DISTRIBUIES DE PROBABILIDADES

de varivel discreta

BERNOULLI E BINOMIAL

Modelos de Probabilidades

Esc. Secundria de Viriato - Teresa Dias

Varivel aleatria

Discreta: assume um nmero finito ou infinito numervel

de valores

Introduo

Contnua: assume todos os valores de um intervalo de

nmeros reais

Vamos trabalhar com distribuies de probabilidade de variveis aleatrias

discretas: Distribuio Binomial

PopulaoVarivel discreta/contnua

Amostra

Distribuio de frequncias

Estatsticas:

Mdia

Desvio padro (amostral)

Distribuio de probabilidades

Parmetros:

Valor mdio

Desvio padro

Geralmente, estuda-se uma amostra e os resultados obtidos permitem induzir

concluses para a populao

Modelos de Probabilidades

Esc. Secundria de Viriato - Teresa Dias

Distribuio De Bernoulli

Sempre que uma experincia aleatria s tem dois resultados possveis, esta

pode ser descrita por uma distribuio de Bernoulli

Considere-se uma experincia aleatria X na qual se observa a realizao ou

no realizao de determinado acontecimento A, de probabilidade P(A) = p.

A realizao de A diz-se um sucesso;

A no realizao de A diz-se um insucesso e P( ) = 1 p

A varivel aleatria discreta X toma os valores:

X = 1 Acontecimento A ocorre Sucesso

Acontecimento A no ocorre InsucessoX = 0

Modelos de Probabilidades

Esc. Secundria de Viriato - Teresa Dias

Exemplos:

uma pea classificada como boa ou defeituosa;

o resultado de um exame mdico para deteco de uma doena positivo

ou negativo;

no lanamento de um dado ocorre ou no a face 5.

= 1Xp + 0X(1 - p) = p

Valor mdio de X: = p

De facto,

Desvio padro de X:

De facto,

Modelos de Probabilidades

Esc. Secundria de Viriato - Teresa Dias

Distribuio Binomial

A varivel aleatria X, que representa o nmero de sucessos nas n provas,

tem uma distribuio Binomial com parmetros n e p, e escreve-se

simbolicamente X ~ B(n; p).

A distribuio binomial aparece associada ao seguinte tipo de problema:

Determinar a probabilidade de, em n provas de Bernoulli, serem

obtidos k sucessos (correspondendo realizao de um certo

acontecimento A de probabilidade p) e portanto n k insucessos(no realizao de A).

Esta experincia aleatria tem as seguintes caractersticas:

constituda por n provas idnticas;

O resultado de cada prova (observao) independente dos resultadosobtidos anteriormente;

Em cada prova da experincia apenas so possveis dois resultados: osucesso A ou o insucesso

A probabilidade p do sucesso A no varia de uma prova para a outra

Modelos de Probabilidades

Esc. Secundria de Viriato - Teresa Dias

Exemplo 1: Considere-se a experincia aleatria que consiste no lanamento

de um dado equilibrado, com as faces numerados de 1 a 6, trs vezes. Seja X o

nmero de vezes que ocorre a face 5 nos trs lanamentos.

Acontecimento A: Sair face 5

Sucesso: Ocorre o acontecimento A

Insucesso: Ocorre o acontecimento contrrio de A

: no sair face 5

Assim,

A varivel aleatria X pode tomar os valores: 0, 1, 2, 3

Modelos de Probabilidades

Esc. Secundria de Viriato - Teresa Dias

P(X = 0)

significa determinar a probabilidade de ocorrer um sucesso

e dois insucessos

Significa determinar a probabilidade de na 1 prova ocorrer

insucesso, na 2 prova ocorrer insucesso e na 3 prova

ocorrer insucesso,

P(X = 1)

P(X = 0) = =

P(X = 1) =

significa determinar a probabilidade de ocorrer dois

sucessos e um insucesso

P(X = 2)

P(X = 2) =

Modelos de Probabilidades

Esc. Secundria de Viriato - Teresa Dias

P(X = 3) =

A distribuio de probabilidade da varivel X :

xi 0 1 2 3

P(X= xi)

A varivel X tem uma distribuio binomial de parmetros n = 3 e p =

e representa-se por

significa determinar a probabilidade de ocorrer trs

sucessos

P(X = 3)

Modelos de Probabilidades

Esc. Secundria de Viriato - Teresa Dias

Exemplo 2:

A Sara e a Catarina gostam muito de jogar xadrez e decidiram fazer, no

prximo fim de semana, um campeonato de 4 jogos. Sabendo que a Sara

ganhar 40% dos jogos e que a varivel aleatria X corresponde ao nmero de

jogos que a sara vence:

Modelos de Probabilidades

Esc. Secundria de Viriato - Teresa Dias

P(X = 1) = 4x0,4x0,6x0,6x0,6 0,3456

a) Defina a distribuio de probabilidades de X.

P(X = 0) = 0,6x0,6x0,6x0,6 0,1296

P(X = 2) = 6x0,4x0,4x0,6x0,6 0,3456

P(X = 3) = 4x0,4x0,4x0,4x0,6 0,1536

P(X = 4) = 0,4x0,4x0,4x0,4 0,0256

A distribuio de probabilidade da varivel X :

xi 0 1 2 3 4

P(X= xi) 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256

STAT/EDIT

L1: valores da varivel X

L2: binompdf (nde provas, probabilidade de obter sucesso, n de sucessos)

Modelos de Probabilidades

Esc. Secundria de Viriato - Teresa Dias

P(X = 0) = binompdf(4,0.4,0) 0,1296

Resoluo com a Calculadora grfica:

Determinar P(X = k)

DISTR (2nd/vars)

A: binompdf (nde provas, probabilidade de obter sucesso, n de sucessos)

P(X = 1) = binompdf(4,0.4,1) 0,3456

P(X = 2) = binompdf(4,0.4,2) 0,3456

P(X = 3) = binompdf(4,0.4,3) 0,1536

P(X = 4) = binompdf(4,0.4,4) 0,0256

Resoluo com a Tabela:

B(4, 0.4)

Modelos de Probabilidades

Esc. Secundria de Viriato - Teresa Dias

P(X = 0) = 0,1296

n = 4 p = 0.4

P(X = 1) = 0,3456

P(X = 2) = 0,3456

P(X = 3) = 0,1536

P(X = 4) = 0,0256

Resoluo com a Calculadora grfica:

Determinar P(X k)

DISTR (2nd/vars)

B: binomcdf (nde provas, probabilidade de obter sucesso, n de sucessos)

Modelos de Probabilidades

Esc. Secundria de Viriato - Teresa Dias

b) Qual a probabilidade de a Sara ganhar menos de 3 jogos?

P(X 2) = P(X = 0) + P(x = 1) + P(X = 2)

= 0,1296 + 0,3456 + 0,3456 = 0,8208

P(X 2) = Binomcdf(4, 0.4, 2) 0,8208

VALOR MDIO E DESVIO-PADRO DA DISTRIBUIO BINOMIAL

Modelos de Probabilidades

Esc. Secundria de Viriato - Teresa Dias

Valor mdio: = n.p

Desvio-padro:

Exemplo 3:

O sistema de segurana da casa do Sr. Santar possui 3 alarmes, todos com a

mesma probabilidade de funcionar de 0,8.

a) Qual o nmero mdio de alarmes que devero funcionar no caso da casa ser

assaltada?

= 3x0,8 = 2,4 alarmes

b) Qual o desvio-padro da distribuio dos alarmes?

0,7 alarmes