Potencial Elétrico

Objetivos:● Explorar o Potencial Elétrico de cargas pontuais e

distribuições contínuas de cargas.

Sobre a Apresentação

Todas as gravuras, senão a maioria, são dos livros:

● Sears & Zemansky, University Physics with Modern Physics – ed. Pearson, 13a edition

● Wolfgang Bauer and Gary D. Westfall, University Physics with Modern Physics – ed. Mc Graw Hill, Michigan State University, 1a edition

● Halliday & Resnick, Fundamentals of Physics, 9a edition.

Potencial de uma Carga Pontual

Voltando à expressão do potencial elétrico:

Substituindo na expressão acima, e escolhendo um caminho qualquer para a integral, teremos:

onde a força elétrica em um caso qualquer será:

em seguida divida a expressão pela carga teste q0,

Potencial de uma Carga Pontual

O Campo Elétrico de uma carga puntiforme q é dado por:

Portanto o Potencial Elétrico gerado por esta carga será:

Potencial de uma Carga Pontual

Se tomarmos o ponto inicial no infinito como potencial nulo, o potencial em uma distância r de q será:

Que seria o mesmo se tomássemos a energia potencial de uma carga puntiforme por uma carga teste q0:

Superfícies Equipotenciais

Observe que o Potencial Elétrico de uma carga pontual depende apenas da distância radial da carga, r. Isto significa que para um raio fixo, o seu potencial elétrico é constante.

Estas curvas circulares em torno da carga são chamadas de Superfícies Equipotenciais, pois não há variação de potencial elétrico quando uma carga se desloca sobre elas.

Superfícies Equipotenciais

Estas curvas circulares em torno da carga são chamadas de Superfícies Equipotenciais, pois não há variação de potencial elétrico quando uma carga se desloca sobre elas.

Estas curvas são cortes transversais das superfícies de esferas concêntricas na carga em questão. Dai o nome superfícies.

Superfícies Equipotenciais

Observe que o movimento da carga testes q0 sobre os caminhos A e B não realizam trabalho, uma vez que estes estão sobre a mesma superfície equipotencial.

+

+

q0

A

+

+

q0

B

Observe também que o campo elétrico é sempre ortogonal à superfície equipotencial, o que significa que um deslocamento sobre estas superfícies, a força será sempre ortogonal ao deslocamento, resultando em trabalho nulo.

Superfícies Equipotenciais

Nos caminhos A e B, abaixo, o trabalho realizado também será nulo.

+

+

q0

A

+

+

q0

B

Isto ocorre porque a variação do potencial é nulo no movimento. A explicação é simples: enquanto se faz trabalho sobre o sistema movendo a carga teste contra as linhas de campo (armazena energia no campo), esta energia armazenada é devolvida quando a carga teste se move na direção das linhas de campo. Desta forma o trabalho total será nulo.

Superfícies Equipotenciais

As figuras a seguir mostram um corte transversal das superfícies equipotenciais para um arranjo de duas cargas de sinais opostos e duas de mesmo sinal.

Superfícies Equipotenciais

Exemplo: As linhas abaixo representam duas superfícies equipotenciais de 40V e 15V, geradas por uma distribuição de cargas. Uma carga de 5μC é movida entre as linhas, conforme o tracejado em azul. Determine o trabalho realizado sobre a carga.

40V 15V

a

b

No caminho a, como

Já que a carga se move sobre a superfície equipotencial de 40V.

No caminho b:

Portanto a carga recebeu 125μJ de energia, que pode ser transformada em movimento.

Distribuição Contínuade Cargas

Exemplo 1: Uma carga Q é distribuída uniformemente em uma haste de comprimento 2a. Determine o potencial elétrico gerado por esta distribuição de cargas a uma distância d do centro da haste.

O potencial elétrico gerado pelo elemento de carga dq é,

com,

portanto,

Distribuição Contínuade Cargas

Integrando ao longo de todo o fio,

Distribuição Contínuade Cargas

Exemplo 2: Um disco de raio R possui uma densidade de carga σ, homogênea. Determine o potencial elétrico gerado pelo disco em um ponto P, a uma distância z do centro do disco.

Um anel de raio R' e espessura dr gera o potencial,

onde,

portanto,

Distribuição Contínuade Cargas

integrando em todo o disco,

Potencial ElétricoDetermine o Potencial Elétrico em todo o espaço, de uma esfera condutora de raio R e carga q.

Portanto o campo fora da esfera será:

O Campo Elétrico da esfera foi determinado no capítulo anterior, como:

assumindo que o potencial no infinito é nulo.

Potencial ElétricoPortanto o potencial na superfície da esfera será:

Dentro da esfera condutora o campo é nulo, e portanto o movimento de uma carga teste no interior da esfera não realiza trabalho. Isto significa que o potencial no interior da esfera deve ser constante.

Campo a Partir do Potencial

Imagine uma carga q0 deslocando-se por uma região, como ilustra a figura abaixo. As linhas tracejadas são superfícies equipotenciais muito próximas umas das outras. A diferença de potencial entre duas linhas adjacentes pode ser determinada pela expressão:

onde ds é um deslocamento ao longo da reta s.

Como “E cos θ” é a projeção do campo na direção da reta s, podemos escrever:

Campo a Partir do Potencial

“A componente do campo elétrico em uma direção é igual a menos a taxa com que o potencial elétrico varia com o deslocamento naquela direção.”

Exemplo: O potencial elétrico gerado por um disco metálico de raio R, a um ponto P a uma distância z do centro do disco foi calculado como:

O campo elétrico gerado em P: