DISCIPLINA: TÓPICOS DE FÍSICA NUCLEAR

UNIDADE 2: Propriedades Nucleares Globais e Modelos Nucleares

OBJETIVOS: Ao final desta unidade você deverá:

- conhecer as propriedades como a massa, densidade, spin nuclear e níveis de

energia;

- distinguir entre diferentes modelos usados para descrever o núcleo atômico.

1. PROPRIEDADES NUCLEARES GLOBAIS

Nesta unidade estudaremos características especificas do núcleo atômico. Como já

fizemos na unidade anterior, dependendo da “lente” com que estamos observando o

núcleo, diferentes propriedades serão observadas. Usaremos como “lente” de prova,

diferentes partículas (elétron, próton, píon,...) que vão bater com o núcleo com

comprimentos de onda de Broglie =h/p (onde h é a constante de Planck e p é o

momentum da partícula). Quando estes forem da ordem de grandeza do tamanho

nuclear, poderemos estudar aspectos globais do núcleo. Quando as partículas que

interagem com o núcleo tiverem comprimentos de onda curto, vamos notar que o

núcleo está composto de Z prótons e N nêutrons, ambos chamados também de

núcleons. De modo tal que temos A=Z+N núcleons compondo o sistema núcleo. Se

usarmos partículas com comprimentos de onda ainda mais curtos, vão aparecer os

graus de liberdade mesônicos*, assim como as excitações dos núcleons. Quando as

energias das partículas incidentes no núcleo forem muito grandes, a estrutura

interna dos núcleons apresentará uma dinâmica de um sistema de quark-gluons

[Hey99].

Aqui estudaremos as características comuns do núcleo, tais como: a massa,

energia de ligadura nuclear, o raio e extensão nuclear, o momento angular nuclear e

os momentos nucleares, ilustrando os aspectos mais importantes destes. Resumindo,

a parte central do átomo é o núcleo atômico com sua carga positiva. Esta é a fonte

da força de Coulomb, que mantém o átomo estável. O próton tem carga positiva

enquanto que os nêutrons são neutros. Aqueles elementos que possuem o mesmo

número de prótons Z se chamam de isótopos, aqueles que possuem o mesmo

número de massa A se chamam de isóbaros, e aqueles que possuem o mesmo

numero de nêutrons N se chamam de isótonos.

*Mesônicos: propriedade associada aos mésons, partículas que transportam a força nuclear.

A massa nuclear se expressa em unidades de massa atômica, 271066.1 u kg que

corresponde aproximadamente à massa de repouso do átomo de hidrogênio no

estado fundamental. As massas do próton e do nêutron tem sido medida pelo

espectrômetro de massa (BOXE 2.1) resultando nos seguintes valores:

Massa do próton mp = 1.672621 x 10-27 kg,

com uma energia equivalente mpc2= 938,271 MeV,

Massa do nêutron mn = 1.674927 x 10-27 kg,

com uma energia equivalente mnc2= 939,565 MeV.

O fato de que a massa de nêutron é maior que a massa do próton, introduz a

possibilidade de que este possa decair (sofrer uma transformação para uma outra

partícula). Ambos núcleons são partículas com spin ½ (h/2), pertencendo a uma

classe de partículas chamadas de férmions [Bet04].

As espécies nucleares (nuclídeos) são identificadas mediante a notação:

onde é o símbolo químico das espécies. Por exemplo, o isótopo de carbono de

massa é denotado por onde o número atômico do carbono .

Como os núcleos são compostos de prótons e nêutrons temos por explicado algumas

propriedades características dos isótopos associada a carga que eles aprestam. Por

exemplo, todos os isótopos de um mesmo elemento possuem um idêntico

comportamento químico e diferem, fisicamente, apenas na massa [Bei69].

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BOXE 2.1 SAIBA MAIS: Espectrômetro de massa

O espectrômetro de massa é um instrumento usado na medida de massas atômicas. Na Figura

1 mostramos um dos vários modelos inventados para este instrumento. A primeira tarefa

deste aparelho é de criar um jato de íons da substância em estudo. Estes íons emergem da

fonte por uma fenda com uma carga +e, e logo são acelerados por um campo elétrico.

Quando entram no espectrômetro, os íons seguem caminhos diferentes com velocidades

distintas. Antes dos íons atravessarem o seletor de velocidade eles são colimados por par de

fendas. O seletor de velocidade consiste de um campo elétrico e magnético uniformes,

perpendiculares entre si e ao feixe respectivamente. O campo elétrico E exerce a força

sobre os íons, enquanto que o campo magnético B exerce a força

sobre eles num sentido oposto. Para que um íon alcance a fenda localizada na extremidade do

Figura 1. Espectrômetro de massa. Fonte:

http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/fisica-nuclear/fisica-nuclear-3.php

seletor de velocidade, o mesmo não deve sofrer desvio dentro do seletor, significando que

apenas escapam aquelas partículas onde

.

Agora todos os íons do feixe vão com a mesma velocidade e direção. Depois de atravessar o

seletor de velocidade, penetram num campo magnético uniforme e seguem trajetórias

circulares de raio que pode ser obtido igualando a força magnética com a força centrípeta

, ou seja,

como e são conhecidos, medida de proporciona um valor para a massa do íon.

1.1 Tamanho do núcleo.

A carga nuclear está concentrada num pequeno volume. Esta pequena região onde

se encontra o núcleo tem uma ordem de grandeza cinco vezes menor que o

comprimento característico dos átomos (de aproximadamente 1Å) sendo

fm 1m 10cm 10 1513 ,

onde 1 fm=1 “fermi” (esta é a unidade preferida pelos físicos nucleares)[Fanca].

Assim, o raio dos prótons e nêutrons que compõem os núcleos é da ordem de 1 fm.

Se pode pensar que os A núcleons estejam distribuídos dentro de uma esfera de raio

R, sendo eles como pequenas esferas duras de raio r, assim podemos escrever

ou simplificando esta expressão podemos colocar

onde esta no lugar de para representar o modelo de esferas empacotadas e

levar em conta os espaços vazios que existem entre elas e o fato de que o volume

nuclear deve ser maior que a simples soma dos volumes de cada esfera. Assim

esperamos que seja um tanto maior que 1 fm [Bertu].

Também podemos estimar o raio do núcleo de forma experimental. Os resultados

mais precisos são aqueles que utilizam espalhamento de elétrons. Os elétrons são

acelerados e atingem o núcleo alvo, interagindo eletromagneticamente com os

prótons. Ao saírem, eles trazem informação de como os prótons estão distribuídos

dentro do núcleo, ou seja, informação da distribuição de carga no núcleo. Supondo

que a densidade de prótons e a densidade de nêutrons são muito similares, assim

também podemos dizer que a distribuição de cargas nos núcleos se corresponde com

a densidade de massa. O método experimental de se medir a distribuição de cargas

dentro do núcleo foi desenvolvido por R. Hofstadter e colaboradores [Bertu]. A forma

funcional que podemos expressar o número de cargas (ou massa) por unidade de

volume, a densidade de carga (ou massa), resulta

onde

e são constantes. Esta função é conhecida como função de

Fermi.

Figura 2.1: Densidade de núcleons em função da distância ao centro do núcleo,

obedecendo a uma distribuição de Fermi típica [Bertu].

Analisemos um pouco o comportamento desta função:

(i) notamos que a mesma cai à metade no centro

(Figura 2.1);

(ii) a equação (2.3) diz que a distribuição de núcleons em um núcleo não é como o

de uma esfera homogeneamente ocupada com raio bem definido;

(iii) a densidade de carga no interior do núcleo é praticamente constante no seu

interior e cai rapidamente à zero na superfície nuclear;

(iv) o valor de , que é a densidade de carga no interior do núcleo diminui

lentamente à medida que aumenta;

(v) supondo que a distribuição de prótons no núcleo é a mesma que a dos nêutrons,

então a densidade de massa que representa a densidade de todos os núcleons

no núcleo é proporcional à densidade de carga, a menos de um fator proporcional a

, ou seja

As densidades dos núcleos ( ) são aproximadamente ordens

de grandeza superiores às densidades usuais do mundo macroscópico (por exemplo,

para o Fe a densidade é de ). A Figura 2.2 mostra a distribuição de

cargas de vários núcleos usando os resultados experimentais de Hofstadter e

colaboradores [Bertu] para nós dar uma idéia do comportamento desta quantidade

para várias

massas.

1.2 Energia de ligação

A força nuclear é atrativa e de curto alcance (de aproximadamente 10-13 cm), e

mantém os núcleons unidos no núcleo. Por isso, precisamos realizar trabalho para

separar o núcleo nos seus componentes livres. De outro ponto de vista, quando

formamos um núcleo estável*, a partir de seus componentes livres, vai se libertar

uma determinada quantidade de energia. Assim, a energia de ligação de um núcleo,

teoricamente, é a energia necessária para separar o núcleo em todos os seus

núcleons. Ela pode ser calculada se lembrarmos que ela deve ser igual à massa que

se perde quando o núcleo é formado. Para um núcleo , com número de prótons

e número de nêutrons , ela é dada por [Bertu]

onde é a massa do próton, é a massa do nêutron e é a massa do

núcleo Essas massas podem ser medidas por meio do espectrógrafo de massa.

Figura 2.2 Densidade de carga de alguns núcleos [Fanca].

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Núcleo estável: Um núcleo é estável quando ele não se transforma num outro núcleo através de algum

processo de decaimento. O núcleo instável é aquele que se „„quebra‟‟ espontaneamente (na verdade tem

um tempo finito que pode ser muito pequeno), por processos de decaimento radiativo, resultando na

emissão de radiação, sob a forma de partículas e/ou energia. Estes processos podem ser: decaimento-,

decaimento-, entre outros. Estudaremos estes processos no Capítulo 3.

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A energia de ligação definida por (2.4) é sempre positiva. Na Figura 2.3 mostramos a

energia de ligadura por núcleon , em função de para todos os nuclídeos

conhecidos [Bertu].

Figura 2.3 – Energia de ligação por núcleon em função do número de massa [Bertu].

Da Figura 2.3 notamos que o valor médio de cresce rapidamente com para

núcleos leves, enquanto que decresce suavemente de 8,5 MeV a 7,5 MeV a partir de

, ponto onde se encontra o máximo. Podemos dizer que o crescimento inicial

da curva indica que a fusão de dois núcleos leves produz um núcleo com uma

maior energia de ligação por núcleon, liberando energia. Essa é a origem da energia

no interior das estrelas [Bertu]. Finalmente, vemos que a energia de ligação por

núcleon é aproximadamente constante para . Esta característica deve-se ao

fenômeno chamado de saturação das forças nucleares*. Analisando as ligações entre

os núcleons poderíamos estimar que a energia de ligação deveria ser proporcional

a . Como esta situação não acontece, temos que as forças núcleon-núcleon

possuem alcance bem menor que o raio nuclear [Bertu].

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SAIBA MAIS: SATURAÇÃO DAS FORÇAS NUCLEARES

Este fenômeno que se manifesta na energia de ligação pode-se entender analisando as ligações existentes

entre os núcleons. Como se menciona na Ref. [Bertu], cada núcleon está ligado a (A-1) outros, de modo

que no total existem A(A-1)/2 ligações entre os núcleons em um núcleo com número de massa A. Assim,

se o alcance das forças núcleon-núcleon fosse maior que as dimensões dos núcleos, a energia de ligação B

deveria ser proporcional ao número de ligações entre eles, ou seja, B deveria ser proporcional a A2, ou

seja, B A(A-1)/2= (A2-A)/2~ A2 .

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1.3 Momento angular total do núcleo

O núcleo é um sistema quântico composto de núcleons. Como o núcleon é um

férmion, uma partícula de spin semi-inteiro (partículas de spin inteiro chamam-se de

bósons), e de acordo as leis da Mecânica Quântica de adição de momentos

angulares, (ver mais na frente na seção do modelo de camadas) o momento angular

total, usualmente denominado o spin do núcleo, é um número inteiro vezes se é

par, e um inteiro mais meio vezes se é ímpar [Bertu]. O valor do spin do núcleo

pode ser determinado experimentalmente, e o esquema acima citado não se cumpre

exatamente. Dos resultados experimentais podemos ter o seguinte esquema:

para núcleos ímpar-ímpar,

para núcleos ímpares (par-ímpar ou ímpar-par),

para núcleos par-par,

sendo o número quântico do momento angular total e um número inteiro maior

ou igual a zero.

2. MODELOS NUCLEARES

2.1 Introdução

Uma grande diferença existe entre o estudo teórico dos átomos e o estudo teórico

dos núcleos. As forças eletromagnéticas que agem sobre os elétrons nos átomos

foram conhecidas detalhadamente antes de uma teoria que descrevesse as

propriedades dos átomos tivesse sido desenvolvida. Não aconteceu nada similar

quando as propriedades dos núcleos começaram a ser estudadas e compreendidas.

Muito pouco se sabia sobre as forças nucleares, que atuam sobre os núcleons no

núcleo. Atualmente, dispormos de um conjunto de informações mais completa sobre

as forças nucleares (realmente complicadas), mas ainda não é possível construir

uma teoria ampla dos núcleos a partir de primeiros princípios, ou seja, do estudo das

forças nucleares [Fanca].

Os sistemas nucleares são muito mais complexos do que os sistemas atômicos. No

caso mais simples, o sistema de dois núcleons, tem seu tratamento teórico

dificultado pelo fato de não ser completamente conhecida a forma da força que atua

entre eles. Apesar disso, a teoria quântica (ver o BOXE 2.2) tem sido utilizada com

sucesso nas diversas áreas da física nuclear. O sistema mais simples de dois

núcleons, o dêuteron, composto de um próton e um nêutron possui um grande

conjunto de dados experimentais. Ainda mais, este sistema possui um estado ligado,

o estado fundamental. Assim, as teorias da interação nêutron-próton no dêuteron só

podem ser testadas comparando suas previsões com os valores experimentais da

energia, momento angular, paridade, momento de dipolo magnético e momento de

quadrupolo elétrico do estado fundamental do dêuteron. Um estudo detalhado do

dêuteron não é nosso objetivo, senão simplesmente entender que o estudo do núcleo

atômico, um sistema de muitos núcleons, é muito mais complicado. Nesta situação,

a equação de Schrödinger não é mais exatamente solúvel nem para um sistema de

três núcleons. Ainda mais, estabelecer as propriedades de um núcleo pesado a partir

das interações de todos os seus constituintes é uma tarefa impraticável. O uso de

modelos idealizados que incorporam apenas parte da física envolvida é a maneira de

atacar o problema. Cada um destes modelos explica um conjunto limitado de dados

experimentais.

Esses modelos são de duas naturezas: modelos coletivos, que estudam fenômenos

que envolvem o núcleo como um todo, onde os núcleons interagem fortemente no

interior do núcleo e seu livre caminho médio é pequeno; e modelos de partícula

independente, que sustentam que o Princípio de Pauli restringe as colisões dos

núcleons na matéria nuclear, tendo assim um livre caminho médio grande [Bertu].

BOXE 2.2 SAIBA MAIS: A teoria quântica [Bethe 2004]

Todos aqueles fenômenos das físicas molecular, atômica e nuclear são descritos teoricamente

pela mecânica quântica. Esta teoria foi desenvolvida nos meados do ano vinte do século XX,

pelos físicos: Bohr, Heisenberg, Schrödinger, Jordan, Pauli e muitos outros colaboradores. Foi

em 1900 quando Planck postulou que a energia é uma quantidade física quantizada. Assim, a

correta descrição teórica deveria determinar os estados de energia nesses sistemas. Para este

propósito, Erwin Schrödinger propõe a seguinte equação

onde , é o operador laplaciano em coordenadas cartesianas ( )

A equação de Schrödinger é uma equação de movimento que associa a energia cinética

(termo

) e a energia potencial com a energia total do sistema. O termo

é a constante de Planck dividida por . O caráter específico desta equação é que ela

somente admite soluções para valores discretos da energia total Esta equação é chamada

de uma equação de autovalores, onde os autovalores são as energias e as autofunções são

as soluções . Devido à estrutura matemática da equação ser similar à equação de

ondas, as soluções são chamadas de funções de onda. Estas funções de onda ou

autofunções são funções da posição e do tempo . Do ponto de vista matemático,

estas funções são “funções de probabilidade”, significando que todas aquelas quantidades dos

sistemas atômicos e subatômicos que são descritas por esta função, são probabilísticas. Este

conceito aplica-se a distribuição espacial, a distribuição de momentos e as energias. Em outras

palavras, todas estas quantidades são determinadas como valores médios probabilísticos

usando como densidade de probabilidade o produto . Os estados de

energia são classificados por números, chamados de números quânticos, como uma

conseqüência do modo de resolver a equação. Por exemplo, para resolver esta equação nos

átomos a energia potencial pode se separar no potencial de Coulomb e um

potencial centrifugo , o qual é, supondo o movimento eletrônico em orbitas fechadas,

associado ao momento angular dos elétrons num estado específico do autovalor energia. A

descrição teórica de um sistema atômico consiste em calcular os valores das energias, que

tem valores discretos se o sistema é ligado, ou seja, que pode trabalhar como um todo: o

núcleo mais os elétrons em conjunto. Estes estados são ordenados pelos números quânticos

de acordo a energia, o momento angular do sistema e o spin. O spin dos elétrons não está

contido explicitamente na equação de Schrödinger. Contudo, o spin do elétron aparece

naturalmente quando se considera a teoria especial da relatividade numa nova equação que se

chama equação de Dirac. Como mencionamos, os estados dos elétrons atômicos estão

ordenados pelos: o número quântico principal , começando de ; o número quântico do

momento angular , que pode adotar valores inteiros até o número quântico

magnético que esta entre os valores , ou seja

valores possíveis, e o numero quântico de spin que tem simplesmente dois valores .

O símbolo refere-se à orientação do spin num campo magnético. Por exemplo, para

temos somente e com e . São assim 8 possíveis estados de

energia. Como o spin tem as mesmas propriedades do momento angular, ele pode ser somado

ao momento angular orbital. Esta combinação é chamada de interação spin-órbita. Esta

interação de spin-órbita é muito importante no ordenamento dos níveis de energia no átomo.

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2.2 O modelo da Gota Líquida

O modelo da Gota Líquida foi historicamente (Weiszäcker no 1930) o primeiro

modelo criado para descrever as propriedades nucleares. A propriedade de saturação

das forças nucleares permite criar uma analogia com a mesma propriedade existente

entre os constituintes num líquido. Com essa idéia foi possível desenvolver uma

expressão teórica, ou seja, uma equação para a energia de ligação do núcleo

definida anteriormente pela Eq. (2.4). Temos assim que na sua forma mais simples

essa equação contém a contribuição de cinco termos [Bertu]:

(1) Energia de volume: Constitui a parte principal da energia de ligação. Pensemos

que temos uma gota líquida sem gravidade e sem rotação, assim ela vai tentar

atingir uma forma esférica para minimizar a energia (por ação da tensão superficial).

Ainda mais, se consideramos um líquido incompressível, ou seja, de densidade

constante, o raio da gota vai ser proporcional a , e em consequência, o volume

vai ser proporcional a De outro lado, partindo do fato experimental de que a

energia por núcleon é aproximadamente constante (ver Figura 2.3), temos que a

energia de ligação total é proporcional a

(2) Energia de superfície: Como os núcleons que estão na superfície contribuem

menos para a energia de ligação por somente sentirem uma parte da força nuclear, o

termo (2.5) deve se corrigir. Na superfície, o número de núcleons deve ser

proporcional à área da superfície, ou seja, , onde usamos a eq.

(2.2) ( ). A correção pode ser escrita como

(3) Energia colombiana: Esta energia criada pela repulsão colombiana entre os

prótons diminui a energia de ligação. Para uma esfera com distribuição homogênea

de carga, a carga total , é dada por . A

contribuição pode-se escrever como

(4) Energia de assimetria: Tem origem puramente quântica sem análogo clássico. Se

o núcleo possui um número diferente de prótons e nêutrons, sua energia de ligação é

menor que a de um núcleo simétrico. Assim, a contribuição deste termo decresce a

energia de ligação total num termo:

(5) Energia de emparelhamento: Experimentalmente mostrou-se que a energia de

ligação é maior quando os números de prótons e nêutrons são pares (núcleos par-

par) e é menor quando algum dos números é ímpar (núcleos ímpares), ainda mais

notável quando ambos são ímpares (núcleo ímpar-ímpar). Esse termo escreve-se

(2.9)

Experimentalmente temos que o valor

Agrupando todos os termos obtemos

Substituído este valor de na equação (2.4), obtemos a expressão conhecida

como fórmula semi-empírica de massa ou fórmula de Weiszäcker [Wei35]:

As constantes que aparecem em (2.11) são calculadas experimentalmente. Um bom

ajuste é obtido com [Bertu,Wa58]

MeV ,

MeV ,

MeV ,

MeV ,

MeV .

A Figura 2.4 compara as contribuições para a energia de ligação média por núcleon

dos termos de volume, superfície e colombiano.

Figura 2.4 Contribuições à energia de ligação média por núcleon devido aos termos de volume, superfície, colombiano e de assimetria.

2.3 O modelo de Camadas Nuclear

Neste modelo vamos admitir que os núcleons se movem de forma mais ou menos

independentes um dos outros dentro do núcleo. Uma idéia similar já foi usada com o

modelo de gota líquida onde os constituintes do núcleo interagem unicamente com

seus vizinhos mais próximos, como as moléculas num líquido. Esta hipótese foi

baseada num forte suporte empírico, entretanto, há também uma vasta experiência

experimental para a hipótese contrária de que os núcleons em um núcleo interagem

com um campo de força geral, do tipo central, ao invés de interagirem diretamente

um com outro. Isto seria semelhante à força colombiana (que vem de um potencial

central) do núcleo que atua sobre os elétrons no átomo. A idéia pode resultar

estranha, pois não se pode como no caso atômico identificar o agente criador de tal

potencial [Bertu]. Essa dificuldade é contornada supondo que cada núcleon se move

num potencial médio criado pelos demais núcleons. Ou seja, esta situação lembra a

dos elétrons num átomo, onde apenas certos estados quânticos são permitidos e não

mais de dois elétrons (partículas de Fermi=férmions) podem ocupar cada estado.

As primeiras propostas sobre o modelo surgiram ao final da década de 20 motivadas

pelas flutuações na abundância relativa e nas massas dos nuclídeos ao longo da

tabela periódica. Com a falta de uma base teórica, a pouca aceitação da idéia de um

movimento independente dos núcleons e fracos resultados iniciais fizeram com que o

modelo levasse muito tempo em ser aceito. Com a introdução de um termo de

acoplamento spin-órbita em 1949, o modelo de camadas se estabeleceu de forma

definitiva como uma importante ferramenta na física nuclear [Bertu].

Deixemos um pouco a história de lado e voltemos para essa rara analogia entre os

elétrons no átomo e os núcleons no núcleo. Os elétrons dentro de um átomo podem

se pensar como se ocupassem posições em „„camadas‟‟ (lembrando um sistema

planetário) designadas pelos diversos números quânticos principais e o grau da

ocupação da camada (ou orbital) mais externa, sendo estas as características que

determinam importantes aspectos do comportamento dos átomos. Sendo mais

especifico, lembrando da química no segundo grau, onde aprendemos que átomos

com 2, 10, 18, 36, 54 e 86 possuem todas suas camadas eletrônicas completamente

cheias. Tais estruturas eletrônicas gozam de estabilidade, o que explica a inércia

química dos gases raros. Uma situação muito similar observa-se nos núcleos;

aqueles núcleos com 2, 8, 20, 28, 50, 82 e 126 nêutrons ou prótons são mais

abundantes que outros núcleos de números de massa similares, sugerindo que suas

estruturas são mais estáveis [Bei69]. Estes números ficaram conhecidos como os

números mágicos, na estrutura nuclear. Outra evidência experimental que ressalta a

importância dos números mágicos é o padrão observado dos momentos

quadripolares elétricos dos núcleos (ver verbete 2), que são uma medida de quanto

à distribuição de carga no núcleo difere de uma distribuição esférica. Se o núcleo é

esférico, ele não possui um momento quadrupolar elétrico (MQE), ou possui MQE

igual a zero, enquanto que um núcleo com forma de ovo possui um MQE positivo e

um núcleo com forma de abóbora tem MQE negativo. Os núcleos com e mágicos

possuem MQE iguais a zero e por isso são esféricos, enquanto outros núcleos são

distorcidos na forma [Bei69].

O modelo de camadas do núcleo é uma tentativa de explicar a presença dos números

mágicos e outras propriedades nucleares usando a interação entre um núcleon

individual e um campo de força produzido por todos os outros núcleons. Uma forma

simples de tratar este problema é de usar uma função de energia potencial que

corresponde a um poço quadrado com cantos arredondados e uma profundidade

aproximada de 50 MeV. Agora devemos resolver a equação de Schrödinger para uma

partícula neste potencial. Encontra-se que os estados estacionários* do sistema são

caracterizados pelos números quânticos e , cujos significados são os mesmos

que no caso análogo dos estados estacionários dos elétrons atômicos. Um ponto

importante a considerar é o fato que nêutrons e prótons ocupam conjuntos

separados de estados num núcleo, vale ressaltar que os últimos interagem

eletricamente além da interação puramente nuclear. Em outras palavras, temos dois

poços de potencial, um para prótons e outro para nêutrons e são duas equações de

Schrödinger que serão resolvidas.

Como mencionamos antes, o modelo de camadas começa a se utilizar quando a

interação spin-órbita foi adotada no potencial. A grandeza desta interação deve ser

tal que o desdobramento dos níveis de energia em subníveis é grande para grande,

ou seja, para momento angular orbital grande. Este acoplamento da interação spin-

órbita chama se de acoplamento LS. Temos também que o acoplamento LS falha

para os núcleos mais leves, nos quais os valores são necessariamente pequenos

(ver BOXE 2.3).

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Estado estacionário: Na mecânica quântica (MQ), um estado que se denomina estacionário é aquele no

qual a densidade de probabilidade não varia com o tempo. A densidade de probabilidade na MQ está

associada ao módulo quadrado da função de onda, que representa a uma partícula, e se entende como a

possibilidade de encontrar a partícula numa certa região entre x e x+dx, onde dx é um infinitésimo de x.

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Assumindo uma energia adequada para a interação spin – órbita, os níveis de

energia para cada classe de núcleon vão aparecer na seqüência determinada pela

Figura 2.5. Aqui, os níveis são designados por um prefixo igual ao número quântico

total , por uma letra que indica o valor de para cada partícula neste nível segundo

o modelo eletrônico usual ( correspondendo respectivamente a

) e por um índice inferior igual a (momento angular total da partícula ou

spin nuclear). O efeito da interação spin-órbita é desdobrar cada estado de um dado

em , já que temos orientações possíveis de Ji. Da Figura 2.5

notamos que aparecem lacunas e energias no espaçamento dos níveis em intervalos

compatíveis com a noção de camadas separadas. O número de estados nucleares

disponíveis em cada camada nuclear vale, na ordem crescente da energia 2, 6, 12, 8,

22, 32 e 44; portanto as camadas são preenchidas quando há num núcleo 2, 8(2+6),

20(2+6+12), 28(2+6+12+8), 50(2+6+12+8+22), 82(2+6+12+8+22+32) ou

126(2+6+12+8+22 +32+44) nêutrons ou prótons.

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BOXE 2.3 SAIBA MAIS: Acoplamento de momentos angulares

No esquema LS, os momentos angulares intrínsecos de spin Si das partículas, prótons por um

lado e nêutrons por outro, se acoplam entre si para formar um spin total S, enquanto que os

momentos angulares orbitais Li se acoplam ao momento angular total L, logo S e L são

acoplados a um momento angular total J de grandeza . Após uma região de

transição na qual se tem um acoplamento intermediário, os núcleos mais pesados apresentam

um acoplamento jj. Neste tipo de acoplamento, o Si e Li de cada partícula se acopla a um Ji ,

e dali cada Ji vai se acoplar ao momento angular J de grandeza . O acoplamento jj

vale para a maioria dos núcleos [Bei69].

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Temos outros fenômenos que o modelo de camadas descreve além de reproduzir a

sequência dos números mágicos. Como cada subnível de energia pode conter duas

partículas (spin para cima e spin para baixo), apenas estão presentes subníveis

completos quando temos números pares de nêutrons ou prótons num núcleo (núcleo

“par-par‟‟). Do outro lado, se temos um núcleo com um número ímpar de nêutrons e

prótons (núcleo “ímpar-ímpar‟‟) contém subcamadas não completas de ambos tipos

de partículas. Estas brincadeiras de subcamadas completas conferiram a estabilidade

nos núcleos encontrando na natureza 160 nuclídeos estáveis “par-par‟‟, contra

apenas 4 nuclídeos estáveis “impar-impar‟‟ (2H1, 6Li3,

10B5 e 14N7).

Figura 2.5 Esquema de níveis do modelo de camadas mostrando a remoção da degenerescência em j causada pelo termo de interação spin-órbita e o aparecimento dos

números mágicos no fechamento de camadas. Os valores entre parênteses indicam o número de núcleons de cada tipo que admite aquele nível e os valores entre colchetes o número total de núcleons de cada tipo até aquele nível. A ordenação dos níveis não é rígida, podendo haver inversões quando se muda a forma do potencial [Bertu].

Outro ponto a favor do modelo de camadas nuclear é a capacidade de prever o

momento angular total. Nos núcleos par-par, todos os prótons e nêutrons se pareiam

de modo que os momentos angulares de spin e momento angular se cancelam

mutuamente. Assim, os núcleos par-par possuem momento angular nuclear igual a

zero. Nos núcleos par-ímpar ( par, ímpar) ou ímpar-par ( ímpar, par), o spin

semi-inteiro de um único núcleon extra é combinado com o momento angula inteiro

do resto do núcleo para formar um momento angular total semi-inteiro. Os núcleos

ímpar-ímpar possuem cada qual um próton e um nêutron extra, com spins semi-

inteiros que se acoplam a um momento angular inteiro, como foi confirmado

experimentalmente.

ATIVIDADES

1. Um feixe de íons de 3Li6 com uma única carga e com energias de 400 eV penetra

em um campo magnético uniforme de densidade de fluxo igual a 0,08 weber/m2. Os

íons se movem perpendicularmente à direção do campo. Determine o raio de sua

trajetória no campo magnético [Bei69].

2. Que energia é necessária para remover um próton de 8O16? [Bei69]

3. Em uma escala na qual uma gota d'água (raio = 1mm) é aumentada até atingir o

tamanho da Terra (raio = 6400 Km), qual seria o raio de um núcleo de 238U? [Bertu]

4. Calcule a densidade aproximada da matéria nuclear em gm/cm3.[Bertu]

5. Usando a fórmula semi-empírica de massa ou fórmula de Weiszäcker [Wei35] da

equação (2.11), calcule as massas teóricas para os núcleos de 12C, 40Ca, 56Fe, 76Ge e

208Pb. Compare os valores obtidos com aqueles valores experimentais da Referência

http://ie.lbl.gov/toimass.html. Discuta as diferenças destes valores.

REFERÊNCIAS

[Abd06] Bohr, O arquiteto do átomo. Maria Cristina B. Abdalla, © 2006 Odysseus

Editora Ltda.

[Bei69] Arthur Beiser, Conceitos de Física Moderna, Ed. Polígono S.A. São Paulo,

1969.

[Hey99] K. Heyde, Basic Ideas and Concepts in Nuclear Physics, An Introductory

Approach, © IOP Publishing Ltd 1994, 1999, UK.

[Bet04] K. Bethge, G. Kraft, P. Kreisler e G. Walter, Medical Applications of Nuclear

Physics, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004, Germany.

[Fanca] Ana Rodrigues Fanca, Física Atômica e Nuclear – Capítulo 8. Modelos

Nucleares, http://w3.ualg.pt/~arodrig/Documentos/InfPagina/fancap8a.DOC

[Bertu] Carlos A. Bertulani,

www.tamu-commerce.edu/physics/cab/Lectures/FisicaNuclear.pdf