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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Dr. Frederico de Oliveira Matias

Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL fred@mat.ufpb.br

Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br

Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br Site do curso www.mat.ufpb.br/ead

Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257

Carga horária: 60 horas Créditos: 04

Ementa

Limites, Continuidade e Derivadas.

Descrição

Esta disciplina consiste em uma apresentação seqüencial de conceitos, propriedades, resultados derivados e aplicações, integrantes de um estudo que envolve os conteúdos de Limites, Continuidade e Derivadas. Para que os aprendentes passem a dominar estes assuntos, partiremos de princípio que os mesmos tenham cursado a disciplina Matemática para o Ensino Básico II onde foram apresentados aos conteúdos das funções: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais. O estudante deve desenvolver sua capacidade de leitura, escrita e discussão dentro de um ambiente interativo, trabalhando em grupo e utilizando como ferramenta a plataforma Moodle.

Objetivos

Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado para:

Compreender, aplicar o conceito de limites e dominar suas principais propriedades;

Compreender, aplicar o conceito de continuidade e dominar suas principais propriedades;

Compreender, aplicar o conceito de derivada de uma função real e dominar suas principais propriedades;

Construir modelos para resolver problemas envolvendo funções de uma variável real e suas derivadas;

Ler, interpretar e comunicar idéias matemáticas.

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Unidades Temáticas Integradas

Unidade I Limites

• Noção Intuitiva • Definição • Propriedades dos Limites • Limites Laterais • Cálculo de Limites • Limites no Infinito • Limites Infinitos • Propriedades dos Limites Infinitos • Limites Fundamentais

Unidade II Continuidade

• Continuidade em um ponto • Teste de Continuidade • Propriedades de Funções Contínuas • Composta de Funções Contínuas • Teorema do Valor Intermediário:

Unidade III Derivada

• A Derivada de uma Função num Ponto • A Reta Tangente • Continuidade de Funções Deriváveis • Derivadas Laterais • Regras de Derivação • Derivada das Funções Elementares do Cálculo • Regras de L’Hospital • Derivação de Função Composta • Derivada da Função Inversa • A Derivada de uma Função na Forma Implícita

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Unidade I Limites

1. Situando a Temática

O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:

Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais

Para entender os três últimos conceitos da lista acima, a Teoria de Limites é fundamental. Além disso, para compreender esta teoria será preciso que você tenha domínio sobre o conteúdo de Funções que são regras bem definidas que associam a cada elemento de um conjunto de partida, denominado Domínio, um único elemento em um conjunto de chegada, denominado Contra-Domínio. Mais precisamente,

:f A B→ é função x , ! ( )A y f x B⇔ ∀ ∈ ∃ = ∈ .

Os conjuntos e A B representam respectivamente o Domínio e o Contra-Domínio da função f . O elemento ( )f x denomina-se a imagem do elemento x pela função f .

Na disciplina Matemática para o Ensino Básico II você foi apresentado aos conteúdos das funções: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais, as quais serão úteis para o estudo do conteúdo de limites.

O objetivo desta unidade é dar uma definição de LIMITE de uma maneira intuitiva e também de uma maneira convencional. Vamos apresentar propriedades e teoremas referentes a limites de funções. Tais resultados (propriedades e teoremas) serão apresentados, na sua maioria, sem demonstrações, através de alguns exemplos ou exercícios ilustrativos mas, se você tiver interesse em estudá-los poderá encontrá-los nas referências bibliográficas. Uma justificativa para a omissão das demonstrações é tornar o texto conciso.

Este texto complementa-se na plataforma MOODLE, onde estão as listas de exercícios e atividades relacionadas com o texto. Os exercícios são parte fundamental da disciplina, uma vez que vamos adotar uma metodologia apoiada na resolução de exercícios.

2. Problematizando a Temática

Limite na vida prática

Observamos algumas situações, nas quais estão presentes as idéias intuitivas de limite:

1. Se o câmbio do dólar americano tende a estabilizar em torno de R$ 1,73, então o valor pago por 100 dólares estabiliza em torno de R$ 173,00. Logo, podemos falar que o limite (valor pago por 100 dólares) é igual a R$ 173,00, quando o valor pago por 1 dólar tende a R$ 1,73 . Podemos representar tal situação por:

1,73 173lim100

xx

=→

2. Imagine uma placa metálica quadrada que se expande uniformemente por estar sendo aquecida. Se x representa o comprimento do lado, a área da placa é dada por 2( )A x x= . Evidentemente, quando x se aproxima de 3 , a área da placa A se aproxima de 9 . Expressamos essa situação simbolicamente por

2 9lim3x

x=

→

3. Suponhamos agora que você esteja dirigindo um automóvel. Se o acelerador for calcado para baixo em torno de 2 cm, então a velocidade se manterá próximo aos 60 Km/h. Logo, podemos dizer que o limite

130

(velocidade instantânea do automóvel) é igual a 60 Km/h, quando o acelerador tender a 2 cm para baixo. Matematicamente escrevemos tal situação por

( ) 60lim2v x

x=

→,

onde ( )v x é a velocidade instantânea do automóvel e x é a medida em centímetros do deslocamento do pedal do acelerador.

4. Outra aplicação interessante do limite de uma função é o cálculo da velocidade instantânea de um corpo em queda livre sob a ação da gravidade.

O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes:

• Noção Intuitiva • Definição • Propriedades dos Limites • Limites Laterais • Cálculo de Limites • Limites no Infinito • Limites Infinitos • Propriedades dos Limites Infinitos • Limites Fundamentais

3. Conhecendo a Temática

3.1 Limites

3.1.1 Noção Intuitiva

Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias,

consideremos a função :f ℝ \ {1}→ℝ definida por:

2 1 ( 1)( 1)( ) 11 1

x x xf x xx x− − +

= = = +− −

Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto 1x = , ponto este que não pertence ao domínio de f , constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor 2L = , quando os valores de x se aproximam de 1x = , tanto por valores de 1x < (à esquerda de 1) como por valores 1x > (à direita de 1).

Do ponto de vista numérico, a tabela abaixo mostra o comportamento da função f , para valores x à esquerda e à direita de 1x = .

TABELA Pela esquerda de 1x = Pela direita de 1x =

x 0 0,5

0,9

0,99 0,999 1 x 2 1,5 1,2

1,1 1,01 1,001

1

)(xf

1 1,5

1,8

1,9

1,99 1,999 2 ( )f x

3 2,5 2,2

2,1

2,01 2,001

2

Neste caso, dizemos 2L = é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por:

131

1( ) 2lim

xf x

→=

3.1.2 Definição Informal de Limite

Seja ( )f x definida em um intervalo aberto em torno de x0 exceto talvez em x0. Se ( )f x fica arbitrariamente próximo de L , para todos os valores de x suficientemente próximos de x0, dizemos que f tem limite L quando x tende a x0 e escrevemos

0

( )limx x

f x L→

=

Essa definição é “informal” porque as expressões “arbitrariamente próximo” e “suficientemente próximos” são imprecisas; seu significado depende do contexto. Para um metalúrgico que fabrica um pistão, próximo pode significar alguns milésimos de centímetro. Para um astrônomo que estuda galáxias distantes, próximo pode significar alguns milhares de anos-luz. Entretanto, a definição é suficientemente clara para permitir o reconhecimento e a avaliação dos limites de várias funções específicas. Exemplo 1: O Valor do Limite Não Depende do Modo como a Função é Definida em 0x Com efeito, consideremos as seguintes funções:

a) 2 1( ) , 1

1xf x xx−

= ≠−

b)

2 1 , 1g(x) 1

1, 1

x xx

x

⎧ −≠⎪= −⎨

⎪ =⎩

c) ( ) 1h x x= + Note que ( ) ( ) ( ) 2

1 1 1lim lim limf x g x h xx x x

= = =→ → →

sem que exista (1)f , com (1) 1 2g = ≠ e (1) 2h = (Veja

Figura 1).

Figura 1: Funções do Exemplo 1.

Exemplo 2: Os Limites Podem Não Existir De fato: discutamos o comportamento quando 0x → das seguintes funções:

(a) A função de salto unitário definida por 0, 0

( ) 1, 0

xU x

x<⎧

= ⎨ ≥⎩

(b) A função 1 , 0

( )0, 0

xg x x

x

⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

132

(c) A função 0, 0

( ) 1 , 0

xf x

sen xx

≤⎧⎪= ⎨ ⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

Soluções: (a) A função de salto unitário ( )U x não tem limite quando 0x → porque seus valores “saltam” em

0x = . Para valores negativos de x arbitrariamente próximos de zero, ( ) 0U x = . Para valores positivos de x , arbitrariamente próximos de zero, ( ) 1U x = . Não há um único valor de L do qual ( )U x se aproxime quando 0x → (Figura 2 (a)). (b) A função cresce demais para ter um limite: ( )g x não tem um valor limite quando 0x → porque g cresce arbitrariamente em valor absoluto quando 0x → e não se mantém próximo de nenhum valor real (Figura 2 (b)). (c) A função oscila demais para ter um limite: ( )f x não tem limite quando 0x → porque os valores da função oscilam entre 1 e 1− em cada intervalo aberto que contém 0 . Os valores não se mantêm próximos de nenhum número quando 0x → (Figura 2 (c)).

Figura 2: Funções do Exemplo 2. 3.1.3 Definição Formal de Limite Definição: Seja ( )f x uma definida em um intervalo aberto em torno de 0x ,

exceto possivelmente em 0x . Dizemos que ( )f x tem limite L quando

0x x→ e escrevemos

0

( )lim f x Lx x

=→

,

se, para cada número 0ε > , existir um número correspondente 0δ > tal que para todos os valores de x,

00 ( )x x f x Lδ ε< − < ⇒ − < .

Graficamente temos: Exemplo: Testando a Definição Mostre que ( 1) 2lim

1x

x+ =

→

Solução: sejam 0 1x = , ( ) 1f x x= + e 2L = na definição de limite. Para qualquer 0ε > , precisamos encontrar um 0δ > adequado ( ( )δ δ ε= , isto é, o número real δ depende do número real ε fornecido), tal que se 1x ≠ e x está a uma distância menor do que δ de 0 1x = , ou seja, se 0 1x δ< − < , então ( )f x está a

uma distância menor do que ε de 2L = , isto é, ( ) 2f x ε− < .

Encontraremos δ ao resolvermos a inequação:

133

1 2 1x x ε+ − = + < .Daí, basta escolher δ ε= e verifica-se que ( 1) 21

lim xx

+ =→

.

3.1.4 Propriedades dos Limites

Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas.

Teorema 3.1: Unicidade do Limite: O limite de uma função, quando existe, é único, isto é, Se

0

( )lim f x Lx x

=→

e 0

( )lim f x Mx x

=→

, então L M=

Teorema 3.2: Se 0, ,L M x e k são números reais e

0

( )lim f x Lx x

=→

e 0

( )lim g x Mx x

=→

então: 1. Regra da Soma: O limite da soma de duas funções é a soma de seus limites, isto é,

( )0

( ) ( )lim f x g x L Mx x

+ = +→

2. Regra da Diferença: O limite da diferença de duas funções é a diferença de seus limites, isto é, ( )

0

( ) ( )lim f x g x L Mx x

− = −→

3. Regra do Produto: O limite do produto de duas funções é o produto de seus limites, isto é, ( )

0

( ) ( )lim f x g x L Mx x

⋅ = ⋅→

4. Regra da Multiplicação por Constante: O limite de uma constante multiplicada pela função é a constante multiplicada pelo limite da função, isto é,

( )0

( )lim k f x k Lx x

⋅ = ⋅→

Em particular,

0

lim k kx x

=→

5. Regra do Quociente: O limite do quociente de duas funções é o quociente de seus limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero, isto é,

0

( ) . , M 0( )lim f x L

g x Mx x= ≠

→

6. Regra da Potenciação: O limite de uma potência racional de uma função é a potência do limite da função, desde que a última seja um número real, isto é, Se r e s são números inteiros e 0s ≠ , então ( )

0

( )lim r s r sf x Lx x

=→

desde que r sL seja um número real.

Exemplo: Usando as Regras do Limite, calcule

22 3 3

5

2 131

limx x

xx

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+⎝ ⎠→

134

Solução:

22 3 3

5

2 1

31lim

x xxx

+ +

+→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

( )

( )

2 22 3 2 32 3 3

32 3

5 55

2 1 2 12 1 1 1 1 1

3 3311 11

lim lim lim limlim lim limlim

x x x xx x x x x x

x xxxx xx

+ + + ++ + → → → →= = =

+ ++→→ →→

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎝ ⎠⎝ ⎠

22 3 3

2 222 3 3 33

5 5

2 11 2 1 1 41 1 1 1

1 3 43

1

lim lim

lim

x xx x

xx

+ ++ ⋅ +→ → = = = =

++

→

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎝ ⎠ ⎠

Teorema 3.3 (Teorema do Sanduíche): Se valem as desigualdades ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ para todo x em um intervalo aberto contendo x0, exceto talvez em x = x0 e se

0 0

( ) ( )lim limf x L h xx x x x

= =→ →

, então

0

( )lim g x Lx x

=→

Definição: Dizemos que uma função f é limitada quando existe uma constante C > 0 tal que ( )f x C≤ , para

todo x D∈ , onde D representa o Domínio da função f . Corolário 3.3: Se f é uma função limitada e g é uma função tal que

0

( ) 0lim g xx x

=→

, então

0

( ) ( ) 0lim f x g xx x

⋅ =→

, mesmo que não exista 0

( )lim f xx x→

.

Exemplo: Mostre que 1 0

0lim xsen

xx

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠→

Solução: Como 1 1, 0sen xx

⎛ ⎞ ≤ ∀ ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

e 00

lim xx

=→

, conclui-se, pelo Corolário 3.3, que 1 0

0lim xsen

xx

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠→

3.1.5 Limites Laterais

Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )0 ,x b , onde 0x b< .

Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando x tende para x0, e escrevemos

Observação: A Regra da Soma que vale para duas funções, também vale para um número finito de funções. Além disso, se somente uma das parcelas não possui limite, então o limite da soma de todas as parcelas não existirá. Verifique esta afirmação.

Observação: O Teorema 3.2 só é válido se ambas as funções f e g possuírem limites. Verifique esta afirmação.

135

0

( )lim f x Lx x+

=→

se, para todo 0ε > , existe um 0δ > tal que ( )f x L ε− < sempre que 0 0x x x δ< < + .

Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )0,c x , onde 0c x< . Dizemos que um número

L é o limite à esquerda da função f quando x tende para 0x , e escrevemos

0

( )lim f x Lx x−

=→

se, para todo 0ε > , existe um 0δ > tal que ( )f x L ε− < sempre que 0 0x x xδ− < < .

Exemplo: Seja , 0( )

3, 0

xxf x xx

⎧− ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

Como 1, 01, 0

xxxx

− >⎧− = ⎨+ <⎩

conclui-se que ( ) 1lim0

f xx +

= −→

e ( )lim0

f xx −→

= 1

Teorema 3.4. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo x0, exceto possivelmente no ponto x0, então

0

( )lim f x Lx x

=→

se, e somente se,

0

( )lim f x Lx x+

=→

e0

( )lim f x Lx x−

=→

.

Exemplo: Utilizando o Teorema 3.4

Como ( ) 10

lim f xx +

= −→

e ( ) 10

lim f xx −

=→

, conclui-se, do exemplo anterior, que não existe ( )0

lim f xx→

.

3.1.6 Cálculo de Limites

Antes de apresentar exemplos de cálculos de limites, vamos falar um pouco sobre expressões indeterminadas. Costuma-se dizer que as expressões:

São indeterminadas. O que significa isto?

Notação:

00 xxxx →⇒→ − com

0xx <

∞∞∞⋅∞∞∞∞ 1 , ,0 ,0 ,- , ,

00 00

Notação: 00 xxxx →⇒→ + com 0xx >

Observação: Os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3 continuam válidos quando substituímos

0xx → por +→ 0xx ou −→ 0xx .

136

Exemplo: Verificando a indeterminação 00

.

(a) Sejam 3( )f x x= e 2( )g x x= .

Temos que ( ) ( ) 00 0

lim limf x g xx x

= =→ →

e 3

2

( ) 0( )0 0 0

lim lim limf x x xg x xx x x

= = =→ → →

(b) Sejam 2( )f x x= e 2( ) 2g x x= .

Temos que ( ) ( ) 00 0

lim limf x g xx x

= =→ →

e, neste caso,

2

2

( ) 1 1 ( ) 2 2 20 0 0

lim lim lim f x xg x xx x x

= = =→ → →

Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios algébricos são necessários: são casos de funções racionais em que o limite do denominador é zero num determinado ponto e o limite do numerador também é zero neste mesmo ponto.

Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo 00

.

Exemplo: Calcule 3

2

3 242

lim x xxx

− +−→−

Solução:

3 2

2

3 2 ( 2 1)( 2)4 ( 2)( 2)2 2

lim limx x x x xx x xx x

− + − + += =

− + −→− →−

2

22 1

2 1 2 942 22

2

limlim lim

x xx x x

x xxx

− +− + →−= = = −− −→−

→−

Exemplo: Calcule 2 2

0lim x

xx

+ −

→

Solução: Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da função. Segue então,

( ) ( )( )

2 2 2 22 22 20 0

lim limx xx

x x xx x

+ − ⋅ + ++ −=

⋅ + +→ →=

137

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 22 2 2 2 1 1

2 22 2 2 2 2 20 0 0lim lim lim

x xx x x x xx x x

+ − + −= = =

⋅ + + ⋅ + + + +→ → →

3.1.7 Limites no Infinito

O símbolo ∞ não representa nenhum número real. Usamos ∞ para descrever o comportamento de uma função quando os valores em seu domínio ou imagem ultrapassam todos os limites finitos. Por exemplo, a

função 1( )f xx

= é definida para qualquer valor de 0x ≠ (Figura 3).

Quando x vai se tornando cada vez maior, 1x

se torna “próximo de

zero”. Podemos sintetizar esse fato dizendo 1( )f xx

= tem limite

0 quando x →±∞ .

Figura 3: Gráfico de 1yx

=

Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( ),a +∞ . Escrevemos,

( ) 0, 0; ( ) .lim f x L M x M f x Lx

ε ε= ⇔ ∀ > ∃ > > ⇒ − <→+∞

Analogamente,

Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( ),b−∞ . Escrevemos,

( ) 0, 0; ( ) .lim f x L N x N f x Lx

ε ε= ⇔ ∀ > ∃ < < ⇒ − <→−∞

Definição. A reta y b= é uma assíntota horizontal do gráfico da função ( )y f x= Se ( )lim f x b

x=

→+∞ ou ( )lim f x b

x=

→−∞

Teorema 3.5. Se n é um número inteiro positivo, então

(a) 1 0lim nxx=

→+∞

(b) 1 0lim nxx=

→−∞

(c) lim K Kx

=→±∞

,onde K é uma constante

Observação: Os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3 continuam válidos quando substituímos 0xx → por +∞→x ou −∞→x .

138

Exemplo: Usando as propriedades de limites, calcule2

2

1 2 3 4lim x x

x xx

+ +− +→+∞

Solução:

222 2

22

2 2

1 11 1 111

3 4 3 42 3 4 2 2

limlim lim

lim

x x xx x x x xx xx x x

x x x xx

+ ++ ++ + →+∞= = =− +→+∞ →+∞ − + − +

→+∞

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

2

1 11

1 0 0 11 1 2 0 0 22 3 4

lim lim lim

lim lim lim

x xx x x

x xx x x

+ ++ +→+∞ →+∞ →+∞= = =− +− +

→+∞ →+∞ →+∞

3.1.8 Limites Infinitos

Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x0, exceto, possivelmente, em x = x0. Dizemos que

0

( )lim f xx x

= +∞→

0, 0M δ⇔∀ > ∃ > ; 00 ( )x x f x Mδ< − < ⇒ >

Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x0, exceto, possivelmente, em x = x0. Dizemos que

0

( )lim f xx x

= −∞→

0, 0N δ⇔∀ > ∃ > ; 00 ( )x x f x Nδ< − < ⇒ < −

Definição. A reta 0x x= é uma assíntota vertical do gráfico da função ( )y f x= se 0

( )lim f xx x+

= ±∞→

ou

0

( )lim f xx x−

= ±∞→

.

Exemplo: Encontre as assíntotas do gráfico da função 2

8( )4

f xx

= −−

Solução: Estamos interessados no comportamento do gráfico quando x →±∞ e quando 2x →± , onde o denominador é zero. Observe que f é uma função par de x , isto é, ( ) ( )f x f x− = , para todo 2x ≠ ± .

Neste caso, o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y .

O comportamento quando x →±∞ . Como ( ) 0lim f xx

=→ ±∞

, tem-se

que a reta 0y = é uma assíntota horizontal.

O comportamento quando 2x →± . Uma vez que ( )2

lim f xx +

= −∞→

e

( )2

lim f xx −

= +∞→

, a reta 2x = é uma assíntota vertical. Analogamente,

por simetria, 2x = − , também é uma assíntota vertical.

Figura 4: Gráfico de 2

84

yx−

=−

139

lim ( )f x lim ( )g x ( )h x = lim ( )h x simbolicamente 01 ±∞ ±∞ ( ) ( )f x g x+ ±∞ ±∞ =∞± ∞± 02 +∞ ( ) ( )f x g x− ? ( ) ( )+∞ − +∞ é indeterminação 03 +∞ k ( ) ( )f x g x± +∞ ( ) k+∞ ± = +∞ 04 −∞ k ( ) ( )f x g x± −∞ ( ) k−∞ ± = −∞ 05 +∞ +∞ ( ) ( )f x g x⋅ +∞ ( ) ( )+∞ ⋅ +∞ = +∞ 06 +∞ −∞ ( ) ( )f x g x⋅ −∞ ( ) ( ) −∞=∞−⋅∞+ 07 +∞ 0k > ( ) ( )f x g x⋅ +∞ ( ) k+∞ ⋅ = +∞ , 0k > 08 +∞ 0k < ( ) ( )f x g x⋅ −∞ ( ) k+∞ ⋅ = −∞ , 0k < 09 ∞± 0 ( ) ( )f x g x⋅ ? ( )±∞ 0⋅ é indeterminação 10 k ∞± ( ) ( )f x g x 0 0k ±∞ = 11 ∞± ∞± ( ) ( )f x g x ? ∞±∞± é indeterminação 12 0k > 0+ ( ) ( )f x g x +∞ 0k + = +∞ , 0k > 13 +∞ 0+ ( ) ( )f x g x +∞ 0++∞ = +∞ 14 0k > 0− ( ) ( )f x g x −∞ 0k − = −∞ , 0k > 15 +∞ 0− ( ) ( )f x g x −∞ −∞=∞+ −0 16 0 0 ( ) ( )f x g x ? 0 0 é indeterminação

Exemplo: Determinar 5 3(3 4 1)lim x xx

− +→+∞

Solução: Neste caso, temos uma indeterminação ∞−∞ . Para determinar o limite usamos o seguinte artifício de cálculo. Escrevemos,

5 3(3 4 1)lim x xx

− +→+∞

= 52 5

4 13lim xx xx

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠→+∞

= +∞ ( )3 0 0− + = +∞

3.1.9 Limites Fundamentais Teorema 3.6.

(a) 10

lim senxxx

=→

(b) ( )110

lim xx ex

+ =→

, onde e é o número irracional neperiano cujo valor é 2,718281828459... ,

Observação:

A tabela abaixo nos dá um resumo dos fatos principais válidos para os limites infinitos, onde podemos ter 0xx → , +→ 0xx ,

−→ 0xx , +∞→x ou −∞→x .

140

(c) 1 ln

0lim

xa axx

−=

→ ( 0a > , 1a ≠ )

Exemplo: Calcule 2 30

lim sen xsen xx →

Solução: 2 30

lim sen xsen xx→

= 2 2 3

2 3 30lim sen x x x

x x sen xx

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠→

= 2 2 3

2 3 30 0 0lim lim limsen x x x

x x sen xx x x⋅ ⋅

→ → → =

2 2 1 32 30 030

lim limlim

sen x xsen xx xx x

xx

⋅ ⋅→ →

→

= 2 113 1⋅ ⋅ =

23

.

Neste exemplo, 2

20lim sen x

xx→ =

0lim senu

uu→ = 1 , onde 2u x= e 0u → quando 0x → .

Analogamente,

330

lim sen xxx→

= 1 e 2 2 3 30

lim xxx=

→

4. Avaliando o que foi construído

Nesta unidade você travou o primeiro contato com o estudo de limites de funções, foi apresentado ao conteúdo programático, bem como aprendeu a calcular, através dos exemplos, usando as propriedades, alguns limites de funções. Porém, fique certo, ainda há muito que aprender dentro de tema.

No Moodle...

5. Referências

1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987. 2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 2002.

Pois é. Você precisa visitar o espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial I na plataforma MOODLE, onde terá a oportunidade de revisar, testar e enriquecer seus conhecimentos. Lembre-se de que somos parceiros nos estudos e, portanto, eu não pretendo seguir adiante sem que você me acompanhe. Aguardo você no MOODLE!

141

Unidade II Continuidade

1. Situando a Temática

Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontos do gráfico de uma função cujos valores foram gerados em laboratórios ou coletados no campo, geralmente unimos esses pontos por uma curva não interrompida para mostrar quais seriam os valores prováveis da função em todos os instantes em que não medimos (Figura 5). Fazendo isso, supomos que estamos trabalhando com uma função contínua, uma função cujos valores variam continuamente e não saltam de um valor para outro sem assumir todos os valores entre eles. Qualquer função cujo gráfico possa ser esboçado sobre o domínio em um único movimento contínuo, sem levantar o lápis, é um exemplo de função contínua. Mas uma função pode ser contínua e seu gráfico se compor de dois “pedaços” distintos. Verifique esta afirmação. Estudaremos, nesta unidade, a idéia de continuidade.

O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes:

• Continuidade em um ponto • Teste de Continuidade • Propriedades de Funções Contínuas • Composta de Funções Contínuas • Teorema do Valor Intermediário

2. Problematizando a Temática

As funções contínuas são usadas para achar o ponto em que um planeta mais se aproxima do Sol ou o pico de concentração de anticorpos no plasma sangüíneo. Elas também são as funções que usamos para descrever como um corpo se move através do espaço ou como a velocidade de uma reação química varia com o tempo. Na verdade, tantos processos físicos ocorrem de modo contínuo que nos séculos XVIII e XIX raramente se pensou em pesquisar qualquer outro tipo de comportamento. Foi uma surpresa quando os físicos descobriram, em 1920, que a luz vem em partículas e que os átomos aquecidos emitem luz em freqüências distintas (Figura 6). Como conseqüência dessas e de outras descobertas e em função do grande uso de funções descontínuas na ciência da computação, na estatística e em modelos matemáticos, o tema da continuidade se tornou importante tanto prática quanto teoricamente.

3. Conhecendo a Temática

3.1. Continuidade em um Ponto Definição. Seja I ⊆ ℝ um intervalo. Uma função :f I → ℝ é contínua em um ponto a I∈ quando

( ) ( )lim f x f ax a

=→

Figura 5: Mostra como os batimentos cardíacos retornam ao normal depois de uma corrida.

Figura 6

142

Exemplo: Uma função com Descontinuidade de Salto

A função Salto Unitário definida por 0, 0

( )1, 0

xU x

x<⎧

= ⎨ ≥⎩ é contínua à direita em 0x = , mas não é contínua à

esquerda nem contínua aí (Veja Figura 2(a)). Ela apresenta descontinuidade de salto em 0x =

3.2 Continuidade Definição. Seja I ⊆ ℝ um intervalo. Uma função :f I → ℝ é contínua quando f é contínua em todo ponto a I∈ Exemplo: Identificando Funções Contínuas

A função 1( )f xx

= ( Figura 3) é contínua em todo 0x ≠ .

3.3 Propriedades de Funções Contínuas.

Teorema 3.3: Se f e g são funções contínuas em x a= , então as seguintes combinações são contínuas em x a= . 1. Soma: f g+ 2. Diferença: f g− 3. Produto: f g⋅ 4. Constantes Múltiplas: k f⋅ , para qualquer número k 5. Quociente: f g , desde que ( ) 0g a ≠ 3.4. Composta de Funções Contínuas. Teorema 3.4. Se f é contínua em a e g em ( )b f a= , então a composta g f é contínua em a , isto é,

( ( )) ( ( )) ( ( ))lim limg f x g f x g f ax a x a

= =→ →

Exemplo: Usando as propriedades de funções contínuas, conclua que a função

2

1( )1

xh xx+

=+

é contínua em 1x =

Considerações sobre a Definição (a) Quando f não é contínua em um ponto a , dizemos que f é descontínua em a e que a é um ponto de descontinuidade de f ;

(b) f contínua à esquerda no ponto ax = quando )()(lim afxfax

=→ −

;

(c) f contínua à direita no ponto ax = quando )()(lim afxfax

=→ +

.

143

Solução: Sejam 2

1( )1

xf xx+

=+

e ( )g x x= . Daí, ( ) ( )( ) ( ( ))h x g f x g f x= = . Sendo 2

1 1(1) 11 1

f += =

+ e

( (1)) (1) 1 1g f g= = = , tem-se que

2 2

1 1 1( ( )) ( ) 1 ( (1))lim lim lim 1 1 11 1 1

xg f x h x g fxx x x

+ += = = = =

+ +→ → →

3.5. Teorema do Valor Intermediário Teorema 3.5. .Seja [ ]: ,f a b → ℝ uma função contínua em um intervalo

fechado [ ],a b tal que 0( ) ( )f a y f b≤ ≤ , então 0 ( )y f c= para algum c

em [ ],a b .

Exemplo: Aplicando o Teorema 3.5 Existe algum número real que somado a 1 seja exatamente igual ao seu cubo? Solução: A resposta para esta pergunta está no Teorema do Valor Intermediário. Com efeito, seja x este tal número que deve satisfazer a equação 31x x+ = ou, equivalentemente, 3 1 0x x− − = . Portanto, estamos procurando um zero da função contínua 3( ) 1f x x x= − − (Veja Figura 7 abaixo). Esta função muda de sinal no intervalo [ ]1, 2 , pois 1 (1) 0 (2) 5f f− = < < = , logo deve existir

um ponto c entre 1 e 2 tal que ( ) 0f c =

Ampliando o seu Conhecimento

4. Avaliando o que foi construído

No Moodle... Dialogando e Construindo Conhecimento

Você sabia que, geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário diz que qualquer reta horizontal y d= cruzando o eixo y entre os números ( )f a e ( )f b

cruzará a curva ( )y f x= pelo menos uma vez no intervalo [ ],a b , desde que f

seja contínua em [ ],a b .

Vá à plataforma MOODLE e dedique-se à resolução das tarefas relacionadas ao assunto desta unidade. Saiba que o aprendizado em Matemática deve ser continuado e o sucesso no estudo das funções contínuas vai depender de você visitar constantemente a plataforma e procurar resolver os exercícios nela proposta.

Figura 7

144

Dialogando e Construindo Conhecimento

5. Referências

1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987 2. Ávila, G., CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 3. Thomas, George B., CÁLCULO. Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 2002.

Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Acredite em seu potencial e conte conosco.

145

Unidade III Derivadas

1. Situando a Temática

No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação de dx e dy para designar os infinitésimos em x e em y . Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Diferencial”. A partir daí, com a introdução do conceito de derivada, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento poderosíssimo e cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade nos mais diversos campos da Ciência. Por exemplo, as derivadas são muito usadas em Engenharia, Física, Economia, Medicina e Ciência da Computação. Para calcular a velocidade e a aceleração instantânea de uma partícula em movimento cuja trajetória é descrita pela equação de movimento ( )s s t= , onde t representa o tempo, para explicar o funcionamento de máquinas, para estimar a diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora de um tanque e para prever as conseqüências de erros cometidos durante as medições. A partir de agora, vamos entrar no passeio divertido do “mundo” das derivadas. Nesta unidade, abordaremos os seguintes tópicos:

• A Derivada de uma Função num Ponto • A Reta Tangente • Continuidade de Funções Deriváveis • Derivadas Laterais • Regras de Derivação • Derivada das Funções Elementares do Cálculo • Regras de L’Hospital • Derivação de Função Composta • Derivada da Função Inversa • A Derivada de uma Função na Forma Implícita

2. Problematizando a Temática

Para solucionarmos este problema precisamos definir o conceito de derivada de uma função num ponto. A partir de agora vamos desenvolver toda a teoria necessária para solucionarmos este e outros problemas que envolvem derivadas.

3. Conhecendo a Temática

3.1 A Derivada de uma Função

Definição. A derivada de uma função ( )y f x= em relação à variável x é a função f ′ cujo valor em x é

( ) ( )( ) lim0

f x h f xf xhh

+ −′ =→

,

desde que este limite exista.

Problema: Encontrar a equação da reta tangente a uma curva ( )y f x= no ponto

0 0( , )P x y , onde 0 0( )y f x=

146

Exemplo: Aplicando a Definição

Encontre a derivada de y x= para 0x > .

Solução:

Passo 1: ( )f x x= e ( )f x h x h+ = +

Passo 2 : ( ) ( )f x h f x

h+ −

= x h x

h+ −

= ( ) ( )

( )x h x x h x

h x h x

+ − + +⋅

+ + =

( )x h x

h x h x+ −

⋅ + + =

( )1

x h x+ +

Passo 3 : ( ) lim0

f xh

′ =→ ( )

1x h x+ +

= 1

2 x (Veja Figura 8 (a) e 8(b) )

Considerações sobre a Definição:

(a) O domínio de f ′ é o conjunto de pontos no domínio de f para o qual o limite existe. Ele pode ser o mesmo domínio de f ou menor;

(b) Se f ′ existe para um determinado valor de x , dizemos que f é derivável em x ;

Calculando )(xf ′ a partir da Definição de Derivada Passo 1. Escreva expressões para

)(xf e )( hxf + Passo 2. Desenvolva e simplifique o quociente

hxfhxf )()( −+

Passo 3. Usando o quociente simplificado, encontre )(xf ′ calculando o limite

hxfhxf

hxf )()(

0)( lim

−+

→=′

Figura 8

147

3.2. A Reta Tangente

Definição. Dada uma curva de equação ( )y f x= , seja 0 0( , )P x y um ponto sobre ela, ou seja ,

0 0( )y f x= . A Reta Tangente a esta curva no ponto P é a reta que passa por P cujo coeficiente angular

Tm é dado pela expressão

0 0

0

( ) ( )limTh

f x h f xmh→

+ −= ,

quando este limite existe. Assim,

0( )Tm f x′= .

Exemplo: Determine a equação da reta tangente à curva y x= em 4x =

Solução: Do Exemplo 3.1, vimos que 1( )

2f x

x′ =

Logo, o coeficiente angular da reta tangente a esta curva em 4x = é dado por 1 1(4)

42 4Tm f ′= = = .

A reta tangente passa pelo ponto (4, 2)P e tem como equação

12 ( 4)4

y x− = ⋅ − ⇔ 1 14

y x= +

3.3 Continuidade de Funções Deriváveis

Teorema 3.3. Se f é derivável em 0x x= , então f é contínua 0x x= .

Notação: Há várias maneiras de representar a derivada de uma função )(xfy = . Além de )(xf ′ , as notações mais comuns são:

(i) y′ ( lê-se y linha). Esta notação foi dada por Newton

(ii) dxdy

( lê-se dydx ). Esta notação foi dada por Leibniz

Figura 9

148

Corolário 3.3. Se f não é contínua em 0x , então f não é derivável em 0x

3.4 Derivadas Laterais

Definição: Se a função ( )y f x= está definida em 0x ,então a derivada à direita de f em 0x , denotada por

0( )f x+′ , é definida por

0 00

( ) ( )( ) lim0

f x h f xf xhh

++

+ −′ =→

0

00

( ) ( )lim

f x f xx xx x+

−=

−→ ,

caso este limite exista. Analogamente, a derivada à esquerda de f em 0x , denotada por 0( )f x−′ , é definida por

0 00

( ) ( )( ) lim0

f x h f xf xhh

−−

+ −′ =→

0

00

( ) ( )lim

f x f xx xx x−

−=

−→,

desde que este limite exista.

Observação: Nem toda função contínua é derivável. Vejamos a seguir Exemplo: A função xxf =)( , 0≥x é contínua em 0=x mas não é derivável aí, pois

xxf

21)( =′ x > 0 e

hhhh

hhhf

hhfhf

xf 1

00

)(

0

)0()(

0)0( limlimlimlim

→=

→=

→=

−

→=′ que

não existe e, portanto, f não é derivável neste ponto.

Prova: Como )( 0xf ′ existe, devemos mostrar que )()( 0

0

lim xfxfxx

=→

ou , equivalentemente, que

)()(0

00lim xfhxfh

=+→

.

Com efeito, se 0≠h , então

hh

xfhxfxfhxf ⋅

−++=+

)()()()( 00

00

Assim,

hhh

xfhxf

hxf

hhxf

hlimlimlimlim

0

)()(

0)(

0)(

0

0000

→⋅

−+

→+

→=+

→

)(0)()( 000 xfxfxf =⋅′+=

149

Exemplo: A função ( )f x x= não é derivável em 0x = , embora seja contínua aí Solução: À direita da origem ( 0x > )

( ) ( ) 1d dx xdx dx

= =

e

(0 ) (0)(0) 1lim lim

0 0

f h f hfh hh h

++ +

+ −′ = = =→ →

À esquerda da origem ( 0)x < ,

( ) ( ) 1d dx xdx dx

= − = −

e

(0 ) (0)(0) 1lim lim

0 0

f h f hfh hh h

−− −

+ − −′ = = = −→ →

Como (0) (0)f f+ −′ ′≠ , tem-se que f não é derivável 0x = .

3.5 Regras de Derivação

Teorema 3.5. Se f e g são funções deriváveis em x , então as seguintes combinações são deriváveis em x

1. Soma: f g+ e ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x′ ′ ′+ = + ;

2. Diferença: f g− e ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x′ ′ ′− = − ;

3. Produto: ( )f g⋅ e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x f x g x′ ′ ′⋅ = + ;

Considerações sobre a Definição:

(a) Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas laterais à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais;

(b) Quando as derivadas laterais à direita e à esquerda existem e são diferentes em um ponto 0x ,

dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função )(xfy = . Neste caso, f não é

derivável em 0x ;

(c) Se uma das derivadas laterais não existe em um ponto 0x , então f não será derivável em 0x .

Figura 10

150

4. Quociente fg

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

e [ ]2

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

f g x f x f x g xxg g x

′′ ′⎛ ⎞ −

=⎜ ⎟⎝ ⎠

, desde que ( ) 0g x ≠ ;

5. Constantes Múltiplas: k f⋅ e ( ) ( ) ( )k f x k f x′ ′⋅ = ⋅ , para todo número real k .

No Moodle...

Exemplo: Aplicando as regras de derivação Determine as derivadas das seguintes funções: (a) 2 3( ) ( 2 )( 1)f x x x x= + +

(b) 5

3

2( )1

xg xx

=+

(c) 4 3( ) 2h x x x x= + + (d) y x x= Solução: (a) 2 3 2 3( ) ( 2 ) ( 1) ( 2 )( 1)f x x x x x x x′ ′ ′= + ⋅ + + + + =

2 3 2 3[( ) (2 ) ] ( 1) ( 2 ) [( ) (1) ]x x x x x x′ ′ ′ ′= + ⋅ + + + ⋅ + =

3 2 2(2 2) ( 1) ( 2 ) (3 0)x x x x x= + + + + + ⋅ + = 3 2 2(2 2) ( 1) ( 2 ) (3 )x x x x x= + + + + + ⋅

(b) 5 3 5 3

3 2

(2 ) ( 1) (2 ) ( 1)( )( 1)

x x x xg xx

′ ′⋅ + − ⋅ +′ =+

=

4 3 5 2

3 2

10 ( 1) (2 ) (3 0)( 1)

x x x xx

⋅ + − ⋅ +=

+=

4 3 5 2

3 2

10 ( 1) (2 ) (3 )( 1)

x x x xx

⋅ + − ⋅=

+

(c) 4 3( ) ( ) ( ) (2 )h x x x x′ ′ ′ ′= + + 3 24 3 2x x= + +

Olá pessoal, visite a plataforma MOODLE e resolva os seguintes exercícios: (i) Prove o Teorema 3.5 (Regras de Derivação)

(ii) Mostre que 1)( −= nn nxxdxd

, onde n é um número real

(Derivada da Potência)

(iii) Mostre que ( ) 0=Cdxd

, onde C é uma constante.

151

(d) ( )y x x′ ′= ( ) ( )x x x x′ ′= ⋅ + ⋅ 1 21 [( ) ]x x x ′= ⋅ + ⋅1121

2x x x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= + ⋅ ⋅ =

2

xxx

= +2

x xxx x

= + ⋅( )2

2

x xxx

= + 2

x xxx

= +2xx= +

3.6. Derivada das Funções Elementares do Cálculo

Nesta seção apresentaremos as derivadas das funções elementares: exponencial, logarítmica e trigonométricas.

Exemplo: Determinar a derivada de cada uma das seguintes funções: (a) 2y x senx= + (b) 2 xy tgx e= + (c) lny x x= (d) sec cosy x x x= + Solução: (a) 2( )y x senx′ ′= + 2 cosx x= +

(b) ( 2 )xy tgx e′ ′= + ( ) (2 )xtgx e′ ′= + 2sec 2 xx e= +

(c) ( ln ) ( ) ln (ln )y x x x x x x′ ′ ′ ′= = +1ln 1 lnx x xx

= + ⋅ = +

(d) (sec ) ( cos )y x x x′ ′ ′= + sec 1 cos ( )x tgx x x senx= ⋅ + ⋅ + ⋅ − sec cosx tgx x x senx= ⋅ + − ⋅

3.7. Regras de L’Hospital

Nesta seção apresentaremos um método para levantar indeterminações do tipo 0 ou 0

∞∞

. Esse método é

dado pelas Regras de L’Hospital dadas a seguir.

Teorema 3.7.(Regras de L’hospital): Sejam e gf funções deriváveis num intervalo aberto I , exceto, possivelmente, em um ponto a I∈ . Suponhamos que ( ) 0, x a em Ig x′ ≠ ∀ ≠ .

Função Derivada ( )f x ( )f x′

01 xe xe 02 lnx 1/x 03 senx cos x 04 cos x senx− 05 tgx 2sec x 06 cot gx 2cossec x− 07 sec x sec x tgx⋅ 08 cossec x cossec cotx gx− ⋅

152

(i) Se ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 e , então lim lim lim lim( ) ( ) ( )x a x a x a

lim f x f x f xf x g x L Lg x g x g xx ax a

′ ′= = = = =

′ ′→ → → →→

(ii) Se ( ) ( ) ( )( ) ( ) e , então lim lim lim lim lim( ) ( ) ( )x a x a x a

f x f x f xf x g x L Lg x g x g xx a x a

′ ′= = ∞ = = =

′ ′→ → → → →

Exemplo: Determine os seguintes limites:

(a) 2

2

6 lim 3 22

x xx xx

+ −− +→

(b) lim 20x x

x senxe ex

−

− ++ −→

(c) 3

1 lim 4

xex xx

−+→∞

Solução: Aplicando as Regras de L’hospital, temos

(a) 2

2

6 2 1 2 2 1 5 5lim lim3 2 2 3 2 2 3 12 2

x x xx x xx x

+ − + ⋅ += = = =

− + − ⋅ −→ →

(b) 1 cos 0lim lim lim20 0 0

x x x x x x

x senx x senxe e e e e ex x x

− − −

− + − + −= = =

+ − − +→ → →

(c) 3 2

1 lim lim lim lim4 3 4 6 6

x x x xe e e ex x x xx x x x

−= = = = +∞

+ +→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

3.8. Derivação de Função Composta Consideremos duas funções f e g onde ( )u g x= . Para todo x tal que ( )g x está no domínio de f , podemos escrever ( ) ( ( ))y f u f g x= = , isto é, podemos considerar a função composta ( )( ) ( ( ))f g x f g x= .

Observação: As Regras de L’hospital são válidas para limites laterais e limites no infinito.

Considerações sobre o Teorema 3.7:

(i) Se L(x)g(x)f

axxg

axxf

ax=

′′′′

→=′

→=′

→limlimlim e 0)()( , então L

xgxf

=′′

→ )()(

axlim

e assim sucessivamente...

(ii) Se L(x)g(x)f

axxg

axxf

ax=

′′′′

→∞=′

→=′

→limlimlim e )()( , então

Lxgxf

=′′

→ )()(

axlim e assim sucessivamente...

153

Por exemplo, uma função tal como 2 7( 5 2)y x x= + + pode ser vista como a composta das funções

7 ( )y u f u= = e 2 5 2 ( )u x x g x= + + = .

Teorema 3.8. A Regra da Cadeia Se ( )f u é derivável no ponto ( )u g x= e ( )g x é derivável em x , então a função composta ( )( ) ( ( ))f g x f g x= è derivável em x e

( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )f g x f g x g x f u u′ ′ ′ ′ ′= ⋅ = ⋅ Na notação de Leibniz, se ( )y f u= e ( )u g x= , então

dy dy dudx du dx

= ⋅ ,

onde dydu

é calculado em ( )u g x= .

Exemplo: Dada a função 2 7( 5 2)y x x= + + , determinar dydx

.

Solução: Vimos anteriormente que podemos escrever

7 ( )y u f u= = , onde 2 5 2 ( )u x x g x= + + = Assim, pela Regra da Cadeia,

dy dy dudx du dx

= ⋅ 67 (2 5)u x= ⋅ + 2 67( 5 2) (2 5)x x x= + + ⋅ + .

Exemplo: Dada a função 3 2(2 ) cosxy e sen x x= + + , determinar

dydx

Solução: Sejam 2 , 2u x v x= = e cosw x= . Assim, podemos escrever

2uy e senv w= + +

Assim, pela Regra da Cadeia, 3 2 2( (2 ) cos ) ( )x uy e sen x x e senv w′ ′ ′= + + = + +

2( ) ( ) ( ) (cos ) (2 )u ue senv w e u v v w w′ ′ ′ ′ ′ ′= + + = + ⋅ + ⋅ 3 23 (cos(2 )) 2 (2cos ) ( )xe x x x senx= ⋅ + ⋅ + ⋅ −

323 2cos(2 ) 2 cosxx e x senx x= ⋅ + − ⋅

3.9. Derivada da Função Inversa Teorema 3.9. Derivada da Função Inversa Seja y = f (x) uma função definida em um intervalo aberto (a,b). Suponhamos que f (x) Admita uma função inversa x = g (y) contínua. Se f'’(x) existe e é diferente de zero para qualquer ponto x ∈ (a,b),

então g = f -1 é derivável e vale 1 1'( )'( ) '( ( ))

g yf x f g y

= = ou 1'( ( ))'( )

g f xf x

=

Figura 11

154

Exemplo 3.9: Seja 2( ) 1y f x x= = − , 0x > . Determine (3)g′ , onde 1g f −= .

Solução 1: 1/2( ) 1 ( 1)x g y y y= = + = + (Verifique!). Daí, 1 11/2( ) ( 1)2 2 1

g y yy

−′ = + =+

.

Em particular, 1 1(3)

42 3 1g′ = =

+

Solução 2: Pelo Teorema 3.8 , 1 1( ) ( ( )) ( ) 2

g y g f xf x x

′ ′= = =′

Em particular,

2 3x y= ⇔ = Assim,

1 1 1(3) (2) 2 2 4

gf

′ = = =′ ⋅

.

3.10. Derivada da Função Implícita 3.10.1. Função na Forma Implícita Dizemos que a função ( )y f x= é definida implicitamente pela equação ( , ) 0F x y = se ao substituirmos y por ( )f x nesta equação obtemos uma identidade, isto é, ( , ( )) 0F x f x = .

Exemplo: A equação 12 1 02

x y+ − = define implicitamente a função 22 (1 )y x= ⋅ − . De fato, substituindo

22 (1 )y x= ⋅ − na equação 12 1 02

x y+ − = , obtemos a identidade 2 21 2(1 ) 1 02

x x+ ⋅ − − = .

3.10.2. A Derivada de uma Função na Forma Implícita

Suponhamos que a equação ( , ) 0F x y = define implicitamente uma função derivável ( )y f x= . Usaremos a Regra da Cadeia para determinar y′ sem explicitar y .

Exemplo: Sabendo que ( )y f x= é definida implicitamente pela equação 2 32 2xy y x y+ = + , determinar y’. Solução: Derivando ambos os membros desta equação em relação à x e supondo que ( )y f x= é derivável, obtém-se:

2 3( 2 ) ( 2 )xy y x y′ ′+ = +

2 3( ) (2 ) ( ) (2 )xy y x y′ ′ ′ ′+ = +

Prova: Sendo 1−= fg , tem-se que xxfg =))(( , para todo ),( bax∈ e usando a Regra da Cadeia, conclui-se

)(1))((1)())((

xfxfgxfxfg

′=′⇔=′⋅′

155

2 22 6 1 2y x y y y y y′ ′ ′+ ⋅ ⋅ + ⋅ = +

Isolando y′ na última igualdade, temos

2

21

2 6 2yy

xy y−′ =+ −

Em particular, o ponto (1,1)P está na curva ( )y f x= e aí,

(1,1) 0y′ = E a equação da reta tangente à esta curva neste ponto é dada por

1 0 ( 1) 1y x y− = ⋅ − ⇔ = Se Cocime

Ampliando o seu Conhecimento Ampliando

Você sabia que só no século XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções? A Matemática recebeu assim um grande impulso, notadamente na sua aplicabilidade a outras ciências. Os cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daí, todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por ouro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis.

Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto. Esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o “Problema da Tangente”.

Fermat notou que, para certas funções nos pontos onde a curva assumia valores extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido num desses pontos ( , ( ))P x f x com valor assumido no outro ponto

( , ( ))Q x h f x h+ + próximo de P , a diferença entre ( )f x h+ e ( )f x era muito pequena, quase nula, quando comparada com o valor de h , diferença das abcissas de Q e P . Assim, o problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados. Estas idéias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Diferencial, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação de dx e dy, para designar os infinitésimos em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Infinitesimal”

156

4. Avaliando o que foi construído

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Dialogando e Construindo Conhecimento

5.Referências

1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987. 2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 2002.

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