Dinâmica das Rotações 1 – Movimento Plano

1. Um cilindro uniforme de raio 𝑅 rola sem deslizar sobre um plano horizontal até

atingir um plano inclinado de um ângulo 𝛼 com a horizontal, como mostra a figura

abaixo. Determine o maior valor da velocidade inicial 𝑣𝑜 que permite que o cilindro

passe para a seção inclinada sem saltar. A gravidade local vale 𝑔.

2. Uma pequena partícula de massa 𝑚 é cuidadosamente colocada na superfície

interna de uma casca esférica cilíndrica de massa 𝑀 e raio 𝑅, como mostrado na figura

ao lado. Inicialmente, o cilindro se encontra em repouso sobre um plano horizontal e a

partícula está localizada a uma altura 𝑅 acima do plano. Determine a força entre a

partícula e o cilindro no momento em que a partícula passa pelo ponto mais baixo da

trajetória. Assuma que o atrito entre a partícula e o interior do cilindro é desprezível e

que o cilindro se move sobre o plano sem deslizar. A aceleração da gravidade é 𝑔.

3. Uma partícula de massa 𝑚 se move sem atrito sobre a superfície interna de uma

casca esférica homogênea de massa 𝑀 e raio 𝑅, cuja secção é mostrada na figura

abaixo. A esfera está livre para rolar sem deslizamento ao longo de uma superfície

horizontal. A partícula então sofre um pequeno deslocamento com relação com

relação à posição de equilíbrio. Calcule a frequência angular das pequenas oscilações

da massa pontual.

4. Um globo homogêneo de massa 𝑀 e raio 𝑅 gira livremente e sem atrito com uma

velocidade angular inicial 𝜔𝑜 em torno de um eixo vertical fixo. Uma partícula de

massa 𝑚 sai do pólo N e se move em direção ao polo S ao longo de um meridiano com

velocidade constante 𝑣 (relativa ao globo). O eixo de rotação do globo se mantém

inalterado. Encontre, durante o intervalo de tempo em que o inseto percorre o caminho

de N até S, o ângulo ∆𝜃 que o globo girou em torno de seu eixo. Você pode querer

usar o seguinte resultado: ∫𝑑𝑥

𝑎+𝑏.cos𝑥

2𝜋

0=

2𝜋

√𝑎2−𝑏2

5. Uma esfera homogênea de raio 𝑅 e massa 𝑚 rola sem deslizar com velocidade 𝑣𝑜 sobre um piso horizontal. Ela encontra um degrau de altura ℎ < 𝑅 e sobe por cima do

degrau. Assuma que a esfera fique sempre em contato com a quina do degrau até o

momento em que o centro da esfera fica direta-mente acima da quina. Mostre que,

para que a esfera consiga subir o degrau a velocidade 𝑣𝑜 deve satisfazer:

𝑣𝑜 ≥√

10𝑔ℎ

7(1 −

5ℎ

7𝑅)−1

6. Um disco homogêneo de raio 𝑅 e massa 𝑀 rola sem deslizar ao longo de um plano

inclinado que faz um ângulo 𝜃 com a vertical, como mostra a figura abaixo. O disco é

mantido em contato com o plano inclinado em todos os instantes. O disco é atraído por

um ponto 𝐴 localizado a uma distância vertical 𝑑 acima da superfície. Assuma que a

força de atração entre 𝐴 e o centro do disco é proporcional à distância entre os dois:

𝐹 = −𝑘𝑟, onde 𝑟 é a distância do ponto 𝐴 até o centro de massa do disco e 𝑘 é uma

constante positiva.

a) Determine a posição de equilíbrio do disco em relação ao ponto 𝐵. Isto é, determine

a distância entre o ponto 𝐵 (que está localizado verticalmente abaixo do ponto 𝐴) e o

ponto de contato do disco com o plano.

b) Suponha que o disco sofre um pequeno deslocamento a partir da posição inicial.

Determine a frequência angular de pequenas oscilações em torno desse ponto de

equilíbrio.

7. Uma barra uniforme de massa 𝑚 e comprimento 𝐿 está livre para rotacionar em

torno de um pivô 𝑃 que passa pelo seu centro. A barra rotaciona apenas em um plano

vertical e estava inicialmente na direção horizontal, como mostra a figura abaixo. Uma

aranha também de massa 𝑚 cai verticalmente sobre a barra com velocidade 𝑣𝑜 e se

prende sobre o ponto médio entre o ponto 𝑃 e a extremidade livre da barra.

Imediatamente depois da colisão inelástica entre a barra e a aranha, a aranha começa a

andar ao longo da barra de modo que a velocidade angular do sistema barra+aranha

permanece constante.

a) Demonstre que a distância 𝑥(𝑡) entre a aranha e o pivô varia de acordo com a

equação

𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝐵𝑡) + 𝐶

e determine as constantes 𝐴, 𝐵 e 𝐶.

b) Determine os valores de 𝑣𝑜 para que a aranha atinja a extremidade da barra antes de

a barra atingir a posição vertical.

8. Uma esfera uniforme de massa 𝑚 é colocada em cima de uma barra de massa 𝑀,

inicialmente em repouso sob um plano horizontal sem atrito, como mostra a figura

abaixo. Uma força horizontal constante 𝐹 é aplicada à barra. Determine a aceleração

da barra e do centro da esfera, sabendo que não há deslizamento entre a barra e a

esfera.

9. Uma bola de massa 𝑚, raio 𝑅 e momento de inércia 𝛽𝑚𝑅2 é liberada do repouso de

cima de um plano inclinado de massa 𝑀 e ângulo de inclinação 𝜃, como mostra a

figura abaixo. O plano está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal

sem atrito. Assumindo que a bola rola sem deslizar ao longo do plano, calcule a

aceleração horizontal do plano.

10. Uma barra uniforme de massa 𝑀 e comprimento 𝐿 é colocada em contato com

uma parede vertical e um piso horizontal, como mostra a figura abaixo. Desconsidere

todos os atritos. A barrra é liberada do repouso, fazendo um ângulo 𝛼 com a vertical.

Demonstre que, no momento em que a barra é liberada, as forças de reação normal

sobre a barra valem

{ 𝐹𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 =

3𝑚𝑔 sin(2𝛼)

4

𝐹𝑐ℎã𝑜 = 𝑚𝑔 (1 −3

4𝑠𝑖𝑛2𝛼)

Demonstre também que o ângulo 𝜃 que a barra faz com a vertical no momento em que

a barra perde contato com a parede vertical satisfaz a relação 3 cos 𝜃 = 2 cos 𝛼.

11. Uma partícula 𝐴 está fixada sobre a superfície interna de uma casca cilíndrica de

raio 𝑅 e massa igual à massa da partícula 𝐴. O cilindro rola sem deslizar ao longo do

plano horizontal. No momento em que a partícula 𝐴 atinge a posição mais baixa, o

centro do cilindro se move com velocidade 𝑣, como mostra a figura abaixo. Calcule os

valores de 𝑣 para que o cilindro não perca contato com o piso.

12. Uma esfera sólida de raio 𝑟 é colocada no fundo de um hemisfério esférico de

raio 𝑅. Quando a esfera sofre uma pequena perturbação, ela oscila em torno do fundo.

O movimento oscilatório é descrito pela equação diferencial no formato

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+ 𝜔2𝜃 = 0

onde 𝜃 é o ângulo entre a vertical e a linha que liga o centro do hemisfério ao centro

da esfera.

a) Qual o valor de 𝜔2?

b) Determine a força de atrito que age sob a esfera em função do ângulo 𝜃.

13. Um disco uniforme de raio 𝑅 gira com velocidade angular 𝜔 em torno de um

eixo perpendicular ao disco e que passa por seu centro de massa. O disco é então

cuidadosamente colocado sobre uma superfície horizontal. Por quanto tempo o disco

se manterá girando, se o coeficiente de atrito entre o disco e a superfície é 𝜇? A

pressão exercida pelo disco sobre a superfície pode ser dada como constante.

14. Uma esfera de raio 𝑟 e massa 𝑚 é colocada no interior de um cilindro de raio 𝑅

cujo eixo permanece na horizontal. O cilindro roda em torno de seu eixo com uma

aceleração angular constante 𝛼 e a bola pode rolar livremente em seu interior.

Determine o ângulo 𝜃 (vide figura abaixo) para o qual a bola permanece rolando no

interior do cilindro sem que seu centro mude de posição. Considere 𝑔 a gravidade

local.

15. Uma barra de massa 𝑚 e comprimento 𝐿 é colocada inicialmente em repouso

sobre um hemisfério fixo de raio 𝑅. A barra sofre então um pequeno deslocamento

com relação à posição de equilíbrio e começa a oscilar. Assumindo que não há

deslizamentos entre a barra e o hemisfério, calcule o período de pequenas oscilações

da barra em torno da posição de equilíbrio. A gravidade local vale 𝑔.

16. Um anel rígido de massa 𝑀 e raio 𝑅 está pivotado no

ponto 𝑃, e localizado em uma superfície horizontal sem

atrito, como mostra a figura ao lado. Um inseto de massa

𝑚 corre ao longo do perímetro do anel com velocidade

constante 𝑢 (com relação ao anel). O inseto parte do ponto

𝑃, com o anel em repouso nesse instante. Calcule a força

normal radial entre o inseto e o anel no instante em que ele

passa pelo ponto 𝑄 (diametralmente oposto ao ponto 𝑃).

17. Uma pequena esfera de massa 𝑚 e raio 𝑟 colide na extremidade B de uma longa

barra homogênea de massa 𝑀 = 4𝑚 e comprimento 𝑏 = 9𝑎, como mostrado na figura

abaixo.

Considere que a colisão é elástica, que o coeficiente de atrito entre a esfera e a barra é

𝜇 = 0,6 e que o ângulo entre a velocidade inicial 𝑣𝑜 da esfera e o eixo da barra é 𝛼, de

acordo com a figura.

a) Determine, em função de 𝑚, 𝑣𝑜 e 𝛼, o valor dos impulsos 𝐽 e 𝐾 da esfera sobre a

barra, nas direções 𝑦 e 𝑥, respectivamente. Qual o ângulo formado entre o eixo da

barra e a velocidade da esfera imediatamente após a colisão? Qual a condição sobre 𝛼

para que a esfera seja jogada para cima após a colisão?

b) Determine a velocidade angular 𝜔𝑒 da esfera após a colisão em função de 𝑣𝑜, 𝑟 e 𝛼.

c) Determine a velocidade angular 𝜔 e a velocidade do centro de massa 𝑣𝑐𝑚 da barra

logo após a colisão. Expresse seu resultado em função de 𝑣𝑜, 𝑏 e 𝛼.

d) Determine a tração 𝑇 na corda (de comprimento 𝑎) que segura a barra um instante

logo após a colisão com a esfera. Considere a aceleração da gravidade local igual a 𝑔.

Expresse seu resultado em função de 𝑚, 𝑔, 𝑣𝑜, 𝑎 e 𝛼.

18. Uma das extremidades de uma barra uniforme está ligada a um ponto 𝑃 que está

livre para deslizar sobre um trilho horizontal sem atrito. A barra inicialmente faz um

ângulo 𝜃0 com a vertical, como mostra a figura abaixo. A barra é então liberada a

partir do repouso. Assuma que a barra consegue, de alguma maneira, atravessar o

trilho horizontal e passar para baixo do mesmo.

a) Demonstre que, no instante que a barra está horizontal, a força normal sobre a barra

vale 𝑚𝑔/4, independentemente do ângulo 𝜃0.

b) Se 𝜃0 = 0 (ou seja, uma pequena perturbação colocou a barra para se mover),

mostre que a normal vale 13𝑚𝑔 quando a barra está na posição mais baixa (𝜃 = 𝜋).

c) Se 𝜃0 = 0, encontre uma equação que determina o ângulo 𝜃 no qual a força normal

𝑁 assume o valor mínimo.

19. Um lápis de massa 𝑚 e comprimento 𝐿 é colocado verticalmente sobre uma

mesa, com a ponta para baixo (figura abaixo) e deixado cair, rodando sobre sua ponta.

Assuma que o lápis é muito fino e considere que há atrito entre o lápis e a mesa.

a) Determine a velocidade angular e a aceleração angular em função do ângulo de

inclinação do lápis (modelado como uma barra homogênea de comprimento 𝐿) com a

vertical, antes de o lápis começar a deslizar.

b) Mostre que, nas condições do item anterior, a força de reação normal da mesa sobre

o lápis vale

𝑁 = 𝑚𝑔 (3 cos 𝜃 − 1

2)2

c) Mostre que o lápis escorregará sempre antes de atingir uma inclinação de 70,5°.

d) Mostre que se o lápis escorregar para um ângulo superior a 48°, ele deslizará na

direção em que está a cair.

e) Determine o valor máximo do coeficiente de atrito estático 𝜇𝑒 para que o lápis

deslize na direção oposta à do lado em que ele está caindo e mostre que quando 𝜇𝑒 é

máximo o lápis desliza quando 𝜃 > 35°.

20. Um disco horizontal gira em torno de seu eixo de simetria (passando pelo ponto

𝑂) com velocidade angular constante 𝜔. Uma barra uniforme 𝐴𝐵 de comprimento 𝐿

possui sua extremidade 𝐴 fixa no disco a uma distância 𝑎 do seu eixo, como mostra a

figura abaixo. A barra sofre então uma pequena perturbação com relação à posição de

equilíbrio. Calcule o período das pequenas oscilações da barra.

21. Uma esfera homogênea de raio 𝑅 é colocada em repouso sobre uma mesa

horizontal, como mostra a figura ao lado. Depois de um pequeno impulso, a esfera rola

para fora da borda da mesa. A gravidade local vale 𝑔.

a) Determine o ângulo 𝛼 em que a esfera perde contato com a mesa.

b) Qual é a velocidade do centro da esfera quando ela perde o contato com a mesa?

22. Um disco uniforme de massa 𝑀 e diâmetro 2𝑅 se move em direção a outro disco

uniforme de massa 2𝑀 e diâmetro 2𝑅 ao longo de uma superfície horizontal sem

atrito. O primeiro disco recebe uma velocidade inicial 𝑣0 e uma velocidade angular

inicial 𝜔0 como mostra a figura abaixo, ao passo que o segundo disco estava

inicialmente em repouso. Quando o primeiro disco atinge o segundo, eles

instantaneamente grudam (colisão inelástica) e passam a se mover como um único

objeto.

a) Calcule a velocidade linear e a velocidade angular dos dois discos combinados

depois da colisão? Indique as magnitudes e as direções.

b) Para qual valor de 𝜔0 o sistema final não rotaciona?

c) Calcule a energia mecânica perdida durante a colisão.

23. Uma barra rígida de comprimento 𝐿 possui uma de suas extremidades presa a um

poste que gira com velocidade angular 𝜔 em torno de um eixo vertical, como mostra a

figura abaixo. Sabendo que a gravidade local vale 𝑔, calcule o período de pequenas

oscilações da barra em torno das possíveis posições de equilíbrio estável. Analise os

possíveis casos separadamente.

24. Um semicilindro uniforme de raio 𝑅 e massa 𝑀 está inicialmente em repouso

sobre uma superfície horizontal com atrito.

a) Determine o momento de inércia do semicilindro com relação a um eixo

perpendicular ao seu plano e que passa pelo ponto de contato com o solo.

b) Um impulso 𝑃 é aplicado à uma das extremidades do semicilindro, como mostra a

figura abaixo. O semicilindro rola sem deslizar, mantendo o contato com o solo.

Determine o mínimo impulso necessário para girar o disco.

25. Um cilindro uniforme de massa 𝑀 e raio 𝑅 rola sem deslizar sobre um plano

horizontal e atinge uma pequena barreira vertical de altura 𝑅/3. Sua velocidade antes

de atingir a barreira era 𝑣.

a) Suponha, como mostra a figura (a), que o cilindro passa a rolar sobre a barreira

depois de atingi-la, e que não há deslizamentos durante o processo. Calcule a energia

perdida durante o impacto em função de 𝑀 e 𝑣.

b) Calcule a mínima velocidade que permite que o cilindro atravesse a barreira.

Expresse sua resposta em função de 𝑅 e 𝑔 (aceleração gravitacional local).

c) Para maiores velocidades, o cilindro perde contato com a barreira logo que começa

a rolar por cima desta, se comportando como um projétil, como mostra a figura (b).

Calcule a mínima velocidade para que isso aconteça em função de 𝑅 e 𝑔.

d) Para a situação da parte (c), calcule o maior deslocamento vertical do centro do

cilindro. Expresse sua resposta em função de 𝑅.

26. Um semi-cilindro de raio 𝑅 rola sem deslizar ao longo de uma superfície plana

com atrito, como mostra a figura abaixo. Sendo 𝑔 a gravidade local, calcule o período

de pequenas oscilações do semi-cilindro com relação à posição de equilíbrio.

27. Uma escada consiste de duas barras idênticas ligadas entre si por um pivô 𝑃 no

topo de cada uma delas e por uma corda sem massa, como mostra a figura abaixo. As

barras estão em repouso fazendo um ângulo de 60° com a horizontal. A corda é então

rapidamente cortada. Calcule a aceleração do ponto 𝑃 no instante em que a corda foi

cortada. A gravidade local vale 𝑔.

28. Uma roda de raio interno 𝑟 e raio externo 𝑅 se encontra em um piso horizontal. O

eixo da roda é horizontal. Um fio ideal é amarrado em torno da parte interna da roda,

como mostra a figura abaixo. A extremidade livre do fio faz um ângulo 𝛼 com a

horizontal (o ângulo 𝛼 também pode ser negativo). O momento de inércia da roda é 𝐼 e sua massa é 𝑀. Assuma que a roda gira sem deslizar.

a) A extremidade livre do fio é puxada com velocidade 𝑢 paralela ao fio. Determine a

velocidade do centro da roda.

b) Suponha agora que a roda estava em repouso. Uma força 𝐹 é aplicada sobre a extre-

midade livre do fio (a força é paralela ao fio). Determine a aceleração do centro da

roda.

c) Determine qual deve ser, em função de 𝛼, o coeficiente de atrito 𝜇 para garantir que

não haja deslizamentos entre a roda e o piso.

d) Considere agora que a roda rola pelo piso horizontal com velocidade 𝑢, dessa vez

sem o fio. A roda atinge um degrau de altura 𝐻 < 𝑅 e o impacto é perfeitamente

inelástico. Qual é a velocidade 𝑣 da roda imediatamente após o impacto?

e) Determine a velocidade 𝑤 da roda depois de esta ter subido no degrau. Assuma que

𝑢 é suficiente para que irá rolar para cima do degrau sem perder o contato com sua

quina.

f) Se a velocidade 𝑢 for grande, ou mais especificamente, maior que um valor 𝑢𝑜, a

roda irá perder contato com a quina durante o processo. Determine essa velocidade

máxima 𝑢𝑜 para que a roda não perca contato.

29. Dois cilindros homogêneos de massa 𝑀 e raio 𝑅 repousam sobre uma mesa lisa

sem atrito. Num determinado instante um impulso 𝐼 é aplicado a um dos cilindros,

num plano que passa pelo centro de massa (CM) do mesmo, como mostra a figura

abaixo.

a) Determine o momento de inércia de um cilindro em torno do seu eixo.

b) O impulso 𝐼 é aplicado a uma distância 𝑑 abaixo do centro do cilindro. Determine a

velocidade do CM (𝑉𝑐𝑚) e a velocidade angular (𝜔) do cilindro após a aplicação do

impulso.

O primeiro cilindro se desloca sobre a mesa lisa até se chocar elasticamente com outro

cilindro igual. Os cilindros possuem um coeficiente de atrito 𝜇 entre si. Sendo assim,

determine:

c) As velocidades angular (𝜔1) e do CM (𝑉1) do cilindro 1 (da esquerda).

d) As velocidades angular (𝜔2) e do CM (𝑉2) do cilindro 2 (da direita).

e) A altura máxima atingida pelo cilindro 2.

f) Voltando ao início do problema, a que distância 𝑑 do CM deveria ser aplicado o

impulso 𝐼 para que o primeiro cilindro se deslocasse num rolamento puro sobre a

mesa? Essa distância é acima ou abaixo do CM?

30. Uma partícula de massa 𝑚 é fixada na superfície interna de uma casca cilíndrica

de massa 𝑀 = 3𝑚 e raio 𝑅, como mostra a figura abaixo. O cilindro é então colocado

sobre uma superfície horizontal sem atrito. Inicialmente, a massa 𝑚 está em repouso

no topo do cilindro. Um leve impulso faz com que o sistema entre em movimento.

a) Encontre a aceleração do centro do cilindro no momento em que a partícula está na

mesma altura que o centro do cilindro.

b) Calcule a força que o solo aplica sobre o cilindro neste instante em função de 𝑚 e

da gravidade 𝑔.

31. Considere uma barra de comprimento 𝐿, massa 𝑚 que está inicialmente em

repouso sobre uma mesa horizontal. Uma corda que passa por uma polia possui sua

seção horizontal ligada perpendicularmente à barra e sua seção vertical ligada à um

peso de massa 𝑀, como mostra a figura abaixo. A massa da polia e o atrito são

desprezíveis.

a) Qual ponto da barra possui aceleração zero no momento em que o peso é liberado?

b) Calcule a razão 𝑚/𝑀 para que a aceleração do centro da barra neste instante seja

máxima? Calcule esta aceleração máxima.

32. Três cilindros homogêneos de massa 𝑚 e raio 𝑅 (momento de inércia 𝑚𝑅2/2)

estão situados no formato de um triângulo, como mostra a figura abaixo. Encontre a

aceleração inicial de queda do cilindro de cima nas duas situações a seguir:

a) Existe atrito entre os dois cilindros de baixo e o piso (de modo que eles rolam sem

deslizar), mas não existe atrito entre os cilindros.

b) Não existe atrito entre os dois cilindros de baixo e o piso, mas existe atrito entre os

cilindros (de modo que eles não deslizam com relação ao outro).

33. Um cilindro sólido e homogêneo de massa 𝑀 e raio 𝑅 se encontra em contato

com uma parede vertical e um piso horizontal, como mostra a figura abaixo. Uma

corda sem massa passa pelo cilindro, por uma polia, e possui sua outra extremidade

ligada à um bloquinho de massa 𝑚. O coeficiente de atrito cinético entre o cilindro e

as duas superfícies vale 𝜇. Encontre a aceleração do bloquinho ligado ao fio.

34. Uma barra rígida de comprimento 𝐿 está apoiada no canto de uma sala (vide

figura abaixo). A extremidade A desliza pela parede enquanto o extremo B desliza

pelo solo. Encontre a aceleração do ponto C (centro da barra) em função do ângulo 𝛼,

se o ponto B for puxado com velocidade constante e igual a 𝑣. Despreze todos os

atritos.

Gabaritos

1) 𝑣𝑜 ≤ √𝑅𝑔

3(7 cos 𝛼 − 3)

2) 𝐹 = 3𝑚𝑔(1 +𝑚

3𝑀)

3) 𝜔 =√(5𝑀+3𝑚

5𝑀)𝑔

𝑅

4) ∆𝜃 =𝜋𝜔𝑜𝑅

𝑣 √2𝑀

2𝑀+5𝑚

5) Demonstração

6) a) 𝑥𝑜 = (𝑚𝑔

𝑘− 𝑑) cos 𝜃

b) Ω =√

2𝑘

3𝑚

7) a) 𝐴 =49𝑔𝐿2

288𝑣02, 𝐵 =

12𝑣0

7𝐿 e 𝐶 =

𝐿

4

b) Condição é que 𝐴 + 𝐶 ≥ 𝐿/2, o que nos dá 𝑣𝑜 ≤7

6√𝐿𝑔

2

8) 𝑎𝑀 =7𝐹

7𝑀+2𝑚 (𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎) e 𝑎𝑚 =

2𝐹

7𝑀+2𝑚 (𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎)

9) 𝑎 =𝑚𝑔 tan𝜃

𝑀+(𝑀+𝑚)(𝑡𝑎𝑛2𝜃+𝛽𝑠𝑒𝑐2𝜃)

10) Demonstração

11) 𝑣 ≤ √8𝑅𝑔

12) a) 𝜔2 =5𝑔

7(𝑅−𝑟)

b) 𝑓 =2

7𝑚𝑔 sin𝜃 ≈

2

7𝑚𝑔𝜃

13) 𝑡 =3𝜔𝑅

4𝜇𝑔

14) 𝜃 = sin−1 (2𝛼𝑅

5𝑔)

15) 𝑇 = 2𝜋√

𝐿2

12𝑅𝑔

16) 𝑁 =𝑚𝑢2

𝑅(𝑀+𝑚

𝑀+2𝑚)2

17) a) 𝐽 = 𝑚𝑣𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼; 𝐾 =3

5𝑚𝑣𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼

O ângulo que a velocidade final da esfera faz com a barra vale zero graus (a partícula

sai com velocidade na direção da barra) e a condição para que ela suba é 𝑡𝑔𝛼 < 5/3.

b) 𝜔𝑒 =3𝑣𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼

2𝑟

c) 𝜔 =𝑣𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼

6𝑎; 𝑣𝑐𝑚 =

𝑣𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼

4

d) 𝑇 =11𝑚𝑣𝑜

2𝑠𝑒𝑛2𝛼

18𝑎

18) a) Demonstração

b) Demonstração

c) 3𝑐𝑜𝑠3𝜃 − 9𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 12𝑐𝑜𝑠𝜃 − 4 = 0

19) a) 𝜔 =√

3𝑔

𝐿(1 − cos 𝜃) e 𝛼 =

3𝑔 sin𝜃

2𝐿

b) Demonstração

c) Demonstração

d) Demonstração

20) Ω =√

3𝑎

2𝐿𝜔

21) a) cos 𝛼 = 10/17

b) 𝑣 =√

10𝑅𝑔

17

22) a) 𝑣 =𝑣0

3 (para a direita) e 𝜔 = (

3

25𝜔0 −

8

25

𝑣0

𝑅) (para fora do papel)

b) 𝜔0 =8

3

𝑣0

𝑅

c) Δ𝐸 = −19

9𝑀𝑣0

2

23)

24) a) 𝐼 = (3

2−

8

3𝜋)𝑀𝑅2 = 0,65𝑀𝑅2

b) 𝑃𝑚𝑖𝑛 = 0,867𝑀√𝑅𝑔

25) a) Δ𝐸 =8

27𝑀𝑣2

b) 𝑣 =6

7√𝑅𝑔

c) 𝑣 =3

7√6𝑅𝑔

d) ℎ =5

27𝑅

26) 𝑇 =𝜋

2𝑔√2(9𝜋 − 16)𝑅𝑔

27) 𝑎 = 3𝑔/8

28) a) 𝑢′ =𝑢𝑅

|𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑟|

b) 𝑎 =𝐹

𝑀[𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑟/𝑅

1+𝐼/𝑀𝑅2]

c) 𝜇 ≥|𝑟

𝑅 −

𝐼

𝑀𝑅2𝑐𝑜𝑠𝛼|

(1+𝐼

𝑀𝑅2)|𝑀𝑔

𝐹−𝑠𝑒𝑛𝛼|

d) 𝑣 = 𝑢 (1 −𝐻/𝑅

1+𝐼

𝑀𝑅2

)

e) 𝑤 =√𝑣2 −

2𝑔𝐻

1+𝐼

𝑀𝑅2

f) 𝑢𝑜 = √

𝑔

𝑀(𝑅 − 𝐻)

1+𝐼

𝑀𝑅2

1+𝐼

𝑀𝑅2 −

𝐻

𝑅

29) a) 𝑀𝑅2/2

b) 𝑣𝑐𝑚 = 𝐼/𝑀 e 𝜔 = 2𝐼𝑑/𝑀𝑅2

c) 𝑉1 = 0 e 𝜔1 =2𝐼(𝑑−𝜇𝑅)

𝑀𝑅2

d) 𝑉2 =𝐼

𝑀√1 + 𝜇2 E 𝜔2 =2𝜇𝐼

𝑀𝑅

e) ℎ𝑚𝑎𝑥 =𝜇2𝐼2

2𝑀2𝑔

f) 𝑑 = 𝑅/2 (acima do centro de massa)

30) a) 𝑎𝑐𝑖𝑙 = 𝑔/8

b) 𝑁 = 15𝑚𝑔/4

31) a) Se localiza a uma distância 𝐿/6 do centro da barra (na metade que não está

ligada à corda).

b) A razão entre as massa 𝑚

𝑀→ 0 e a aceleração máxima vale 𝑔/4.

32) a) 𝑔/10

b) 𝑔/11

33) 𝑎 = [𝑚(1−𝜇+2𝜇2)−𝑀(𝜇+𝜇2)

𝑚(1−𝜇+2𝜇2)+𝑀

2(1+𝜇2)

] 𝑔

34) 𝑎 =𝑣2

2𝐿𝑠𝑒𝑛3𝛼