DINÂMICA NÃO-LINEAR DE UM BLOCO MAGNÉTICAMENTE LEVITADO, EXCITADO

POR UM MOTOR NÃO IDEAL

Hassan Costa Arbex

1, José Manoel Balthazar

2, Bento Rodrigues de Pontes Junior

3, Jorge Luis Palacios Félix 4, Reyolando

M. L. R. F. Brasil 5

1 UNESP - Univ. Estadual Paulista- Dep. de engenharia mecânica, Bauru, SP, Brasil, h_arbex@hotmail.com

2 UNESP - Univ. Estadual Paulista- Dep. de estatística e matemática aplicada e computacional, Rio Claro, SP, Brasil, josebaltha@rc.unesp.br

3 UNESP - Univ. Estadual Paulista- Dep. de engenharia mecânica, Bauru, SP, Brasil, brpontes@feb.unesp.br 4 UNIPAMPA - Univ. Federal do Pampa, Bagé, RS, Brasil, Jorge.felix@unipampa.edu.br

5 USP - Univ. de São Paulo - Dep. de engenharia de estruturas, São Paulo, SP, Brasil, reyolando.brasil@poly.usp.br

Resumo: O propósito deste trabalho é estudar as não-linearidades na dinâmica de um corpo em levitação magnética, excitado por um motor desbalanceado, com potência limitada. Essas não-linearidades levam o movimento da estrutura para o Efeito Sommerfeld. Por este fato, o trabalho do motor fica próximo ou na frequência de ressonância. Quando a estrutura atinge a condição de ressonância, a melhor parte da energia é consumida para gerar vibrações de grande amplitude sem nenhuma mudança sensível na freqüência do motor. Neste trabalho, é discutida a forma de conduzir o sistema à condição de ressonância e evitar o "absorvedor de energia" que ocorre com o efeito Sommerfeld. Palavras-Chave: Vibrações não-ideais, ressonância, efeito Sommerfeld.

1. INTRODUÇÃO

Desde o inicio das civilizações, há uma necessidade de viajar pequenas e grandes distâncias entre diferentes locais, nessa busca novas formas modernas e avançadas de locomoção surgem a cada dia. O primeiro problema de transporte terrestre foi como mover um grande número de pessoas. Somente em 1829 ocorreu a criação do primeiro serviço de transporte público em Londres, esta criação foi tradicionalmente atribuída a Georges Shilibeer. A primeira idéia de trem aconteceu em 1901 na França.

De acordo com [1], a suspensão de objetos e pessoas sem meios visíveis de sustentação é fascinante para a maioria das pessoas, mesmo em tempos de altas tecnologias. Sistemas Dinâmicos sem os efeitos da gravidade são um sonho comum para gerações de pensadores desde Benjamin Franklin a Robert Goddard. Um método encontrado para resolver esta questão é a levitação magnética (maglev). A levitação magnética, maglev, ou suspensão magnética é um método pelo qual um objeto é suspenso, apoiado apenas pelos campos magnéticos. A pressão magnética é usada para

neutralizar os efeitos da gravidade e todas as outras acelerações [2].

O desenvolvimento moderno de sistemas de transporte de levitação magnética, conhecidos como maglev, começou no final dos anos 60, como uma consequência natural do desenvolvimento da baixa temperatura do fio supercondutor, um transistor e tecnologia de controle baseados em chips eletrônicos. Na década de 80, MagLev amadureceu a ponto de tecnólogos japoneses e alemães começarem a comercializar essa nova tecnologia de alta velocidade [1]. Desde a descoberta dos supercondutores, de acordo com [3], a levitação magnética tornou-se um símbolo das novas tecnologias. Além disso, um sistema de transporte de levitação magnética captura a imaginação do movimento dos corpos levitados. No entanto, há uma grande falta de entendimento sobre a levitação magnética.

Até o final do século XIX modelos matemáticos de sistemas dinâmicos de vibração não levavam em conta a influência do comportamento do sistema sobre as fontes de vibração. Os modelos matemáticos que consideram a influência do comportamento do sistema sobre as fontes de vibração são chamados sistemas dinâmicos não-ideais; uma equação que descreve a interação do fornecimento de energia com o sistema motor devem ser adicionada. Assim, como primeira característica, os sistemas não-ideais de vibração tem um grau de liberdade a mais do que o correspondente sistema ideal.

O fenômeno de salto na amplitude de vibração e do aumento da potência exigida pela fonte para operar próximo da região de ressonância do sistema são manifestações de um problema não-ideal, geralmente são conhecidos na literatura como Efeito Sommerfeld. Este fenômeno sugere que a resposta vibratória do sistema não-ideal emula um "absorvedor de energia" nas regiões próximas à ressonância do sistema, transferindo a potência da fonte de vibrações da estrutura de apoio, ao invés da aceleração da máquina. Em outras palavras, um dos problemas enfrentados pelo engenheiro mecânico é como dirigir um sistema através da

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http://dx.doi.org/10.5540/DINCON.2011.001.1.0117

Dinâmica não-linear de um bloco magneticamente levitado excitado por um motor não ideal Hassan Costa Arbex, José Manoel Balthazar, Bento Rodrigues Pontes Júnior, Jorge Luis Palacios Félix, Reyolando M. L. R. F. Brasil

região de ressonância. Uma revisão de problemas não-ideais foi publicado em [4].

O objetivo deste trabalho é estudar as interações entre um bloco de levitação magnética e um motor desbalanceado com potência limitada.

2. MODELO MATEMÁTICO

Sabe-se que um modelo matemático é essencial para analisar a dinâmica do sistema e se necessário, para projetar um método de controle. Por meio do modelo simplificado da figura 1, obtemos as equações de movimento do sistema pelo método de Lagrange. Em seguida, obsreva-se o comportamento dinâmico do sistema e o efeito Sommerfeld.

Fig. 1. Modelo simplificado - MagLev

No modelo, representa a massa do bloco, é a massa desbalanceada do eixo do motor elétrico, é o deslocamento vertical, é o deslocamento angular do motor que expressa a ação da fonte de energia no sistema oscilante (velocidade angular do motor que não é constante). Os parâmetros r é a excentricidade, é o momento de inércia do motor, a função representa a ação do sistema de oscilação da fonte de energia, a função é o torque resistivo aplicados ao motor e a função é o torque de acionamento da fonte de energia (motor).

A partir da figura 1, obtemos as seguintes equações: Para o bloco:

(1)

E para o motor elétrico:

(2)

A partir das equações (1) e (2), obtém-se as energias cinética (T) e potencial (V),

(3)

(4)

As equações que governam o movimento são:

(5)

Reescrevendo (5) na forma matricial temos:

(6)

Resolvendo o sistema matricial obtemos as equações em espaço de estados.

(7)

Onde

3. SIMULAÇÃO NUMÉRICA E RESULTADOS

Nesta seção, os resultados de simulações numéricas são obtidas utilizando o software Matlab®, com o integrador ode113, Adams-Moulton Bashforth algoritmo solver PECE com passo variável.

A tabela 1 mostra os valores numéricos dos parâmetros usados nas simulações.

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

t

Dis

pla

cem

ent

Tabela 1. Parâmetros

Descrição símbolo valor Massa do bloco 1 kg Massa desbalanceada 0.1 kg Excentricidade r 0.5 m Gap d 1.5 m Parâmetro de controle variável Parâmetro de controle 1 Amortecimento 0.05 N.s/m Gravidade g 9.8 m/s2 Rigidez k 0 ou 0.5 N/m Momento de inércia J2 0.37 kg.m2

3.1. Efeito Sommerfeld

O fenômeno do “salto” é obtido quando a tensão do motor ( ) passa pela região de ressonância (Fig. 2, 3 e 4).

Observa-se também o aumento da amplitude de vibração do bloco quando se aumenta a tensão do motor.

3.2. Adicionando uma mola ao sistema

A fim de diminuir a amplitude da região de ressonância, é inserida uma mola no sistema, então podemos escrever a equação (5):

Fig. 2. Efeito Sommerfeld – amplitude por frequências

médias

Fig. 3. Efeito Sommerfeld – amplitude por tensão do

motor

Fig. 4. Efeito Sommerfeld – velocidade angular por

tensão do motor

Fig. 5. Histórico no tempo - - antes da

região de ressonância

Fig. 6. Histórico no tempo - – dentro da

região de ressonância

Fig. 7. Histórico no tempo - – após a

passagem pela região de ressonância

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Dinâmica não-linear de um bloco magneticamente levitado excitado por um motor não ideal Hassan Costa Arbex, José Manoel Balthazar, Bento Rodrigues Pontes Júnior, Jorge Luis Palacios Félix, Reyolando M. L. R. F. Brasil

(5)

Comparando os dois sistemas obtemos:

Observa-se que a amplitude de vibração do bloco teve uma sensível redução na passagem pela ressonância, porém aumentou com a inserção da mola cúbica.

3.3. Expoente de Lyapunov

Com os parâmetros utilizados, não há caos neste problema, como mostra a figura 10 [5].

4. CONCLUSÃO

O sistema de vibração não-ideal proposto neste trabalho mostrou que a fonte de energia tem influência sobre a estrutura.

Devido à existência do efeito Sommerfeld, a amplitude máxima ocorreu em regiões onde aconteceu o fenômeno de salto [6].

Para alguns parâmetros do sistema, o motor pode ficar preso em ressonância e não ter potência suficiente para alcançar os regimes de rotação superior (figuras 6, 8 e 9).

Em futuros trabalhos uma estratégia de controle e redução do efeito Sommerfeld, podem ser implementadas a fim de manter os movimentos do sistema de baixa vibração. Além disso, inserir um pêndulo paramétrico como um dissipador de energia.

REFERÊNCIAS

[1] Moon, F. C., “Superconducting Levitation” Cap WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim, 2004.

[2] Braunbeck, W. Free suspension of bodies in electric and magnetic fields, Zeitschrift für Physik, 112, 11, pp753-763 (1939)

[3] Moon, F. C., “Applied Dynamics” Jhon Wiley & Son Canada 1987.

[4]DOI Balthazar, J.M., Mook, D.T., Weber, H.I., Brasil,

R.M.L.R.F., Fenili, A., Belato, D., Felix, J.L.P., 2003, ―An overview on non-ideal vibrations‖, Meccanica, Vol. 38, No. 6, 613-621.

[5]DOI Nayfeh, A. H., Balachandran B. “APPLIED

NONLINEAR DYNAMICS”WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 1995

[6]DOI Palacios Felix, J.L., Balthazar, J.M., Dantas, and

M.J.H., 2009, ―On energy pumping, synchronization and beat phenomenon in a non-ideal structure coupled to an essentially nonlinear oscillator‖, Nonlinear Dynamics. Volume 56, Numbers 1-2, 1-11.

Fig. 8. Comparação entre o sistema com mola (cinza - k=0.5) e sem mola (preto)

Fig. 9. Comparação entre o sistema com mola cúbica (cinza - k=0.5 ; k3=0.5) e sem mola (preto)

Fig. 10. Expoentes de Lyapunov

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