Universidade Federal FluminenseInstituto de ComputaoUm Estudo sobre a Influncia dasFamlias Waveletsna Compresso de ImagemMarcello Santos da FonsecaNiteri - RJMaro de 2004iiMarcello Santos da FonsecaUm Estudo sobre a Influncia dasFamlias Waveletsna Compresso de ImagemDissertaoapresentadaaoCursodeMestradoemComputaodaUniversidadeFederalFluminense,comorequisitoparcialparaobtenodoGraudeMestreemComputao. rea de Concentrao: Computao Visual.Orientadora: Prof. Aura ConciNiteri - RJMaro de 2004iiiFicha Catalogrfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computao da UFFF676 Fonseca, Marcello Santos daUmestudosobreainflunciadasfamliasWaveletsnacompressodeimagem/ Marcello Santos da Fonseca. Niteri : [s.n.], 2004.136 f.Orientador: Prof. Aura Conci.Dissertao (Mestrado em Cincia da Computao) Universidade Federal Fluminense, 2004.1. Processamento de imagens Tcnicas digitais. 2. Compressode imagem. 3. Wavelets (Matemtica). 4. Teoria dos nmeros.I.Ttulo..CDD 001.64072ivMarcello Santos da FonsecaUm Estudo sobre a Influncia dasFamlias Waveletsna Compresso de ImagemDissertaoapresentadaaoCursodeMestradoemComputaodaUniversidadeFederalFluminense,comorequisitoparcialparaobtenodoGraudeMestre.readeConcentrao: Computao Visual.Aprovada em 30 de Maro de 2004BANCA EXAMINADORANiteri - RJMaro de 2004vDEDICATRIADedico este Trabalho a Nossa Senhora quem recorro nashoras mais difceis.Aosmeuspais,FelicianoeOtvia,aosmeusirmos,Mrcio Lus e Mauro.Aosparenteseamigosquemeincentivaramdiretaouindiretamente para a concluso deste trabalho.viAGRADECIMENTOS Professora Aura Conci pela dedicao, incentivo e confiana.Ao Professor Jos Geraldo Franco Mxas, pelo material e aulas de Wavelets.Aos membros da Banca Examinadora, Professor Antonio Alberto Fernandes de Oliveirae Professor Jos Manoel Balthazar, por suas sugestes.Aos amigos Angela Gomes e Lobianco, pela ajuda no incio do curso.A todos os colegas do IBGE, em especial, Arnaldo Lyrio e Jos Luiz que me deramliberdade para a concluso deste trabalho.Marcello Santos da Fonseca.viiRESUMODados de multimdia como grficos, udio e vdeo no comprimidos necessitam deumaconsidervelcapacidadedearmazenamentoebandadetransmissonossistemasdetelecomunicaes.Apesardodesenvolvimentodatecnologiadearmazenamento,altodesempenho dos processadores e dos sistemas de comunicao digital, a demanda por essastecnologias maior que a capacidade disponvel.OcrescimentoatualdasaplicaesWWWbaseadasemmultimdiaprecisamdeformas mais eficientes de codificao de sinais e imagens. Assim a compresso de dados importanteparaoarmazenamentoeacomunicaodeinformaes.UmadasmaispromissorastcnicasacompressoWavelet,atualmentejadotadonoformatoJPEG2000.EssetrabalhovisadescreveratcnicadecompressodeimagemporWavelet.VeremosalgumasfamliasdebasesWaveletcomoasbasesdeHaar,Daubechies,Biorthogonal,CoifletseSymlets.Elassousadasparacompressodeumconjuntodeimagens.O alvo dotrabalhodefinirquaisbasesapresentamamelhoreapiorqualidadede compresso, atravs da avaliao qualitativa e quantitativa usando funes: Erro MdioQuadrtico(RMSE),RelaoSinalRudo(SNR)edaRelaoSinalRudodePico(PSNR).Palavras-chave:Compresso de Imagem, Anlise de Fourier, Anlise de Wavelet, Transformada de WaveletDiscreta - DWT.viiiABSTRACTUncompressed multimedia data as graphics, audio and video require a considerablestorage capacity and transmission bandwidth on telecommunications systems. In despite ofthedevelopmentofthestoragetechnology,highperformanceofprocessorsanddigitalcommunicationsystems,thedemandforthesetechnologiesishigherthantheavailablecapacity.Nowadays,thegrowthofmultimedia-basedwebapplicationsneedmoreefficientwaystoencodesignalsandimages.Sodatacompressionisimportanttostorageandcommunication technology. One of the promissing techniques is the Wavelet compression,now used by the image format file JPEG 2000.This work seeks to describe the Wavelet image compression technique. We will seesomeWaveletfamilybaseslikeHaar,Daubechies,Biorthogonal,CoifletsandSymlets.Theyareusedtocompressagroupofimages.Thetargetoftheworkistodefinewhichbasespresentthebestandtheworstcompressionquality,throughqualitativeandquantitativeavaliationfunctions:RootMeanSquareError(RMSE),SignNoiseRatio(SNR) and Peak Sign Noise Ratio (PSNR).Key-words:Image Compression, Fourier Analysis, Wavelet Analysis, Discrete Wavelet Transform -DWT.ixSUMRIO1. INTRODUO.............................................................................................................. 11.1. Organizao da Dissertao ...................................................................................... 21.2. Por que Precisamos de Compresso de Dados?........................................................ 31.3. Mtodos de Compresso de Imagem........................................................................ 41.4. Compresso Simtrica versus Assimtrica ............................................................... 41.5. Aplicao Simtrica versus Assimtrica................................................................... 51.6. Medio do Desempenho de Compresso ................................................................ 51.7. Mtodos de Compresso ........................................................................................... 51.8. Perpectiva Histrica .................................................................................................. 61.8.1. Pr-1930.............................................................................................................. 61.8.2. Dcada de 30 ...................................................................................................... 71.8.3. 1960 - 1980......................................................................................................... 81.8.4. Aps 1980........................................................................................................... 82. ANLISE DE FOURIER.............................................................................................. 92.1. Conceitos Bsicos ..................................................................................................... 92.1.1. Sries e Funes Peridicas................................................................................ 92.1.2. Sries de Fourier Trigonomtricas ................................................................... 112.2. Transformada de Fourier......................................................................................... 182.3. Interpretao da Transformada de Fourier .............................................................. 202.4. Teorema da Convoluo.......................................................................................... 212.5. Transformada de Fourier em Imagens .................................................................... 232.6. Transformada Discreta de Fourier (DFT) ............................................................... 242.7. Transformada Rpida de Fourier (FFT) .................................................................. 252.8. Transformada do Cosseno Discreto (DCT)............................................................. 252.9. Transformada de Fourier Janelada (WFT) .............................................................. 253. ANLISE DE WAVELET.......................................................................................... 273.1. Transformada de Wavelet Contnua........................................................................ 283.1.1. Parmetro de Escala.......................................................................................... 293.1.2. Parmetro de Posio ou Deslocamento........................................................... 303.1.3. Clculo da Transformada de Wavelet Contnua............................................... 303.1.4. Algoritmo para Clculo da Transformada de Wavelet Contnua ..................... 333.2. A Escala da Natureza .............................................................................................. 343.3. Transformada de Wavelet Discreta (DWT) ............................................................ 343.4. Transformada de Fourier Versus Transformada de Wavelet .................................. 353.4.1. Semelhanas entre Transformada de Fourier e Wavelet .................................. 353.4.2. Diferenas entre Transformada de Fourier e Transformada de Wavelet.......... 353.5. Wavelets Unidimensional ....................................................................................... 373.5.1. Transformada Wavelet de Haar Unidimensional ............................................. 383.5.2. Funes bases de Wavelet de Haar Unidimensional ........................................ 403.5.3. Ortogonalidade ................................................................................................. 433.5.4. Normalidade ..................................................................................................... 44x3.5.5. Aplicao: Compresso.................................................................................... 443.6. Wavelet Bidimensional ........................................................................................... 453.6.1. Transformada de Wavelet de Haar Bidimensional........................................... 454. ANLISE EM MULTIRESOLUO...................................................................... 484.1. Aproximaes e Detalhes........................................................................................ 484.2. Banco de Filtros ...................................................................................................... 494.3. Implementao do Algoritmo Wavelet para Decomposio e Reconstruo deImagem.............................................................................................................................. 504.4. As FamIias Wavelets.............................................................................................. 534.4.1. Haar .................................................................................................................. 534.4.2. Daubechies........................................................................................................ 534.4.3. Bi-ortogonal...................................................................................................... 544.4.4. Coiflets ............................................................................................................. 554.4.5. Symlets ............................................................................................................. 555. TESTES E RESULTADOS......................................................................................... 565.1. Imagens de Teste..................................................................................................... 595.2. Resultados Erro Mdio Quadrtico - RMSE........................................................... 615.3. Resultados Relao Sinal de Rudo rms SNRrms................................................ 695.4. Resultados Relao Sinal Rudo de Pico - PSNR................................................... 776. CONCLUSES............................................................................................................ 856.1. Concluses sobre os Resultados.............................................................................. 856.2. Sugestes para Trabalhos Futuros........................................................................... 957. ANEXO I ...................................................................................................................... 967.1. Reviso de Conceitos: ............................................................................................. 967.1.1. Nmeros Complexos ........................................................................................ 967.1.2. Espao vetorial ou linear .................................................................................. 998. ANEXO II................................................................................................................... 1038.1. Cdigo do programa teste no Matlab verso 1...................................................... 1038.2. Cdigo do programa teste no Matlab verso 2...................................................... 1089. ANEXO III ................................................................................................................. 11810. BIBLIOGRAFIA.................................................................................................... 134xiLISTA DE FIGURASFigura 1.1 - Diagrama de Compresso.................................................................................. 6Figura 2.1 - Grfico( ) t t f arctan ) ( ................................................................................... 10Figura 2.2 - Grfico( ) t t f cos ) ( ....................................................................................... 12Figura 2.3 - Grfico( ) t t f sen ) ( ....................................................................................... 12Figura 2.4 - Grfico nc versus w. ......................................................................................... 17Figura 2.5 - Grfico 0nw ..................................................................................................... 18Figura 2.6 - Transformada de Fourier de um sinal contnuo .............................................. 19Figura 2.7 - Transformada de Fourier Janelada ou Transformada de Gabor.................... 26Figura 3.1 - Transformada de Wavelet Contnua ................................................................ 28Figura 3.2 - Fator de escala da funo Seno....................................................................... 29Figura 3.3 - Fator de escala de uma funo Wavelet ...................................................... 30Figura 3.4 - Fator de deslocamento, direita funo Wavelet( ) t , esquerda funoWavelet deslocada( ) b t ................................................................................................. 30Figura 3.5 - Comparao do sinal original com a wavelet ................................................. 31Figura 3.6 - Deslocamos a Wavelet para a direita para calcular novo C........................... 31Figura 3.7 - Dilatamos a Wavelet e repetimos os passos (1) e (3) ...................................... 31Figura 3.8 - Repetimos os passos de (1) at (4) para todas as escalas ............................... 32Figura 3.9 - Representao do Escalograma em 3D. .......................................................... 32Figura 3.10 - Algoritmo para Clculo da Transformada de Wavelet Contnua.................. 33Figura 3.11 - Perfil da geografia lunar. .............................................................................. 34Figura 3.12 - Escalograma do perfil da geografia lunar. ................................................... 34Figura 3.13 - Funes base de Fourier descritas no plano Tempo x Freqncia. .............. 36Figura 3.14 - Funo base Wavelet de Daubechies descritas no plano Tempo x Freqncia............................................................................................................................................... 36Figura 3.15 - Comparao entre Transformada de Fourier e Transformada de Wavelet. . 37Figura 3.16 - Seqncia de aproximao e coeficientes de detalhes................................... 39Figura 3.17 - A base quadrada para 2V .............................................................................. 41Figura 3.18 - As Wavelets de Haar para 1W . ..................................................................... 42Figura 3.19 - (a) Decomposio padro, (b) Decomposio no padro........................... 46Figura 4.1 - rvore de Decomposio Wavelet ................................................................... 48Figura 4.2 - rvore de Decomposio Wavelet de um sinal................................................ 49Figura 4.3 - Banco de Filtros............................................................................................... 50Figura 4.4 - Imagem original de teste Lena com 128x128 pixeis ........................................ 51Figura 4.5 - Esquema de Decomposio no padro.......................................................... 51Figura 4.6 - Decomposio da imagem em um primeiro nvel de resoluo ...................... 52Figura 4.7 - Decomposio da imagem em nveis de aproximao e detalhes. .................. 52Figura 4.8 - Wavelet Haar, funo Psi ................................................................................ 53Figura 4.9 - Wavelet Daubechies, funo Psi. ..................................................................... 53Figura 4.10 - Wavelets Bi-ortogonal, funo Psi................................................................. 54Figura 4.11 - Wavelets Coiflets, funo Psi......................................................................... 55Figura 4.12 - Wavelets Symlets, funo Psi ......................................................................... 55xiiFigura 5.1 - Tela do programa de teste................................................................................ 58Figura 5.2 - Mensagem de ajuda.......................................................................................... 58Figura 5.3 - Conjunto de imagens de teste........................................................................... 60Figura 6.1 - Comparao da imagem Lena 128x128 obtida com base de Haar................. 94Figura 6.2 - Comparao da Imagem Lena 128x128 obtida com base............................... 94Figura 7.1 - Grfico de um nmero complexo representado por um ponto no planocomplexo............................................................................................................................... 96Figura 7.2 - Grfico do Plano Complexo com um ponto descrito na forma polar.............. 97xiiiLISTA DE GRFICOSGrfico 5.1 - RMSE da imagem Lena 128x128.................................................................... 63Grfico 5.2 - RMSE da imagem Lena 256x256.................................................................... 63Grfico 5.3 - RMSE da imagem Camera 128x128............................................................... 64Grfico 5.4 - RMSE da imagem Camera 256x256............................................................... 64Grfico 5.5 - RMSE da imagem Goldhill 128x128 .............................................................. 65Grfico 5.6 - RMSE da imagem Goldhill 256x256 .............................................................. 65Grfico 5.7 - RMSE da imagem Peppers 128x128............................................................... 66Grfico 5.8 - RMSE da imagem Peppers 512x512............................................................... 66Grfico 5.9 - RMSE da imagem Xadrez 256x256 ................................................................ 67Grfico 5.10 - RMSE da imagem Crculo 256x256.............................................................. 67Grfico 5.11 - RMSE da imagem Senoidal 256x256............................................................ 68Grfico 5.12 - RMSE da imagem Texto 256x256................................................................. 68Grfico 5.13 - SNRrms da imagem Lena 128x128............................................................... 71Grfico 5.14 - SNRrms da imagem Lena 256x256............................................................... 71Grfico 5.15 - SNRrms da imagem Camera 128x128.......................................................... 72Grfico 5.16 - SNRrms da imagem Camera 256x256.......................................................... 72Grfico 5.17 - SNRrms da imagem Goldhill 128x128.......................................................... 73Grfico 5.18 - SNRrms da imagem Goldhill 256x256.......................................................... 73Grfico 5.19 - SNRrms da imagem Peppers 128x128.......................................................... 74Grfico 5.20 - SNRrms da imagem Peppers 512x512.......................................................... 74Grfico 5.21 - SNRrms da imagem Xadrez 256x256............................................................ 75Grfico 5.22 - SNRrms da imagem Crculo 256x256........................................................... 75Grfico 5.23 - SNRrms da imagem Senoidal 256x256......................................................... 76Grfico 5.24 - SNRrms da imagem Texto 256x256.............................................................. 76Grfico 5.25 - PSNR da imagem Lena 128x128 .................................................................. 79Grfico 5.26 - PSNR da imagem Lena 256x256 .................................................................. 79Grfico 5.27 - PSNR da imagem Camera 128x128.............................................................. 80Grfico 5.28 - PSNR da imagem Camera 256x256.............................................................. 80Grfico 5.29 - PSNR da imagem Goldhill 128x128............................................................. 81Grfico 5.30 - PSNR da imagem Goldhill 256x256............................................................. 81Grfico 5.31 - PSNR da imagem Peppers 128x128 ............................................................. 82Grfico 5.32 - PSNR da imagem Peppers 512x512 ............................................................. 82Grfico 5.33 - PSNR da imagem Xadrez 256x256............................................................... 83Grfico 5.34 - PSNR da imagem Crculo 256x256 .............................................................. 83Grfico 5.35 - PSNR da imagem Senoidal 256x256 ............................................................ 84Grfico 5.36 - PSNR da imagem Texto 256x256.................................................................. 84Grfico 6.1 - RMSE Fotogrficas 128x128.......................................................................... 86Grfico 6.2 - SNR rms Fotogrficas 128x128...................................................................... 86Grfico 6.3 - PSNR Fotogrficas 128x128 .......................................................................... 87Grfico 6.4 - RMSE Fotogrficas 256x256.......................................................................... 88Grfico 6.5 - SNR rms Fotogrficas 256x256...................................................................... 88Grfico 6.6 - PSNR Fotogrficas 256x256 .......................................................................... 89Grfico 6.7 - RMSE Sintticas 256x256............................................................................... 90xivGrfico 6.8 - SNR rms Sintticas 256x256........................................................................... 90Grfico 6.9 - PSNR Sintticas 256x256................................................................................ 91Grfico 6.10 - RMSE Mdio................................................................................................. 92Grfico 6.11 - SNR ms Mdio............................................................................................... 92Grfico 6.12 - SNR rms Mdio............................................................................................. 93Grfico 6.13 - PSNR Mdio em decbel ............................................................................... 93xvLISTA DE TABELASTabela 1.1 - Relao entre complexidade da informao, rea de armazenamento e largurade banda de transmisso. ....................................................................................................... 3Tabela 2.1 - Propriedades da Transformada de Fourier..................................................... 22Tabela 3.1 - Decomposio em coeficientes de aproximao e detalhes. ........................... 38xviLISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E SMBOLOSRMSE - Erro Mdio Quadrtico, do Ingls Root Mean Square Error.SNR - Relao Sinal Rudo, do Ingls Signal Noise Ratio.PSNR - Relao Sinal Rudo de Pico, do Ingls Peak Signal Noise Ratio.FT - Transformada de Fourier, do Ingls Fourier Transform.FFT - Transformada Rpida de Fourier, do Ingls Fast Fourier Transform.WFT - Transformada de Fourier de curta durao, do Ingls Windowed Fourier Transform.WT - Transformada Wavelet, do Ingls Wavelet Transform.CWT - Transformada Wavelet Contnua, do Ingls Continuous Wavelet Transform.DWT - Transformada Wavelet Discreta, do Ingls Discrete Wavelet Transform.DCT - Transformada do Cosseno Discreto, do Ingls Discrete Cosino Transform.IFS - Sistema Iterativo de Funes, do Ingls Iterated Function System.JPEG - Formato de Compresso de Imagem baseado na DCT, do Ingls JointPhotographic Experts Group.MPEG - Formato de Compresso de Vdeo, do Ingls Moving Pictures Expert Group.JPEG2000-FormatodeCompressodeImagembaseadonaDWT,doInglsJointPhotographic Experts Group 2000.WWW World Wide Web11.INTRODUOAsociedadeatualviveaeradaps-industrializao,tambmconhecidacomoerada informao. Isso explica a necessidade cada vez maior de armazenamento e de troca deinformaesdasmaisdiversasordens,quesoabasedosmodernossistemasdearmazenamento e de telecomunicaes.Comorpidocrescimentodainformatizao,existeanecessidadedearmazenamentoedesistemasdetelecomunicaescadavezmaiseficientesparatratarograndevolumedeinformao.NessepontoatcnicadeWavelet1paracompressodeimagemsurgecomoopopromissoraparareduodoscustoscomsistemasdearmazenamento e dos sistemas de transmisso.AidiafundamentalporatrsdasWaveletsaanliseemescala.Algunspesquisadoresdestareaacham,queaousarWavelets,adotamosumanovaposturaounova perspectiva em processamento de dados. Concordamos com eles, pois a sua utilizaonos campos da matemtica, fsica quntica, engenharia eltrica, geologia, processamento desinais,entreoutrascresceurapidamenteapartirdasegundametadedadcadade80[GRASP 1995] .ExistemdoistiposdefunesWavelets,elaspodemsereaisoucomplexas.Nestetrabalho nos estudaremos as Wavelets reais. As Wavelets so funes que satisfazem certasexigncias matemticas, que veremos mais frente, e so usadas para representar dados ououtras funes. Esta idia no nova. Aproximao que usa superposio de funes existedesdeoiniciodosculoXIX,quandoJosephFourierdescobriuquepodemosrepresentarfunesperidicasatravsdefunessenosecossenos.Porm,naanlisedeWavelet,aescalaquensusamosparaosdadosrepresentaumpapelespecial,poisosalgoritmosdeWavelet processam dados em diferentes escalas ou resolues.Seolharmosumsinalatravsdeumaescalagrande,notaremosascaractersticasglobaisdosinal.Poroutrolado,seolharmosomesmosinalporumaescalamenorcomumalupa,notaremososdetalhesfinosdosinal.Deumamaneirafigurada,podemosdizerque o resultado da anlise de Wavelet ver a floresta, as rvores e dependendo dos nveisde detalhe que se queira, at os galhos e as folhas.Isto faz as Wavelets serem interessantese teis. Durante muitas dcadas, cientistaspesquisaramfunesmaisapropriadasdoqueosenoecosseno,usadasnaAnlisedeFourierparaaproximarsinaisdescontnuos.Porsuadefinioasfunessenoecossenono so locais, ou seja, tm perodo infinito ou contnua por partes. Por um lado a Anlisede Fourier no representa bem funes com descontinuidades, por necessitar de um perodoinfinitoeasuarepresentaolimitadanodomniodafreqncia.JnaAnlisede

1 Ondaleta ou pequena onda.2Wavelet,podemosusaraproximaesdefunesquesocontidasemdomniofinito.AsWavelets so mais apropriadas para aproximar funes com descontinuidade.OprocedimentodeAnliseporWaveletadotarumafunoWaveletbase,chamada Wavelet me. A anlise temporal executada com um contrao de base Waveletdealtafreqncia,enquantoanlisedefreqnciaexecutadaporumadilataodabaseWaveletdebaixafreqncia.ComoosinaloriginalouafunopodemserrepresentadasemtermosdeumaexpansodeWavelet(usandocoeficientesemumacombinaolineardas funes Wavelet). As operaes com os dados podem ser realizadas apenas com o usodoscoeficientesdeWaveletcorrespondentes.Podemosrepresentarainformaodemaneiraesparsa,seescolhermosabaseWaveletgerandocoeficientesprximosdezero.Podemos,tambm,truncarainformaoabaixodeumlimiar(threshold).Acodificaoesparsa faz das Wavelets uma ferramenta excelente para o campo de compresso de dadosou imagem, alvo deste trabalho.AsWaveletssousadasemoutroscamposdapesquisaaplicadaincluindoastronomia,acstica,engenharianuclear,codificaoemsub-bandas,neurofisiologia,msica,ressonnciamagntico,reconhecimentodevoz,tica,fractais,turbulncia,previsodeterremoto,radar,visohumana,equaesdiferencialparciais,processamentode sinais e imagem [GRASP 1995].Antesporm,paramelhorsituao,veremoscomoadissertaoestorganizada,em seguida, veremos os aspectos relativos compresso e a perspectiva histrica.1.1.Organizao da DissertaoEstetrabalhopertencealinhadepesquisadecompressodeimagem.Alinhadepesquisaemcompressodeimagem,naUFF,foiiniciadaem1997comotrabalhodeCodicao Fractal [AQUINO 1998]. Ela foi retomada em 2003 com este trabalho, que visacomparar o desempenho das Bases Wavelets no processo decompresso e descompressode imagem.Adissertaoestorganizadaemseiscaptulosetrsanexos.Apresentamosnoprimeiro captulo uma breve introduo, os aspectos relativos compresso de imagem e aperspectivahistricaparamelhorsituaraAnlisedeWavelet,nopontodevistamatemtico.Nocaptulo2,soapresentadosconceitosbsicosreferentesAnlisedeFourier. O captulo 3 apresenta os conceitos relativos Anlise de Wavelet, TransformadadeWaveletContnua,TransformadadeWaveletDiscreta,WaveletsUnidimensionaiseBidimensionais,bemcomo,estabelecemosumacomparaoentreaAnlisedeFouriereAnlisedeWavelets.Jnocaptulo4,introduzimosaAnliseemMultiresoluo,adecomposio em nveis de aproximao e detalhes, o banco defiltros para decomposiaodeimagem,aimplementaodoalgoritmodeWaveletparadecomposioereconstruode imagem, assim como, as Famlias Wavelets de Haar, Daubechies, Biortogonal, CoifletseSymlets,usadasnostestesdecompressoemimagenscom256tonsdecinzanos3tamanhos de 128x128, 256x256 e 512x512 pixeis. No captulo 5, apresentamos os testes eresultados,obtidoscomumconjuntodeimagens,segundooErroMdioQuadrtico,aRelaoSinalRudoeaRelaoSinalRudodePico.Finalmente,nocaptulo6,apresentamosasconclusessobreosresultadosobtidos,destacandoqualbaseforneceomelhor e pior resultado, e sugerimos trabalhos futuros.1.2.Por que Precisamos de Compresso de Dados?ATabela1.1nosmostraumacomparaoqualitativadediferentestiposdetransmissodeinformao,desdeumsimplestextonoformatoA4,passandoporvozemtelefonia, imagens de tipos variados, at o vdeo em movimento.Tabela 1.1 - Relao entre complexidade da informao, rea de armazenamento elargura de banda de transmisso.Dados emmultimdiaTamanho/ duraoBits / pixel ouBits/amostraTamanho nocomprimidoem BytesBanda detransmisso embitsTempo detransmisso(usando ummodem V.90)Uma pginade textoformatoA4Resoluovariada4 - 8 KB 32 - 64kbits/pgina0,57 - 1,14segVoz emtelefonia10segundos8 bps 80 KB 64 Kbits/seg 11,42 segImagem emtons de cinza512 x 512 8 bpp 262 KB 2,1Mbits/imagem37,43 segImagemcolorida512 x 512 24 bpp 786 KB 6,29Mbits/imagem1 min 52 segImagemmdica2048 x168012 bpp 5,16 MB 41,3Mbits/imagem12 min 12 segImagem deSHD2048 x204824 bpp 12,58 MB 100Mbits/imagem29 min 57 segVdeo 640 x480, 10segundos24 bpp 1,66 GB 2,21 Gbits/seg 2 dias 17 hs52 min 23 seg4Destaforma,podemosobservarqueumaumentonacomplexidadedainformaogera uma maior necessidade de rea de armazenamento e de banda de transmisso [SAHA2000].1.3.Mtodos de Compresso de ImagemExistembasicamentedoisgrandesmtodosdecompressodeimagem,conhecidascomo: sem perda ou com perda. A compresso sem perda ou codificao de redundncia mtodoqueexploraaredundnciaentrepixeisnacodificao;nenhumdadoperdidoduranteoprocessodecompresso.Estemtododenominadocompressocompreservaodainformao,poispreservatodasasinformaesquepermitiroareconstruo exata da imagem. So exemplos: a codificao RLE, LZW ou o algoritmo deHuffman (que so usadas nos formatos: PCX, GIF, TIFF).Poroutrolado,nacompressocomperda,algumdadoperdidoduranteacompresso da imagem. A compresso com perda mais eficiente em relao capacidadedearmazenamentodevidosuarazodecompressosermaiorqueasemperda.Contudoexistem aplicaes particulares onde a perda de informao da imagem provoca distoresnoaceitveis.Emaplicaesdesinaldesatliteoudadosdeimagensmdicas,entreoutrasmuitasvezesnopermitidocompressocomperda.Diferentesformasdecompresso com perda causam visualmente diferentes degradaes na imagem.AcompressobaseadanaTransformadadoCossenoDiscreto(DCT-DiscreteCosineTransform)usadanopadroJPEG(JointPhotographicExpertsGroup)ouMPEG(Moving Pictures Expert Group) para vdeo, produz borramento (blurring e pixelation)naimagem.OSistemaIterativodeFunes(IFS-IteratedFunctionSystem)usadonopadro FIF para compresso fractal. J a Transformada Wavelet Discreta (DWT - DiscreteWaveletTransform),temadestetrabalho,sotcnicasdecompressousadanoformatoJPEG 2000 [SAHA 2000].1.4.Compresso Simtrica versus AssimtricaQuanto ao tempo de compresso e descompresso, os mtodos eaplicaces podemser simtrico e assimtrico. Como exemplo de compresso simtrica, podemos citar a DWTeDCT.Ondeotempodecompressoigualaodedescompresso.Elaadequadaparaaplicaesemmultimdia,emtemporeal,quenecessitamsimetrianostemposdetransmisso e recepo.A tcnica de compresso fractal assimtrica. O tempo de compresso maior queo tempo de descompresso. A mesma pode ser adequada a muitos mtodos de codificao5devdeo,poisumavezquefeitoacodificao,ovdeopodeserarmazenadoemservidoresdevdeoeacessadosobdemandapelosusurios,comumadecodificaomaisrpida [SAHA 2000].1.5.Aplicao Simtrica versus AssimtricaAplicaessimtricassoaquelasquetmomesmopesodeprocessamentonacodificaoedecodificao.AaplicaosimtricaadequadoparaaInternet,poisaorecebermos pela Internet uma imagem armazenada por Wavelet no preciso esperar todoo processo de descompresso para identificar a imagem.Aplicaesassimtricassoaquelasquenohinconvenincianousodacompresso assimtrica como as publicaes eletrnicas CD-ROM ou vdeo (DVD), onde acompressofeitaapenasumavez,sendootempodedescompressorelevanteparaousurio [SAHA 2000].1.6.Medio do Desempenho de CompressoAlmdaaparnciavisualoudaqualidadedaimagemimportantetermosumaforma de qualificar os resultados para comparao numrica posterior.Podemosavaliaramedidadedesempenhosegundoataxadecompresso,quearazoentreotamanhododadoouimagemoriginaleotamanhododadoapsacompresso. No caso da tcnica sem perda, quanto maior a taxa de compresso melhor atcnica de compresso. Para tcnicas de compresso com perda deve-se considerar tambma qualidade do sinal ou dado restitudo.Umaoutraformadeavaliaoeaqualidadedamdiareconstituda,quemedidaemSNR(RelaoSinal/Rudo),aplicvelapenasparatcnicascomperda.Paraaescolhadeumatcnicadecompressocomperdas,devemosoptarpelocompromissoentreumaalta taxa de compresso e a qualidade desejada para a aplicao em desenvolvimento.Finalmente,acomplexidadedeimplementaoevelocidadedecompressosofreqentementeacomplexidadedatcnicaeinversamenteproporcionalvelocidadedecompresso.Isto,quantomaiorforacomplexidadedeimplementaomenorseravelocidade de compresso [SAHA 2000].1.7.Mtodos de CompressoConceitualmente,osmtodosdecompressopodemserclassificadoscomo:Codificadores de forma de onda, onde a intensidade da imagem, ou uma simples diferenade intensidade entre dois pixeis consecutivos, codificada. Codificadores transformadores,ondeaimagemtransformadaparaoutrodomnio(FFT,DCT,DWTeIFS)eos6coeficientestransformadoressocodificados.E,finalmente,codificadoresdemodelodaimagem,ondeaimagem,ouapenasumaporodelamodeladaeosparmetrosmodeladores so codificados.O diagrama de compresso dos mtodos baseados em Transformadores consiste dastrsetapasmostradasnafigura1.Estetrabalhoestbasicamentefocadonoprocessodetransformao,aquantizaoecodificaonoseroabordadas,poisiremosanalisarodesempenhodasbasesWaveletsnoprocessodecompressoedescompressodeimagem[SAHA 2000].Figura 1.1 - Diagrama de Compresso1.8.Perpectiva HistricaSegundo Amara Grasp em [GRASP 1995], na histria da matemtica, a Anlise deWavelet tem origem em diferentes reas. Muito do trabalho foi executado nos anos trinta, e,nesta ocasio, os esforos no pareciam ser parte de uma teoria coerente.1.8.1.Pr-1930Antesde1930,oprincipalramodamatemticaqueconduzaWaveletscomeoucomJosephFourier(1807)comsuateoriadaanliseemfreqncia,conhecidacomoAnlise de Fourier. Ele demonstrou que uma funo( ) t f , contnua por partes, com perodo2, pode ser reescrita como a soma dos termos da Srie de Fourier Trigonomtrica:) sen cos (10nt b nt a annn+ +(1.1)Os coeficientes n nb a a , ,0so calculados por:Sada Sinal /ImagemComprimidaEntradaSinal / ImagemOriginalTransformao Quantizao Codificao7( ) dt t fTa 2002(1.2)( ) dt nt t fTan) cos(220(1.3)( ) dt nt t fTbn) sen(220(1.4)AdemonstraodeFourierrepresentaumpapelessencialnaevoluodopensamento matemtico sobre como as funes podem ser vistas. Ele abriu as portas de umnovo universo funcional.Aps1807,aobservaodosignificadodasSriesdeFourierconvergentesedossistemasortogonaisconduziramgradualmenteospesquisadoresdanoodeanlisedefreqnciaparaanoodeanliseemescala.Isso,podemosanalisarumafuno( ) t fatravs da criao de estruturas matemticas que variam em escala. Isso pode ser feito pelaconstruoumafunodeslocadaecomescalamodificadadeumacertaquantidade,aplicadanaaproximaodeumsinal.Agorapodemosrepetiromesmoprocessodedeslocamentoecontraodosinalparaobterumanovaaproximao.Eassimpordiante.Isso nos mostra que este tipo de anlise em escala menos sensvel ao rudo, porque medea variao mdia do sinal em diferentes escalas.AprimeiramenoaWaveletapareceuemumapndicedatesedomatemticoalemoAlfredHaarem1909.UmadaspropriedadesdaWaveletdeHaartersuportecompacto,significandoque,foradointervalodasuadefinioatinfinito,afunotemvalorzero.InfelizmenteaWaveletdeHaarnocontinuamentediferencivelquelimitaseu campo de aplicao.1.8.2.Dcada de 30Nosanostrinta,surgiramvriosgruposquetrabalhavamindependentementepesquisandoarepresentaodefunesatravsdefunesbasevariandoemescala.Entendendoosconceitosdefunesbaseefunesbasevariandoemescala,podemoscompreender o que so Wavelets.81.8.3.1960 - 1980Entre1960e1980,osmatemticosGuidoWeisseRonaldR.Coifletfmanestudaram os elementos mais simples de um espao de funo, chamados de tomos, com oobjetivodeacharostomosparaumafunocomumeas"regrasdemontagem"quepermitam a reconstruo de todos os elementos do espao de funo que usa estes tomos.Em1980,GrossmaneMorlet,umfsicoeoutroengenheiro,respectivamente,definiramcompletamenteasWaveletsnocontextodafsicaquntica.Estesdoispesquisadorescriaram um modo de pensamento para Wavelets baseado na intuio fsica.1.8.4.Aps 1980Em 1985, S.MallatdeusWaveletsumimpulsoadicionalcomoseutrabalhoemprocessamento digital de sinal. Ele descobriualgumas relaes entre filtros de quadraturaconjugada(QMF-QuadratureMirrorFilters),algoritmosdepirmide,ebaseWaveletortonormal.Inspiradoemparteporestesresultados,YvesMeyerconstruiuaprimeiraWaveletnotrivial.DiferentedaWaveletdeHaar,asWaveletsdeMeyersocontinuamentediferenciveis;pormelasnotmsuportecompacto.Anosmaistarde,IngridDaubechiesinspiradanotrabalhodeMallatconstruiuumconjuntodefunesWaveletsbaseortonormal.Essasfunessotalvezasmaiselegantes,esetornaramumdivisor de gua nas aplicaes de Wavelet nos dias de hoje [GRASP 1995].NosprximoscaptulosfaremosumarevisodosconceitosacercadaAnlisedeFourier, da Anlise de Wavelets e traaremos um paralelo entre elas.92.ANLISE DE FOURIERArepresentaodasfunesporeriesdeFouriertrigonomtricasatravsdaexpansoemsenosecossenossoimportantesparaasoluoanalticaenumricadeequaesdediferencial,bemcomo,paraaanliseeprocessamentodesinaisdecomunicao nos campos das Telecomunicaes.AAnlisedeFouriereaAnlisedeWavelettmalgunsvnculosmuitofortes.Apresentaremos neste captulo uma breve reviso terica para uma melhor compreenso daAnlise de Fourier [HWEI 1970].2.1.Conceitos BsicosAquiveremosalgunsconceitosimportantesparaoentendimentodaAnlisedeFourier. Comeando pelos nmeros complexos revisados no Anexo I, passando por Sries eFunesPeridicas,SriesdePotncia,SriedeFourier,TransformadadeFourier,TransformadaDiscretadeFourier,TransformadaRpidadeFourier,TransformadaDiscreta de Cosseno at chegar em Transformada de Fourier Janelada.2.1.1.Sries e Funes PeridicasOnmeroe ,comovimosnaseoanterior,resultadodeumasrie.Umaclassedesriesmuitoimportanteachamadadesriesdepotncias,cujaformageral:nnx a x a x a a K + + +22 1 0 ou de forma mais abreviada: nnnx a1Assriestambmpodemserdenmeroscomplexos.Vistoqueumnmerorealpodeserescritocomoumcomplexonaformadei a 0 + ,ousejacomaparteimaginriazero.Dependendodovalordex,assriespodemounoconvergir.Quandoumasrieconverge podemos associ-la a um crculo de convergncia. Por exemplo a srie:iy x z onde z z z + + + + + ... 13 2tem um crculo de convergncia de raio 1. Isso , se z(na forma( ) sen cos i r z + ), tem1 < ra srie converge. Se1 ra srie diverge. Podemos verificar que seus resultados paraoutros valores de z sero:1. + + + a tende z para ... 1 1 1 12.1 0 ... 1 1 1 1 1 ou entre oscila z para + + 3.( ) i i entre oscila i i i z para + + + 1 , 1 , , 0 ... 1 14.( ) i ou i entre oscila i z para + + + 1 , 1 , 0 ... 1 1 110OmatemticofrancsAugustineLouis-Cauchy(1785-1857)foiquemprimeiroexplicoucompletamenteassriesinfinitas,atravsdessetratamentodoentendimentodassriesporcrculosdeconvergncia.Desdeentosriesdepotnciapassaramaserumaferramentaindispensvelemtodososramosdamatemtica.Em1831,elemostrouquequalquer funo pode ser representada por sries infinitas.UmafunoperidicaaquelaqueserepeteacadaperodoT,demodoque:) ( ) ( T t f t f + paratodoovalortemquedefinida.Assimseugrficoficarepetidoacada perodo T. A Figura 2.1 mostra um exemplo de uma funo peridica.:Figura 2.1 - Grfico( ) t t f arctan ) ( 112.1.2.Sries de Fourier TrigonomtricasComojmencionamosnaseo1.8.1,todasasfunesperidicaspodemserrepresentadas por uma srie senos e cossenos na forma:... 3 sen 2 sen sen... 3 cos 2 cos cos21) (0 3 0 2 0 10 3 0 2 0 1 0+ + + ++ + + + t w b t w b t w bt w a t w a t w a a t fOnde n nb a a , ,0(Eq.(1.2)a(1.4))soconstantesrepresentadasapartirdafunofa ser representado. Essa expresso pode tambm ser rescrita de forma mais simples (eq.(1.1)): (Teorema de Fourier)( )+ + 10 0 0sen cos21) (nn nt nw b t nw a a t f(2.1)Sendo 0wa freqncia angular representada por:Tw 20 EssarepresentaochamadasriedeFouriertrigonomtrica.Podemos,tambm,escrev-la s em funo de senos e cossenos como:( )+ + 10 0cos ) (nn nt nw c c t f (2.2)onde as constantes n ne c c ,0 podem ser escritos em relao s constantes anteriores:... , 2 , 1 , tan arctan2112 20 0 + nabouabb a ca cnnnnnnn n n Nestaltimaforma,ficabvioqueasSriesdeFourierrepresentamumafunotrigonomtrica, como uma soma de componentes senoidais (ou cossenoidais) de diferentesfreqncias.Acomponentesenoidaldafreqncia 0nw wn denominadoden-simoharmnicodafunoperidica.Oprimeiroharmnicochamadodeharmnicofundamentaloucomponentefundamental,porquetemomesmoperododafuno,e12Tf w220 0 chamadodefreqnciafundamentalangular.Ocoeficiente nc chamado de amplitude harmnica e n denominado de ngulo de fase.No demostraremos que as expresses (2.1) e (2.2) so equivalentes. Mas podemosintuircomfacilidadelembrando,queasfunessenoecossenosoessencialmenteidnticas a menos de uma defasagem de 2, no eixo horizontal como ilustrado mas figuras2.2 e 2.3.Figura 2.2 - Grfico( ) t t f cos ) ( Figura 2.3 - Grfico( ) t t f sen ) ( Uma propriedade importante das funes seno e cosseno que elas so ortogonais.Umconjuntodefunes{ }i ortogonalemumintervalob t a < < sequalquerduasfunes do conjunto satisfazem a propriedade:13( ) ( )'j i se rj i sedt t tjba01 onde r um nmero. Se1 r , as funes so chamadas ortonormais.Integrando numericamente ou usando regras de integrao podemos observar que oconjuntot nw t w t w t nw t w t w t w0 0 0 0 0 0 0sen ..., 2 sen , sen , cos ..., 3 cos , 2 cos , cos , 1 ortogonal no intervalo 2 2TtT< < .Considerando a srie de Fourier na forma:( )+ + 10 0 0sen cos21) (nn nt nw b t nw a a t fOs coeficientes n nb a a , ,0 so fornecidos pelas expresses:( )dt t fTaTT2202ou seja, 20a ovalor mdio de( ) t fno perodo T. (Em eletrnica ele conhecido comonvel DC do sinal)( ) ( ) dt t nw t fTaTTn 022cos2 n=1, 2, ...( ) ( ) dt t nw t fTbTTn 022sen2Aintegralnasexpressesanterioresde 2 2TaT norequerqueasfunessejamsimtricasnaorigem.Destaforma,apenasnecessitamosintegraremumperodocompleto pois:( ) ( ) dt t f dt t fTaTaTT + 222214Por exemplo, podemos considerar a funo abaixo( ) ( ) ) (20 1021t f T t f eTt setTset f +'< < < (conhecida como onda quadrada).O coeficiente 0a da Srie de Fourier ser dado por:( ) [ ] 02 22 21 12 220022002220 + 1]1

+ 11]1

+ T TTt tTdt dtTdt t fTaTTTTTTOvalormdiode( ) t f noperodonulo.Afunompar,comsimetriaemrelao origem.Lembrando das integrais indefinidas;'' dt nw dut nw ueu du uu du u00cos sensen cose que:( ) ( )( ) ( )' par funompar funo cos cossen senPodemos resolver as integrais que definem, os demais coeficientes da srie de Fourier:( ) ( )11]1

+ dt t nw dt t nwTaTTn200 002cos cos202sen2sen20 001]1

,_

+ ,_

+ TnwTnwT nwan( ) ( )11]1

+ dt t nw dt t nwTbTTn200 002sen sen2( ) ( )1]1

+ 20 000200cos1cos1 2TT nt nwnwt nwnw Tb151]1

+ ,_

//// ,_

// // 122cos22cos 120TTnTTnT nwbn ( ) ( ) [ ] n nT nwbncos 1 cos 120 + ( ) [ ] ( ) [ ] nnnnbncos 12cos 2 222 //Como() ( ) ( ) ... 1 2 cos , 1 cos , 1 0 cos Isso,( ) n cos temvaloresde1ou-1dependendo de n ser par ou mpar respectivamente. Ou melhor!( ) ... , 2 , 1 , 0 1 cos n nnTemos que:') ( ... 5 , 3 , 14) ( ... 4 , 2 , 0 0mpar n senpar n sebnassim a representao dessa funo onda quadrada por srie de Fourier :

,_

+ + + + ... 7 sen715 sen513 sen31sen4) (0 0 0 0t w t w t w t w t fArepresentaodeumafunoporsriedeFourierdeinfinitostermospode,algumasvezes,seraproximadaportermosat,umcertonmero,oquechamadodeaproximao por sries finitas de Fourier.( ) ( ) t t nw b t nw a a t fkknn n + + + 10 0 0sen cos21) (onde( ) ( ) t s t f tk k ) ( representa o erro ao usarmos apenas os primeiros 2k+1 termos.ArepresentaodeumafunoperidicaporsriedeFourierimplicanadeterminaodoscoeficientesdafuno.Emalgumasaplicaesmaisconvenienteescrever a srie de Fourier e termos de potncia complexa t inwe0t.Essa forma pode ser facilmenteobtidaapartirdaexpresso(2.1)relembrandoquei i 1, pelo Teorema de Moivre (Anexo I):16i i ii i

,_

+

,_

,_

+ 2sen2cos2sen2cos1 e que( )( )' + t inw t inwt inw t inwe eit nwe e t nw0 00 021sen21cos00de modo que a Srie de Fourier se transforma em:( ) ( ) ( )1]1

+ + + 100 0212121nt inwn nt inwn ne ib a e ib a a t fou( ) [ ] [ ] [ ] [ ] + + + + nt inwnnt inwnnt inwnnt inwnt inwne c e c e c c e c e c c t f0 0 0 0 01 1010onde( ) ( )2 2,200n nnn nnib ac eib acac+ sendo que nc indica o complexo conjugado de nc .AssimaformacomplexadeFourier,maisusadapelasuamaiorsimplicidade,expressa pela (Eq. 2.3).( ) nt inwne c t f0(2.3)Oscoeficientes nc daequaoacimasoobtidosapartirdos na e nb anterioroudiretamente de:( ) ... 2, 1, 0, n com1022t t dt e dt t fTct inwTTn (2.4)Por exemplo, a funo:( )' < < < < 2 2 02 2 dT tdsedtdse At ftem Tw 20 17( )( )( )4 43 4 42 1amostragem funonndinwdinwnddt inwnddt inwnt inwTTTndnwdnwTAdcdinwdnwT nwAcje eT nwAceT inwAcdt e ATcdt e t fTc11]1

22sen22sen22211000002 2022022220 0000Chamamosogrficocn versuswdeespectrodeamplitudedafuno( ) t f .Ogrficopodesevistonafigura2.4.Chamamosogrficodeespectrodafasede( ) t f deespectrodefase.Afunoassumeapenasvaloresinteiros,osespectrosdefaseedeamplitude no so curvas contnuas.Figura 2.4 - Grfico nc versus w.18Ao desenharmos o grfico nc versus 0nw obtemos o espectro de amplitude, que temvalores apenas em freqncias discretas 0nw . Desse modo o espectro de freqncia apenasexiste nos pontos em que a freqncia assume os seguintes valores ... ,4,2, 0T Tw t t .Figura 2.5 - Grfico 0nwNo prximo tpico veremos que as funes no peridicas podem ser representadaspelas funes de Fourier [Whei70].2.2.Transformada de FourierA utilidade da Transformada de Fourier (TF) consiste em podermos fazera anlisedeumsinalnodomniodotempoatravsdocontedodasuafreqncia.Atransformadafuncionalevandoumafunododomniodotempoouespaoparaodomniodafreqncia.Osinalpodeseranalisadoentopeloseucontedoemtermosdafreqncia,porqueoscoeficientesdeFourierdafunotransformadarepresentamacontribuiodecada senoe cosseno a cada freqncia. Uma transformadainversatransformaafunododomnio de freqncia para o domnio de tempo.19Figura 2.6 - Transformada de Fourier de um sinal contnuoATransformadadeFourier(TF)podeserusadapararepresentarfunesnoperidicas.Seconsiderarmosqueoperodotendeaoinfinito.Destaforma,obtemosasequaes 2.3 e 2.4 temos:( ) ()t inwnx inwTTe dx e x fTt f0 0221

,_

com Tw 20 ,se T , ' w w nwdw w wn 00,demodoqueosomatriosetransforma em uma integral.( ) ( ) dw e dt e t f t fiwt iwt + +

,_

21ou( ) ( ) + + 1]1

dw e dt e t f t fiwtw Fiw4 43 4 42 1) (21(2.5)( ) ( )+ dw e w F t fiwt 21onde( ) ( )+ dt e t f w FiwxSe( ) t ffor real o Teorema deFourier estabelece que a funo( ) w Fda expresso(2.5)conhecidacomIntegraldeFourierouTransformadadeFourier,tambmsimbolizada por, ou seja:FrequnciaF(W)TransformadadeFourierTempoAmplAmpl20( ) ( ) [ ] ( ) dt e t f t f Ft i+ (2.6)Aequao(2.6)ilustraaTransformadaDiretadeFourierdeumsinalcontnuo.Afuno inversa 1 simbolizada a Transformao Inversa, ou seja, a obteno de( ) t fporintermdio de( ) w F .( ) ( ) [ ] ( ) dw e w F w F t ft i+ 211 (2.7)Chamamosaequao2.7deTransformadaInversadeFourierde( ) w F ,asexpresses 2.6 e 2.7 so conhecidas como pares de Transformadas de Fourier. A condiode existir a transformada que( ) 0varargout{1} = fig;endelseif ischar(varargin{1}) % INVOKE NAMED SUBFUNCTION OR CALLBACKtry[varargout{1:nargout}] = feval(varargin{:}); % FEVAL switchyardcatchdisp(lasterr);endend%| ABOUT CALLBACKS:%| GUIDE automatically appends subfunction prototypes to this file, and%| sets objects callback properties to call them through the FEVAL%| switchyard above. This comment describes that mechanism.%|%| Each callback subfunction declaration has the following form:%| (H, EVENTDATA, HANDLES, VARARGIN)%|%| The subfunction name is composed using the objects Tag and the%| callback type separated by _, e.g. slider2_Callback,109%| figure1_CloseRequestFcn, axis1_ButtondownFcn.%|%| H is the callback objects handle (obtained using GCBO).%|%| EVENTDATA is empty, but reserved for future use.%|%| HANDLES is a structure containing handles of components in GUI using%| tags as fieldnames, e.g. handles.figure1, handles.slider2. This%| structure is created at GUI startup using GUIHANDLES and stored in%| the figures application data using GUIDATA. A copy of the structure%| is passed to each callback.You can store additional information in%| this structure at GUI startup, and you can change the structure%| during callbacks.Call guidata(h, handles) after changing your%| copy to replace the stored original so that subsequent callbacks see%| the updates. Type help guihandles and help guidata for more%| information.%|%| VARARGIN contains any extra arguments you have passed to the%| callback. Specify the extra arguments by editing the callback%| property in the inspector. By default, GUIDE sets the property to:%| (, gcbo, [], guidata(gcbo))%| Add any extra arguments after the last argument, before the final%| closing parenthesis.ajuda.mfunction ajuda( )mensagem=Marcello Santos da Fonseca => e-mail: marsanfon@yahoo.com.brEngenheiro de Telecomunicaoes (UFF)Mestrando em Ciencia daComputaao (UFF) Versao 2.0 10 de maro de 2004 helpdlg(mensagem,Ajuda);end110analisar.mfunction analisar()[Nome, Caminho] = uigetfile({*.tif}, Abrir Imagem );if ~ischar(Nome)% Verifica se algum dado foi fornecidowarndlg(Nome de arquivo no fornecido.);elseArquivo=fullfile(Caminho,Nome); % Compoe nome do arquivoA=double(imread(Arquivo));% Carrega arquivoXrgb=0.2990*A(:,:,1)+0.5870*A(:,:,2)+0.1140*A(:,:,3);Nbcolors=256;X=wcodemat(Xrgb,Nbcolors);map=gray(Nbcolors);endif (exist(X) & exist(map)) % Verifica se as variaveis existemobj = findobj(gcf,Tag,popupmenu1);%Parametro Base Waveletopcoes = get(obj,String);indice = get(obj,Value);wname=opcoes{indice};display(wname);testa_imagem(X,map,Caminho,Nome,Arquivo,wname);elseerrordlg(Variaveis X e map no definidas.);end%Importaao da imagem originalfunction testa_imagem(X,map,Caminho,Nome,Arquivo,wname);erms=0;snrms=0;snrrms=0;psnr=0;Linicial=0;Cinicial=0;n=size(X);i=n(1,1);i2=2*i;j=n(1,2);j2=2*j;display(i);display(j);% Exibir imagem originalfigure;image(X);colormap(map);colorbar111title(Imagem original)%Transformada direta de Wavelet[cA1,cH1,cV1,cD1]=dwt2(X,wname);A1=upcoef2(a,cA1,wname,1);H1=upcoef2(h,cH1,wname,1);V1=upcoef2(v,cV1,wname,1);D1=upcoef2(d,cD1,wname,1);[cA1,cH1,cV1,cD1]=dwt2(X,wname);% Exibir imagemfigure;colormap(map);subplot(2,2,1);image(wcodemat(A1,i2));title(Aproximaao A1)subplot(2,2,2);image(wcodemat(H1,i2));title(Detalhes Horizontal H1)subplot(2,2,3);image(wcodemat(V1,i2));title(Detalhes Verticais V1)subplot(2,2,4);image(wcodemat(D1,i2));title(Detalhes Diagonais D1)%Transformada inversa de WaveletXsyn = idwt2(cA1,cH1,cV1,cD1,wname);[C,S]=wavedec2(X,2,wname);cA2=appcoef2(C,S,wname,2);[cH2,cV2,cD2]=detcoef2(all,C,S,2);[cH1,cV1,cD1]=detcoef2(all,C,S,1);A2=wrcoef2(a,C,S,wname,2);H1=wrcoef2(h,C,S,wname,1);V1=wrcoef2(v,C,S,wname,1);D1=wrcoef2(d,C,S,wname,1);H2=wrcoef2(h,C,S,wname,2);V2=wrcoef2(v,C,S,wname,2);D2=wrcoef2(d,C,S,wname,2);% Exibir resultado grafico imagemfigure;colormap(map);subplot(2,4,1);image(wcodemat(A1,i2));title(Aproximaao A1)subplot(2,4,2);image(wcodemat(H1,i2));title(Detalhes Horizontais H1)subplot(2,4,3);image(wcodemat(V1,i2));title(Detalhes Verticais V1)subplot(2,4,4);image(wcodemat(D1,i2));title(Detalhes diagonais D1)112subplot(2,4,5);image(wcodemat(A2,i2));title(Aproximaao A2)subplot(2,4,6);image(wcodemat(H2,i2));title(Detalhes Horizontais H2)subplot(2,4,7);image(wcodemat(V2,i2));title(Detalhes Verticais V2)subplot(2,4,8);image(wcodemat(D2,i2));title(Detalhes Diagonais D2)%comprimir e descomprimir a imagem para gerar a imagem comprimidaX0=waverec2(C,S,wname);[thr,sorh,keepapp]=ddencmp(cmp,wv,X);[Xcomp,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]=wdencmp(gbl,C,S,wname,2,thr,sorh,keepapp);% Exibir resultado grafico imagemfator=256/(max(max(Xcomp-X))-min(min(Xcomp-X)));figure;colormap(map);subplot(141);image(X);title(Imagem Original);ylabel(wname);axis squaresubplot(142);image(Xcomp);title(Imagem Comprimida);axis squaresubplot(143);image(round((Xcomp-X)*fator));title(Erro Absoluto);axis squaresubplot(144);image(round((127+(Xcomp-X).*(fator/2))));title(Erro Relativo);axis square% Resultados numericoserms=0;snrms=0;snrrms=0;psnr=0;erms=(sqrt((sum(sum(((X-Xcomp).^2))))/(i*j)));snrms=((sum(sum(Xcomp.^2)))/(sum(sum(((X-Xcomp).^2)))));snrrms=sqrt(snrms);psnr=20*(log10(255/erms));s=([Nome,wname,num2str(erms),num2str(snrms),num2str(snrrms),num2str(psnr)]);display(s);t=([num2str(erms) ,num2str(snrms) ,num2str(snrrms) ,num2str(psnr)]);m=([erms,snrms,snrrms,psnr]);% Salvar os resultdos numericoswk1write(strcat(Nome,wname),m,0,0);end113cascate.m% Algotritmo da Cascate% Calcula as aproximaoes das funoes Wavelets: PSI e PHI,% usando o algoritmo de cascade.Function cascate( )obj = findobj(gcf,Tag,popupmenu1);%Parametro Base Wavelet.Opcoes = get(obj,String);indice = get(obj,Value);wname=opcoes{indice};display(wname);iter = 15;figure;for i = 1:iter[phi,psi,xval] = wavefun(wname,i);subplot(2,1,1)plot(xval,psi);ylabel(PSI);title(wname);pause (.01);drawnowsubplot(2,1,2)plot(xval,phi);ylabel(PHI);pause (.01);drawnowendenddecompor.m% Analise Wavelet 2D.function decompor()% Carrega uma imagen de teste.% A imagem no Matlab e composta de uma matriz X, de uma palete map, que mapeiacada valor da matriz X `a cor,[Nome, Caminho] = uigetfile({'*.tif'}, 'Escolha um arquivo' );if ~ischar(Nome)% Verifica se algum dado foi fornecidowarndlg('Nome de arquivo nao fornecido.','Cuidado');elseArquivo=fullfile(Caminho,Nome); % Compoe nome do arquivoA=double(imread(Arquivo));% Carrega arquivoXrgb=0.2990*A(:,:,1)+0.5870*A(:,:,2)+0.1140*A(:,:,3);Nbcolors=256;X=wcodemat(Xrgb,Nbcolors);map=gray(Nbcolors);114if (exist('X') & exist('map')) % Verifica se as variaveis existemfigure;image(X);colormap(map);colorbaraxis image; set(gca,'XTick',[],'YTick',[]);title('Imagem original')% Usaremos os filtros 9/7 com extensao simetrica nas bordas.dwtmode('sym')wname = 'bior4.4'% Desenha a estrutura do banco de filtro de dois niveis.t = wtree(X,2,wname);plot(t)% Calcula os dois niveis de decomposiao da imagem usando os filtros 9/7.[wc,s] = wavedec2(X,2,wname);% Extrai os coeficiente do primeiro nivel.a1 = appcoef2(wc,s,wname,1);h1 = detcoef2('h',wc,s,1);v1 = detcoef2('v',wc,s,1);d1 = detcoef2('d',wc,s,1);% Extrai os coeficiente do segundo nivel.a2 = appcoef2(wc,s,wname,2);h2 = detcoef2('h',wc,s,2);v2 = detcoef2('v',wc,s,2);d2 = detcoef2('d',wc,s,2);% mostra a decomposiao acima do nivel 1 apenas.ncolors = size(map,1); % numero de cores.sz = size(X);cod_a1 = wcodemat(a1,ncolors); cod_a1 = wkeep(cod_a1, sz/2);cod_h1 = wcodemat(h1,ncolors); cod_h1 = wkeep(cod_h1, sz/2);cod_v1 = wcodemat(v1,ncolors); cod_v1 = wkeep(cod_v1, sz/2);cod_d1 = wcodemat(d1,ncolors); cod_d1 = wkeep(cod_d1, sz/2);axisimage;set(gca,'XTick',[],'YTick',[]);title('Primeiro estagio de decomposiao')colormap(map)% mostra a decomposiao acima do nivel 2 apenas.figure;cod_a2 = wcodemat(a2,ncolors); cod_a2 = wkeep(cod_a2, sz/4);cod_h2 = wcodemat(h2,ncolors); cod_h2 = wkeep(cod_h2, sz/4);cod_v2 = wcodemat(v2,ncolors); cod_v2 = wkeep(cod_v2, sz/4);cod_d2 = wcodemat(d2,ncolors); cod_d2 = wkeep(cod_d2, sz/4);115image([[cod_a2,cod_h2;cod_v2,cod_d2],cod_h1;cod_v1,cod_d1]);axisimage;set(gca,'XTick',[],'YTick',[]);title('Segunda estagio de decomposiao')colormap(map)% Recontruao da arvorera2 = wrcoef2('a',wc,s,wname,2);rh2 = wrcoef2('h',wc,s,wname,2);rv2 = wrcoef2('v',wc,s,wname,2);rd2 = wrcoef2('d',wc,s,wname,2);ra1 = wrcoef2('a',wc,s,wname,1);rh1 = wrcoef2('h',wc,s,wname,1);rv1 = wrcoef2('v',wc,s,wname,1);rd1 = wrcoef2('d',wc,s,wname,1);cod_ra2 = wcodemat(ra2,ncolors);cod_rh2 = wcodemat(rh2,ncolors);cod_rv2 = wcodemat(rv2,ncolors);cod_rd2 = wcodemat(rd2,ncolors);cod_ra1 = wcodemat(ra1,ncolors);cod_rh1 = wcodemat(rh1,ncolors);cod_rv1 = wcodemat(rv1,ncolors);cod_rd1 = wcodemat(rd1,ncolors);subplot(3,4,1); image(X); axis image; set(gca,'XTick',[],'YTick',[]); title('ImagemOriginal')subplot(3,4,5); image(cod_ra1); axis image; set(gca,'XTick',[],'YTick',[]); title('ra1')subplot(3,4,6); image(cod_rh1); axis image; set(gca,'XTick',[],'YTick',[]); title('rh1')subplot(3,4,7); image(cod_rv1); axis image; set(gca,'XTick',[],'YTick',[]); title('rv1')subplot(3,4,8); image(cod_rd1); axis image; set(gca,'XTick',[],'YTick',[]); title('rd1')subplot(3,4,9); image(cod_ra2); axis image; set(gca,'XTick',[],'YTick',[]); title('ra2')subplot(3,4,10); image(cod_rh2); axis image; set(gca,'XTick',[],'YTick',[]); title('rh2')subplot(3,4,11); image(cod_rv2); axis image; set(gca,'XTick',[],'YTick',[]); title('rv2')subplot(3,4,12); image(cod_rd2); axis image; set(gca,'XTick',[],'YTick',[]); title('rd2')% Soma os valores do nivel 2 de aproximaao e detalhe para reconstrucao da imagemXhat = ra2 + rh2 + rv2 + rd2 + rh1 + rv1 + rd1;sprintf('Erro de Reconstruao (usando wrcoef2) = %g', max(max(abs(X-Xhat))))% Outra forma de reconstruir a imagem.XXhat = waverec2(wc,s,wname);sprintf('Erro de Reconstruao (usandowaverec2) = %g', max(max(abs(X-XXhat))))% A compressao pode ser alcanada atraves de um limiar para os% coeficientes Wavelet.wdencmp is a funao que faz isso.116% 'h' significa o uso de hard thresholding. O ultimo argumento = 1 significa que naoha% threshold para os coeficientes de aproximaao.%perfL2 = energy recovery = 100 * ||wc_comp||^2 / ||wc||^2.% ||.|| e o L2 vetor normal.%perf0 = desempenho da compressao = Percentagem de zeros em wc_comp.thr = 20;[X_comp,wc_comp,s_comp,perf0,perfL2] = wdencmp('gbl',wc,s,wname,2,thr,'h',1);figure;subplot(1,2,1); image(X); axis image; set(gca,'XTick',[],'YTick',[]);title('Original')cod_X_comp = wcodemat(X_comp,ncolors);subplot(1,2,2); image(cod_X_comp); axis image; set(gca,'XTick',[],'YTick',[]);title('Compressao usando variavel global hard threshold')xlabel(sprintf('Energia retida = %2.1f%% \n Coeficientes nulos =%2.1f%%',perfL2,perf0))% Uma melhor compressao pode ser obtida com diferentes limiares% para diferentes subbandas.thr_h = [21 17];% threshold horizontal.thr_d = [23 19];% threshold diagonal .thr_v = [21 17];% threshold vertical .thr = [thr_h; thr_d; thr_v];[X_comp,wc_comp,s_comp,perf0,perfL2] = wdencmp('lvd',X,wname,2,thr,'h');figure;subplot(1,2,1); image(X); axis image; set(gca,'XTick',[],'YTick',[]);title('Original')cod_X_comp = wcodemat(X_comp,ncolors);subplot(1,2,2); image(cod_X_comp); axis image; set(gca,'XTick',[],'YTick',[]);title('Compressao usando variavel global hard threshold')xlabel(sprintf('Energia retida = %2.1f%% \n Coeficientes nulos =%2.1f%%',perfL2,perf0))% Retorna valores padrao.dwtmode('zpd')shg;elseerrordlg('Variaveis X e map nao definidas.','Mensagem de Erro');endendend117filtroQMF.mfunction FiltrosQMF( )load db2; w=db2;figure;subplot(421);aw='db2';stem(w); title(aw)display(aw);display(w);% Exibir filtro QMFylabel('Filtro Escala Original');% Calcula os quatro filtros.[Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R] = orthfilt(w);subplot(423);stem(Lo_D);ylabel('Lo{\_}D'); %Filtro Passa-Baixo Decomposiaosubplot(424);stem(Hi_D);ylabel('Hi{\_}D'); %Filtro Passa-Alta Decomposiaosubplot(425);stem(Lo_R);ylabel('Lo{\_}R'); %Filtro Passa-Baixo Reconstruaosubplot(426);stem(Hi_R);ylabel('Hi{\_}R');%Filtro Passa-Alta Reconstruao% Exibir a baixa e alta frequencia.n = length(Hi_D);freqfft = (0:n-1)/n;nn = 1:n;N = 10*n;for k=1:Nlambda(k) = (k-1)/N;XLo_D(k) = exp(-2*pi*j*lambda(k)*(nn-1))*Lo_D';XHi_D(k) = exp(-2*pi*j*lambda(k)*(nn-1))*Hi_D';endfftld = fft(Lo_D);ffthd = fft(Hi_D);subplot(427); plot(lambda,abs(XLo_D),freqfft,abs(fftld),'o');%Modulo Transf: Passa-Baixoylabel('(Lo{\_}D ou Lo{\_}R')subplot(428); plot(lambda,abs(XHi_D),freqfft,abs(ffthd),'o');%Modulo Transf: Passa-Altaylabel('(Hi{\_}D ou Hi{\_}R')end1189.ANEXO IIIOs resultados obtidos aps a compresso e descompresso do conjunto de imagensde teste, utilizando as Famlias de Bases Wavelets esto listados abaixo em forma de tabelapara cada imagem de teste.Tabela de Teste - Lena 128x128:Bases Lena 128x128RMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar 0,9639 19355,4852 139,1240 48,4505db2 0,9628 19400,2072 139,2846 48,4605db3 0,9706 19085,7137 138,1511 48,3898db4 0,9621 19426,4767 139,3789 48,4665db5 0,9650 19310,9487 138,9638 48,4405db6 0,9746 18930,5189 137,5882 48,3541db7 0,9641 19344,3257 139,0839 48,4481db8 0,9538 19767,7893 140,5980 48,5420db9 0,9574 19616,6017 140,0593 48,5088db10 0,9362 20516,7526 143,2367 48,7037bior1.3 0,9461 20089,4853 141,7374 48,6120bior1.5 0,9472 20044,1409 141,5773 48,6022bior2.2 1,0831 15328,3853 123,8079 47,4376bior2.4 1,0641 15882,0723 126,0241 47,5915bior2.6 1,0580 16063,3308 126,7412 47,6409bior2.8 1,0623 15935,8617 126,2373 47,6061bior3.1 1,5227 7755,9711 88,0680 44,4788bior3.3 1,3521 9834,9756 99,1714 45,5105bior3.5 1,3168 10369,3697 101,8301 45,7402bior3.7 1,2925 10763,6744 103,7481 45,9022bior3.9 1,2896 10811,8207 103,9799 45,9216bior4.4 0,9951 18157,9594 134,7515 48,1731bior5.5 0,9713 19060,0057 138,0580 48,3837bior6.8 0,9926 18250,5125 135,0945 48,1952coif1 0,9620 19432,0218 139,3988 48,4676coif2 0,9529 19802,6206 140,7218 48,5496coif3 0,9737 18966,8948 137,7203 48,3624coif4 0,9785 18780,6025 137,0423 48,3196coif5 0,9796 18738,7003 136,8894 48,3098sym2 0,9628 19400,2072 139,2846 48,4605sym3 0,9706 19085,7137 138,1511 48,3898sym4 0,9551 19713,1357 140,4035 48,5300sym5 0,9794 18746,7937 136,9189 48,3118sym6 0,9659 19274,3851 138,8322 48,4321sym7 0,9697 19122,2460 138,2832 48,3980sym8 0,9759 18880,4256 137,4061 48,3426Mnimo 0,9362 7.755,9711 88,0680 44,4788Mdio 1,0314 17.584,6148 131,8708 47,9287Mximo 1,5227 20.516,7526 143,2367 48,7037119Tabela de Teste - Lena 256x256:Bases Lena 256x256RMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar 2,4128 3121,0609 55,8665 40,4805db2 2,5754 2739,0259 52,3357 39,9137db3 2,5951 2697,5689 51,9381 39,8478db4 2,5733 2743,6160 52,3795 39,9211db5 2,6009 2685,6502 51,8233 39,8283db6 2,6213 2644,0061 51,4199 39,7606db7 2,6447 2597,4871 50,9655 39,6834db8 2,6311 2624,5053 51,2299 39,7282db9 2,6391 2608,4836 51,0733 39,7017db10 2,6295 2627,5529 51,2597 39,7333bior1.3 2,4030 3147,0052 56,0982 40,5158bior1.5 2,4838 2945,7141 54,2744 40,2286bior2.2 2,8108 2299,8667 47,9569 39,1543bior2.4 2,7766 2357,0879 48,5498 39,2607bior2.6 2,7798 2351,4510 48,4918 39,2504bior2.8 2,7892 2335,8451 48,3306 39,2213bior3.1 3,8324 1237,9633 35,1847 36,4613bior3.3 3,3532 1616,6980 40,2082 37,6215bior3.5 3,2586 1711,8134 41,3741 37,8702bior3.7 3,2435 1727,8504 41,5674 37,9106bior3.9 3,2320 1740,0857 41,7143 37,9413bior4.4 2,6435 2599,9513 50,9897 39,6873bior5.5 2,6636 2560,6053 50,6024 39,6213bior6.8 2,6349 2616,8682 51,1553 39,7155coif1 2,5934 2701,1167 51,9723 39,8533coif2 2,6108 2665,3106 51,6266 39,7954coif3 2,6160 2654,8101 51,5248 39,7782coif4 2,6216 2643,3170 51,4132 39,7594coif5 2,6240 2638,4778 51,3661 39,7514sym2 2,5754 2739,0259 52,3357 39,9137sym3 2,5951 2697,5689 51,9381 39,8478sym4 2,6081 2670,7975 51,6798 39,8042sym5 2,5881 2712,2599 52,0794 39,8711sym6 2,6062 2674,9134 51,7196 39,8108sym7 2,5994 2688,6949 51,8526 39,8332sym8 2,6295 2627,6258 51,2604 39,7335Mnimo 2,4030 1.237,9633 35,1847 36,4613Mdio 2,7249 2.512,5467 49,9322 39,4670Mximo 3,8324 3.147,0052 56,0982 40,5158120Tabela de Teste - Camera 128x128:Bases Camera 128x128RMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar0,769230.857,8402175,664050,4103db20,832126.370,0790162,388749,7277db30,821827.036,1930164,426949,8360db40,811027.760,5918166,615149,9509db50,815127.479,7357165,770149,9068db60,810927.764,2783166,626249,9515db70,801128.445,4945168,657950,0568db80,797928.680,2531169,352550,0923db90,804228.227,4338168,010250,0233db100,797228.723,2775169,479450,0990bior1.30,809127.886,8497166,993649,9706bior1.50,820327.131,4172164,716249,8513bior2.20,927121.239,6949145,738448,7883bior2.40,916421.737,2742147,435748,8887bior2.60,916621.730,3304147,412148,8875bior2.80,915321.789,0964147,611348,8991bior3.11,225112.165,0933110,295546,3677bior3.31,092315.302,9153123,705047,3643bior3.51,056516.357,4765127,896447,6538bior3.71,046516.670,7673129,115347,7362bior3.91,039116.909,2387130,035547,7979bior4.40,841725.767,7006160,523249,6275bior5.50,811227.740,6554166,555349,9478bior6.80,837126.050,7865161,402649,6750coif10,839525.906,2769160,954349,6508coif20,827426.664,6403163,293149,7761coif30,823826.900,8439164,014849,8143coif40,815827.428,8575165,616649,8987coif50,813027.618,7528166,188949,9287sym20,832126.370,0790162,388749,7277sym30,821827.036,1930164,426949,8360sym40,831626.397,0010162,471549,7324sym50,815727.436,1804165,638749,8999sym60,826226.746,1421163,542549,7894sym70,812827.632,9993166,231849,9310sym80,825326.803,5713163,718049,7986Mnimo0,769212.165,0933110,295546,3677Mdio0,866725.076,8336157,636549,4248Mximo1,225130.857,8402175,664050,4103121Tabela de Teste - Camera 256x256:Bases Camera 256x256RMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar 2,1337 3.985,164563,128241,5480db22,33143.337,570957,771740,7783db32,34823.290,237257,360640,7162db42,30803.406,031658,361240,8662db52,32613.353,047557,905540,7983db62,36293.249,363857,003240,6620db72,36823.234,899356,876240,6425db82,36403.246,473456,977840,6580db92,34913.287,548557,337140,7126db102,36353.247,833456,989840,6597bior1.32,15513.906,893662,505141,4615bior1.52,21503.698,443760,814841,2233bior2.22,70662.476,776449,767239,4824bior2.42,63082.621,624651,201839,7292bior2.62,63632.610,664951,094739,7110bior2.82,64692.589,720350,889339,6759bior3.13,49891.482,967738,509337,2522bior3.33,06071.937,600644,018238,4145bior3.52,97722.047,636445,250838,6547bior3.72,95482.078,774045,593638,7203bior3.92,95152.083,333545,643538,7300bior4.42,38023.202,525656,590940,5986bior5.52,36443.245,317556,967740,6562bior6.82,40113.147,033256,098440,5227coif12,35063.283,723557,303840,7074coif22,36293.249,406657,003640,6619coif32,36693.238,465756,907540,6472coif42,36543.242,702356,944740,6529coif52,37403.219,197756,738040,6213sym22,33143.337,570957,771740,7783sym32,34823.290,237257,360640,7162sym42,36343.248,140456,992540,6600sym52,32003.370,898758,059440,8212sym62,36303.249,138957,001240,6616sym72,33623.324,032657,654440,7604sym82,36853.234,264456,870640,6415Mnimo2,13371.482,967738,509337,2522Mdio2,47463.057,090655,035140,3112Mximo3,49893.985,164563,128241,5480122Tabela de Teste - Goldhill 128x128:Bases Goldhill 128x128RMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar1,47507.040,025083,904944,7548db21,51156.704,216581,879344,5427db31,50656.748,266082,147844,5713db41,49776.827,972882,631544,6221db51,50856.730,493882,039644,5598db61,51126.706,341081,892344,5443db71,52286.605,505881,274344,4781db81,52556.582,494681,132644,4627db91,50976.720,780081,980444,5529db101,50506.762,569182,234844,5800bior1.31,47847.008,228983,715244,7347bior1.51,49516.853,012382,782944,6374bior2.21,82454.600,648067,828142,9078bior2.41,78884.786,540369,184843,0796bior2.61,78674.797,448969,263643,0896bior2.81,79394.759,617168,990043,0550bior3.12,47792.494,476249,944740,2491bior3.32,17903.225,473556,793341,3655bior3.52,09783.479,862658,990441,6953bior3.72,07453.558,729259,655141,7924bior3.92,07233.566,237059,718041,8017bior4.41,57716.158,779378,477944,1737bior5.51,46897.098,936884,255244,7908bior6.81,57976.137,763378,343944,1593coif11,51256.695,697281,827244,5372coif21,51816.646,647981,527044,5050coif31,51066.712,319481,928744,5480coif41,51556.668,790681,662744,5197coif51,52206.612,025481,314444,4825sym21,51156.704,216581,879344,5427sym31,50656.748,266082,147844,5713sym41,51776.650,116981,548244,5072sym51,52146.616,984081,344844,4860sym61,51966.634,191281,450544,4964sym71,53136.532,023080,820944,4294sym81,51646.661,277981,616744,5145Mnimo1,46892.494,476249,944740,2491Mdio1,63815.995,471576,892543,9261Mximo2,47797.098,936884,255244,7908123Tabela de Teste - Goldhill 256x256:Bases Goldhill 256x256RMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar1,76875.018,208770,839343,1778db21,72225.292,963572,752843,4092db31,74025.183,919071,999443,3188db41,72865.253,653972,482143,3769db51,72065.302,330872,817143,4170db61,73125.237,696372,371943,3637db71,72125.299,033272,794543,4141db81,72675.265,122472,561243,3864db91,71735.322,878472,958143,4338db101,71275.351,756373,155743,4572bior1.31,74765.140,692171,698643,2821bior1.51,76905.017,013870,830943,1762bior2.22,05733.708,745860,899541,8649bior2.42,02353.833,572361,915842,0086bior2.62,02443.830,330661,889742,0048bior2.82,03083.806,200761,694441,9773bior3.12,84541.939,346044,038039,0480bior3.32,48622.539,636950,394840,2200bior3.52,41102.700,432151,965740,4867bior3.72,38882.750,837052,448440,5670bior3.92,38372.762,642152,560840,5857bior4.41,78274.939,434470,281143,1092bior5.51,71245.353,537073,167943,4586bior6.81,78904.904,529670,032343,0785coif11,72875.253,307872,479743,3766coif21,73785.198,069972,097643,3307coif31,74005.185,296472,009043,3200coif41,74025.184,094672,000743,3190coif51,73295.227,517372,301643,3552sym21,72225.292,963572,752843,4092sym31,74025.183,919071,999443,3188sym41,73845.194,657372,074043,3278sym51,73355.223,857872,276343,3522sym61,73505.214,947372,214643,3449sym71,73465.217,101772,229543,3467sym81,74075.180,965971,978943,3163Mnimo1,71241.939,346044,038039,0480Mdio1,87684.675,311467,915742,7428Mximo2,84545.353,537073,167943,4586124Tabela de Teste - Peppers 128x128:Bases Peppers 128x128RMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar0,997922.309,3869149,363348,1495db20,978123.220,5489152,382948,3233db30,991322.604,5427150,348148,2066db40,996222.381,7261149,605248,1636db50,984022.940,7816151,462148,2707db60,988822.718,5774150,726848,2285db70,973323.447,9813153,127348,3657db80,985722.861,5076151,200248,2557db90,984122.935,8678151,445948,2697db100,980123.125,0500152,069248,3055bior1.30,961724.020,8147154,986548,4703bior1.50,972523.488,1306153,258448,3729bior2.21,139417.110,9397130,808846,9976bior2.41,114917.870,8842133,682047,1862bior2.61,110518.011,7599134,207947,2202bior2.81,109518.044,3986134,329447,2280bior3.11,485710.063,4586100,316844,6922bior3.31,325512.642,1528112,437345,6830bior3.51,284013.473,9049116,077245,9597bior3.71,271113.748,9485117,255946,0474bior3.91,265013.881,0824117,818046,0890bior4.41,034120.770,5196144,119847,8392bior5.50,970623.579,4047153,555948,3899bior6.81,027221.051,6838145,092047,8976coif10,981023.083,7779151,933548,2977coif20,991822.581,8009150,272448,2022coif30,998522.279,9438149,264748,1438coif40,994122.478,0418149,926848,1822coif50,986522.826,3361151,083948,2490sym20,978123.220,5489152,382948,3233sym30,991322.604,5427150,348148,2066sym41,001522.146,0776148,815648,1176sym50,987122.798,1113150,990448,2436sym60,997622.318,4197149,393548,1513sym70,998122.300,4050149,333248,1478sym81,002422.107,5859148,686248,1100Mnimo0,961710.063,4586100,316844,6922Mdio1,051120.751,3790143,391947,7496Mximo1,485724.020,8147154,986548,4703125Tabela de Teste - Peppers 512x512:Bases Peppers 512x512RMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar1,161816.357,0454127,894746,8285db21,113417.809,2788133,451447,1979db31,118417.650,5468132,855447,1590db41,115717.736,7393133,179447,1802db51,115517.741,5659133,197547,1813db61,114017.791,1924133,383647,1935db71,115517.741,7840133,198347,1814db81,109017.950,4375133,979247,2322db91,107617.995,2177134,146347,2430db101,104318.103,9300134,550847,2691bior1.31,130417.278,1918131,446547,0663bior1.51,141716.936,1331130,138946,9794bior2.21,298213.099,4075114,452645,8639bior2.41,275513.569,4589116,488046,0170bior2.61,276613.547,4151116,393446,0099bior2.81,281113.452,3437115,984245,9794bior3.11,79746.834,470882,670943,0380bior3.31,58758.760,108493,595544,1163bior3.51,54249.280,743096,336644,3671bior3.71,52789.458,931797,257044,4497bior3.91,52409.505,796597,497744,4712bior4.41,134517.153,3239130,970747,0349bior5.51,125717.423,0560131,996447,1026bior6.81,140916.961,3005130,235646,9860coif11,111217.879,9620133,716047,2151coif21,119417.619,5152132,738547,1514coif31,118917.633,0905132,789647,1547coif41,117217.689,4437133,001747,1686coif51,116117.721,2678133,121347,1764sym21,113417.809,2788133,451447,1979sym31,118417.650,5468132,855447,1590sym41,120217.594,8670132,645647,1453sym51,119817.607,4128132,692947,1484sym61,121417.554,1821132,492247,1352sym71,117017.694,4310133,020447,1698sym81,118717.639,3359132,813247,1562Mnimo1,10436.834,470882,670943,0380Mdio1,204715.895,3265125,295546,5868Mximo1,797418.103,9300134,550847,2691126Tabela de Teste - Xadrez 256x256:Bases Xadrez 256x256RMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar 4,4249E-14 1,5710E+31 3,9636E+15 315,2128db2 0,1291 1846879,3810 1358,9994 65,9153db3 0,9893 31428,8518 177,2818 48,2243db4 0,7963 48514,6756 220,2605 50,1097db5 0,8234 45369,2574 213,0006 49,8186db6 0,7667 52334,2864 228,7669 50,4388db7 1,0548 27648,0704 166,2771 47,6677db8 0,9940 31132,8998 176,4452 48,1832db9 0,9651 33026,9031 181,7331 48,4397db10 1,3135 17827,3965 133,5193 45,7620bior1.3 0,0772 5158976,0660 2271,3379 70,3765bior1.5 0,2938 356258,3546 596,8738 58,7684bior2.2 0,0769 5200546,6810 2280,4707 70,4113bior2.4 0,3518 248515,2890 498,5131 57,2041bior2.6 0,6990 62944,1441 250,8867 51,2407bior2.8 0,2231 617956,0330 786,1018 61,1603bior3.1 0,2533 479401,6171 692,3883 60,0578bior3.3 0,5619 97439,2446 312,1526 53,1377bior3.5 0,6244 78885,4532 280,8655 52,2209bior3.7 0,3696 225224,8085 474,5786 56,7770bior3.9 0,4803 133330,7700 365,1449 54,5000bior4.4 0,9506 34045,1062 184,5132 48,5712bior5.5 1,1868 21842,3698 147,7916 46,6435bior6.8 0,7633 52795,6995 229,7731 50,4771coif1 0,6015 85011,9533 291,5681 52,5457coif2 0,7170 59838,0140 244,6181 51,0207coif3 1,1257 24274,5109 155,8028 47,1025coif4 1,3033 18107,8359 134,5654 45,8298coif5 0,9843 31746,1117 178,1744 48,2679sym2 0,1291 1846879,3810 1358,9994 65,9153sym3 0,9893 31428,8518 177,2818 48,2243sym4 0,9562 33641,6433 183,4166 48,5198sym5 1,0473 28043,5829 167,4622 47,7294sym6 1,3115 17881,3753 133,7213 45,7751sym7 1,0070 30330,4797 174,1565 48,0698sym8 1,4306 15029,5206 122,5949 45,0206Mnimo 4,4249E-1415.029,5206122,594945,0206Mdio0,7319 4,3640E+29 1,1010E+1459,8705Mximo1,4306 1,5710E+31 3,9636E+15315,2128127Tabela de Teste - Crculo 256x256:Bases Crculo 256x256RMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar0,2114883.646,0826940,024561,6285db20,728374.459,1427272,872050,8850db31,009338.763,1506196,883648,0500db41,081533.762,9862183,747147,4503db51,242925.565,5586159,892346,2424db61,300523.348,1002152,800945,8484db71,385720.565,7076143,407545,2974db81,360721.329,1899146,045245,4557db91,470318.268,1843135,159844,7829db101,548116.476,8297128,362144,3347bior1.30,5966110.938,4225333,074252,6166bior1.50,5960111.175,4978333,429952,6258bior2.20,4491195.779,1006442,469355,0834bior2.40,764267.621,7890260,041950,4665bior2.60,821858.483,6257241,833949,8360bior2.80,935845.096,0267212,358348,7070bior3.11,063834.895,2411186,802747,5933bior3.31,121431.406,0081177,217447,1355bior3.51,095432.915,7733181,427047,3394bior3.71,108432.147,4517179,297147,2369bior3.91,168628.918,6087170,054746,7772bior4.41,037836.669,0769191,491747,8088bior5.51,210426.955,6770164,181846,4721bior6.81,246125.430,5976159,469746,2195coif10,882350.728,7423225,230449,2183coif21,048435.930,8322189,554347,7205coif31,258424.936,4399157,912846,1342coif41,356721.455,6864146,477645,4813coif51,379320.757,1213144,073345,3376sym20,728374.459,1427272,872050,8850sym31,009338.763,1506196,883648,0500sym41,148929.917,7365172,967446,9251sym51,199027.469,2696165,738646,5543sym61,279624.116,5251155,295045,9890sym71,306023.154,5640152,166245,8123sym81,328922.361,2845149,536945,6609Mnimo0,211416.476,8297128,362144,3347Mdio1,068966.351,8979217,251548,0462Mximo1,5481883.646,0826940,024561,6285128Tabela de Teste - Seniodal 256x256:Bases Seniodal 256x256RMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar4,04611.305,048636,125535,9901db24,10031.270,760435,647735,8744db34,18131.221,775634,953935,7045db44,06241.294,481135,978935,9551db54,02281.320,046736,332436,0402db64,01801.323,373136,378236,0506db74,08451.280,557635,784935,9081db84,04361.306,602636,147035,9955db94,02691.317,577736,298536,0314db104,12261.257,027035,454635,8273bior1.33,97081.355,164936,812636,1532bior1.54,02801.317,058136,291336,0290bior2.24,28381.164,636234,126835,4943bior2.44,27631.168,667534,185835,5095bior2.64,32581.142,108333,795135,4096bior2.84,34261.133,321733,664835,3759bior3.15,2610773,106027,804833,7095bior3.34,7216959,434730,974734,6490bior3.54,62441.000,096031,624334,8297bior3.74,56641.025,667432,026034,9394bior3.94,56281.027,177732,049634,9461bior4.44,14281.244,880135,282935,7850bior5.54,10141.270,060635,637935,8721bior6.84,18661.219,033034,914735,6937coif14,01851.322,949436,372436,0496coif24,15311.238,621435,194135,7633coif34,14481.243,614335,264935,7807coif44,13231.251,126135,371335,8069coif54,16041.234,281535,132335,7481sym24,10031.270,760435,647735,8744sym34,18131.221,775634,953935,7045sym43,93381.380,693237,157736,2345sym54,09391.274,641235,702135,8880sym63,97611.351,425536,761736,1416sym74,08111.282,588835,813235,9153sym84,04831.303,686836,106635,9854Mnimo3,9338773,106027,804833,7095Mdio4,1980 1,2243E+03 3,4938E+0135,6851Mximo5,2610 1,3807E+03 3,7158E+0136,2345129Tabela de Teste - Texto 256x256:Bases Texto 256x256RMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar2,66157.558,508886,939739,6282db23,27674.986,595670,615837,8222db33,46484.459,747766,781337,3373db43,53164.292,580365,517837,1714db53,61604.094,502363,988336,9663db63,68813.935,873262,736536,7948db73,68843.935,191162,731136,7940db83,76253.781,743461,495936,6213db93,75603.794,845361,602336,6364db103,76663.773,440561,428336,6117bior1.33,12925.468,431073,948838,2221bior1.53,25185.063,956771,161537,8884bior2.23,69083.930,050262,690136,7885bior2.43,71743.874,278362,243736,7261bior2.63,72743.853,689862,078136,7027bior2.83,75773.791,644561,576336,6323bior3.15,33331.883,012543,393733,5909bior3.34,72982.393,554048,924034,6339bior3.54,60692.522,696850,226534,8626bior3.74,55492.580,717850,800834,9613bior3.94,52272.617,429751,160835,0229bior4.43,69973.911,333362,540736,7674bior5.53,63304.057,115463,695536,9254bior6.83,76403.778,463261,469236,6179coif13,24545.083,074071,295737,9054coif23,63624.049,133963,632836,9179coif33,66703.981,238463,097136,8445coif43,75123.804,428661,680036,6474coif53,80543.696,813860,801436,5227sym23,27674.986,595670,615837,8222sym33,46484.459,747766,781337,3373sym43,66423.987,352663,145536,8511sym53,67973.953,730262,878736,8146sym63,74003.827,349661,865636,6734sym73,74933.808,453361,712736,6519sym83,81913.670,359060,583536,4916Mnimo2,66151.883,012543,393733,5909Mdio3,7453 3,9902E+03 6,2718E+0136,7279Mximo5,3333 7,5585E+03 8,6940E+0139,6282130Tabela de Teste - Valores Mdios das Imagens Fotogrficas 128x128:Bases Valores Mdios Imagens Fotogrficas 128x128RMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar 1,0515 19890,6843 137,0140 47,9413db2 1,0711 18923,7629 133,9839 47,7636db3 1,0726 18868,6789 133,7685 47,7509db4 1,0668 19099,1919 134,5577 47,8008db5 1,0682 19115,4900 134,5589 47,7944db6 1,0714 19029,9289 134,2084 47,7696db7 1,0653 19460,8268 135,5359 47,8371db8 1,0657 19473,0112 135,5708 47,8382db9 1,0639 19375,1708 135,3739 47,8387db10 1,0546 19781,9123 136,7551 47,9220bior1.3 1,0488 19751,3446 136,8582 47,9469bior1.5 1,0588 19379,1752 135,5837 47,8659bior2.2 1,2435 14569,9169 117,0458 46,5328bior2.4 1,2210 15069,1928 119,0817 46,6865bior2.6 1,2180 15150,7175 119,4062 46,7095bior2.8 1,2203 15132,2435 119,2920 46,6970bior3.1 1,6778 8119,7498 87,1562 43,9469bior3.3 1,4872 10251,3793 98,0267 44,9808bior3.5 1,4388 10920,1535 101,1985 45,2623bior3.7 1,4211 11185,5298 102,4436 45,3696bior3.9 1,4165 11292,0947 102,8879 45,4026bior4.4 1,1120 17713,7397 129,4681 47,4534bior5.5 1,0555 19369,7506 135,6061 47,8780bior6.8 1,1092 17872,6866 129,9832 47,4818coif1 1,0737 18779,4435 133,5284 47,7383coif2 1,0726 18923,9274 133,9536 47,7582coif3 1,0766 18715,0005 133,2321 47,7171coif4 1,0760 18839,0731 133,5621 47,7300coif5 1,0753 18948,9536 133,8691 47,7425sym2 1,0711 18923,7629 133,9839 47,7636sym3 1,0726 18868,6789 133,7685 47,7509sym4 1,0765 18726,5828 133,3097 47,7218sym5 1,0759 18899,5174 133,7232 47,7353sym6 1,0773 18743,2846 133,3047 47,7173sym7 1,0780 18896,9183 133,6673 47,7265sym8 1,0800 18613,2152 132,8567 47,6914131Tabela de Teste - Valores Mdios das Imagens Fotogrficas 256x256:Bases Valores Mdios Imagens Fotogrficas 256x256RMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar 2,1051 4041,4780 63,2780 41,7355db2 2,2097 3789,8534 60,9534 41,3671db3 2,2278 3723,9084 60,4327 41,2943db4 2,2033 3801,1005 61,0743 41,3881db5 2,2159 3780,3428 60,8486 41,3479db6 2,2385 3710,3554 60,2650 41,2621db7 2,2447 3710,4732 60,2121 41,2467db8 2,2406 3712,0337 60,2563 41,2575db9 2,2352 3739,6368 60,4562 41,2827db10 2,2352 3742,3809 60,4684 41,2834bior1.3 2,1019 4064,8636 63,4340 41,7532bior1.5 2,1559 3887,0572 61,9734 41,5427bior2.2 2,5249 2828,4630 52,8745 40,1672bior2.4 2,4769 2937,4283 53,8892 40,3328bior2.6 2,4802 2930,8155 53,8254 40,3221bior2.8 2,4890 2910,5887 53,6381 40,2915bior3.1 3,3922 1553,4257 39,2440 37,5872bior3.3 2,9667 2031,3119 44,8737 38,7520bior3.5 2,8823 2153,2940 46,1969 39,0039bior3.7 2,8624 2185,8205 46,5365 39,0660bior3.9 2,8557 2195,3538 46,6396 39,0857bior4.4 2,2688 3580,6371 59,2872 41,1317bior5.5 2,2468 3719,8199 60,2460 41,2454bior6.8 2,2750 3556,1437 59,0954 41,1056coif1 2,2242 3746,0493 60,5853 41,3124coif2 2,2372 3704,2624 60,2426 41,2627coif3 2,2409 3692,8574 60,1471 41,2485coif4 2,2424 3690,0380 60,1195 41,2437coif5 2,2436 3695,0643 60,1352 41,2426sym2 2,2097 3789,8534 60,9534 41,3671sym3 2,2278 3723,9084 60,4327 41,2943sym4 2,2366 3704,5318 60,2487 41,2640sym5 2,2139 3769,0055 60,8050 41,3482sym6 2,2347 3712,9999 60,3118 41,2724sym7 2,2234 3743,2764 60,5789 41,3134sym8 2,2462 3680,9520 60,0366 41,2304132Tabela de Teste - Valores Mdios das Imagens Sintticas 256x256:Bases Valores Mdios Imagens Sintticas 256x256RMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar 0,1057 7,8552E+30 1,9818E+15 188,4206db2 0,4287 960669,2619 815,9357 58,4001db3 0,9993 35096,0012 187,0827 48,1372db4 0,9389 41138,8309 202,0038 48,7800db5 1,0331 35467,4080 186,4465 48,0305db6 1,0336 37841,1933 190,7839 48,1436db7 1,2202 24106,8890 154,8423 46,4825db8 1,1773 26231,0448 161,2452 46,8194db9 1,2177 25647,5437 158,4465 46,6113db10 1,4308 17152,1131 130,9407 45,0483bior1.3 0,3369 2634957,2443 1302,2061 61,4965bior1.5 0,4449 233716,9262 465,1519 55,6971bior2.2 0,2630 2698162,8908 1361,4700 62,7474bior2.4 0,5580 158068,5390 379,2775 53,8353bior2.6 0,7604 60713,8849 246,3603 50,5384bior2.8 0,5795 331526,0299 499,2300 54,9337bior3.1 0,6586 257148,4291 439,5955 53,8256bior3.3 0,8417 64422,6263 244,6850 50,1366bior3.5 0,8599 55900,6133 231,1463 49,7802bior3.7 0,7390 128686,1301 326,9378 52,0069bior3.9 0,8245 81124,6894 267,5998 50,6386bior4.4 0,9942 35357,0916 188,0024 48,1900bior5.5 1,1986 24399,0234 155,9867 46,5578bior6.8 1,0047 39113,1486 194,6214 48,3483coif1 0,7419 67870,3478 258,3993 50,8820coif2 0,8827 47884,4231 217,0862 49,3706coif3 1,1921 24605,4754 156,8578 46,6184coif4 1,3300 19781,7611 140,5215 45,6556coif5 1,1818 26251,6165 161,1239 46,8028sym2 0,4287 960669,2619 815,9357 58,4001sym3 0,9993 35096,0012 187,0827 48,1372sym4 1,0526 31779,6899 178,1920 47,7225sym5 1,1232 27756,4263 166,6004 47,1418sym6 1,2956 20998,9502 144,5081 45,8821sym7 1,1565 26742,5218 163,1614 46,9410sym8 1,3797 18695,4025 136,0659 45,3407133Tabela de Teste - Valores Mdios das Imagens:Bases Valores Mdios Imagens TesteRMSE SNRms SNRrms PSNR (dB)Haar 1,5502 1,3092E+30 3,3030E+14 68,0216db2 1,6884 169372,4809 215,8652 46,0709db3 1,8114 15014,2094 110,4273 44,2801db4 1,7887 16116,7943 113,3448 44,4362db5 1,8117 15157,8266 110,5994 44,2892db6 1,8240 15498,6339 110,9745 44,2659db7 1,8604 13345,5031 105,3482 43,9948db8 1,8545 13710,7516 106,4304 44,0511db9 1,8572 13593,5268 105,9837 44,0280db10 1,8983 12316,1180 101,8117 43,7786bior1.3 1,6171 448768,0205 298,6962 46,7901bior1.5 1,6679 48327,4061 158,0125 45,6986bior2.2 1,8623 456773,7443 296,7514 45,8562bior2.4 1,8917 33653,2115 134,1222 44,4723bior2.6 1,9302 17447,1916 112,0073 43,9169bior2.8 1,9074 62557,5091 153,9806 44,6265bior3.1 2,5497 46743,8936 124,9514 42,2116bior3.3 2,2976 15671,4835 99,1327 42,4876bior3.5 2,2413 14562,1048 98,6554 42,6400bior3.7 2,1999 26811,4298 115,2786 43,0867bior3.9 2,2076 18929,5186 105,6148 42,8820bior4.4 1,8516 14551,7159 108,3778 44,0980bior5.5 1,8517 13348,8951 105,5388 44,0220bior6.8 1,8635 15195,3559 109,4234 44,1032coif1 1,7355 20531,8836 122,8377 44,8187coif2 1,8063 17123,7178 115,1900 44,4496coif3 1,8620 13167,2890 104,8531 43,9692coif4 1,8910 12394,5772 102,1419 43,7988coif5 1,8731 13503,0503 105,5987 43,9792sym2 1,6884 169372,4809 215,8652 46,0709sym3 1,8114 15014,2094 110,4273 44,2801sym4 1,8199 14378,5183 108,6098 44,1963sym5 1,8404 13771,1436 106,8152 44,0934sym6 1,8702 12570,2496 102,8575 43,8667sym7 1,8535 13590,6683 106,1062 44,0388sym8 1,9004 12124,9920 101,0977 43,731013410.BIBLIOGRAFIA[HWEI 1970] - 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