Dinâmica e os movimentos dos corpos celestes

LEIS DE KEPLER e GRAVITAÇÃO

Nos últimos anos foram detectados mais de 300 planetas fora do Sistema Solar, orbitando estrelas, assim como a Terra e os demais planetas do nosso sistema o fazem em torno do Sol.

A técnica que permitiu grande número de descobertas desse tipo se baseia na obtenção de imagens periódicas dos sistemas promissores. Planetas muito grandes interferem gravitacionalmente na posição de sua estrela.

Na medida em que o planeta avança em sua órbita, a estrela muda de posição.

Mas por quê?

Bem, é preciso conhecer as leis que regem as interações entre os corpos celestes!

Leis de Kepler

1 – Lei das Órbitas

Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol que está em um dos focos

2 – Lei das Áreas

Em sua órbita, os planetas varrem áreas iguais em tempos iguais

No afélio a velocidade orbital do planeta é menor que no periélio

2 – Lei dos Períodos

A razão entre o quadrado do período e o cubo do raio médio da órbita é uma constante k.

kRT =3

2

3

2

3

2

b

b

a

a

RT

RT =

3

3

2

2

b

a

b

a

RR

TT =

32

=

b

a

b

a

RR

TT

De acordo com a Mecânica Newtoniana, quaisquer dois corpos dotados de massa se atraem mutuamente devido à interação gravitacional entre ambos.

AÇÃO À DISTÂNCIA

Pela Lei da Gravitação Universal, a força que um corpo de massa M exerce sobre outro de massa m que está a uma distância d, é:

212

..d

mMGF =

De acordo com a Terceira Lei de Newton da mecânica, a toda ação, corresponde uma reação – ou seja: todo agente é também paciente.

O corpo de massa m também exerce uma força sobre o de massa M, de mesmo valor e mesma direção, mas com sentido oposto.

Mas sendo assim, uma vez que as órbitas dos planetas são elipses, então a Força de Atração Gravitacional entre estrela e planeta varia ao longo da órbita.

A segunda lei de Kepler pode ser vista como conseqüência disto

A Segunda Lei de Newton diz que uma força resultante de intensidade F, produz uma aceleração a em um corpo de massa m, obedecendo a seguinte relação:

amF .=

No caso em que a força F é a força gravitacional exercida pelo planeta (massa M) sobre um outro corpo qualquer de massa m:

amd

mMG.

..2

=Como se vê, a massa do corpo cancela e, se o corpo estiver na superfície do planeta:

d=raio do planeta

É o caso dos corpos na superfície da Terra:

amrmMG

...2 /=/

2

.rMG

a =

Substituindo os valores, temos:

a=9,8m/s2

É o caso dos corpos na superfície da Terra:

Voltando ao caso dos planetas que orbitam uma estrela, como é o caso de Júpiter – o maior planeta do nosso sistema.

O Sol o atrai gravitacionalmente e ele atrai o Sol também (3ª Lei de Newton).

Mas com a aceleração produzida pela força, qual a velocidade orbital induzida por Júpiter no nosso Sol?

Para determinar a velocidade orbital do Sol, induzida por Júpiter, precisamos abrir mão da idéia de que o Sol está parado.

Tanto Sol quanto Júpiter orbitam o centro de massa do sistema Sol-Júpiter, que está muito mais próximo do Sol que de Júpiter já que

Suporemos, com boa aproximação que os corpos descrevem círculos perfeitos.

JUPSOL MM >

o rb italp e r ío doó rb itad ape r ím e t ro

VSOL ___=

SOL

SOLÓRBSOL T

RV .

..2 π=

velocidade orbital do Sol

velocidade orbital de Júpiter

o rb it a lp e r ío d oó rb it ad ap e r ím e t r o

VJU P ___=

JUP

JUPÓRBJUP T

RV .

..2 π=

Como eTTT SOLJUP ==001,0

.

. ==SOL

JU P

JU PÓRB

SOLÓRB

MM

RR

E já que a velocidade orbital é diretamente proporcional ao raio da órbita, então:

JU PSO L VV .001,0=

Calculando então:

TR

V JUPÓRBSOL

...2

.001,0π

=

)3 600.24.365.86,11()10.5,1.2,5. (14,3.2

.001,01 1

=SO LV

1 5 0 0 0.0 0 1,0≅SO LV

sm

SOLV 15≅

Agora determine você qual a velocidade orbital que a Lua induz na Terra, sabendo que

LuaTerra MM 100≅

d iasT

kmRL uaÓRB

_30

384000.

==