Displays da Exposição de Matemática na XIII SEMAT

XIII SEMANA DA MATEMÁTICA

DSPLAYS

A GEOMETRIA DAS CURVAS

Responsável: Prof. Armando Caputi

Maringá, 27 a 31 de agosto de 2001

Universidade Estadual de Maringá

Centro de Ciências Exatas

Departamento de Matemática


Peça n. 1

O que se pode fazer com um barbante?


Tendo à disposição somente um lápis (ou um pincel atômico) e um pedaço de barbante, experimente

traçar um arco de circunferência e um segmento de reta. Como ficou o resultado? Perceba a diferença

entre o modo como você usa o barbante para traçar a circunferência (isto é, como um instrumento) e o

modo usado para traçar a reta (como um perfil).


Peça n. 2

Mecanismo de Watt (1784)


É uma articulação de três hastes, duas das quais AD e BC de mesmo comprimento, e uma AB muito mais

curta, e com os pontos C e D fixados em alturas diferentes. Movendo a haste AB, o seu ponto médio P

parece descrever por um trecho considerável um segmento retilíneo. Na verdade, o movimento completo

do sistema articulado faz o ponto P descrever uma figura em forma de oito. Do ponto de vista prático, no

entanto, esse mecanismo é bastante satisfatório, e é muito usado ainda hoje.


Peça n. 3

Mecanismo de Tchebycheff (1850)


Assim como o mecanismo de Watt, este também é uma articulação de três hastes

DA, AB e BC, com C e D fixos, BC = AD e onde as distâncias envolvidas satisfaçam a

proporção AD : CD : AB = 5 : 4 : 2. Em torno da posição simétrica mostrada na figura,

o ponto médio P de AB descreve um percurso quase retilíneo, mesmo se a trajetória

completa de P mais pareça uma semicircunferência. Esse mecanismo ainda é usado

para guiar o movimento das lâminas de serras para corte de troncos.


Peça n. 4

Mecanismo de Roberts


Esse mecanismo é um sistema articulado de três hastes e uma lâmina BPC em forma de triângulo isósceles.

Os comprimentos devem satisfazer AB = BP = PC = CD e AD = 2 BC. O vértice P da lâmina descreve por um

trecho razoável um percurso quase retilíneo.


Peça n. 5

Mecanismo de Peaucellier (1864) e Lipkin (1871)


A solução exata do problema de encontrar um mecanismo capaz de

traçar uma reta foi dada por Peaucellier, em 1864 e também por Lipkin, de

modo independente, em 1871. O sistema é constituido por sete hastes

articuladas: AQ, QB, BP e PA de mesmo comprimento formando um

losango; duas maiores OA e OB também de medidas iguais e articuladas

entre elas num ponto fixo O; e uma sétima haste, com um extremo fixo, que

tem a função de obrigar o ponto P a mover-se numa circunferência que

passa por O. As primeiras seis hastes, articuladas dessa forma, fazem com

que os pontos P e Q se correspondam mediante uma inversão circular de

centro O. Assim, como o ponto P descreve uma circunferência passando

por O, o ponto Q, pelas propriedades da inversão circular, descreverá uma

reta.


Peça n. 6

Seções cônicas


Quais figuras encontramos ao iluminarmos uma parede com uma lanterna em várias angulações?

Experimente você mesmo, e observe as circunferências, elipses, parábolas e hipérboles (pena não

podermos colocar a lanterna “dentro” da parede para vermos também formarem-se as retas…).


Peça n. 7

Ecos e reflexos I


A lâmina de alumínio forma um contorno elíptico. Num dos focos dessa elipse encontra-se uma lâmpada, no

outro um palito de fósforo. Alguns segundos após acender a lâmpada, o fósforo se acenderá.

Esse efeito ilustra a seguinte propriedade da elipse: a perpendicular à elipse é a bissetriz do ângulo formado

pelos segmentos que unem o ponto aos focos; consequentemente, um raio de luz (ou uma onda) que parta

de um dos focos e se reflita na elipse passará pelo outro foco.


Peça n. 8

Ecos e reflexos II


No caso das parábolas, os raios que chegam paralelamente ao seu eixo se concentrarão no foco (esse é o

princípio que explica o funcionamento das antenas parabólicas, por exemplo). Esse efeito é ilustrado nessa

peça, onde as bolas que descem pelo plano inclinado, ao chocarem-se com a parede ao fundo, em forma

de parábola, são rebatidas em direção ao foco dessa parábola, tocando a bola que lá se encontra.


Peça n. 9

Ecos e reflexos III


A mesma propriedade de reflexão da parábola é utilizada aqui, de modo mais espetacular. Dois espelhos

parabólicos (parabolóides de revolução) são colocados um sobre o outro de modo que o foco de um

coincida com o vértice do outro (um dos espelhos é cortado na altura do vértice, para que o efeito possa

ser observado). O porquinho que se vê no chiqueirinho (isto é, no vértice do espelho superior) na verdade

não está lá. Ele encontra-se de fato no vértice do outro espelho.

Como? Estando no vértice do espelho inferior, o porquinho também

estará no foco do espelho superior. Assim, os raios de luz que chegam

ao porquinho e em seguida ao espelho superior são refletidos por este

em direção vertical; chegando verticalmenteao espelho inferior, esses

raios irão se concentrar no foco desse espelho, ou seja, no vértice do

espelho superior. Dessa maneira, quando olhamos em direção ao

chiqueirinho estamos vendo, na verdade, a imagem do outro vértice (a imagem não é invertida, uma vez

que passou por duas reflexões, mas sofre uma rotação horizontal de 180 graus).


Peça n. 10

Hiperbolóide de revolução I


Ao rotacionarmos uma hipérbole em torno de um de seus eixos (aquele que não intercepta a hipérbole),

obtemos uma superfície chamada hiperbolóide de revolução. Essa superfície, embora evidentemente

curva, é na verdade um emaranhado de retas, como podemos ver nessa peça. Destacam-se duas famílias

de retas: as de cor preta e as de cor vermelha. Cada uma dessas famílias descreve completamente o

hiperbolóide e é obtida pela rotação de uma qualquer de suas retas em torno do eixo do hiperbolóide.

Girando a tampa superior, vemos as duas famílias se deformarem em hiperbolóides diferentes até uma

posição limite, onde uma se transforma em um cilindro e a outra em um cone.


Peça n. 11

Hiperbolóide de revolução II


Outro modo de ver o hiperbolóide de revolução sendo gerado por retas é fixar os vértices opostos de um

cubo a um eixo vertical e fazer o cubo girar em torno desse eixo. As arestas do cubo que não encontram o

eixo de rotação descrevem um hiperbolóide de revolução. Cada par de arestas reversas descreve uma das

famílias de retas do hiperbolóide.


Peça n. 12

Hiperbolóide de revolução III


Vamos ver novamente uma reta gerar um hiperbolóide, mas dessa vez em câmera lenta. A vareta de cobre

fixa ao disco, enquanto este roda, descreve um hiperbolóide de revolução cujo perfil é a hipérbole traçada

na lâmina de acrílico. Quem diria que uma reta seria capaz de tanta “desenvoltura”?

Fonte:

Esta exposição, incluindo este guia, é uma reprodução parcial da mostra Oltre il compasso: la geometria delle curve, ocorrida em várias cidades italianas durante os

anos 90 e que culminou com a criação do museu permanente Il Giardino di Archimede – un museo per la matematica, localizado próximo a Roma (aconselhamos

uma visita ao sítio www.math.unifi.it/archimede). Os organizadores dessa mostra e idealizadores do museu são os professores Enrico Giusti (Università degli Studi di

Firenze) e Franco Conti (Scuola Normale Superiore di Pisa). O curador desta exposição participou da referida mostra em Florença, de 27/03 a 2/05 de 1993.

Colaboradores:

Colaboraram com a exposição os alunos Nelson Luis Orsi de Paiva, Fábio Mateus Natali e Angélica de Almeida Oliveira do Departamento de Matemática da UEM.

Agradecimentos:

Gostaríamos de agradecer ao Prof. Marcos César Danhoni Neves do Departamento de Física da UEM pela disponibilização de uma das peças da exposição: os

espelhos parabólicos.

Agradecemos também à Tony Decoração pela confecção de todas as outras peças da exposição.

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