Distribuição de Probabilidade

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DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISCIPLINA DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO PROF. ME. SÁVIO FONTENELE

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DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADEDISCIPLINA DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICACURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃOPROF. ME. SÁVIO FONTENELE

Page 2: Distribuição de Probabilidade

• Descrição numérica do resultado de um experimento

• Fornece um meio para descrever resultados experimentais usando-se

valores numéricos

• Associa um valor numérico a cada resultado experimental possível

• Pode ser classificada como discreta ou contínua, dependendo dos valores

numéricos que ela assume

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

DISCRETAS

• Pode assumir tanto um número finito de valores como uma sequênciainfinita de valores.

Experimento Variável aleatória (x)Valores possíveis para a

variável aleatória

Inspecionar um lote de 50 produtos Número de produtos defeituosos 0,1,2,..., 50

Operar um restaurante durante um dia Número de clientes 0, 1, 2, 3, ...

Contatar cinco clientesNúmero de clientes que realizam um

pedido de compras 0, 1, 2, 3, 4 e 5

Vender um carro Gênero do cliente 0 se for masculino1 se for feminino

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

CONTÍNUAS

• Pode assumir qualquer valor numérico em um intervalo ou em uma coleção de intervalos

Experimento Variável aleatória (x)Valores possíveis para a

variável aleatória

Construir uma nova bibliotecaPorcentagem de conclusão do projeto

depois de seis meses0 ≤ x ≤ 100

Testar um novo processo químicoA temperatura quando ocorre a reação

desejada (Mín.: 65°C/Máx.: 100°C)65 ≤ x ≤ 100

Encher uma garrafa de suco (Máx.: 890 mL) Quantidade em mL 0 ≤ x ≤ 890

Operar um bancoTempo (em minutos) entre as chegadas

de clientesx ≥ 0

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• A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória descreve

como as probabilidades estão distribuídas sobre os valores da variável

aleatória.

• Para uma variável discreta x, a distribuição de probabilidade é

definida por uma função de probabilidade, denotada por f(x).

• A função de probabilidade fornece a probabilidade correspondente a

cada um dos valores da variável aleatória discreta.

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• Exemplo:

• Considere as vendas de automóveis que nos últimos 300 dias de operação, os

dados de venda mostram 54 dias sem vendas de automóveis, 117 dias com um

automóvel vendido, 72 dias com dois automóveis vendidos, 42 dias com três

automóveis vendidos, 12 dias com quatro automóveis vendidos e 3 dias com

cinco automóveis vendidos.

• Suponhamos que o experimento seja de selecionar um dia de operação na

concessionária.

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• Exemplo:

• Definimos a variável aleatória de interesse como:

• x = o número de automóveis vendidos durante um dia.

• Define-se os valores que a variável aleatória poder assumir:

• 0, 1, 2, 3, 4 ou 5.

• A partir disso, construiremos uma tabela de distribuição de probabilidades (x;

f(x)) e um gráfico (Variável aleatória x Probabilidade)

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• Condições necessárias para uma função de probabilidade discreta

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𝑓 𝑥 ≥ 0

𝑓 𝑥 = 1

Page 9: Distribuição de Probabilidade

• Valor esperado:

• Medida de posição central da variável aleatória.

• Expressão matemática do VALOR ESPERADO para uma variável aleatória

discreta x é dada por:

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𝐸 𝑥 = μ = 𝑥 𝑓(𝑥)

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• Variância:

• Medida que sintetiza a variabilidade nos valores da variável aleatória.

• Expressão matemática da VARIÂNCIA para uma variável aleatória discreta x é

dada por:

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Var 𝑥 = 𝜎2 = (𝑥 − 𝜇)2𝑓(𝑥)

σ = 𝜎2DESVIO PADRÃO:

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• Distribuição de Probabilidade Binomial

• PROPRIEDADES:

• O experimento consiste em uma sequência de n ensaios idênticos.

• Dois resultados são possíveis em cada ensaio (sucesso/fracasso).

• A probabilidade de um sucesso (p) não se modifica de ensaio para ensaio.

Consequentemente, a probabilidade de um fracasso também não se

modifica.

• Os ensaios são independentes.

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• Distribuição de Probabilidade Binomial

• Exemplo:

• Considere o exemplo de jogar uma moeda cinco vezes. Em cada arremesso

observa-se o resultado (cara/coroa). Suponha que estejamos interessados

em contar o número de caras que aparecem nos cinco arremessos.

• Esse experimento tem as propriedades de um experimento binomial?

• Qual é a variável aleatória de interesse?

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• Distribuição de Probabilidade Binomial

• Exemplo:

• Considere a análise de defeitos dos próximos três produtos

finalizados em uma indústria. Com base em sua experiência, o

gerente de produção estima que a probabilidade de qualquer um dos

produtos ter defeitos é de 0,30. Qual é a probabilidade de dois dos

próximos três produtos terem falhas?

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• Distribuição de Probabilidade Binomial

• Exemplo:

Solução:

• Verificar as exigências para um experimento binomial.

• Construa um diagrama de árvore para verificar os resultados

possíveis dos três ensaios.

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• Distribuição de Probabilidade Binomial

• Exemplo:

Solução:

• Calcular o número de resultados experimentais que fornecem

exatamente x sucessos em n ensaios:

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𝑛𝑥=

𝑛!

𝑥! 𝑛 − 𝑥 !0! = 1

Por definição:

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• Distribuição de Probabilidade Binomial

• Exemplo:

Solução:

• Precisamos também conhecer a probabilidade associada a cada um desses

resultados experimentais.

• Assim, usa-se a regra da multiplicação para ensaios independentes, para

encontrar a probabilidade de uma sequência de sucessos e fracassos em

particular.

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• Distribuição de Probabilidade Binomial

• Exemplo:

Solução:

• A probabilidade de encontrar defeitos nos primeiros dois produtos e

de nenhum no terceiro produto é dada por:

S S F

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𝑝 × 𝑝 × ( 1 − 𝑝 )

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• Distribuição de Probabilidade Binomial

• Exemplo:

Solução:

• Observa-se que todos os três resultados experimentais com dois sucessos

têm exatamente a mesma probabilidade.

• Em qualquer experimento binomial todas as sequências de ensaio que

produzem x sucessos em n ensaios têm a mesma probabilidade de

ocorrência.

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𝑃 = 𝑝𝑥(1 − 𝑝) 𝑛−𝑥

Regra da distribuição binomial

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• Distribuição de Probabilidade Binomial

• Exemplo:

Solução:

• A função de probabilidade binomial pode ser aplicada a qualquer

experimento binomial. Se estivermos convencidos de que uma situação

exibe as propriedades de um experimento binomial e se conhecermos os

valores de n e p, podemos usar a equação acima para calcular a

probabilidade de x sucessos em n ensaios.

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𝑓(𝑥) =𝑛𝑥𝑝𝑥(1 − 𝑝) 𝑛−𝑥

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• Distribuição de Probabilidade Binomial

• Valor esperado

• Variância

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𝐸 𝑥 = 𝜇 = 𝑛 𝑝

𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝜎2 = 𝑛 𝑝 (1 − 𝑝)

Onde:n – número de eventosP – probabilidade de sucesso

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• Distribuição de Probabilidade de Poisson

• PROPRIEDADES:

• A Probabilidade de uma ocorrência é a mesma para quaisquer dois

intervalos de igual comprimento.

• A ocorrência ou não ocorrência em qualquer intervalo é independente da

ocorrência ou não ocorrência em outro qualquer intervalo.

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• Distribuição de Probabilidade de Poisson

• FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DE POISSON

f(x) – Probabilidade de ocorrências em um intervalo

x – variável aleatória discreta que indica o número de ocorrências em umintervalo

µ - valor esperado, ou número médio de ocorrências em um intervalo

e – 2,71828

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𝑓 𝑥 =𝜇𝑥 𝑒−𝜇

𝑥!

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• Distribuição de Probabilidade de Poisson

• Exemplo:

• Suponhamos que estejamos interessados no número de carros que chegam a um

caixa automático drive-up de um banco durante um período de 15 minutos nas

manhãs de fins de semana.

• Se considerarmos que a probabilidade de um carro chegar é a mesma para

quaisquer dois períodos de igual duração e que o fato de carros chegarem ou não

chegarem em qualquer período é independente da chegada ou não chegada de

outro em qualquer outro período, a função de Poisson é aplicável.

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• Distribuição de Probabilidade de Poisson

• Exemplo:

• Considerando que as hipóteses foram satisfeitas e que a análise de dados históricos

mostre que o número médio de carros que chegam no período de 15 minutos é 10,

sendo assim, aplica-se a seguinte função de probabilidade:

• x é a variável aleatória que indica o número de carros que chegam em um período

qualquer de 15 minutos.

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𝑓 𝑥 =10𝑥 𝑒−10

𝑥!

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• Distribuição de Probabilidade de Poisson

• Exemplo:

• A média da distribuição de Poisson é µ = 10 carros que chegam por período de 15

minutos.

• Uma propriedade da distribuição de Poisson é que a média da distribuição e a

variância da distribuição são iguais.

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𝜇 = 𝜎2 = 10