Dinamica Das Estruturas Lista 5

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    Em resoluo de sistemas de mltiplos graus de liberdade (MDOF - resoluo de

    sistemas de equaes de movimento), sejam estes lineares ou no, os mtodos mais gerais

    so os mtodos de integrao direta das equaes de movimento. Tais mtodos so no

    domnio do tempo e tambm recursivos (resolvidos em sucessivos instantes de tempo).

    Contudo, como em cada um desses mtodos se arbitra uma lei de deslocamento,

    velocidade ou acelerao aproximativa soluo exata, tem-se a acumulao de

    aproximaes em cada instante de tempo, o que pode provocar instabilidade numrica.

    Naturalmente, com a reduo do passo de tempo, esse inconveniente evitado, a custo de

    maior tempo de processamento.

    O objeto de estudo deste trabalho so os mtodos de integrao direta das

    equaes de movimento para sistemas de mltiplos graus de liberdade. Sero estudados e

    avaliados o mtodo da diferena finita central, o mtodo de Newmark (acelerao

    constante e acelerao linear). Em todos estes mtodos ser avaliada a convergncia, a

    preciso (comparao com superposio modal) e estabilidade. Tambm ser abordado e

    desenvolvido o mtodo da superposio modal para avaliao e comparao de

    resultados.

    Para todos os casos, temos que o problema de mltiplos graus de liberdade dado

    pela soluo do vetor {x} nas equaes de movimento do tipo (geral):

    {} {} {} {t} Assim deve-se obter a soluo dinmica do vetor {x} (para cada grau de liberdade).

    Neste projeto sero avaliados apenas sistemas de mltiplos graus de liberdade sem o

    termo de amortecimento, assim o termo que envolve a matriz de amortecimento [C] ser

    desprezado, restando apenas:

    {} {} {t}

    Sendo essa a equao fundamental do problema.

    1.2 Apresentao do estudo de caso prticotipo Shear rame

    1.2.1 Generalizaes

    O exemplo a ser avaliado ser o modelo idealizado de um prtico com 2

    pavimentos do tipo shear-frame apresentado abaio. Neste modelo idealizado, supe-seque as vigas e as lajes dos pavimentos so infinitamente rgidas flexo, e os efeitos de

    deformao axial nas vigas e pilares so desprezados. Apesar de no ser um modelo

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    realstico, trata-se de um modelo extremamente simples para estudar e ilustrar como as

    equaes de movimento de sistemas com mltiplos graus de liberdade so desenvolvidas.

    O prtico contm 04 pilares de 20x40 cm e a massa suposta como concentrada nos nveis

    dos pavimentos. O nmero de graus de liberdade (em relao s massas do sistema, ou

    seja, o nmero de deslocamentos independentes necessrios para definir as posies

    deslocadas das massas do sistema em relao sua posio original de equilbrio) de 2,

    que correspondem aos deslocamentos laterais x1(t) e x2(t). Neste problema no haver

    amortecimento.

    1.2.2 Matriz de massa

    Cada massa do sistema est relacionada apenas com o seu respectivo grau de liberdade,

    assim a matriz de massa global ser uma matriz diagonal da forma:

    m m

    Onde, para o caso em questo, temos m1 = m2 = m.

    1.2.3 Matriz de rigidez

    A matriz de rigidez do sistema pode ser obtida da mesma forma que feito no

    mtodo dos elementos finitos, ou utilizando um raciocnio um mais simplificado, que

    consiste em impor um deslocamento unitrio no primeiro pavimento e manter o segundo

    pavimento fio ou seja,u1 = 1 e u2 = 0, conforme figura abaixo). As foras que surgem,

    necessrias para manter a estrutura com a configurao deformada nos pavimentos

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    inferiores e superiores, compem os termos k11 e k21 da matriz de rigidez (figuras (a), e

    (b) abaixo). Fazendo o mesmo agora para o pavimento superior (u2=1 e u1=0),

    computam-se os termos k12 e k22 da matriz de rigidez. Observa-se que o n 1 tem

    influncia dos pavimentos superior e inferior, enquanto que o n 2 tem apenas influncia

    do pavimento superior.

    Para o caso do prtico em questo, a rigidez conjunta do pavimento inferior a

    soma da rigidez dos dois pilares (cada um com rigidez k/2), assim temos que a rigidez dopavimento inferior k tem valor k/ k/ k. Para o pavimento superior tem -se amesma situao, assim k2 = k/2+k/2 = k. A rigidez total do conjunto 2k.

    Assim a matriz de rigidez do problema tem os coeficientes k11 = k1+k2 = 2k,

    k12=k21 = - k1 = -k2 = -k, e k22 = k2 = k, assim:

    k kk k a matriz de rigidez do problema em questo. O valor de k obtido atravs das tabelas

    utilizadas no mtodo da rigidez para o caso de viga engastada livre, cujo valor de

    12EI/L.

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    Esquema simplificado para montagem da matriz de rigidez do problema. Fonte: CHOPRA.

    1.2.4 Valores numricos adotados e anlise modal

    Para o caso em questo, os valores numricos seguintes sero adotados:

    m = 6750 kg

    k = 3325000 N/m

    E a soluo do problema de autovalores e autovetores (anlise modal) da estrutura resulta

    nas frequncias naturais e perodos:

    w1 = 27,41 rad/s ; w2 = 71,75 rad/s ;

    T1 = 0,229 s ; T2 = 0,0876 s.

    E nos autovetores:

    {} .. {} ..

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    2. Avaliao da resposta dinmica de problemas mltiplos graus de liberdade por

    Superposio modal

    2.1 Apresentao e generalizao

    A soluo mais simples possvel do sistema de equaes de movimento do modelo

    de mltiplos graus de liberdade utiliza-se o mtodo da superposio modal, onde o

    acoplamento das equaes removido, deixando o processo muito mais simples, porm,

    naturalmente, um pouco mais limitado.

    A ideia do mtodo consiste na transformao do sistema de equaes diferenciais

    em um nmero reduzido de equaes de movimento (para cada grau de liberdade), para

    posterior obteno da resposta total do modelo atravs da soma das solues dessas

    equaes. Naturalmente de se esperar que a resposta final deve ser truncada, uma vez

    que a participao de alguns modos de vibrao desprezvel a partir de um certo modo.

    Tambm de se esperar que, uma vez que trata-se de superposio de efeitos, tal mtodo

    vlido somente para sistemas lineares.

    2.2 Desenvolvimento do mtodo o problema em termos de coordenadas modaisPara sistemas lineares, como os modos naturais de vibrao so linearmente

    independentes entre si e em nmero igual ao dos graus de liberdade do modelo discreto,

    tem-se que qualquer configurao deste modelo pode ser escrita como a seguinte

    superposio dos modos de vibrao para n graus de liberdade:

    {}t {}t pa r a iinOnde tso as coordenadas generalizadas, funes do tempo, que sero denominadasde coordenadas modais. a matriz dos autovetores dos modos de vibrao daestrutura.

    {}{}{}{} Sendo {}o autovetor correspondente ao primeiro modo de vibrao e {}o autovetorcorrespondente ao n-simo modo de vibrao, de forma que:

    {}

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    Corresponde ao autovetor do primeiro modo de vibrao para os n graus de liberdade,

    assim:

    a matriz de autovetores do sistema para os n graus de liberdade, onde cada colunacorresponde a um autovetor referente ao n-simo grau de liberdade. Ou seja, corresponde ao segundo grau de liberdade do primeiro modo de vibrao. corresponde ao m-simo grau de liberdade do n-simo modo de vibrao.

    Sendo assim, temos a resposta para o primeiro modo de vibrao como:

    {}t {}tPara o segundo modo:

    {}t {}tE para o n-simo modo:

    {}t {}tPara a resposta total tem-se que:

    {} }{}{}{}

    Ou ainda:

    {} {}t {}t {}t { }t {}t {}t {}t { }tA estratgia para desacoplar as equaes de equilbrio vem agora com a

    propriedade da ortogonalidade dos modos de vibrao. Ao multiplicar todos os termos da

    equao acima por

    {

    }

    temos:

    {}{} {}{}t {}{}t { }{}t

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    Porm ainda da propriedade da ortogonalidade da matriz de massa temos que:

    {}{} p a r a n mAssim todos os termo s da soluo geral

    {}acima sero zero, com exceo do termo

    {}{}t, ou seja:{}{t} {}{}tIsolando para t, temos:

    t {}{t}{}{} E fazendo {}{} , temos finalmente:t {}{t}E aplicando as condies iniciais (obrigatrias para soluo do problema) em {} e{t}pode-se obter {}{}e {}{}.Substituindo a equao acima na equao do movimento (2) tem-se:

    {} {} {t}

    Mas {}t {}e { }t { }, o que resulta em{ } {} {t}E multiplicando a equao acima por {} e usando a propriedade da ortogonalidadetemos:

    {}{ } {}{}{}{t}{}{}t {}{}t {}{t}

    E fazendo {}{} , {}{} e {}{t} resulta em: t t

    omo a resposta para o modo n. A soluo da equao deve-se dar em termosde t, que corresponde parcela de variao da amplitude com o tempo para o modon.

    A amplitude total definida como

    {}t {}t, e para a resposta total deve-se

    ento somar todos os {}t para todos os modos at onde se desejar (truncar a

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    resposta). O truncamento realizado apresentar boa aproximao a partir do momento em

    que o n-simo modo de vibrao no represente um percentual de resposta significativo

    para o problema em questo.

    Coordenadas modais ideia da superposio modal. Fonte: CHOPRA.2.3 Soluo do problema por superposio modal

    Para o problema em questo tem-se os parmetros:

    .e .e.e .e

    E a soluo do problema de autovalores e autovetores (anlise modal) da estrutura resulta

    nas frequncias naturais e perodos:

    w1 = 27,41 rad/s ; w2 = 71,75 rad/s ;

    T1 = 0,229 s ; T2 = 0,0876 s.

    E nos autovetores:

    {} .. {} ..Assim podemos obter as massas, rigidezes e foras generalizadas para os 2 modos

    de vibrao e em seguida as equaes de movimento para cada modo.

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    t {}t .tt {}t .t

    Sendo

    ta resposta do grau de liberdade 1 (primeiro pavimento) para o modo

    de vibrao 2 e t a resposta do grau de liberdade 2 (segundo pavimento) para omodo de vibrao 2.A resposta total Xi obtida como a soma das respostas individuais dos graus de

    liberdade dos modos de vibrao 1 e 2:

    t t t

    t t t

    t a resposta do grau de liberdade 1 total como sendo a soma da resposta dograu de liberdade 1 do modo de vibrao 1 () e a resposta do grau de liberdade 1 domodo de vibrao 2 ().

    t a resposta do grau de liberdade 2 total como sendo a soma da resposta dograu de liberdade 2 do modo de vibrao 1 () e a resposta do grau de liberdade 2 domodo de vibrao 2 ().

    O que resulta finalmente em:

    t .ecos.t.e cos. t . cos. t .e cos.t.ecos.t.ecos.t.cos.t.cos.tt .ecos.t.e

    cos. t . cos. t .e cos.t.ecos.t.e cos. t . cos. t . costComo o resultado para superposio modal. Estas funes sero utilizadas

    posteriormente para comparao com os mtodos de integrao direta.

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    2. Integrao direta Mtodo das diferenas finitas Centrais

    O mtodo das diferenas finitas um mtodo numrico bastante usual que

    consiste na soluo de equaes diferenciais por substituio dos operadores diferenciais

    por operadores (aproximados) de diferenas finitas, resultando em equaes algbricascom valores discretos das variveis dependentes. Um caso particular do mtodo a

    resoluo por diferena finita central, que utiliza o operador de diferenas finitas baseadonos pontos frente e atrs em relao ao ponto piv. Para a equao fundamental donosso problema (2), sero necessrios o operador de diferenas finitas centrais de

    segunda ordem (que multiplica o termo da matriz de massa), e o de primeira ordem, que

    so dados por:

    t t Para os sistemas com mltiplos graus de liberdade, o termo na verdade um vetor quepossui termos relacionados cada grau de liberdade do problema, assim:

    {} {} { } { }

    t

    E, substituindo o operador de diferenas finitas acima na equao fundamental do

    problema (2), temos:

    {} { } { }t {{} {t} Para t = 0...n, onde a nossa nica incgnita ser {}.O processo iterativo anlogo ao problema de um grau de liberdade, assim para

    i=0 (primeira iterao), temos que (substituindo t=0 na equao acima e combinando

    com as equaes (3) e (4)):

    {} t {t} t {} t{} {} E para as demais iteraes:

    {} t{t} t{} {} {}

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    O que torna o algoritimo bastante simples para programao. O mtodo das diferenas

    finitas centrais consiste num mtodo de integrao explcita.

    Como Todos os mtodos explcitos, o mtodo de integrao direta por diferena finita

    central somente condicionalmente estvel, ou seja, sua estabilidade numrica somente

    garantida com espaamento de integrao que atenda a condio:

    t /3. Integrao direta Mtodo de Newmark

    Acelerao mdia e acelerao constante

    Newmark apresentou uma famlia de mtodos de integrao numrica das

    equaes de movimentos de modelos estruturais com as seguintes expresses:

    t t ( ) tOnde os parmetros c e b so estabelecidos com o objetivo de influir na

    estabilidade numrica e na preciso da soluo. Com = e = 1/6 recai-se no mtodo

    da acelerao linear em cada espaamento de tempo. Com = e = recai-se no

    mtodo da acelerao mdia (constante) neste espaamento.

    Para o caso de acelerao mdia tem-se que para cada espaamento t = t-tarbitra-se a acelerao como sendo a mdia aritmtica da acelerao no tempo t e t,assim:

    E a partir das equaes do MUV da fsica clssica pode-se chegar s expresses

    para o deslocamento, acelerao e velocidade no tempo t+1, respectivamente:

    {} [ t ]

    {}t {}t { } {}

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    {} {} {}t {}t { }

    {} {} {} {}

    Para o caso de acelerao linear, tem-se que para cada espaamento t = t-tarbitra-se a acelerao como sendo varivel linearmente neste intervalo de tempo, ou seja:

    O que resulta para os deslocamentos, velocidade e aceleraes no tempo t+1, a partir da

    integrao da equao acima de, respectivamente:

    {} t {}t { }t { } {}

    {} {} {} {}

    {} {} {}t {}t { }

    O mtodo de Wilson uma generalizao do mtodo da acelerao linear de

    Newmark, adotando esta mesma lei s que no espaamento estendido de tempo de

    (t t . O valor de estabelecido com objetivo de se obter estabilidadenumrica, e, portanto, se diz que este mtodo condicionalmente estvel.

    4. Soluo do shear frame apresentado e resultados

    A seguir sero mostrados os resultados utilizando superposio modal e

    integrao direta para o problema. Para soluo por integrao direta foi utilizado o

    software Mathcad 14, que se mostrou bastante eficiente para a soluo do problema, uma

    vez que os mtodos apenas exigem rotinas de iteraes simples. Para todos os casos foi

    utilizado tempo total de resposta de 1 segundo e passos de tempo variveis especificados

    a seguir.

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    Dados iniciais do programa, conforme especificados anteriormente. Nas caixas em amarelo

    pode-se alterar o tempo final e o nmero de passos de tempo (nmero de iteraes).

    4.1 Soluo com superposio modal

    A soluo com superposio modal j foi descrita no item 2.3, resultando as

    seguintes respostas totais para o deslocamento no primeiro e segundo pavimento(X1(t) e X2(t)):t .e cos. t .ecos.t.cos.t.ecos.t.ecos.t.ecos.t.cos.

    t.cos.t

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    t .e cos. t .ecos.t.cos.t.ecos.t.ecos.t.ecos.t.cos.t.cos.t

    4.2 Soluo com diferenas finitas centrais

    A figura a seguir mostra o trecho do cdigo com o processo iterativo para soluo

    por diferenas finitas centrais sem amortecimento. Em seguida mostram-se os resultados

    (respostas) para os dois graus de liberdade (primeiro e segundo pavimento: X1 e X2) com

    passos de tempo de 0.01s (100 iteraes), 0.002s (500 iteraes) e 0.001s (1000

    iteraes). Para todos os casos o tempo final de resposta (tf) igual a 1 segundo.

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    Diferenas finitas centrais Resultados para passo de tempo 0.01s (100 iteraes).O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:

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    Diferenas finitas centrais Resultados para passo de tempo 0.002s (500iteraes). O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:

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    Diferenas finitas centrais Resultados para passo de tempo 0.001s (1000iteraes). O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:

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    4.3 Soluo com mtodo da acelerao mdia

    `

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    Newmark: Acelerao mdia Resultados para passo de tempo 0.002s (500iteraes). O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:

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    Newmark: Acelerao mdia Resultados para passo de tempo 0.001s (1000iteraes). O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:

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    4.4 Soluo com mtodo da acelerao linear

    Conforme explicitado no item 3, o mtodo da acelerao linear tem algoritimo

    bastante similar ao mtodo da acelerao mdia.

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    Newmark: Acelerao LINEAR Resultados para passo de tempo 0.01s (100iteraes). O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:

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    Newmark: Acelerao LINEAR Resultados para passo de tempo 0.002s (500iteraes). O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:

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    Newmark: Acelerao LINEAR Resultados para passo de tempo 0.001s (1000iteraes). O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:

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    5. Concluses

    Os mtodos de integrao direita das equaes de movimento se mostram eficazes

    no sentido de resolver problemas genricos com algoritimos relativamente simples de

    serem programados. A incluso de no linearidade, por exemplo, faz com que o mtodo dasuperposio modal se torne invivel.

    Ainda sobre o mtodo da superposio modal, algumas vantagens podem ser

    destacadas. A primeira que o analista poder ver a contribuio de cada modo de

    vibrao da estrutura isoladamente. Em termos de didtica, tambm vlido ressalvar que

    este mtodo explicita com maior clareza a forma que as equaes de movimento podem

    ser resolvidas, e em alguns casos particulares este mtodo pode se tornar mais vivel. ,

    contudo, muito mais trabalhoso resolver todos os modos de vibrao para uma estrutura

    com um nmero muito grande de graus de liberdade. Em soluo de problemas prticos,

    acredita-se que o mtodo da superposio modal seja abandonado na maioria dos casos.

    Dentre os mtodos de integrao direta, o que se mostrou mais eficaz para a

    soluo deste problema foi o mtodo das diferenas finitas centrais, que apresentou uma

    convergncia mais rpida, onde se tem uma resposta de praticamente curva sobre curva

    quando comparada superposio modal (neste caso igual exata, pois foram utilizados

    todos os modos de vibrao existentes) com um passo de tempo de 0.002s. O tempo de

    processamento deste mtodo tambm se mostrou menor. Os mtodos da acelerao mdia

    e acelerao linear se mostraram bastante semelhantes um ao outro e menos eficazes para

    este problema.

    6. Referncias

    SORIANO, Humberto Lima. Introduo Dinmica das estruturas. 2014.

    CHOPRA, Anil, K. Dynamics of Structres

    Theory and Applications. 4th Ed. 2012.

    Notas de aula Prof Paulo Ribeiro Introduo dinmica das Estruturas UFPE.Notas de aula Prof Paulo Ribeiro Dinmica das Estruturas 1 PPGEC UFPE.