Distribuições (1ª Aula Prática)

34
Planeamento e Controlo da Qualidade Estatística na Gestão da Qualidade 2

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Teoric class of Quality Management

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Estatística na Gestão da Qualidade

2

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Estatística na Gestão da Qualidade

Importância da Estatística na Gestão da Qualidade: Permite, entre outros aspectos, planear e avaliar de

forma objectiva as características de um determinado produto

Permite controlar e melhorar o respectivo processo produtivo

Estatística como linguagem universal de comunicação quer ao nível interno de uma organização (e.g., marketing, concepção e desenvolvimento, produção, compras, etc.) quer ao nível externo (e.g., fornecedores, clientes)

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Estatística na Gestão da Qualidade

Estatística descritiva: permite sintetizar e representar de

uma forma simples a informação contida num conjunto

de dados

Inferência estatística: permite deduzir, a partir da

análise de uma ou mais amostras, o que acontece no

universo (população) do qual os dados constituintes da(s)

amostra(s) foram recolhidos

Page 4: Distribuições (1ª Aula Prática)

Planeamento e Controlo da Qualidade

Estatística na Gestão da Qualidade

Estatísticas de Localização e de Dispersão

Estatística: qualquer função dos dados amostrais que não contenha parâmetros desconhecidos

Estatísticas de localização e de dispersão

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Estatísticas de Localização

n

xX

n

ii

1

n

fmX

k

iai i

1

im - ponto médio da classe i

k - nº de classes

iaf - frequência absoluta da classe i

Média

Dados não agrupados Dados agrupados

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Estatísticas de Localização

MedianaDados não agrupados Dados agrupados

21 nxX~

2

122

nn xx

X~

Se n é ímpar:

Se n é par:

RfF,LX~r

r

150

- limite inferior da classe mediana- frequência relativa acumulada de todas as classes abaixo da classe mediana- frequência relativa da classe mediana- amplitude da classe

1rF

L

rf

R

X~( )

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Estatísticas de Localização

Moda

Dados não agrupados Dados agrupados

Valor que ocorre com mais frequência

Ponto médio da classe com maior frequência

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Estatísticas de Dispersão

Amplitude Amplitude = R = minmáx xx

Variância

11

1

2

1

2

2

n

Xnx

n

XxS

n

ii

n

ii

11

1

2

1

2

2

n

Xnfm

n

fXmS

k

iai

k

iai ii

Dados não agrupados

Dados agrupados

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Variável: discreta ou contínua

Discreta: assume apenas certos valores (0, 1, 2, ...)

Contínua: pode assumir um qualquer valor de uma escala

contínua (e.g., medição de um comprimento)

Distribuições Estatísticas

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Seja X uma variável aleatória discreta

A Função de Probabilidade de X é definida por

A Função de Distribuição ou Função de Probabilidade Acumulada por

Distribuições Estatísticas

xXPxXxp adeProbabilid

xXPxXxF adeProbabilid

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Seja X uma variável aleatória contínua

A Função Densidade de Probabilidade é definida por

tal que

Distribuições Estatísticas

dx

dxxXxdPxf

1 XPdxxf

Função de Distribuição ou de Probabilidade Acumulada:

duufxXPxF x

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuição Normal ou Gaussiana

)

Distribuição de Probabilidade ou Função Densidade

Distribuição Cumulativa ou Função de Distribuição

2

21

2

1

x

e)x(f

ax

dxe)x(FaXP

2

21

2

1

x 02

Variável normal reduzida ou padronizada Z ~ N(0,1)

XZ

2

2 21

z

e)z(f

Distribuições Estatísticas Contínuas

com e

Page 13: Distribuições (1ª Aula Prática)

Planeamento e Controlo da Qualidade

Propriedades da Distribuição Normal

99,73%

95,44%

68,26%

– 3 X – 2 – 1 + 1 + 2 + 3

2

2

3

68,26% da população está incluída no intervalo

95,44% da população posiciona-se entre

99,73% da população está contida no intervalo

Distribuições Estatísticas Contínuas

99,73%

95,44%

68,26%

- 3 Z- 2 - 1 10 2 3

Page 14: Distribuições (1ª Aula Prática)

Planeamento e Controlo da Qualidade

)

Uma combinação linear de variáveis Normal e Independentemente Distribuídas

nnYaYaYaaX 22110

nnX aaaa 22110

será Normal com média

e variância

na,,a,a,a 210 em que são constantes,

Propriedades da Distribuição Normal

Distribuições Estatísticas Contínuas

2222

22

21

21

2nnX aaa

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Estatísticas Contínuas

Distribuição do Qui-Quadrado

Se são variáveis independentes então a variável é uma variável aleatória com -- graus de liberdade

0

22

1 1222

x ,xexf x

Média:

Variância:

v

22

Y Y 21 ,,,Y 1 0,N22

22

1 YYYX 2

Função Densidade de Probabilidade:

( - função Gama)

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Estatísticas Contínuas

Distribuição t de Student

Se Z e são variáveis independentes distribuídas segundo a distribuição Normal Reduzida e a distribuição do , então a variável

é distribuída segundo uma t de Student com graus de liberdade

2ZX

2

2

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Estatísticas Contínuas

Distribuição t de Student

Função Densidade de Probabilidade:

Média:

Variância:

0

22

Quando , t N(0,1)

x ,xxf 1

2

21

21

2

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Estatísticas Contínuas

Distribuição de Snedecor (vulgarmente designada por Distribuição de Fisher)

Se e forem duas variáveis independentes, a variável

2

21

2

2

1

X

21

22

2

é distribuída segundo uma distribuição de Fisher com graus de

liberdade no numerador e graus no denominador

1

2

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Estatísticas Contínuas

Distribuição de Snedecor (vulgarmente designada por Distribuição de Fisher)

Média:

Variância:

2 2 2

22

,

4

42

2 22

22

21

212

2 2

,

Função Densidade de Probabilidade

0

1 2

2

2

2

2

121

122

2

121

21

11

x,

x

xxf

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Discretas

Distribuição BinomialUtilizada quando se pretende analisar unidades discretas

provenientes de uma população muito grande ou mesmo teoricamente infinita.

Cada uma das unidades pode ser classificada em uma de duas categorias que são mutuamente exclusivas: Sucesso ou Não sucesso.

Considere-se uma amostra de n unidades retirada de uma população deste tipo, com probabilidade constante de se obter um sucesso em qualquer observação; a variável aleatória X, que representa o número de sucessos em n extracções, segue uma Distribuição Binomial.

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Discretas

Distribuição Binomial

xnxxnx qp)!xn(!x

!npp)!xn(!x

!n)x(p)xX(P

1

onde

n número de observações ou dimensão da amostra

p probabilidade de se obter um sucesso em qualquer observação

probabilidade de se obter um não sucesso em qualquer observação

Função de Probabilidade

pq 1

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Discretas

Função de Distribuição

Distribuição Binomial

x

i

iniqp)!in(!i

!n)xX(P)x(F0

Média:

Variância:

np

pnpnpq 12

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Discretas

x

i

i

!ie)xX(P)x(F

0

Distribuição de Poisson

onde é o valor médio do número de ocorrências

Função de Probabilidade

!xe)x(p)xX(P

x

np

Função de Distribuição

Média:

Variância: 2

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Discretas

Distribuição Hipergeométrica

Considerando:

N dimensão da população ou de um lote

D número de elementos na população de uma das categorias, por exemplo, sucesso ( )

N-D número de elementos na população da outra categoria

População finita e amostragem sem reposição

ND

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Discretas

Função de Probabilidade

Distribuição Hipergeométrica

Média

Variância

D,nmin,,,,x

nN

xnDN

xD

)xX(Pxp 2 1 0 ,

NnD

1 12

NnN

ND

DnD

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Discretas

DISTRIBUIÇÃO PARÂMETROS MÉDIA E(X) VARIÂNCIA V(X)

Hipergeométrica N ; D ; n NnD

11

NnN

ND

NnD

Binomial p ; n pn ppn 1

Poisson

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Aproximações

Hipergeométrica aproximada pela Binomial quando n/N <0,10:• Neste caso pode usar-se a Binomial com p = D/N.

Binomial aproximada pela Poisson quando a dimensão da amostra é grande e p é pequeno (n >20, p <0,10):

• Neste caso pode usar-se a Poisson com = np. Binomial aproximada pela Normal quando np>5 e n(1-p)>5:

• Neste caso pode usar-se a Normal com . e • Correcção de continuidade

pnpnp,aZP

pnpnp,bZP)bXa(P

150

150

np pnpnpq 1 2

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Poisson aproximada pela Normal quando a média da Poisson é elevada ( > 15):

Aproximações

• Neste caso pode usar-se a Normal com e 2

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Aproximações

B

P

N

n / N < 0,1

np’ > 5 n.(1 p’) > 5

n > 20

p’ 0,1

15 ; valores elevados de (melhor)

H

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Amostrais

Conceito

Qualquer estatística é uma variável aleatória que varia de

amostra para amostra.

Se várias amostras forem extraídas da mesma população e se

para cada uma delas se calcular uma mesma estatística, obtém-

se uma distribuição de valores dessa estatística designada por

Distribuição Amostral.

Page 31: Distribuições (1ª Aula Prática)

Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Amostrais

Distribuição Amostral de Médias• Se X ~ N(,2)a distribuição de médias de amostras de dimensão n será

X ~ N(, 2/n)

Teorema do limite central: a distribuição da soma de n variáveis aleatórias independentes é aproximadamente Normal,

qualquer que seja a distribuição individual das variáveis.

Distribuições de origem simétricas: aproximação razoável mesmo para valores pequenos de n ( ).

Distribuições mais assimétricas: aproximação só começa a ser boa para valores de n elevados ( ).

nx22 = erro padrão

10n

50n

Page 32: Distribuições (1ª Aula Prática)

Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Amostrais

Outras distribuições amostrais

212

2 1

n~Sn

1. Considere-se que é uma amostra de uma

distribuição .

Então é uma variável . Como

n, x, , xx 21

2 ,N

2

1

2

n

ii Xx 2

1n

11

22

nXxSn

ii

vem que

Page 33: Distribuições (1ª Aula Prática)

Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Amostrais

212

2 1

n~Sn

2. Considere-se que , com média e variância ,

é uma amostra de uma distribuição .

Será portanto e

n, x, , xx 21

2 ,N

X 2S

10, N

n

SX

nSn

nX

t

11 22

n

X ~

Tem-se então

~ 1nt

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Planeamento e Controlo da Qualidade

Distribuições Amostrais

3. Considerem-se duas amostras de dimensão e , com

variâncias e , retiradas de uma população .

Então e

2 ,N

Tem-se então

~

1n 2n21S 2

2S

2211 1 Sn

211n 22

22 1 Sn 2

12 n

22

21

2

2222

1

2211

11

11

SS

nSn

nSn

F

~ ~

11 21 nnF

e também 1122

22

21

21

21 nnF~ss