Distribuição Normal

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1

Distribuição Normal de Probabilidades

1 Profa.M.a Ecila Alves de Oliveira Migliori

3 1 2 1 0 2 3

z

Área = 1

2

Distribuição de Probabilidades

A distribuição de probabilidades indica a porcentagem de vezes

que, em grande quantidade de observações, podemos

esperar a ocorrência de vários resultados de uma variável

aleatória.

Em uma distribuição de probabilidades é necessário:

P(x) = 1, onde x toma todos valores possíveis

0 P(x) 1 para todo o x.

Distribuições de probabilidade

Distribuições descontínuas ou

discretas

Distribuições contínuas

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Envolvem distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias relativas a dados que podem ser contados, isto é, é aquela para a qual o conjunto A é um conjunto finito ou infinito enumerável.

Exemplos:

Ao lançarmos um dado ele sempre nos dará um "valor" inteiro. Não existe a possibilidade que ele caia de "lado" nos dando um valor surpreendente como 2,5555.

Número de chamadas na central do Corpo de Bombeiros no período da manhã

Número de alunos aprovados numa disciplina com 80 alunos matriculados

Número de acessos a um determinado site, das 0h às 6h

Número de inadimplentes dentre 500 pessoas que pegaram empréstimo num banco no último ano

Número de consultas ao médico num determinado ano

Número de domicílios com crianças menores de 6 anos

Número de clientes que visitaram uma loja num determinado período Número de ocorrências por unidade num intervalo de tempo

Número de fumantes presentes em eventos esportivos

Distribuições Discretas

4

Distribuições Discretas

Uniforme ou Retangular

Binomial

Binomial Negativa ou de Pascal

Geométrica

Poisson

Multinomial ou Polinomial

Hipergeométrica

Formas da distribuição discretas

(Formas)

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Quando se usa as distribuições contínuas?

Distribuições Contínuas

A variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados;

A variável aleatória em questão é contínua.

Exemplos:

altura de um adulto

custo do sinistro de um carro

temperatura mínima diária

saldo em aplicações financeiras

ganho de peso após dieta

distância percorrida

6


Nas distribuições contínuas utilizam-se a probabilidade da ocorrência em um intervalo P(a < x < b);

Em uma distribuição contínua, a probabilidade é dada pela área contida no intervalo considerado.

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4

7


DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS

UNIFORME OU RETANGULAR

NORMAL

BIVARIADA NORMAL

EXPONENCIAL

LOGNORMAL

WEIBULL

QUI-QUADRADO 2

t DE STUDENT

F DE SNEDECOR

GAMA

BETA

ERLANG

( formas)

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UNIFORME OU RETANGULAR NORMAL LOG-NORMAL

EXPONENCIAL QUI-QUADRADO GUMBEL

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Distribuição Normal

Um pouco de história

No século XVIII, astrônomos e outros cientistas observaram que medidas repetidas de mensurações como a distância à lua variavam como na figura, quando coletadas em grande número.

Esta forma gráfica era associada aos erros de mensuração, daí o nome de “Distribuição normal dos erros” e depois “Distribuição normal”.

Também é conhecida por “Distribuição Gaussiana”, em função do modelo matemático desenvolvido por Karl F. Gauss para este comportamento.

10


0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

25 40 55 70 85100

115

Peso da população adulta

n = 5000 µ = 75 kg σ = 12 kg

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

133

137

141

145

149

153

157

161

165

169

Altura de universitários

n = 3000 µ = 152 cm σ = 5 cm

0,00

0,05

0,10

0,15

29,5

29,6

29,7

29,8

29,9 30

30,1

30,2

30,3

30,4

30,5

Comprimento de uma régua

n = 1000 µ = 30cm σ = 0,15cm

0

0,05

0,1

0,15

0,2

197

215

233

251

269

287

305

Pessoas num restaurante µ = 250 por dia σ = 20 por dia

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11

Distribuição Normal - Características

1. A curva normal tem a forma de sino.

2. É simétrica em relação a média.

3. Prolonga-se de - a + (apenas em teoria) (assintótica).

4. Fica completamente especificada por sua média e seu desvio padrão; há uma distribuição normal para cada par (média e desvio padrão).

5. A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 1.

6. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos.

7. A probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída tomar exatamente determinado valor é zero (característica da distribuição contínua).

8. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios padrões entre a média e aquele ponto.

12

A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a curva normal entre aqueles pontos.


µ a b

P (a < x < b) = área hachurada sob a curva

Para desenhar a curva normal (curva de Gauss) usamos: • média (µ ou ẍ) • desvio padrão (σ ou S).

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13

Denotamos N(µ,σ) à curva Normal com média e desvio padrão. A média refere-se ao centro da distribuição e o desvio padrão ao espalhamento (ou achatamento) da curva. A distribuição normal é simétrica em torno da média o que implica que a média, a mediana e a moda são todas coincidentes.

Distribuição Normal de Probabilidades

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O importante é que você entenda como a curva é afetada pelos valores numéricos de µ e σ => N(µ,σ).


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15

Para a distribuição Normal, a proporção de valores caindo dentro de um, dois, ou três desvios padrão da média são:


-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

68,3%

95,5%

99,7%

16

Exemplo: Suponhamos que os pesos de recém-nascidos tenham µ = 2800g e σ = 500g. Então:


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9

17

Exemplo: Usando este modelo podemos dizer que cerca de 68% dos recém-nascidos pesam entre 2300g e 3300g. O peso de aproximadamente 95% dos recém-nascidos está entre 1800g e 3800g. Praticamente todos os bebês desta população nascem com peso no intervalo (1300,4300).


18

Na prática desejamos calcular probabilidades para diferentes valores de µ e σ.

Para isso, a variável X, cuja distribuição é N(µ,σ) é

transformada numa forma padronizada Z com

distribuição N(0,1) (distribuição normal padrão) pois tal

distribuição é tabelada.

A quantidade de Z é dada por:


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OBSERVAÇÃO:

x - µ = distância do ponto considerado à média

x - µ

z =

número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5 desvios padrões

z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para valores de x inferiores à média.

e f(x) =

x – ponto considerado da distrib.

µ - média da distribuição

- desvio padrão da distribuição

-1

2 ( ) x - µ

2

2

1


19

A distância entre a média e um ponto

qualquer é dado em número de desvios

padrões (z)

Normal

padronizada Normal não

padronizada

z = x - µ

µ x 0 z

P P


20

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11

70 80 90 100 110 120 130

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

µ = 100,0

= 10,0

escala efetiva

escala padronizada

Escala efetiva X Escala padronizada


21


Calculando Z (relembrando: É a distância entre a média e um ponto

qualquer é dado em número de desvios padrões (z)) =>

Consultar a Tabela de Áreas para a Distribuição Normal

Padronizada

22

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12


0 z

23


Exemplo: Z = 1,25

Para buscar na Tabela , z será separado em dois valores:

1. Parte inteira e a primeira casa decimal = 1,2 (Valor 1)

2. A segunda casa decimal = 5 (Valor 2)

3. O Valor 1 será buscado nos valores de linha da tabela e o Valor 2 será

buscado nos valores de coluna da tabela normal.

O cruzamento de linha e coluna fornece a probabilidade desejada

para o valor Z.

Neste exemplo o resultado será 0,3944.

Obs.: Para valores de Z com mais de 2 casas decimais, bastará arredondar. 24

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13


25

Probabilidade de uma variável aleatória normal tomar um valor z entre a média e o ponto situado a z desvios padrões

z área entre a média e z

1,00 0,3413

1,50 0,4332

2,13 0,4834

2,77 0,4972

área tabelada = área desejada

0 z


26

z P(0 < x < z) P(x > z) = 0,5 – P(0 < x < z)

0 z

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Determinando a área entre dois

pontos quaisquer.

Exemplos

Determinando a área (probabilidade)

sob a curva entre dois pontos

entorno da média.

0,1359=0,4772-0,3413

0 +1 +2

0,3413

0,4772

-1 0 +1

0,3413 0,3413

Distribuição Normal – Cálculo da Probabilidade

1) Após 28 dias de curagem, o cimento de uma certa marca tem uma resistência

compressiva média de 4000psi. Suponha que a resistência tem uma distribuição normal

com desvio-padrão de 120psi. Qual a probabilidade de se comprar um pacote de

cimento com resistência compressiva de 28 dias menor que 3850psi?

N(;) = N(4000,120) psi X = 3850psi

%56,101056,0)25,1( ZP

3850 4000

-1,25 Área em vermelho = z = -1,25 = 0,3944

Área desejada = 0,50 – 0,3944 = 0,1056 = 10,56%

25,1120

40003850

Xz

P(z ≤ -1,25)

Distribuição Normal – Exemplos

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N(,) = N(50;15) dias X = 31 dias

2) Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que permanecem

acessas continuamente. A vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma

variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desvio-padrão de 15 dias.

Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas, aproximadamente

quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro?

27,115

5031

Xz

%20,101020,03980,05000,0log3980,0)27,1( oZP

Consultando tabela:

Deverão ser substituídas um total de (0,1020x 8.000) = 816 lâmpadas

X

Z

f(x)

50

0

31

-1,27

35 20


3) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo

comprimento pode ser considerado uma variável normalmente

distribuída com média =10,00 metros, e desvio padrão igual a

= 0,09 metros. Quanto refugo a indústria espera produzir se o

comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo, igual a

10,20 m?

N(,) = N(10;0,09) metros

X = 10,20m

22,209,0

1020,10

Xz

%32,10132,04868,05,0)22,2()22,2( ZPZP

f(x)

10

X 10,20

0 2,22 Z

Consultando tabela

temos:


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16

4) O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG

de Ipatinga atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desvio-

padrão de 3 minutos. Considere o tempo médio como uma variável normalmente

distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4

minutos.

ESTATÍSTICA NA QUESTÃO LOGÍSTICA DA PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS

%18,90918,04082,05,0)33,1()4( ZPxPConsultando

a tabela:

33,13

84

Xz

N(,) = N(8;3) minutos

X < 4 minutos

f(x)

X 8

0

4

Z -1,33


5) Um máquina produz peças com o diâmetro médio de 2,00” e o desvio-padrão

de 0,01”. As peças que se afastam da média por mais de 0,03” são consideradas

defeituosas. Qual é a percentagem de peças defeituosa?

ESTATÍSTICA NO CONTROLE DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL

)3()3()97,1()03,2( ZPZPxouPxP

301,0

203,21

Xz

f(x)

2

X 2

0 3 Z

2,03 1,97

-3

N(,) = N(2,00;0,01)

X1 = 2,03 e X2=1,97

301,0

297,12

Xz

Consultando

tabela: %28,00014,00014,0)3()3( ZPZP


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6) A vida média de uma marca de compuador é de 8 anos com desvio-padrão de 1,8

anos. A campanha de lançamento diz que todos os produtos que tiverem defeito

dentro do prazo de garantia serão substituídos por novos. Se você fosse o gerente de

produção, qual seria o tempo de garantia que você especificaria para ter no máximo

5% de trocas.

ESTATÍSTICA E A ASSISTÊNCIA TÉCNICA

05,0049471,0

)(65,1

050503,0049471,0

)64,1(65,1

Zx

6449,105,0 Z

Xz

8,1

86449,1

X

N(,) = N(8;1,8) anos

X=?

z

-1,65 0,049471

? 0,05

-1,64 0,050503

)( oZ

anosX 04,5


34 Obrigada.

Distribuição Normal

Data & Analytics

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