Distribuições (1ª Aula Prática)
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Planeamento e Controlo da Qualidade
Estatística na Gestão da Qualidade
2
Planeamento e Controlo da Qualidade
Estatística na Gestão da Qualidade
Importância da Estatística na Gestão da Qualidade: Permite, entre outros aspectos, planear e avaliar de
forma objectiva as características de um determinado produto
Permite controlar e melhorar o respectivo processo produtivo
Estatística como linguagem universal de comunicação quer ao nível interno de uma organização (e.g., marketing, concepção e desenvolvimento, produção, compras, etc.) quer ao nível externo (e.g., fornecedores, clientes)
Planeamento e Controlo da Qualidade
Estatística na Gestão da Qualidade
Estatística descritiva: permite sintetizar e representar de
uma forma simples a informação contida num conjunto
de dados
Inferência estatística: permite deduzir, a partir da
análise de uma ou mais amostras, o que acontece no
universo (população) do qual os dados constituintes da(s)
amostra(s) foram recolhidos
Planeamento e Controlo da Qualidade
Estatística na Gestão da Qualidade
Estatísticas de Localização e de Dispersão
Estatística: qualquer função dos dados amostrais que não contenha parâmetros desconhecidos
Estatísticas de localização e de dispersão
Planeamento e Controlo da Qualidade
Estatísticas de Localização
n
xX
n
ii
1
n
fmX
k
iai i
1
im - ponto médio da classe i
k - nº de classes
iaf - frequência absoluta da classe i
Média
Dados não agrupados Dados agrupados
Planeamento e Controlo da Qualidade
Estatísticas de Localização
MedianaDados não agrupados Dados agrupados
21 nxX~
2
122
nn xx
X~
Se n é ímpar:
Se n é par:
RfF,LX~r
r
150
- limite inferior da classe mediana- frequência relativa acumulada de todas as classes abaixo da classe mediana- frequência relativa da classe mediana- amplitude da classe
1rF
L
rf
R
X~( )
Planeamento e Controlo da Qualidade
Estatísticas de Localização
Moda
Dados não agrupados Dados agrupados
Valor que ocorre com mais frequência
Ponto médio da classe com maior frequência
Planeamento e Controlo da Qualidade
Estatísticas de Dispersão
Amplitude Amplitude = R = minmáx xx
Variância
11
1
2
1
2
2
n
Xnx
n
XxS
n
ii
n
ii
11
1
2
1
2
2
n
Xnfm
n
fXmS
k
iai
k
iai ii
Dados não agrupados
Dados agrupados
Planeamento e Controlo da Qualidade
Variável: discreta ou contínua
Discreta: assume apenas certos valores (0, 1, 2, ...)
Contínua: pode assumir um qualquer valor de uma escala
contínua (e.g., medição de um comprimento)
Distribuições Estatísticas
Planeamento e Controlo da Qualidade
Seja X uma variável aleatória discreta
A Função de Probabilidade de X é definida por
A Função de Distribuição ou Função de Probabilidade Acumulada por
Distribuições Estatísticas
xXPxXxp adeProbabilid
xXPxXxF adeProbabilid
Planeamento e Controlo da Qualidade
Seja X uma variável aleatória contínua
A Função Densidade de Probabilidade é definida por
tal que
Distribuições Estatísticas
dx
dxxXxdPxf
1 XPdxxf
Função de Distribuição ou de Probabilidade Acumulada:
duufxXPxF x
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuição Normal ou Gaussiana
)
Distribuição de Probabilidade ou Função Densidade
Distribuição Cumulativa ou Função de Distribuição
2
21
2
1
x
e)x(f
ax
dxe)x(FaXP
2
21
2
1
x 02
Variável normal reduzida ou padronizada Z ~ N(0,1)
XZ
2
2 21
z
e)z(f
Distribuições Estatísticas Contínuas
com e
Planeamento e Controlo da Qualidade
Propriedades da Distribuição Normal
99,73%
95,44%
68,26%
– 3 X – 2 – 1 + 1 + 2 + 3
2
2
3
68,26% da população está incluída no intervalo
95,44% da população posiciona-se entre
99,73% da população está contida no intervalo
Distribuições Estatísticas Contínuas
99,73%
95,44%
68,26%
- 3 Z- 2 - 1 10 2 3
Planeamento e Controlo da Qualidade
)
Uma combinação linear de variáveis Normal e Independentemente Distribuídas
nnYaYaYaaX 22110
nnX aaaa 22110
será Normal com média
e variância
na,,a,a,a 210 em que são constantes,
Propriedades da Distribuição Normal
Distribuições Estatísticas Contínuas
2222
22
21
21
2nnX aaa
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Estatísticas Contínuas
Distribuição do Qui-Quadrado
Se são variáveis independentes então a variável é uma variável aleatória com -- graus de liberdade
0
22
1 1222
x ,xexf x
Média:
Variância:
v
22
Y Y 21 ,,,Y 1 0,N22
22
1 YYYX 2
Função Densidade de Probabilidade:
( - função Gama)
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Estatísticas Contínuas
Distribuição t de Student
Se Z e são variáveis independentes distribuídas segundo a distribuição Normal Reduzida e a distribuição do , então a variável
é distribuída segundo uma t de Student com graus de liberdade
2ZX
2
2
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Estatísticas Contínuas
Distribuição t de Student
Função Densidade de Probabilidade:
Média:
Variância:
0
22
Quando , t N(0,1)
x ,xxf 1
2
21
21
2
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Estatísticas Contínuas
Distribuição de Snedecor (vulgarmente designada por Distribuição de Fisher)
Se e forem duas variáveis independentes, a variável
2
21
2
2
1
X
21
22
2
é distribuída segundo uma distribuição de Fisher com graus de
liberdade no numerador e graus no denominador
1
2
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Estatísticas Contínuas
Distribuição de Snedecor (vulgarmente designada por Distribuição de Fisher)
Média:
Variância:
2 2 2
22
,
4
42
2 22
22
21
212
2 2
,
Função Densidade de Probabilidade
0
1 2
2
2
2
2
121
122
2
121
21
11
x,
x
xxf
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Discretas
Distribuição BinomialUtilizada quando se pretende analisar unidades discretas
provenientes de uma população muito grande ou mesmo teoricamente infinita.
Cada uma das unidades pode ser classificada em uma de duas categorias que são mutuamente exclusivas: Sucesso ou Não sucesso.
Considere-se uma amostra de n unidades retirada de uma população deste tipo, com probabilidade constante de se obter um sucesso em qualquer observação; a variável aleatória X, que representa o número de sucessos em n extracções, segue uma Distribuição Binomial.
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Discretas
Distribuição Binomial
xnxxnx qp)!xn(!x
!npp)!xn(!x
!n)x(p)xX(P
1
onde
n número de observações ou dimensão da amostra
p probabilidade de se obter um sucesso em qualquer observação
probabilidade de se obter um não sucesso em qualquer observação
Função de Probabilidade
pq 1
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Discretas
Função de Distribuição
Distribuição Binomial
x
i
iniqp)!in(!i
!n)xX(P)x(F0
Média:
Variância:
np
pnpnpq 12
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Discretas
x
i
i
!ie)xX(P)x(F
0
Distribuição de Poisson
onde é o valor médio do número de ocorrências
Função de Probabilidade
!xe)x(p)xX(P
x
np
Função de Distribuição
Média:
Variância: 2
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Discretas
Distribuição Hipergeométrica
Considerando:
N dimensão da população ou de um lote
D número de elementos na população de uma das categorias, por exemplo, sucesso ( )
N-D número de elementos na população da outra categoria
População finita e amostragem sem reposição
ND
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Discretas
Função de Probabilidade
Distribuição Hipergeométrica
Média
Variância
D,nmin,,,,x
nN
xnDN
xD
)xX(Pxp 2 1 0 ,
NnD
1 12
NnN
ND
DnD
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Discretas
DISTRIBUIÇÃO PARÂMETROS MÉDIA E(X) VARIÂNCIA V(X)
Hipergeométrica N ; D ; n NnD
11
NnN
ND
NnD
Binomial p ; n pn ppn 1
Poisson
Planeamento e Controlo da Qualidade
Aproximações
Hipergeométrica aproximada pela Binomial quando n/N <0,10:• Neste caso pode usar-se a Binomial com p = D/N.
Binomial aproximada pela Poisson quando a dimensão da amostra é grande e p é pequeno (n >20, p <0,10):
• Neste caso pode usar-se a Poisson com = np. Binomial aproximada pela Normal quando np>5 e n(1-p)>5:
• Neste caso pode usar-se a Normal com . e • Correcção de continuidade
pnpnp,aZP
pnpnp,bZP)bXa(P
150
150
np pnpnpq 1 2
Planeamento e Controlo da Qualidade
Poisson aproximada pela Normal quando a média da Poisson é elevada ( > 15):
Aproximações
• Neste caso pode usar-se a Normal com e 2
Planeamento e Controlo da Qualidade
Aproximações
B
P
N
n / N < 0,1
np’ > 5 n.(1 p’) > 5
n > 20
p’ 0,1
15 ; valores elevados de (melhor)
H
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Amostrais
Conceito
Qualquer estatística é uma variável aleatória que varia de
amostra para amostra.
Se várias amostras forem extraídas da mesma população e se
para cada uma delas se calcular uma mesma estatística, obtém-
se uma distribuição de valores dessa estatística designada por
Distribuição Amostral.
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Amostrais
Distribuição Amostral de Médias• Se X ~ N(,2)a distribuição de médias de amostras de dimensão n será
X ~ N(, 2/n)
Teorema do limite central: a distribuição da soma de n variáveis aleatórias independentes é aproximadamente Normal,
qualquer que seja a distribuição individual das variáveis.
Distribuições de origem simétricas: aproximação razoável mesmo para valores pequenos de n ( ).
Distribuições mais assimétricas: aproximação só começa a ser boa para valores de n elevados ( ).
nx22 = erro padrão
10n
50n
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Amostrais
Outras distribuições amostrais
212
2 1
n~Sn
1. Considere-se que é uma amostra de uma
distribuição .
Então é uma variável . Como
n, x, , xx 21
2 ,N
2
1
2
n
ii Xx 2
1n
11
22
nXxSn
ii
vem que
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Amostrais
212
2 1
n~Sn
2. Considere-se que , com média e variância ,
é uma amostra de uma distribuição .
Será portanto e
n, x, , xx 21
2 ,N
X 2S
10, N
n
SX
nSn
nX
t
11 22
n
X ~
Tem-se então
~ 1nt
Planeamento e Controlo da Qualidade
Distribuições Amostrais
3. Considerem-se duas amostras de dimensão e , com
variâncias e , retiradas de uma população .
Então e
2 ,N
Tem-se então
~
1n 2n21S 2
2S
2211 1 Sn
211n 22
22 1 Sn 2
12 n
22
21
2
2222
1
2211
11
11
SS
nSn
nSn
F
~ ~
11 21 nnF
e também 1122
22
21
21
21 nnF~ss