DISTRIBUIÇÃO NORMALEstudámos distribuições de probabilidade para variáveis aleatórias discretas. No final do capítulo falaremos da distribuição binomial.

No entanto, nem todas as variáveis quantitativas são discretas. Em muitos estudos estatísticos, surgem variáveis aleatórias contínuas.O estudo da distribuição de probabilidades de muitas das variáveis contínuas faz-se através da distribuição normal ou distribuição de Gauss.

Consideremos algumas situações de partida:

Velocidade a que transitam os automóveis ao Km 100 da autoestrada Lisboa - Porto.

Peso do açúcar contido nas embalagens cheias por determinada máquina, programada para encher 1 kg.

Consumo mensal de eletricidade nos lares de determinada localidade durante o Inverno.

Altura dos portugueses adultos do sexo masculino. Peso (massa) das mulheres portuguesas.

Estes são alguns dos exemplos de estudos com variáveis contínuas onde se aplica a distribuição normal.

Histograma e polígono de frequênciasVersus

Função densidade de probabilidade

Admitamos que pretendíamos estudar a:“A altura de uma determinada raça de cães em idade adulta”.

Para tal, procedeu-se às medições, recorrendo a uma amostra constituída por 200 exemplares dessa raça, e agruparam-se os dados em classes, como mostra a tabela seguinte:

A partir da tabela podemos determinar as medidas de localização e de dispersão, tomando como representante de cada classe o seu valor médio (marca da classe).

Uma representação gráfica dos dados pode ser feita através de um histograma e do polígono de frequências, obtendo-se:

Se aumentarmos o número de observações e diminuirmos a amplitude das classes (por exemplo, para 0,5 cm), procedendo de forma idêntica à anterior obtemos um novo histograma e um polígono de frequências, como se segue:

Continuando o processo, aumentando o tamanho da amostra e diminuindo cada vez mais a amplitude das classes, o polígono de frequências aproximar-se-ia de uma curva como a da figura, chamada função densidade de probabilidade:

A função densidade de probabilidade, representada por uma curva em forma de sino é, para a população, o equivalente ao histograma para a amostra.

A função densidade da variável contínua X é uma função y = f(x) tal que:

f(x) 0, para todo o x do intervalo em que está definida a variável;

a área abaixo da curva é igual a 1, tal como a área do histograma das frequências relativas;

P(a X b) é igual à área (azul) abaixo da curva correspondente aos valores do intervalo [a, b].

a b

Propriedades da curva normal

tem forma de ‘sino’

A curva que limita a função densidade de probabilidade é geralmente designada por curva normal ou curva de Gauss. Esta curva tem várias propriedades:

a área compreendida entre a curva e o eixo dos xx é 1 (ou 100 %);

100%

é contínua e simétrica em relação à reta x = (sendo o valor médio ou média) e ao qual corresponde o valor máximo da curva;

tem dois pontos de inflexão, cujas abcissas são - e + (sendo o desvio padrão);

+ -

fica completamente definida pelos parâmetros e ; por isso é geralmente designada por N( ,);

tem uma assintota horizontal (o eixo das abcissas);

N( ,1)

N( ,2)

Ambas as distribuições têm a mesma média mas 1 < 2.

quanto maior for o desvio padrão mais achatada é a curva, isto é, mais próxima está do eixo;

a probabilidade de a variável tomar valores no intervalo [a, b] é igual à área limitada pelo eixo dos xx, pela curva e pelas retas x = a e x = b;

A

P(a X b) = área de A

a probabilidade de sucessos pontuais é zero, isto é, P(X=a) = 0 e P(X=b) = 0.

Assim, P(a X b) = P(a < X < b);

a b

+ -

a área abaixo da curva distribui-se em intervalos determinados por e , da seguinte forma:

68,27%

P( - < X < +) = 68,27%

+2 -2 +3 -3

P( -2 < X < +2) = 95,45%

P( -3 < X < +3) = 99,73%

95,45%

99,73%

ExercíciosA indicar