Dinâmica cap17a
-
Upload
alexandre-xambim-baldez -
Category
Engineering
-
view
134 -
download
3
Transcript of Dinâmica cap17a
![Page 1: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/1.jpg)
MECÂNICA - DINÂMICA
Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido:
Força e Aceleração
Cap. 17
![Page 2: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/2.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2
Objetivos
Introduzir os métodos utilizados para calcular o
momento de inércia de massa de um corpo
Desenvolver as equações dinâmicas do movimento
plano para um corpo rígido simétrico
Discutir aplicações destas equações para corpos em
movimento de translação, rotação em torno de um eixo
fixo e movimento plano geral
![Page 3: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/3.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 3
17.1 Momento de Inércia
Movimento de translação:
F = m a
Movimento de rotação:
M = I a
onde I é o momento de inércia.
O momento de inércia é uma resistência do corpo à
aceleração angular enquanto que a massa mede a
resistência do corpo à aceleração
![Page 4: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/4.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 4
17.1 Momento de Inércia
O momento de inércia é obtido pelo cálculo do segundo
momento de massa em relação a um eixo:
2
m
I r dm r é o braço de momento ou a distância
perpendicular do eixo considerado até o
elemento de massa dm.
![Page 5: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/5.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 5
17.1 Momento de Inércia
Para um corpo de densidade variável r, dm = rdV e:
2
V
I r dVr
E para r constante:
2
V
I r dVr
![Page 6: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/6.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 6
Exemplo 17.1
Determine o momento de inércia do cilindro mostrado
em relação ao eixo z. Considere a densidade do material
constante.
![Page 7: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/7.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 7
Exemplo 17.1 - Solução
Usando o elemento de casca cilíndrica:
hRdrrhI
drhrrdmrI
drhrdmdVdm
drhrdV
R
z
R
m
z
4
0
3
0
22
22
))(2(
))(2(
))(2(
rr
r
rr
![Page 8: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/8.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 8
Exemplo 17.1 - Solução
2
0
2
Como a massa do cilindro
1
2
é:
(2 )( )
Assim:
z
R
m
m dm r h dr R h
I mR
r r
![Page 9: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/9.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 9
17.1 Momento de Inércia
Teorema dos Eixos Paralelos
2
z GI I md
onde:
IG = momento de inércia em
torno do eixo z’ passando pelo
centro de massa G
m = massa do corpo
d = distância perpendicular
entre os dois eixos
![Page 10: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/10.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 10
17.1 Momento de Inércia
Raio de Giração
2 ou I mkI
km
Observe-se a semelhança com a equação do
diferencial do momento de inércia:
dmrdI 2
![Page 11: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/11.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 11
17.1 Momento de Inércia
Corpos compostos
Usa-se o Teorema dos Eixos Paralelos
2
z GI I md
Portanto para uma somatória
de corpos:
2
z GI I md
![Page 12: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/12.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 12
Exemplo 17.3
Determine o momento de inércia da placa em relação ao
eixo z perpendicular a placa passando pelo ponto O. A
placa possui densidade constante de 8000 kg/m3 e
espessura 10 mm.
![Page 13: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/13.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 13
Exemplo 17.3 - Solução
A placa consiste de duas partes, um disco sólido e um
furo:
Portanto para uma somatória de corpos:
2
2
d d dO
f f fO
O d fO O
I I m d
I I m
I I
d
I
![Page 14: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/14.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 14
Exemplo 17.3 - Solução
Disco:
2
2 2
2
2
2
8000 (0.25) (0.01) 15.708 kg
0 25 m
1 1(15.71)(0.25) 0.49087
2 2
0.49087 15.708(0.25
1.4726 kg.
)
m
d d d
d
d d d
d
O
d
d O
O
d
m V
d .
I m r
I
I I m
I
d
r
![Page 15: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/15.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 15
Exemplo 17.3 - Solução
Furo:
2
2
2
2
2
2
8000 (0.125) (0.01) 3.9270 kg
0 25 m
1 1(3.9270)(0.125) 0.030680
2 2
0.030
0.27612
680 3.9270(0.
k m
2
.
5)
g
f f
f
d
f f
d d d
d O
O
fO
m V
d .
I m
I I d
r
I
m
I
r
![Page 16: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/16.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 16
Exemplo 17.3 - Solução
Placa:
2
1.4726 0.27612
1.20 kg.m
O d f O
O
O
O
I
I I I
I
![Page 17: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/17.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 17
Objetivos
Introduzir os métodos utilizados para calcular o
momento de inércia de massa de um corpo
Desenvolver as equações dinâmicas do movimento
plano para um corpo rígido simétrico
Discutir aplicações destas equações para corpos em
movimento de translação, rotação em torno de um eixo
fixo e movimento plano geral
![Page 18: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/18.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 18
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Nosso estudo será restrito para
corpos rígidos que possuem
simetria em relação a um plano
de referência. Assim todas as
forças (e momentos) atuantes no
corpo poderão ser projetadas
neste plano e o movimento a ser
estudado será planar.
![Page 19: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/19.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 19
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Translação:
GmF a
Esta equação define que a soma de todas as forças
atuantes no corpo é igual a massa do corpo vezes a
aceleração do seu centro de massa G.
![Page 20: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/20.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 20
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação Planar do Movimento de Translação:
x G x
y G y
F m a
F m a
![Page 21: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/21.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 21
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
iiii m arfrFr
Diagrama cinético da partículaDiagrama de corpo livre da partícula
![Page 22: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/22.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 22
16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Movimento do Ponto P
2
2
t
n
P
P P
v ωr
a r
a ω r
ω
a
v ω r v ω r
a α r ω ω r a α r r
Resumo:
![Page 23: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/23.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 23
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
)( 2rrαarM
arM
ωm
m
PiiP
iiiP
Desenvolvendo o produto vetorial, usando os
componentes cartesianos do momento e aceleração:
2αraxaymMyPxPiiP
![Page 24: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/24.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 24
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação
Integrando sobre toda a massa do corpo:
m
yP
m
xP
m
P dmrαaxdmaydmM 2
![Page 25: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/25.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 25
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
SMP representa somente momentos externos desde que os
momentos internos se anulam.
m
yP
m
xP
m
P dmrαaxdmaydmM 2
![Page 26: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/26.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 26
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
A primeira integral é a ordenada do centro de massa vezes a
massa
m
yP
m
xP
m
P dmrαaxdmaydmM 2
![Page 27: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/27.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 27
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
segunda integral é a coordenada do centro de massa vezes a
massa
m
yP
m
xP
m
P dmrαaxdmaydmM 2
![Page 28: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/28.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 28
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
A terceira integral é o momento de inércia de massa do corpo.
m
yP
m
xP
m
P dmrαaxdmaydmM 2
![Page 29: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/29.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 29
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
P P P Px yM ym a xm a αI
![Page 30: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/30.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 30
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
Se o ponto P coincide com o centro de massa G:
G GM αI
ou seja: a soma de todos os momentos
externos atuantes no corpo, calculados
em relação ao centro de massa G é igual
ao produto da aceleração angular do
corpo pelo momento de inércia em
relação a um eixo que passa por G.
![Page 31: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/31.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 31
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação escrita em
função do momento de inércia em relação ao centro
de massa G:
P G G Gx yM ym a xm a αI
Diagrama cinéticoDiagrama de corpo livre
![Page 32: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/32.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 32
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação escrita de uma
forma geral em função do momento cinético:
P k PM M
P P P Px yM ym a xm a αI
P G G Gx yM ym a xm a αI
![Page 33: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/33.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 33
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Resumo:
P k PM M
x G x
y G y
F m a
F m a
G GM αI
![Page 34: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/34.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 34
Problema 17.A
2
Uma empilhadeira é constituída de uma estrutura com uma massa
de 800 kg e centro de massa em , conforme mostrado na figura.
Se a aceleração vertical da estrutura é de 4 m/s , determine as
reações horizo
G
ntal e vertical nos pinos e quando a carga de
elevação é de 1250 kg.
A B
0.25 1.00 2.00
1.20
0.30
![Page 35: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/35.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 35
Problema 17.A - Solução
0.25 1.00 2.00
1.20
0.30
Diagrama de Corpo Livre
BX
AX
AY
PCPE
g=9.81 m/s2
a=4 m/s2
CG
xCG
![Page 36: Dinâmica cap17a](https://reader033.fdocumentos.com/reader033/viewer/2022051213/55acbd1d1a28ab75088b456b/html5/thumbnails/36.jpg)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 36
Problema 17.A - Solução
1250 800
1250 1250 9.81
800 8
2050.0 kg
12263 N
7800 9.81
7848.0 12263 2 0
2050 0
7848 12262.50 2050 4
1.5
28.3 kN
48.
0
0
0 N
1.2195 m
28310 N
CG C
C
G
x x x x
y
x y
G
y
G
x
y
y
x
y
m
PC g
PE g
x x
A B A B
A
M
m
PC
PE
x
A
A
F ma
m
A
F
A
a
1.00 1.2195 0
1.50 28310 1.00 1.2195 0 41.9 kNxx xA BA