Dinamica_2002 Das Maq Elétricas

Dinmica das

Mquinas Elctricas

Gil Marques

Abril 2002

ii

ii

Prefcio

Este trabalho resultou de um esforo feito ao longo de vrios anos na leccionao

de algumas disciplinas de Mquinas Elctricas do IST. Parte-se do princpio que os alunos j esto familiarizados com as principais

mquinas, isto , j conhecem a sua constituio, o seu princpio de funcionamento, o seu comportamento em regime permanente e j tm algumas noes da sua regulao.

Este texto pode ser dividido em duas partes. Na primeira, que corresponde aos quatro primeiros captulos, trata-se o problema da obteno de modelos matemticos para a descrio da dinmica das Mquinas Elctricas em particular e dos sistemas electromecnicos em geral. Na segunda parte, estes modelos so utilizados para a obteno das respostas dinmicas dos sistemas em vrias situaes.

Os leitores que aceitarem enviar-me as suas crticas e sugestes tero desde j o meu agradecimento.

Abril de 2002

ndice

Gil Marques 28-04-02

iii

ndice

Prefcio ................................................................................................................... ii ndice ..................................................................................................................... iii Captulo 1................................................................................................................1 Princpios de Converso Electromecnica de Energia .......................................1

1.1. Introduo ...................................................................................................1 1.2. Princpio da Conservao de Energia.......................................................2 1.3. Expresses da fora mecnica e energia...................................................5

Mquinas em "translao" e em "rotao" .......................................5 Expresses da fora electromagntica em funo da energia ..........7

Exemplo 1.1........................................................................8 Exemplo 1.2......................................................................10

Expresses de binrio em funo da co-energia magntica ...........10 Exemplo 1.3......................................................................12

Expresses do binrio electromagntico ........................................12 1.4. Expresses simplificadas (circuitos lineares) .........................................13

Balano Energtico: ...................................................................15 Exemplo 1.4......................................................................15

1.5. Sistemas de campo magntico de excitao mltipla ............................16 Exemplo 1.5......................................................................18

1.6. Caso do circuito magntico linear...........................................................19 1.7. Aplicao ao caso de circuitos magnticos com manes permanentes. 21

Classificao dos dispositivos electromecnicos consoante o uso de man permanente........................................................................22

Anexo 1: Expresses matemticas para a energia magntica .....................23 Caso do circuito magntico linear. .................................................24

Exerccios de Reviso ......................................................................................25

Dinmica das Mquinas Elctricas


iv

Captulo 2..............................................................................................................31 Sensores e Actuadores Electromecnicos...........................................................31

2.1 - Sistemas de relutncia.............................................................................31 Modelo Matemtico........................................................................31 Propriedades gerais dos sistemas relutantes ...................................32 Exemplos ........................................................................................32

Exemplo 1: Electromans...........................................................32 A - Ncleo em forma de U ...............................................33 B - Electromans em forma de E ......................................33 C - Electromans cilndricos .............................................34 D. Electromans de duplo efeito e reversveis. .................34 Influncia da forma do circuito magntico.......................35

Exemplo 2: Rels .......................................................................35 Exemplo 3: Contactores.............................................................35 Exemplo 4: Electrovlvulas .......................................................36 Exemplo 5: Motor oscilante relutante........................................36 Exemplo 6: Motores passo-a-passo ...........................................37

Anlise de um motor de relutncia rotativo, alimentado em corrente alternada.....................................................................................38 A - Clculo do binrio a partir da relutncia .............................38 B - Sistema de relutncia alimentado por uma fonte de

tenso alternada sinusoidal....................................................39 C - Clculo do binrio a partir da indutncia.............................41

Alimentao com corrente contnua.................................42 Alimentao com uma fonte de corrente alternada ..........42

2.2. Sistemas Electrodinmicos ......................................................................43 Generalidades. ................................................................................43 Equaes.........................................................................................43 Propriedades gerais.........................................................................44

Exemplo 7: Altifalante...............................................................44 Princpio e caractersticas .................................................44 O Transdutor do altifalante...............................................45

Exemplo 8: Aparelhos de medida de quadro mvel ..................45 Exemplo 9: Traador .................................................................46

2.3. Sistemas Electromagnticos.....................................................................47 Generalidades .................................................................................47 Propriedades gerais.........................................................................47

ndice


v

Exemplo 10: Motores passo a passo polifsicos........................48 Exemplo 11: Motores passo-a-passo monofsicos ....................48 Exemplo 12: Captores................................................................49

2.4. Sistemas Relutantes Polarizados ou Hbridos........................................50 Generalidades .................................................................................50 Propriedades gerais.........................................................................50 Comportamento ..............................................................................50 Estruturas possveis ........................................................................51 man fixo.........................................................................................51 man mvel .....................................................................................52

Exemplo 13: Electromans polarizados .....................................52 Exemplo 14: Motores oscilantes................................................52 Exemplo 15: Motores de binrio ...............................................53

2.5. Sistemas Electrostticos ...........................................................................54 Generalidades .................................................................................54 Equaes.........................................................................................54 Propriedades gerais.........................................................................55

Exemplo 16: Voltmetro Electrosttico .....................................56 Exemplo 17: Motor passo-a-passo electrosttico ......................56 Exemplo 18: Sensores electrostticos........................................56

Exerccios de Reviso:.....................................................................................57 Captulo 3..............................................................................................................61 Modelos Dinmicos das Mquinas Elctricas de Corrente Alternada............61

3.1 Introduo ..................................................................................................61 3.2 Coeficientes de induo das Mquinas Elctricas ..................................62

A - Mquina Assncrona.................................................................62 Coeficientes de auto-induo.....................................................62 Coeficientes de induo mtua entre enrolamentos do

mesmo lado ...........................................................................62 Coeficientes de induo mtua entre enrolamentos do

estator e enrolamentos do rotor. ............................................63 Modelo da mquina de induo em grandezas abc....................65

B - Mquina Sncrona de plos salientes .......................................66 Indutncias prprias...................................................................67



vi

Indutncia mtua, estator-estator...............................................68 Indutncias mtuas entre o estator e o rotor ..............................69 Modelo das Mquinas Sncronas ...............................................70

3.3 Transformaes de variveis ....................................................................71 Introduo.......................................................................................71

Condio de invarincia de potncia .........................................72 Transformao da expresso do binrio ....................................73 Caso das transformaes cujas matrizes no variam no

tempo.....................................................................................73 Exemplo 3.1 Aplicao da matriz de conexo de

Kron no clculo de um circuito elctrico. .............74 Aplicao de uma transformao com matrizes

diferentes ao estator e ao rotor. .............................................76 Classificao das principais transformaes..............................77

3.4 Transformao de um sistema trifsico num sistema bifsico equivalente. Transformao de Concordia. ...........................................79

Definio da transformao............................................................79 Exemplo 3.2 "Transformao de Concordia das

tenses em regime equilibrado"..............................82 Interpretao geomtrica da transformao de

Concordia ..............................................................................84 Resumo das propriedades da transformao de

Concordia ..............................................................................87 3.5 Aplicao da transformao de Concordia Mquina de Induo .....89

Transformao dos coeficientes de induo do estator de uma mquina de plos lisos..............................................89

Transformao da matriz dos coeficientes de induo mtua entre o estator e o rotor da mquina de induo ..................................................................................90

Modelo matemtico da mquina de induo em coordenadas . ..................................................................91

3.6 Mquina Sncrona de plos salientes em coordenadas . ...................95 Exemplo 3.3 Obteno da matriz dos coeficientes

de induo da mquina sncrona de plos salientes por inspeco............................................97

3.7 Transformao de Rotao de Referencial .......................................100 A. Definio .................................................................................100

ndice


vii

Exemplo 3.4 Composio da transformao de Concordia e da Transformao de rotao de referencial - Transformao de Blondel-Park. ......................................................................101

B. Transformao de um modelo de uma mquina em coordenadas , para coordenadas d,q........................................................102 Expresses do binrio ..............................................................104

Exemplo 3.5 - "Aplicao da transformao de Park a um sistema equilibrado de tenses ou correntes". ........................................................104

3.8. Modelo da Mquina de induo em coordenadas de Blondel-Park. .108 Introduo.....................................................................................108

Exemplo 3. 6 Modelo da mquina de induo no referencial do estator......................................109

Exemplo 3.7 Transformao de frequncias...............110 3.9. Aplicao da transformao de Park Mquina Sncrona de plos

salientes. ...................................................................................................112 Exemplo 3.8 Obteno do modelo da mquina

Sncrona atravs dos produtos matriciais..............112 Esquema Equivalente da Mquina Sncrona ................................115 Mquina Sncrona com enrolamentos amortecedores ..................116

3.10. Introduo da notao complexa. .......................................................118 A. Introduo:...............................................................................118 B. Componentes simtricas instantneas......................................121

Exemplo 3.9 Aplicao da transformao de componentes simtricas instantneas a vrios sistemas de tenso. .....................................122

Modelo da mquina de induo em componentes simtricas ......125 C. Transformao Complexa Rotativa (fb) ..................................126

C1. Definio ...........................................................................126 C2. Definio a partir das componentes dq ............................127 C3. Definio a partir das componentes +/- ...........................127 C4. Relao entre as componentes simtricas e as

variveis de fase abc............................................................127 Exemplo 3. 10 Aplicao da transformao fb a

sistemas de tenso. ( =t) ...................................128 C5. Modelo da Mquina de induo em coordenadas fb .........129



viii

C.6 Modelo da mquina de induo num referencial do estator (+ - f b).....................................................................130

C.8. Modelo da mquina de induo num referencial do campo girante (fb,fb): ..........................................................130

Exemplo 3.11 Esquema equivalente da mquina de induo em regime sinusoidal equilibrado ..........................................................131

Exemplo 3.12 Esquema equivalente da mquina de induo em regime sinusoidal desequilibrado com componentes homopolares nulas...............................................131

Vectores espaciais....................................................................134 3. 11. Transformao de dois eixos standard. .............................................137 3.12 Vectores espaciais ..................................................................................140

1. Definio ..................................................................................140 2. Interpretao geomtrica ..........................................................140 3. Rotao de referencial ..............................................................141 4. Modelo de mquina de induo utilizando vectores espaciais.142

Exemplo 3.13 Modelo de mquina de induo no referencial do estator e no referencial genrico.................................................................143

Esquema equivalente da mquina de induo: ........................144 Anexo 1: Visualizao dos coeficientes de induo de uma mquina

elctrica. .................................................................................................146 Anexo 2: Aplicao da Transformao de Concordia Mquina

Sncrona .................................................................................................147 1. Clculo do termo CTLeeC.........................................................147 2. Coeficiente de induo mtua entre estator e rotor.................150 Clculo de CTMef................................................................150

Exerccios de reviso .....................................................................................150 Mquina assncrona monofsica...................................................152

Captulo 4............................................................................................................157 Modelizao de sistemas electromecnicos com comutao ..........................157

4.1. Modelizao da Mquina de Corrente Contnua com plos de comutao e enrolamentos de compensao ........................................158

ndice


ix

Obteno do modelo da mquina de corrente contnua...........162 4.2. Modelizao da geratriz de rectificao ...............................................168

Modelo da Geratriz de Rectificao .............................................170 Exerccios de Reviso:...................................................................................173

Bibliografia:..................................................................................176 Captulo 5............................................................................................................177 Regimes transitrios das Mquinas de Corrente Contnua ...........................177

5.1 Introduo ................................................................................................177 5.2 A mquina de corrente contnua ideal..................................................178

Modelo dinmico da mquina de corrente contnua.....................179 Funes de transferncia. Resposta no tempo..............................180

5.3 Motor de corrente contnua de excitao independente ......................180 Estudo do polinmio caracterstico. Determinao dos plos do

sistema. ....................................................................................183 Exemplo 5.1....................................................................184

Transitrio de arranque directo com binrio de carga proporcional velocidade. ..................................................186

Exemplo N 5.2...............................................................187 Concluses ...............................................................................188 Transitrio resultante da aplicao de um escalo de

binrio. ................................................................................189 Exemplo N 5.3...............................................................190

Concluses acerca da aplicao de escalo de binrio ............191 5.4 Estudo da mquina de corrente contnua de excitao srie...............193

Introduo.....................................................................................193 Modelo Matemtico......................................................................193

Exemplo N 5.4...............................................................196 Linearizao do modelo de estado do motor de corrente contnua de

excitao em srie. ...................................................................196 Determinao dos plos do modelo linearizado...........................198

Exerccios........................................................................................................199 ANEXO ...............................................................................................................202 Resposta ao escalo de sistemas de segunda ordem........................................202



x

Captulo 6............................................................................................................207 Estudo dos transformadores em regime transitrio .......................................207

6.1 Transformador monofsico de dois enrolamentos ...............................207 Modelo matemtico ......................................................................207 Determinao de expresses analticas aproximadas para os plos209 Transformador em carga...............................................................210

Exemplo 6.1....................................................................211 Funes de transferncia ..............................................................212 Mapas de plos e zeros.................................................................213 Transformador em vazio...............................................................213

Exemplo 6.2....................................................................215 Resoluo...................................................................215

Arranque do transformador em vazio. Saturao magntica........215 Transformador em curto-circuito .................................................218

Exemplo 6.3....................................................................220 Transformador de intensidade de corrente ...................................221

6.2 Transformador monofsico de 3 enrolamentos. ...................................223 Equaes.......................................................................................223 Esquema equivalente simplificado ...............................................225 Reactncia Operacional de um transformador monofsico de 3

enrolamentos ............................................................................226 Expresses aproximadas para as indutncias operacionais

desprezando as resistncias......................................................229 6.3 Transformador trifsico de 3 colunas...................................................230

Constituio..................................................................................230 Modelo matemtico ......................................................................230 Transformador trifsico de ncleo magntico simtrico ..............230 Banco de trs transformadores monofsicos ................................231 Aplicao da transformao de Concordia ao transformador

trifsico de ncleo magntico simtrico. .................................231 Exerccios........................................................................................................233

Anexo 6A. Simulao do transformador em vazio considerando a saturao magntica......................................................................................................................234

ndice


xi

Captulo 7............................................................................................................235 Regimes transitrios das Mquinas Sncronas................................................235

7.1 Introduo ................................................................................................235 7.2 Modelo das Mquinas Sncronas com enrolamentos de excitao e

enrolamentos amortecedores .................................................................236 Modelo da mquina em valores por unidade................................239 Impedncias operacionais.............................................................240 Constantes de tempo da mquina sncrona:..................................243

Constantes de tempo longitudinais ..........................................243 Constantes de tempo transversais ............................................243

Admitncias operacionais.............................................................246 Diagramas de Bode e de Nyquist. ................................................248

Determinao experimental dos parmetros da mquina. ..............................................................................249

Exemplo 7.1....................................................................252 7.3 Curto-circuito trifsico simtrico e equilibrado a partir do vazio......253

Condies iniciais.........................................................................253 Equaes operacionais..................................................................254 Soluo das equaes: ..................................................................255

Clculo das correntes ...............................................................255 Clculo dos fluxos ...................................................................260 Clculo do Binrio ...................................................................262 Corrente de excitao...............................................................263

Interpretao de resultados ...........................................................267 Componentes de frequncia fundamental, contnuas em

dq.........................................................................................268 Componentes de frequncia zero e componentes de

frequncia dupla da fundamental, frequncia fundamental em dq ..............................................................270

7.4 Transitrio de aplicao de carga Mquina sncrona.......................273 Exerccios........................................................................................................277

Anexo 7A: Programa de simulao SindqfDQ............................................279 Anexo 7B: Parmetros utilizados no traado das figuras ..............................281 Anexo 7C: Tabela de transformadas de Laplace utilizadas...........................281



xii

Apndice A..........................................................................................................283 Introduo dos valores por unidade.................................................................283

Introduo ......................................................................................................283 Definio de valores relativos (por unidade)...............................................283

Grandezas elctricas: ....................................................................283 Grandezas mecnicas....................................................................284

Definio dos valores de base .......................................................................284 Grandezas elctricas .....................................................................284 Grandezas mecnicas....................................................................285

Modelo de uma mquina elctrica em valores por unidade. .....................285 Equaes elctricas.......................................................................285 Equao da posio ......................................................................287 Equao do binrio. ......................................................................287 Equao do movimento ................................................................288

Equaes da mquina de corrente contnua ..............................................289 Definio dos valores de base ......................................................289 Aplicao equao elctrica do induzido ..................................289

Bibliografia .........................................................................................................291

Cap. 1 Princpios de Converso Electromecnica de Energia


1

Captulo 1

Princpios de Converso Electromecnica de Energia

1.1. Introduo

Com este captulo inicia-se o estudo das mquinas elctricas e outros dispositivos

electromecnicos atravs da teoria dos circuitos.

Nesta teoria as mquinas so vistas como circuitos elctricos ligados

magneticamente para o caso se sistemas magnticos, ou electricamente para o caso dos

sistemas electrostticos. Os coeficientes de auto-induo e de induo mtua, (ou os

coeficientes de capacidade), so funes de uma ou mais variveis.

O processo da converso electromecnica de energia realiza-se atravs do campo

elctrico ou magntico de um dispositivo de converso.

Embora os vrios dispositivos de converso funcionem baseados em princpios

similares, as estruturas dos dispositivos dependem da sua funo.

Os transdutores so dispositivos que se empregam na medio e controlo.

Normalmente funcionam em condies lineares, sada proporcional entrada, e com

sinais relativamente pequenos. Entre os muitos exemplos referem-se microfones,

taqumetros, acelermetros, sensores de temperatura, de presso etc.

Os actuadores so dispositivos que produzem fora. Como exemplos tm-se os

rels, electromans, motores passo-a-passo etc.

A terceira categoria de dispositivos inclui equipamentos de converso contnua de

energia, tais como motores e geradores.



2

Enquanto que no dimensionamento dos transdutores e actuadores, a preocupao

principal a fidelidade, neste terceiro grupo a preocupao principal o rendimento.

Isto compreende-se pela natureza diferente da sua aplicao. Em princpio os

dispositivos so reversveis, isto , os actuadores poderem funcionar como actuadores

ou transdutores e os motores como motores ou geradores. Contudo, deve referir-se que

nas aplicaes raramente esta reversibilidade utilizada.

Os objectivos que se pretendem atingir com este captulo so:

Ajudar na compreenso de como ocorre a converso electromecnica de energia.

Mostrar como desenvolver modelos dinmicos para os conversores electromecnicos com os quais possa ser calculado o seu desempenho.

O conceito fundamental para a anlise dos conversores electromecnicos o

campo de acoplamento. Este campo corresponde ao campo magntico na maioria dos

dispositivos. Contudo existem alguns dispositivos baseados no campo elctrico.

A partir das funes energia ou co-energia deduzem-se as variveis de estado do

sistema e a fora ou binrio de origem electromecnica.

1.2. Princpio da Conservao de Energia

O princpio da conservao de energia afirma que esta no criada nem destruda,

apenas muda de forma. Este princpio constitui uma ferramenta conveniente para

determinar as caractersticas do acoplamento electromecnico. tambm necessrio ter

em ateno as leis do campo elctrico e magntico, as leis dos circuitos elctricos e

magnticos, e a mecnica newtoniana.

Como as frequncias e velocidades so relativamente baixas comparadas com a

velocidade da luz, pode admitir-se a presena de regimes em que o campo quase

estacionrio, sendo a radiao electromagntica desprezvel. Assim, a converso

electromecnica de energia envolve energia em quatro formas e o princpio de

conservao de energia leva seguinte relao entre essas formas:

+

+

=

Calor emConvertidaEnergia

ArmazenadaEnergia de

Aumento

MecnicaEnergia

de Sada

ElctricaEnergia

de Entrada (1.1)



3

A equao 1.1 aplicvel a todos os dispositivos de converso. Est escrita na

conveno motor. Nesta conveno todas as parcelas tm valores positivos em

funcionamento motor. Em funcionamento gerador esta equao continua a ter validade,

mas as parcelas referentes energia elctrica e mecnica tomam valores negativos. Para

o estudo deste tipo de funcionamento (gerador), mais fcil utilizar a mesma expresso,

mas escrita na conveno gerador, eq.1.2.

+

+

=

Calor emConvertidaEnergia


Aumento

ElctricaEnergia

de Sada

MecnicaEnergia

de Entrada (1.2)

Neste texto adopta-se a conveno motor.

A converso irreversvel de energia em calor tem trs causas:

1. Perdas por efeito de Joule nas resistncias dos enrolamentos que constituem

parte dos dispositivos. Estas perdas so frequentemente chamadas de perdas

no cobre.

2. Parte da potncia mecnica desenvolvida pelo dispositivo absorvida no atrito

e ventilao e ento convertida em calor. Estas perdas so chamadas de

perdas mecnicas.

3. Perdas magnticas (em dispositivos magnticos) ou dielctricas (em

dispositivos elctricos). Estas perdas esto associadas ao campo de

acoplamento.

Alm destes tipos de perdas deve-se, em estudos mais aprofundados, considerar

tambm perdas suplementares que tm vrias causas.

Nos dispositivos magnticos, que so de longe as mais frequentes, as perdas

magnticas so devidas a correntes de Foucault e histerese magntica.

Na teoria que se segue so desprezadas as perdas magntica e as perdas

dielctricas.

As equaes 1.1 e 1.2 podem ser escritas na forma da equao 1.3 onde se admite

a conveno motor.

+

=


Aumento

Mecnicasperdas mais

Mecnica Energiade Sada

Elctricasperdas menos

Elctrica Energiade Entrada

(1.3)



4

O primeiro membro da equao 1.3 pode ser expresso em termos das correntes e

tenses nos circuitos elctricos do dispositivo de acoplamento.

Considere-se o esquema geral de um dispositivo de converso mostrado na figura

1.1.

Sistema deConverso de

energia

Sistemamecnico

Sistemaelctrico

Perdas deJoule

Perdasmecnicas

ru e

i

Fig. 1.1. Representao geral da converso electromecnica de energia.

Pode escrever-se:

u i dt diferencial de energia de entrada da parte elctrica ri2 dt diferencial de energia de perdas de Joule dWele = u i dt - i2 r dt =(u - r i)i dt=e i dt Diferencial de energia elctrica

lquida de entrada no dispositivo de acoplamento.

Para que o dispositivo de acoplamento possa absorver energia do circuito

elctrico, o campo de acoplamento deve produzir uma reaco sobre o circuito. Esta

reaco a fora electromotriz indicada pela tenso e na figura 1.1. A reaco sobre a

entrada uma parte essencial do processo de transferncia de energia entre um circuito

elctrico e outro meio qualquer.

Da discusso precedente, dever ser evidente que as resistncias dos circuitos

elctricos e o atrito e ventilao do sistema mecnico, embora sempre presentes, no

representam partes importantes no processo de converso de energia. Este processo

envolve o campo de acoplamento e sua aco e reaco nos sistemas elctrico e

mecnico.

A equao 1.3 pode pr-se na forma diferencial:

dWele = dWcampo + dWmec (1.4)

onde

dWele - diferencial de energia recebida pelo campo de acoplamento



5

dWcampo - diferencial de energia do campo de acoplamento

dWmec - diferencial de energia convertida em mecnica

Para a anlise completa dum dispositivo electromecnico, alm da equao (1.4)

que traduz o princpio de converso de energia (bloco central da figura 1.1), dever

ter-se em conta as equaes que traduzem a interligao ao sistema elctrico e as

equaes que o interligam ao sistema mecnico. A interligao ao sistema elctrico pode

ser feita por uma ou mais vias, correspondendo a cada uma delas uma equao

diferencial. A interligao ao sistema mecnico na maioria dos casos feita atravs de

uma nica via (apenas um grau de liberdade) correspondendo a esta interligao apenas

uma varivel. Esta interligao traduzida pela 2 lei de Newton.

Quando o dispositivo for de natureza magntica, as equaes que traduzem a

interligao elctrica so deduzidas da lei de Faraday. No caso de dispositivos

electrostticos estas equaes so deduzidas da lei da conservao da carga. Resumindo

tem-se:

Para a anlise de um dispositivo electromecnico de natureza magntica dever

ter-se como base:

Equao 1.4 2 lei de Newton Lei de Faraday

Por sua vez, a anlise de um dispositivo electromecnico de natureza elctrica

dever ter como base:

Equao 1.4 2 lei de Newton Lei da conservao da carga

1.3. Expresses da fora mecnica e energia

Mquinas em "translao" e em "rotao"

As figuras 1.2 e 1.3 representam dispositivos electromecnicos. O primeiro de

translao e o segundo de rotao.



6

Na figura 1.2, a energia magntica depende das grandezas elctricas e da posio

da pea mvel x. A energia magntica Wm armazenada na carcaa uma funo do

fluxo , criado pela corrente i, e da relutncia R do circuito que por sua vez tambm funo da posio x da armadura. Assim a energia magntica funo de 2 quantidades.

Wm = f (, x) (1.5)

Armadura

Guia

ir

nu

x

Permetro=4l

Fig. 1.2. Rel Electromecnico.

Ver-se- que a fora electromecnica Fem, que se exerce sobre a armadura tem

uma expresso simples em funo desta energia.

ir

nu

Fig. 1.3. Conversor electromecnico elementar de rotao.

Na figura 1.3, tem-se o mesmo princpio. A nica diferena est no parmetro

geomtrico que define a posio do rotor, que agora o ngulo e que as variaes de energia magntica armazenada no circuito produzem agora um binrio electromagntico

Mem. Tambm aqui se encontrar uma expresso fcil para o binrio em funo da

energia magntica.



7

Expresses da fora electromagntica em funo da energia

Considere-se o caso elementar da figura 1.2. Considerando as perdas de Joule

concentradas na resistncia r, tem-se:

dt

de = A energia elctrica elementar fornecida pela fonte ao campo, vale:

i d e i dt dWele == Se a pea mvel se deslocar uma distncia dx, o diferencial de energia mecnica

consumido vale:

dx F dW emmec = Nestas condies a expresso que traduz o princpio da conservao de energia 1.4

toma a forma:

mem dW dxF i d += (1.6) O diferencial da funo energia magntica escreve-se, na forma geral

dxx

WdW,x)(dW mmm +

= (1.7)

Introduzindo a equao (1.7) na equao (1.6) tem-se:

dxx

WdW dxF i d mmem +

+= (1.8)

ou

0=

++

dxx

WFdiW memm (1.9)

As variveis e x so varveis independentes. Assim podem variar independentemente uma da outra. Como consequncia, para que a igualdade 1.9 seja

sempre verdadeira necessrio que as funes que multiplicam d e dx sejam sempre nulas. Tem-se:

= ),( xWi m (1.10)

x

xWF mem = ),( (1.11)



8

A expresso (1.11) traduz a fora como sendo a derivada parcial da funo energia

magntica em funo da posio. Esta funo energia magntica uma funo de estado

e dever estar escrita em termos do fluxo ligado e da coordenada de posio x. As equaes 1.10 e 1.11 so as chamadas equaes paramtricas.

Exemplo 1.1

O dispositivo representado na figura 1.2 tem um comprimento da linha mdia do seu circuito magntico 4l de 40 cm, uma seco de

30/ cm2, 200 espiras. Considere a permeabilidade magntica relativa do ferro de rfe=500.

Determine: 1. A expresso da energia magntica armazenada no dispositivo.

Considere o circuito magntico do ferro linear. 2. O valor da fora e o seu sentido em funo da coordenada de

posio x. 3. Verifique a aproximao de linearidade do circuito magntico

sabendo que o ferro utilizado pode considerar-se linear para valores de induo magntica inferiores a 1.5T. Determine o valor da corrente i de modo a que a aproximao de linearidade do circuito magntico se mantenha verdadeira.

Resoluo: 1. Expresso da energia magntica a) Clculo da relutncia magntica a.1 Relativa ao ar

Rmar = Sx

o

a.2 Relutncia magntica relativa ao ferro

Rmfe = Sxl

or 4

a.3 Relutncia magntica total

Rm =

+

rro

xlxS

41

+

ro

lxS

41

b) Expresso da energia magntica armazenada

Wm = 12i = 12Fmm = 12Rm 2 = 12Rm 2

2

n =

L

2

21 = 12L i2

Para a aplicao da equao 1.11, a expresso da energia magntica

dever ser funo de x e , ou seja, a expresso 12Li2 no a



9

expresso utilizvel. Em vez disso utilizaremos as expresses que se seguem.

Ln

W mmm2

2

22

21

21

21 === RR

2. Clculo da fora

Fem = - Wmx = -

12

2n2

Rmx -

12

2n2

1o S

A fora ser sempre uma fora de atraco pois sempre negativa e, no referencial adoptado, as foras negativas tm o significado de foras de atraco. tambm proporcional ao quadrado do fluxo. Esta fora ser de amplitude constante se o fluxo se mantiver constante.

Se o dispositivo for alimentado por uma fonte de corrente de intensidade i, ter-se-:

Fmm =ni

e ento

= niRm ; = n2iRm

donde

S

in- Fo

em 1

21 22

2mR

=

3. Para um campo de induo magntica inferior a 1.5T correspondente um fluxo inferior a: = S B

Como

ni = Rm B

+

r

lx 41

0

Podemos concluir que para que o campo B seja constante e igual a B=1.5T, a corrente i que dever circular ser tanto maior quanto maior for o entreferro. A menor corrente obtm-se quando x=0.

Introduzindo os valores do enunciado do problema, tem-se:

ni =

50021040

710451 .

= 954.9 Ae

ou

i< 4.77 A



10

Exemplo 1.2

Um transdutor rotativo com apenas um circuito de excitao semelhante ao da figura 1.3, tem uma relao no linear entre o fluxo

ligado , a corrente i, e a posio , que pode ser expressa por: 61210 .-AAi )cos(=

Determine a expresso do binrio em funo de . Resoluo:

Wm = 0 id = 0 106.1 )2cos( dAA = 0 6.110 2cos d)-A (A Wm

6.2 2cos

6.210

)-A(AWm =

6.2 2sen2

6.21

AW

M mem ==

Expresses de binrio em funo da co-energia magntica

Se se definir a funo co-energia magntica (fig 1.4) como:

= im dixixiW 0' ),(),( (1.12)

i

W'm

(i)Wm

Fig. 1.4. Definio de energia e co-energia magntica.

Tem-se

i W W mm =+ ' (1.13) donde

diiddWdW mm ++= ' (1.14)



11

introduzindo na expresso (1.6) obtm-se:

diiddWdxFid mem ++= ' (1.15) como

dxx

Wdii

WxidW mmm +

=''

' ),( (1.16)

tem-se

didxx

Wdii

WdxF mmem +

=''

0 (1.17)

ou

0''

=

+

di

iWdx

xWF mmem (1.18)

Atendendo independncia das variveis x e i e fazendo um raciocnio semelhante

ao que fizemos da expresso equivalente em funo da energia, tem-se:

x

WF mem =

' (1.19)

i

Wm

='

(1.20) Obtm-se assim uma outra expresso para a fora que se exerce sobre a armadura,

igual derivada parcial em relao a x da funo co-energia magntica. As expresses

(1.11) e (1.19) so equivalentes e vlidas em todos os casos. Pode utilizar-se

indiferentemente uma ou outra conforme o caso em que se escolha como variveis

independentes e x ou i e x. A funo co-energia magntica tambm uma funo de estado. A fora de origem electromagntica pode ser assim calculada atravs da

expresso 1.11 ou alternativamente pela expresso 1.19.

Normalmente prefere utilizar-se a expresso co-energia magntica pois funo

da corrente elctrica que uma grandeza utilizada na teoria dos circuitos. tambm

mais fcil de medir do que os fluxos que so grandezas internas.



12

Exemplo 1.3

Calcule a fora que se exerce sobre a armadura do dispositivo no exemplo 1.1. Utilize para isso a expresso 1.19.

Resoluo: Considerando o circuito magntico linear, tem-se:

2' )(21 ixLWm =

+

==

r

m lxS

nx

nxL

41)(

)(

0

22

R

dxd

xin

dxxdLi

xW

F m

m

mem

RR )(

121)(

21

2222

'==

=

como

Rm

x 1

o S Tem-se:

S

ni - Fom

em 1)(

21

2

2

R=

que equivalente expresso obtida no exemplo 1.1.

Expresses do binrio electromagntico

Para um circuito magntico mvel em rotao, como o desenhado na figura 1.3, os

resultados precedentes so aplicados directamente ao binrio electromagntico Mem, a

partir de raciocnios semelhantes (dWmec escreve-se dWmec=Mem d). Se se considerar a funo energia como uma funo da posio e do fluxo ,

tem-se:

= ),(mem WM (1.21)

Se se considerar a funo co-energia magntica funo de i e , tem-se:

= ),(

' iWM mem (1.22)



13

1.4. Expresses simplificadas (circuitos lineares)

Felizmente pode considerar-se na grande maioria dos casos, que os circuitos

magnticos dos transdutores ou das mquinas girantes no esto saturados

magneticamente. Nestas condies a curva de magnetizao (i) reduz-se a uma recta, e o fluxo directamente proporcional corrente i. O factor de proporcionalidade (coeficiente de auto-induo) funo de x.

= n = L(x) i (1.23) ou ainda n i = R(x) . A energia e a co-energia magntica, apesar de serem funes de variveis

diferentes, tomam neste caso valores iguais, e as expresses simplificam-se pelo facto

da varivel x aparecer independente de i ou . A energia escreve-se:

Wm = 12 R(x) 2 (1.24)

A fora electromagntica, segundo (1.11), vale:

Fem(,x) = - 12 2 Rx = -

12 2

dRdx (1.25)

A co-energia escreve-se

Wm = 12 L(x) i

2 (1.26)

Desta expresso conclui-se, aplicando (1.19)

Fem = 12 i

2 dL(x)

dx (1.27)

As duas expresses (1.25) e (1.27) so naturalmente idnticas tendo em conta as

expresses (1.23) e derivando L(x) = n2/R(x).

A primeira corresponder, como se ver mais tarde, ao ponto de vista dos circuitos

"excitados em tenso", e a segunda ao ponto de vista dos circuitos "excitados em

corrente".

Em particular, a expresso (1.27) mostra claramente que a fora electromagntica

resulta da corrente na bobina e da variao da indutncia do circuito.



14

No caso de uma mquina girante, coordenada x corresponde e fora corresponde o binrio:

Mem(,) = - 12 2 dRd (1.28)

Mem(i,) = 12 i2 dLd (1.29)

Das expresses 1.28 e 1.29 pode concluir-se que para o clculo da fora ou do

binrio no necessrio conhecer todos os parmetros geomtricos do conversor

electromecnico. necessrio conhecer apenas a funo R(x) ou L(x). O mesmo se

pode dizer para o clculo das grandezas elctricas. Com efeito, para o caso do conversor

electromecnico da figura 1.2, tem-se:

u = ri + ddt = ri +

ddt (L(x) i) (1.30)

u = ri + L(x) didt + i

dL(x)dt (1.31)


dL(x)dx

dxdt (1.32)

Da expresso 1.32 pode concluir-se que o facto de a pea mvel se deslocar com a

velocidade x& provoca uma fora contra-electromotriz de movimento que vale:

i dL(x)

dx dxdt (1.33)

Para o estudo completo do sistema da figura 1.2 necessrio introduzir a equao

de acoplamento mecnico juntamente com a 2 lei de Newton.

m dx2

dt2 = Fem - Fc (1.34)

Assim, o estudo do sistema pode ser feito resolvendo as equaes diferenciais:


dL(x)dx

dxdt e m

dx2

dt2 = Fem - Fc (1.35)

Para a resoluo destas equaes necessrio conhecer a funo L(x) (prpria do

dispositivo) e a funo Fc que depende da aplicao onde o dispositivo se empregue.



15

Balano Energtico:

Se se multiplicarem ambos os membros da equao 1.31 por i obtm-se:

u i = ri2 + L(x) i didt + i

2 dL(x)

dx dxdt (1.36)

que o mesmo que

u i = ri2 + L(x) i didt +

12 i

2 dL(x)

dx dxdt +

12 i

2 dL(x)

dx dxdt (1.37)

ou

u i = ri2 + ddt

1

2 L(x) i2 +

12 i

2 dL(x)

dx dxdt (1.38)

onde

u i potncia de entrada r i2 perdas de Joule ddt

1

2 L(x) i2 Variao da energia magntica armazenada no campo

12 i

2 dL(x)

dx dxdt potncia mecnica

A expresso 1.38 traduz o princpio da conservao de energia.

Exemplo 1.4

O coeficiente de auto-induo da bobina representada na figura 1.3 pode ser calculado pela expresso analtica aproximada

L() = L1 + L2 cos(2) Determinar a expresso do binrio em funo da corrente e da

posio.

Resoluo: Segundo a expresso 1.29, o binrio vale

221

222 senLi

ddLiMem ==



16

1.5. Sistemas de campo magntico de excitao mltipla

Os dispositivos que se acabam de analisar tem apenas um circuito elctrico. A

fora que desenvolvem tem sempre o mesmo sentido e proporcional ao quadrado de

um fluxo ou de uma corrente. So usados geralmente para desenvolver foras de

impulso no controlveis. Como exemplos tm-se: Rels, contactores e actuadores de

vrios tipos.

Para obter foras proporcionais a sinais elctricos, e sinais proporcionais a foras e

velocidades, necessrio que os dispositivos tenham dois ou mais caminhos para

excitao ou troca de energia com as fontes. Os manes permanentes so usados

frequentemente como um dos caminhos de excitao. Em muitos dispositivos, um

caminho de excitao estabelece o nvel do campo elctrico ou magntico, enquanto o

outro trabalha com sinais. Exemplos so:

Altifalantes, taqumetros, acelermetros.

Todos os tipos conhecidos de motores e geradores, com excepes pouco

importantes, so exemplos de dispositivos de potncia, que realizam a converso

contnua de energia.

Na figura 1.5 mostra-se o modelo de um sistema elementar deste tipo. O sistema

deve ser descrito em termos de trs variveis independentes que podem ser os fluxos

ligados 1 e 2 e o ngulo mecnico , ou as correntes i1 e i2 e o ngulo , ou um conjunto hbrido de variveis.

u

i

i

u

1

1 2

2

Figura 1.5. Sistema electromecnico de excitao dupla.



17

Quando se utilizam os fluxos ligados, um raciocnio semelhante ao apresentado no

nmero anterior permite concluir que as equaes paramtricas so extenses das

equaes 1.10, 1.11, 1.19 e 1.20. Assim:

i1 = Wm(1,2,)

1 (1.39)

i2 = Wm(1,2,)

2 (1.40)

Mem = - Wm(1,2,)

(1.41)

onde a funo energia dada por:

+= 21 0 220 1121 ),,( didiWm (1.42) Quando se usam as correntes para descrever o estado do sistema, as equaes

paramtricas ficam:

1 = Wm(i1,i2,)i1 (1.43)

2 = Wm(i1,i2,)i2 (1.44)

Mem = Wm(i1,i2,)

(1.45) e a co-energia dada por:

+= 21 0 220 1121' ),,( iim didiiiW (1.46) Nos casos que se tm vindo a analisar tem-se considerado apenas um grau de

liberdade para o deslocamento x (para translao) ou (para rotao). Dos raciocnios que se apresentaram no difcil concluir que para os casos em

que o deslocamento se possa fazer em duas ou 3 direces independentes se tem:

Femx(i1,i2,x,y,z) = Wm(i1,i2,x,y,z)

x (1.47)

Femy(i1,i2,x,y,z) = Wm(i1,i2,x,y,z)

y (1.48)



18

Femz(i1,i2,x,y,z) = Wm(i1,i2,x,y,z)

z (1.49)

As foras Femx, Femy, Femz seriam substitudas por binrios M, M ,M se as direces de movimento fossem , , .

Exemplo 1.5

Elemento de relutncia varivel com dois graus de liberdade O sistema est definido na figura 1.6. Permite exercer

simultaneamente uma fora de atraco vertical e uma fora de centragem lateral. Um sistema deste tipo prprio para a sustentao magntica e a guiagem de certos comboios de grande velocidade.

i

x y

a b

a

N

Figura 1.6. Elemento de relutncia varivel

Determine as componentes da fora que se exerce sobre a pea mvel.

Resoluo A. Hipteses: 1. As linhas de campo s existem na zona de entreferro mnimo e tm

a direco de x. 2. A permeabilidade do ferro infinita. 3. O referencial encontra-se na pea fixa na qual se encontra o

enrolamento. B. Determinao das foras Tendo em conta as hipteses consideradas tem-se para o valor da

permencia.

x

yabo2

)( = P

'22221

21

mm WinLiW === P

As foras que se exercem sobre a pea segundo x e y sero:



19

Fmx = Wm(i,x,y)

x Fmy = Wm(i,x,y)

y

Fmx = 12n2i2 dPdx Fmy =

12 n

2i2 dPdy

2222

21

ax

yaboin mxF)(

=

xboin myF 2

2221 =

CONCLUSES: . Tanto Fmx como Fmy tem resultados independentes do sentido de i, Fmx

fora de atraco (sempre) e Fmy tende a centrar a pea. . A intensidade de Fmx tanto maior quanto mais centradas estiverem

as peas.

. Fmx e Fmy variam inversamente com a dimenso do entreferro. Fmx

depende do quadrado do entreferro e Fmy varia inversamente com o

entreferro. Nota: As expresses da permencia e das foras acima indicadas foram

determinadas desprezando a relutncia do ferro (r=). Esta aproximao vlida quando o entreferro for grande. Quando x0 necessrio considerar tambm a relutncia do ferro.

1.6. Caso do circuito magntico linear.

Considere-se agora que os circuitos magnticos da figura 1.5 so lineares. Os

fluxos ligados com cada um dos dois circuitos qualquer que seja a sua posio so

iguais soma do fluxo criado pela prpria corrente e do fluxo criado pela corrente que

circula no outro circuito. Ou seja

1 = L1() i1+ M() i2 (1.50a) 2 = M() i1+ L2() i2 (1.50b)

As funes energia magntica e co-energia magntica, embora funes expressas

em termos de variveis diferentes, tomam o mesmo valor numrico.

Wm(1,2,) = Wm(i1,i2,) = 12 1 i1 + 12 2 i2 (1.51)

ou

Wm = 12 L1() i12 + M() i1 i2 +

12 L2() i22 (1.52)



20

donde se conclui que o binrio vale

Mem = 12 i1

2 dL1()

d + i1 i2 dM()

d + 12 i2

2 dL2()

d (1.53) esta expresso uma generalizao da expresso 1.29. As equaes elctricas

so:

u1 = r1 i1 + d1dt (1.54)

u2 = r2 i2 + d2dt (1.55)

introduzindo as equaes 1.50, obtm-se:

u1 = r1 i1 +

L1 di1dt + M

di2dt +

i1 dL1d + i2

dMd

ddt (1.56)

u2 = r2 i2 +

M di1dt + L2

di2dt +

i1 dMd + i2

dL2d

ddt (1.57)

Nestas equaes as primeiras expresses entre parntesis representam as "f.e.m. de

transformao" (que aparecem sempre como no caso dos transformadores), e as

segundas representam as "f.e.m. de velocidade".

As expresses 1.56 e 1.57 podem tomar uma forma mais condensada se se utilizar

a notao matricial. Com efeito, definindo:

I =

i1

i2 L() =

L1() M()

M() L2() U =

u1

u2 (1.58)

e notando que:

Wm = 12 I

T L() I (1.59) Obtm-se

Mem = 12 I

T dL()d

I (1.60)

e

U = R I + L() ddt I + . dLd I (1.61)



21

onde

R I queda de tenso resistiva

L() ddt I f.e.m. de transformao

. dLd I f.e.m. de velocidade

As expresses 1.60 e 1.61 so vlidas tambm para o caso em que existem mais

do que dois circuitos ligados magneticamente. A definio das matrizes ser a

correspondente.

O estudo completo de um sistema com vrios circuitos ligados magneticamente

faz-se com as equaes diferenciais (1.61) e a 2 equao de Newton associada

expresso do binrio.

J d2dt2

= 12 I

T

dL()

d I - Mc (1.62)

Como o binrio depende apenas das correntes e da posio, e no das derivadas

das correntes, pode dizer-se que h desacoplamento entre as equaes (1.61) e a equao

(1.62).

1.7. Aplicao ao caso de circuitos magnticos com manes permanentes.

A expresso 1.53 pode tomar uma forma diferente utilizando as permencias

definindo os coeficientes de induo do seguinte modo:

L1() =n12 P1() L2() =n22 P 2() M() =n1 n2 P M() (1.63) Obtm-se aps substituio:

Mem = 12 n1

2 i12 dP 1()

d + n1 i1 n2 i2 dP M()

d + 12 n2

2 i22 dP 2()

d (1.64)

ou seja



22

Mem = 12 Fm1

2 dP 1()

d + Fm1 Fm2 dP M()

d + 12 Fm2

2 dP 2()

d (1.65) A expresso 1.65 adaptada para o estudo de dispositivos constitudos por um

circuito magntico, um man permanente e um bobina. Designado com o ndice i o man

e com o ndice b a bobina tem-se:

Mem = 12 Fmi

2 dP 1()

d + Fmi nb ib dP M()

d + 12 (nb ib)

2 dP 2()

d (1.66)

O termo Fmi constante e depende do man utilizado.

Classificao dos dispositivos electromecnicos consoante o uso de man permanente

Os dispositivos electromecnicos podem ser de dois tipos, consoante a natureza do

campo de acoplamento: dispositivos de natureza electrosttica, se se basearem no campo

elctrico, e dispositivos de natureza electromagntica se se basearem no campo

magntico.

Nos sistemas de natureza electromagntica frequente a utilizao de manes

permanentes.

No considerando as mquinas rotativas tradicionais, distinguem-se os seguintes 4

casos:

Sistemas relutantes ou de relutncia. No possuem man permanente.

Baseiam-se na variao de relutncia com a coordenada de posio. So caracterizados

por no apresentar termo de binrio devido interaco mtua entre a parte fixa e a

parte mvel.

Sistemas electrodinmicos. So caracterizados por um man e um circuito

ferromagntico fixos com uma (ou vrias) bobinas moveis. Neste caso a fora deve-se

essencialmente interaco mtua entre a parte fixa e a parte mvel.

Mem Fmi nb ib dP M()d (1.67) Sistemas electromagnticos. So caracterizados por um circuito ferromagntico e

uma bobina fixa com um man permanente mvel. O man atravessado pela parte

principal do fluxo criado pela bobina e constitudo por um material de fraca



23

permeabilidade magntica equivalente. A fora devida apenas bobina independente

da posio. A fora total depende da posio do man bem como da posio mtua entre

a bobina e o man.

ddnn

dd

M Mbbmimiem)(

21 )(12 PF

PF += (1.68)

Sistemas relutantes polarizados. Neste caso o termo de fora mtua e o termo de

fora devido bobina tem uma ordem de grandeza comparveis. A expresso do binrio

nestes sistemas semelhante expresso 1.66.

Anexo 1: Expresses matemticas para a energia magntica

Caso geral

A energia magntica pode ser obtida pelo integral de volume da densidade de

energia. Assim obtm-se:

= Bm BdHW 0 . rr (A1.1) e

dVBdHWV

Bm = 0 .

rr (A1.2)

Para a utilizao desta equao necessrio conhecer toda a geometria do

dispositivo que se estiver a estudar e os campos Br

e Hr

em todos os pontos do volume V

onde calculado o integral da expresso A1.2.

Na expresso A1.2, a energia magntica armazenada expressa em termos de

propriedades especficas ou por unidade de volume do campo magntico. Este ponto de

vista o do projectista que pensa em termos de materiais, intensidade de campo,

intensidade de esforos e conceitos semelhantes. Constri ento a forma geomtrica e o

arranjo de qualquer dispositivo especfico a partir do conhecimento que possa fazer com

um volume unitrio dos materiais disponveis.

A energia magntica tambm pode ser escrita em termos de fluxos ligados e das correntes i. Com efeito, tem-se da teoria dos circuitos:

= 0 ),( dii,x)(Wm (A1.3)



24

onde a corrente uma funo da posio x e do fluxo ligado . Daqui resulta que a energia magntica uma funo do fluxo e da coordenada de posio. Basta conhecer

a relao i(,x) e o integral da equao A1.3 para se obter a energia magntica. Na expresso A1.3, a energia expressa em termos do fluxo ligado e indutncias,

conceitos particularmente teis quando a no-linearidade no importante. O ponto de

vista aqui o do analista de circuitos. A teoria do funcionamento da maioria dos

dispositivos de converso electromecnica pode ser desenvolvida supondo que o

dispositivo um elemento do circuito (teoria de circuitos) com indutncia varivel com

a posio. Este ponto de vista d pouca compreenso dos fenmenos internos e no d

qualquer ideia do tamanho fsico.

Uma posio intermdia entre a do projectista e a do analista de circuitos obtida

a partir da equao 1.12 a partir de uma mudana de varivel. Com efeito, como =n,

= 0 id,x)(Wm = 0 nid (A1.4) Como a Fm.m uma funo do fluxo, e a relao entre as vrias grandezas

depende da configurao geomtrica da bobina, do circuito magntico e das

propriedades magnticas do material do ncleo, obtm-se:

dx,x)(W mmm = 0 ),(F (A1.5) Caso do circuito magntico linear.

Devido simplicidade das equaes resultantes, a no-linearidade magntica e as

perdas no ncleo so frequentemente desprezadas na anlise de dispositivos prticos. Os

resultados finais de tais anlises aproximadas podem, se necessrio, ser corrigidos por

mtodos semi-empricos para levar em conta os efeitos dos factores desprezados.

A expresso A1.2 toma agora a forma:

Wm = V dVB2

21 (A1.6)

Admitindo a linearidade do circuito magntico, a relao entre o fluxo e Fm.m. dada pela relutncia R ou pela permencia P, definidas como:



25

R = Fmm

(A1.7)

P = 1R (A1.8)

a energia vem:

Wm = 12 i =

12 Fmm =

12 R 2 (A1.9)

Definindo a auto-indutncia da bobina

L = i =

ni = n

2 P (A1.10)

obtm-se tambm

Wm = 12

2L (A1.11)

Exerccios de Reviso

I Considere a mquina elctrica representada na figura seguinte:

u

i

Determinou-se experimentalmente a indutncia da bobina e obteve-se a expresso:

L() = L0 + L2 cos 2 + L6 cos 6



26

em que L0, L2 e L6 so constantes e a posio do rotor. A - O enrolamento encontra-se alimentado por uma fonte de corrente.

i(t) = I sen t A-1.Determine o modelo matemtico que lhe permita determinar o

comportamento dinmico deste sistema.

A-2.Obtenha uma expresso para a energia magntica armazenada.

A-3.Qual a relao entre a energia magntica armazenada mdia e o binrio de origem electromagntica.

B - O enrolamento encontra-se alimentado por uma fonte de tenso:

u(t) = U sen t B-1.Determine o modelo matemtico que lhe permita determinar o

comportamento dinmico deste sistema.

B-2.Obtenha uma expresso para a energia magntica armazenada.

B-3.Qual a relao entre a energia magntica armazenada mdia e o binrio de

origem electromagntica.

B-4.Em que condies esta mquina poder transformar energia elctrica em

energia mecnica de uma forma contnua no tempo.

B-5.Ser que esta mquina pode funcionar como gerador? Justifique a resposta.

II Para o transdutor magntico de um circuito elctrico mostrado na figura, foi

determinado experimentalmente que:

= i3(1 - a x3) em que a = 104.



27

x f

i

u

Esta representao vlida no intervalo 0 i 3A e 0 x 0,04m. Desprezar os

efeitos da gravidade.

a) Calcule uma expresso da fora f em funo das variveis do sistema.

b) Considerando que a bobina se encontra alimentada com uma fonte de corrente

de amplitude constante e igual a 3A, determine a expresso da fora. Determine se a

fora actua no sentido do aumento ou da diminuio de energia magntica armazenada.

c) Considerando que a bobina se encontra alimentada por uma fonte de tenso

alternada sinusoidal de frequncia igual a 500 Hz e que a resistncia do condutor nula,

determine uma expresso para a fora e se o sentido dessa fora actua no sentido de

diminuio ou aumento de energia magntica mdia armazenada no sistema.

III No dispositivo que se mostra na figura, os campos de disperso nas extremidades

podem ser desprezados. O valor da capacidade pode ser assim determinada e expresso

como:

C = 0 Ad - x

onde A a rea da armadura. Quando se aplicar uma tenso u=0 e uma fora f=0,

o sistema encontra-se em equilbrio em x=0. Despreze qualquer atrito mecnico mas

considere a fora da gravidade.



28

dxf

Ki

u M

a) Determine as equaes dinmicas do dispositivo.

IV Determinou-se experimentalmente que a relao entre o fluxo e a corrente de um

determinado sistema electromecnico depende da posio da sua pea mvel x e da

corrente i pela relao:

=

1000 i

x3+1 2/3

A bobina tem uma resistncia de r ohm.

a) Obtenha uma expresso para a fora mecnica de origem elctrica.

b) Escreve as equaes do movimento do sistema.

V Um determinado sistema elctrico tem uma relao entre as cargas e os potenciais

dada por:

q(u, x) = qm (1-e-xu)

onde e qm so constantes e u a tenso entre as armaduras do condensador. O ponto de equilbrio do sistema x = x0.

Obtenha as equaes dinmicas deste sistema.



29

VI Um determinado sistema magntico com dois pares de terminais elctricos (u1, i1)

e (u2, i2) e um grau de liberdade mecnico (f, x) definido pela seguinte relao entre as

tenses e as correntes:

u1 = 2 a i1 di1dt +

ddt (b(x) i2)

u2 = ddt (b(x) i1) + 2 c i2

di2dt

em que a e c so duas constantes reais positivas e b(x) independente de qualquer

corrente e unvoca para cada x.

a) Ser a co-energia magntica uma funo de estado de i1, i2 e x? Determine esta

co-energia.

b) Ser que a energia magntica armazenada igual co-energia?

c) Obtenha uma expresso para a fora em termos das variveis i1, i2 e x.

Cap. 2 Sistemas Electromagnticos


31

Captulo 2

Sensores e Actuadores Electromecnicos

Neste captulo faz-se uma abordagem ligeira dos sensores e actuadores

electromecnicos de vrios tipos. A classificao que se adoptou encontra-se

generalizada em alguns livros da especialidade. Os sistemas onde os fenmenos de

converso de energia so essencialmente de origem magntica so classificados de

acordo com a presena ou no de um ou vrios manes permanentes e da sua

localizao. A matria que se encontra tratada neste captulo pode ser considerada como

aplicaes da teoria descrita no primeiro captulo.

2.1 - Sistemas de relutncia

Modelo Matemtico

Por definio, um sistema de relutncia no comporta nenhum man permanente

sendo o seu binrio (ou fora) caracterizado por componentes resultantes da variao da

indutncia prpria das bobinas. Assim, existir obrigatoriamente uma variao dos

circuitos magnticos associados a estas indutncias. No caso do circuito magntico

linear com apenas uma bobina, temos para as equaes do binrio e das tenses:

ddLi Mem 2

1 2= (2.1)



32

dtd

ddL i

dtdi L ri u ++= (2.2)

Propriedades gerais dos sistemas relutantes

Da equao 2.1 pode concluir-se:

O binrio proporcional ao quadrado da corrente. O sentido do binrio

independente do sentido da corrente que atravessa a bobina. O sistema no linear na

converso electromecnica e no apropriado para a transmisso de informao

analgica. Para a anlise destes sistemas no vlido o princpio da sobreposio.

Para obter um binrio significativo, a variao da indutncia prpria dever ser a

maior possvel. Esta variao faz-se custa de circuitos magnticos cuja relutncia varia

com a posio da pea mvel.

A grande variao de relutncia magntica que se referiu no ponto atrs

traduz-se por fortes variaes de fluxo. vulgar o aparecimento de uma saturao

importante em certas zonas do circuito magntico. Assim, estes sistemas so difceis de

estudar apesar de serem de concepo simples.

Exemplos

Exemplo 1: Electromans

Um Electroman um componente de um sistema mais complexo como por

exemplo, um rel, um contactor, uma electrovlvula, etc.

Como se viu num dos exemplos do captulo anterior, a fora num sistema de

relutncia sempre uma fora de atraco. Um electroman pode ser constitudo apenas

pelo sistema de atraco ou tambm pelo sistema ferromagntico que se desloca

(atrado). No primeiro caso dizem-se electromans abertos.

Os electromans podem ser classificados consoante a sua geometria, do seguinte

modo:



33

A - Ncleo em forma de U

Podem tomar vrias formas. So 4 as mais frequentes (fig. 2.1):

Armadura plana

Armadura de fecho

Armadura penetrante

Armadura girante

a) armadura plana b) Armadura de fecho

c) armadura penetrante d) Armadura girante

Fig. 2.1. Electromans em forma de U.

B - Electromans em forma de E

So 4 os mais frequentes (Fig. 2.2):

Armadura plana Ncleo de fecho

Armadura penetrante Armadura girante

Fig. 2.2. Electroman em forma de E de armadura plana.



34

Esta construo geomtrica conduz a uma melhor proteco mecnica e magntica

da bobina. Pode ser realizada com ncleo magntico folheado.

C - Electromans cilndricos

Podem ser construdos de duas formas:

Armadura plana (Fig. 2.3)

Ncleo penetrante

Fig. 2.3. Electroman cilndrico de armadura plana.

Neste caso ptima a proteco da bobina, tanto do ponto de vista mecnico

como magntico. possvel um funcionamento com corrente alternada recorrendo a

materiais ferromagnticos de baixa condutividade.

D. Electromans de duplo efeito e reversveis.

Trata-se da duplicao de um electroman simples. O sistema composto de duas

bobinas. Numa estrutura de duplo efeito necessrio assegurar uma posio mdia

atravs de uma mola ou de outro processo exterior. A excitao de uma das bobinas

provoca um deslocamento com um determinado sentido. A excitao da outra bobina

provoca um deslocamento no sentido contrrio. Em caso de corrente nula a mola

mantm a pea mvel numa determinada posio.

Nas estruturas reversveis, o electroman compreende duas posies extremas

correspondente alimentao de uma ou outra bobina. No h aqui o ponto mdio

estvel como acontece na estrutura de duplo efeito.

Fig. 2.4. Electroman reversvel.



35

Influncia da forma do circuito magntico

A forma de circuito magntico de um dispositivo relutante fundamental na

caracterstica de fora em funo da posio. O objectivo realizar um dispositivo com

caracterstica adaptada aplicao em causa. Para isso recorre-se frequentemente

saturao magntica de determinadas zonas do circuito magntico. As peas so

projectadas de modo que as zonas que se querem saturadas tenham uma menor seco.

Assim obtm-se caractersticas de fora ou binrio em funo da posio diferentes das

consideradas no exemplo do captulo anterior onde no se considerou a saturao. Neste

caso o andamento da fora segue uma lei prxima de:

f()= k(+a)2 (2.3)

Onde k e a so duas constantes.

Exemplo 2: Rels

Um rel constitudo por um electroman que actua associado a uma mola. A

bobina ao ser percorrida por corrente elctrica faz deslocar uma pea mvel e assim

fecha ou abre contactos elctricos. Tem-se assim um sistema de interruptores que

fecham ou abrem consoante existe corrente ou no numa bobina. Este dispositivo

continua a ser muito utilizado em automatismos industriais.

Exemplo 3: Contactores

Um contactor tem o mesmo princpio de funcionamento que um rel mas assegura

nos seus contactos o fecho ou corte de correntes e tenses mais importantes. O elemento

motor um electroman normalmente de armadura penetrante em E. A bobina pode ser

alimentada em corrente alternada ou em corrente contnua. frequente o utilizador

poder escolher vrias gamas de tenso a utilizar para os dois tipos de corrente (AC e

DC).

Alm dos contactos principais que devero ser realizados de forma a cortar

correntes elevadas (e indutivas), o contactor dispe de um ou mais contactos auxiliares

que podero ser utilizados na concepo do sistema de comando da instalao. O

contactor o sistema mais usado para ligar os motores de induo rede de energia.



36

Pea fixaPea mvel

Mola

Bobina

13

14

1 3 5

2 4 6

A

B

a) Esquema b) Smbolo

Fig. 2.5. Contactor.

Exemplo 4: Electrovlvulas

A figura 2.6 representa um exemplo de electrovlvula munida de um electroman

de relutncia varivel. do tipo cilndrico de ncleo penetrante. A posio de repouso

(sem corrente na bobina) corresponde ao mbolo na posio de fecho. A excitao da

bobina provoca o movimento do ncleo e a correspondente deslocao do mbolo faz

abrir o circuito hidrulico.

a) fechada b) aberta

Fig.2.6. Electrovlvula.

Exemplo 5: Motor oscilante relutante

A figura 2.7 representa um motor oscilante de movimento angular. A posio de

equilbrio sem corrente definida por um sistema de molas.



37

Fig.2.7. Motor oscilante.

A excitao da bobina provoca a centragem da armadura mvel. Para que o

sistema arranque necessrio que a frequncia prpria mecnica do sistema de massa e

molas seja o dobro da frequncia de excitao.

Exemplo 6: Motores passo-a-passo

O motor relutante que se mostra na figura 2.8 trifsico. A alimentao de uma

fase (A por exemplo) provoca um alinhamento dos dentes estatricos e rotricos como

se mostra na mesma figura. A alimentao consecutiva da fase B e consequente corte da

fase A provoca um movimento do rotor at que os dentes estejam de novo alinhados

com a fase B. Obtm-se assim uma rotao de 1/12 de volta. A ordem de alimentao

ABC assegura uma rotao no sentido directo enquanto que a ordem ACB provoca um

sentido de rotao inverso.

A

A'

C' B'

B C

Fig. 2.8. Motor passo-a-passo de relutncia.



38

Anlise de um motor de relutncia rotativo, alimentado em corrente alternada

A - Clculo do binrio a partir da relutncia

Considere-se o motor rotativo desenhado na figura 2.9. Para calcular o binrio

electromagntico Mem exercido sobre o "rotor" pode utilizar-se a equao 1.28. Para

isso necessrio estudar como que a relutncia do circuito magntico varia em funo

do ngulo : claro que a relutncia do entreferro preponderante. Esta relutncia varia fortemente com :

Rd Rqd

qq

dd

q

a) b) c)

Fig. 2.9. Mquina de relutncia. Esta figura mostra apenas a parte do circuito magntico no estando representada a bobina de excitao.

a) Se = 0 ou = 180, isto , logo que o rotor esteja alinhado segundo o eixo d (fig. 2.9) a relutncia mnima (pois o comprimento do caminho do fluxo no ar

mnimo). Chamemo-lhe Rd sem a calcular:

Rd = Rmin

b) Quando = 90 ou = 270, isto o rotor encontra-se alinhado segundo o eixo q perpendicular a d, a relutncia mxima (fig. 1.9c). Chamemo-lhe Rq:

Rq = Rmax

c) Para valores intermdios de , a relutncia toma valores intermdios entre Rd e Rq. Depende da geometria do rotor e da distribuio do fluxo no ar.

O andamento destas variaes em funo de est representado na figura 2.10.



39

0 90 180 270 360

Posio [graus]

Relu

tnc

ia

Rd

Rq

Fig. 2.10. Variao de relutncia segundo .

Tendo em conta que a relutncia toma o mesmo valor em cada meia volta,

conclui-se que R () uma funo peridica do ngulo 2. A lei matemtica aproximada que normalmente se adopta, resulta de um desenvolvimento em srie de

Fourier limitado a dois termos. Esta lei encontra-se representada na figura 2.10. Para o

estudo analtico, vai admitir-se algum erro e considerar a expresso 2.4 como a lei

aproximada.

R () = 2

qd RR + + 2

qd RR cos2 (2.4)

Aplicando a expresso 1.28 tem-se para o binrio:

Mem = 12 2 (Rd-Rq) sen(2) (2.5)

B - Sistema de relutncia alimentado por uma fonte de tenso alternada sinusoidal

Suponhamos que a tenso aos terminais da bobina sinusoidal e de frequncia

angular = 2 f. u= 2 U cos(t) (2.6)

Se se desprezar a resistncia, o fluxo vem:

= udtN1 = 2 sen(t) onde = UN (2.7) Substituindo na expresso do binrio tem-se:



40

Mem = 12 2 (Rd-Rq) sen(2) = 2 (Rd-Rq) sen(2) sen2(t) (2.8)

Suponhamos que o rotor roda a uma velocidade constante. Temos

ddt = m (2.9)

ou

= m t - m (2.10) Utilizando as expresses

sen2 t = 1 - cos(2t)2

sen a cos b = 12 [sen (a+b) + sen (a-b)]

obtm-se:

( )( )

( )[ ]( )[ ]

+

=

mm

mm

m

qdem

tsen

tsen

tsen

M

2221

2221

22

21 2 RR (2.11)

Se e m forem valores quaisquer, as 4 parcelas tm valores mdios nulos. Se m = , um dos dois ltimos termos torna-se igual a +(1/2) sen (2m) e os outros tm valor mdio nulo.

O valor mdio do binrio ento:

( ) ( )mqdemavM 2sen41 2 RR = (2.12)

Para que o dispositivo produza binrio de valor mdio no nulo, necessrio que

o rotor gire a uma velocidade angular igual pulsao da fonte.

m = Nr = 60 f [rpm] (2.13) Esta condio representa a condio de sincronismo e Nr a chamada

"velocidade sncrona". Assim, o motor de relutncia pode desenvolver um binrio mdio

no nulo apenas para duas velocidades de rotao m= e m=-. No tem a



41

capacidade de arrancar autonomamente. Se for posto em movimento por um meio

auxiliar, continua a rodar tomando uma decalagem (m) correspondente ao binrio resistente Mc. Se se aumentar progressivamente o binrio de carga, o rotor aumenta a

sua decalagem (m) no sentido negativo at se atingir o ponto:

4,45 2 dq

RR (2.14)

onde o motor dessincroniza.

Note-se que o binrio mdio proporcional ao quadrado da tenso aplicada

bobina. tambm proporcional diferena entre a relutncia segundo o eixo q e a

relutncia segundo o eixo d.

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-90 -45 0 45 90

ngulo [graus]

Bin

rio

( )qd RR 241

Fig. 2.11. Relao entre o binrio mdio e o ngulo de decalagem.

C - Clculo do binrio a partir da indutncia

O motor de relutncia pode ser estudado, utilizando a indutncia L() e aplicando a relao 2.1.

Com efeito, a indutncia varia, priori, segundo uma lei peridica de ngulo 2 entre um valor Ld representando o mximo (para = 180, 0 etc.) e um valor Lq representando o mnimo (para = 90, 270).

Pode considerar-se que a indutncia varia segundo uma lei sinusoidal da mesma

forma que a relutncia. Na figura 2.12, representa-se a lei aproximada.



42

0 90 180 270 360

Posio [graus]

Indutncia

Ld

Lq

Fig. 2.12. Variaes da indutncia em funo de . ou seja:

2cos22

qdqd LL LL

) L(++= (2.15)

A partir da equao 2.1. obtm-se:

2sen)(21 2

qdem -LL i-M =

Alimentao com corrente contnua

Quando a mquina se encontrar alimentada com uma fonte de corrente contnua

constante, o binrio tende a alinhar o rotor com o estator. Com efeito, quando houver

uma pequena variao da posio em torno do ponto de alinhamento (=0), tem-se: >0 em



43

i(t) = 2 I cos(t) (2.16) deduz-se que o binrio instantneo exercido sobre o rotor vale:

Mem = - 12 i

2 (Ld-Lq) sen(2) = - I2 (Ld-Lq) sen(2) cos2(t) (2.17) Atendendo semelhana formal com a equao 2.8 pode afirmar-se que este

binrio oscilatrio e que o seu valor mdio, velocidade de sincronismo, vale:

Memav = I2

Ld-Lq4 sen(2m) (2.18)

Em funo do ngulo m, o binrio mdio varia segundo uma lei semelhante ao caso anterior.

2.2. Sistemas Electrodinmicos

Generalidades.

Por definio um sistema electrodinmico caracterizado por um circuito

ferromagntico composto por um man permanente fixo e uma bobina mvel. O binrio

(ou a fora) resulta da variao da permencia mtua entre o man e a bobina. Os

binrios resultantes das variaes das indutncias prprias associados bobina e ao

man ou so nulos ou de valor desprezvel.

Equaes.

Para o caso mais frequente que composto apenas por uma bobina e por um man,

tem-se para a equao dos binrios:

Mem = dPM

d Fmi nb ib (2.19)

onde

P M - Permencia mtua entre o man e a bobina

Fmi , nb ib, - Foras magnetomotrizes associadas ao man (i) e bobina (b)



44

Para a equao das tenses, tem-se

miMbbbbbb Fdqd n

dtdi L i r u &P++= (2.20)

Propriedades gerais.

Um sistema electrodinmico caracterizado pelas propriedades principais:

1. O binrio (ou fora) proporcional corrente da bobina. Este conversor linear na

converso electromecnica: presta-se assim a funes de medida, de regulao ou de

transformao analgica.

2. A indutncia prpria da bobina deve variar o menos possvel em funo da posio

desta. Se isto no acontecer aparece uma no linearidade na caracterstica

fora-corrente ou binrio-corrente.

3. A zona do entreferro caracterizada por uma induo uniforme.

4. Os sistemas electrodinmicos so caracterizados por inrcias muito baixas. Como

consequncia, a constante de tempo mecnica tambm ser baixa.

5. Sendo o binrio (ou a fora) proporcional corrente, uma inverso de sentido desta

provocar uma inverso do sentido da fora. Isto presta-se a movimentos

oscilatrios de vai e vem. O principal inconveniente para realizar este movimento

oscilatrio encontra-se na alimentao da bobina mvel. Para um movimento

contnuo de rotao ou translao, indispensvel um recurso a escovas.

Exemplo 7: Altifalante.

Princpio e caractersticas

O altifalante um sistema que assegura uma converso de energia elctrica em

energia acstica. O accionador do dispositivo assegura uma converso mecnica

acstica. A figura 2.13 descreve o princpio de um altifalante electromecnico. O

transdutor electromecnico provoca um movimento de vai e vem na membrana que se

traduzir em sinal sonoro.



45

O Transdutor do altifalante

O transdutor electromecnico mais vulgar do tipo electrodinmico. Tambm

poder ser do tipo electromagntico ou electrosttico.

O transdutor electrodinmico compreende um man e um circuito magntico em

forma de pote. Podem ser utilizadas variantes diferentes.

A bobina axial concntrica com o ncleo central. colocada num campo de

induo magntica criado pelo man. A alimentao da bobina em corrente alternada

permite gerar um movimento oscilatrio da mesma frequncia, o que vai produzir um

som atravs da membrana. A amplitude do som tem a ver com a amplitude da corrente

na bobina e com a resposta mecnica de todo o sistema (membrana + bobina).

NS

man permanente

circuito magntico

bobina

membrana

Fig. 2.13. Circuito magntico do altifalante.

Exemplo 8: Aparelhos de medida de quadro mvel

So numerosos os dispositivos de medida analgicos baseados no princpio do

aparelho de quadro mvel. Este composto por um man permanente e de um ncleo

ferromagntico fixos. No entreferro duplo disposta uma bobina. A interaco entre o

campo no entreferro e a corrente na bobina provoca um binrio proporcional

intensidade da corrente da bobina. A parte mvel enc

Dinamica_2002 Das Maq Elétricas

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