

A combinao de dois movimentos pode agora ser realizado admitindo-se um vetor dedeslocamentos infinitesimais ab, entre os sistemas FFFFaeFFFFb, e o vetor bcentreFFFFbeFFFFc. O

produto das matrizes resulta:

ca cb ba ab bc

= C C C 1 , 3.41

desde que, novamente, sejam desprezados termos de ordem superior. Este resultadomostra que a combinao de movimentos infinitesimais comutativa, j que o mesmoresultado seria obtido invertendo-se a ordem das transformaes.

3.6 Problemas

3.1) Mostrar que, se a matriz que relaciona os sistemas de coordenadas FFFFa e FFFFb forexpressa por meio do ngulo-eixo de Euler na forma

cos (1 cos ) sinTba + C 1 aa a , ento a igualdade ba =C a a obedecida.

3.2) Seja a matriz de transformao 3-1-3 em ngulos de Euler dada por:

1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3

1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3

1 2 1 2 2

ba

c c s c s s c c c s s s

c s s c c s s c c c s cs s c s c

+

= + C ,

no qual c representa o co-seno e so seno, e os ndices 1, 2 e 3 representam osngulos de rotao 1, 2 e 3, respectivamente. Mostrar que o produto

T

ba ba=C C 1 .

3.3) Demonstrar que a matriz de transformao em ngulo-eixo de Euler resulta em

cos (1 cos ) sinTba + C 1 aa a ,

onde arepresenta a direo do eixo de rotao e o ngulo de rotao.

3.4) Se (a1, 1) e (a2, 2) forem duas rotaes sequenciais em ngulo-eixo de Eulerefetuadas num corpo, e com matriz de transformao dada por

cos (1 cos ) sinTba= + C 1 aa a , pede-se ento para mostrar que o ngulo e

o eixo resultante (a,) sero dados respectivamente por:

1 2 1 21 2cos cos cos sen sen2 2 2 2 2T = a a


35/113

25

e

1 2 1 2 1 21 2 1 2sen sen cos cos sen sen sen2 2 2 2 2 2 2

= + +a a a a a

3.5) Seja uma sequncia de duas transformaes em parmetros simtricos de Euler,dadas por (1, 1) e (2, 2). Demonstrar que

1 2 2 1 1 2= + +

e

1 2 1 2T =

3.6) Considerando as propriedades dos quatrnios i2=j2= k2= ijk = 1, i j= k,jk=i e ki =j, demonstrar que o produto entre dois quatrnios Q1= 1+ 1e Q2= 2+ 2resulta em

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2T = + + +Q Q

3.7) Mostrar que uma transformao de base de coordenadas, na forma b ba a=v C v , naqual Cba a matriz que relaciona os sistemas FFFFaeFFFFbpode ser realizada por meiodo produto de quatrnios

b a=v Q v Q ,

onde =Q o conjugado do quatrnio Q= + .

3.8) Mostrar que a matriz de co-senos diretores relativa a uma representao emquatrnio Q= + , na qual a parte escalar e o vetor, resulta em

2( ) 2 2T Tba

= + C 1


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37/113

27

4 RELAES DA CINEMTICA

O movimento de orientao de um corpo no espao provoca mudanas nos parmetros

que definem a atitude, de forma que a matriz de co-senos, ou os ngulos ou ainda osparmetros de Euler so todos funes do tempo. ento necessrio obter a forma comque tais parmetros variam. Infelizmente, as equaes oriundas deste movimento noso lineares, o que impede que se conhea uma integral analtica para a soluo, excetoem casos particulares, como o do movimento rotacional puro, mostrado na Figura 3.2.Se o corpo no estiver sujeito a foras ou torques externos, e possuir um eixo desimetria ao redor do qual ele gira, ento os ngulos 1, 2permanecem fixos, enquantoque 3 varia linearmente com o tempo. Outros movimentos particulares tambm

possuem soluo analtica, mas este no o caso mais geral de corpos com assimetriade massa e sujeitos a torques. Diversas referncias estudam estes casos e apresentamsolues (analticas ou oriundas de integrao numrica) do movimento de um slido no

espao (HUGHES, 1986; WERTZ, 1978; MEIROVITCH, 1970; CRANDALL, 1968).

4.1 Velocidade angular

A velocidade angular de um corpo rgido definida como sendo o vetor instantneo aoredor do qual o slido gira. Devido dinmica do movimento este eixo podemovimentar-se tanto num sistema de referncia inercial quanto no prprio sistema decoordenadas fixado ao corpo. Torna-se, portanto, importante definir a direoinstantnea do eixo de giro, alm da taxa de rotao angular instantnea ao redor desteeixo. Fica ento claro que a representao da atitude por meio de rotaes infinitesimais

permite estabelecer a definio de velocidade angular com base em:

4.1

onde ( )1 2 3T

= so infinitesimais e medidos nos eixos cartesianos. Se for

considerado que o ngulo , na representao por ngulo-eixo de Euler, seja tambminfinitesimal, ento se mostra que o vetor velocidade angular possui, em conseqncia,a mesma direo do eixo de Euler instantneo, e magnitude dada pela variao temporaldo ngulo.

A velocidade angular uma medida do movimento de um corpo, ou um sistema de

referncia, com relao a um outro sistema. Sejam ento os sistemas ortonormaisFFFF

ae

FFFFb, como mostrado na Figura 4.1. As origens podem coincidir, e geralmente coincidem;na figura a separao entre os sistemas meramente pictrica, para facilitar avisualizao. O vetor velocidade angular ba representa a medida da rotao do sistema

FFFFbem relao a FFFFa, e o mesmo quer seja medido no sistema FFFFa, quer seja medido emFFFFb, embora, como j visto, suas componentes ou equivalente matricial sejam diferentesnestes sistemas. Contudo, a velocidade recproca, isto , a velocidade ab do sistema FFFFa

em relao a FFFFbtem mesmo mdulo e direo de ba , porm com sentido contrrio, ou

seja:


38/113

28

ba ab 0 + =+ =+ =+ = 4.2

Analisa-se agora a composio de movimentos entre os sistemas. Considera-se

inicialmente um ponto material cuja posio descrita pelo vetor u fixado ao sistemaFFFFb, como indicado na Figura 4.1, e deseja-se conhecer qual a velocidade deste pontorelativa ao sistema FFFFa. Como este ponto gira ao redor de ba , a velocidade ento

perpendicular ao vetor velocidade angular e tangente trajetria circular, e portanto dada por:

u ba

d

dt= = =

uv u u 4.3

aFFbFFFF

1b

1a

3a

2a

3b

2b

ba u

uv

Figura 4.1 Movimento de rotao entre dois sistemas de coordenadas

Contudo, se este ponto material mover-se no espao, sua velocidade ser interpretada deforma distinta por observadores situados em cada um dos sistemas, j que existemovimento relativo entre eles. Isto significa que a variao temporal do vetor u

depende do sistema de referncia na qual realizada. Por meio da composio demovimentos, sabe-se que a velocidade de um ponto num sistema igual velocidadedeste ponto com relao ao segundo sistema adicionada da velocidade de arrasto entreos sistemas, o que leva a:

ba

a b

d d

dt dt = +

u u u , 4.4

onde o ndice subscrito indica o sistema de coordenadas na qual a velocidade do ponto medida. Para facilitar a notao, as variaes temporais realizadas no sistema FFFFb serorepresentadas por um ndice sobrescrito no vetor, enquanto que o ponto indica suaderivada temporal:

a

a

d

dt

uu ,

b

b

d

dt=

uu , 4.5

e assim a composio de velocidades fica:


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29

a b

ba= + u u u 4.6

Nota-se que o vetor u o mesmo em ambos os sistemas. O ndice sobrescrito

representa somente o sistema de referncia no qual a variao temporal do vetor avaliada. Considera-se agora um terceiro sistema de coordenadas FFFFccujas velocidadesangulares ca e cb so conhecidas em relao aos sistemas FFFFae FFFFb, respectivamente.

Decorre da que as velocidades do vetor u nestes sistemas valema c

ca= + u u u eb c

cb= + u u u . Substituindo esta ltima na expresso que relaciona as velocidades

nos sistemas FFFFaeFFFFbchega-se a:

( )a c cb ba= + + u u u 4.7

de onde se conclui, por comparao, que velocidades angulares so aditivas, isto :

ca cb ba= + 4.8

Este resultado permite obter a velocidade angular resultante da composio entresistemas de coordenadas distintos. A acelerao do ponto material pode agora ser obtidaaplicando-se novamente a variao temporal velocidade do vetor u , ou seja:

( )a b ba ad

dt= + u u u 4.9

Uma vez que no houve necessidade de particularizar qualquer um dos sistemas de

coordenadas, ento os vetores podem ser tratados de forma semelhante, o que leva a

( ) ( )a b b bba ba ba ba ba ba= + + + + + u u u u u u 4.10

onde se percebe que, da mesma forma que a velocidade angular, tambm a aceleraoangular ba idntica quando avaliada em ambos os sistemas. Re-agrupando-se os

termos, chega-se a:

2 ( )a b b bba ba ba ba= + + + u u u u u 4.11

que pode ser interpretada como: a acelerao au de um ponto material num sistema de

referncia fixo igual acelerao deste mesmo ponto relativa ao sistema mvel bu ,

acrescida da acelerao de Coriolis 2 bba u , da acelerao angular do sistema mvelb

ba u , e da acelerao centrpeta ( )ba ba u . Nota-se, alm disso, que aacelerao do sistema mvel deve ser avaliada no seu prprio sistema, ou seja, FFFFb.

A variao de uma vetriz no tempo tambm pode ser obtida j que os versores da basepodem ser considerados como vetores representados no prprio sistema de coordenadas.

De fato, considerando-se o versor ib do sistema FFFFb e aplicando-se a composio de


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30

velocidades, ento ai ba i= b b , pois este versor estacionrio no seu prprio sistema.

Pode-se portanto escrever:

a

b ba b= F FF FF FF F 4.12

O processo de variao de uma didica =D u v representada na base FFFFb leva aoresultado:

a b

ba ba= + D D D D 4.13

Passa-se agora a considerar a relao da velocidade angular com as representaes jdiscutidas da atitude. Em outras palavras, deseja-se conhecer como os parmetros daatitude variam dado que o vetor velocidade angular seja conhecido. A matriz de atitude

definida pelo produto de vetrizes, na formaT

ba b a= C F FF FF FF F , e considerando queaa = 0FFFF , resulta que

a T T

ba b a ba b a ba ba

= = = C C F F F FF F F FF F F FF F F F 4.14

Porm, como os elementos da matriz de atitude so correlacionados entre si, errosoriundos da integrao numrica desta equao fazem com que ela perca a condio deortogonalidade e de determinante unitrio. Mtodos para restabelecer tais condiesdevem ser empregados sempre que necessrio. A velocidade angular pode ser isoladadesta ltima relao, o que fornece:

Tba ba ba = C C 4.15

que permite relacionar a velocidade angular com as variaes dos parmetros quedefinem a atitude, quaisquer que sejam eles.

Cumpre ainda salientar que a distino entre derivadas realizadas em diferentes sistemas aplicvel exclusivamente a vetores (incluindo, claro, didicas e vetrizes). Escalares,matrizes e representaes matriciais de vetores, como aqueles analisados nas seesseguintes, no necessitam de tais distines.

4.2 Cinemtica em ngulo-eixo de Euler

Para exprimir a cinemtica em funo dos parmetros de ngulo-eixo de Euler, parte-seda relao acima e da equao que relaciona a matriz de atitude com estes parmetrosna Equao 3.6. Derivando-se esta ltima, tem-se:

s s (1 c ) (1 c ) c sT T Tba + + + C 1 aa aa aa a a 4.16

que pode agora ser substituda em Tba ba ba = C C , e na qual se crepresentam o seno

e o co-seno do ngulo , respectivamente. A simplificao desta relao realizadaconsiderando-se as igualdades:


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31

1T =a a , 0T T= =a a a a , =a a 0 ,T =a a 0 , T = +aa 1 a a , T =a a aa , 4.17

= a a a a

,

T T

+ = a aa aa a a

, ( )

T T

=aa aa a a

,

e chega-se a

(1 cos ) ( ) sinba = + a a a a 4.18

Decorre imediatamente desta expresso que:

(1 cos ) sinba= + a a a a , 4.19

porm esta no fornece as equaes na forma diferencial. Para isso multiplica-se esquerda por aTe empregando-se as igualdades relatadas acima, tem-se que:

T

ba = a 4.20

Para isolar a recorre-se ao mesmo procedimento, ao multiplicar-se esquerda por a , ecom isso

(1 cos ) ( ) sinTba = + a aa 1 a a a 4.21

(1 cos ) ( ) sinTba = + a aa a a a a 4.22

(1 cos ) sinba = + a a a a 4.23

Pr-multiplicando-se novamente por a , tem-se que

(1 cos ) sinba = a a a a a . 4.24

que pode ser compreendido como um sistema de duas equaes nas incgnitas a e a a .Isolando agora o valor desta ltima na primeira equao e substituindo-se na segunda,chega-se a:

1 sin

2 1 cos

ba

=

a a a a 4.25

que, junto com a expresso de permite integrar a atitude. Deve-se impor a condiode normalidade 1T =a a durante esta integrao. Nota-se, contudo, que esta relaoapresenta singularidade em = 0, j que

sincot

2 1 cos

=

, 4.26

o que inviabiliza sua utilizao em algumas situaes.


42/113

32

4.3 Cinemtica em ngulos de Euler

Com relao a ngulos de Euler, parte-se novamente de Tba ba ba = C C , e considerando,

por exemplo, uma seqncia 1-2-3, tem-se ento que

3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3( ) T T T

ba

= + + C C C C C C C C C C C C 4.27

ou

3 2 1 1 2 3 3 2 2 3 3 3T T T T T T

ba

= C C C C C C C C C C C C 4.28

Mas

1 1 1

1

0 0 0

0 00 0

T

=

C C

,

2

2 2

2

0 0

0 0 00 0

T

=

C C

, e

3

3 3 3

0 0

0 00 0 0

T

=

C C

. 4.29

Fazendo ( )1 1 0 0 T

=1 , ( )2 0 1 0 T

=1 e ( )3 0 0 1 T

=1 , tem-se ento que

1 1 1 1( )T = C C 1 , 2 2 2 2( )

T = C C 1 e 3 3 3 3( )T = C C 1 , de onde

3 2 1 1 2 3 3 2 2 3 3 3( ) ( ) ( )T T T

ba

= + + C C 1 C C C 1 C 1 4.30

que ser igual a

3 2 1 1 3 2 2 3 3( ) ( ) ( )ba = + + C C 1 C 1 1 4.31

de onde se conclui que

3 2 1 1 3 2 2 3 3ba= + + C C 1 C 1 1 . 4.32

Fazendo as substituies, chega-se a

2 3( , )ba= S , 4.33

onde

3 2 3

2 3 3 2 3

2

cos cos sen 0

( , ) sen cos cos 0

sen 0 1

=

S , e1

2

3

=

. 4.34

A matriz Snecessita ser invertida para se chegar s equaes diferenciais da cinemticaem termos dos ngulos de Euler, o que leva a


43/113

33

3 2 3 2

3 3

3 2 3 2

cos sec sen sec 0

sen cos 0

cos tan sen tan 1

ba

=

. 4.35

para a transformao 1-2-3. A matriz Sdepende da transformao realizada e, portanto,difere no caso de se empregar outra seqncia de transformao que no seja a 1-2-3.

4.4 Cinemtica em parmetros simtricos de Euler

A equao cinemtica em funo dos parmetros de Euler pode ser obtida de formasimilar. Partindo da matriz de atitude em termos dos parmetros de Euler:

2( ) 2 2T Tba= + C 1 , 4.36

calcula-se sua variao temporal:

(2 ) 2 ( ) 2 2T T T T ba = + + C 1 , 4.37

tal que

T

ba ba ba

= C C 4.38

A equao cinemtica em funo dos parmetros de Euler pode ser obtida a partir darelao entre estes parmetros e o ngulo-eixo de Euler, ou seja:

sen2= a , cos

2 = , 4.39

de onde se tira que:

sen cos2 2 2

= + a a

, e sen

2 2

=

, 4.40

ou ainda

2

T = + a a a

,

2

T = a

4.41

Porm, substituindo as expresses de a e j obtidas anteriormente, tem-se ento que:

( )1

2 ba= + 1 4.42

e

1

2T

ba = 4.43


44/113

34

Definindo agora o quatrnion Q = ( )T, as equaes da cinemtica obtidas acimaresultam em

12 ba

= Q Q 4.44

no qual a matriz anti-simtrica ba definida por:

3 2 1

3 1 2

2 1 3

1 2 3

0

0

0 0

0

ba ba

ba T

ba

=

, 4.45

tal que ba= (123)T

.

4.5 Cinemtica em deslocamentos infinitesimais

Partindo-se novamente da expresso que relaciona a matriz de atitude com os ngulosinfinitesimais, ou seja:

3 2

3 1

2 1

1

1

1ba

=

C 1 , 4.46

e tal que ( )1 2 3T

= . Ento, ao aplicar-se a variao temporal nesta expresso

chega-se a:

ba

= C 4.47

Como visto anteriormente, Tba ba ba = C C , o que leva a

( )ba = + = 1 4.48

de onde

ba= 4.49

Este resultado, embora simples, indica claramente que as velocidades angulares medidasnos eixos cartesianos fornecem o vetor da velocidade angular do veculo. De fato, pode-se igualmente definir o vetor velocidade angular por meio das suas componentesmedidas nos eixos cartesianos.


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35

4.6 Problemas

4.1) Considerando que a b ba= + u u u , onde ba a velocidade angular do sistema

FFFFbem relao base FFFFa, mostrar que

2 ( )a b b bba ba ba ba= + + + u u u u u .

4.2) Provar a igualdade a b ba ba= + D D D D , na qual =D u v uma didica e

ba a velocidade angular entre os sistemas FFFFaeFFFFb.

4.3) Se =D u v , obter a representao matricial deaD no sistema FFFFa, sabendo-se que

u conhecido no sistema FFFFa e v conhecido no sistema FFFFb, dado queT

ab a b= C F FF FF FF F e que a velocidade de FFFFbem relao a FFFFa ba .

4.4) Se afor a representao matricial de um vetor de mdulo unitrio, que fornece adireo do eixo de Euler de uma rotao em ngulo-eixo de Euler, pede-se provaras igualdades:

a) 1T =a a ,b) 0T T= =a a a a ,c) =a a 0 ,d) T =a a 0 ,e) T = +aa 1 a a ,

f) T =a a aa ,

g) = a a a a ,

h) T T + = a aa aa a a ,

i) ( )T T =aa aa a a .

4.5) Conhecendo-se a matriz de co-senos diretores da transformao em ngulo-eixode Euler:

cos (1 cos ) sinTba + C 1 aa a ,

na qual arepresenta o eixo e o ngulo, demonstrar ento que:

s s (1 c ) (1 c ) c sT T Tba + + + C 1 aa aa aa a a

4.6) Mostrar que Tba ba ba = C C , numa transformao em ngulo-eixo de Euler se

reduz a (1 cos ) ( ) sinba = + a a a a , usando as relaes obtidas nas

duas questes anteriores.


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37

5 TENSOR DE INRCIA

O movimento rotacional de um corpo no espao fortemente dependente da

distribuio de massa deste corpo. Em outras palavras, a orientao ou atitude de umcorpo depende de como sua massa distribuda. Dois corpos de mesma massa podemter comportamentos totalmente diferentes se suas massas forem distribudas de formadistinta. Dois parmetros so necessrios para descrever a forma com que a massa sedistribui por um corpo: o seu centro de massa e o seu tensor de inrcia.

5.1 Centro de massa

Considera-se inicialmente um sistema composto porNpartculas de massa mn(n= 1, ...,N). cujas posies, rn, so conhecidas a cada instante em relao aos eixos coordenadosFFFFa. Define-se ento como o centro de massa do sistema o vetor dado por:

1

1

1 Ncm n nN

nn

n

m

m =

=

r r . 5.1

Se mfor a massa do conjunto de partculas, isto , se

1

N

n

n

m m=

= 5.2

ento o centro de massa fica

1

1 Ncm n n

n

mm =

= r r 5.3

Este conceito pode ser facilmente estendido para um corpo com massa no concentrada,cuja posio seja conhecida a cada instante com relao a um sistema de eixoscartesianos FFFFa. como mostrado na Figura 5.1. Neste caso deve-se considerar o corpocomo formado por elementos de massa infinitesimais, e efetuar a integrao, ou seja:

1cm a

Mdm

m r r , 5.4

onde a integral realizada em toda a massa mdo corpo.

Se for fixado um sistema de coordenadasFFFFbpreso ao corpo, e cuja origem coincida como centro de massa, isto , na posio dada pelo vetor cmr , como mostra a Figura 5.1, e

tal que a b cm= +r r r , ento, substituindo este resultado na definio do centro de massachega-se concluso que

bm

dm= r 0 5.5


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38

FFFFb

FFFFa

rcm

rb

ra

dm

Figura 5.1 Centro de massa de um corpo rgido.

Define-se o primeiro momento de inrcia de um corpo, c , como sendo o vetor dado por

cmmc r 5.6

Caso o sistema de coordenadas seja fixado ao centro de massa, ento o primeiromomento de inrcia nulo.

5.2 Tensor de inrcia

O tensor de inrcia de um sistema de partculas (tambm chamado de segundo momentode inrcia ou simplesmente de momento de inrcia) uma didica definida por:

1

[( ) ]N

n n n n n

n

m=

J r r 1 r r , 5.7

onde 1 representa a didica unitria. No caso de um corpo com massa distribudacontinuamente no espao o momento de inrcia resulta:

[( ) ]a a a am

dm J r r 1 r r . 5.8

Quando o corpo possuir distribuio uniforme de massa mais conveniente efetuar estaintegral no seu volume, desde que a densidade ( )a r do material seja conhecida:

[( ) ]a a a aV

dV= J r r 1 r r . 5.9

O equivalente matricial desta expresso pode ser obtido pela substituio deT T

a a a a a= =r r r F FF FF FF F , o que leva a

( )T Ta a a a am

dm= J r r 1 r r . 5.10

Novamente, se for considerado um sistema FFFFb preso ao centro de massa do corpo,define-se ento o momento de inrcia relativo a este centro como:

[( ) ]b b b bm

dm I r r 1 r r . 5.11


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39

Porm, substituindo-se a relao /a b m= +r r c na expresso do momento de inrcia,tem-se que

( ) / ( )cm cm cm cmm m= + = + J I c c 1 cc I r r 1 r r , 5.12

que conhecida como a relao de translao do momento de inrcia. A representaomatricial desta expresso tambm bastante til. Lembrando que o vetor br expresso

no sistema de coordenadas FFFFb, ento ( )a a b cm ab b cm= + = +r r r C r r FFFF , na qual Cab a

matriz de transformao entre os sistemas FFFFa e FFFFb, e cmr o vetor coluna das

componentes do centro de massa expresso no sistema FFFFa, tem-se que

( )T T Ta ab b ab cm cm cm cmm= + J C I C r r 1 r r 5.13

Conclui-se facilmente disto que a relao entre inrcias referidas a dois sistemas commesma origem, mas com orientaes distintas dada por:

T

a ab b ab=I C I C 5.14

Uma vez que T T = +r r r r1 r r , ento o momento de inrcia pode tambm sercolocado na forma

a a am

dm = J r r 5.15

As matrizes de momentos de inrcia so simtricas e definidas positivas. So

igualmente chamadas de tensores de inrcia. Alm disso, apresentam ainda diversaspropriedades que podem ser encontradas em livros sobre o assunto (CRANDALL,1968; HUGHES, 1986).

Ser mostrado agora que a integral do duplo produto vetorial ( )a a r r no volume do

corpo, onde ar o vetor de integrao e uma velocidade angular ou a composio de

velocidades angulares, ir resultar no produto da didica de inrcia pelo vetorvelocidade angular. Aplicando a propriedade do produto misto, tem-se que:

( ) [( ) ( ) ]a a a a a adm dm = r r r r r r R RR RR RR R 5.16

que pode ser re-escrita como

( ) [( ) ( )]a a a a a adm dm = r r r r 1 r r R RR RR RR R , 5.17

na qual 1 representa a didica unitria. Pode-se agora levar a velocidade angular parafora da integral, o que resulta:

( ) [( ) ]a a a a a adm dm = = r r r r 1 r r J R RR RR RR R , 5.18


50/113

40

onde J a didica de inrcia do corpo no sistema de coordenadas FFFFb.

5.3 Momentos principais de inrcia

O teorema espectral mostra que qualquer matriz simtrica e definida positiva Apode serdiagonalizada, isto , transformada numa matriz diagonal B, por uma transformao dotipo:

T=B C AC , 5.19

onde C uma matriz ortonormal. Como o tensor de inrcia simtrico e definidopositivo, ento, supondo que Btem a forma:

1

2

3

0 0

0 00 0

=

B , 5.20

e como C ortonormal, isto , C CT = 1, multiplicando-se a transformao por C esquerda, pode-se escrever:

1

2

3

0 0

0 0

0 0

=

AC C . 5.21

Admitindo agora que Cseja uma matriz na forma

( )1 2 3=C v v v , 5.22

tal que v1, v2, ev3sejam vetores coluna, tem-se ento 3 relaes nas quais

i i i= A v v , i= 1, 2 e 3, 5.23

ou ainda

( ) 0i i =A 1 v . 5.24

Os escalares i so conhecidos como autovalores ou valores caractersticos (porquetambm so encontrados nas solues particulares de equaes diferenciais ordinrias,denominadas de equao caracterstica), enquanto que o vetor vi conhecido como oautovetorassociado ao autovalor i. Nota-se que os autovalores e os auto-vetores nodependem da transformao C, mas apenas da matriz A (tensor de inrcia). Istosignifica que um dado tensor de inrcia possui apenas um conjunto de autovalores eautovetores.

Para determinar os autovalores basta multiplicar ambos os lados relao acima pelainversa 1( )i

A 1 esquerda. Se esta inversa existir, ento 0i=v , o que indica a


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41

soluo trivial. Como os auto-vetores no podem ser nulos, a inversa de ( )i A 1 nodeve existir, e portanto seu determinante deve ser nulo, ou seja:

det( ) 0i =A 1 , 5.25

o que permite que sejam calculados os autovalores de A. Este determinante leva equao caracterstica, dada por

3 2 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3 12 13 23

2 2 21 23 2 13 3 12 1 2 3 12 13 23

( ) ( )

2 0

a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a

+ + + + + +

+ + + = 5.26

tambm conhecido por polinmio caracterstico, no qual a matriz simtrica A definida por

1 12 13

12 2 23

13 23 3

a a a

a a a

a a a

=

A . 5.27

Como A definida positiva, as razes da equao caracterstica so reais e permitemobter os 3 autovalores. Se a matriz Afor diagonal, ento o polinmio se reduz a

3 21 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3( ) ( ) 0a a a a a a a a a a a a + + + + + = 5.28

Os auto-vetores sero calculados pela relao ( ) 0i i =A 1 v , para cada autovalor ij

determinado. Porm, como a equao caracterstica nula, ento no h soluo nicapara vi. De fato, somente n 1 equaes do sistema ( ) 0i i =A 1 v so linearmenteindependentes, o que indica que pelo menos um dos elementos de videve ser adotado.Em geral costuma-se estabelecer que os autovetores sejam todos unitrios, o queintroduz uma nova condio capaz de resolver univocamente o sistema, isto ,

( ) 0i i =A 1 v , tal que 1i =v 5.29

Uma vez que a matriz C ortonormal, ento os autovetores formam um sistema decoordenadas ortogonais. Neste sistema o tensor de inrcia diagonal e denominadomatriz ou tensor principal de inrcia do corpo. Os elementos da diagonal soconhecidos como momentos principais de inrcia, e a base denominada sistema deeixos principais de inrcia. Por outro lado, quando o tensor de inrcia no diagonalos elementos da diagonal principal so denominados de momentos de inrcia,enquanto que os elementos fora da diagonal so conhecidos por produtos de inrcia.

Da expresso ( )1 2 3=C v v v pode-se igualmente considerar que os auto-vetoressejam os co-senos diretores que relacionam o sistema de coordenada fixado ao corpocom o sistema de eixos principais de inrcia, pois

T=A CBC 5.30


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Deve-se certificar que os autovetores realmente constituam uma base dextrgira, isto ,tal que

1 2 3

=v v v , 2 3 1

=v v v e 3 1 2

=v v v , 5.31caso contrrio deve-se trocar a seqncia de autovalores e autovetores para que ascondies acima sejam satisfeitas. Pode-se, por exemplo, trocar v2com v3e 2com 3ou ento v1com v3 e 1 com 3. Pode-se, igualmente, trocar o sinal de um dos auto-vetores, j que ( ) 0i i =A 1 v no se altera se vitrocar de sinal. Neste procedimento oautovalor correspondente permanece inalterado.

Em resumo, qualquer que seja a distribuio de massa num corpo rgido, sempre haverum sistema de coordenadas que pode ser fixado a ele no qual o tensor de inrcia diagonal. Este sistema conhecido como sistema principal de inrcia. Quando o

movimento expresso em relao aos eixos principais de inrcia as equaes dadinmica simplificam-se consideravelmente. Esta simplificao permite que omovimento do corpo rgido seja estudado j que existe soluo analtica para asequaes da dinmica.

5.4 Problemas

5.1) Calcular a matriz de inrcia dos slidos mostrados na Figura 5.2, em relao aosistema de coordenadasx-y-z. Considerar as massas como concentradas no centrodas esferas e desprezar a massa do elo que mantm o sistema unido. Considerandoque os slidos so geometricamente iguais, explicar o motivo dos tensores de

inrcia serem diferentes.

m

m

m

m

c

cc

c

x

y

z

m

m

c

cc

c

x

y

z m

m

Figura 5.2 Slido na forma de halteres duplo.

5.2) Mostre que se I for o tensor de inrcia de um corpo rgido em relao a umsistema de coordenadas FFFFo com origem no centro de massas do corpo, comomostrado na Figura 5.3, ento o tensor de inrcia J deste mesmo corpo em relaoa um sistema FFFFrcuja origem se encontra na posio rem relao ao sistema FFFFo, ecom mesma orientao, dado por (teorema dos eixos paralelos):

( )T Tm= + J I r r1 r r ,


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onde m a massa do corpo e 1 a matriz identidade de ordem 3.

m

FFFFr

r

FFFFo

Figura 5.3 Tensor de inrcia em sistemas de coordenadas paralelos.

5.3) Mostrar que os momentos de inrcia com relao aos eixos cartesianos da placamostrada na Figura 5.4, de espessura e


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l

rh

xy

z

Figura 5.5 Tensor de inrcia de um corpo cnico-cilndrico.

5.5) Demonstrar que T T = +r r r r1 r r , para qualquer vetor matricial r.

5.6) Escrever a expresso do tensor de inrcia (matricial) de um corpo qualquer naforma de integral em funo da posio r= (xyz)Tde um elemento de massa dm.

5.7) Mostrar que um tensor de inrcia simtrico e definido positivo. Uma matrizquadrtica A definida positivaquando

0T >z A z ,

para qualquer vetor z.

5.8) Obter a equao caracterstica, os autovalores e os autovetores do tensor de inrciadado por:

10,0992 1,5744 0,768

1, 5744 9,1808 0, 576

0,768 0,576 10,72

=

J .

Se os autovetores no constiturem uma base dextrgira, pede-se trocar o sinal dev3. A seguir, calcular os ngulos de Euler (em unidades de graus) de umatransformao 3-1-3 relacionados matriz C. As razes de um polinmio cbico

podem ser encontradas em http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function.


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6 DINMICA DE PEQUENAS MASSAS

As equaes da dinmica permitem prever o comportamento de um corpo, isto , seu

estado futuro, a partir do conhecimento do seu estado, ou posio, atual. Estas equaesso derivadas da segunda lei de Newton (F= ma), ou, mais precisamente, da variaodo momento de um corpo (F p= ), aplicadas ao movimento rotacional ao redor de umeixo. De fato, considera-se que as equaes da dinmica rotacional, tambmdenominadas de equaes de Euler, so extenses da aplicao das leis do movimentotranslacional para o movimento rotacional. Na verdade a segunda lei um caso

particular do movimento translacional e rotacional de um corpo, no qual supe-se que amassa esteja concentrada num nico ponto. Da mesma forma que as equaes dacinemtica permitem prever a atitude a partir do conhecimento do histrico davelocidade angular ( ( , )F t= ), as equaes da dinmica permitem obter ocomportamento desta velocidade conhecendo-se o histrico dos torques aplicados aocorpo ( ( , )G t= ).

As equaes dinmicas dependem de caractersticas do corpo em considerao. Podem,por exemplo, refletir o comportamento de um sistema de partculas (cada uma delasconsiderada pontual), atreladas ou no por foras mtuas, ou exemplificar um corporgido sob a ao de foras e torques externos. Embora na maior parte das vezes, e numa

primeira aproximao, um corpo possa ser considerado rgido, como um foguete, umsatlite ou uma aeronave, nem sempre

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