Dissertacao PONTES

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 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA POLITÉCNICA NELSON ANTONIO MARTINS PERES INFLUÊNCIA DAS VIBRAÇÕES DO CABO NA INSTABILIDADE AEROELÁSTICA DE UMA VIGA SIMPLES ESTAIADA. São Paulo 2005

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PONTES ESTAIADAS

Transcript of Dissertacao PONTES

  • UNIVERSIDADE DE SO PAULOESCOLA POLITCNICA

    NELSON ANTONIO MARTINS PERES

    INFLUNCIA DAS VIBRAES DO CABO NA INSTABILIDADE AEROELSTICADE UMA VIGA SIMPLES ESTAIADA.

    So Paulo2005

  • NELSON ANTONIO MARTINS PERES

    INFLUNCIA DAS VIBRAES DO CABO NA INSTABILIDADE AEROELSTICADE UMA VIGA SIMPLES ESTAIADA.

    Dissertao apresentada EscolaPolitcnica da Universidade de So Paulopara a obteno do ttulo de Mestre emEngenharia.

    rea de Concentrao: Engenharia deEstruturasOrientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo NigroMazzilli

    So Paulo2005

  • AUTORIZO A REPRODUO E DIVULGAO TOTAL OU PARCIAL DESTETRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRNICO, PARAFINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

    FICHA CATALOGRFICA

    Peres, Nelson Antonio Martins Influncia das vibraes do cabo na instabilidade aeroelsticade uma viga simples estaiada / N.A.M. Peres. -- So Paulo, 2005. 72 p.

    Dissertao ( Mestrado ) Escola Politcnica da Universidadede So Paulo. Departamento de Engenharia de Estruturas

    1. Dinmica das estruturas 2. Pontes estaiadas 3. Drapejamento 4. Vibraes I . Universidade de So Paulo.Escola Politcnica. Departamento de Engenharia deEstruturas II. t

  • PERES, N. A. M. Influncia das vibraes do cabo na instabilidade aeroelsticade uma viga simples estaiada. 2005. 72 f. Dissertao (Mestrado em EngenhariaCivil) Escola Politcnica, Universidade de So Paulo, So Paulo.

    ERRATA

    Folha Linha Onde se l Leia-se

    8 14 Penzian Penzien

    9 13 obter as foras aerodinmicasobter os esforosaerodinmicos

    10 14 e 15dobro da do primeiro modoglobal

    dobro da do primeiro modo local

    15 5De acordo com Morandini(2000), e Mazzilli e Rojas(2005), pode

    De acordo com Morandini(2000), pode

    23 5As foras modais p1, p2 e p3,decorrentes das forasaplicadas

    Os esforos modais p1, p2 e p3,decorrentes dos esforosaplicados

    30 11 Foras Aeroelsticas na Viga Esforos Aeroelsticos na Viga

    30 13 foras aerodinmicas na viga esforos aerodinmicos na viga

    30 14 As fora aerodinmicas Os esforos aerodinmicos52 11 parece ser desprezvel. desprezvel, como esperado.

    Na pgina 62, aps o primeiro pargrafo, inserir a tabela abaixo:

    0 (graus) U2 (m/s)20,7 58422 18424 9726 7128 6030 5532 5434 5636 6238 7740 11342 281

  • A meus pais, pelo apoio e imenso

    incentivo para a concluso do trabalho.

  • AGRADECIMENTOS

    Ao Prof. Dr. Carlos Eduardo Nigro Mazzilli, pela pacincia e seu inestimvel apoio nodesenvolvimento dos trabalhos.

    Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, pela oportunidade de realizaodo curso de mestrado.

  • RESUMO

    Peres, N. A. M. Influncia das vibraes do cabo na instabilidade aeroelsticade uma viga simples estaiada. 2005. 72 f Dissertao (Mestrado) EscolaPolitcnica, Universidade de So Paulo, 2005.

    Esse trabalho consiste na determinao das velocidades crticas do vento e das

    amplitudes das vibraes numa estrutura composta por uma viga engastada

    suspensa por um estai (cabo), submetida aos efeitos de vento e chuva. Foiconsiderada a deformao no cabo devido ao carregamento do peso prprio e o

    acoplamento no-linear das vibraes do cabo e da viga. Trs modos de vibrao

    so de especial interesse, chamados de primeiro modo global (flexo da viga evibrao no cabo), primeiro modo local (vibrao no cabo, com flexo na vigadesprezvel) e primeiro modo toro. O modelo foi reduzido a trs graus deliberdade. A modelagem dos carregamentos aerodinmicos aplicados na viga foi

    feita segundo procedimentos tradicionais. O carregamento aerodinmico aplicado ao

    cabo sob efeito de chuva e vento tambm foi levado em considerao. Para a

    reduo do modelo matemtico, os coeficientes de rigidez e de amortecimento

    equivalente so definidos e dependem parametricamente da velocidade do vento.

    Os termos no-lineares so devidos ao acoplamento das vibraes do cabo e da

    viga flexo (no plano do cabo) e tambm aos efeitos aeroelsticos no cabo. Osseguintes regimes instveis so avaliados: o efeito de galope (galloping) no cabo, odrapejamento (flutter) unimodal na toro e o drapejamento (flutter) do modo deflexo da viga em conjunto com vibraes transversais do cabo.

    Palavras-chave: vibrao, efeito chuva-vento, drapejamento, viga estaiada, dinmicano-linear

  • ABSTRACT

    Peres, N. A. M. Influence of cable vibrations on the aero-elastic instability of acable-stayed beam. 2005. 72 f Dissertation (Master of Engineering) EscolaPolitcnica, Universidade de So Paulo, 2005.

    This paper is concerned with determining wind critical velocities and post-critical

    vibration amplitudes in a cable-stayed beam, under wind-rain condition. It is

    considered the cable sag due to the dead load plus the non-linear coupling between

    the vibration of both the cable and the beam. Three modes are of special interest,

    namely the first global mode (beam bending & cable vibration), the first local mode(cable vibration & negligible beam bending) and the first torsion mode. A reducedmathematical model, with three degrees of freedom, is also developed. With regard

    to the modelling of the aerodynamic loads applied to the beam, it can be performed

    after extension of classical guidelines. The aerodynamic loads applied to the cable

    under rain are also taken into account. For the reduced mathematical model,

    equivalent damping and stiffness coefficients will be defined, which depend

    parametrically on the wind velocity. Non-linear terms appear due to the coupling

    between the cable and the beam bending vibrations, and also to the aero-elastic non-

    linear effects on the cable. Different unstable regimes are surveyed such as the cable

    galloping, the unimodal flutter in torsion and the unimodal flutter with beam bending

    and cable vibrations coupled.

    Keywords: wind-rain vibration, flutter, cable-stayed beam, non-linear dynamics

  • SUMRIO

    1 INTRODUO 7

    2 EQUAES DE MOVIMENTO PARA O SISTEMA CONTNUO E ANLISEMODAL 12

    3 REDUO DO MODELO PARA TRS GRAUS DE LIBERDADE 19

    4 MTODO DAS MLTIPLAS ESCALAS 36

    5 ESTUDO DE CASO 42

    6 CONCLUSES 68

    REFERNCIAS 70

  • Introduo 7

    1. INTRODUO

    A motivao dessa pesquisa nasceu do interesse em compreender as

    vibraes transversais de cabos, de grande amplitude (mais de um metro),

    observadas em pontes estaiadas por exemplo, na ponte Ben Ahin, na Blgica ,

    em condies de vento e chuva moderada. H evidncias de que tais vibraes

    esto intimamente ligadas aos filetes de gua formados pela chuva ao longo dos

    estais.

    Nos projetos de pontes pnseis e estaiadas, a verificao da estruturalevando-se em considerao os efeitos causados por fenmenos aeroelsticos, tais

    como o drapejamento e o desprendimento cadenciado de vrtices, passou a serrealizada depois do colapso da Ponte de Tacoma Narrows, em 1940, no Estado de

    Washington.

    Um dos precursores do estudo do drapejamento na Engenharia Civil foi Bleich(1948) com a publicao de artigos com o estudo de comportamento de perfistreliados usando a Teoria do Aeroflio, desenvolvida anteriormente por Theodorsen

    (1935). Theodorsen havia encontrado uma soluo analtica para problemasenvolvendo drapejamento em superfcies de controle de avies.

    No Brasil, particularmente em So Paulo, nos ltimos anos tem-se observada

    a execuo de alguns projetos de Pontes Estaiadas, como a Ponte sobre o RioPinheiros, que faz parte da linha 5 do Metr de So Paulo, a Ponte Jacu-Pssego,

  • Introduo 8

    em construo sobre o Rio Tiet e a Ponte gua Espraiada, que est em projeto,tambm atravessando o Rio Pinheiros. Outros estados tambm apresentam vrios

    projetos e pontes estaiadas j executadas, por exemplo, a ponte sobre o rio Guam,no Par, a ponte Forte-Redinha, que atravessa o rio Pitangi, em Natal, o projeto daponte sobre o rio Sergipe, ligando Aracaj a Barra dos Coqueiros, entre outras.

    Figura 1.1 Ponte sobre o rio Guam, Par.(http://www.setran.pa.gov.br/sip/img/alca1007-04.jpg)

    A anlise da resposta dinmica em estruturas submetidas ao do vento

    fundamental para projetos de pontes estaiadas. Esse trabalho mostra uma versosimplificada do problema de determinar a velocidade crtica do vento e amplitudes de

    vibrao ps-crticas, numa viga engastada com apenas um estai (ver Figura 1.2),submetida ao combinada de vento e chuva.

    A formulao usada para vibraes no plano foi baseada em Morandini (2000),Clough e Penzian (1993), Goldstein (1964), Lanczos (1970) e ainda Rojas (2005).

  • Introduo 9

    Foi considerada a deformao do cabo devido ao peso prprio e o acoplamento

    no-linear das vibraes do cabo e da viga.

    A anlise modal apresentada pelas equaes linearizadas de movimento sobre

    a configurao de equilbrio. Trs modos de vibrao so de especial interesse,

    chamados de primeiro modo global (vibrao no cabo e na viga), primeiro modo local(vibrao no cabo e desprezvel vibrao na viga) e primeiro modo de toro. Umareduo do modelo matemtico para trs graus de liberdade foi desenvolvida,

    seguindo orientaes de Rojas (2005) e Gatulli et. al. (2005). O princpio de Hamiltonfoi usado para permitir a projeo dos deslocamentos da viga e do cabo sobre oespao definido pelos trs modos selecionados. A modelagem do carregamento

    aerodinmico aplicado viga foi feita segundo metodologia clssica descrita na

    bibliografia Miranda (1980), Dowell et al (1985), Simiu e Scanlan (1986). Tambm

    necessrio obter as foras aerodinmicas modais associadas aos trs graus de

    liberdade, usando-se as funes modais.

    Para a reduo do modelo matemtico, so definidos coeficientes equivalentes

    de amortecimento e rigidez aerodinmica, que dependem parametricamente da

    velocidade do vento.

    Termos no lineares aparecem, tanto devido ao acoplamento entre as vibraes

    do cabo e da viga (em flexo), como devido aos efeitos aerodinmicos no-linearesno cabo.

    Diversos regimes instveis so estudados, como o efeito de galope no cabo, o

    drapejamento unimodal de toro na viga e o drapejamento unimodal devido svibraes no cabo acopladas s vibraes da viga em flexo.

    O objetivo da dissertao o desenvolvimento de uma metodologia para anliseda instabilidade aeroelstica em vigas estaiadas, bem como da determinao das

  • Introduo 10

    amplitudes de vibrao ps-crticas. O estudo de caso, propositadamente, considera

    geometria favorvel ao aparecimento das instabilidades aeroelsticas descritas.

    Para tanto, foi adotada uma seo transversal geometricamente semelhante da

    ponte de Tacoma Narrows. Como vantagem adicional dessa escolha de geometria

    da seo transversal, os coeficientes aerodinmicos de Scanlan e Simiu (1986)resultam conhecidos. Para outras sees transversais da viga estaiada, caso no

    correspondam a geometrias para as quais se conheam os coeficientes

    aeroelsticos, necessrio obt-los a partir de ensaios em tnel de vento.

    Como se sabe Gattulli et al (2005), Rojas (2005) , o acoplamento no-

    linear entre as vibraes transversais do cabo e da viga em flexo fica bastante

    potencializado quando h ressonncia interna entre o primeiro modo global e o

    primeiro modo local. Devido s no-linearidades quadrticas presentes nas

    equaes de movimento, tal ressonncia interna se manifesta quando a freqncia

    do primeiro modo global aproximadamente igual ao dobro da do primeiro modo

    global, como se ver.

    lc

    lb

    d

    xc

    xb y c

    Figura 1.2. Configurao de referncia do problema proposto

  • Introduo 11

    A Figura 1.2 introduz a seguinte notao: lb o comprimento da viga, lc o

    comprimento do cabo, xc a coordenada do cabo e xb da viga, yc o deslocamento

    transversal da configurao de equilbrio do cabo (catenria), o ngulo de

    inclinao da corda do cabo com respeito vertical e d a flecha esttica mxima do

    cabo.

    O Captulo 2 mostra a formulao da equao de movimento para o sistema

    contnuo e sua anlise modal. No terceiro captulo se aborda a reduo do modelo

    para 3 graus de liberdade. neste captulo que os efeitos aeroelsticos no cabo ena viga so discutidos. O Captulo 4 mostra a soluo da equao do modelo

    reduzido pelo mtodo das mltiplas escalas, e um estudo de caso realizado no

    Captulo 5.

  • Equaes de movimento para o sistema contnuo e anlise modal 12

    2. EQUAES DE MOVIMENTO PARA O SISTEMA CONTNUO EANLISE MODAL

    A viga estaiada da Figura 2.1 abaixo considerada, submetida a aes de

    chuva e vento. O vento presumido ortogonal ao plano da estrutura.

    lc

    lb

    d

    xc

    xb y c

    Figura 2.1 Viga simples estaiada, na configurao de referncia C0

    Os deslocamentos axiais da viga e do cabo contidos no plano da estrutura

    so representados na Figura 2.2, a partir da configurao de equilbrio (referncia)C0, caracterizando a configurao atual C1, a qual j indica as coordenadas

  • Equaes de movimento para o sistema contnuo e anlise modal 13

    generalizadas modais que sero utilizadas oportunamente, quando se tratar da

    reduo do modelo a trs graus de liberdade.

    q2

    q1q3

    Figura 2.2 - Configurao atual C1

    Alm dos parmetros geomtricos j mencionados na Figura 2.1, aqui seacrescentam: D o dimetro do cabo, B a largura da seo transversal da viga, mc e

    mb as massas por unidade de comprimento, respectivamente para o cabo e para a

    viga; pc e pb so respectivamente os carregamentos transversais do cabo e da viga

    devidos chuva e ao vento. EcAc, EbIb e GbIt so a rigidez axial do cabo, a rigidez

    flexo da viga e a rigidez da viga toro, respectivamente; e H o empuxo no

    cabo, que a componente, ao longo da corda, da fora axial do cabo, na

    configurao esttica de equilbrio C0.

    Adota-se, tanto para a viga como para o cabo, uma descrio aproximada daconfigurao de equilbrio esttico. Portanto, as seguintes suposies so feitas:

  • Equaes de movimento para o sistema contnuo e anlise modal 14

    sob a hiptese da pequena relao da flecha-vo do cabo

    101

    cld

    ,

    assume-se que cdxds ;

    HsT )(0 , onde )(0 sT a fora de trao inicial no cabo e H acomponente da trao inicial segundo a corda do cabo;

    a configurao de equilbrio esttico da viga em balano se confundecom a configurao da estrutura indeformada;

    o cabo e a viga so considerados meios homogneos e contnuos, queobedecem relao linear tenso-deformao (lei de Hooke);

    a rigidez flexo e ao cisalhamento, bem como a fora inerciallongitudinal do cabo, so desprezveis;

    o alongamento axial e a no-linearidade geomtrica da viga sodesprezveis.

    As equaes de movimento que governam o sistema sero obtidasobedecendo a essas hipteses.

    A curva da catenria do cabo na configurao de equilbrio pode ser

    aproximada pela parbola abaixo, para a coordenada xc, definida ao longo da corda

    do cabo.

    =

    2

    4c

    c

    c

    c

    c lx

    lxdy (2.01)

    Rojas (2005) mostra que a flecha esttica d dada por:

    Hglmd cc8

    sen2 = (2.02)

  • Equaes de movimento para o sistema contnuo e anlise modal 15

    A configurao atual C1 caracterizada pelos deslocamentos dinmicos

    axiais e transversais do cabo ),( tsuc e ),( tsc respectivamente, para a coordenada

    curvilnea s definida ao longo do cabo num instante de tempo t e pelo deslocamento

    transversal da viga ),( txbb , para a coordenada xb definida ao longo do eixo da viga.

    De acordo com Morandini (2000), e Mazzilli e Rojas (2005), pode sermostrado que as equaes de movimento para o sistema contnuo so:

    Para o cabo:

    ( ) 0= eAEum cccc && (2.03)

    [ ] )()( ccccccccc pHyeAEm &&& =++ (2.04)onde as derivadas com relao abscissa xc so indicadas por aspas e as

    derivadas temporais por ponto, e )( ccp & a fora aeroelstica no cabo e pode ser

    obtida conforme proposto em Xu e Wang (2003), sendo desenvolvida no Captulo 3.O alongamento e do cabo dado por:

    c

    l

    ccc

    cc

    bc dxyll

    ttetxe

    c

    ++==0

    2'

    211

    cos),0()(),( (2.05)

    Para a viga, considerando a teoria linear de Bernoulli-Euler:

    ),,( &&&& bblVbzbbbb pIEm =+ (2.06)

    onde ),,( &&bbp pode ser obtido segundo o procedimento descrito em

    Miranda (1980), Dowell et al (1985), e Simiu e Scanlan (1986).As condies de contorno essenciais so:

    0cos),0(),0( =+ tsintu cc (2.07)

    ),0(),0(cos),0( tsinttu bcc =+ (2.08)

    0),( =tlu cc (2.09)

  • Equaes de movimento para o sistema contnuo e anlise modal 16

    0),( =tlcc (2.10)

    0),( =tlbb (2.11)

    0),( = tlbb (2.12)

    Finalmente, as condies de contorno naturais so:

    [ ]{ } 0),0(),0()0(),0(cos),0(),0( =+++ sintHtyteAEteAEtIE cccccccbzbb (2.13)0),0( = tb (2.14)

    Para a rotao da viga ),( ts devido toro, a equao de movimento

    linearizada dada por:

    ),,(

    &&&& bb

    pG = (2.15)

    onde p significa o torque induzido pelo vento, e a condio de contorno

    essencial a seguinte:

    0),( =tlb (2.16)

    ANLISE MODAL

    O primeiro modo de vibrao global 1b (flexo da viga) e 1c (vibrao do

    cabo), e o primeiro modo local 2b (flexo da viga desprezvel) e 2c (vibrao do

    cabo) foram pormenorizadamente discutidos em Gattulli et al (2005) e Mazzilli eRojas (2005), sendo apenas apresentados aqui os resultados obtidos:

    )()cos(cosh2coshcos1

    )()cos(cosh2coshcos1)cosh(

    21)cos(

    21)(

    xsinhsinhsinsinhsin

    xsinsinhsinsinhsin

    xxx

    bbbbb

    bbbb

    bbbbb

    bbbbbbbi

    ++

    +++=

    i=1,2 (2.17)

  • Equaes de movimento para o sistema contnuo e anlise modal 17

    ( )[ ][ ])cos()()cot()0(

    )cos()(tan18)(2

    22

    xxsinsin

    xxsineld

    HAE

    x

    cccb

    cc

    cc

    cc

    cic

    =

    (

    , com i=1,2 (2.18)

    sendo:

    +

    =

    12

    tan21

    2tan

    214cot)0(

    2

    2

    2

    c

    cc

    c

    cc

    b ld

    sine

    ( (2.19)

    Na equao (2.19), foi introduzido o parmetro de Irvine , igual a:

    HAE

    ld ccc

    8= (2.20)

    Nas equaes (2.17) e (2.18), ]1,0[x representa a coordenada axial

    normalizada com relao ao comprimento da viga ou ao comprimento do cabo e b

    encontrado resolvendo-se a seguinte equao caracterstica transcendental:

    [ ]

    +

    =

    +

    sinsin

    AEH

    sinsinhAElIE

    e

    sinsin

    sinld

    bb

    ccbbbb

    bbb

    ccb

    zbb

    b

    b

    bc

    222

    3

    2

    2

    2

    cot)cosh()()()cos()cosh()cos(1

    )0(12tan24cos(

    (2.21)

    onde:

    =

    =

    b

    c

    b

    zbb

    b

    c

    ccb

    zbbcc

    m

    m

    Hl

    IE

    m

    m

    AEl

    IE

    H

    AE22

    (2.22)

    Uma vez que b tenha sido calculado por meio de (2.21), para um certo

    modo, a freqncia natural correspondente pode ser determinada e, tambm, c ,

    usado na expresso (2.17) e (2.18).

    42

    bb

    zbbb lm

    IE = (2.23)

  • Equaes de movimento para o sistema contnuo e anlise modal 18

    sinb

    c

    2

    = (2.24)

    O primeiro modo de toro 3b , de acordo com Thomson (1973) ,

    simplesmente:

    2)1(

    3x

    sinb

    = ]1,0[x (2.25)

    com freqncia natural igual a:

    b

    b

    b

    Gl

    23

    = (2.26)

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 19

    3. REDUO DO MODELO PARA TRS GRAUS DE LIBERDADE

    O modelo reduzido, desprezando-se a vibrao da viga no modo local,

    obtido a partir da mudana de variveis indicada abaixo, usando-se as coordenadas

    generalizadas modais q1(t), q2(t) e q3(t):

    )()()()(),( 2211 tqxtqxtx ccc += (3.01)

    )()(),( 11 tqxtx bb = (3.02)

    )()(),( 33 tqxtx b= (3.03)

    Onde cj e bj referem-se ao modo j no domnio do cabo ou da viga,

    respectivamente, e )(tq j s correspondentes coordenadas modais. usual

    normalizar as funes modais de acordo com:

    )(),(max)()(

    xx

    xx

    cjbj

    cjcj

    = (3.04)

    )(),(max)()(

    xx

    xx

    cjbj

    bjbj

    = (3.05)

    O princpio de Hamilton usado para se obter a equao de movimento do

    modelo reduzido:

    [ ] ( ) 021

    2

    1

    11=++

    dtWWdtVTt

    tbc

    t

    ttotal (3.06)

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 20

    Onde T1 a energia cintica e 1totalV a energia potencial total na configurao

    atual C1 (Figura 2.2)

    +++=bc b l

    btbl l

    bbbcccc dxIdxmdxumT22

    2122

    211

    21)( &&&& (3.07)

    cbbl

    bccl

    ccc

    lc

    lbtb

    l lbbzbbccctotaltotal

    Hudxgmdxugmdxgm

    dxIGdxIEdxeAEHeVV

    bcc

    bc b

    +

    ++++=

    cossen

    )( 2212

    ''

    212

    2101

    (3.08)

    Substituindo as equaes (3.01), (3.02) e (3.03) nas equaes (3.06), (3.07) e(3.08), chega-se equao de movimento do modelo, em trs graus de liberdade,truncando-se nas no-linearidades de ordem superior s quadrticas, conforme

    indicado abaixo:

    12212221112

    211111

    211111 2 pqqqqqqq =+++++ &&& (3.09)

    22222221212

    212112

    222222 2 pqqqqqqq =+++++ &&& (3.10)

    33233333 2 pqqq =++ &&& (3.11)

    Os coeficientes dos termos no-lineares de (3.09) e (3.10) podem serdeterminados a partir de Rojas (2005), notando-se que neste trabalho as equaesde movimento estavam normalizadas para as variveis espaciais e tambm para o

    tempo. Da a necessidade de redefinir ditos coeficientes para escrever as equaes

    de movimento na forma no-normalizada, como convm ao presente estudo.

    Portanto, definem-se:

    12

    21

    111 clb = (3.12)

    13

    21

    112 clc = (3.13)

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 21

    142

    21

    122 cll

    c

    b = (3.14)

    222

    21

    211 cll

    b

    c = (3.15)

    23

    21

    212 clb = (3.16)

    24

    21

    222 clc = (3.17)

    Os coeficientes ijc , de acordo com Rojas (2005), so:

    +=

    HAE

    mdxxdxxxy

    ld

    dxxc cc

    c

    cc

    c

    cb

    211

    1

    0

    21

    1

    012

    1

    0

    211

    12 23

    )(')(')('

    )('cossen)0(

    (3.18)

    +

    +

    +

    =

    HAE

    m

    dxdxxxy

    dxxxdxxxy

    ld

    dxx

    dxxx

    c cc

    c

    cc

    ccc

    c

    cb

    ccb

    211

    1

    0

    21

    1

    02

    1

    021

    1

    01

    2

    1

    0

    212

    1

    0211

    131

    ')(')('

    )(')(')(')('2

    )('cossen)0(

    )(')('cossen)0(2

    (3.19)

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 22

    +

    +

    +

    =

    HAE

    m

    dxxxdxxxy

    dxxdxxxy

    ld

    dxxx

    dxx

    c cc

    c

    ccc

    cc

    c

    ccb

    cb

    211

    2

    1

    01

    1

    02

    1

    0

    22

    1

    01

    2

    2

    1

    012

    1

    0

    221

    141

    )(')(')(')('

    )(')(')('21

    )(')('cossen)0(

    )('cossen)0(21

    (3.20)

    +

    +

    +

    =

    HAE

    m

    dxxdxxxy

    dxxxdxxxy

    ld

    dxx

    dxxx

    c cc

    c

    cc

    ccc

    c

    cb

    ccb

    212

    1

    0

    21

    1

    02

    2

    1

    01

    1

    01

    2

    1

    0

    212

    2

    1

    011

    221

    )(')(')('21

    )(')(')(')('

    )('cossen)0(21

    )(')('cossen)0(

    (3.21)

    +

    +

    +

    =

    HAE

    m

    dxxxdxxxy

    dxxdxxxy

    ld

    dxxx

    dxx

    c cc

    c

    ccc

    cc

    c

    ccb

    cb

    212

    2

    1

    01

    1

    02

    1

    0

    22

    1

    01

    2

    2

    1

    012

    1

    0

    221

    231

    )(')(')(')('2

    )(')(')('

    )(')('cossen)0(2

    )('cossen)0(

    (3.22)

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 23

    +=

    HAE

    mdxxdxxxy

    ld

    dxxc cc

    c

    cc

    c

    cb

    212

    1

    0

    22

    1

    022

    1

    0

    222

    24 23

    )(')(')('

    )('cossen)0(

    (3.23)

    e ainda:

    +=1

    0

    21

    31

    0

    211 sen dx

    m

    mdxm bc

    bc (3.24)

    =1

    0

    222 dxm c (3.25)

    As foras modais p1, p2 e p3, decorrentes das foras aplicadas no cabo e na

    viga, podem ser escritas como:

    +=1

    01

    11

    1

    01

    111 sen dxpM

    ldxpMlp bbbccc (3.26)

    =1

    02

    222 dxpM

    lp cc

    c desprezando-se o termo que depende de 2b (3.27)

    =1

    03

    333 dxpM

    lp bb (3.28)

    As massas modais M11, M22 e M33 so:

    ( )sen

    111

    mlmM cc= (3.29)

    ( ) 222 mlmM cc= (3.30)

    =1

    0

    2333 dxIlM btbb (3.31)

    Onde b a massa especfica do material de que a barra composta e tI o

    momento de inrcia toro da seo transversal da viga.

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 24

    3.1. Foras Aeroelsticas no cabo

    Para a obteno das foras aerodinmicas atuantes no estai, decorrentes da

    condio de vento-chuva, generalizou-se a metodologia proposta por Xu e Wang

    (2003).Esses pesquisadores realizaram um estudo analtico para explicar e simular o

    fenmeno de vibrao no cabo induzido pelo efeito vento-chuva, fenmeno este

    observado em instrumentaes de estruturas existentes e simulaes em tneis de

    vento. Baseados em conhecimentos aerodinmicos, em dinmica das estruturas e

    em alguns resultados obtidos de simulaes, eles desenvolveram um modelo

    analtico para o problema, considerando o efeito do vento sobre o filete de gua

    formado no cabo pela chuva, e a influncia da movimentao do filete na vibrao

    do cabo.

    O modelo analtico foi ento aplicado a alguns modelos de cabos testados em

    tnel de vento, tanto para um filete artificial fixo (segundo uma geratriz do cabo),quanto para um filete de gua em movimento, testado em tnel de chuva e vento.

    Hikami & Shiraishi [1988] realizaram medies em campo dos cabos

    estaiados da ponte Meikonishi em Nagoya, no Japo, submetidos a esforos

    devidos ao vento com e sem chuva. Eles verificaram que, naquela ponte, os cabos

    apresentavam vibraes com pequenas amplitudes quando submetidos apenas ao

    vento, mas, na presena de vento e chuva, tinham amplitudes de vibrao

    excessivas. Eles ento efetuaram uma srie de testes em tnel de vento com efeitos

    de chuva simulados e concluram que o filete de gua formado ao longo da

    superfcie superior do cabo pelo efeito de chuva com a presena do vento alterava

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 25

    substancialmente as propriedades aerodinmicas da seo transversal do cabo,

    resultando em vibraes excessivas.

    Bosdogianni e Oliver [1996] compararam resultados obtidos em tneis de

    vento para cabos com o filete de gua em movimento com os resultados obtidos

    para o cabo com o filete fixo. Concluram que era a presena do filete em uma

    particular posio do cabo, e no o movimento do filete de gua que causava as

    instabilidades no cabo. Portanto, aqui ser considerado o filete em posio fixa, ao

    longo do tempo.

    Xu & Wang modelaram o cabo como um cilindro rgido com inclinao

    uniforme para representar um segmento do cabo estaiado. A inclinao do cilindro

    indicada por (90-). O cilindro suposto apoiado por molas nas extremidades. A

    considerao do cabo como um cilindro rgido, ao invs de um cabo real, deve-se ao

    fato que Xu & Wang usaram, no seu trabalho, estudos e resultados de testes em

    tneis de vento de vrios autores com esta configurao.

    Supe-se que o filete de gua se desenvolva segundo uma geratriz do cabo

    deformado, de forma a ocupar, em todas as sees transversais do cabo, a mesma

    posio. Efeitos de turbulncia e axiais no so considerados.

    A posio esttica do filete devido ao vento definida pelo ngulo 0.

    x

    y z

    Vento U

    cabo

    Figura 3.1 Direo do vento no cabo

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 26

    U

    A

    ACabo

    Corte A

    SustentaoArraste

    U

    Urel

    0

    cc

    Figura 3.2 Posio do filete e velocidade do vento, relativa ao filete, quando o caboest em movimento transversal

    A fora no cabo, por unidade de comprimento :

    ( ) ( )[ ]*sen*cos2

    2

    DLrelac CCDUp += (3.32)

    onde CL e CD so os coeficientes de sustentao e de arrasto do cabo,

    respectivamente, e a a massa especfica do ar. Os coeficientes de arrasto e

    sustentao, medidos em tneis de vento, so geralmente fornecidos em funo do

    ngulo de ataque , relativamente ao filete, dado pela expresso:

    0* = (3.33)

    O ngulo *, que mede a inclinao da velocidade relativa do ventorelU , pode

    ser escrito como:

    Uc &=* (3.34)

    A velocidade relativa relU do vento com respeito ao cilindro :

    222 1

    +=+=U

    UUU ccrel

    &

    &

    (3.35)

    Os coeficientes de arrasto e sustentao foram obtidos por Gu et al (2000),para o cabo de seo circular com filete fixo, conforme indica a Figura 3.3. Esses

    coeficientes podem ser escritos como expanses da srie de Taylor:

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 27

    ( ) 332210 62 AAAACL +++= (3.36)

    ( ) 332210 62 BBBBCD +++= (3.37)

    onde os coeficientes Ai e Bi so os coeficientes da expanso em sries de

    Taylor das equaes que fornecem os valores dos coeficientes de sustentao e de

    arrasto respectivamente.

    Figura 3.3. Valores dos coeficientes de sustentao e arrasto em funo do ngulo

    de ataque , Gu et al (2000).

    Abaixo segue o grfico de uma curva mdia ajustada para os coeficientes de

    sustentao e arrasto ao longo de toda a faixa de variao do ngulo de ataque .

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 28

    Curva Ajustada dos Coeficientes de Sustentao (CL) e Arrasto (CD)

    -1

    -0,5

    0

    0,5

    1

    1,5

    2

    -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5

    ngulo de Ataque (radianos)

    Valo

    res

    de CL

    e

    CD

    Coeficientes de Sustentao

    Coeficientes de Arrasto

    Figura 3.4. Curva de 3 grau melhor ajustada dos coeficientes de sustentao earrasto

    Coeficientes Ai e BiA0 A1 A2 A3

    -0,58 0,51 7,88 14,7

    B0 B1 B2 B31,3 -0,47 -2,2 -3,18

    Tabela 3.1 - Coeficientes Ai e Bi

    A tangente curva do coeficiente de sustentao muda de sinal ao redor do

    valor 43o (aproximadamente -0,75 radianos) do ngulo de ataque . Portanto, para

    melhor ajuste e, conseqentemente, determinar os valores Ai e Bi, as curvas podemser separadas, de acordo com a necessidade, em dois trechos.

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 29

    Curva Ajustada dos Coeficientes de Sustentao (CL) e Arrasto (CD)

    -1

    -0,5

    0

    0,5

    1

    1,5

    2

    -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5

    Angulo de ataque (radianos)

    Coef

    icie

    nte

    s de

    Su

    sten

    o

    CL e

    Arr

    asto

    CD

    Coeficientes de Arrasto

    Coeficientes de Sustentao

    Figura 3.5. Curvas de 3 grau dos coeficientes de sustentao e arrasto, melhorajustadas, em dois trechos, para ngulo de ataque menor ou maior que 0,75

    radianos

    Os valores dos coeficientes Ai e Bi passam a valer:

    Coeficientes Ai e BiA0 A1 A2 A3

    -3,4 -11,14 -19,76 -15,35 -0,75radB0 B1 B2 B3

    1,24 -0,72 0,137 10,27

    Tabela 3.2 - Coeficientes Ai e Bi para ngulo de ataque menor ou maior que 0,75

    radianos

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 30

    Substituindo as equaes (3.33) a (3.37) na equao (3.32), e truncando ostermos de ordem superior quadrtica, temos:

    22102

    222 ca

    caa

    c

    DDUDUp && ++= (3.38)

    Na Figura 3.3, de onde se extraem os valores dos coeficientes DC e LC , o

    sentido do vetor deslocamento do cabo, conforme adotado por Gu et al (2000), est

    oposto ao adotado neste trabalho. Os coeficientes i , j contemplando esse acerto

    de sinais, so:

    303

    2020100 6

    121 AAAA += (3.39)

    303

    202010

    2030211 6

    121

    21 BBBBAAA +++= (3.40)

    203021

    30303

    20220102 2

    1121

    21

    41

    21

    21

    21 BBBAAAAAA ++++= (3.41)

    3.2. Foras Aeroelsticas na Viga

    De acordo com Miranda (2000), Dowell (1985), e Simiu e Scanlan (1986), asforas aerodinmicas na viga introduzem um acoplamento linear entre a flexo e a

    toro na viga. As fora aerodinmicas bp e p na viga so:

    && 2132

    222LBULBULBUp abaab ++= (3.42)

    && 2132

    222MBUMBUMBUp abaa ++= (3.43)

    onde os valores de L1, L2, L3, M1, M2 e M3 , so funes do nmero de

    Strouhal , com UB

    = , e dependem dos coeficientes de drapejamento obtidos em

    tnel de vento *1H , *2H , *3H , *1A , *2A e *3A :

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 31

    *

    11 HL = (3.44)*

    22 HBL = (3.45)*

    32

    3 HL = (3.46)*

    11 ABM = (3.47)*

    22

    2 ABM = (3.48)*

    32

    3 ABM = (3.49)

    A Figura 3.6 apresenta as propriedades aerodinmicas para algumas sees

    transversais de pontes.

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 32

    Figura 3.6: Curvas dos coeficientes de drapejamento em funo de B

    U

    , onde

    2

    = , para as sees transversais indicadas acima (Simiu e Scanlan, 1978).

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 33

    Estes coeficientes devem ser multiplicados por 2 para se adequarem

    notao utilizada neste trabalho, conforme observa Butkeraitis (2002).

    3.3 Equao de Movimento reduzida

    Substituindo as equaes (3.38), (3.42) e (3.43) nas equaes (3.09) a (3.11)e reordenando termos, vem:

    2212221112

    2111110

    22122

    21112211113131

    213132121111

    qqqqpq

    qqqqqqqqq&&&&

    &&&&&

    +++=

    ++++++++ (3.50)

    2222221212

    2121120

    22222

    21212212112

    222221212

    qqqqpq

    qqqqqqq&&&&

    &&&&

    +++=

    ++++++ (3.51)

    ( ) 0333233331313 =++++ qqqq &&&& (3.52)Note-se que o parmetro de escala , com 0

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 34

    333333 2 = (3.61)onde j , j=1,3, so os amortecimentos estruturais. Ainda:

    dxLMBUl

    bbba

    3

    1

    013

    11

    2

    13 )(sen2 = (3.62)

    dxLM

    BUlb

    ba

    =1

    0

    211

    1111 )(sen2

    (3.63)

    dxLM

    BUlbb

    ba

    =1

    0312

    1113 )(sen2

    (3.64)

    dxMMBUl

    bba

    =1

    0

    233

    33

    2

    33 2 (3.65)

    dxMM

    BUlbb

    ba

    =1

    0311

    3331 2

    (3.66)

    dxMM

    BUlb

    ba

    =1

    0

    232

    3333 2

    (3.67)

    =1

    01

    11

    02

    10 2dx

    MDUl

    cca (3.68)

    =1

    0

    21

    11

    111 2

    dxMDUl

    cca (3.69)

    =1

    021

    11

    112 2

    dxMDUl

    ccca (3.70)

    =1

    0

    31

    11

    2111 2

    dxMDl

    cca (3.71)

    =1

    02

    21

    11

    2112 2

    dxM

    Dlcc

    ca (3.72)

    =1

    0

    221

    11

    2122 2

    dxM

    Dlcc

    ca (3.73)

  • Reduo do modelo para trs graus de liberdade 35

    =1

    02

    22

    02

    20 2dx

    MDUl

    cca (3.74)

    =1

    021

    22

    121 2

    dxMDUl

    ccca (3.75)

    =1

    0

    22

    22

    122 2

    dxMDUl

    cca (3.76)

    ==1

    0112

    22

    112

    21

    22

    2211 2

    MMdx

    MDl

    ccca (3.77)

    ==1

    0122

    22

    11221

    22

    2212 2

    MMdx

    MDl

    ccca (3.78)

    =1

    0

    32

    22

    2222 2 cc

    ca dxM

    Dl (3.79)

  • Mtodo das mltiplas escalas 36

    4. MTODO DAS MLTIPLAS ESCALAS

    Existem muitos mtodos analticos para obteno de solues aproximadas

    de sistemas de equaes diferenciais no-lineares, como (3.50)-(3.52), tais como, omtodo da expanso direta, o mtodo de Lindstedt-Poincar, o mtodo das mltiplas

    escalas, o mtodo do balano harmnico etc.

    Para a soluo do problema desse trabalho, ser utilizado o mtodo das

    mltiplas escalas por apresentar um procedimento robusto e simples como idia,

    embora trabalhoso como implementao. Apresenta a vantagem de garantir

    convergncia uniforme no tempo para sistemas com no-linearidades fracas.

    A principal idia do mtodo considerar uma expanso assinttica de um

    parmetro de perturbao , com 10

  • Mtodo das mltiplas escalas 37

    ( ) 222102210221022

    ...)(...]...][[ +++=++++++= DDDDDDDDDdtd

    ( ) ...)2()2( 21202102022

    ++++= DDDDDDdtd

    (4.03)

    com:

    ( ),kn

    kkn T

    D

    = k,n = 1,2,3... (4.04)

    A soluo do sistema (3.50)-(3.52) ser, pois, pesquisada na forma:

    ),,(),,(),,( 21033210222101 TTTqTTTqTTTqq iiii ++= (4.05)

    oportuno lembrar que o problema em questo tem trs graus de liberdade,q1, q2 e q3, sendo que q1 se refere ao modo global de flexo da viga e vibrao

    transversal do estai, q2 ao modo local de vibrao transversal do estai e q3 ao modo

    de toro da viga, conforme indicado na Figura 1.2.

    Fazendo as derivadas em relao a t, vem:

    ...)...)(( 332212210 iiii qqqDDDq ++++=&

    ...123

    213

    112

    303

    202

    10 iiiiiii qDqDqDqDqDqDq +++++=&(4.06)

    Derivando novamente, temos:

    ...))...](2()2([( 33221212021020 iiii qqqDDDDDDq +++++=&&

    ...)2()2()2(

    12120

    3210

    3110

    23

    20

    32

    20

    21

    20

    i

    iiiiii

    qDDD

    qDDqDDqDqDqDq

    +

    +++++=

    && (4.07)

    Equao de ordem :

    Substituindo as equaes (4.06) e (4.07) em (3.50) a (3.52) e isolando ostermos de ordem , temos:

  • Mtodo das mltiplas escalas 38

    cceApqpqqD Ti ++==+ 01121

    10111011

    2111

    20

    (4.08)

    cceApqpqqD Ti ++==+ 02222

    20212021

    2221

    20

    (4.09)

    cceAqqqD Ti +==+ 03331312331

    20 0

    (4.10)

    Equao de ordem 2 :

    ( ) ( )( )( )2210122

    2101101122

    1101112211222111112

    21111

    31133101321012110111110122112

    20 2

    qD

    qDqDqDqqqq

    qqDqDqDqDDqqD

    +

    +++

    =+

    (4.11)

    ( ) ( )( ) ( )221022221011021221102112212222111212

    2112112102211021211022

    2222

    20 2

    qDqDqDqDq

    qqqqDqDqDDqqD

    +++

    =+ (4.12)

    333331033110313110332333

    20 2 qqDqDqDDqqD =+ (4.13)

    Para favorecer o acoplamento dos termos no-lineares quadrticos, ser

    considerado o caso em que a freqncia natural do segundo modo de vibrao

    aproximadamente duas vezes a freqncia do primeiro modo, e ambos com

    freqncias bem diferentes da do terceiro modo.

    += 12 2 (4.14)

    onde chamado de parmetro de sintonia (ou inversamente, de-tuning).As equaes de solvabilidade, que so responsveis pela eliminao dos termos

    seculares, so:

  • Mtodo das mltiplas escalas 39

    ( )

    02

    2

    121

    10111

    122111212112122

    201121111111

    11

    =

    Ap

    eAAeAAApAiADi TiTi

    (4.15)

    ( )0

    22

    1

    1

    21

    21211

    222

    2022222

    1

    10212

    212112222212

    =

    Ti

    Ti

    eA

    ApApeAAiADi

    (4.16)

    ( ) 02 3333333313 = AAiADi (4.17)Definem-se, por convenincia:

    = jji

    jj aeaAj ,,

    21 (4.18)

    112 2 T += (4.19)

    Substituindo (4.18) e (4.19) em (4.15) a (4.17) e separando as partes reais eimaginrias, as seguintes equaes diferenciais ordinrias aparecem:

    ( ) ( ) 0sen41

    2 21112211121111

    111 =+++

    aaaaD (4.20)

    ( ) ( ) 0cos41

    2111221112121

    101111111 =+ aaa

    pDa (4.21)

    ( ) ( ) 0sen41

    221211

    212112

    222212 =+++

    aaaD (4.22)

    ( ) ( ) 02

    cos41

    221

    1021222

    2022221211

    212112122 =

    ++ app

    aDa

    (4.23)

    ( ) 02 3

    333313 =+ aaD

    133

    2303

    Teaa

    = (4.24)

    ( ) 02 333

    3133 = aDa 1

    3

    33303 2

    T

    += (4.25)

    Aqui, 1a a amplitude do modo global, 2a a amplitude do modo local, 3a a

    amplitude do modo de toro na viga e i os respectivos ngulos de fase, variveis

  • Mtodo das mltiplas escalas 40

    com o tempo, os quais implicam modificaes nas freqncias modais no caso de

    regime no-linear.

    Drapejamento (Flutter) unimodal por toro

    Da equao (4.24) pode-se perceber que, caso o coeficiente aerodinmico da

    seo transversal da viga *2A seja positivo, e a velocidade do vento seja maior que:

    = 1

    0

    23

    *

    32

    3333*3

    )(

    4

    dxUBMl

    MU

    bba

    (4.26)

    a amplitude 3a crescer indefinidamente, ao menos nesse modelo linear

    para a toro, pois nesse caso, 33 torna-se negativo. Note que (4.26) uma

    equao implcita em *3U .

    Galope do Estai

    A soluo no trivial 02 a , com 01 =a , possvel nas equaes (4.20) a

    (4.23), fazendo 022 = . Neste caso, a velocidade crtica do vento deve ser igual a:

    = 1

    0

    221

    2222*2

    4

    dxDl

    MUcca

    (4.27)

    Note que (4.27) tambm uma equao implcita em *2U .

  • Mtodo das mltiplas escalas 41

    Drapejamento (Flutter) unimodal com vibrao no cabo e na viga por flexo

    As solues no triviais 02 a e 01 a so possveis nas equaes (4.20) a

    (4.23), caso o coeficiente aerodinmico da seo transversal da viga *1H seja

    positivo e a velocidade do vento esteja entre os seguintes valores:

    ( ) ( )*2*1*2*1 ,max,min UUUUU

  • Estudo de caso 42

    5. ESTUDO DE CASO

    Este captulo ocupa-se do estudo do comportamento aeroelstico da viga

    simples estaiada da Figura 1.2, submetida a aes de vento e chuva, especialmente

    no que tange caracterizao da velocidade crtica do vento, para cada um dos

    fenmenos de instabilidade aeroelstica estudados, bem como das amplitudes

    modais ps-crticas para o caso de drapejamento (flutter) por flexo da viga evibraes do estai. A seo transversal da viga mostrada na Figura 5.1. Foi

    escolhida, propositadamente, com forma geometricamente similar seo da Ponte

    de Tacoma Narrows, para favorecer as instabilidades dinmicas e, assim, ensejar apossibilidade de aplicao da anlise do Captulo 4.

    4.65

    24.18

    1.86

    0.12

    0.12

    0.12

    Figura 5.1 Seo transversal da viga a ser estudada (dimenses em cm)

    As demais propriedades geomtricas e mecnicas dos elementos estruturais

    esto indicadas na Tabela 5.1.

  • Estudo de caso 43

    Elemento Propriedades Smbolo Valor Unidade

    Cabo Densidade c 7827 Kg/m

    Massa por unidade de comprimento mc 0,0978 Kg/m

    Mdulo de elasticidade Ec 2,386.1011 N/m

    Dimetro D 5,06.10-04 m

    rea da seo transversal Ac 2,011.10-07 mComprimento da corda do cabo lc 2,061 m

    Empuxo H 109,952 N

    ngulo entre a corda e o eixo vertical 1,326 radFlecha da catenria d 4,494.10-03 m

    Viga Densidade equivalente (*) b 22431 Kg/mMassa equivalente por unidade de

    comprimentomb 10,408 Kg/m

    Mdulo de elasticidade Eb 1,690.1011 N/m

    Mdulo de cisalhamento Gb 6,76.1010 N/m

    Momento de inrcia a flexo Izb 3,390.10-08 m4

    Momento de inrcia a toro It 2,250.10-10 m4

    rea da seo transversal Ab 4,640.10-04 mLargura da base B 2,418.10-01 m

    Comprimento lb 2 m

    (*) Levando em considerao massas concentradas ao longo da viga, ento b

    bb A

    m=

    Tabela 5.1 Parmetros fsicos da viga estaiada

    A densidade do ar 3/293,1 mkga = .

  • Estudo de caso 44

    Os valores dos coeficientes aerodinmicos devidos a vento e chuva no cabo,

    de acordo com as equaes (3.39) a (3.41), so:

    0 1 2

    o43 -0,189290 1,166557 5,28837

    Curva Mdia -0,0626638 0,286640 0,0663996

    Tabela 5.2 Valores de i em funo do ngulo de ataque do vento

    Recorda-se que 0* = ; mas Uc &=* , na conveno da Figura 3.3.

    Como a velocidade c& inverte de sinal durante a vibrao, para se saber que

    domnio da Tabela 5.2 utilizar, deve-se verificar se c& maior ou menor que

    )750492,0( 0 U . Portanto, quando c& for menor que )750492,0( 0 U , ter

    valores estritamente maiores que o43 . Nesse caso, usa-se i para valores

    o43> . Para valores de c& maiores que )750492,0( 0 U , ter valores ora

    maiores, ora menores que o43 . Nesse caso, de forma simplificada sero usados os

    valores de i para a curva mdia.

    Uma vez escolhidos os valores de i e determinada a resposta dinmica para

    o cabo, conforme visto no Captulo 3, poder-se- verificar se a escolha feita foi

    adequada ou no, bastando para isto estimar o mdulo da velocidade do cabo no

    meio do vo, de acordo com a seguinte expresso, que decorre de (3.05):

    =

    x

    xccdxa

    05,0222&

  • Estudo de caso 45

    e verificar se este valor menor ou maior que )750492,0( 0 U .

    Os valores das freqncias naturais de vibrao, para os dois primeiros

    modos, conforme Rojas (2005), so:

    rad/s 26,1371 = ( 2,110951 =b ; 1,606931 =c ); e

    rad/s 51,458 2 = ( 2,961942 =b ; 3,163702 =c ).

    Os valores de 1 e 2 esto efetivamente, neste estudo de caso, prximos da

    condio de ressonncia interna 1:2. As funes modais correspondentes a cada

    freqncia so dadas nas expresses (2.17) e (2.18). Alm disso, o valor doparmetro de de-tuning :

    16,82 12 ==

    , arbitrando-se 0,10= .

    Os grficos das funes modais so dados abaixo, sendo que as abscissas

    correspondem aos eixos da viga ou da corda do cabo, sendo tais abscissas

    normalizadas em relao aos respectivos comprimentos.

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    Figura 5.2 Funo modal 1b

    1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

  • Estudo de caso 46

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9x 10

    -3

    Figura 5.3 Funo modal 2b

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Figura 5.4 Funo modal 1c

    1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

    1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

  • Estudo de caso 47

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    Figura 5.5 Funo modal 2c

    Para o modo de toro, a freqncia natural muito maior que 1 e 2 . A

    partir de (2.26), rad/s1363,453 = . A funo modal dada em (2.25).

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    Figura 5.6 Funo modal 3b

    1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

    1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

  • Estudo de caso 48

    Para esse estudo de caso, todas as taxas modais de amortecimento so

    arbitradas com 0,0005 =i , 3,2,1=i . Para os dois primeiros modos, estes valores,bastante baixos, coincidem com os adotados por Gattulli et al (2002) em seu estudoanaltico-experimental. Posteriormente, ser investigada a influncia da taxa de

    amortecimento nas velocidades crticas do vento e na resposta ps-crtica.

    Abaixo seguem os valores das integrais auxiliares que dependem das funes

    modais:

    402409,01

    01 =

    dxb 259834,01

    0

    21 =

    dxb 347041,01

    031 =

    dxbb

    00445255,01

    02 =

    dxb5

    1

    0

    22 10.82782,2

    =

    dxb

    =1

    0

    23 5,0dxb

    =1

    01 406952,0dxc 247279,0

    1

    0

    21 =

    dxc 173055,01

    0

    31 =

    dxc

    =1

    02 634680,0dxc 498400,0

    1

    0

    22 =

    dxc 423019,01

    0

    32 =

    dxc

    248510,01

    021 =

    dxcc 127697,01

    02

    21 =

    dxcc 192272,01

    0

    221 =

    dxcc

    A partir das equaes (3.29) a (3.31) e das integrais acima, os valores dasmassas modais so:

    kgM 29766,511 = ; kgM 100460,022 = ; 2633 10.04698,5 mkgM = .

    A tabela abaixo mostra os valores dos coeficientes aerodinmicos do cabo,

    para valores de ngulo de ataque o43 e para todos os valores de

    (mdia), supondo-se que o ngulo 0 que define a posio do filete de gua de

    chuva vale 32. Note que alguns coeficientes variam de acordo com a velocidade do

    vento U ou U2.

  • Estudo de caso 49

    -43 Mdia

    10 9,61822.10-06 U 2 -9,80357.10-06 U 2 -3,24543.10-06 U 2

    11 4,31523.10-05 U 3,67119.10-05 U 9,02063.10-06 U12 4,33671.10-05 U 3,68946.10-05 U 9,06554.10-06 U111 -1,11477.10-04 1,16471.10-04 1,46239.10-06

    112 -8,22585.10-05 8,59439.10-05 1,07909.10-06

    122 -1,23856.10-04 1,29405.10-04 1,62478.10-06

    20 7,91034.10-04 U 2 -8,06278.10-04 U 2 -2,66915.10-04 U 2

    21 2,28691.10-03 U 1,94559.10-03 U 4,78061.10-04 U22 4,58653.10-03 U 3,90199.10-03 U 9,58776.10-04 U211 -4,33780.10-03 4,53215.10-03 5,69047.10-05

    212 -6,53139.10-03 6,82401.10-03 8,56808.10-05

    222 -1,43697.10-02 1,50136.10-02 1,88507.10-04

    Tabela 5.3 Coeficientes aerodinmicos do cabo, para a condio de vento-chuva

    Para o clculo dos coeficientes aerodinmicos na viga, usam-se as curvas da

    Figura 3.6, adotando-se a seo similar da ponte de Tacoma Narrows (Figura 5.1).O grfico abaixo apresenta as curvas dos coeficientes de drapejamento, com

    a adequao para este trabalho, isto , com o valor dos coeficientes multiplicados

    por 2. As curvas *1A e *3A no apresentam interesse.

  • Estudo de caso 50

    Coeficientes de Drapejamento na viga

    -16

    -14

    -12

    -10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    4

    6

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    U/ B

    H1H2H3A2

    Figura 5.7 Coeficientes de drapejamento da viga, em funo de B

    U

    , onde

    2

    = ,

    para a seo da Figura 5.1.

    13 2,04810.10-02U L333 3,09737.1004U M311 1,53344.10-02U L113 2,04810.10-02U L231 2,14983.1004U M133 3,09737.1004U M2

    Tabela 5.4 Coeficientes aerodinmicos, devidos ao vento, relativos viga.

    Finalmente, os coeficientes de rigidez no-lineares, determinados a partir de

    Rojas (2005), so indicados abaixo:

  • Estudo de caso 51

    c12 2,19c13 1,47c22 37,5c23 389c24 -23,7111 748112 487211 1,32.104

    212 1,33.105

    222 -7,86.103

    Tabela 5.5 Coeficientes no lineares de rigidez

    Clculo da velocidade crtica do vento para o drapejamento (flutter) unimodalde toro na viga.

    A partir da equao (4.26) e com a ajuda da Figura 5.7, calcula-se o valor davelocidade crtica do vento U3, atravs de iteraes:

    U A2 (3) (3) M2 (3) U3105 -0,00976 0,1185 -6,8E-05 -0,65113 6,05E-05 0,1103 3,91E-07 113131 0,0231 0,09498 0,000128 0,34

    Tabela 5.6 Clculo iterativo de U3

    Portanto, resulta U3=113 m/s.

    Clculo da velocidade crtica do vento para o galope do estai:

    A partir de (4.27), a velocidade crtica U2 resulta igual a 55m/s.

  • Estudo de caso 52

    Clculo da velocidade crtica do vento para o drapejamento (flutter) unimodalde flexo, com vibraes do cabo

    A partir de (4.29), a velocidade crtica U1 pode ser determinada por iterao.

    U H1 (1) (1) L1 U18,5 -0,227 0,7435 -0,1688 -10,38,7 0,266 0,7271 0,1933 8,79 1,053 0,7022 0,7394 2,3

    Tabela 5.7 Clculo iterativo de U1

    Portanto, resulta U1 = 8,7 m/s.

    A influncia das vibraes do cabo na velocidade crtica do vento U1 parece

    ser desprezvel.

    No entanto, muito importante para limitar as amplitudes ps-crticas tanto no

    cabo quanto na viga, como pode ser visto atravs das equaes (4.31) e (4.32). Atabela abaixo mostra as amplitudes do primeiro e segundo modo, determinadas na

    zona de velocidades de vento ps-crticas. Para tanto, a curva de *1H teve que ser

    extrapolada para velocidades de vento acima de 9,5 m/s. A Figura 5.8 mostra o

    grfico de *1H extrapolado. desejvel que esses resultados sejam validados

    experimentalmente, o que foge ao escopo dessa dissertao.

  • Estudo de caso 53

    H 1

    -10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    4

    6

    0 5 10 15 20 25

    Velocidades do vento (m/s)

    Coe

    fice

    nte

    a

    ero

    din

    mic

    o H

    1

    Figura 5.8 Grfico da extrapolao dos valores de *1H

    Coincidentemente, para 1=26,137 rad/s, o valor de B aproximadamente 1,portanto o eixo das abscissas pode ser confundido com o da prpria velocidade dovento U.

    U (m/s) *1H (1) A2 (3) L1 M2 (3) a2 (m) a1 (m)8,7 0,27 -0,01 0,193 -0,020 0,13 0,039 1,05 -0,01 0,739 -0,020 0,12 0,03

    9,5 2,36 -0,01 1,571 -0,020 0,10 0,0210 3,59 -0,01 2,271 -0,020 0,10 0,01

    10,5 4,75 -0,01 2,861 -0,020 0,10 0,0111 5,85 -0,01 3,359 -0,020 0,11 0,01

    11,5 6,88 -0,01 3,781 -0,020 0,11 0,0112 7,86 -0,01 4,138 -0,020 0,12 0,01

    12,5 8,79 -0,01 4,444 -0,020 0,13 0,0113 9,66 -0,01 4,698 -0,020 0,13 0,01

    13,5 10,48 -0,01 4,904 -0,020 0,14 0,0114 11,23 -0,01 5,069 -0,020 0,14 0,01

    14,5 11,93 -0,02 5,199 -0,020 0,15 0,0115 12,58 -0,02 5,300 -0,020 0,16 0,01

    15,5 13,18 -0,02 5,375 -0,020 0,16 0,0116 13,74 -0,02 5,428 -0,020 0,17 0,01

    16,5 14,26 -0,02 5,462 -0,020 0,17 0,0117 14,74 -0,02 5,479 -0,020 0,17 0,01

    Continua

  • Estudo de caso 54

    ContinuaoU (m/s) *1H (1) A2 (3) L1 M2 (3) a2 (m) a1 (m)

    17,5 15,18 -0,02 5,482 -0,020 0,18 0,0118 15,58 -0,02 5,471 -0,020 0,18 0,01

    18,5 15,95 -0,02 5,450 -0,020 0,19 0,0119 16,29 -0,02 5,418 -0,020 0,19 0,01

    19,5 16,59 -0,02 5,377 -0,020 0,19 0,0120 16,86 -0,02 5,328 -0,020 0,19 0,01

    20,5 17,10 -0,02 5,272 -0,020 0,20 0,0121 17,31 -0,02 5,209 -0,020 0,20 0,01

    21,5 17,49 -0,02 5,141 -0,020 0,20 0,0122 17,64 -0,02 5,067 -0,020 0,20 0,01

    22,5 17,76 -0,02 4,988 -0,020 0,20 0,0123 17,85 -0,02 4,905 -0,020 0,20 0,01

    23,5 17,91 -0,02 4,818 -0,020 0,20 0,01Tabela 5.8 Amplitudes modais ps-crticas.

    -0,05

    0

    0,05

    0,1

    0,15

    0,2

    0,25

    7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

    Velocidade do vento (m/s)

    Am

    plitu

    des

    mod

    ais

    (m)

    a 1 0 = 32

    a 2 0 = 32

    Figura 5.9: Amplitudes modais ps-crticas a1(U) e a2(U).

  • Estudo de caso 55

    Influncia do ngulo do filete 0 nas amplitudes ps-crticas de vibrao.

    At agora, havia sido adotado o ngulo 0 de 32, conforme sugerido no

    trabalho de Xu e Wang (2003).

    Por meio das equaes (3.39) a (3.41) os coeficientes i podem ser

    calculados para diferentes valores de 0. Verifica-se que, para valores

    compreendidos entre 20 e 44, 1 positivo e, portanto, existem valores de U2, isto

    , de velocidade crtica para galope do estai.

    As tabelas abaixo mostram a variao das amplitudes de vibrao segundo a

    variao do ngulo 0. Note-se que, de posse do valor das amplitudes, pode-se

    determinar o valor do ngulo de ataque do vento, o qual permite verificar os valores

    adotados para i.

  • Estudo de caso 56

    0 = 20,7o 0 = 22 0 = 24U2 = 584m/s U2 = 184 m/s U2 = 97 m/sU (m/s)

    a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m)8,5 0,057286 0,057943 0,0588279 0,0404 0,1309 0,0391 0,1288 0,0374 0,1261

    9,5 0,0192 0,1018 0,0188 0,1013 0,0182 0,100810 0,0151 0,1005 0,0147 0,1002 0,0143 0,1000

    10,5 0,0133 0,1034 0,0130 0,1032 0,0127 0,103011 0,0125 0,1080 0,0122 0,1079 0,0118 0,1077

    11,5 0,0120 0,1135 0,0118 0,1134 0,0114 0,113312 0,0118 0,1195 0,0116 0,1194 0,0112 0,1194

    12,5 0,0117 0,1258 0,0115 0,1258 0,0111 0,125713 0,0117 0,1321 0,0114 0,1321 0,0111 0,1321

    13,5 0,0118 0,1383 0,0115 0,1383 0,0111 0,138314 0,0119 0,1442 0,0115 0,1442 0,0111 0,1443

    14,5 0,0119 0,1499 0,0116 0,1499 0,0112 0,150015 0,0120 0,1553 0,0117 0,1553 0,0112 0,1554

    15,5 0,0121 0,1604 0,0118 0,1605 0,0113 0,160516 0,0122 0,1652 0,0119 0,1653 0,0113 0,1653

    16,5 0,0123 0,1698 0,0119 0,1698 0,0114 0,169817 0,0124 0,1740 0,0120 0,1740 0,0115 0,1740

    17,5 0,0125 0,1779 0,0121 0,1779 0,0115 0,178018 0,0126 0,1815 0,0121 0,1815 0,0115 0,1816

    18,5 0,0127 0,1848 0,0122 0,1848 0,0116 0,184919 0,0127 0,1878 0,0122 0,1878 0,0116 0,1879

    19,5 0,0128 0,1905 0,0123 0,1906 0,0116 0,190720 0,0128 0,1930 0,0123 0,1930 0,0116 0,1931

    20,5 0,0129 0,1951 0,0124 0,1952 0,0117 0,195321 0,0129 0,1970 0,0124 0,1971 0,0117 0,1972

    21,5 0,0129 0,1986 0,0124 0,1987 0,0116 0,198822 0,0130 0,2000 0,0124 0,2000 0,0116 0,2002

    22,5 0,0130 0,2011 0,0124 0,2011 0,0116 0,201323 0,0130 0,2019 0,0124 0,2019 0,0116 0,2021

    23,5 0,0130 0,2024 0,0124 0,2025 0,0116 0,2026Continua

  • Estudo de caso 57

    Continuao

    0 = 26o 0 = 28 o 0 = 30 oU2 = 71m/s U2 = 60m/s U2 = 55m/sU (m/s)

    a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m)8,5 0,05954 0,060068 0,0603989 0,0361 0,1242 0,0352 0,1229 0,0348 0,1222

    9,5 0,0178 0,1004 0,0175 0,1001 0,0173 0,100010 0,0140 0,0998 0,0137 0,0997 0,0136 0,0996

    10,5 0,0124 0,1029 0,0122 0,1029 0,0120 0,102911 0,0116 0,1077 0,0114 0,1077 0,0112 0,1077

    11,5 0,0111 0,1133 0,0109 0,1133 0,0108 0,113412 0,0109 0,1194 0,0107 0,1194 0,0106 0,1195

    12,5 0,0108 0,1258 0,0106 0,1258 0,0104 0,125913 0,0107 0,1321 0,0105 0,1322 0,0104 0,1322

    13,5 0,0107 0,1383 0,0105 0,1384 0,0104 0,138514 0,0108 0,1443 0,0105 0,1444 0,0104 0,1444

    14,5 0,0108 0,1500 0,0105 0,1501 0,0104 0,150215 0,0108 0,1554 0,0106 0,1555 0,0104 0,1556

    15,5 0,0109 0,1606 0,0106 0,1606 0,0104 0,160716 0,0109 0,1654 0,0106 0,1655 0,0105 0,1656

    16,5 0,0110 0,1699 0,0107 0,1700 0,0105 0,170117 0,0110 0,1741 0,0107 0,1742 0,0105 0,1743

    17,5 0,0110 0,1780 0,0107 0,1781 0,0105 0,178318 0,0111 0,1817 0,0107 0,1818 0,0105 0,1819

    18,5 0,0111 0,1850 0,0107 0,1851 0,0105 0,185219 0,0111 0,1880 0,0107 0,1881 0,0105 0,1883

    19,5 0,0111 0,1908 0,0107 0,1909 0,0105 0,191020 0,0111 0,1932 0,0107 0,1934 0,0104 0,1935

    20,5 0,0111 0,1954 0,0107 0,1956 0,0104 0,195721 0,0111 0,1973 0,0106 0,1975 0,0104 0,1976

    21,5 0,0110 0,1990 0,0106 0,1991 0,0103 0,199322 0,0110 0,2003 0,0105 0,2005 0,0103 0,2006

    22,5 0,0110 0,2014 0,0105 0,2016 0,0102 0,201823 0,0109 0,2022 0,0104 0,2024 0,0101 0,2026

    23,5 0,0109 0,2028 0,0104 0,2030 0,0101 0,2032Continua

  • Estudo de caso 58

    Continuao 0 = 32o 0 = 34o 0 = 36o

    U2 = 54m/s U2 = 56 m/s U2 = 62 m/sU (m/s)a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m)

    8,5 0,06052 0,060431 0,0601329 0,0346 0,1220 0,0349 0,1225 0,0356 0,1236

    9,5 0,0173 0,1000 0,0174 0,1002 0,0176 0,100610 0,0136 0,0997 0,0137 0,0998 0,0139 0,1001

    10,5 0,0120 0,1030 0,0121 0,1031 0,0123 0,103311 0,0112 0,1078 0,0113 0,1079 0,0114 0,1081

    11,5 0,0108 0,1134 0,0108 0,1136 0,0110 0,113712 0,0105 0,1196 0,0106 0,1197 0,0108 0,1198

    12,5 0,0104 0,1259 0,0105 0,1261 0,0107 0,126213 0,0104 0,1323 0,0104 0,1325 0,0106 0,1326

    13,5 0,0103 0,1386 0,0104 0,1387 0,0106 0,138814 0,0103 0,1446 0,0104 0,1447 0,0106 0,1448

    14,5 0,0104 0,1503 0,0104 0,1504 0,0106 0,150615 0,0104 0,1557 0,0105 0,1558 0,0107 0,1560

    15,5 0,0104 0,1609 0,0105 0,1610 0,0107 0,161116 0,0104 0,1657 0,0105 0,1658 0,0107 0,1660

    16,5 0,0104 0,1702 0,0105 0,1704 0,0108 0,170517 0,0104 0,1745 0,0105 0,1746 0,0108 0,1748

    17,5 0,0105 0,1784 0,0106 0,1786 0,0108 0,178718 0,0104 0,1820 0,0106 0,1822 0,0108 0,1824

    18,5 0,0104 0,1854 0,0106 0,1855 0,0108 0,185719 0,0104 0,1884 0,0105 0,1886 0,0108 0,1888

    19,5 0,0104 0,1912 0,0105 0,1914 0,0108 0,191620 0,0104 0,1937 0,0105 0,1939 0,0108 0,1940

    20,5 0,0103 0,1959 0,0105 0,1961 0,0108 0,196321 0,0103 0,1978 0,0104 0,1980 0,0108 0,1982

    21,5 0,0103 0,1995 0,0104 0,1997 0,0107 0,199922 0,0102 0,2008 0,0103 0,2010 0,0107 0,2013

    22,5 0,0101 0,2020 0,0103 0,2022 0,0107 0,202423 0,0101 0,2028 0,0102 0,2030 0,0106 0,2032

    23,5 0,0100 0,2034 0,0102 0,2036 0,0106 0,2038Continua

  • Estudo de caso 59

    Continuao 0 = 38o 0 = 40o 0 = 42o

    U2 = 77m/s U2 = 113 m/s U2 = 281 m/sU (m/s)a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m)

    8,5 0,059626 0,058924 0,0580379 0,0366 0,1253 0,0381 0,1277 0,0401 0,1309

    9,5 0,0180 0,1010 0,0185 0,1017 0,0192 0,102510 0,0141 0,1004 0,0145 0,1008 0,0150 0,1013

    10,5 0,0125 0,1035 0,0129 0,1039 0,0133 0,104211 0,0117 0,1083 0,0120 0,1086 0,0125 0,1089

    11,5 0,0113 0,1139 0,0116 0,1142 0,0120 0,114412 0,0110 0,1200 0,0114 0,1202 0,0118 0,1205

    12,5 0,0109 0,1264 0,0113 0,1266 0,0117 0,126813 0,0109 0,1328 0,0112 0,1330 0,0117 0,1332

    13,5 0,0109 0,1390 0,0113 0,1392 0,0117 0,139414 0,0109 0,1450 0,0113 0,1452 0,0118 0,1454

    14,5 0,0110 0,1507 0,0114 0,1509 0,0119 0,151115 0,0110 0,1562 0,0114 0,1563 0,0120 0,1565

    15,5 0,0110 0,1613 0,0115 0,1615 0,0121 0,161716 0,0111 0,1662 0,0116 0,1663 0,0121 0,1665

    16,5 0,0111 0,1707 0,0116 0,1709 0,0122 0,171117 0,0112 0,1749 0,0117 0,1751 0,0123 0,1753

    17,5 0,0112 0,1789 0,0117 0,1791 0,0124 0,179318 0,0112 0,1825 0,0118 0,1827 0,0125 0,1829

    18,5 0,0113 0,1859 0,0118 0,1861 0,0125 0,186319 0,0113 0,1890 0,0119 0,1892 0,0126 0,1894

    719,5 0,0113 0,1917 0,0119 0,1919 0,0126 0,192220 0,0113 0,1942 0,0119 0,1945 0,0127 0,1947

    20,5 0,0113 0,1965 0,0119 0,1967 0,0127 0,196921 0,0113 0,1984 0,0120 0,1986 0,0128 0,1989

    21,5 0,0113 0,2001 0,0120 0,2003 0,0128 0,200522 0,0112 0,2015 0,0120 0,2017 0,0128 0,2020

    22,5 0,0112 0,2026 0,0120 0,2029 0,0128 0,203123 0,0112 0,2035 0,0119 0,2037 0,0128 0,2040

    23,5 0,0111 0,2041 0,0119 0,2043 0,0128 0,2046

    Tabela 5.9 Valores das amplitudes modais com a variao do ngulo 0

  • Estudo de caso 60

    -0,005

    0

    0,005

    0,01

    0,015

    0,02

    0,025

    0,03

    0,035

    0,04

    0,045

    0 5 10 15 20 25

    Velocidade do vento (m/s)

    Ampl

    itude

    m

    oda

    l (m)

    =20,7

    =22

    =24

    =26

    =28

    =30

    =32

    =34

    =36

    =38

    =40

    =42

    =42,7

    Curvas de a 1

    Figura 5.10 - Valores das amplitudes modais a1 com a variao do ngulo 0

    0

    1,5 3

    4,5 6

    7,5 9

    10,5

    12

    13,5

    15

    16,5

    18

    19,5

    21

    22,5

    =20,7 =26 =32 =38

    =42,6

    0

    0,005

    0,01

    0,015

    0,02

    0,025

    0,03

    0,035

    0,04

    0,045

    Ampl

    itude

    s M

    odai

    s (m

    )

    Velocidade do

    vento (m/s)

    Ang.

    filete

    =20,7=22=24=26=28=30=32=34=36=38=40=42=42,6

    Curvas de a 1

    Figura 5.11 - Valores das amplitudes modais a1 com a variao da velocidade dovento e do ngulo 0

  • Estudo de caso 61

    -0,05

    0

    0,05

    0,1

    0,15

    0,2

    0,25

    0 5 10 15 20 25

    Velocidade do vento (m/s)

    Ampl

    itude

    m

    oda

    l

    =20,7=22=24=26=28=30=32=34=36=38=40=42=42,6=43,1

    Curvas de a 2

    Figura 5.12 - Valores das amplitudes modais a2 com a variao do ngulo 0

    0

    1,5 3

    4,5 6

    7,5 9

    10,5

    12

    13,5

    15

    16,5

    18

    19,5

    21

    22,5

    =20,7 =26 =32 =38

    =42,6

    0

    0,05

    0,1

    0,15

    0,2

    0,25

    Ampl

    itude

    m

    oda

    l

    Velocidade do

    vento (m/s)

    Ang. f

    ilete

    =20,7=22=24=26=28=30=32=34=36=38=40=42=42,6=43,1

    Curvas de a 2

    Figura 5.13 - Valores das amplitudes modais a2 com a variao da velocidade dovento e do ngulo 0

  • Estudo de caso 62

    Os valores da amplitude a2 no se alteram significativamente com a

    mudana do ngulo do filete. Note-se que a variao do ngulo do filete altera

    tambm muito pouco o valor de a1. Entretanto, quando 0 vale 32, temos o menor

    valor para a velocidade crtica do galope do estai (U2), justificando a adoo destengulo para problemas sujeitos a ao de vento e chuva, conforme sugerido por Xue Wang (2003).

    Sensibilidade da resposta em funo da variao das taxas de amortecimento.

    Variando-se o amortecimento do primeiro modo global (1), a tabela abaixo mostraos valores da velocidade crtica U1 e das amplitudes modais em funo da

    velocidade de vento U.

    1= 0,0005 1= 0,001 1= 0,005 1= 0,01U1 = 8,7 m/s U1 = 8,8 m/s U1 = 9,63 m/s U1 = 10,8 m/sU (m/s)

    a1(m) a2(m) a1(m) a2(m) a1(m) a2(m) a1(m) a2(m)8 - - - - - - - -9 0,0346 0,122 0,0538 0,153 - - - -

    10 0,0136 0,100 0,0141 0,099 0,0303 0,116 - -11 0,0112 0,108 0,0114 0,106 0,0137 0,099 0,0598 0,16412 0,0105 0,120 0,0106 0,118 0,0113 0,106 0,0153 0,09913 0,0104 0,132 0,0103 0,130 0,0105 0,116 0,0118 0,10214 0,0103 0,145 0,0103 0,142 0,0102 0,126 0,0107 0,10915 0,0104 0,156 0,0103 0,153 0,0101 0,136 0,0102 0,11716 0,0104 0,166 0,0104 0,163 0,0101 0,145 0,0099 0,12517 0,0104 0,174 0,0104 0,172 0,0101 0,153 0,0098 0,13218 0,0104 0,182 0,0104 0,180 0,0100 0,161 0,0097 0,13819 0,0104 0,188 0,0104 0,186 0,0100 0,167 0,0096 0,14420 0,0104 0,194 0,0103 0,191 0,0100 0,172 0,0096 0,148

    Tabela 5.10 Amplitudes modais, variando-se o amortecimento do primeiro modo

  • Estudo de caso 63

    Nota-se que a resposta dinmica sensvel s variaes do amortecimento

    do primeiro modo. Tanto os valores das amplitudes modais, quanto a velocidade

    crtica se alteraram com a mudana da taxa de amortecimento. As Figuras 5.14 e

    5.15 ilustram melhor, qualitativamente, estas diferenas.

    Amplitudes Modais - Variao do amortecimento da viga a flexo

    -0,05

    0

    0,05

    0,1

    0,15

    0,2

    0,25

    0 5 10 15 20 25

    Velocidade do Vento (m/s)

    Ampl

    itude

    s M

    odai

    s (m

    ) a1 x1=0,0005a1 x1=0,001a1 x1=0,005a1 x1=0,01a2 x1=0,0005a2 x1=0,001a2 x1=0,005a2 x1=0,01

    Figura 5.14 Amplitudes modais, variando-se o amortecimento do primeiro modo

  • Estudo de caso 64

    8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

    a1 x1=0,0005

    a1 x1=0,005

    a2 x1=0,0005

    a2 x1=0,0050

    0,02

    0,04

    0,06

    0,08

    0,1

    0,12

    0,14

    0,16

    0,18

    0,2

    Ampl

    itude

    s M

    odai

    s (m

    )

    Velocidade do Vento (m/s)

    Amplitudes Modais - Variao do amortecimento da viga a flexo

    a1 x1=0,0005a1 x1=0,001a1 x1=0,005a1 x1=0,01a2 x1=0,0005a2 x1=0,001a2 x1=0,005a2 x1=0,01

    Figura 5.15 Amplitudes modais, variando-se o amortecimento do primeiro modo

    Variando-se o amortecimento do segundo modo, a tabela abaixo mostra os

    valores da velocidade crtica U2 e das amplitudes modais em funo da velocidade

    de vento U.

    2 = 0,0005 2 = 0,001 2 = 0,005 2 = 0,01U2 = 54 m/s U2 = 107 m/s U1 = 537 m/s U1 = 1070 m/sU (m/s)

    a1(m) a2(m) a1(m) a2(m) a1(m) a2(m) a1(m) a2(m)8 0 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,0009 0,0346 0,122 0,0971 0,231 0,0000 0,000 0,0000 0,000

    10 0,0136 0,100 0,0220 0,108 0,1920 0,406 0,0000 0,00011 0,0112 0,108 0,0175 0,112 0,0634 0,174 0,7871 1,51612 0,0105 0,120 0,0163 0,122 0,0483 0,154 0,1309 0,29413 0,0104 0,132 0,0160 0,134 0,0436 0,155 0,0881 0,22114 0,0103 0,145 0,0160 0,146 0,0419 0,161 0,0749 0,202

    Continua

  • Estudo de caso 65

    Continuao2 = 0,0005 2 = 0,001 2 = 0,005 2 = 0,01U2 = 54 m/s U2 = 107 m/s U1 = 537 m/s U1 = 1070 m/sU (m/s)

    a1(m) a2(m) a1(m) a2(m) a1(m) a2(m) a1(m) a2(m)15 0,0104 0,156 0,0162 0,157 0,0414 0,169 0,0693 0,19916 0,0104 0,166 0,0163 0,167 0,0413 0,177 0,0666 0,20017 0,0104 0,174 0,0165 0,175 0,0415 0,184 0,0653 0,20318 0,0104 0,182 0,0166 0,183 0,0417 0,191 0,0646 0,20719 0,0104 0,188 0,0167 0,189 0,0420 0,196 0,0643 0,21120 0,0104 0,194 0,0168 0,194 0,0422 0,201 0,0642 0,214

    Tabela 5.11 Amplitudes modais, variando-se o amortecimento do segundo modo

    Neste caso, os valores das amplitudes modais se alteraram mais

    significativamente com a mudana do amortecimento do segundo modo. Portanto,

    deve-se tomar particular cuidado na definio desse parmetro. Os grficos abaixo

    ilustram a Tabela 5.11.

    Amplitudes Modais - Variao do amortecimento do cabo

    -0,2

    0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1

    1,2

    1,4

    1,6

    0 5 10 15 20 25

    Velocidade do Vento (m/s)

    Ampl

    itude

    s M

    odai

    s (m

    ) a1 x1=0,0005a1 x1=0,001a1 x1=0,005a1 x1=0,01a2 x1=0,0005a2 x1=0,001a2 x1=0,005a2 x1=0,01

    Figura 5.16 Amplitudes modais, variando-se o amortecimento do segundo modo

  • Estudo de caso 66

    Figura 5.17 Amplitudes modais, variando-se o amortecimento do segundo modo

    A velocidade crtica U3 (drapejamento unimodal por toro) foi pouco

    modificada pela variao da taxa de amortecimento 3, como mostra a tabela abaixo.

    3 U3 (m/s)0,0005 112,80,001 112,80,005 113,20,01 113,7

    Tabela 5.12 Velocidade crtica U3 em funo de 3

    Clculo numrico usando-se a implementao no programa Matlab 6.05, do

    mtodo numrico de Runge-Kuta de 4 ordem.

    Dos resultados obtidos a partir do programa Matlab, usando-se o mtodo de

    Runge-Kuta de 4 ordem, conseguiu-se apenas extrair que, a partir de uma certa

  • Estudo de caso 67

    velocidade de vento, de 8,8 m/s, o sistema no se estabilizou, confirmando a

    velocidade crtica U1, para o ngulo do filete de gua no cabo igual a 32, calculado

    por meio do mtodo das mltiplas escalas. Ser necessria uma investigao mais

    cuidadosa usando-se, eventualmente, outros mtodos numricos para a

    determinao dos valores das amplitudes modais ps-crticas, o que no escopo

    desse trabalho.

  • Concluso 68

    6. CONCLUSES

    Esse texto faz uma sntese dos trabalhos de Butkeraitis (2002), que trata doscarregamentos aeroelsticos na viga, de Rojas (2005), sobre o acoplamento entrecabo e viga, com dois graus de liberdade, e de Xu e Wang (2003), que trata doscarregamentos aerodinmicos no cabo, alm de adicionar um grau de liberdade,

    referente toro da viga.

    Na modelagem dos carregamentos aerodinmicos do cabo, devido chuva e

    vento, Xu e Wang (2003) utilizaram um cilndrico rgido reto. No presente trabalho, aformulao foi estendida para um cabo de configurao inicial parablica.

    A respeito do acoplamento estai-viga, pode-se observar que o cabo,

    submetido a esforos oriundos de vento e chuva, ao vibrar rouba energia cintica

    da viga, ajudando a mesma a atenuar suas vibraes, devido ao acoplamento nolinear.

    O mtodo das mltiplas escalas, apesar das fortes no linearidades

    constatadas, foi utilizado e foram obtidas respostas aparentemente satisfatrias, a

    julgar por evidncias encontradas na literatura. Teria sido interessante realizar umacomparao com outros mtodos, por exemplo, mtodos numricos, o que poder

    ser realizado em trabalhos futuros.

  • Concluso 69

    A determinao das amplitudes e velocidades crticas, variando-se o ngulo

    do filete de gua na seo do cabo, confirmou o ngulo de 32, que estava sugerido,

    mas no explicado em Xu e Wang.

    A variao das taxas de amortecimento estruturais indica uma forte

    sensibilidade na resposta dinmica, principalmente na determinao da velocidade

    crtica do vento e amplitudes modais ps-crticas no cabo.

    A escolha do perfil aerodinamicamente desfavorvel foi feita

    propositadamente para intensificar a resposta dinmica da viga estaiada. O perfil se

    assemelha ao da ponte de Tacoma Narrows, por esse motivo foi possvel a

    utilizao dos coeficientes aerodinmicos determinados por Simiu e Scanlan (1986),porm, devido ordem de grandeza das velocidades de vento relevantes, foi

    necessrio efetuar a extrapolao do grfico de *1H . evidente que esta

    extrapolao carece de verificao experimental, o que tambm fica como sugesto

    para trabalhos futuros.

    As dimenses da seo foram definidas de tal forma que puderam ser

    utilizados os mesmos valores dos coeficientes dos termos no-lineares do trabalho

    de Rojas (2005), para simplificao do trabalho ora realizado. Prope-se, tambm,para trabalhos futuros, variar a geometria da estrutura de forma mais livre, ficando

    implcito o reclculo dos coeficientes dos termos no lineares e novos coeficientes

    aerodinmicos.

    Outra sugesto para continuidade da pesquisa a anlise de uma viga com

    dois planos de estaiamento, favorecendo o acoplamento total entre as vibraes do

    cabo e da viga, tanto em flexo quanto em toro.

  • Referncias 70

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