DIVISIBILIDADE E NÚMEROS INTEIROS

1. Múltiplos, fatores e divisores.

Com frequência desejamos que a divisão dê “certinha”, isto é, que seja

exata. Isso ocorre quando o resto é nulo. Por que é tão importante que o resto

seja zero?

Observe que quando a equação de Euclides

se reduz a

Isto é, temos que tratar somente com a multiplicação. Se a divisão tem

resto dizemos que o dividendo é múltiplo do divisor e do quociente (uma

vez que a multiplicação é comutativa). Por exemplo, considere

Podemos dizer também que 5 e 9 são divisores de 45. De certa maneira,

o número 45 é “feito” pelos números 5 e 9, assim, dizemos que 5 e 9 são

fatores de 45.

2. Fatos importantes a serem lembrados.

Fato 1 – No nosso sistema usamos 10 algarismos, cujo valor aumenta ou

diminui conforme sua posição.

Fato 2 – Se um número é fator de dois outros números, ele é fator da sua

soma (diferença).

Fato 3 – Dividimos dois números por um mesmo divisor; se a soma (diferença)

dos restos for menor que o divisor ela será igual ao resto da soma (diferença)

dos dois números.

Fato 4 – Dividimos dois números por um mesmo divisor; se a soma dos restos

for maior que o divisor, subtraímos o valor do divisor e o resultado será o

resto da soma dos dois números.

3. Divisibilidade por 2, 4 e 8.

O critério de divisibilidade por 2 é o mais conhecido. Apenas

verificamos se o último algarismo é par ou ímpar. Observe que

e assim por diante. Por exemplo:

portanto, 456 é par.

Agora, observe que:

e assim por diante. Então para saber se um número é divisível por 4, basta

verificar se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4.

Exemplo: 125867432 é divisível por 4, pois .

A divisibilidade por 8 segue o mesmo padrão. Observe que:

e assim por diante. Então para saber se um número é divisível por 8, basta

verificar se os três últimos algarismos formam um número divisível por 8.

Exemplo: 125867344 é divisível por 8, pois .

4. Divisibilidade por 5 e por 10.

Usando a mesma ideia anterior, observamos que

e assim por diante. Isso mostra que um número é divisível por 5 se o último

algarismo for 5 ou 0 e um número é divisível por 10 se o último algarismo for 0.

Por exemplo, o resto da divisão ( ) é 4 (por que?).

5. Divisibilidade por 3 e por 9.

Seguindo os raciocínios anteriores, temos:

com resto 1

com resto 1

com resto 1

e assim por diante. Podemos deduzir que cada classe contribui com uma

unidade para o resto da divisão por 3, então o resto da divisão de um número

por 3 é o mesmo resto da divisão da soma de seus algarismos por 3. Por

exemplo, o resto de pode ser encontrado fazendo

, como 19 é maior que 3 fazemos o processo novamente até chegarmos

que em um , que nesse exemplo é 1.

A divisão por 9 apresenta os mesmos resultados, pois

com resto 1

com resto 1

com resto 1

e assim por diante. Logo devemos somar os algarismos de um determinado

número como no processo de divisibilidade por 3 se quisermos saber se ele é

divisível por 9.

6. Divisibilidade por 7

Existem dois critérios de divisibilidade por 7.

No primeiro, mostraremos que é divisível por 7 se e só se

também o for. Observe que:

( )

( )

Exemplo: , logo 294 é divisível

por 7. Note que nesse método não é possível determinar o resto da divisão.

No segundo método, tomamos o primeiro algarismo à esquerda,

multiplicamos por 3 e somamos ao segundo algarismo à esquerda. Se o

número resultante for divisível por 7, o original também o será. Por exemplo:

verificando se 5129 é múltiplo de 7 temos

Assim, temos que 5129 não é múltiplo de 7, mas deixa resto 5.

7. Divisibilidade por 11

Para obter esse critério de divisibilidade vamos lançar mão do valor

posicional dos algarismos. Para isso vamos observar que:

Para cada unidade haverá sobra de uma unidade ao dividir por 11;

Para cada dezena haverá falta de uma unidade ao dividir por 11;

Para cada centena haverá sobra de uma unidade ao dividir por 11;

e assim por diante...

Concluímos que para saber se um número é divisível por 11 somamos

os algarismos de ordem par e subtraímos os algarismos de ordem impar. Se o

resultado for múltiplo de 11, o número original será múltiplo de 11. (Lembre-

se: a ordem das unidades é 0, das dezenas é 1, etc.). Exemplo: 4520835

Algarismos de ordem par

Algarismos de ordem impar e

logo, 4520835 é divisível por 11.

8. Outras propriedades dos restos: multiplicação e potenciação.

Um número que é produto de outros dois números tem o resto igual ao

produto dos restos. Dessa forma, ao realizar a potência de um número, o resto

também será elevado a essa potência.

9. Números primos e números compostos.

Os números que só tem dois fatores distintos (o 1 e ele próprio) são

chamados números primos. Os números diferentes de 1 e que não são primos

são chamados de números compostos.

Um fato bem conhecido é que podemos escrever qualquer número

natural diferente de 1 como um produto de números primos – é a chamada

decomposição em números primos. Devido a sua larga utilização ele é

comumente chamado de “Teorema Fundamental da Aritmética”.

10. O crivo de Eratóstenes.

Crivo quer dizer “peneira”. É um algoritmo que gera os números primos

através de um número finito de passos. O crivo de Eratóstenes nos diz para

escrever todos os números até o número desejado, em seguida, circula-se o 2

(primeiro número primo) e retira todos os seus múltiplos, após isso, realiza o

mesmo processo com o número 3 ao invés do 2 e assim sucessivamente até o

primo mais próximo do menor inteiro da raiz quadrada do número desejado.

Esse processo funciona bem com números pequenos, mas é trabalhoso com

números grandes, demandando muito tempo.

11. Infinitude do conjunto dos números primos.

Uma questão que surge naturalmente é se o conjunto dos números

primos é finito ou infinito. A demonstração que segue conta nos “Elementos”

de Euclides.

Teorema: O conjunto dos números primos é infinito

Demonstração: Faremos por redução ao absurdo. Suponhamos que o

conjunto dos números primos é finito, assim

∏

Onde todos os são distintos e a cardinalidade do conjunto dos números

primos é . Agora, observe que para temos duas possibilidades,

advindas do Teorema Fundamental da Aritmética:

O número não é primo e tem um fator que não pertence ao

conjunto dos números primos

O número é primo

Os dois casos contrariam a hipótese inicial que portanto, é absurda. Logo o

conjunto dos números primos é infinito.

12. Número de divisores

Outra questão é como determinar o número de divisores de um

determinado número. Por exemplo, tomemos o número 360. Temos que:

Observe que podemos usar o número dois três vezes, duas vezes, uma vez ou

nenhuma vez. O número três pode ser usado duas vezes, uma vez ou

nenhuma vez. Por fim, o número cinco pode ser usado uma vez ou nenhuma.

Assim, temos possibilidades. Podemos generalizar essa ideia.

Seja um número e sua decomposição em fatores primos

O número de divisores de n é igual a

( )( )( ) ( )( )

Bibliografia

JURKIEWICS, Samuel. Divisibilidade e Números Inteiros – Publicação da

Sociedade Brasileira de Matemática, 2007.