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DISTRIBUIO NORMAL ou DE GAUSS 1Aderncia Distribuio Normal ou de GaussPQNQC: Por que importante que as variveis possam ser descritas por uma distribuio normal?Aderncia Distribuio Normal ou de GaussMotivo simples: Se as variveis respeitam uma distribuio normal, pode-se aplicar a grande maioria dos testes e mtodos estatsticos conhecidos. tem-se maior facilidade!Distribuio Normal ou de GaussMuitas variveis biolgicas apresentam uma distribuio equilibrada, em que os valores centrais so mais freqentes e os extremos, mais raros, sendo os valores muito baixos to pouco freqentes quanto os muito altos

Tabela 09.01. Taxa de hemoglobina em 560 homens normais.

Hemoglobina (g/100 mL)fi12,5 |- 13,50,0113,5 |- 14,50,0614,5 |- 15,50,2415,5 |- 16,50,3816,5 |- 17,50,2317,5 |- 18,50,0718,5 |- 19,50,014Distribuio Normal ou de Gauss

Figura 09.01. Taxa de hemoglobina em 560 homens normais.5Medidas de tendncia central e distribuies de freqncias

Distribuio SimtricaMdia, mediana e moda

Distribuio comAssimetria Negativamodamedianamdia

Distribuio comAssimetria Positivamdiamedianamoda

Regra EmpricaCerca de 95% da rea est a dois desvios padro.Cerca de 99,7% da rea est a trs desvios padro da mdia.Cerca de 68% da rea est a um desvio padro da mdia.

68%Propriedades ou caractersticas da curva normalTem forma de sinoSimtrica em relao perpendicular que passa pela mdia ()A mdia, a mediana e a moda so coincidentesA curva tem dois pontos de inflexo, um desvio-padro () acima e abaixo da mdiaA rea sob a curva totaliza 1 ou 100%Aproximadamente 68% (2/3) dos valores de x situam-se entre os pontos (-) e (+)Aproximadamente 95% dos valores de x esto entre (-2) e (+2)Aproximadamente 99,7% dos valores de x esto entre (-3) e (+3)Figura 09.02. Curva normal. A rea hachurada est compreendida entre - e + e corresponde a aproximadamente 68% da rea total que fica abaixo da curva normal.

8PROPRIEDADES68% dos valores de X encontram-se entre os pontos ( - ) e (+).95,5% dos valores de X encontram-se entre os pontos ( - 2) e (+2).99,7% dos valores de X encontram-se entre os pontos ( - 3) e (+3).Propriedades ou caractersticas da curva normalUtilidadeConsidere que a glicemia tenha distribuio normal, com mdia igual a 90 mg e desvio-padro 5 mg na populao de pessoas sadias. Pode-se concluir que:Aproximadamente 2/3 (68%) da populao de indivduos sadios possuem valores de glicemia entre (-) = 90-5 = 85 mg e (+) = 90+5 = 95 mgGrande parte (95%) das pessoas sadias tem glicemia entre (-2) = 90-2(5) = 80 e (+2) = 90+2(5) = 100 mgPraticamente todos (99,7%) os indivduos da populao tem valores entre (-3) = 75 e (+3) = 105 mgA probabilidade de que uma pessoa saudvel tenha um valor de glicemia em jejum entre 90 () e 95 (+) de aproximadamente 0,3410A distncia entre a mdia e um ponto qualquer dado em nmero de desvios padres (z)Normal padronizadaNormal no padronizadaz = x - x0 zPPCurva normal padronizada ou curva normal reduzidaPropriedades da curva normalobtidas a partir da curva normal padronizada ou reduzida = 0 e = 1as reas desta curva esto tabeladasz = nome da varivel tabeladaQuando z = 1 (z = ) a rea entre este valor e a mdia 0,3413 ou 34,13%A rea entre z = -1 e z = +1 0,682612Curva normal padronizada ou curva normal reduzidaExemplo 1. Qual a rea correspondente a valores de z acima de 2,3?A curva toda tem rea = 1, portanto a rea a direita de zero 0,5Na tabela da curva normal, verifica-se que a rea entre z = 0 e z = 2,3 0,4893A rea direita de 2,3, portanto, 0,5 0,4893 = 0,0107

13Curva normal padronizada ou curva normal reduzidaExemplo 2. Qual a rea compreendida entre z = -1,5 e z = 1?Segundo a tabela da curva normal, a rea entre z = 0 e z = -1,5 0,4332A rea entre z = 0 e z = 1 0,3413Portanto a rea desejada 0,4332 + 0,3413 = 0,7745

14Transformao de uma varivel x em zAs variveis observadas na prtica (x) apresentam valores cujas reas no esto tabeladasOs valores de x podem ser transformados na varivel z, para obteno das reas na tabela da curva normal

onde e so a mdia e o desvio-padro populacionais para a varivel x

15

VoltaDistribuio Normal Padro

-+0z

z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,00,00000,00400,00800,01200,01600,01990,02390,02790,03190,03590,10,03980,04380,04780,05170,05570,05960,06360,06750,07140,07530,20,07930,08320,08710,09100,09480,09870,10260,10640,11030,11410,30,11790,12170,12550,12930,13310,13680,14060,14430,14800,15170,40,15540,15910,16280,16640,17000,17360,17720,18080,18440,18790,50,19150,19500,19850,20190,20540,20880,21230,21570,21900,22240,60,22570,22910,23240,23570,23890,24220,24540,24860,25170,25490,70,25800,26110,26420,26730,27040,27340,27640,27940,28230,28520,80,28810,29100,29390,29670,29950,30230,30510,30780,31060,31330,90,31590,31860,32120,32380,32640,32890,33150,33400,33650,33891,00,34130,34380,34610,34850,35080,35310,35540,35770,35990,36211,10,36430,36650,36860,37080,37290,37490,37700,37900,38100,38301,20,38490,38690,38880,39070,39250,39440,39620,39800,39970,40151,30,40320,40490,40660,40820,40990,41150,41310,41470,41620,41771,40,41920,42070,42220,42360,42510,42650,42790,42920,43060,43191,50,43320,43450,43570,43700,43820,43940,44060,44180,44290,44411,60,44520,44630,44740,44840,44950,45050,45150,45250,45350,45451,70,45540,45640,45730,45820,45910,45990,46080,46160,46250,46331,80,46410,46490,46560,46640,46710,46780,46860,46930,46990,47061,90,47130,47190,47260,47320,47380,47440,47500,47560,47610,47672,00,47720,47780,47830,47880,47930,47980,48030,48080,48120,48172,10,48210,48260,48300,48340,48380,48420,48460,48500,48540,48572,20,48610,48640,48680,48710,48750,48780,48810,48840,48870,48902,30,48930,48960,48980,49010,49040,49060,49090,49110,49130,49162,40,49180,49200,49220,49250,49270,49290,49310,49320,49340,49362,50,49380,49400,49410,49430,49450,49460,49480,49490,49510,49522,60,49530,49550,49560,49570,49590,49600,49610,49620,49630,49642,70,49650,49660,49670,49680,49690,49700,49710,49720,49730,49742,80,49740,49750,49760,49770,49770,49780,49790,49790,49800,49812,90,49810,49820,49820,49830,49840,49840,49850,49850,49860,49863,00,49870,49870,49870,49880,49880,49890,49890,49890,49900,4990Obteno de uma rea compreendida entre dois valores de xExemplo 4. Um treinador deseja selecionar, dentre os jovens que esto prestando servio militar no quartel Q, aqueles com uma estatura de no mnimo 180 cm, para formar um time de basquete. Que percentagem esperada de jogadores em potencial, sabendo-se que a estatura tem distribuio normal e, nesses jovens, a mdia 175 cm, e o desvio-padro, 6 cm?

Desenhar a curva normal, hachurando-se a rea de interesseTransformar a varivel estatura (x) na varivel padronizada z18Obteno de uma rea compreendida entre dois valores de xExemplo 4Para x = 175, z = (x - )/ = (175-175)/6 = 0Para x = 180, z = (180 175)/6 = 0,83Verifica-se na tabela de distribuio da normal que a rea entre z = 0 e z = 0,83 0,2967 e a rea alm de 0,83 (0,5 0,2967) = 0,2033Portanto, 20,33% dessa populao so constitudos de indivduos com estatura igual ou superior a 180 cm.Se 140 jovens esto prestando servio militar no quartel Q, o nmero esperado de rapazes que pode ser convidado para participar do time de basquete 20,33% de 140 0,2033 x 140 = 28,46, isto , 28 jovens

19Obteno dos valores de x que limitam uma rea conhecidaExemplo 5.Um pesquisador quer selecionar 10% de indivduos que emergem primeiro da pupa, de uma populao de moscas. Sabendo que o tempo mdio de emergncia de 273 horas com desvio-padro de 20 horas, qual o tempo-limite a partir do qual os indivduos que emergem no interessam mais ao pesquisador?

20Obteno dos valores de x que limitam uma rea conhecidaExemplo 5.A tabela de distribuio da normal mostra que z = -1,28 o valor que separa uma rea caudal correspondente a 0,10 da rea e outra, adjacente a mdia, de 0,40Transformando-se z em x, obter-se- o tempo de desenvolvimento que limita uma rea caudal de 10% esquerda da curva de tempos de emergnciaDa frmula de transformao (z = (x - )/), obtem-se que:-1,28 = (x-273)/20 -25,6 = x 273 x = -25,6 + 273 x = 247,4 247hOu seja, os indivduos que levarem mais de 247 horas para emergirem sero descartados

21Significncia estatstica de um desvioOs desvios da mdia que se encontram prximos da mdia populacional so considerados estatisticamente no significativosFica estabelecido um intervalo ao redor da mdia, denominado intervalo de desvios no significativos, que corresponde a 95% dos valores da populao este valor arbitrrio e denomina-se rea ou regio de no significncia (C)Os valores que ficarem fora do intervalo dos desvios no-significativos so considerados desvios significativosA letra indica a regio de significncia ou nvel de significnciaOs valores de mais utilizados so = 0,05, = 0,01 e = 0,00122Significncia estatstica de um desvio

23Deciso sobre a significncia estatstica de um desvio entre a mdia amostral (x) e a mdia populacional ()Seqncia de procedimentos para se determinar a significncia de um desvioEscolher inicialmente o critrio ou o nvel de significncia desejado (por exemplo, = 0,05)Obter o valor crtico de z da tabela (neste caso, z = z0,05 = 1,96)Calcular o afastamento entre a mdia amostral (x) e a mdia populacional (), ou seja x - , em erros-padro, usando a frmula:

Regra de decisoSe |zcalc| < z, o desvio dito no-significativoSe |zcalc| z, o desvio dito significativo

24Deciso sobre a significncia estatstica de um desvio entre a mdia amostral (x) e a mdia populacional ()Exemplo 6Um pesquisador verificou a presso arterial de cinco executivos do sexo masculino, na faixa de 40 a 44 anos, escolhidos aleatoriamente, obtendo:135; 143; 149; 128 e 158 mmHgmdia amostral = 142,6 mmHgSero os dados suficientes para afirmar que os executivos apresentam presso arterial sistlica diferente daquela observada na populao de homens com essa idade?Na reviso de literatura, o pesquisador, verificou que, nessa populao e faixa etria, a mdia de presso arterial 129 mmHg, com desvio-padro de 15 mmHg25Deciso sobre a significncia estatstica de um desvio entre a mdia amostral (x) e a mdia populacional ()Exemplo 6Dado que x = 142,6; = 129,0; = 15; n = 5 e z = 1,96:

Como zcalc = 2,03 > z0,05 = 1,96Portanto, conclui-se que, para o critrio escolhido, a mdia obtida dos cinco executivos (142,6) desvia-se significativamente da mdia da populao de homens da mesma faixa etria, estando mais elevada

26Deciso sobre a significncia estatstica de um desvio entre a mdia amostral (x) e a mdia populacional ()Exemplo 7Considere a alcalinidade mdia do rio Ca como sendo de 19,6 mg de CaCO3/L, com desvio-padro de 7,7 mg/LVoc coletou 16 amostras de gua e obteve uma mdia de 16,2 mg/LEsta mdia indica que houve alterao significativa na alcalinidade do rio?27Deciso sobre a significncia estatstica de um desvio entre a mdia amostral (x) e a mdia populacional ()Exemplo 7Considerando = 0,05, aplica-se a frmula:

Como |-1,77| < z0,05 = 1,96, conclui-se que no h evidncias suficientes para se afirmar que houve alterao na alcalinidade deste rio, para = 0,05

28Exemplo: O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuio Normal, com mdia 120 min e desvio padro 15 min. a) Sorteando um aluno ao acaso, qual a probabilidade que ele termine o exame antes de 100 minutos?X: tempo gasto no exame vestibular X ~ N(120; 152)

Tabela

Z.b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado?

z = ? tal que A(z) = 0,95.Pela tabela z = 1,64.

x = 120 +1,64 15 x = 144,6 min.X: tempo gasto no exame vestibular X ~ N(120; 152)Tabela

Z.c) Qual o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastam para completar o exame?

z = ? tal que A(z) = 0,90Pela tabela, z = 1,28.

x1= 120 - 1, 28 15 x1 = 100,8 min. x2 = 120 +1,28 15 x2 = 139,2 min.X: tempo gasto no exame vestibular X ~ N(120, 152)Tabela

Z.