Djairo Revista Univ n07

"Em licence da Universidade de Brasilia.

Introducao, Metodos variacionais sao, hoje em dia, uma das principais ferramentas utilizadas para atacar problemas na teoria das equacoes diferenciais ordinaries e parciais nao lineares. 0 objetivo do presente trabalho e mostrar ao leitor atraves de tres exernplos simples ( 0 primeiro deles, inclusive, e um problema linear) como isso e feito. A ideia central, atras desse programa, e a forrnulacao de um problema variacional equivalente, em um certo sentido, ao problema de equacao diferencial. · 0 problema variacional consiste na obtencao de pontos crfticos para um funcional associado, de mode natural, ao problema diferencial. 0 termo funcional e usado para designar uma funcao real, cujo campo de definicao e um subconjunto de um espaco de funcoes. E interes- sante observar que 0 problema de minimizacao de funcionais e 0

objetivo central do Calculo das Variacoes classico, e que, em seu estudo, equacoes diferenciais (as conhecidas equacoes de Euler- Lagrange) aparecem de modo natural, como condicoes suficientes a que a funcao que minimiza o funcional deve satisfazer. Assim, no Calculo das Variacoes classico, a questao de minimizacao de um funcional e reduzida ao estudo de um problema na teoria das Equacoes Diferenciais, Esse programa tern sucesso, na medida em que o problema diferencial seja tratavel por alguma outra tecnica. A ideia de inverter a direcao desse programa, isto e, tratar equacoes diferenciais atraves do estudo de um funcional associado,

Djairo G. de Figueiredo Instit.uto de Matematica - UNICAMP'

13.081 - Campinas, SP

Metodos Variacionais em Equacoes Dif erenciais

Matematica Universitaria N. 7, Junho de 1988, 21 - 47.

21

Artigos

aparece em meados do seculo XIX, de modo explicito com Diri- chlet e Riemann. Esses matematicos usaram esseprocedimento para lidar com o que hoje chamamos problerna de Dirichlet para a equacao de Laplace. Cf. [l]. Surge assim o Metodo Direto do Calculo das Variacoes, que consiste em estudar diretamente o funcional e procurar obter seu minima (ou um ponto crftico, em geral) sem fazer apelo a sua equacao de Euler-Lagrange. Hilbert foi pi- oneiro em utilizar esse metodo, de modo rigoroso, e efetivamente provar a existencia de solrn;;ao para o problema de Dirichlet. 0 trabalho de Hilbert foi, sem duvida, um dos fatores que infiuiram no desenvolvimento da Integral de Lebesgue, da Analise Funcional e da Topologia. Mostraremos, aqui, como essas teorias possibili- tam um tratamento elegante e simples de problemas variacionais.

No presente artigo nos Iimitamos a tratar equacoes diferenciais ordinaries, minimizando assim .tecnicalidades que aparecem quando lidamos com equacoes diferenciais parciais. Cf. [5] para um exemplo em e.d.p. Entretanto nao podemos iludir o leitor di- zendo que tudo e facil, A aparente simplicidade se deve ao fato que repousamos em resultados mais profundos da Analise. A Secao 1 te'm um cunho didatico: o problema e enunciado e a meta flea definida; comecarnos a trabalhar e as dificuldades vao surgindo. As- sim vamos motivando a introducao de certas teorias matematicas para superar os obstaculos, Fica claro porque utilizar a integral de Lebesgue, porque trabalhar com funcoes semicontinuas, porque introduzir outras topologias, alern da norma, num espaco de Banach, etc. Nasso objetivo na Ser;;ao 1 e motivar, dai comecarrnos com um problema linear que pode ser resolvido por outros metcdos, talvez mais elementares. Nas Secoes 2, 3 e 4 fazemos detalhes e provas de fatos usados na primeira secao. Na Se<,;ao 5 consideramos um problema de Contorno nao linear e rapidamente rnostramos corno resolve-lo pela mesma tecnica de minimisacao desenvolvida no primeiro exemplo. A Secao 6 e dedicada a um problema de contorno nao linear, com uma parte nao linear do tipo superlinear. Ai se ve a necessidade de ter resultados que assegurem a existencia de pontos criticos que nao sao minimos. Na Ser;;ao 7 apresentamos sem provar o Teorema de Passo Montanha que vem se constituindo, ele pr6prio ou seus refinamentos e extensoes, como uma importante

22

onde usamos a notacao CJ para indicar que as condicoes de fronteira v(a) = v(b) = 0 sao satisfeitas. Usamos em (4) e ao longo de

f pu'v' + J qu» =I fv, Vv E cJ[a, b], (4)

Supomos que I E c0[a, b] e uma funcao dada. Uma soluciio cldesica do problema (1) e uma funcao u E C2[a, b] que satisfaz a equacao em (1) e que se anula nas extremidades do intervalo [a, b].

Multiplicando a equacao em (1) por v E C1[a, b], com v(a) = v(b) = 0, e, integrando por partes, obtemos

(3) p E C1[a, bj, q E C0[a, bJ; p(t) > 0, q(t) ~ 0 Vt E [a, b].

e um operador diferencial atuando em funcoes u E C2[a, b], isto e, funcoes reais com duas derivadas continuas definidas no intervalo [a, b]. Requeremos as seguintes condicoes nos coeficientes do operador L:

Lu= f em [a, b], u(a) = u(b) = 0, (1)

1. Um Problema de Contorno Linear. Considere, o seguinte problema de contorno:

tecnica de obtencao de pontos criticos do tipo sela. Ao concluir esta introducao, queremos insistir 4ue o presente

trabalho apenas toca de leve a Teoria de Pontos Criticos de funcionais e as aplicacoes as equacoes diferenciais. A Teoria de Morse e a Teoria de Ljusternik-Schnierelrnann tern sido cada vez mais estudadas e aplicadas nas questoes de rnultiplicidade de solucoes. Nas aplicacoes, muito se tern feito para sistemas Hamiltonianos e para equacoes elipticas nao lineares .. As tecnicalidades, que ai aparecem, sao, em verdade, uma parte relevante e constituem belos desafios ao pesquisador.

Lu= -(p(t)u1)1 + q(t)u onde (2)

23

cfi(uo)::; (uo + tv) Vt E JR, Vv E cJ[a, b]

para qualquer v E CJ [a, b]. Vamos designar o limite acima por '(u0)v. Essa expressao e conhecida no Calculo das

1Variac;oes

corno a primeira variaciio do funcional . [A notacao, que para ela usamos, e a da derivada direcional de IJ:I DO ponto UQ na direcao v. Observe, entretanto, que no momenta nao falamos em derivada de cf>, pois ainda nao colocamos estruturas algebrica e topol6gica no dominio de ; isso sera feito mais adiante de um modo induzido pelos objetivos a atingir, e ai cf>' { uo) sera, de fato, a derivada de Gateaux de cf>]. Assim, vemos que, se uo for um minimo de CI> em CJ[a, b]:

Um calculo simples mostra que, para um dado uo E CJ[a, b], tern- se

1 I ,2 1 I 2 I cf>(v)=-z plvl +-z qv - .fv.

Agora, considere o seguinte funcional definido em funcoes v E CJ[a, b]: (5)

(II) prova de que, de fato, essa solucao e de classe C2; esse passo e a chamada "regularizacao" da solucao.

(I) deterrninacao de urna solucao fraca (em verdade, vamos esta- belecer , primeiramente, a existencia de uma solucao num sentido mais fraco ainda do que o definido acima) que, coma veremos a seguir, e algo mais facil de ser feito, e

todo o trabalho a notacao Jg para designar J: g(t)dt. A expressao (4) motiva a seguinte definicao. Urna funcao u E CJ{a, b] e uma soluciio fraca de (1) se u satisfaz a relacao (4). E claro que uma solucao classica de (1) e tarnbem solucao fraca. Consequentemente a questao de se obter uma solucao classica de ( 1) pode ser reduzida ao seguinte prograrna:

24

lim ! {cf>(uo + tv) - cf>(uo)} = t->0 t

= j pu~v' + j quov - j fv,

Assim concluimos que o funcional e limitado inferiormente. A questao agora e saber se o Infimo de e assumido, Neste sentido sera conveniente introduzir em CJ[a, b] alguma topologia. Por que? Bern, vem a mem6ria (pelo menos, a minha) o teorema de Balzano-Weierstrass da Analise que afirma: toda funcao real continua definida num intervalo fechado e limitado da reta assume seu infimo nesse intervalo. 0 que tern de essencial nesse resultado

o que implica

Vv E C6[a, b]. 1 I 2 (v) 2: -- I , 4poc

onde c > 0 e uma Constante independente de v. A desigualdade (7) pode ser provada, facilmente, usando o Teorema Fundamental de Calculo. Ela e conhecida coma a desigualdade de Wirtinger, cuja melhor constante c pode ser obtida usando series de Fourier; cf. Secao 2 abaixo. De (6) e (7) se segue

para todo ti E CJ [a, b], onde 0 < p0 = min{p(t) : t E [a, b]} e onde utilizamos o fato q 2: 0 e a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Agora, para continuar a estimativa de , utilizamos a seguinte desigualdade:

(6)

e daf '( u0)v = 0, ou seja, u0 e uma solucao fraca do problema (1). Portanto, a existencia de uma solucao fraca d~ (I) pode ser estabelecida se provarmos que o funcional tern um minima em CJ [a, b]. Otimo! Mas isso nao e tao imediatamente atingfvel. Ve- jamos como proceder.

lnicialmente, mostraremos que 0 funcional e limitado inferiormente em CJ [a, b], o que nos dara alento para continuar o processo de minimizacao. Observe que

/lv'l2 2: c j v2 Vv E C6[a, b], (7)

25

lnfx = Inf{<l>(v): v EX, llvll :SR}.

onde p = max{p(t): t E [a, b] e q = max{q(t): t E [a, b]. Para um real R > 0, convenientemente escolhido:

I/ Plv~l2 - f Plv'l21 :SP f I lv~l2 - lv'l21-+ 0

\! qv! - f qv21 :Sq /iv;- v21---+ 0

I/ f Vn - If vi :S (/ f )112 (jlvn - vl2 )112-+ 0

Entretanto (10) apresenta serias deficiencias no metodo variacional, coma apontaremos oportunamente. Designemos por X o espaco normado CJ[a, b] com a norma (9).

0 funcional e continua em x. De fato, se Vn -+ v em x entao pela desigualdade (7), Vn ---+ v em L2, e dai concluimos que

llvW = max{lv'(t)I: t E [a, bl}. (10)

Para verificar que (9) realmente define uma norma usamos a desigualdade (7) e a desigualdade de Minkowski para integrais. E possivel definir outras normas em CJ[a, b], como, por exemplo:

(9)

0 espac;o CJ[a, b] com as definicoes usuais de soma e produto por um escalar e um espaco vectorial sabre Ill. Ele se torna um espaco normado se o munirmos da norma

Teorema A. Seja X um espaco topol6gico compacto e seja : X -+ JR uma funfaO real semicontinua inf eriormente definida em X. Entdo, o infimo de existe e e assumido num ponio uo E X. [Cf. Secao 3] .

sao fatos topologicos a respeito da funcao e de seu dorninio, e, de fato, o seguinte resultado da Topologia generalize o teorema de Balzano- Weierstrass:

26

e pode-se provar que CJ [a, b] e denso em HJ [a, bj. Assim a desigualdade de Wirtinger e valid a para u E HJ [a, bj, por continui-

onde o subindice "c" indica que a funcao tp se anula fora de um intervalo fechado contido em (a, b). Veja detalhes das afirrnacoes a seguir na Sec;ao 4. A derivada fraca de u e unica e e designada por u'. Seu possuir derivada fraca, entao u e continua em [a, b); isso nos permite falar em u(a) e u(b). Em HJ[a, b] define-se a norm a

I Vtp = - I wp' \;/ 'P E c~ [a, b] (11)

(12)

Consequentemente, poderemos nos restringir a bola BR = { v E X : I !vi I :'.S R}, e tentar aplicar o Teorema A ao·\ funcional restrito a BR. Surge, porem, a primeira dificuldade: BR nao e compacta. Um dos motivos dessa falta de compacidade e o fate de x nao ser completo.

Neste ponto, visando sanar a dificuldade acima, surge a ideia de completar o espaco X na norma (9). Os elementos do espaco completado sao classes de equivalencia de sequencias de Cauchy em X, 0 que e algo incomodo de se trabalhar, para nao dizer coisa pior. Nao esquecamos que estamos na busca de uma solucao para o problema (1), e esperamos obter essa solucao como uma funcao. E. aqui, que a integral de Lebesgue entra no jogo. 0 horroroso espaco obtido pela completamento de X pode ser identificado com um espaco de funcoes. Nao serao mais funcoes diferenciaveis, mas vamos ganhar em outros sentidos. Vejarnos.

Considere o espaco L2[a, b] das funcoes reais mensuraveis a Lebesgue definidas no intervalo [a, b] e tais que J /2 < oo. Com. o produto interno (/, g}£~ = ff g, esse espaco e um espaco de Hilbert. Cf. por exemplo, Royden [13]. Designemos por HJ[a, b] o subespaco de L2[a, b] <las funcoes u que possuem derivada fraca em L2[a, b] e tais que u(a) = u(b) = 0. Relembremos o conceito de derivada fraca: u E L2[a, b] tern derivada fraca em L2[a, b] se existir v E L2[a, b] tal que

27

Esse e um ponto onde o espaco CJ [a, b] com a norma (10) nao funciona: a bola BR em tal espaco nao e fracamente compacta.

Agora voltamos a tentative de aplicar o Teorema A com X

isto e, a norma definida a partir desse produto interno e precisamente a norma (13). Em espacos de Hilbert, bolas sao fracamente compactas. A topologia fraca em espacos de Hilbert pode ser definida em termos de sequencias do seguinte modo. Para nao introduzir notacoes adicionais, vamos definir convergencia fraca apenas em HJ [a, b]: uma sequencia ( un) c HJ [a, b] converge fracamente para u E HJ [a, b] se

(un, v)H•----> (u, v)H• 't/v E HJ[a, b].

A partir de agora consideramos HJ[a, b] munido da norrna (13). Prova-se que ele e complete. Esse e um exemplo de um espaco de Sobolev. Assim o completamento do espaco X na norma (9) pode ser identificado com o espaco de funcoes HJ [a, b].

Agora olhamos 'I> como um funcional definido em HJ[a, b]. 'I> e continua (mesma demonstracao acima), mas a nao compacidade de BR = { v E HJ[a, bJ.llvllH1 ~ R} persiste! A razao agora [que tambern ja existia antes do cornph~t.ament.o) e que HJ[a~ b] e um espaco de dirnensao infinita. Lembramos que a bola unitaria num espaco normado e compacta se e s6 se o espaco for de dimensao finita. (Esse e o conhecido Teorema de Riesz). Por que nos demos ao trabalho de completar x se nae havia esperanca de ganhar compacidade de BR? Por que nao utilizar CJ[a, b] com a norma (10) que ja e complete? As respostas a essas perguntas virao no paragrafo seguinte, onde visando compacidade introduzimos a topologia fraca.

No nosso caso, observamos que o espaco HJ[a, b] e, de fato, um espaco de Hilbert com o produto interno definido por

(u, vin: = / u'v',

{13)

<lade. Dai se segue que a norma {12) e equivalente a

28

(V'cI>(uo),v)n1 = '(uo)v, onde cI>' ( uo) foi definida no corneco desta secao. Portanto, u0 E HJ[a, b) satisfaz a relacao

(14) f pu~v' + f quov = f fv Yv E HJ[a, b].

Portanto, podernos usar o Teorema A e concJuir que cJ> assume seu infimo em uo E BR. Se tomarmos R ta) que ( v) > (O) = 0, para llvlln1 = R, concluimos que uo esta no interior de BR. Ob- serve que o funcional cJ> em HJ[a, bj e diferenciavel a Frechet; seja V'cI>: HJ[a, b] ~ HJ[a, b] sua diferencial, onde usamos o teorema de Riesz -Frechet (cf. [2], [14]) para, identificar o espaco dos funcionais lineares continuos sabre HJ[a, b] com o proprio HJ[a, b]. Assim

pelo Lema de Riemann-Lebesgue, cf. [6; p. 56]. Mas

1 11r 1 11r 11' cJ>( Vn) = - jv~l2 = - cos2 n t dt = - r 0. 2 0 2 0 4

ii

1'1

I

Observacao, Aqui e o ponto onde se faz necessario usar semicontinuidade inferior. De fato nao e verdade que cI> seja continuo na topologia fraca. O Teorema B nao e verdadeiro se substituir- mos semicontinuidade inferior por continuidade. Para se convencer disso, tome exemplo de (v) = ~ jlv'l2 = ~ llvlli1. Para simplificar a notacao, tome a = 0 e b = '.It. Entao, vn(t) = ~sen n t converge fracamente par 0 em HJ [O, 7r}, isto e,

lim {'Ir cos n t · v'(t)dt = 0, Yv' E L2[0, 7r] n-+oo Jo

Teorema B. Seja E um espaco de Banach e cI> : E ~ JR, um funcional semicontinuo inferiormente {na norma) e convexo. Entao cI> e semicontin uo na topologia fraca de E. (Cf. Sei;ao 3).

sendo a bola BR em HJ[a, b] munido da topologia fraca. Resta apenas ver que cI> seja semicontinua inferiorrnente-na topologia fraca de HJ [a, b]. Para isso usamos o seguinte resultado:

29

II I I f puo = -p uo + quo -

Portanto pu0 e continua, o que implica u0 continua. E finalmente de (15} obtemos

(pu0)' = quo - f. (15)

Isso mostra que pu0 possue derivada fraca em L2[a, b] e

Para cumprir a fase (II) de nosso programa, usamos a expressao ( 14) reescrevendo-a como

J pu~v' = - J [quo - f}v V v E HJ[a, b].

j(u1 - u2h:/ = 0 Vcp E CJ[a, b].

lsso implica (veja Lema I na Sec;ao 4) que u1 - u2 const. Utilizando-se as condicoes de fronteira obtemos u1 = u2.

fornece

o que implica u~ = u~. Essa igualdade usada nas expressoes

Tomando v = u1 - u2 e lembrando as hip6teses (3), segue-se que

J p(u~ - u~)2 = 0

Antes de passarmos a parte (II) vamos provar a unicidade da solucao fraca de (1). Suponha que existam duas tais solucoes ui,u2 E HJ[a, b]. De (14) obtemos

f p(u~ - u~)v' + / q(u1 - u2)v = 0, Vv E HJ[a, b].

Um tal uo e 0 que, de fato, se conhece como solufaO fraca do problema (1). E, essencialmente, a mesma definicao dada no inicio desta secao, a menos do fato que a derivada, agora, e tomada no sentido fraco, ao passo que la era no sentido classico. Assim, provamos que o problema (I) possue solucao fraca, e esta cumprida a fase (I) de nosso programa. .

I·· ... j

;

fli 'l' k.11 "< 30

Vale tambem a identidade de Parseval , [6; p. 84]

2 It. nstt. s; = £ f o v(t)sen Tdt.

onde OS coeficientes de Fourier, bn, sao definidos por

Portanto, a constante c na desigualdade (7) pode ser tomada coma 2/f.2, onde £ e o comprimento do intervalo [a, b]. A melhor constante c pode ser obtida atraves de um outro procedimento de demonstracao, usando-se series de Fourier. Para facilitar a notacao facarnos a = 0 e b = £. A funcao v e igual a sua serie de Fourier de senos, cf. [6; p. 21]:

f\2 s rlv'l2 [b(t-a)dt= (b-a)2 fblv'/2. fa la la 2 la Dai

v(t)2 ~lb Jv'J2. (t - a). ou ainda:

v(t)2 :'.Sit Jv'(s}l2ds · (t - a),

v(t) =it v1(s)ds.

Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz obtemos

2. A Desigualdade da Wirtinger. Nesta sec;ao provamos a desigualdade (7) da secao anterior. Vamos a urna primeira demonstracao, Seja v E CJ [a, b]. Pelo Teorerna Fundamental do Calculo:

o que mostra que ug e tambern continua.

2 fl 00

l Jn Jvl2 = Lb~. O n=I

(16)

31

(19)

Observacao. Existe uma versao multidimensional da desigualdade de Wirtinger, que e conhecida como a desigualdade de Poin- care. Seja u : 0 ----;. R uma funcao de classe C1 em um aberto limitado de RN e suponha que u tern suporte compacto em n. Entao, existe uma constante c > 0, independente da particular funcao u, com as propriedades enunciadas acimas [a constante de- pende apenas de n] tal que

fo 1vu12?: cl u2.

(18) fe lv'l2 ?: 11"2 f e lvl2. lo f.2 lo

Assirn, a constante c na desigualdade de Wirtinger pode ser tomada como 1f2 / £2. Para ver que se trata da melhor constante tome v(t) =sin '1r} para a qual se obtem igualdade em (18).

e dai, usando (16) obtemos

2 mr li. . nsit. mr a = - - v(t) sm - dt = - b . n f. e 0 £ £ n

Podemos estimar o lado direi to de ( 17) e obter

2 e 2 oo - [ 1v'J2 > ~ ""'n2b2 e -£2L.,, n 0 n:=l

Para n ~ 1 temos, integrando por partes

(17)

211. , mrt an = £ 0

v ( t} cos f dt

e, tambem, temos a identidade de Parseval

2 ll a2 oo - lv'l2 = __Q +La!. f. O 2 n=l

onde

'\ ao ~· nnt.

v1(t} = 2 + L.,, an COST n=l

Por outro lade, v'(t) e igual a sua serie de cossenos

32

-oo < I= Infx.

Logo (x) > -no para todo x EX. Seja Io infimo de .

X = LJ -1(-n, oo). n=I

n,.

ou seja X esta recoberto por uma colecao de abertos q,-1(-n, oo). Pela compacidade de X segue-se que existe no ta] que

X = U -1(-n, oo) n=l

3. Mlnimizaqao de Funcionais. Relembremos duas definicoes. Um funcional real : X--+ JR. definido num espaco topol6gico X e semicontinuo inf 'eriormenie se a imagem in versa qi-I (a, oo) de qualquer serni-reta aberta (a, oo) e um aberto de X. Um espac;o topol6gico x e compacto se qualquer cobertura de x por abert.os possui uma subcobertura finita. Agora demonstramos o Teorema A enunciado na Secao 1.

Primeiramente provamos que e limitado inferiormente. De fato

Esses resultados podem ser vistos em livros sabre Equacoes Di- ferenciais Parciais; em particular, veja [9], ou [7] onde se trata operadores elipticos de 2~ ordem mais gerais que o Laplaciano.

-6<p1 = >.1<,o1 em 0 'Pl = 0 em ao.

>.1 < >.2 :'.S ).3 :'.S • .

A constante c da desigualdade (19) e precisamente >.1, ea igualdade em (19) e obtida quando u e igual a <pi, uma auto-funcao correspondente ao prirneiro autovalor, isto e

onde ao e a fronteira de 0, possui urna sequencia de autovalores (todos positivos)

-6u = >.u em 0, u = 0 em ao

Pode-se provar que c e o primeiro autovalor do Laplaciano, sujeito as condicoes de Dirichlet. Mais especificamente, o'· problerna de autovalor

00

33

Teorema B. Seja .P : X -+ IR um funcional semicontinuo inferiormente na topologia da norma de espaco de Banach X. Se c.t> for convexo, entiio ele e [racamente semicontinuo inferiormente.

Nas aplicacoes do Teorema A no Calculo <las Variacoes, .Pesta definida num espaco de funcoes ou num subconjunto do mesmo. Portanto, vamos agora considerar funcionais reais .P : E -+ IR definidos em espacos de Banach Ede dimensao infinita. Na mai- oria dos casos, o funcional c.t> e continuo na topologia da norma. Alem disso, e conveniente considera-Io restrito a bolas de espaco de Bariach E, e tais conjuntos nunca sao compactos na topologia da norrna, como ja observamos na Secao 1. Dai, a introducao de outras topologias no espar,;o de Banach E. A mais conveniente e a chamada topologia fraca, cf. [2] ou (14]. Os espacos de Banach reflexivos constituem uma importante classe de espacos de Banach que sao caracterizados pela propriedade de bolas fechadas serem conjuntos fracamente compactos. Espacos de Hilbert) espacos nor- mados de dirnensao finita, espacos LP com 1 < p < oo, espacos de Sobolev modelados sobre tais LP sao exemplos de espacos reflexivos. Consequentemente consideramos em E a topologia fraca. Em contrapartida, porern o tipo de continuidade requerida em c.t> para a aplicacao do Teorema A devera ser na topologia fraca. 0 seguinte resultado sera de grande valia nas aplicacoes:

Dai c.t>(x) > I+ ,;1, para todo x EX, o que contradiz o fato de I ser o infimo de c.t>.

nr l X = LJ c.t>-1(1 + -, oo).

n=l n

ou seja X esta recoberto por uma colecao de abertos. Novamente a compacidade de X nos fornece um n1 tal que

Provemos a seguir que I e assumido. Suponha por contradicao que isso nao seja o caso, Logo

34

x = u .p-lu + .!_, oo) n=l n

cuja norma correspondents e

o que por sua vez se segue do fato de C~ [a, b] ser denso em L2 [a, b]. E claro que, se u for continuamente diferenciavel no sentido classico, isto e, de classe 01' en tao ela possue derivada fraca, que e precisamente sua derivada classica.

Munimos o espaco H1[a, b] com o produto interno

j vip = 0, V ip E C';° [a, b] :::?- v = 0 q.t.p.

entao v1 = v2, q.t.p., [quase em toda parte = a menos de um conj unto de medida nula]. Issa decorre do fato que

I Viip = - I ucp' \;/'PE cJ[a, b]

Para justificar a introducao da notacao u', observemos que se Vi, v2 E L2[a, b] sao tais que

4. 0 Espaco de Sobolev H1[a, b]. Vimos na Secao I a necessidade de se trabalhar com funcoes do L2 derivaveis num sentido fraco. Nesta secao, demonstraremos os resultados la utilizados. E conveniente introduzir inicialmente um espaco maior que HJ[a, b], isto e: nao nos preocupemos com as condic;oes de fronteira por en- quanto,

para todo a E JR e convexo. E uma consequencia do Teorema de Hahn-Banach que um conjunto convexo num espaco de Banach e fechado see so ele e fracamente fechado. 0

.p-1(-oo, a]= {x EX: .P(x)::; a}

Demonatracfio, 0 conjunto

(21)

35

lw(t2}- w(ti)I S (i:2!u'l2)112\tz - t11112

par a t 1 , t2 E [a, b]. Alem disso, a teoria de Lebesgue nos diz que w e diferenciavel q.t.p, e w' = u' q.t.p. Por outro lado W<p e tambem diferenciavel q.t.p., e

A funcao we continua, e, de fato, absolutamente continua (cf. [IO] ou [13]), o que pode ser visto a partir da estimativa

w(t) =it u'(s)ds Vt E [a, b]. (22)

Demonsrracao. Definamos

Proposlcao 2. Dada u E HI[a, b], existe uma fun~ao u E C0[a, b] tal que u = u, q.t.p. Neste sentido, escrevemos H1[a, b] c c0[a, b].

Para concluir mostremos que u E HI e u' = v. Que isso e verdade se segue do fato que

I Un<p1 = - I U~<p v <p E c:i[a, b]

implica, por passagem ao limite:

J u<p1 = - ! vip V <p E c:i[a, bj,

o que conclue a demonstracao, D

Demonstracao. Ja aceitamos (o Ieitor devera estar convencido) que (20) define um produto interno. Resta, pois, provar que o espac;o e completo na norma (21). Seja ( un) c HI [a, b] uma sequencia de Cauchy. Segue-se da expressao (21) que (un) c L2

e ( u~) c L2 sao tambem sequencias de Cauchy em L2. Logo, pelo fato de L2 ser completo, existem u, v E L2[a, b] tais que

Un ----+ u, u~ ----+ v em L2•

Proposicao 1. HI[a, b] e um espa~o de Hilbert

A seguir, vejamos algumas propriedades de HI.

(w<p)1 = w'<p + w<p1.

36

ju[v-'lj) jvJ= jv[u-ju?/J]=O

<p(t) = lt h E C~[a, b].

Usando essa funcao em (24) obtemos

e observe que

h=v-1/J i: Demonst'racao do Lema. Fixe 'ljJ E C! (a, b] com f ijJ = 1. Para todo v E C~ [a, b] considere a funcao

entiio u = constante.

(24)

Lema 1. Se u E L2 [a, b] for tal que

I u<p' = 0 v <p E c; [a, b]

Para concluir a dernonstracao basta provar o seguinte lema.

j(w - u)<p1 = 0 V <p E C~[a, b]. (23}

e coma u' = w1 q.t.p., obtemos

Por outro lado, pela definicao de derivada fraca

J w'<p = - J w<p1•

de onde se segue (pois <p(a) = <p(b) = 0) que

Pelo Teorema Fundamental do Calculo para a integral Lebesgue, cf. [10; p. 285] ',

(w<p)(b) - w<p(a) = j(w<p)' = J w1<p + J w<p'

37

(28) lu(to)I ~ lu(t)I + (b- a)1!2(J lu'l2) 112,

Vt E [a, b].

Consequentemente, pela desigualdade do triangulo obtemos:

e dai

e estimar, usando Cauchy-Schwarz:

lu(to) - u(OI = ! l: u'(s)dsl v t E [a, b]

onde llulloo = max{lu(t)I : t E [a, bl}. Provemos (26) retirando informacoes da demonstracao da Proposicao 2. Dada u E H1[a, b] podemos supor queue absolutamente continua em [a, b]. Fixando t0 E [a, b], podemos utilizar o Teorema Fundamental do Calculo para integrais de Lebesgue e escrever

llulloo ~ c l!u!I Vu E H1[a, b] (26)

Observacao. Na realidade, podemos reforcar a conclusao da Proposicao 2, afirmando que a inclusao H 1 [a, b] c c0 la, b] e uma injefao continua considerando-se em H1 a norma (21) e em c0[a, b] a norma do maximo:

onde c e urna Constante. Assim fazendo u = w - c, que e uma funcao continua (pois w e continua), obtemos u = u q.t.p. o

Conclusao da Prova da Proposicao 2. De (23) usando o lema concluimos que (25)

u = J U1p => u = const. 0

., -, para todo v E C~[a, b]. Logo

38

Daise segue que HJ[a, b] e um subespaco fechado e consequentemente um espaco de Hilbert com a norma (21).

A proposicao seguinte e um resultado cuja demonstracao utiliza os nucleos de Dirac [conhecidos tambern coma regularizadores

onde utilizamos a desigualdade (26). De modo semelhante, temos ft;. HJ[a, b] e definido coma £;1(0) (1 fb"1(0), OU seja

HJ[a, b] = {u E H1[a, b]: u(a) = u(b) = O}.

lla(u)I = lu(a)I S llulloo Sc !lull

0 qua] e continua pois ternos a lirnitacao

la(u) = u(a),

para quaisquer t, to E [a, b] e onde k = max{llull : u E A}. Logo, pelo Teorema de Arzella-Ascoli o conjunto A, olhado como subconjunto de C0[a, b], e relativamente compacto. Dizernos, entao, que a inje~ao H1[a, b] <---+ c0/a, b] e compacta.

Agora introduzimos o espa<;o HJ[a, b] coma um subespaco de H1 [a, b] do seguinte modo. Seja la : H1 [a, b] ---+ JR. o funcional linear definido por

!u(to) - u(t)I :S llulj, It - tol1/2 :S kl t - tol1/2

onde a constante c pode ser tomada como 0 maxima dos dais valores (b - a)-1/2 e (b - a)112. Como t0 e arbitrario em (29), essa desigualdade implica (26). Uma outra demonstracao de (26) pode ser vista em [2; p. 129]. A desigualdade (27) nos da mais inforrnacao ainda sabre a injecao H1 [a, b] <---+ c0 [a, bj. De iato, se A e subconjunto Iimitado de H1[a, b], entjio (27) nos diz que as funcoes u E A sao equicontinuas:

lu(to)I S c !lull e dai (29)

(/ )1/2 ( )1/2 (b - a)lu(to)I S (b - a)1/2 u2 + (b - a)3/2 / 1u'l2

mars uma vez , segue-se que lntegrando (28), e usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz

39

0 funcional associado ao problema (30) e

(32) j pu~v1 + j qu0v = j /(t, uo)v, V v E HJ[a, b].

A exemplo do que fizemos na Secao 1, vamos determinar inicialmente urna solucao fraca do problema (30), isto e, u0 E HJ [a, b] tal que

l/(t, s)I :S k, Vt E [a, b], Vs E JR,. (31)

onde L e o operador definido na Secao 1 e f : [a, b] x JR ~ JR, e urna funcao continua e limitada, isto e, existe uma Constante k > 0, ta! que

(30) Lu= f(t, u) em [a, b], u(a) = u(b) = 0,

5. Um Problema de Contorno Nao Linear. Considere o seguinte problerna:

Segundo Exemplo

(u, v)Hi = j u1v1•

cujo produto interno correspondente e

A Proposicao 3 perrnite estender a desigualdade de Wirtinger para todas as funcoes de HJ [a, b]. E dai se segue que, em HJ [a, b], a norma (21) e equivalente a norma

Proposlcao 3. Dado u E H1 [a, b], eziste uma sequencia de funfao lf)n E C!(JR), tais que lf)nl[a,b] ~ u na norma {21}. Se u E HJ[a, b], entiio as 'Pn podem ser tomadas em C![a, b].

ou mollifiers], cf. [2; p. 127].

40

41

Para a aplicacao do Teorema A, resta provar que e semicontinua inferiormente na topologia fraca de HJ[a, b). Mas, isso

Inf = lnf{(u): llullnr < R}.

o que mostra que <.I> e limitada inferiormente. E, alem disso, para R > 0 suficientemente grande

1 J ( b _ a) 1/2 (J ) 1/2 (u) ~ 2 lu'l2 - k1 -c- lu'l2 - k2,

e dai, usando a desigualdade de Wirtinger:

para todo v E HJ [a, b). Consequentemente, os pontos criticos de em HJ la, b) sao precisamente as solucoes fracas de (30), ou seja, as solucoes de (32).

Inicialmente, vejamos que o funcional e limitado inferiormente. Exatamente coma no caso linear, usamos (3), (34) e a desigualdade de Cauchy-Schwarz para estimar

('(u),v)H1 = lr": /quv- / f(t,u)v

Observe que esta bem definido em HJ[a, b]: a parte quadratica e a mesma do funcional da Sec;ao 1, e o terceiro termo e uma funcao integravel em vista de (34) /o que tambern pode ser visto lembrando que u E HJ [a, b] e necessariamente continua, e portanto F(t,u(t)) e continua em [a, b] ].

Para demonstrar a continuidade de em HJ[a, b], come ja provarnos a continuidade da parte quadratica, resta provar a continuidade do terceiro termo. Esta, porern, se segue, coma na observacao entre colchetes acirna, da continuidade da injecao HJ/a, b] <-+ c0[a, b). Alem disso, e de classe C1 com derivada

(34) IF(t, u)I ~ ki/ul + k2, Vu E Ill, Vt E [a, b].

onde F(t, u) = J0u f(t, s)ds. Segue-se de (31) que existem cons- tantes positivas k1 e k2 tais que

u(a) = u(b) = 0. - u11 = u2 (37)

6. Um Problema Superlinear. Considere o problema de contorno

Terceiro Exemplo

para as quais nao e trivial a existencia de uma solucao se anulando nas extremidades do intervalo [a, b]!

11 -u2 -u = e -u11 = f(t) cos u

completando a demonstracao da que e semicontinuia inferiormente na topologia fraca de HJ[a, b]. [A passagem de (35) para (36) utiliza o seguinte resultado: uma seguencia de reais converge para um real a: se e s6 se toda subsequencia da sequencia original possui uma subsequencia que converge para a:].

Podemos, pois, aplicar o Teorema A e concluir a existencia de uo E HJ [a, b] que minimiza <l>. Como no caso linear, R pode ser tornado, de partida, suficientemente grande de modo que o minima uo obtido seja tal que lluollH1 < R. E dai concluimos que uo e um ponto critico de . De modo analogo ao caso linear, mostramos que u0 e de classe C2. Exemplos de equacoes do tipo (30):

f F(t, Un) --t [r« u) (36)

Dai, concluimos que

(35)

se segue facilmente de que ja sabemos que a parte quadratica e semicontinua inferiormente na topologia fraca e do seguinte argumento para o terceiro termo do funcional. Se Un converge fracamente em HJ[a, b] para u entao, da compacidade da injecao HJ[a, b] ~ c0[a, b] se segue que existe uma subsequencia (un) de (un) que converge em C0[a, b} para u. Logo, F(t, un,-(t)) converge em c0[a, b] para F(t, u(t)). Logo

/ F(t, un) --t / F(t, u).

42

n2 i1r 1 n21f 1f 4>(u ) > ~ cos2 nt - - 7r = - - - ~ +oo. n_2 o 3 4 3 (40)

Assim os pontos criticos de 4> sao as solucoes fracas de (37). Agora observe que q, nao e limitado nem superior nern inferiormente em HJ[a, b]. De fato, para simplificar notacao facarnos a = 0·, b = 7r e tome Un = sen nt

(39) (4>'(u),v)n1=j1.lv' - j u2v, Vu, v E HJ[a, b].

E facil ver que q, e de classe 01 e

(38) 4>(v) = ~ j lv'l2 - ~ j v3, v E HJ[a, b].

Seguindo o esquema dos dois exemplos anteriores, vamos inicialmente procurar uma solucao fraca de (37). Para tal, conside- remos o funcional 4> em HJ [a, b] definido por:

o que mostra que a derivada de u e decrescente. Se o lei tor preferir ele pode olhar a equacao em (37) e ver que u e uma funcao concava, e dai o resultado. Alem disso, se u(to) = 0 para algum to E (a, b) entao u = 0, em virtude do teorema de existencia e unicidade para equacoes diferenciais ordinarias, Consequentemente, as eventuais solucoes de (37) sao tais que

u'(t) = u'(a) - it u2(s)ds, Vt E [a, b],

Obviamente tt = 0 e solucao de (37). Estamos interessados em obter uma solucao u =/:. 0. -\

lnicialmente vernos diretamente da equacao que se u for uma eventual solucao entao u 2:: 0. Isso decorre do Principia do Maximo, cf. [9], [11], que tambem vale para equacoes diferenciais parciais de 2~ ordem' do tipo eliptico. No caso presente, podemos concluir que u ~ 0 usando argumentos elementares. De fato, integrando a equacao obtemos

u(t)>O VtE(a,b).

43

(43)

onde r = 3/(2c); o que mostra que 0 e, em verdade, um minima local. A desigualdade (41) nos induz a pensar que deva haver um outro ponto critico. Para tal utilizamos o Teorema C, o conhecido Teorema de Passo Montanha, que enunciamos e comentamos na secao seguinte. Olhando as hip6teses do Teorema C, vemos que nos, resta verificar que o funcional {38) satisfaz a condicao de Palais- Smale. Seja pois (un) C HJ[a, b] tal que

<P(v) > 0 para 0 < llvlln1 < r Logo

1 2 c 3 1 cI>(v) ~ 2 llvlln1 - 3 llvlln1, para v E H0•

d 3 . , on e c = c3, isto e,

<P(v) ~ ~ J !v'l2 - ~ (/ ]v'l2)

312

Se o lei tor preferir ( 42) se segue de (26) e da desigualdade de Wirtinger. Portanto, podemos estimar

V v E HJ[a, b). (42)

Segue-se de (41) que nao ha esperancas de se obter um ponto crftico u #- 0 usando o Teorema A. A salvacao sera tentar obter algum ponto crftico do tipo sela. Para tal devemos entender melhor o jeitao do funcional. Por exemplo que tipo de ponto critico e o O? Varnos ver que se trata de um minimo local. De fato, o mesmo argumento (Teorema Fundamental do Calculo] usado para demonstrar a desigualdade de Wirtinger, prova, para I < p < oo, que existe uma constante Cp tal que

2 I 3 I n '2 n 3 <P(un) = 2 lu I - 3 u ~ -oo. ( 41)

Por outro lado tome Un= nu, onde 0 < u E HJ[a, b] "\

44

7. 0 Teorema do Passo da Montanha. Seja E um espaco de Hilbert e : E ---+ R um funcional de classe C1. Dizemos que 

au seja, Un converge para u na norma de HJ[a, b]. Issa prova a condicao de Palais-Smale, e o Teorema C nos fornece um ponto critico nao trivial uo E HJ [a, b]. Como nos dois exemplos anteriores Se segue que Uo e de classe C2.

Par outro lado, da convergencia fraca de Un para u em HJ[a, b] obtemos

(47) lim f u'(u~ - u1) = 0.

Finalmente, de ( 46) e ( 47) obtemos

lirn jiu~ - u'j2 = 0

lim J u~(u~ - u') = 0. (46)

A segunda integral em {45) converge a 0 e o lado direito de (45) tambern converge a zero pois llun - uJln1 :-::;·canst. Logo

(45) If u~(u~ - u') - f u~(un - u)I :'S en)lun - ulln1.

o que mostra que llunllH1 :'S canst. Tome uma subsequencia [re- presentada ainda por un) tal que Un converge fracamente para u em HJ[a, b) (isso e possivel em vista da reflexividade do espaco de Hilbert) e ta] que u,. ---+ ti em c0[a, b] (isso Yem da injet;ao compacta de HJ[a, b] em C0[a, b]. Tome em (44) v =Un - u para obter

e

(44) I (41>'( un), v) H 11 = I Ju~ v' - J u~vl ~ enl l~[·IH 1 onde En---+ 0 quando n---+ oo, e (44) vale para toda v E HJ[a, b]. Tome v =Un em (44) e de (43) e (44) obtemos

45

;j ·.;

Nota sobre Bibliogra:fia. Alem do artigo acima citado, men- cionamos as notas de Rabinowitz [12] e Costa [3], onde outros teoremas variacionais sao estudados e aplicados as equacoes diferenciais. A demonstracao do Teorema C usa o Lema de De- forrnacao de Clark. Recentemente, Brezis e Ekeland produziram uma outra demonstracao usando o Principia Variacional de Eke- land. Este principio e suas variacoes vern se constituindo uma poderosa arma no estudo de problemas em Analise, cf. [4]. Para outras aplicacoes, inclusive o tratamento dos teoremas variacionais de Ambrosetti-Rabinowitz e Rabinowitz via Ekeland, veja [8]. 0 material basico usado aqui esta todo contido no excelente Iivro [2].

<P(uo)=c. e '( uo) = 0

c = inf max <l>{J(t)). "1Ef tE[0,1]

Entao, c 2: d e c e um valor critico de <P, isto e existe uo E E tal que

e defina

r ={IE C0{[0, I]; E): 1(0) = 0 e 1(1) = e} Seja

Inf { <l>( u) : //uJ /E = r} > Max { <l>{O), ( e)} = d.

Teorema C. Seja <l> : E -t JR um /uncional de classe C1, satisfa- zendo a condifao de Palais-Smale, definido num espaco de Hilbert E. Suponha que existem r > 0 e E E, com /)el/E > r tais que

com en -> 0, onde ( , ) E design a o produto interno em E. 0 Teorema do Passo da Montanha, devido a Ambrosetti e Rabino- witz [1] diz:

(49)

possue uma subsequencia convergente na norma de E. A segunda condicao em (48) diz que a sequencia (Y'<P(un)) C E converge para 0 na norma de E. Issa e equivalente a dizer

satisfaz a condifao de Palais-Smale se toda sequencia ( un) c E tal que ' { 48) /<P( un) / :S const e V'<P( Un) -t 0

46

[14] K. YOSIDA, Functional Analysis, Springer-Verlag, New York (1974).

[io] E. HEWITT and K. STROMBERG, Real and Abstract Analysis, Springer-Verlag (1965).

[11] M. H. PROTTER and H.F. WEINBERGER, Maximum Principles in Differential Equations. Springer-Verlag New York (1984).

[12J P. H. RABINOWITZ, Some aspects of critical point theory. MRC Technical Report # 2465 (1983).

[13] H. L. ROYDEN, Real Analysis. MacMillan Publishing Co., Inc. (1968).

jl] A. AMBROSETTI and P. H. RABINOWITZ, Dual variational methods in critical point theory and applications. J. Funct. Anal. 14 {1973), 349-381.

[2] H. BREZIS, Analyse Fonctionnelle. Masson, Paris (1983).

[3] D. G. COSTA, Topicos em Analise Nao-Linear e Aplicacoes as Equacoes Diferenciais. VIII Escola Latino-Americana de Ma- tematica, Rio (1986).

[4] I. EKELAND, Non convex minimization problems. Bull. A.M.S vol. 1 (1979), 443-474.

[5] D. G. DE FIGUEIREDO, 0 princfpio de Dirichlet. Mat. Univ. NQ 1 {1985}, 63-84.

j6] D. G. DE FIGUEIREDO, Analise de Fourier e Equacoes Diferen- ciais Parciais. Projeto Euclides, 2~ edicjio (1988).

[7]. D. G. DE FIGUEIREDO, Positive Solutions of Sernilinear Elliptic Problems. Differential Equations, Lecture Notes in Mathematics, vol. 957, Springer-Verlag, Berlin (1982), 34-87.

[8) D. G. DE FIGUEIREDO, Lectures on the Ekeland Variational Principle with Applications and Detours. Campinas (1987).

[9] D .. GILBARG and N. S. TRUDINGER, Elliptic Partial Differeu- rial Equations of Second Order. Springer-Verlag, Berlin,Heidelberg {1983).

Referencias

47 REFERENCIAS

Djairo Revista Univ n07

Documents

Transcript of Djairo Revista Univ n07