Distância entre dois pontos no plano. Obter a distância entre os pontos A(x A, y A ) e B(x B, y B...

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Distância entre dois pontos no plano
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  • Distncia entre dois pontos no plano
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  • Obter a distncia entre os pontos A(x A, y A ) e B(x B, y B ) no plano xOy. A B xAxA xBxB yAyA yByB x y C Vamos aplicar o teorema de Pitgoras no tringulo ABC. (AB) 2 = (BC) 2 + (AC) 2 0 (AB) 2 = |x B x A | 2 BC = |x B x A | AC = |y B y A | + |y B y A | 2
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  • Exemplo Calcule o permetro do tringulo de vrtices A(2, 0), B(2, 3) e C( 1, 4). x y 02 2 3 4 A B C
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  • Exemplo Determinar o ponto da 2. bissetriz que eqidistante de A(1, 2) e B(4, 3). A B 4 1 2 x y 0 1 P(k,k) Se P eqidistante de A e B, deve ser PA = PB
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  • Ponto mdio de um segmento
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  • Na reta real, marcamos os pontos A(2) e B(8). Se M(k) ponto mdio do segmento AB, quanto vale k? A BM 2 8 k Se M ponto mdio, AM = MB, logo k (2) = 8 k 2k = 6 k = 3 k + 2 = 8 k M(3)
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  • Caso geral. A BM xAxA xBxB xMxM M ponto mdio de AB A M = MB x M x A = x B x M 2 x M = x A + x B Na figura a seguir, M(x M ) ponto mdio do segmento de extremos A(x A ) e B(x B ). x M = x A + x B 2
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  • Quando o segmento AB est contido no plano xOy, o raciocnio semelhante. A B M xAxA xMxM xBxB yAyA yMyM yByB x y Se M ponto mdio de AB, No eixo x, x M ponto mdio do segmento de extremos x A e x B. No eixo y, y M ponto mdio do segmento de etremos y A e y B. x M = x A + x B 2 y M = y A + y B 2 e 0
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  • Exemplo Achar o ponto mdio do segmento de extremos A(5, 4) e B(3, 8). x M = 5 + (3) 2 y M = 4 + 8 2 = 1 = 2 M( 1, 2)
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  • Exemplo Encontrar o ponto simtrico de P(1, 1) em relao ao ponto Q(2, 3). P(1, 1) Q(2, 3) R(a, b) 2 = a + 1 2 a + 1 = 4 a = 5 3 = b 1 2 b 1 = 6 b = 7 R (5, 7)
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  • Exemplo Obter o ponto P que divide o segmento AB com A(1, 3) e B(8, 17) na razo A(1, 3) P(a, b) B(8, 17) AP PB 2 5 = AP PB 2 5 = x P x A x B x P 2 5 = a 1 8 a 2 5 = 5(a 1) = 2(8 a) 5 a 5 = 16 2a 7a = 21 a = 3
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  • Exemplo Obter o ponto P que divide o segmento AB com A(1, 3) e B(8, 17) na razo A(1, 3) P(a, b) B(8, 17) AP PB 2 5 = AP PB 2 5 = y P y A y B y P 2 5 = b 3 17 b 2 5 = 5(b 3) = 2(17 b) 5 b 15 = 34 2b 7b = 49 b = 7 P(3, 7)
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  • rea de um tringulo
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  • Na figura, os pontos no-alinhados A(2, 1), B(6, 3) e C(4, 5) so os vrtices de um tringulo. Como podemos calcular a rea desse tringulo, a partir das coordenadas de seus vrtices? x y 4 1 A B C 2 6 3 5
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  • x y 4 1 A B C 2 6 3 5 M N P A T = AMNP (A T1 + A T2 + A T3 ) AMNP = AM. AP= 4. 4 = 16 A T1 = (CP. AP)/2= (4. 2)/2 = 4 A T2 = (CN. BN)/2= (2. 2)/2 = 2 A T3 = (AM. BM)/2= (4. 2)/2 = 4 A T = 16 (4 + 2 + 4) A T = 6
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  • Na figura, os pontos no-alinhados A(2, 1), B(6, 3) e C(4, 5) so os vrtices de um tringulo. x y 4 1 A B C 2 6 3 5 M N P 54154 36136 12112 +6 12 D = 28 + 40 = 12 +4+30 106 rea = |D| 2 |12| 2 = 6 =
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  • rea de um tringulo Se A(x A, y A ), B(x B, y B ) e C(x C, y C ) so os vrtices de um tringulo, podemos calcular sua rea assim: Calculamos o seguinte determinante, a partir das coordenadas dos vrtices. xAxA yAyA 1 xBxB yByB 1 xCxC yCyC 1 D = A rea A do tringulo metade do mdulo desse determinante. A = |D| 2