UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASINSTITUTO DE FILOSOFIA E CINCIAS HUMANASPROGRAMA DE PS-GRADUAO EM FILOSOFIA

Newton Marques Peron

LGICAS DA INCONSISTNCIADENTICA

Dissertao de Mestrado

Orientador: Marcelo Esteban Coniglio

Campinas, Maro de 2009

FICHA CATALOGRFICA ELABORADA PELA

BIBLIOTECA DO IFCH - UNICAMP

Ttulo em ingls: Logics of Deontic Inconsistency.

Palavras chaves em ingls (keywords) : rea de Concentrao: Filosofia Titulao: Mestre em Filosofia Banca examinadora:

Data da defesa: 26-02-2009 Programa de Ps-Graduao: Filosofia

Mathematical logic, non classical Deontic logic

Marcelo Esteban Coniglio, Walter Alexandre Carnielli, Frank Thomas Sautter.

Peron, Newton Marques P424L Lgicas da Inconsistncia Dentica / Newton Marques Peron.

- - Campinas, SP : [s. n.], 2009. Orientador: Marcelo Esteban Coniglio. Dissertao (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Filosofia e Cincias Humanas.

1. Lgica matemtica no-clssica. 2. Lgica dentica. I. Coniglio, Marcelo Esteban. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Filosofia e Cincias Humanas. III.Ttulo. (msh\ifch)

Resumo

Esse trabalho expe brevemente o que so as Lgicas da InconsistnciaFormal. Essas lgicas no trivializam a relao de conseqncia na presenade contradies, pois a partir de e temos simplesmente que , ou seja, no consistente, ou no seguro.

De maneira anloga, as Lgicas da Inconsistncia Dentica so lgicasque no trivializam a relao de conseqncia na presena de obrigaesconflitantes, como e . Nesse caso teramos apenas , ou seja, deonticamente inconsistente, ou deonticamente inseguro.

Essa abordagem parece interessante sobretudo na anlise de paradoxosdenticos, em que a partir de um conjunto de premissas intuitivamenteconsistentes, temos e . Trataremos como exemplo um nico para-doxo, a saber, o Paradoxo de Chisholm.

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Abstract

This work expose briefly what are the Logics of Formal Inconsistency.Those logics do not trivialize the consequence relation in the presence ofcontradictions, since from and we just derive , that is, is notconsistent, or not safe.

Analogously, the Logics of Deontic Inconsistency are logics that do nottrivialize the consequence relation in the presence of conflicting obligations,since from and we would just obtain , that is, is not deonti-cally consistent, or not deontically safe.

That approach seems interesting mainly for analyzing deontic parado-xes, in which from a set of intuitively consistent premises, we derive and . In order to exemplify we will regard just one paradox, namelyChisholms Paradox.

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Agradecimentos

Agradeo ao meu orientador Marcelo Esteban Coniglio pelo minucioso acom-panhamento desse trabalho, aos professores do CLE Walter Alexandre Car-nieli e Itala M. DOtataviano que muito me contriburam no estudo de lgicaclssica e lgica modal e, por fim, aos amigos que me apoiaram.

Agradeo ainda ao projeto temtico ConsRel da FAPESP e ao CNPq pelofinanciamento desta pesquisa.

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Este trabalho foi financiado por uma bolsa do CNPq - Conselho Nacionalde Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico.

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Sumrio

1 LGICAS DA INCONSISTNCIA FORMAL 11.1 Paraconsistncia, Trivialidade e Exploso . . . . . . . . . . . . 11.2 mbC e C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 LGICAS DA INCONSISTNCIA DENTICA 172.1 Lgica Dentica Clssica e Paraconsistncia . . . . . . . . . . 172.2 Lgicas Denticas Paraconsistentes . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 PARADOXOS DENTICOS 453.1 O Paradoxo de Chisholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 CONSIDERAES FINAIS 51

5 PERSPECTIVAS 535.1 LFIs de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2 A frmula de Barcan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3 Lgicas Denticas Didicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

BIBLIOGRAFIA 58

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Captulo 1LGICAS DA INCONSISTNCIA FORMAL

1.1 Paraconsistncia, Trivialidade e ExplosoAs LFIs - Lgicas da Inconsistncia Formal (Logics of Formal Inconsistency)- so uma classe ampla de lgicas paraconsistentes que internalizam as no-es bsicas de consistncia e inconsistncia em nvel meta-lgico. As LFIsforam introduzidas por W. Carnielli e J. Marcos em [7] e posteriormenteanalisadas em detalhe (em particular, seus aspectos semnticos) no artigo[8], que adotamos aqui como principal referncia bibliogrfica. Refernciasadicionais a demais artigos sero explicitamente citadas.

Uma das principais diferenas entre as lgicas do tipo clssico e as LFIs que, nas primeiras, no h distino entre contradio e outras formas deinconsistncia. A partir de uma contradio, tudo pode ser demonstrado eobtemos, assim, trivializao. J nas LFIs, no-trivialidade no pode serdefinida apenas como ausncia de contradio, pois nessa relao est pressu-posto o conceito de consistncia. O que esperamos dessas lgicas permitirinconsistncia em certas circunstncias e garantir que o sistema ainda possamanter sua capacidade de realizar inferncias razoveis na presena de con-tradies.

Daqui em diante, trataremos essas noes em nvel meta-lgico para, emseguida, internalizar algumas delas no estudo das LFIs.

Tomemos For como o conjunto de frmulas de uma dada linguagem.Aqui, e denotam frmulas quaisquer, enquanto e so subconjuntosde For. Assim, uma lgica L definida simplesmente como uma estruturada forma For, , que contm um conjunto de frmulas e uma relao deconseqncia definida nesse conjunto.

1

Assumiremos que a linguagem de qualquer lgica L definida por umaassinatura proposicional = {n}nN, em que n o conjunto de conectivosde cardinalidade n. Assumiremos ainda que P = {pn : n N} o conjuntode variveis proposicionais (ou frmulas atmicas) tal que as frmulas sogeradas livremente a partir de P usando .

Acrescentemos a essa lgica L as seguintes condies:

(Con1) implica (Con2) ( e ) implica (Con3) ( e , ) implica , (Con4) implica () ()(Con5) implica fin , para algum fin A primeira condio denominada reflexividade, a segunda monotonici-dade e a terceira chamada condio de corte. A quarta denominadaestruturalidade em que o smbolo denota um endomorfismo da linguagem.A ltima denominamos compacidade e interpretamos fin como um conjunto1 qualquer finito.

Qualquer conjunto For chamado de teoria de L. Se paratodo , dizemos que uma tese dessa lgica.

A partir de agora lidaremos com uma lgica arbitrria L = For,em que se gera For a partir de uma assinatura que contm o conectivo (negao) e satisfaz (Con1) - (Con5).

Seja uma teoria de L . Dizemos que uma teoria contraditria emrelao a , ou simplesmente contraditria sse:

( e )

Para cada frmula acima, podemos dizer que -contraditrio. J umateoria trivial sse:

( )Evidentemente, a teoria For trivial, uma vez que, para todo , Fore, por (Con1), temos que For . Alm disso, como em uma teoria trivialvale para todo , ento, em particular vale para . Assim, todateoria trivial contraditria. Entretanto, veremos adiante que a recprocano verdadeira.

1Observe que, para esta condio fazer sentido, deve ser assumido, adicionalmente, queo conjunto For uma lgebra livremente gerada a partir de uma assinatura.

2

Outro conceito importante o de exploso. Uma teoria explosiva sse:

(, , )Podemos demonstrar de acordo com noo definio de lgica trivial quese uma teoria trivial, ento explode. Ora, se trival, temos ( ),substituindo por . Tomemos = {,}. Como , por (Con2),temos que para todo , ou seja, (, , ).

Tambm possvel demonstrar que se uma teoria contraditria e ex-plosiva, ento trivial. Se contraditrio, temos ( e ).Ainda, se explosivo, temos (, , ). Como temos e, , , temos, por (Con3) que , , para todo e para todo .Do mesmo modo, de , e , por (Con3), temos , paratodo , ou seja, trivial.

No podemos esquecer que definimos L como For,. Ora, como For, por (Con2), podemos estender todas as definies acima para umalgica L. Dessa forma, j nos possivel formalizar alguns princpios lgicosaplicados a uma lgica qualquer L:

Princpio de No-Contradio (PNC)

( 1 ou 1 )(L no-contraditrio) (1.1)Princpio de No-Trivialidade (PNT)

( 1 )(L no-trivial) (1.2)Princpio de Exploso (PPE)

(, , )(L explosivo) (1.3)O ltimo princpio tambm denominado de Princpio ex Contraditione Se-quitor Quodlibet.

De acordo com as definies (1.1), (1.2) e (1.3) acrescidas as demonstra-es anteriores, podemos formular o seguinte teorema:

TEOREMA 1(i) Numa lgica h trivializao se e somente se houver contradio e explo-so.(ii) Numa lgica no valem simultaneamente o Princpio de Exploso e oPrincpio de No-Trivialidade se, e somente se, no vale o Princpio de No-Contradio.

3

DEFINIO 1 Uma lgica L denominada consistente se for explosiva eno-trivial, ou seja, se respeita (1.3) e (1.2).Caso contrrio, dizemos que L inconsistente.

Lgicas paraconsistentes so inconsistentes porque h o controle da explo-so de diversas formas. Lgicas triviais tambm so inconsistentes, conformea definio acima. A diferena entre lgicas paraconsistentes e triviais queas ltimas aceitam todo tipo de inferncia, no separando as proposies en-tre derivveis e no derivveis. Assim, podemos formular uma nova definiode lgica paraconsistente:

Uma lgica paraconsistente sse for inconsistente e no-trivial (1.4)

Essa definio explica a diferena entre lgicas paraconsistentes e lgicas dotipo clssico, como citado no inco dessa subseo. Lgicas do tipo clssicoso consistentes, isso , aceitam o Princpio de Exploso (1.3). Disso decorreque de uma contradio do tipo e , tudo se segue, trivializando o sistema.J lgicas paraconsistentes, por no aceitar (1.3), mas somente (1.1) e (1.2),podem aceitar certas inconsistncias sem trivializar o sistema.

Um importante conceito que ser tratado nas subsees seguintes o deequivalncia entre conjunto de frmulas. Dizemos que e so equivalentessse:

( ) e ( )Em particular, as frmulas e so equivalentes sse:

( ) e ( )

Essas propriedades sero denotadas por a e a , respectivamente.Uma frmula em L uma partcula falsum se pode, por si s, trivializar

a lgica, isto :(, )

Uma partcula falsum, quando existir, ser denotada por . A notao no ambga porque duas partculas falsum quaisquer so equivalentes. Se numalgica a partcula falsum teorema, ento a lgica trivial.

A existncia de partculas falsum numa lgica L regulada pelo seguinteprincpio:

Princpio de Ex Falso Sequitur Quodlibet

(, )(L tem uma partcula falsum) (1.5)

4

Analogamente particula falsum, dizemos que uma frmula umapartcula verum quando se segue de toda teoria, ou seja:

( )

Denotaremos tal partcula, quando existir, por >, que tambm no am-bguo. Em uma lgica qualquer, todas as suas teses so equivalentes. Issoporque, como dissemos anteriormente, uma tese se e somente se para todo For. Assim, em particular, . Pelas mesmas razes, se uma tese, ento , ou seja, e so equivalentes.

Assim, > representa todas as teses de uma lgica. interessante notarque, como >, ento, por (Con3): ,> se e somente se .

Daqui em diante, uma frmula de L construda usando estritamenteas variveis p0 . . . pn ser denotada por (p0 . . . pn). Essa frmula dependeapenas das variveis que ocorrem nela. Essa notao pode ser generalizadapor conjuntos; como resultado, teremos (p0 . . . pn). Se 0 . . . n so frmu-las, ento (0 . . . n) significa a substituio (simultnea) de pi por i em(p0 . . . pn) (para i = 0 . . . n). Analogamente, dado um conjunto de frmulas(p0 . . . pn), escreveremos (0 . . . n).

DEFINIO 2 Uma lgica L tem uma negao suplementar se h umafrmula (p0) tal que:(i) () no uma partcula falsum, para algum ;(ii) (, , () ).

Considere uma lgica com uma negao suplementar, denotada por o.Podemos ento definir uma teoria como sendo contraditria em relao ao desde que:

( e o)Desse modo, uma lgica L contraditria em relao o se todas suas teoriasso tambm. Assim, uma lgica que tem uma negao suplementar devesatisfazer o Princpio de No-Contradio em relao a essa negao.

Uma vez definida a noo de negao suplementar, podemos enunciaruma variao de (3):

Princpio de Exploso Suplementar:

L tem uma negao suplementar (1.6)

5

A disponibilidade de um tipo especfico de negao suplementar faz com quealgumas lgicas paraconsistentes possam recuperar a negao clssica.

Pode-se ainda considerar o correlato da definio de negao complemen-tar:

DEFINIO 3 Uma lgica L tem uma negao complementar se h umafrmula (p0) tal que:(a) () no uma partcula verum, para algum ;(b) (, , () implica ()).

Uma negao que ao mesmo tempo suplementar e complementar serdenominada negao clssica e simbolizada por .

Quanto implicao, procuramemos manter algumas propriedades dese-jveis da lgica clssica. Para tanto, tomemos a seguinte definio:

DEFINIO 4 Dizemos que uma lgica L tem uma implicao dedutivase existe uma frmula (p0, p1) tal que:(i) (, ) no uma particula falsum;(ii)( (, ) implica , );(iii) (, ) no uma particula verum;(iv) , , (, implica (, )).

Usaremos como smbolo de implicao dedutiva. Assim, podemos verificarque:

TEOREMA 2 em L vale:(DM): se e somente se , Prova. Consequncia imediata das clusulas (ii) e (iv) da Definio 4

Daqui em diante, ser o conjunto dos conectivos ,, e o conectivounrio , enquanto P = {pn : n N} o conjunto de frmulas atmicas.For o conjunto de frmulas geradas a partir de P em .

Analogamente, ser o conjunto obtido adicionando a o conectivounrio , e For ser o conjunto de frmulas geradas a partir de .

De acordo com (1) podemos afirmar que lgicas paraconsistentes so l-gicas que em certas condies no pressupem consistncia. Se entendermosconsistncia como aquilo que pode explodir na presena de uma contradio,

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as consideraes anteriores sugerem que lgicas paraconsistentes podem dealgum modo expressar consistncia de uma frmula em nvel metalgico.

Em termos formais, considere um conjunto (p) de frmulas que depen-dam apenas da varivel proposicional p. Esse conjunto satisfaz a exignciade haver frmulas e tais que:

(a) (), 1 (b) (), 1

Dizemos que uma teoria fracamente explosiva em relao a (p) se:

(,(), , )

Uma lgica L ser considerada fracamente explosiva quando houver um con-junto(p) tal que todas as teorias de L so fracamente explosivas em relaoa (p).

Podemos, desse modo, considerar uma variao fraca do Princpio deExploso:

Princpio de Exploso Fraco (PEF)

L satisfaz (PEF) sse fracamente explosiva para algum conjunto (p)(1.7)

Para cada frmula , o conjunto() expressar precisamente a consistnciade relativa lgica L. Quando o conjunto for unitrio, consideremos onico elemento de (), nesse caso define um operador de consistncia.

Desta maneira, estamos em condies de definir as Lgicas da Inconsis-tncia Formal (LFIs) do seguinte modo:

DEFINIO 5 Uma Lgica da Inconsistncia Formal (LFI) qualquerlgica na qual no vale o Princpio de Exploso (1.3) mas vale o Princpio deExploso Fraco (1.7)

1.2 mbC e C1Historicamente, o primeiro sistema paraconsistente proposicional que usaum operador de consistncia foi proposto por da Costa em 1963 (cf. [15])

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denominado C1. Esse sistema era o mais simples de uma hierarquia desistemas Cn. O operador de consistncia no era primitivo mas definidocomo:

df ( )Alm disso, esperava-se que esse novo operador tivesse as propriedades mni-mas que o interrelacionasse com os conectivos antigos. Portanto, C1 foravacom que essas relaes existissem apenas numa nica ocorrncia do conectivo,C2 para duas ocorrncias, e assim por diante.

Todavia, no caso geral das LFIs no h necessidade que ocorra umarelao entre e os demais operadores e tampouco que o operador sejadefinido por meio de outros operadores. Assim, em [7], prope-se um sistemaparaconsistente minimal, com as caractersticas mnimas que se exige paraque um sistema possa ser classificado como paraconsistente. Esse sistema foidenominadombC (minimal bold C-system). Aqui, o operador de consistncia primitivo e no h relao alguma entre esse operador e os demais.

Assim, ainda que C1 seja historicamente o sistema paraconsistente maissimples, mbC logicamente mais simples e por isso trataremos primeira-mento de mbC para, em seguida, apresentarmos C1 e a hierarquia Cn.

DEFINIO 6 A Lgica mbC definida a partir de For por meio dosaxiomas e regras de inferncia abaixo:

Esquema de axiomas:

(Ax1) ( )(Ax2) ( ) ( ( )) ( ))(Ax3) ( ( ))(Ax4) ( ) (Ax5) ( ) (Ax6) ( )(Ax7) ( )(Ax8) ( ) (( ) (( ) ))(Ax9) ( )

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(Ax10) (bc1) ( ( ))Regra de inferncia:

(MP),

NOTA 1 Suponhamos um conjunto de conectivos + que denota o con-junto sem o conectivo ; For+ o fragmento de For correspondente. ALgica Clssica Positiva ser denotada por CP+ e pode ser axiomatizadapor (Ax1) - (Ax9) e (MP). A Lgica Clssica Proposicional, CP, umaextenso de CP+ a partir de , acrescentando (Ax10) mais a seguinte leide exploso:

(exp) ( )

Essa axiomatizao esperada se tomarmos a definio de negao cls-sica dada na subseo anterior. evidente, pois, que numa lgica L, queestende CP+, um conectivo unrio de L uma negao clssica sse valem( ) e ( ( )).

CP tambm uma extenso minimal consistente de mbC. Um modoalternativo de axiomatizar CP acrescentando como axioma. Assim, de(bc), (MP) e esse novo axioma, obteramos (exp).2

NOTA 2 Embora usemos a expresso Lgicas da Inconsistncia Formal,mencionamos at ento o conectivo de consistncia . Todavia, mbC podeter ainda um conectivo anlogodo de inconsistncia . Em geral, usamos anegao clssica para definir esse conectivo, escrevendo def

Abaixo, enumeramos alguns teoremas importantes vlidos em mbC:

TEOREMA 3 Em mbC vale o Metateorema da Deduo(DM): , `mbC implica `mbC

2Observe que esta apresentao de CP dada na linguagem usual estendida peloconectivo incuo . nese sentido que CP pode ser visto como uma extenso dedutivade mbC.

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TEOREMA 4 Em mbC vale Prova por Casos(PBC): , `mbC e , `mbC implica , `mbC

TEOREMA 5 Em mbC valem:(i) (CNJ) `mbC se e somente se `mbC e `mbC (ii) (TRN) `mbC e `mbC implica `mbC

Prova. A clusula (i) se segue, num sentido, como conseqncia direta de(Ax4), (Ax5) e (MP). O outro sentido conseqncia de (Ax3) e (MP).J a clusula (ii) aplicao imediata de (DM).

Vimos at agora axiomas, regras e importantes teoremas de mbC, masainda no oferecemos uma possvel semntica a essa lgica. digno de notaque em mbC no vale a regra de Substituio para Equivalentes Demons-trveis. Isso significa que sua semntica no ser vero-funcional. Considere,pois, a seguinte definio:

DEFINIO 7 Seja 2 def {0, 1} um conjunto de valores-verdade, em que1 denota o valor verdade e 0 denota falso. Uma valorao 3 de mbC uma funo v : For 2 de acordo com as seguintes clusulas:

(v1) v( ) = 1 sse v() = 1 e v() = 1(v2) v( ) = 0 sse v() = v() = 0(v3) v( ) = 0 sse v() = 1 e v() = 0(v4) v() = 1 implica v() = 0(v5) v() = 1 implica v() = 0 ou v() = 0

Dado {} em mbC, a partir daqui mbC significa que recebevalor 1 para toda valorao de mbC em que os elementos de tambmrecebem valor 1.

Podemos verificar que a semntica de mbC claramente correta.

TEOREMA 6 (Corretude de mbC) Seja {} um conjunto de fr-mulas em For. Assim, `mbC implica mbC

3A semntica parambC apresentada em [8] inspirada na semntica de quasi-matrizespara o sistema C1 de da Costa. Conferir [16]

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Prova. Basta verificarmos que os axiomas de mbC assumem sempre valor1 em qualquer valorao em mbC e que (MP) preserva a validade. Comoexemplo, nos restringiremos demonstrao de (bc1). Suponhamos porabsurdo que v() = v() = v() = 1 enquanto v() = 0; pela clusula(v5) temos v() = 0, o que nos fora por (v3) inferir que (bc1) sempre ocaso para toda valorao da Definio 7.

TEOREMA 7 mbC uma LFI.

Prova. Observe que (1.7) segue-se imediatamente de (bc1) e (DM). Paraa no validade de (1.3), considere p = {p} e suponha v(p) = v(p) = 1enquanto v(q) = 0, em que p e q so variveis proposicionais distintas. Dessemodo p,p 1mbC q; o restante se segue por (Con2) e Teorema 6.

Para provarmos a completude de mbC precisaremos de alguns lemas edefinies adicionais.

DEFINIO 8 Seja L uma lgica como definida anteriormente e {} ForL um conjunto de frmulas. Dizemos que -saturado emL sse:(i) 6`L ;(ii) se / ento , `L .

O Lema abaixo denominado Lema de Lindenbaum-Asser garante a exis-tncia desse conjunto.

LEMA 1 Dado algum conjunto de frmulas tal que 1L , existe umconjunto -saturado em L tal que .

Prova. Considere uma enumerao {n}n N de frmulas em ForL e umasrie n, n N de teorias construda do seguinte modo:0 =

n+1 =

{n {n}, se n, n 1L n caso contrrio

Seja n =nN. Mostraremos que -saturado em L. Em primeiro

lugar, notemos que n 1L para todo n N. Alm disso, se L ento por (Con5) haveria um fin tal que fin L e por (Con3), dadofin m para algum m N, temos m L , contrariando a construo.

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Assim, 1L . Alm disso, se / , ento = n para algum n. Assim, / n+1 (pois n+1 ). Logo, por construo obtemos n+1 = n en, L . Como n , por (Con2) temos , L .

LEMA 2 Qualquer conjunto -saturado uma teoria fechada em L, ou seja: L sse .

Prova. A primeira parte se segue imediatamente de (Con1). Para a recpro-ca, basta percebermos que, como -saturado, ento 0L e , `L ;por (Con3) temos 0L .

LEMA 3 Seja um conjunto de frmulas em For tal que -saturado em mbC. Assim:(i) sse e ;(ii) see ou ;(iii) sse / ou ;(iv) / implica ;(v) , implica 6 .

Prova. Para todas as provas usaremos Lema 2, que denominaremos fecha-mento.(i) Suponha ( ) . De (Ax3) e (MP) temos `mbC ; logo, porfechamento . Para , basta substituirmos (Ax3) por (Ax4). A rec-proca sai de (Ax5), duas instncias de (MP) e fechamento.(ii) Seja ( ) . De fechamento, (Ax6) e (MP) temos , e evi-dentemente ou .(iii) Por (Ax9) e (ii) sabemos que ou . Suponhamos que ou / ; a nica possibilidade . Para a recproca, bastasupor que provamos por fechamento, (MP) e (Ax1).(iv) Tomemos / . De (Ax10) e (ii) temos ou ; por fecha-mento concluimos `mbC .(v) Suponhamos ,, . Por fechamento, (bc1) e (MP), temos ,absurdo. Logo, , implica / .

COROLRIO 1 A funo caracterstica de um conjunto -saturado defrmulas em mbC define uma valorao de mbC.

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Prova. Seja um conjunto de frmulas -consistente e seja v uma funodefinida como v : For 2 tal que para toda frmula em For, temosv() = 1 sse . fcil observar pelo Lema 3 que v satisfaz as clusulas(v1)-(v5) da Definio 7.

TEOREMA 8 (Completude de mbC) Seja {} um conjunto de fr-mulas em For. Assim, mbC implica `mbC

Prova. Tomemos For tal que 0mbC . Assim, pelo Lema 1 existeum conjunto -saturado , tal que alm de , `mbC para todo / e 0mbC , logo ,por (Con1), / . Oras, pelo Corolrio 1, a funocaracterstica v de define uma valorao dembC; assim, para todo ,v() = 1 mas v() = 0. Portanto, 2mbC e por (Con2) 2mbC .

At agora vimos a completude para o sistema mnimo paraconsistentembC. Veremos, a seguir, a sintaxe e um modelo para a hierarquia Cn deda Costa, sem nos determos nos pormenores da completude dessa hierarquiaque mutatis mutandis se obtm a partir da completude acima para mbC4.O texto aqui utilizado [15].

Para a axiomtica de C1 tomamos o operador de consistncia como defi-nido por meio de e e alguns axiomas adicionais que tratam da distribu-tividade do operador de consistncia, como podemos verificar a seguir.

DEFINIO 9 A Lgica C1 definida a partir de For por meio dos axi-omas e regras de inferncia abaixo:

Esquema de axiomas:

esquemas de axiomas (Ax1)-(Ax10) de mbC

(Ax11) (( ) (( ) ))(Ax12) (Ax13 ) 5

4Observe que os Lemas 1 e 2 vale para quaisquer lgicas L como definimos no inciodessa seo. As nicas mudanas significativas ocorrem no Lema 3.

5Esse axioma aparece em [15], mas no o encontramos mais em [16]. Em [17], o mesmoaxioma aparece como teorema derivvel dos demais axiomas de C1.

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(Ax14) ( )(Ax15) ( )(Ax16) ( )Regra de inferncia:

(MP),

Note que (Ax11) equivalente a (bc1), tal que podemos encarar C1comombC + (Ax12)-(Ax16), com a diferena que enquanto emmbC temos = {}, em C1 temos = {( )}.

Um modelo para C1 dada por meio das tabelas abaixo, em que 1 e 2so valores distinguidos.

1 2 31 1 1 32 1 1 33 3 3 3

1 2 31 1 1 12 1 1 13 1 1 3

1 2 31 1 1 32 1 1 33 1 1 1

1 32 13 1

Observe que nenhum operador preserva o valor de verdade 2. Interpre-tando 1 e 3 como os valores clssicos, respectivamente, verdadeiro e falso,podemos inferir que a consequncia da caracterstica sinttica da distribuiodo operador por meio dos operador clsicos - (Ax13) a (Ax16) - acrescido eliminao da dupla negao - (Ax12) - acarreta na eliminao do novo va-lor de verdade 2 por meio de qualquer combinao dos operadores clssicos.Mais ainda, conforme a definio do operador para C1, podemos construira tabela abaixo:

1 12 33 1

O que nos mostra claramente que 2 interpretado como valor de verdade pa-raconsistente. Em outras palavras, quando a frmula tiver valor 2, dizemosque a consistncia de falsa, ou seja recebe valor 3.

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No que diz respeito aos demais sistemas da hierarquia Cn, considere aseguinte notao:

a1 abrevia a frmula (( ))

an+1 abrevia a frmula ((n n)1)Desse modo, podemos propor a segunte definnio para o clculo Cn:

DEFINIO 10 As Lgicas Cn, 0 < n < definida a partir de For pormeio dos axiomas e regras de inferncia abaixo:

Esquema de axiomas:

esquemas de axiomas (Ax1)-(Ax10) de mbC

(Ax11n) n (( ) (( ) ))(Ax12) (Ax13n) n n

(Ax14n) n n ( )n

(Ax15n) n n ( )n

(Ax16n) n n ( )n

Regra de inferncia:

(MP),

Seguindo o mesmo modelo de C1, cada clculo Cn ter n+2 valores deverdade, sendo 1, 2, . . . , n + 1 valores distinguidos e n + 2 o nico valor nodistinguido. As quase-matrizes respeitaro as clusulas abaixo:

1. conjuno: se os componentes tiverem valores diferentes, a conjunoter o maior dos valores dos componentes; se os valores forem iguais,ser esse o valor da conjuno.

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2. disjuno: se os valores dos componentes forem distintos, a disjunoter o menor dos valores dos componentes; se forem todos iguais, teresse valor.

3. implicao: se os valores dos componentes forem diversos, a implicaoter o valor do consequente; se forem iguais, ter como valor 1.

J o esquema da tabela da negao segue-se abaixo:

1 n+ 22 13 2...

...n n 1

n+ 1 nn+ 2 1

Do que vimos at agora, podemos inferir o seguinte teorema:

TEOREMA 9 Cada clculo Cn estritamente mais forte que Cn+1. Oclculo Cw o mais fraco de todos os clculos Cn.

Prova. Uma vez que a demonstrao exigiria um processo demasiado tra-balhoso de deduo que extrapola nossos objetivos, nos limitaremos a apre-sentar um esboo da demonstrao. Observe primeiramente que C06 contmestritamente C1, pois, por exemplo, (Ax11) no vale em C0, como podemosverificar pela tabela de e . Construindo-se de modo indutivo uma tabelade n para cada Cn, obeservaremos que (Ax11n1) no vale em Cn.

Por fim, provamos de modo simples o teorema abaixo.

TEOREMA 10 Cada um dos clculos C0, C1, C2, . . . Cn1 Cn, Cn+1, . . .,C uma LFI.

Prova. Basta considerar na Definio 5 o conjunto (p) def {n} paracada Cn. A concluso segue imediata por (DM) e (Ax11n).

6C0 definido por da Costa como o Clculo proposicional Positivo. Conferir Nota 1.

16

Captulo 2LGICAS DA INCONSISTNCIA DENTICA

2.1 Lgica Dentica Clssica e Paraconsistn-cia

As lgicas denticas foram fortemente influenciadas por noes de lgicasmodais. Ainda que a analogia entre conceitos modais e denticos datemdo sculo XIV, (cf. [20]) podemos dizer que o seu tratamento simblicoe matemtico foi inaugurado por von Wright em [28]. Nesse artigo, vonWright distingue trs tipos de modalidades: alticas, epistmicas e denticas.As primeiras tratam das noes de necessrio e possvel, as segundas deverificvel ou falsificvel, e as terceiras esto relacionadas com as noes deobrigatrio e permitido.

Existem vrios sistemas que procuram formalizar essas noes (vide [25]).O sistema bsico dessa famlia de lgicas denominado SDL - StandardDeontic Logic. A idia aqui acrescentar a um sistema mnimo modal a noode que no pode haver obrigaes conflitantes, que aqui convenientementeformulada por meio do axioma (O-E).

NOTA 3 Daqui em diante = {,,,,} e For o conjunto defrmulas geradas a partir de .

De modo correlato, = {}, = {} e = {}.Os conjuntos For, Form e Form so os conjuntos de frmulas geradasa partir de , e , respectivamente.

17

DEFINIO 11 A Lgica SDL definida em For do seguinte modo1:

Esquemas de axiomas:

esquemas de axiomas (Ax1)-(Ax10) de mbC,

(exp) ( )(O-K) ( ) ()(O-E) f f em que f =def ( ), para ForRegras de inferncia

(MP),

(O-Nec)` `

NOTA 4 A axiomtica acima originalmente apresentada em [12] no omodo tradicional de axiomatizar SDL. Em geral, o axioma acrescentandoem vez de (O-E) :

(D):

Considerando o operador P df (leia-se permitido ou concedido), a interpretao original de (D) seria de que aquilo que obri-gatrio implica ser permitido. Outro modo de encarar o axioma (D) queobrigaes conflitantes so sempre falsas. Desse modo, reformularamos oaxioma como:

(D*): ( )

Todavia, facilmente demonstrvel que (O-E), (D) e (D*) so equiva-lentes tendo por base o Clculo Proposional Clssico e as definies de eP , o que demonstra que os trs sistemas so equivalentes.

1A axiomtica de SDL baseada em [12], que, por sua vez, pode ser interpretado comoadaptao de [10].

18

Uma axiomtica interessante e alternativa SDL a proposta por Chellasem [10] que, em vez de (O-K) e (O-Nec), teramos a regra de inferncia(ROM) e mais trs axiomas para reger o operador dentico:

(ROM)

(OC) ( )( )(ON) >(OD)

Na verdade, (OD) outro modo de ver (D*), enquanto (ON) e (O-Nec) so correlatos. J (O-K) obtido por (ROM) e (OC).

Dizemos ainda que um sistema dentico normal se existe uma Estruturade Kripke que caracteriza seus axiomas.

DEFINIO 12 Uma estrutura de Kripke generalizada uma tripla

W,R, {vw}wW

em que:

1. W um conjunto no vazio (de mundos-possveis);

2. R W W uma relao (de accessibilidade) entre mundos-possveisque pode ser vazia;

3. {vw}wW uma famlia de funes vw : For 2 que satisfaz para cadaw W :(v1) vw( ) = 1 sse vw() = vw() = 1(v2) vw( ) = 0 sse vw() = vw() = 0(v3) vw( ) = 0 sse vw() = 1 e vw() = 0(v4) vw() = 0 sse vw() = 1(v5) vw() = 1 sse vw() = 1 para todo em W , desde que R

19

TEOREMA 11 Caso na estrutura acima a relao R seja serial (ou seja,para todo w W , existe um w tal que wRw) ento as valoraes (v1)-(v5)satisfaro os axiomas de SDL; em outras palavras, `SDL sse SDL NOTA 5 Na Definio 12 acima falamos em estrutura porque de acordo comas caracterstica da relao de acessibilidade R teremos uma semntica devaloraes para um sistema modal (ou dentico) em particular. Por exemplo,caso foremos que a relao R seja vazia, teremos uma valorao para K.

Devido s consideraes da Nota 4 acima, podemos fazer um parelelo en-tre a lgica dentica padro e o clculo proposicional clssico. Como vimosna seo anterior, no clculo proposional clssico no h a distino entretrivialidade e inconsistncia: uma teoria trivial se e somente se for incon-sistente2. Em contrapartida, lgicas paraconsistentes so justamente aquelessistemas que podem ser inconsistentes sem serem triviais.

De modo anlogo, em [17] notado que numa lgica dentica padro osconceitos de trivialidade dentica e inconsistncia dentica so inseparveis.Considerando uma teoria como sendo deonticamente inconsistente comoaquela em que h frmulas do tipo e , ento de fato numa lgicadentica padro, inconsistente se e somente se para todo ,em outras palavras, deonticamente trivial3. Observe como essa carac-terstica conseqncia direta da axiomtica da nota acima, em que (ON)juntamente com (OD) foram com que a indistino dos conceitos de tri-vialidade de inconsistncia no mbito proposicional seja transposta para ombito dentico.

Vimos na seo anterior como noes metalgicas (contradio, consis-tncia e trivialidade) podem ser incorporadas na linguagem-objeto. Essaperspectiva nos incentiva, no caso das lgicas denticas, realizar o caminhoinverso: tratar axiomas (no caso (ON) e (OD)) como noes metalgicascom o intuito de produzir novos conceitos.

Desse modo, daqui em diante lidaremos com uma lgica L = For,(lembrando que as frmulas de For so geradas pela nossa nova assinatura que contm o operador ) em que satisfaz (Con1) - (Con5).

2Tal diferenciao foi primeiramente proposta por da Costa em [15], mas formalizadarigorosamente posteriormente em [7].

3Cabe aqui fazer a distino entre trivialidade simpliciter - - e trivialidadedentica - , ou seja, o colapso do operador dentico . Evidentemente o segundotipo um caso particular do primeiro, de modo que a trivializao simpliciter implica adentica.

20

Novamente seja uma teoria de L . Dizemos que uma teoria de-onticamente inconsistente em relao a , ou simplesmente deonticamenteinconsistente sse:

( e )Uma teoria deonticamente trivial sse:

( )O terceiro conceito dentico importante o de deonticamente explosivo. Umateoria deonticamente explosiva sse:

(,, )Estendendo as noes acima a uma lgica qualquer L, temos:

Princpio de Obrigaes No-Conflitantes (O-PNC)

( 1 ou 1)(L deonticamente no-conflitante) (2.1)Princpio de No-Trivialidade Dentica (O-PNT)

( 1)(L deonticamente no-trivial) (2.2)Princpio de Exploso Dentica (O-PPE)

(,, )(L deonticamente explosiva) (2.3)NOTA 6 Considere o fragmento de SDL excluindo-se axioma (O-E) deno-minado KO. Na verdade KO a verso dentica do sistema K. Evidente-mente (2.1) no vale em KO. Por outro lado, por (O-Nec), (exp), (O-K)e (DM), temos que (2.3) o caso. Isso significa que KO um sistema modalbaseado no Clculo Proposicional CP que deonticamente explosivo masno deonticamente inconsistente.

Outro modo de axiomatizar KO seria excluir o axioma (OD). Observeainda que caso exclussemos (OD) e (ON) teramos um fragmento no-normal de SDL, na verdade, a verso dentica do sistema S3 proposto porLewis. Assim, outro modo de encarar alguns sistemas modais no-normais dizer que so sistemas baseados no clculo proposicional clssico em que novalem (2.1) tampouco (2.3).

Considere, por fim, os sistemas no-normais denticos OVer, OTriv eOBan em que cada um composto por um nico axioma dentico, respec-tivamente:

21

(OVer) (OTriv) (OBan)

Sabemos por [9] que os trs sistemas so independentes e consistentes.4Evidentemente em OVer no vale (2.2). Mais ainda, como nesses sistemasvale o Teorema da Deduo (DM), temos em OBan que para qualquer con-junto no-vazio, OBan para todo e pelas mesmas razes temos OTriv . Ou seja, nesses trs sistemas valem (2.2) e (2.3) mas no vale(2.1).

Feitas as ressalvas acima, podemos verificar a validade do seguinte teo-rema:

TEOREMA 12(1) Um sistema normal5 deonticamente trivial se e somente se for deonti-camente inconsistente e explosivo.(2) Numa sistema normal no valem simultaneamente o Princpio de Explo-so Dentica e o Princpio de No-Trivialidade Dentica se, e somente se,no vale o Princpio de Obrigaes No-Conflitantes.

Prova.Para (1), por um lado, temos que se L deonticamente trivial, ento

e , logo L deonticamente explosiva e inconsistente. Paraa recproca, note que dado um mundo w, se vw()=vw() = 1, entow no est relacionado com nenhum w e, portanto, w um ponto terminal,ou seja, para todo , vw()=1.

Para (2), basta notar que a nica possibilidade de falhar (O-PNT) ou(O-PPE) num sistema normal o fato de que para todo w W , temosforosamente que w no ponto terminal, em outras palavras, que a relaaode acessibilidade R serial.

Assim, parece-nos bastante natural propor a seguinte definio:4Em [9] h uma breve referncia a sistemas no-normais. Para uma abordagem um

pouco mais detalhada sobre o tema, consultar [14].5Ainda que a Nota 6 acima parece mostrar que nossa distino valeria para tambm

para sistemas no-normais, o tratamento formal de sistemas denticos no-normais estra-pola os objetivos de nosso trabalho.

22

Uma lgica deonticamente paraconsistente sse for um sistema normaldeonticamente inconsistente e no-trivial (2.4)

O que exclui sistemas como K, OBan, OTriv e OVer, alm da ver-so dentica da hierarquia de Lewis S1-S3. Isso porque K s pode serdeonticamente trivial se for deonticamente inconsistente. OBan, OTriv eOVer so deonticamente triviais, enquanto a hierarquia S1-S3 so sistemasno-normais.

Como fizemos para as LFIs, considere um conjunto (p) de frmulasque dependam apenas da varivel proposicional p. Esse conjunto satisfaz aexigncia de haver frmulas e tais que:

(a) (), 1(b) (), 1

Dizemos que uma teoria deonticamente fracamente explosiva em re-lao a () se:

(,(),, )Uma lgica L ser considerada deonticamente fracamente explosiva quandohouver um conjunto (p) tal que todas as teorias de L so deonticamentefracamente explosivas em relao a (p).

Podemos, novamente de modo anlogo s LFIs, considerar uma variaofraca do Princpio de Exploso Dentico:Princpio de Exploso Dentico Fraco (O-PEF)

L satisfaz (O-PEF) sse deonticamente fracamenteexplosiva para algum conjunto (p) (2.5)

Para cada frmula , o conjunto () expressar a consistncia denticade relativa lgica L. Quando o conjunto for unitrio, consideremos o nico elemento de (), nesse caso define um operador de consistnciadentica.

Podemos, assim, formular a definio a seguir em que fica evidente ocarter anlogo das LDIs em relao s LFIs:

23

DEFINIO 13 Uma lgica L uma LDI - Lgica da InconsistnciaDentica - em relao a , se em L vale (2.5) mas no vale (2.3). Casocontrrio, dizemos que L -consistente ou um sistema dentico no-normal.

2.2 Lgicas Denticas ParaconsistentesO primeiro sistema paraconsistente proposto na literatura foi apresentado em[17], e denominado CD1 . Alm de ser uma extenso dentica de C1 - em que,como vimos, o operador de consistncia definido em vez de primitivo - osistema apresenta relaes interessantes entre os operadores e , mas queno so estritamente necessrias para um sistema dentico paraconsistente.Assim, analogamente como ocorreu com o sistema mbC, em [12] prope-seum sistema dentico paraconsistente minimal -DmbC - em que primitivoe que nenhuma interao entre e exigida. Novamente, por ser umsitema mais simples apresentamos primeiramente DmbC e sua completudepara, em seguida, apresentarmos CD1 e seu esboo de completude.

Assim, considere o seguinte sistema dentico baseado em mbC:

DEFINIO 14 A Lgica DmbC6 definida em For do seguinte modo:

Esquemas de axiomas:

esquemas de axiomas (Ax1)-(Ax10) e (bC1) de mbC,

(O-K) ( ) ()(O-E) em que =def ( ) , para For

Regras de inferncia

(MP),

(O-Nec)` `

6A axiomtica, semntica e completude de DmbC est baseada em [12].

24

TEOREMA 13 Em DmbC vale Metateorema da Deduo:(DM): , `DmbC sse `DmbC

TEOREMA 14 Em DmbC vale Prova por Casos(PBC): , `DmbC e , `DmbC implica , `DmbC

Prova. Idntica de mbC.

TEOREMA 15 Em DmbC valem:(CNJ) `DmbC se e somente se `mbC e `DmbC (TRN) `DmbC e `DmbC implica `DmbC

Prova. Idntica a do Teorema 5.

TEOREMA 16 em DmbC vale :( ) a`DmbC

Prova.[1] (( ) ) (Ax4) e (O-Nec)[2] ( ) (O-K) e (MP) em [1][3] ( ) (Ax4), (O-Nec),

(O-K) e (MP)[4] ( ) `DmbC (CNJ) em [2] e [4][5] ( ( )) (Ax3), (O-Nec),

(O-K) e (MP)[6] ( ( )) ( ( )) (O-K)[ / , / ][7] ( ( )) (TRN) em [5] e [6][8] `DmbC ( ) (CNJ) e (DM) em [6] e [7][9] ( ) a`DmbC [4] e [8]

A semntica de DmbC obtida alterando-se algumas clusulas da se-mntica de Kripke, do seguinte modo:

DEFINIO 15 Uma estrutura de Kripke para SDmbC uma triplaW,R, {vw}wW , em que:

1. W um conjunto no vazio (de mundos-possveis);

25

2. R W W uma relao (de accessibilidade) entre mundos-possveisque serial, ou seja: para todo w W existe w W tal que wRw;

3. {vw}wW uma famlia de funes vw : For 2 que satisfaz paracada w W :(v1) vw( ) = 1 sse vw() = vw() = 1(v2) vw( ) = 0 sse vw() = vw() = 0(v3) vw( ) = 0 sse vw() = 1 e vw() = 0(v4) vw() = 0 implica vw() = 1(v5) vw() = v() implica vw() = 0(v6) vw() = 1 sse vw() = 1 para todo emW , desde que R

TEOREMA 17 Seja {} o conjunto de frmulas em For. Ento `DmbC implica DmbC .

Prova: Vamos nos restringir a (O-E). Suponhamos vw() = 1. As-sim, por (v6) e serialidade de R, existe wRw tal que vw() = vw() =vw() = 1. Mas por (v5), temos vw() = 0, o que nos fora concluir quevw() = 0 e por (v3) temos vw( ) = 1.

Dada a corretude de DmbC, podemos demonstrar os seguintes teoremas:

TEOREMA 18 DmbC uma LDI

Prova. Para a validade de (2.5), basta aplicar (O-Nec) em (bc1) para, emseguida, aplicar (O-K) e (DM). Alm disso, dado o modeloM = W,R, vem que W = {w}, R = {(w,w)} e vw(p) = vw(p) = 1 facil observar queM um modelo para DmbC que invalida 2.5

TEOREMA 19 DmbC uma LFI.

Prova. Note que (GPPE) consequncia direta de (bC1) e (DM). J para ainvalidade de (PPE) utiliza-se o mesmo modelo da demonstrao anterior.

26

NOTA 7 Podemos denominar DmbC como o sistema mnimo classificadocomo LDI. Com efeito, suponhamos que acrescentamos como axioma.Pela Nota 1 sabemos que obtemos (exp). Alm disso, por (O-Nec) teramos, que pelo Teorema 16, obteramos (O-E), ou seja,DmbC+ = SDL.

possvel em DmbC definir um operador de inconsistncia dentica -vide Nota 2 - do seguinte modo:

def

Dado que o axioma (O-E) define um operador de consistncia por meio de e que em DmbC no h um axioma que estipule alguma relao entre e , a analogia com o operador de inconsistencia de mbC no imediata, pois:

mas 6 O que veremos no ser o caso em CD1 . At aqui, vimos a corretude de

DmbC. Para a completude7 de Dmbc precisaremos de algumas noes elemas adicionais.

DEFINIO 16 Seja um conjunto -saturado em DmbC. A deneces-sitao de um conjunto Den() =def { For : }.

LEMA 4 Seja um conjunto -saturado em DmbC.(i) O conjunto Den() uma teoria fechada em DmbC, ou seja:Den() `DmbC implica Den().(ii) / implica Den(), 6`DmbC .

Prova. (i) Tomemos Den() `DmbC . Assim, existe 1, . . . , n Den()tal que 1, . . . , n `DmbC e ento, por n aplicaes de (DM), segue-se que

`DmbC (1 ( (n ) )).7Na verdade, tanto a completude de DmbC quanto SDmbC podem ser derivadas a

partir de um caso particular de um sistema dentico mais genrico, conforme [5]. Paratanto, considere o esquema de axioma Pkl mPn - em que P def -que abreviamos por Gk,l,m,n, com k, l,m, n N. O sistema G1,0,0,0 + G0,1,0,1 +mbC temcomo teoremas os axiomas de DmbC e SDmbC. Portanto, a completude do primeiroimplica na completude dos outros dois.

27

Por (O-Nec), temos que `DmbC (1 ( (n ) )) e ento, por(O-K), (MP) e (DM), temos

`DmbC (1 ( (n ) )).

Mas1, . . . ,n , pela definio de Den(), Portanto `DmbC ,por (MP). Assim , pelo Lema 2, e ento Den().(ii) Suponhamos que Den(), `DmbC . Dado que Den(), `DmbC ento, por (PBC), segue-se que Den() `DmbC . Assim, pelo item (i), Den(), ou equivalentemente, .

LEMA 5 Seja um conjunto de frmulas em For tal que -saturado em DmbC. Assim:(i) sse e ;(ii) see ou ;(iii) sse / ou ;(iv) / implica ;(v) , implica 6 .

Prova. Idntica do Lema 3

DEFINIO 17 O modelo cannico para DmbC uma tripla

Mc = W , R, {v}W

tal que:

1. W = { For : um conjunto -saturado em DmbC paraalgum };

2. R = {, W W : Den() };3. v a funo caracterstica em , isto : v() = 1 sse .

PROPOSIO 1 O modelo cannico Mc uma estrutura de Kripke paraDmbC.

28

Prova: Provaremos, primeiramente, que R serial. Assim, seja um con-junto -saturado emDmbC. Ento, h uma frmula tal queDen() 6`DmbC. Caso contrrio, em particular, Den() `DmbC e assim Den(),pelo Lema 4 (i). Logo e ento `DmbC , por (O-E) e(MP). Daqui e (bC1) segue-se que `DmbC , uma contradio. LogoDen() 6`DmbC , para alguma frmula . Assim, pelo Lema 1 existe umconjunto -saturado em DmbC tal que Den() . Em outras palavras,existe W tal que R, ou seja, R serial.

Seja W . Pelo Lema 5 (i)-(v) segue-se que v satisfaz as clusulas(vi)-(v5) da Definio 15. Resta-nos provar que, para toda frmula For:

v() = 1 sse v() = 1 para todo tal que Den() .

Suponhamos que v() = 1 e seja W tal que Den() . Assim e ento Den(), pela definio de Den(). Logo eassim v() = 1. Por outro lado, se v() = 0 ento / . AssimDen(), 6`DmbC , pelo Lema 4 (ii). Oras, pelo Lema 1, existe umconjunto -saturado em DmbC tal que Den() {} . Portanto W tal que Den() e v() = 0.

TEOREMA 20 (Completude para DmbC) Seja {} um conjuntode frmulas em For. Ento DmbC implica `DmbC .

Prova. Suponha que 6`DmbC . Pelo Lema 1, podemos estender a umconjunto -saturado em DmbC. Uma vez que 6`DmbC ento / (por 2). Seja Mc o modelo cannico para DmbC (cf. 17). Assim, pelaProposio 1, Mc uma estrutura de Kripke para DmbC e um mundopossvel de Mc tal que Mc, DmbC (dado que ) e Mc, 2 (dadoque / ). Isso mostra que 2DmbC .

Evidentemente em CD1 - por ser uma extenso de C1 - o operador deconsistncia tambm definido por meio de e . Alm disso, temos umaxioma adicional que trata da distributividade da interao de e , comopodemos verificar a seguir.

DEFINIO 18 A Lgica CD1 definida a partir de For por meio dosaxiomas e regras de inferncia abaixo:

29

Esquema de axiomas:

esquemas de axiomas de C1

(O-K) ( ) ()(O-D) (CD) Regra de inferncia:

(MP),

(O-Nec)` `

Por hora, detenhamo-nos nos axiomas (O-D) e (CD). Como j observa-mos na Nota 4, o axioma (O-D) est mais prximo do axioma (D) de SDLdo que (O-E), preservando a idia de que se algo obrigatrio, ento deveser permitido - ao menos para a negao clssica . O axioma (O-D), porsua vez, nos chama ateno que pode haver um caso em que seja deontica-mente consistente - - mas no consistente - . Ainda que esse axiomaparea arbitrrio, juntamente com CD oferece-nos resultados interessantes,pois:

, CD1 mas , 1CD1 e ainda

CD1 ( )Isso significa que a negao paraconsistente respeita o Princpio de Explo-so Dentico, enquanto respeita o Princpio de Exploso Dentico Fraco.

Mais ainda, devido eliminao da dupla negao e do axioma (CD),podemos como em DmbC definir um operador de inconsistncia dentica,com a vantagem de ter uma interao mais natural entre os operadores, talque:

def ( ) E evidentemente temos o teorema a seguir como espervamos.

30

TEOREMA 21(i) CD1 uma LDI(ii) CD1 uma LFI

Prova. Basta considerar {( )} e { }. A semntica para CD1 ser similar DmbC, com algumas clusulas adi-

cionais.

DEFINIO 19 Uma estrutura de Kripke para CD1 uma tripla

W,R, {vw}wW

em que:

1. W um conjunto no vazio (de mundos-possveis);

2. R W W uma relao (de accessibilidade) entre mundos-possveisque serial;

3. {vw}wW uma famlia de funes vw : For 2 que satisfaz paracada w W :(v1) vw( ) = 1 sse vw() = vw() = 1(v2) vw( ) = 0 sse vw() = vw() = 0(v3) vw( ) = 0 sse vw() = 1 e vw() = 0(v4) se vw() = 1, vw( ) = 1 e vw( ) = 1, ento vw() = 0(v5) se vw( ) = 1 ento vw(( )) = 1, vw(( )) = 1 e

vw(( )) = 1(v6) vw() = 0 implica vw() = 1(v7) vw() = 1 implica vw() = 1(v8) vw() = 1 sse vw() = 1 para todo em W , desde que R(v9) vw() = 1 implica vw() = 1 para todo em W , desde que

R

TEOREMA 22 Seja {} o conjunto de frmulas em For. Ento `CD1 implica CD1 .

31

Prova. Nos restringiremos a (O-D). Note que se vw() = 1 ento por(v8) temos wRw e vw() = 1, ou seja vw( ) = 0 e vw( ) = 1.

Esboamos, a seguir, a prova do Teorema de Completude para CD1 .

LEMA 6 Se {, } um conjunto de frmulas de CD1 , ento valem asseguintes regras derivadas:(i) , `CD1 sse `CD1 ;(ii) Se , `CD1 e , `CD1 , ento `CD1 ;(iii) Se , `CD1 e , `CD1 ento `CD1 ;(iv) , , `CD1 ;(v) , `CD1 ;(vi) , `CD1 ;(vii) , `CD1 ;(viii) , `CD1 ;(ix) , , `CD1 ;(x) , `CD1 ;(xi) , `CD1 .

Prova. Para (i), basta notar que em CD1 vale (DM). Para (ii), note que CD1 sse 1CD1 . (iii) consequncia imediata de (Ax8) e (DM),enquanto para (iv), (v) e (vi), note que emCD1 vale (CNJ). J (vii) e (viii) soconsequncias de (Ax6) e (Ax7), respectivamente. Para (ix), o argumento similar a (ii), enquanto (x) e (xi) prova-se por (Ax12) e definio de negaoclssica.

Cabe aqui notar que Lema 1 e Lema 2 - vlidos parambC - tambm valepara CD1 , pois foram provadas para uma lgica L qualquer, como definida naseo 1. Alm disso, a partir da Definio 16 do conjunto de denecessitao,provamos de modo idntico que o Lema 4 de DmbC tambm vale para CD1 .Por fim, usando a Definio 17 de modelo cannicoMc para a nova valorao(v1) v(9), temos:PROPOSIO 2 O modelo cannico Mc uma estrutura de Kripke paraCD1 .

Prova: Para provarmos que emMc a relao R serial, considere o conjunto como -saturado. Se `CD1 para todo , ento Den() `CD1 e

32

tambm Den() `CD1 , que por (O-D) e clusula (ix) do Lema 6nos fora Den() `CD1 e `CD1 , um absurdo. Logo 0CD1 .Assim,pelo Lema 1 existe um conjunto -saturado em CD1 tal que Den() ,ou seja, existe W tal que R, satisfazendo em Mc a clusula para Rser serial. O restante segue-se idntico a DmbC.

TEOREMA 23 (Completude para CD1 ) Seja {} um conjunto defrmulas em For. Ento CD1 implica `CD1 .

Prova: Idntica de Dmbc.

COROLRIO 2 (Completude para C1) C1 sse `C1

No parece interessante, entretanto, a distino entre LFI e LDI se noapresentarmos sistemas que so LFIs sem serem LDIs8. Esse o casode SDmbC e BDmbC. O primeiro, como veremos, um sistema para-consistente no mbito proposicional mas, em mbito dentico, no toleraobrigaes inconsistentes. J BDmbC um sistema dentico bi-modal emque cada operador se comporta de modo distinto: um operador no tolerainconsistncia e o outro paraconsistente, no trivializando na presena deobrigaes conflitantes.

Vejamos a axiomtica para SDmbC:

DEFINIO 20 A Lgica SDmbC definida em For do seguinte modo:

Esquemas de axiomas:

esquemas de axiomas (Ax1)-(Ax10) e (bC1) de mbC,

(O-K) ( ) ()(O-E)* f

8Outro exemplo interessante de uma LDI est em [5]. Considerando novamente averso dentica do esquema PklmPn, temos em particular o sistema G0,1,0,1 +mbC, que tambm uma LDI. Na verdade, a princpio acrescentando qualquer instnciado esquema Gk,l,m,n a G0,1,0,1 + mbC, teramos uma LDI. No demonstraremos essapropriedade, entretanto, por estar fora do escopo de nosso trabalho.

33

Regras de inferncia

(MP),

(O-Nec)` `

NOTA 8 A lgica SDL uma extenso de SDmbC. Observe que se acres-centarmos como axioma, teramos (O-E) e (exp) como teorema, ou seja,teramos SDL com uma outra axiomtica e assinatura. Esse fenmeno muito semelhante ao que ocorre a mbC em relao CP (vide Nota 1 eNota 7).

TEOREMA 24(DM): , `SDmbC implica `SDmbC

TEOREMA 25 Em DmbC vale Prova por Casos(PBC): , `SDmbC e , `SDmbC implica , `SDmbC

TEOREMA 26 Em SDmbC vale:(i) `SDmbC se e somente se `SDmbC e `SDmbC (ii) `SDmbC e `SDmbC implica `SDmbC

Prova. Idntica a de Teorema 5.

TEOREMA 27 em SDmbC vale:( ) a`SDmbC

Prova. Idntica de DmbC A semntica de SDmbC obtida acrescentando uma nova clusula

semntica de DmbC:

DEFINIO 21 Uma estrutura de Kripke para SDmbC uma tripla

W,R, {vw}wW em que:

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1. W um conjunto no vazio (de mundos-possveis);

2. R W W uma relao (de accessibilidade) entre mundos-possveisque serial, ou seja: para todo w W existe w W tal que wRw;

3. {vw}wW uma famlia de funes vw : For 2 que satisfaz paracada w W :(v1) vw( ) = 1 sse vw() = vw() = 1(v2) vw( ) = 0 sse vw() = vw() = 0(v3) vw( ) = 0 sse vw() = 1 e vw() = 0(v4) vw() = 0 implica vw() = 1(v5) vw() = v() implica vw() = 0(v6) vw() = 1 sse vw() = 1 para todo em W , desde que R(v7) vw() = 1 implica vw() = 0 para todo em W , desde que

R

A clusula (v7) exprime a noo de que num mundo w acessvel a w,caso tenhamos e concluiremos que vw() = 1 e vw() = 0, trivia-lizando. A recproca, todavia, no pode ser verdadeira, pois contradizeria aclusula (v4).

TEOREMA 28 Seja {} o conjunto de frmulas em For. Ento `SDmbC implica SDmbC .Prova: Nos restringiremos a (O-E)*. Se vw(f) = 1, por (v6) e serialidadede R, existe wRw tal que vw() = 1 e vw() = 1. Pela mesma clusula,teramos vw() = 1 e vw() = 1 que, pela clusula (v7) nos fornecevw() = 0, absurdo. Assim, por (v3) temos vw(f ) = 1

Podemos, ento, demonstrar a afirmao do incio da subseo:

TEOREMA 29(i) SDmbC uma LFI.(ii) SDmbC no uma LDI.

Prova. Para (i), o argumento idntico ao de DmbC. Para (ii), bastamostrar que vale (O-PPE), que conseqncia imediata de (O-E)*, Teorema27, (bC1) e (DM).

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COROLRIO 3 SDmbC um sistema -consistente.Prova. Conseqncia imediata da validade de (2.3). Para validade de (2.2),basta tomar o modelo M em que W = {w}, R = {w,w} e vp = 0

NOTA 9 Considere o fragmento de SDmbc em que no vale (O-E)* de-nominado OKmbC. Observe que em OKmbC vale (O-PPE) mas no vale(O-PNC). Mais ainda: OKmbC uma LFI, no uma LDI e tambm -consistente.

LEMA 7 Seja um conjunto de frmulas em For tal que -saturado em SDmbC. Assim:(i) sse e ;(ii) see ou ;(iii) sse / ou ;(iv) / implica ;(v) , implica 6 (vi) / ou / Prova: Nos restringiremos prova de (vi), pois as demais so idnticasao Lema 3. Suponhamos e . Assim, por (ii), temos que . Logo, por (i) do Lema 2, temos `SDmbC . Masde (DM), (O-exp) e Teorema 27 obtemos que `SDmbC () , epor (MP), temos que `SDmbC , contrariando a definio de . Portanto / ou / .

LEMA 8 Seja um conjunto -saturado em SDmbC.(i) O conjunto Den() uma teoria fechada em SDmbC, ou seja:Den() `SDmbC implica Den().(ii) / implica Den(), 6`SDmbC .Prova. Idntica a Dmbc

DEFINIO 22 O modelo cannico para SDmbC uma tripla

Mc = W , R, {v}Wtal que:

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1. W = { For : um conjunto -saturado em SDmbC paraalgum };

2. R = {, W W : Den() };3. v a funo caracterstica em , isto : v() = 1 sse .

PROPOSIO 3 O modelo cannicoMc uma estrutura de Kripke paraSDmbC.

Prova: Provaremos, primeiramente, que R serial. Assim, seja um con-junto -saturado em SDmbC. Ento, h uma frmula tal que

Den() 6`SDmbC .Caso contrrio, em particular, Den() `SDmbC f e assim f Den(),pelo Lema 8 (i). Logo f e ento `SDmbC , por (O-E) e(MP). Daqui e (bC1) segue-se que `SDmbC , uma contradio. LogoDen() 6`SDmbC , para alguma frmula . Assim, pelo Lema 1 existe umconjunto -saturado em SDmbC tal queDen() . Em outras palavras,existe W tal que R, ou seja, R serial.

Seja W . Pelo Lema 7 (i)-(v) segue-se que v satisfaz as clusulas(vi)-(v5) da Definio 21. Resta-nos provar que, para toda frmula For:

(1) v() = 1 sse v() = 1 para todo tal que Den() .(2) v() = 1 implica v() = 0 para todo

tal que Den() .Para (1), suponhamos que v() = 1 e seja W tal que Den() .Assim e ento Den(), pela definio de Den(). Logo e assim v() = 1. Por outro lado, se v() = 0 ento / . AssimDen(), 6`SDmbC , pelo Lema 8 (ii). Oras, pelo Lema 1, existe umconjunto -saturado em SDmbC tal que Den(){} . Portanto W tal que Den() e v() = 0.

Para (2), seja v() = 1 e seja W tal que Den() , assim . Ora pelo Lema 7 (vi) / , logo Den(), 6`BDmbC , peloLema 8 (ii). Pelo Lema 1, existe um conjunto -saturado em SDmbCtal que Den() {} . Portanto W tal que Den() ev() = 0.

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TEOREMA 30 (Completude para SDmbC) Seja {} um conjuntode frmulas em For. Ento SDmbC implica `SDmbC .

Prova. Suponha que 6`SDmbC . Pelo Lema 1, podemos estender a umconjunto -saturado em SDmbC. Uma vez que 6`SDmbC ento / (por (Con1)). SejaMc o modelo cannico para SDmbC (cf. Definio 22).Assim, pela Proposio 1,Mc uma estrutura de Kripke para SDmbC e um mundo possvel deMc tal queMc, SDmbC (dado que ) eMc, 2 (dado que / ). Isso mostra que 2SDmbC .

Outro ponto interessante em SDmbC que, ainda que consigamos recu-perar a negao clssica de modo anlogo ao de mbC, elas colapsam doponto de vista dentico, como podemos observar no teorema a seguir:

TEOREMA 31 a`SDmbc

Prova. Em primeiro lugar, preciso notar que `SDmbC , e apli-cando (O-Nec) e (O-K) temos um lado da implicao. A recproca provadasemanticamente: dado vw() = 1, ento vw() = 0, logo vw( ) = 1e vw( ) = 1 para todo w tal que wRw, e da vw( ) = 1

Os sistemasDmbC e SDmbC parecem ser ambos interessantes no estudode paradoxos denticos. Todavia, uma lgica que combinasse esses sistemaspode enriquecer ainda mais nossas anlises. Com esse intuito que propomoso sistema a seguir.

DEFINIO 23 A Lgica da Inconsistncia Bimodal Dentica BDmbC9- Bimodal Deontic mbC - definida a partir de For por meio dos axiomase regras de inferncia abaixo:

Esquema de axiomas:

esquemas de axiomas (Ax1)-(Ax10) e (bC1) de mbC,

(O-K) ( ) ()9A axiomtica abaixo fortemente inspirada no sistema modal KT apresentado em

[9]. Usamos, inclusive, o mesmo conectivo , mas com uma nova interpretao: em vezde ser um operador de necessidade fsica passa a designar o conceito dentico de obrigaoconsistente.

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(O-E) em que def ( ) (-K) ( ) ( )(-E) f em que f def (BA) Regras de inferncia:

(MP),

(O-NEC)` `

(-NEC) ` `

O operador pode ser interpretado como classicamente dentico ouainda normalmente dentico; essa noo est expressa em (O-E)*. Poroutro lado, aqui entendido como fracamente dentico, como expressoem (-E). Mas almejamos que o novo operador tenha alguma relao com e conveniente que seja mais forte ou mais exigente que , da aopo por (BA).

TEOREMA 32 em BDmbC vale:(i) ( ) a`BDmbC (ii) ( ) a`BDmbC Prova. A de (i) idntica ao Teorema 16. Para (ii), basta adaptar a prova domesmo teorema, substituindo (O-K) por (-K) e (O-Nec) por (-Nec)

Antes de prosseguirmos com a corretude e completude de BDmbC interessante notar que existe mais um paralelo entre as LFIs e LDIs. Assimcomo mbC -paraconsistente mas no -paraconsistente, o teoremaabaixo mostra como BDmbC no -consistente mas -consistente.TEOREMA 33(i) BDmbC uma LFI(ii) BDmbC uma LDI em relao (iii) BDmbC no uma LDI em relao

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Prova. Para (i), o argumento idntico a DmbC. Para (ii), o argumento o de SDmbC. Para (iii), basta demonstrar que vale (O-PEF), que con-seqncia imediata de (-E), Teorema 32, (bC1) e (DM).

COROLRIO 4 BDmbC -consistente mas no -consistente

Prova. Do teorema acima sabemos que BDmbC no -consistente. Paraprovarmos que -consistente, basta verificar que de (-E) e (DM) temos(O-PPE). A invalidade de (O-PNT) segue o mesmo modelo do Corolrio 3,substituindo R por R

DEFINIO 24 Uma estrutura de Kripke paraBDmbC uma qudrupla

W,R,R, {vw}wW

em que:

1. W um conjunto no vazio (de mundos-possveis);

2. R W W e R W W so relaes (de accessibilidade) entremundos-possveis seriais, ou seja: para todo w W existem w e w W tal que wRw e wRw;

3. R R

4. {vw}wW uma famlia de funes vw : For 2 que satisfaz paracada w W :(i) vw( ) = 1 sse vw() = vw() = 1(ii) vw( ) = 0 sse vw() = vw() = 0(iii) vw( ) = 0 sse vw() = 1 e vw() = 0(iv) vw() = 0 implica vw() = 1(v) vw() = v() implica vw() = 0(vi) vw() = 1 sse vw() = 1 para todo em W , desde que R(vii) vw() = 1 sse vw() = 1 para todo em W , desde que R

(viii) vw() = 1 implica vw() = 0 para todo em W , desde queR

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TEOREMA 34 Seja {} o conjunto de frmulas em For. Ento `BDmbC implica BDmbC .

Prova: Vamos nos restringir a (O-E), (-E) e (BA). Suponhamos quevw() = 1. Assim, existe um w tal que wRw (pois R serial) e por(vi) temos que vw() = 1. Mas pela definio de e por (i), temos quevw() = vw() = vw() = 1. Oras, mas por (v) temos que vw() = 0,um absurdo. Logo, vw() = 0 e por (iii) vw( ) = 1.

Agora consideremos vw(f) = 1. Assim, por (i) e pela definio de fatemos que vw() = vw() = 1. Mas R tambm serial ento por (vii)temos que vw() = 1 enquanto por (viii) vw() = 0, um absurdo. Assim,vw(f) = 0 e por (iii) vw(f ) = 1

Por fim, seja vw() = 0. Assim, por (iii) vw() = 1 e vw().seja w tal que wRw; dado que R R, ento wRw, logo vw(alpha) = 1.Assim, vw() = 1, um absurdo. Logo vw() = 1.

Segue-se a completude para BDmbC:

LEMA 9 Seja um conjunto -saturado em BDmbC. Assim:(i) sse e ;(ii) sse ou ;(iii) sse / ou ;(iv) / implica ;(v) , implica 6 .(vi) / ou /

Prova: Idntica do Lema 7, com a pequena alterao na clusula (vii),substituindo por

DEFINIO 25 Seja um conjunto -saturado em BDmbC. A dene-cessitao de em relao a um conjuntoDen() =def { For : }.

DEFINIO 26 Seja um conjunto -saturado em BDmbC. A dene-cessitao de em relao a um conjunto Den() =def { For : }.

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LEMA 10 Seja um conjunto -saturado em BDmbC.(i) O conjunto Den() uma teoria fechada em BDmbC, ou seja:Den() `SDmbC implica Den().(ii) / implica Den(), 6`SDmbC .

Prova. Idntica a de Lema 4, substituindo Den() por Den().

LEMA 11 Seja um conjunto -saturado em BDmbC.(i) O conjunto Den() uma teoria fechada em BDmbC, ou seja:Den() `BDmbC implica Den().(ii) / implica Den(), 6`BDmbC .(iii) Den() Den()

Prova. Nos restringiremos a (iii), pois para (i) e (ii) a prova praticamenteidntica a do Lema 4. Assim, seja Den(). Assim, por (Con1) `BDmbC e, por (BA) e (MP) temos `BDmbC e, pelo Lema 10,temos Den().

DEFINIO 27 O modelo cannico para BDmbC uma qudrupla

Mc = W , R,R{v}Wtal que:

1. W = { For : um conjunto -saturado em BDmbC paraalgum };

2. R = {, W W :Den() };3. R = {, W W : Den() };4. v uma funo caracterstica em , isto : v() = 1 sse .

PROPOSIO 4 O modelo cannicoMc uma estrutura de Kripke paraBDmbC

Prova: Provaremos primeiramente que R serial. Assim, seja umconjunto -saturado em BDmbC. Logo, existe uma frmula tal que

Den() 0BDmbC

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Caso contrrio, teramos em particular que Den() `BDmbC o queimplicaria que `BDmbC e por (-E) e (MP) teramos `BDmbC. Disso se segue que `BDmbC , absurdo. Assim,Den() 0BDmbC e pelo Lema 1 existe um conjunto -saturado tal que Den() e pela clusula 2 da Definio 27, temos que , R, ou seja, existe W tal que R, o que siginifica que R serial.

Agora provaremos que R tambm serial. Seja novamente um con-junto -saturado em BDmbC. Assim, existe uma frmula tal que

Den() 0BDmbC

Caso contrrio, em particular Den() 0BDmbC , ou seja, `BDmbC( ) que por Teorema 32 (ii) nos fornece `BDmbC , e por(exp) temos `BDmbC , um absurdo. Portanto, Den() 0BDmbC epelo Lema 1 existe um conjunto -saturado tal que Den() e pelaclusula 3 da Definio 27 temos que , R, ou seja, existe Wtal que R, o que significa que R serial.

Provaremos ento que R R. Tomemos R. Assim, do tipo, tal que Den() . Mas pela clusula (iii) do Lemma 10 temosque Den() Den(), o que implica que Den() .

Portanto, temos que do tipo , tal que Den() que pelaclusula 2 da mesma definio nos garante que R.

Seja W . Assim, as clusulas (i)-(v) do Lema 9 satisfazem as condi-es (i)-(v) da Definio 24. Resta-nos provar:

(1) v() = 1 sse v() = 1 para todo tal que Den() .

(2) v() = 1 sse v() = 1 para todo tal que Den() .(3) v() = 1 implica v() = 0 para todo

tal que Den() .Para (1), suponhamos que v() = 1 e seja W tal que Den() . Assim, e portanto Den(), pela definio deDen().Como Den() , ento , ou seja, v() = 1. Agora, sev() = 0, ento / e por (ii) do Lema 10 temos que

Den(), 0BDmbC .

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Assim, pelo Lema 1 existe um conjunto -saturado em BDmbC tal queDen() {} . Como -saturado, / e pela clusula 4 damesma definio, v() = 0

Para (2), suponhamos que v() = 1 e seja W tal que Den() . Assim e ento Den(), pela Definio de Den(). Logo e assim v() = 1. Por outro lado, se v() = 0 ento / .Assim Den(), 6`BDmbC , pelo Lema 11 (ii). Pelo Lema 1, existeum conjunto -saturado em BDmbC tal que Den() {} .Portanto W tal que Den() e v() = 0.

Por fim, para (3), suponhamos v() = 1 e seja W tal queDen() , assim . Ora pelo Lema 9 (vii) / , logoDen(), 6`BDmbC , pelo Lema 11 (ii). Pelo Lema 1, existe um conjunto-saturado emBDmbC tal queDen(){} . Portanto Wtal que Den() e v() = 0.

TEOREMA 35 (Completude para BDmbC) Seja {} um conjuntode frmulas em For. Ento BDmbC implica `BDmbC .

Prova Suponha que 6`BDmbC . Pelo Lema 1, podemos estender aum conjunto -saturado em BDmbC. Uma vez que 6`BDmbC ento / . Seja Mc o modelo cannico para BDmbC (cf. Definio 27).Assim, pela Proposio 4, Mc uma estrutura de Kripke para BDmbC e um mundo possvel deMc tal queMc, BDmbC (dado que )eMc, 2BDmbC (dado que / ). Isso mostra que 2BDmbC .

Observe que em BDmbC, o operador se comporta exatamente comoDmbC, enquanto o correlado do operador dentico de SDmbC. Fica,pois, evidente a validade do Teorema abaixo:

TEOREMA 36 em BDmbCvale a`BDmbC mas no vale a`BDmbC

Prova. A demonstrao semntica. Para (i) basta notar que vw() = 1sse vw() = 0 para todo w tal que wRw sse vw( ) = 1 sse vw( ) = 1. Para (ii), basta considerar um modeloM em que R serial, wRw,vw() = 1 mas vw( ) = 0.

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Captulo 3PARADOXOS DENTICOS

Essa nossa nova abordagem pode ser bastante frutfera na anlise de algunsproblemas de lgica dentica. Um dos principais problemas est relacionadoaos paradoxos denticos: em geral, tais paradoxos consistem em um conjuntode premissas intuitivamente consistente que, quando formalizadas, levam trivialide dedutiva em SDL. Muitos desses paradoxos surgem quando se de-riva em SDL ao mesmo tempo frmulas do tipo e . A principo,o problema est na dificuldade de SDL lidar com obrigaes contrrias aodever (cf. [19]). Todavia, mesmo em KO dado o mesmo conjunto de premis-sas, teramos a exploso dentica segundo o Princpio de Exploso Dentica(2.3).

A proposta de uma lgica dentica paraconsistente ou aplicaes de l-gicas paraconsistentes na resoluo de paradoxos modais no original. Em[13], por exemplo, prope-se o sistema modal altico paraconsistente CiTcomo proposta de dissoluo do Paradoxo de Cognoscibilidade. Emboranosso trabalho se assemelhe a essa proposta, nosso intuito analisar pro-blemas de inconsistncia dentica por meio das Lgicas da InconsistnciaDentica. Veremos de que modo nossa abordagem oferece uma nova pers-pectiva no estudo do clebre Paradoxo de Chisholm.

3.1 O Paradoxo de ChisholmMuitos argumentos que so coerentes em linguagem natural, quando malformalizados podem gerar contradies. Em particular, quando as premissasse referem a normas, leis e princpios morais, as contradies se multiplicam.Nesse caso, a lgica subjacente em geral a lgica dentica.

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Um dos primeiros paradoxos denticos foi proposto por Chisholm (cf.[11]). A formulao a seguir est baseada em [12]

(1) obrigatrio Joo no engravidar Maria(2) No engravidar Maria obriga Joo a no se casar com ela.(3) Engravidar Maria obriga Joo a se casar com ela.(4) Joo engravidou Maria

Seja A: Joo engravidou Maria e B: Joo se casa com ela. As formu-laes aqui so inmeras. Para isso, consideremos as definies abaixo1:

DEFINIO 28(i) F1 df (proibio prima-facie)(ii) F2 df (proibio forte)

Primeiramente sabemos que (1) permite duas formulaes em Dmbc:F1A e F2A. Mas (2) tem trs interpretaes: F1B, F2Be (A B). De modo semelhante, podemos formalizar (3) comoA B ou (A B). Assim, temos 12 possibilidades, que agrupare-mos de modo conveniente:

1.1 = {F1A,A F1B,AB,A}1.2 = {F1A,A F2B,AB,A}1.3 = {F2A,A F1B,AB,A}1.4 = {F2A,A F2B,AB,A}2.1 = {F1A,(A B), AB,A}2.2 = {F2A,(A B), AB,A}3.1 = {F1A,(A B),(A B), A}3.2 = {F2A,(A B),(A B), A}4.1 = {F1A,A F1B,(A B), A}4.2 = {F1A,A F2B,(A B), A}4.3 = {F2A,A F1B,(A B), A}4.4 = {F2A,A F2B,(A B), A}

Ainda que tenhamos um leque grande de possibilidades, precisamos pri-meiramente observar se h interdependncia das premissas em n,m paraalguns valores de n e m. Ora, em linguagem natural essa dependncia no

1Para a distino entre obrigaes prima-facie e obrigaes fortes, conferir [27]

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existe e o argumento consistente. Veremos que em SDL ou as premissasso dependentes, ou h obrigaes conflitantes. Para tanto, consideremosdois teoremas de SDL:

`SDL () e `SDL ( )Notemos que SDL admite apenas um operador F , que teriam as mesmas

propriedades de F2. Assim, interpretando como a negao clssica, ape-nas 1.4,2.2,3.2,4.4 so formalizaes na linguagem de SDL. Em 1.4 hdependncia entre (2) e (4), em 3.2 a dependncia se d entre (1) e (3), en-quanto em 4.4 todas as premissas so dependentes. Assim, s nos resta 1.2.Mas temosB por (MP) e como `SDL (A B) (AB),por duas aplicaes de (MP) temos B.

Contudo, nem todos os n,m tem premissas dependentes em DmbC. As-sim, por exemplo, considere um modelo M em que R e R, ou seja,R serial; seja vw(A) = vw(A) = 1, enquanto v(B) = v( B) = 0.Logo, M 2DmbC A (A B) e M 2DmbC A (A B).Portanto, no h dependncia de premissas em 1.1,1.2,1.3 e 1.4

Observemos que em nenhum desses quatro conjuntos temos obrigaesconflitantes, pois a inconsistncia surge a partir de um outra formalizao de(2). Alm disso, por (MP), conclumos sempre B, ou seja, que Joo devese casar com Maria, o que esperado pela nossa intuio.

Em 3.1, tomemos um modelo M em que R e R. Considerev(A) = v(A) = 1, enquanto v(B) = 0. Assim, M 2DmbC A (A B). O mesmo no vale para 3.2, pois DmbC A (A B)e aplicando (O-Nec) e (O-K) temos a dependncia entre (1) e (3). Esseconjunto, portanto, no ser relevante para nossa anlise. Pelo mesmo motivodescartaremos 4.3 e 4.4. J a independncia das premissas de 4.1 e 4.2 obtida pelo mesmo argumento que em 1.1 1.4.

Desse modo, analisando todas as possibilidade relevantes, temos:

1.1 `DmbC B1.2 `DmbC B1.3 `DmbC B1.4 `DmbC B2.1 `DmbC B,B2.2 `DmbC 3.1 `DmbC B

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Alm disso, tomemos o modeloM em queW = {w,w}, R = {(w,w), (w, w)},vw(A) = 1, vw(A) = 0, vw(A) = 0 e vw(B) = 0. Assim, vw( A) = 1 evw(A B) = 1. Desse modo, vw(B) = 0 e ento vw(AB) = 1.Alm disso, vw((A B)) = 1, vw( A) = 1 e vw(A) = 1. Por-tanto,M um modelo para 4.1 e 4.2. Alm disso, temos que paraM:

4.1 2DmbC B4.1 2DmbC B4.2 2DmbC B4.2 2DmbC BObserve que o nico caso em que h trivializao em 2.2 e esse o

contexto em que o paradoxo formulado classicamente. Quando admitimosa negao no-clssica, temos mais 9 possibilidades de formalizao: o quadrose enriquece e, como vimos acima, com certa regularidade.

Todavia, sabemos que em SDmbC, os operadores F1 e F2 se colapsam,tal que simbolizaremos apenas por F0. Portanto, teremos apenas quatro pos-sibilidades, a saber:

0.1 = {F0A,A F0B,AB,A}0.2 = {F0A,(A B), AB,A}0.3 = {F0A,(A B),(A B), A}0.4 = {F0A,A F0B,(A B), A}

Observemos que em SDmbC, temos:

2SDmbC () mas SDmbC ( )

O que faz com que 0.3 e 0.4 no sejam interessantes, por haver depen-dncia entre as premissas. Alm disso, 0.2 trivializa em SDmbC, pois essesistema no aceita obrigaes conflitantes. Isso significa que teremos apenas:

0.1 SDmbC BOu seja, Joo deve se casar com Maria, como esperado intuitivamente.Consideremos ento o sistema BDmbC. Aqui, as inferncias de DmbC

vale para o operador e as de SDmbC se aplicam a . Consideremos F1e F2 como Definio 28. O operador F0 ser tomado como F0 df .

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Excluindo os conjuntos com premissas interdependentes, temos as seguin-tes inferncias:

1.1 `BDmbC B1.2 `BDmbC B1.3 `BDmbC B1.4 `BDmbC B2.1 `BDmbC B,B2.2 `BDmbC 3.1 `BDmbC B4.1 2BDmbC B4.1 2BDmbC B4.2 2BDmbC B4.2 2BDmbC B0.1 `BDmbC B0.2 `BDmbC

O sistema BDmbC parece bastante esclarecedor na anlise do Paradoxode Chisholm. A idia que tomando como base uma LFI - no caso mbC- as relaes de interdependncia entre as premissas no so as mesmas queem SDL. A partir da temos duas possibilidades: decidir se trata-se de umproblema de interdependncia de premissas simplesmente ou tambm envol-vendo o Princpio de Obrigaes No-Conflitantes (2.1). Na primeira escolha,usamos o operador , e as combinaes so expressas pelos conjuntos 0.1 e0.2. No segundo caso as combinaes esto em 1.1 4.4.

Oras, se excluirmos o caso , temos que 1.1 - 4.4 nos permite todasas combinaes pergunta: Joo deve ser casar com Maria?. No casode 1.1 1.4 a resposta clara: sim, Joo deve ser casar com Maria,exatamente como espervamos intuitivamente. Para 3.1 temos que Joono deve se casar com Maria. J o quadro de 2.1 , em certo sentido,paraconsistente: Joo deve e no deve se casar com Maria. Por fim, ascombinaes de 4.1 4.2 nos fora concluir que no podemos dizer nadasobre a obrigao de Joo se casar com Maria, nem que deve e tampouco queno deve.

Observe que 0.10.4 mantm as mesmas inferncias em SDmbC, subs-tituindo por . Alm disso, lembremo-nos que SDmbC no uma LDIe BDmbC no uma LDI em relao . Por outro lados, ambos ossistemas so LFIs.

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O ponto crucial aqui parece residir no fato de que o Paradoxo de Chisholmno envolve diretamente a negao do Princpio de Exploso Dentico (O-PPE), como se costuma apresentar na literatura (posio defendida, porexemplo, em [25] e [26]), mas sim na interdependncia das premissas nombito proposicional. Desse modo, recusando-se apenas (PPE) em vez de(O-PPE) - como ocorre com os sistemas SDmbC eBDmbC para o operador - podemos manter as propriedades denticas clssicas, mas restringindo asinferncias proposicionais. Desse modo, no s o sistema no colapsa (poisno mais inferimosA eA) como, alm disso, temos a resposta esperadaintuitivamente, a saber, A, ou seja, que Joo deve ser casar com Maria.

Isso no significa que os sistemas DmbC e CD1 no sejam adequados paraformalizar paradoxos denticos. Entretanto, paradoxos que rejeitam direta-mente (O-PPE) parecem estar ligados a dilemas morais, como sugerido em[17]. Ccabe aqui ressaltar que o Paradoxo de Chisholm formalizado nessessistemas no nos leva a um absurdo, uma vez que de A e A no te-mos B. O nico problema que esses sistemas parecem restringir de talmodo suas inferncias que a partir do conjunto de premissas propostos porChisholm no conseguimos concluir o que esperaramos intuitivamente.

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Captulo 4CONSIDERAES FINAIS

Vimos aqui de como a abordagem das LFIs em relao ao problema dacontradio pode ser estendida para a de obrigaes conflitantes. Essa relaoj est de algum modo em [12], em que so propostos os sistemas DmbCe DLFI1. A parte original desse trabalho est na proposta dos sistemasSDmbC, BDmbC e na transposio dos princpios (PNC) (PPE) e (PNT)para um contexto dentico.

Outro ponto interessante que o conceito de Lgicas da InconsistnciaDentica parece englobar todos os sistemas denticos paraconsistentes pro-postos at ento na literatura, e que pode ser tomado como ponto de partidapara uma taxonomia desses sistemas, seguindo em certa medida o trabalhode [7] para lgicas paraconsistentes proposicionais. O prximo paso seria en-contrar resultados de completude generalizada para s LDIs monomodais oumultimodais, seguindo em parte os resultados de [5].

digno de nota que os sistemas DLFI1 e C1D so muito semelhantes.Os nicos pontos distintos na sintaxe est no fato de que o operador deconsistncia dentica em DLFI1 definido como enquanto em CD1temos . Alm disso, no h em DLFI1 o axioma correlato a (CD).Isso significa que um estudo comparado desses sistemas nos traria a relaoexata desses conectivos e as implicaes ao se acrescentar (CD).

Outro aspecto original de nosso trabalho est na nova abordagem doParadoxo de Chisholm por meio de BDmbC. Como vimos, esse sistemaparece ser capaz de formalizar tanto argumentos em que h de fato um dilemamoral - ou seja, conclumos e - quanto argumentos em que essedilema aparente, e o problema est na interdependncia de premissas. Essadistino pode ser muito frutfera na anlise de outros paradoxos denticos,como os apresentados em [25], [26] e [6].

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Assim como mbC surgiu na proposta do operador como primitivo, osistemaBDmbC tem papel fundamental na proposta de um sistema denticoem que o operador de consistncia dentica seja primitivo. A esse sistema,espera-se que se tenha como axiomas:

( ) e ( )

A clusula semntica natural que forasse esse resultado seria:

vw() = 1 sse vw() = 1 e vw() = 1 para todo w tal que wRw

Outro resultado interessante seria propor uma extenso de DmbC queteramos, como em (CD), a equivalncia:

a`

Por fim, nosso trabalho est longe de esgotar as possibilidades de novaslgicas denticas paraconsistentes e novas abordagens paraconsistentes a pa-radoxos denticos. Por outro lado, dados os pontos originais e ao estudocomparado crtico das abordagens j existentes, esperamos que nosso traba-lho tenha contribudo na discusso em aberto desses tpicos e seja mais umavano aos futuros estudos nessas reas.

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Captulo 5PERSPECTIVAS

Como j vimos, as LDIs no validam em geral o Princpio de ExplosoDentica (O-PPE). Alm disso, uma LFI dentica tem relaes distintasentre as premissas caso essas fossem interpretadas em SDL. Mais ainda:qualquer LFI pode ter duas negaes: uma paraconsistente que respeita oPrincpio de Exploso Fraco (PEF) e outra clssica, definida como df .

Isso significa que ao formalizarmos um paradoxo num sistema em queno valem (O-PDE) e o Princpio de Exploso (PPE) ganhamos expressi-vidade (pois h dois conectivos de negao), diminuimos a interdependnciade premissas (pois, em geral, uma LDI mais forte que SDL) e se, aindaassim, houver obrigaes conflitantes, o sistema no trivializa: a frmulasimplesmente fica marcada como deonticamente inconsistente.

Em [12], mostra-se uma aplicao concreta das LDIs na resoluo doparadoxo de Chisholm com os sistemas DmbC e DLFI1. J em [22], ossistemas SDmbC e BDmbC contribuem para lanar luz a uma nova pers-pectiva de anlise do paradoxo: o problema, em questo, parece ser a relaoentre as premissas do argumento e no a violao de (O-PPE).

Alguns paradoxos denticos, entretanto, podem ser formalizados em l-gica dentica proposicional ou de de primeira ordem. Considere o seguinteconjunto de sentenas (apresentado em [25]):

1. No deve haver cercas.

2. Se houver cercas, a cerca deve ser branca.

3. H cercas.

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O paradoxo ocorre em SDL devido relao tcita entre haver cercas ecercas brancas. Tomando p como haver cercas e q como haver cercas brancas,teramos pela regra (O-Nec)1: (p q) e, por (O-K) e (MP), teramospq. Com essa frmula e (1) temos por um ladoq e, por (MP)entre (2) e (3) temos q, o que nos levaria a trivializao em SDL.

Outra possibilidade seria formalizar o conjunto acima em lgica denticade primeira ordem. Considerando C como predicado de ser cerca, B opredicado ser cerca branca e a um objeto que cerca, teramos:

1. xCx2. x(Cx Bx)3. Ca

Desse conjunto de sentenas inferiramos apenas Ca Bx, no vi-olando (O-PPE). Todavia, acrescentando a norma de que se uma cerca no branca, ento deve ser preta, teramos a relao tcita x(Bx Px) -P o predicado ser preto - por instanciao, (MP) e (O-Nec) teramosPa. Por outro lado, a partir da nova norma e com a hipotse do objetoa no ser uma cerca branca, teramos Pa, trivializando o sistema.

5.1 LFIs de Primeira OrdemVimos que o paradoxo acima pode ser formalizado em linguagem de primeiraordem. A princpio, devido sofisticao dessa linguagem, o paradoxo pareceser dissolvido. Todavia, dada a caracterstica dessas sentenas serem forma-lizadas em lgica dentica clssica de primeira ordem, temos a validade de(PDE) o que implica, com pequenas alteraes no conjunto de premissas, atrivializao do sistema.

Uma alternativa muito interessante seria a formalizao desses paradoxosem LFIs denticas de primeira ordem. Existem na literatura duas abor-dagens para LFIs de primeira ordem: uma, devida a [3] e a outra devidaa [24].

1Observe que at aqui definimos que a regra (O-Nec) aplica-se epenas a teoremas.Em muitos sistemas denticos, todavia, esse no o caso, o que justifica a escolha em [25]de mostrar paradoxos denticos gerados ao aplicar (O-Nec) para frmulas que no soteoremas

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A proposta [3] esta baseada na semntica de Nmatrizes ou semnticano-determinstica (Nmatrices semantics ou non-deterministic semantics, nooriginal em ingls). As Nmatrices foram introduzidas em [2] como uma inte-ressante proposta de generalizao da semntica de matrizes. Basicamente,as Nmatrizes so matrizes lgicas em que cada entrada consiste num conjuntofinito no-vazio de valores de verdade em lugar de um nico valor de verdade.Esta tcnica oferece um mtodo de deciso para muitas lgicas no vero-funcionais, em particular as LFIs introduzidas na literatura. No artigo [3],considera-se uma extenso das Nmatrizes que permite avaliar os quantifica-dores junto com os conectivos num conjunto de 5 valores de verdade. Estesvalores de verdade devem ser pensados como triplas x, y, z {0, 1}3 emque x, y e z representam o valor de v(A), v(A) e v(A), respectivamente,para uma sentena A e uma bivalorao paraconsistente v. Assim, a partirdos axiomas bsicos das LFIs, temos os seguintes valores:

t = 1, 0, 1tI = 1, 0, 0I = 1, 1, 0f = 0, 1, 1fI = 0, 1, 0

Deve ser observado que 0, 0, z impossvel, pois como vimos as bivalo-raes paraconsistentes satisfazem a propriedade seguinte:

v(A) = 0 implica que v(A) = 1enquanto que 1, 1, 1 tambm no possvel, pois:

v(A) = 1 implica que v(A) = 0 ou v(A) = 0Uma das principais propriedades das Nmatrizes a sua efetividade, no

sentido que para determinar se |=M A (para uma dada Nmatriz M) sufi-ciente verificar apenas valoraes parciais, definidas apenas nas subfrmulasde {A}.

Por outro lado, [24] props independentemente uma semntica para LFIsde primeira ordem a partir da extenso das bivaloraes para as sentenas dalinguagem com quantificadores. A extenso definida de maneira natural:

v(P (t1, . . . , tn)) = 1 sse tA1 , . . . , tAn PA, para toda sentena atmica;v(x.A) = 1 sse v(A[x/t]) = 1 para todo termo fechado t de LA;v(x.A) = 1 sse v(A[x/t]) = 1 para algum termo fechado t de LA.

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Aqui, LA a linguagem diagrama da estrutura A (isto , a linguagem queestende L pelo acrscimo de uma nova constante a para cada elemento a dodomnio de A).

Um resultado interessante de analisar a relao exata entre as aborda-gens de [3] e [24]. O segundo passo natural seria propor uma LFI dentica deprimeira ordem que, se por um lado daria uma nova abordagem nos estudosde paradoxos denticos de primeira ordem, por outro lado poderia iluminaro modo de encararmos a frmula de Barcan

5.2 A frmula de BarcanA princpio no haveria dificuldade alguma em lidar com lgica dentica deprimeira ordem: bastaria assumir as regras e axiomas do clculo de predicadomais os axiomas e regras de SDL. A dificuldade surge, entretanto, na inte-rao entre o operador modal e o quantificador. Uma possvel relao seriapensar numa verso dentica da frmula de Barcan (proposta primeiramenteem [4] para o operador modal altico ):

(DBF) x AxAAs dificuldades apresentadas pela frmula de Barcan esto relacionadas como problema das propriedades de re e de dicto, como podemos observar em[18], [14] e [9]. Essas dificuldades surgem ao interpretarmos o operador modalaltico como necessrio, associando o predicado necessrio s propriedadesde re (vide [23]). Um fato interessante que em qualquer sistema modalclssico de predicados possvel provar a recproca da frmula de Barcan(vide [21]), colapsando os conceitos de propriedades de re e de dicto. Doponto de vista dentico, ainda que a recproca de (DBF) pode ser facilmentedemonstrada, a interpretao desse fenmeno seria distinta da abordagemaltica. Todavia, o ponto crucial parece estar num fenmeno semelhante frmula de Barcan que ocorre com as LFIs de primeira ordem, a saber:

xA xAAinda que essa relao entre o quantificador e o operador de consistnciaparea razovel e resolva algumas dificuldades tcnicas, do ponto de vistainterpretativo poderamos ter problemas semelhantes aos da frmula de Bar-can. Alm disso, essas questes servem como alerta para pensarmos a relaoque haveria numa LFIs dentica de primeira ordem entre os operadores , e .

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5.3 Lgicas Denticas DidicasAlguns autores (por exemplo, [28] e [1]) tm proposto a utilizao de um ope-rador primitivo didico O(p/q) denotando a proposio p obrigatrio nascircunstncias q para solucionar os paradoxos denticos. Mas esta perspecti-va no isenta de problemas, em razo da perda de uma certa forma deModusPonens dentico: de O(p/q) e q no se pode deduzir O(p). Na tentativade resolver este conflito as lgicas denticas didicas dividiram-se em duascorrentes: as baseadas no uso de uma implicao estrita (corrente defendidapor C. Alchourrn e G. von Wright) e aquelas utilizando na sua semnticauma relao de preferncia entre mundos possveis (corrente defendida porS. Hansson e D. Lewis).

Por outro lado, o operador didico pode iluminar uma questo aindaaberta em LFIs denticas. Ora, em [12] o operador de consistncia dentica, como vimos, . Todavia, em [17], o operador . Qual seria, pois, arelaao exata desses dois novos operadores?

Uma possvel interrelao poderia existir ao interpretarp como(p/p)enquanto p seria(p/p), fundindo as duas propostas num nico sistemaou numa nica hierarquia de sistemas.

Sabe-se que os operadores didicos em geral no respeitam (MP) den-tico, todavia, esse tipo de limitao pode ser superada com LFIs denticasdidicas, devido propriedade das LFIs modificarem as relaes de inter-dependncia de premissas de um argumento. Assim, uma segunda linha depesquisa seria analisar os sistemas denticas didicos que h na literatura epropor uma hierarquia de LFIs denticas didicas para, em seguida, aplic-las aos paradoxos denticos.

Desse modo, muito trabalho pode ser feito no mbito de lgicas denticasparaconsistentes para lanar luz s questes ainda abertas na literatura.

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Referncias Bibliogrficas

[1] C. Alchourrn. Detachment and defeseability in deontic logic. StudiaLogica, 57(1):518, 1994.

[2] A. Avron e I. Lev. Canonical propositional Gentzen-type systems. InProceedings of the 1st International Joint Conference on Automated Re-asoning (IJCAR 2001), volume 2083 of Lecture Notes in Artificial In-telligence, pages 529544. Springer-Verlag, 2001.

[3] A. Avron e A. Zamansky. Many-valued non-deterministic semantics forfirst-order Logics of Formal (In)consistency. In S. Aguzzoli, A. Cia-battoni, B. Gerla, C. Manara, and V. Marra, editors, Algebraic andProof-theoretic Aspects of Non-classical Logics, volume 4460 of LectureNotes in Artificial Intelligence, pages 124. Springer-Verlag, 2007.

[4] R. Barcan (Marcus). A functional calculus of first order based on strictimplication. Journal of Symbolic Logic, 11:116, 1946.

[5] J. Bueno-Soler. Possible-translations semantics for cathodic modal lo-gics. CLE e-Prints, 8(6), 2008.URL = http://www.cle.unicamp.br/e-prints/vol_8,n_6,2008.html.

[6] J. Carmo e A. Jones. A new approach to contrary-to-duty obligations.In D.N. Nute, editor, Defeasible Deontic Logic, volume 263 of SyntheseLibrary, pages 317344. Kluwer Publishing Company, 1997.

[7] W. A. Carnielli e J. Marcos. A taxonomy of C-systems. In W. A.Carnielli, M. E. Coniglio, and I. M. L. D Ottaviano, editors, Proceedingsof the 2nd World Congress on Paraconsistency 2000, pages 194. MarcelDekker, 2002. Verso preliminar publicada em