7/16/2019 Dinamica19 Nm

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Sobre um plano inclinado de 30o  em relação à

horizontal, desliza sem atrito uma massa m 1  presa a uma

outra massa m2 . bandonando o sistema a partir do

repouso a massa m2  sobe 2!0 m em 20 s. "alcular a

relação m1#m2. dote g  $ 10 m#s 2.

%ados do problema

• massa do bloco 1& m 1'

• (n)ulo de inclinação do plano& * $ 30o'

• massa do bloco 2& m 2'

• deslocamento do bloco 2& +S $ 2!0 m'

• elocidade inicial do sistema& v  0 $ 0'

• interalo de tempo de subida& + t  $ 20 s

• aceleração da )raidade& g  $ 10 m#s 2

.

-suema do problema

 dotamos a aceleração do sistema no sentido do

bloco de massa m1 descendo o plano e a massa m 2  

subindo /fi)ura 1.

Solução

solando os corpos e pesuisando as forças uea)em em cada um deles aplicamos a 2.ª Lei de Newton

F  = m a

loco 1 /fi)ura 2&

•   P 1 & peso do bloco 1'

•   N 1 & reação normal do plano sobre o bloco 1'

•   T & tensão no fio.

 dotamos um sistema de refer4ncia  xy   com eixo x  na direção do plano inclinado esentido descendente. força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela

ao eixo x   / P 1 5 e a outra normal ou perpendicular / P 1 6 . %a fi)ura 2 emos ue a força

peso 7 perpendicular ao plano horizontal, forma um (n)ulo de 809, o (n)ulo entre o plano

inclinado e o plano horizontal 7 dado i)ual a 30o

, como os (n)ulos internos de um tri(n)ulodeem somar 1:09 o (n)ulo entre a força peso e a componente paralela dee ser

30o80

o= 1:0

o⇒ = 1:0

o−30

o−80

o⇒= ;0

o.

1

fi)ura 1

fi)ura 2

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 s componentes do peso nas direç<es x  e y  são perpendiculares entre si, no tri(n)uloà direita temos ue o (n)ulo entre as força peso e a componente do peso na direção y   7

=  80o−⇒80

o−;0

o⇒30

o .

%esenhando o etores num sistema de eixos coordenados na direção y  a componentenormal da força peso e a reação normal se anulam, não h= moimento nesta direção. 6adireção x  da 2.ª Lei de Newton temos

P 1 5−T  = m 1 a /

%a fi)ura 2" a componente do peso na direção x 7 escrita como

P 1 5 =P 1 cos ;0o

/

sendo o m>dulo da força peso dado por 

P 1 = m 1 g  /

substituindo / em / e este em /, obtemos

m1g   cos;0

o−T  = m

1a /?

loco 2 /fi)ura 3&

•   P 2 & peso do bloco 2'

•   T & tensão no fio.

 dotamos o sentido positio para cima no mesmo sentido da aceleração. 6adireção horizontal não h= forças a)indo no bloco, na direção ertical da 2.ª Lei deNewton obtemos

T −P 2=m

2a /?

@ m>dulo da força peso 7 dado por 

P 2 = m 2 g  /?

substituindo /? em /?, obtemos

T −m2g =m

2a /?

Somando a expressão /? de /? temos a aceleração do sistema

∣m 1g  cos;0

o−T  = m 1 a

T −m 2 g  = m 2a

m 1g cos ;0@−m 2 g  = m 1 am 2a

colocando a aceleração da )raidade em eid4ncia do lado esuerdo da i)ualdade e aaceleração a do lado direito

g   m 1 cos;0o−m 2  = a  m 1m 2 

a = g m 1 cos;0o−m 2

m 1m 2  /?

%a Cinemática Escalar   usamos a euação hor=ria do Movimento etil!neo"ni#ormemente $ariado /M..".$.

2

fi)ura 3

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S = S 0$ 0 t a

2t 

2

S−S 0 =$ 0 t a

2t 

2

sendo ΔS = S−S0   e usando o alor da

aceleração da expressão /?, escreemos

ΔS = $ 0 t 1

2g m 1 cos;0

o−m 2

m 1m 2  t 2

substituindo os alores dados no problema e sendo cos;0o=

1

2, Δ t  = t −t 

0⇒  20= t −0 ⇒

⇒   t  =  20 s , temos

2!0= 0.201

2.10.

m 1

1

2−m 2

m 1m 2

. 20

2

2!0= 0!.m 1−2m 2

2

m 1m 2. A00

2!0= [ m 1−2m 2

2  m 1m 2 ].2000

2!0

2000 =

m1−2m

2

2m 12m 2

do lado esuerdo da i)ualdade diidimos o numerador e o denominador por 2!0, obtendo asimplificação

2!0& 2!0

2000&2!0 =

m 1−2m 2

2m 12m 2

1

:=

m 1−2m 2

2m 12m 2

multiplicando em BcruzC

2m 12m 2 = :. m 1−2m 2 2m 12m 2 = :m 1−1;m 2

2m 21;m 2 = :m 1−2m 1

1:m 2 = ;m 1

m 1

m 2

=1:

;

m 1

m 2

= 3

3

fi)ura A