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AVM FACULDADE INTEGRADA

LICENCIATURA EM PEDAGOGIA

PROBLEMA MATEMÁTICO NAS SÉRIES INICIAIS NÃO É

SOMENTE SOLUÇÃO, É ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO

Por: Lúcia Regina Caillaux de Souza Duarte de Oliveira

Orientador

Profª. MS Maria da Conceição Maggioni Poppe

Rio de Janeiro

2012

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AVM FACULDADE INTEGRADA

LICENCIATURA EM PEDAGOGIA

PROBLEMA MATEMÁTICO NAS SÉRIES INICIAIS NÃO É

SOMENTE SOLUÇÃO, É ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO

Apresentação de monografia a AVM Faculdade

Integrada como requisito parcial para obtenção do

grau em Licenciatura em Pedagogia.

Por: Lucia Regina Caillaux de Souza Duarte de

Oliveira

3

AGRADECIMENTOS

....aos meus alunos que nesses 31

anos de magistério me permitiram e me

permitem ensiná-los, buscando sempre

estratégias para tornar a cada aula um

momento diferente e prazeroso.

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DEDICATÓRIA

...dedico a todos os professores que em

seu dia a dia lutam por um ensino de

qualidade, ainda que não reconhecidos

pelo seu trabalho e que acreditam que

uma sociedade justa se consolida na

educação.

... dedico ao meu pai, Waldemiro de

Souza e ao meu marido, Marcelo Duarte,

meus grandes incentivadores.

5

RESUMO

Um dos principais objetivos do ensino da Matemática é ajudar o aluno a pensar produtivamente, desenvolvendo seu raciocínio lógico para solucionar questões que surjam no seu dia a dia. Para que o aluno se interesse pela resolução de um problema, ele precisa sentir-se desafiado, envolvido na situação apresentada. A metodologia da resolução de situações-problema é o fio condutor do ensino da Matemática, permitindo o desenvolvimento da capacidade de enfrentar situações novas e tomar decisões, tanto quanto possível, precisas. Para resolver problemas, é necessário desenvolver estratégias que se apliquem a variadas situações. Com esse objetivo, os problemas propostos precisam ter algumas características que aproximem de situações reais, tornando-os mais envolventes para os alunos. Assim, devem ser incluídos problemas com múltiplas soluções, outros com dados não significativos e até mesmo problemas não convencionais, em que a solução depende menos de cálculos de que raciocínio lógico ou capacidade de análise e observação. As soluções – problemas permitem serem resolvidas através de cálculo mental, registro com desenhos ou outro modo à escolha do aluno. A diversidade de soluções de uma mesma situação-problema promove a liberdade a que o aluno tem direito para escolher um entre tantos caminhos para encontrar a solução da situação proposta. Para vários matemáticos, ensinar a Matemática é oferecer aos alunos um vasto acervo de situações matemáticas diversificadas nos aspectos contextuais, conceituais ou procedimentais, nas quais as tarefas solicitadas vão além dos esquemas clássicos de decorar e aplicar regras. O foco de todo o trabalho é levar o aluno a raciocinar com autenticidade.

.

6

METODOLOGIA

As considerações feitas ao longo deste trabalho têm a intenção de

destacar a importância da resolução de problemas como estratégia didática

para um ensino que desencadeia no aluno um comportamento de pesquisa,

estimula a curiosidade e prepara o aluno para lidar com situações novas sendo

motivado a pensar, conhecer, ousar e solucionar problemas.

Diante da importância de se trabalhar no processo de ensino e

aprendizagem a resolução de problemas e sendo o professor a “peça”

fundamental deste processo, a monografia recebeu seu tema.

Na elaboração da proposta de trabalho muitos questionamentos foram

feitos. Inicialmente utilizando as próprias experiências e frustrações a respeito

do assunto levantado, observando os resultados dos alunos na prática dos

trabalhos que envolvem problemas. No segundo momento, buscando

informações com diferentes profissionais objetivando entender o processo de

resolução de problemas. O que lamentavelmente apresentou um grupo

resistente aos problemas que levam ao raciocínio, acomodados na prática de

estratégias e respostas iguais.

Norteando o projeto surgiu a primeira leitura, Revista Nova Escola,

março de 2002, página 22. onde Kátia Smole e Maria Ignez escreveram : “ Tem

professor que, na correção dos problemas, só olha as respostas”.É óbvio que a

estratégia adotada pelo estudante para resolver o problema tem o mesmo peso

(ou até mais) do que o resultado obtido. No mesmo artigo, listaram dez crenças

que precisam ser evitadas como: problemas têm sempre solução, são sempre

expressos em forma de texto, todos os dados estão no enunciado, a resposta é

sempre única, a resolução deve ser rápida e uma questão não pode gerar

dúvida. Mas o que mais me chamou a atenção foi a frase final “ Esqueça, ou

melhor , inverta essas falsidades... Valorize o raciocínio, não a resposta

correta”.

O “pontapé” de uma longa pesquisa na busca de estratégias e respostas

que certificassem a ideia do ensino da Matemática através dos problemas

estava dado..

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Do ponto de vista metodológico e conceitual, foram incorporadas

contribuições em consonância com idéias de pensadores como Ausubel,

Bruner, Coll, Brousseau, Lerner, Perrenoud, Vygotsky, Piaget, entre outros;

resultantes de pesquisas realizadas no âmbito da história da matemática, bem

como os objetivos pontuados pelos Parâmetros Curriculares Nacionais.

A partir de textos que abordam a história da Matemática, foi possível

identificar e comparar informações acerca de conceitos e procedimentos

utilizados no passado e no presente, reconhecendo semelhanças e diferenças

entre os vários momentos na evolução da metodologia na resolução dos

problemas. Dessa forma, as obras lidas, ampliaram o conhecimento,

esclareceram algumas dúvidas, fizeram compreender a importância do ensino

da Matemática através de novos rumos e serviram como instrumento de

resgate da identidade matemática.

Ao entender a resolução de problemas como perspectiva metodológica,

foi importante apresentar diferentes formas de buscar a solução de um

problema e os diferentes tipos de problemas. As situações-problema anexadas

ao projeto fazem parte de uma grande coletânea realizada em diversos livros

didáticos adotados em diferentes escolas da rede particular de ensino no

município do Rio de Janeiro. Ressaltando que cada um expressa concepções

referentes ao processo de ensino e de aprendizagem, partilhadas pelos

diferentes autores.

Para formalizar os assuntos abordados na atualidade, receberam

destaque as obras de alguns autores que estão ditando as regras do ensino da

Matemática nas melhores escolas do Rio de Janeiro. São considerados

“papas” da Matemática, como Roberto Dante, Ênio Silveira e Kátia Smole

O assunto abordado nesta monografia é inesgotável, assim como os

estudos realizados durante o processo de construção da mesma. A cada

momento uma ideia nova chega aos nossos ouvidos. Em cada obra didática

novos caminhos e estratégias são expressos, aguçando aos “loucos por

Matemática” a busca de um caminho sempre prazeroso e significativo no

processo da aprendizagem da Matemática.

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SUMÁRIO

CAPÍTULO I

I – PROBLEMAS MATEMÁTICOS

1.1 – Conceituando problema matemático

1.2 – A importância de um problema matemático

1.3 – As primeiras ideias sobre resolução de problemas

1.4 – A perspectiva metodológica da resolução de problemas

1.4.1 – A perspectiva metodológica e a comunicação

CAPÍTULO II

II – PROBLEMAS, EXERCÍCIOS E SITUAÇÕES-PROBLEMA NO ENSINO DA

MATEMÁTICA ATRAVÉS DOS LIVROS DIDÁTICOS

2.1 – A diferença entre exercício e problema

2.2 – Problemas e situações-problemas

2.3 – Problemas para o ensino da matemática e para o desenvolvimento da

matemática

2.4 – Características do rpoblemas

2.5 – Diferentes tipos de problemas

2.5.1 – Problemas sem solução

2.5.2 – Problemas com múltiplas soluções

2.5.3 – Problemas com excesso de dados

2.5.4 – Problemas de lógica

2.5.5 – Problemas de base algorítmica

2.5.6 – Problemas de investigação

2.5.7 – Problemas de estratégia

CAPÍTULO III

III – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

3.1 – Estratégias de resolução

3.2 – Estratégias didáticas para o ensino de matemática através da resolução

de problemas

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3.3 – Etapas de resolução de problemas

3.3.1 – Segundo George Polya

3.3.2 – Segundo Kátia Smole

3.3.3 – Segundo Roberto Dante

3.3.4 – Segundo Oscar Guelli

CONCLUSÃO

BIBLIOGRAFIA

ÍNDICE

FOLHA DE AVALIAÇÃO

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CAPÍTULO 1

PROBLEMAS MATEMÁTICOS

A matemática faz parte da vida de todas as pessoas desde muito cedo.

Ao organizar brincadeiras, jogar com os amigos, planejar atividades diárias –

como determinar o tempo de lazer e o de estudo, calcular a quantia necessária

para pequenas despesas, pensar em determinado trajeto, a criança realiza

medições, comparações, operações, observação de formas. Localização no

espaço, entre outras. Todas essas noções intuitivas chegam à sala de aula por

meio de relatos das experiências vivenciadas pelas crianças. Cabe ao

professor organizar, sistematizar e ampliar os conceitos e procedimentos

informais que a criança traz, ressignificando - os a partir do saber matemático

em suas diferentes concepções: Matemática como linguagem, como ciência e

como meio para resolver problema. .

A Matemática como meio para resolver problemas contribui para a

construção e o desenvolvimento de uma série de estratégias e conhecimentos

que auxiliam na resolução de situações do cotidiano ou de problemas

relacionados a outras áreas do conhecimento. Problemas neste caso, referem-

se não apenas a problemas convencionais enquanto estratégia previsível para

aplicação de conhecimentos construídos, mas a situações que desafiam a

criança a buscar soluções elaborando hipóteses, discutindo ideias e

comparando resultados.

1.1 – Conceituando problema matemático

A definição de “problema matemático” varia de acordo com o

pensamento de cada um dos autores. Alguns consideram importante que os

problemas admitam várias soluções. Outros acreditam que um problema deve

ter resposta bem definida e somente um caminho para sua resolução.

Em relação à estruturação dos problemas, há os que defendem a ideia

de que o verdadeiro problema deve ser mal-estruturado e outros que acreditam

que é função do professor estruturar os problemas para eliminar a

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complexidade. Dentre os professores também há concepções diferentes,

alguns admitem que os problemas contextualizados facilitam o

desenvolvimento do raciocínio e os que defendem que problemas devem ter

linguagem diretamente matemática.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, o ponto de

partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema. No

processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos

devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de

situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia

para resolvê-las. Dessa forma os PCN definem “Um problema matemático é

uma situação que demanda a realização de uma seqüência de ações ou

operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de

início, mas é possível construí-la.”

O problema matemático é o meio pelo qual o processo matemático se

desenvolve. Um problema tem papel relevante, pois está relacionado à

quantidade de ideias novas que traz à matemática e à capacidade de

impulsionar os diversos ramos da Matemática, sobretudo àqueles em que ele

não está diretamente relacionado.

No contexto de educação matemática, um problema, ainda que simples,

estimula a curiosidade do aluno, aprimora seu raciocínio, aguça a criatividade

fazendo com que o mesmo se interesse pela Matemática.

Segundo Newell & Simon (1972), “um problema matemático é uma

situação na qual um indivíduo deseja fazer algo, porém desconhece o caminho

das ações necessárias para concretizar a sua ação”. Em Matemática, existe

um problema quando há um resultado – conhecido ou não – a ser demonstrado

utilizando a teoria matemática. Um problema é mais valioso à medida que

quem está se propondo a encontrar uma solução ao problema - tenha de

inventar estratégias e criar idéias. Quem resolve pode até saber o objetivo a

ser atingido, mas ainda estará enfrentando um problema se ele ainda não

dispõe dos meios para atingir tal objetivo.

De acordo com Smole, Diniz e Cândido (2000), “Para uma criança, assim

como para um adulto, um problema é toda situação que ela enfrenta e não

encontra solução imediata que lhe permita ligar os dados de partida ao objetivo

a atingir. A noção de problema comporta a característica da abordagem de

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resolução de problemas que propomos é considerar como problema toda

situação que permita algum questionamento ou investigação”.

Ênio Silveira (2001), define que “um problema matemático é toda

situação que requer a descoberta de informações matemáticas desconhecidas

para a pessoa que tenta resolvê-lo e/ou a invenção de uma demonstração de

um resultado matemático dado. O fundamental é que o aluno conheça o

objetivo a chegar, mas só estará enfrentando um problema se ele ainda não

tem os meios para atingir tal objetivo”.

Se os alunos conseguem interpretar a proposta do enunciado da

questão, sabendo estruturar algumas ou todas as situações apresentadas,

desenvolvendo várias estratégias de resolução incluindo a verificação das

mesmas e do resultado, tem em mãos um problema matemático, mas se “é

uma atividade de treinamento no uso de alguma habilidade/conhecimento

matemático já conhecido pelo aluno, como a aplicação de um algoritmo

conhecido, de uma fórmula conhecida” (Silveira, 2001), os alunos têm em mãos

um exercício que exige apenas a aplicação de um procedimento sem a

necessidade de criar estratégias para resolvê-lo.

1.2 – A importância de um problema matemático

A importância da aplicação de um problema está no fato de “possibilitar

aos alunos mobilizarem conhecimentos e desenvolverem a capacidade para

gerenciar as informações que estão a seu alcance dentro e fora da sala de

aula. Assim, os alunos terão oportunidades de ampliar seus conhecimentos

acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como do mundo em

geral e desenvolver sua autoconfiança” Schoenfeld (PCN, 1998).

Segundo Roberto Dante (1991), “é possível por meio da resolução de

problemas desenvolver no aluno iniciativa, espírito explorador, criatividade,

independência e a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso

inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que ele possa propor boas

soluções às questões que surgem em seu dia-a-dia, na escola ou fora dela”.

Resolver um problema é um assunto cada vez mais presente nas

discussões sobre o processo de ensino-aprendizagem de matemática.

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Para alguns autores, a resolução de problemas pode ser descrita dentro

de três concepções que não se excluem: como meta, como processo ou como

habilidade básica.

Como meta, todo ensino se estrutura inicialmente para fornecer

informações e conceitos que o aluno precisará para resolver um determinado

problema.

Considerando a resolução de problemas como aplicação de

conhecimentos previamente adquiridos a situações novas, o ensino estrutura-

se em ensinar a resolver problemas como sinônimo de aprender Matemática.

Essa concepção se tornou mais significativa, principalmente após a publicação

dos trabalhos de George Polya ( 1897-1985 / filósofo e matemático húngaro)

fazendo com que educadores prestassem mais atenção aos procedimentos e

estratégias desenvolvidas pelos alunos para resolver problemas.

Já a resolução de problemas como habilidade básica é entendida como

uma competência mínima que o indivíduo deve adquirir para que possa inserir-

se no mundo do conhecimento e do trabalho. Nessa perspectiva, o aluno deve

aprender a resolver diferentes tipos de problemas, considerando-se tanto

aqueles que envolvam conteúdo específico ou não, quanto método de

resolução.

1.3 – As primeiras ideias sobre resolução de problemas matemáticos

Inicialmente, a atividade de resolver problemas recai na questão

filosófica de “pensar sobre o pensamento”; neste sentido, os filósofos gregos

como Sócrates e Platão trazem algumas contribuições.

Para Sócrates, o indivíduo já detém o conhecimento a ser usado para

resolver o problema e, portanto, a atividade de resolver problemas não passa

de mera ‘recordação’; para exemplificar seu método, certa vez Sócrates fez um

escravo demonstrar o Teorema de Pitágoras ‘apenas’ lhe fazendo algumas

perguntas.

Podemos notar, portanto, que o fato de Sócrates fazer perguntas já era

um encaminhamento na solução do problema, o que ao nosso ver já tira em

grande parte o mérito do escravo na resolução pois ele contou com a ajuda das

perguntas elaboradas por Sócrates.

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As primeiras ideias um pouco mais positivas e razoáveis a respeito de

resolução de problemas vem com o filósofo e matemático francês Descartes

(1596 - 1650). O importante em Descartes são suas ideias sobre ‘pensamento

produtivo’ que tinham um papel importante no seu ambicioso projeto de

construção de um método geral de resolução de problemas. Segundo seu

método, seria possível resolver qualquer problema, oservando as três fases:

reduzir todo problema algébrico a um problema contendo apenas

equação(ões);

reduzir todo problema matemático a um problema algébrico; e

reduzir qualquer problema a um problema matemático.

Descartes objetiva reduzir todo problema que existe no mundo a um

problema matemático; mais que isso, a ideia de Descartes era completar o

projeto de resolver problemas citado acima e ainda usufruir de seus benefícios.

Fica evidente que a ideia de reduzir todo problema a um problema matemático,

nem sempre é possível.

No entanto, Descartes apresenta algumas ideias de valor e relevância

relacionadas ao ensino e que podem ser aplicadas a resolução de problemas

como, por exemplo:

“É necessário método para descobrir as leis da natureza”, ressaltando

a importância da sistematização.

“As únicas coisas que devemos aceitar são aquelas que ou podemos

ver com clareza ou podemos deduzir com certeza”, relevante a

importância da argumentação.

“Se chegarmos a um ponto onde não conseguimos entender o que está

acontecendo, devemos fazer uma pausa e não prosseguir em um

trabalho inútil”. É importante mantermos controle sobre o trabalho a ser

realizado para que não seja em vão.

É importante citar Descartes, pois algumas de suas sugestões para o

ensino e a resolução de problemas antecipam ideias de George Polya.

Após Descartes, encontramos ideias originais acerca de resolução de

problemas na escola Gestaltista de psicologia com o psicólogo e cientista

político inglês Graham Wallas (1858 - 1932)

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A visão Gestaltista de Wallas fornece uma visão interessante da solução de

um problema e representa um passo importante como contraposição às ideias

de Descartes. Para Wallas inicia-se um trabalho exaustivo sobre o que se pode

fazer para resolver o problema, após ter feito todas as tentativas o problema é

deixado de lado e enviado para o subconsciente. Em um momento qualquer, a

resposta surge e a correção passa por uma verificação.

As fases de resolução proposta por Wallas, fundamentadas em noções

gerais do funcionamento da mente, não tiveram grande valia como uma

estratégia de resolução de problemas.

Uma mudança radical de posição em relação às ideias de Descartes ou de

Wallas é encontrada na escola behavorista com o psicólogo americano B. F.

Skinner (1904 – 1990). Ele propõe, de fato, a completa exclusão do conceito

de mente da teoria do conhecimento.

A teoria behaviorista popularizada por Skinner continua conduzindo a

maioria das práticas educacionais cognitivistas afirmando que a melhor

maneira de aprender é construindo o seu próprio conhecimento. Desta forma,

as salas de aula construtivistas devem proporcionar um ambiente onde os

estudantes confrontam-se com problemas cheios de significado porque estão

vinculados ao contexto de sua vida real.

Esta abordagem contrasta com as salas de aula behavioristas, onde os

estudantes estão passivamente envolvidos em receber toda a informação

necessária a partir do professor e do livro texto. Ao invés de inventar soluções

e construir o conhecimento durante estes processos, os estudantes são

ensinados a procurar a "resposta certa" segundo o método do professor.

Segundo esta ideia, os estudantes não precisam nem verificar se o método

usado na solução dos problemas tem sentido.

Na década de 1950, Malba Tahan, o consagrado autor do clássico O

Homem que Calculava, escreveu numerosos artigos e livros, entre eles o

Didática da Matemática, nos quais denunciou um afastamento do ensino da

Matemática das situações do mundo real. A prtir de 1961, até o final dos anos

1980, o ensino da matemática afastou-se ainda mais das aplicações, por

influência do movimento chamado Matemática Moderna. No entanto, a partir de

1980, muitos países reorientaram seus currículos, dando destaque às

aplicações, aos projetos e à interdisciplinaridade.

16

O respeitado matemático Henry Pollak publicou, em 1987, um estudo a

respeito de “ qual Matemática a escola deveria prover aos indivíduos para que

fossem capazes de intervir matematicamente no mundo do trabalho”, em que

listou habilidades e destrezas que o indivíduo deveria ter ao final de um curso

fundamental:

ser capaz de propor problemas com as operações adequadas;

conhecer técnicas diversas para propor e resolver problemas;

compreender as implicações matemáticas de um problema;

poder trabalhar em grupo sobre um problema;

ver a possibilidade de aplicar idéias matemáticas a problemas

comuns e complexos;

estar preparado para enfrentar problemas abertos, já que a maioria

dos problemas reais não estão bem formulados;

acreditar na utilidade e validade das matemáticas.

BENAIM (Apud Silveira.1995) salienta o paradoxo existente entre a filosofia

tradicional e a filosofia construtivista. Ao contrário da atividade tradicional de

valorizar a memorização das "respostas corretas", os professores consideram o

conhecimento "pré-existente" para mediar o processo de construção do

conhecimento. Além disso, o professor encoraja os estudantes para

desenvolverem seus próprios processos de busca de novos desafios. Como o

conhecimento é adquirido sem um roteiro definido e dificilmente existe uma

única solução para um problema, as abordagens metodológicas requeridas são

mais reflexivas.

.

“Resolver problemas é uma habilidade prática, como nadar,

esquiar ou tocar piano: você pode aprendê-la por meio de

imitação e prática. (...) se você quer aprender a nadar você tem

de ir à água e se você quer se tornar um bom ‘resolvedor de problemas’, tem que resolver problemas”.

George Polya

George Polya foi o primeiro matemático a apresentar uma heurística de

resolução de problemas específica para a matemática. Por isso, Polya

representa uma referência no assunto, uma vez que suas idéias representam

17

uma grande inovação em relação às ideias de resolução de problemas

existentes até então (Descartes, Wallas, Skinner). Muitas de suas idéias são

razoáveis até os dias atuais, servindo de alicerce para trabalhos de outros

pesquisadores contemporâneos a Polya nesta área como Schoenfeld e

Thompson.

Em seus estudos, Jean Piaget mostrou como os indivíduos avançam de

um estágio de conhecimento para outros mais amplos e complexos,

vivenciando situações de conflito cognitivo ou obstáculos ( situações-problema)

na interação com os objetos de aprendizagem. Esses obstáculos levam o

sujeito a reorganizar seus conhecimentos anteriores ou a buscar novas

informações para ultrapassá-los, motivando-o a pesquisar e trocar ideias sobre

esses conhecimentos.

Piaget também evidenciou a existência de maneiras características de

entender um objeto de conhecimento. Essa contribuição de Piaget reforça

ainda mais a ideia de que os problemas matemáticos devem ser apresentados,

sem o “ensinamento” prévio das etapas e ferramentas necessárias para sua

resolução. Dessa forma, os alunos são levados a reorganizar seus

conhecimentos anteriores e/ou buscar novas informações e procedimentos

para resolver a situação-problema.

1.4 – A perspectiva metodológica da resolução de problemas

Na perspectiva da resolução de problemas, a essência está em saber

problematizar e não formular perguntas sem clareza dos objetivos a serem

alcançados, simplesmente por não se ter mais o que perguntar.

Problematizando as situações, geralmente ações como questionar as

soluções e a própria situação-problema começam a fazer parte da rotina das

aulas e, geralmente, o aluno é levado a um processo de metacognição. Essa

atitude requer uma forma mais elaborada de raciocínio, esclarece dúvidas,

aprofunda a reflexão e liga-se à ideia de que a aprendizagem depende de se

estabelecer o maior número de relações entre o que se sabe e o que está se

aprendendo.

Outra característica da perspectiva metodológica da resolução de

problemas é a não separação entre conteúdo e metodologia. Na prática da

18

resolução de problemas é essencial o planejamento das atividades e do

encaminhamento dos questionamentos, pois não há metodologia de ensino

sem que esteja sendo trabalhado algum conteúdo.

Nessa perspectiva, não importa a situação a ser resolvida; a motivação

dos alunos está na participação da elaboração de idéias e procedimentos e na

percepção que eles têm de estar se apropriando do conhecimento.

Quando se assume que essa perspectiva metodológica está

estritamente relacionada à aprendizagem dos conteúdos, mais uma das

características acerca do que é resolução de problemas aparece: a

necessidade do recurso à comunicação.

1.4.1 – A perspectiva metodológica e a comunicação

É por meio da comunicação que se pode interferir nas dificuldades

encontradas ou permitir que o aluno avance mais, propondo outras perguntas

ou mudando a forma de abordagem.

No momento em que se associa a perspectiva metodológica de

resolução de problemas à comunicação está favorecendo a aprendizagem e o

envolvimento da tarefa e ainda, verifica-se que o aluno, enquanto resolve uma

situação - problema, aprende Matemática e desenvolve procedimentos, modos

de pensar e habilidades básicas como verbalizar, ler , interpretar e produzir

textos, adquirindo confiança em seu modo de pensar e autonomia para

investigar e resolver problemas.

A perspectiva metodológica da resolução de problemas não é simples de

ser realizada, exige tempo, um bom planejamento, segurança do professor em

relação ao seu conhecimento matemático e à forma adequada de utilização da

metodologia.

19

CAPÍTULO 2

PROBLEMAS, EXERCÍCIOS, SITUAÇÕES PROBLEMA

NO ENSINO DA MATEMÁTICA ATRAVÉS DOS LIVROS

DIDÁTICOS

Tradicionalmente, os problemas são utilizados pelo professor para

verificar se os alunos aprenderam ou não algum conceito ou procedimento

ensinado como um momento de avaliação.

Tão importante quanto o que se ensina e aprende é como se ensina e

aprende (COLL.1987,p.30). Por isso as orientações apresentadas aos

professores possibilitam a construção e a reelaboração de conceitos,

metodologias e saberes didáticos, levando-os a perceber que o conhecimento

não deve ser imposto ao aluno, mas problematizado, de maneira que aquilo

que os alunos já sabem seja o ponto de partida para as discussões e reflexões

no processo de ensino aprendizagem. Essa abordagem favorece o fazer

pedagógico, por tornar claro ao professor quais são seus reais objetivos do

trabalho proposto.

2.1 – A diferença entre exercício e problema

A diferença entre um problema e um exercício é que o exercício serve

para praticar um determinado algoritmo ou processo, serve para exercitar.

O processo desenvolve o raciocínio lógico. É uma situação que exige

iniciativa, criatividade e o conhecimento de algumas estratégiaspara a sua

resolução.

Para melhor compreender essa diferença faz-se necessário a análise de

algumas coleções de livros didáticos.

Ao analisar a Coleção Matemática/ Fundamental I - Ênio Silveira

observa-se que o autor intitula uma de suas seções como “Problemas

envolvendo...” no caso, as reticências fazem referência ao conteúdo estudado.

Após exaustivos exercícios de fixação, o autor fecha os capítulos com

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“problemas” que exigem apenas a aplicabilidade dos conteúdos estudados sem

nenhum raciocínio para sua execução.

Utilizando dessa mesma prática para exercitar e fixar conteúdos através

dos problemas podemos citar algumas coleções destinadas ao Fundamental I :

A Conquista da Matemática - Giovanni & Giovanni Jr. ; Akpalô – Linos Galdone;

Matemática Pode Contar Comigo – José Roberto Bonjorno; Matemática –

Oscar Guelli.

Em oposição a prática do “exercício problema” encontramos autores

como Bigode & Gimenez, Roberta Taboada & Ângela Leite, Kátia Smole &

Maria Ignez Diniz, Luiz Roberto Dante, Manhúcia Perelberg Liberman & Lucília

Bechara Sanchez que partindo de situações concretas, estimulam o aluno a

levantar hipóteses sobre os assuntos a serem estudados. Permitem que

conceitos espontâneos, trazidos de sua própria experiência, sejam organizados

e transformados em saber, onde o aluno poderá questionar, raciocinar e buscar

soluções com base na articulação entre os saberes que traz de suas vivências

e os novos conceitos a que estará tendo acesso. Nessa concepção de

resolução de problema, o aluno atua como sujeito do processo de ensino e

aprendizagem, participando na elaboração e reelaboração do seu próprio

conhecimento.

As autoras Roberta Taboada e Ângela Leite na Coleção Aprendendo

Juntos – volume 4 – página 76 / 3ªedição. 2010, inicia o capítulo da divisão

com uma situação do cotidiano dos alunos. O objetivo das autoras, nesse

momento, é socializar as estratégias para resolver os problemas propostos na

atividade. Somente no segundo momento é utilizado o algoritmo da divisão.

Esse tratamento com os problemas são observados em toda a sua obra.

“3. Alberto distribuiu 1212 garrafas de suco em embalagens de 12

unidades cada. Quantas embalagens foram necessárias?” (Coleção Matemática – Ênio Silveira - volume 4 - página 151/3ªedição - 2010)

O aluno tem clareza do algoritmo a ser utilizado para execução da

tarefa, pois os exercícios que o antecedem fazem referência e treinamento ao

algoritmo da divisão.

21

2.2 - Problemas e situações-problema

Na década de 1990, a resolução de problemas ganha a dimensão de

ser, em si, metodologia para o ensino da matemática. Essa perspectiva

envolve, entre outras situações: utilizar um problema detonador ou um desafio

para desencadear o ensino e a aprendizagem de conhecimentos matemáticos;

trabalhar com problemas abertos; usar a problematização ou a formulação de

problemas em projetos.

Tomando como base esta concepção, entendeu-se necessário romper

com a ideia de que os problemas propostos aos alunos tenham que ser sempre

de aplicação de conteúdos, com resposta numérica e única, apresentados em

textos curtos, que envolvem a aplicação direta de um ou mais algoritmos, cujos

dados necessários para sua resolução sempre aparecem no texto de forma

explícita; enfim, os problemas chamados convencionais.

Quando o único material levado para sala de aula para trabalhar apenas

com resolução de problemas são os problemas convencionais, pode-se

“Na cidade de Lucas, A Festa das Nações deste ano acontecerá em três períodos, manhã, tarde e noite. Ele e outras 263 pessoas já se

inscreveram para trabalhar nas 22 barracas definidas. Quantas pessoas

trabalharão em cada barraca, se deve ficar o mesmo número de pessoas

em cada uma?”

Através dessa situação, o aluno é levado a verificar se a estimativa realizada

está correta e assim ser encaminhado para a divisão.

22

induzir os alunos a uma postura de insegurança diante de situações que exijam

algum desafio maior. Sem ter lidado com um tipo de situação semelhante

aquela, é compreensível que muitos deles ou esperem a resposta do colega ou

do professor, ou resolvam o problema mecanicamente, sem ter de fato,

compreendido o que fizeram e, consequentemente, sem confiança na resposta

obtida.

As situações-problema não possuem solução imediata e exigem que o

aluno relacione os conhecimentos que possui para utilizá-los na busca de

soluções. Tais situações podem se apresentar como atividades planejadas,

jogos, busca e seleção de informações, resolução de problemas não

convencionais e mesmo convencionais, desde que permitam o processo

investigativo.

Durante essas atividades os alunos permanecem envolvidos ativamente

na aprendizagem, refletindo a cada desafio e interferindo na forma e no ritmo

da tarefa.

2. 3 – Problemas para o ensino da matemática e para o desenvolvimento

da matemática

Um problema deve contribuir para o desenvolvimento dos vários ramos

da Matemática e permitir o amadurecimento das habilidades de resolver

problemas. As tentativas de resolvê-los devem produzir idéias e problemas que

fertilizam inúmeros campos da Matemática.

Como ensino da Matemática, é importante que o problema tenha

enunciado acessível e de fácil compreensão; que exercite o pensar matemático

do aluno; exija criatividade na resolução; possa servir de introdução ou

consolidação de importantes conceitos matemáticos; e, sobretudo, não seja

muito fácil ou muito difícil e sim natural e interessante.

O ensino de Matemática torna-se muito mais interessante à medida que

se utiliza de bons problemas ao invés de se basear apenas em exercícios que

remetem a reprodução de fórmulas e se distanciam da realidade do aluno.

23

2.4 - Características dos problemas

Os problemas devem desafiar a curiosidade, estimular a pesquisa e

motivar a busca por novas estratégias que serão utilizadas permitindo o

desenvolvimento das habilidades, tais como o pensar, raciocinar, questionar,

criar estratégias e compartilhar ideias para encontrar uma solução ao

problema.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), “enfatizam que o fato de o

aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o

problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, a

formular problemas a partir de determinadas informações, a analisar problemas

abertos que admitem diferentes respostas em função de certas condições,

evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera

reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói

conhecimentos”.

Resnick, ( apud, Silveira 2001) apontou uma classificação para os

problemas:

Sem algoritmização: o caminho da resolução é desconhecido, ao menos

em boa parte.

Complexos: precisam de vários pontos de vista.

Exigentes: a solução só é atingida após intenso trabalho mental; embora

o caminho possa ser curto, ele tende a ser difícil.

Necessitam de lucidez e paciência: um problema começa com uma

aparente desordem de idéias e é preciso adotar padrões que permitirão

construir o caminho até a solução.

Nebulosos: nem sempre todas as informações necessárias estão

aparentes; por outro lado, pode existir conflito entre as condições

estabelecidas pelo problema.

Não há resposta única: normalmente ocorre de existirem várias

maneiras de se resolver um dado problema; no entanto, pode acontecer

de não existir uma melhor solução ou até de não haver solução– ou

seja, resolver um problema não é o mesmo que achar a resposta.

24

Phillipe Perrenoud em seu livro Dez novas competências para ensinar

(páginas 42 e 43), apresenta as características de uma situação-problema

segundo Astolfi:

“Astolfi define as 10 características de uma situação-

problema deste modo:

1. Uma situação-problema é organizada em torno da

resolução de um obstáculo pela classe, obstáculo previamente

bem identificado.

2. O estudo organiza-se em torno de uma situação de caráter

concreto, que permita efetivamente ao aluno formular hipóteses e

conjecturas(...)

3. Os alunos veem a situação que lhes é proposta como um

verdadeiro enigma a ser resolvido, no qual estão em condições

de investir. Esta é a condição para que funcione a devolução: o

problema, ainda que inicialmente proposto pelo professor, torna-

se `questão dos alunos`.

4. Os alunos não dispõem, no início, dos meios de solução

buscada, devido à existência do obstáculo a transpor para chegar

a ela. É a necessidade de resolver que leva o aluno a elaborar ou

a se apropriar coletivamente dos instrumentos intelectuais

necessários à construção de uma solução.

5. A situação deve oferecer resistência suficiente, levando o

aluno a nela investir seus conhecimentos anteriores disponíveis,

assim como suas representações, de modo que ela leve a

questionamentos e à elaboração de novas ideias.

6. Entretanto, a solução não deve ser percebida como fora de

alcance pelos alunos, não sendo a situação-problema uma

situação de caráter problemático. A atividade deve operar em

uma zona próxima, propícia ao desafio intelectual a ser resolvido

e á interiorização das `regras do jogo`.

7. A antecipação dos resultados e sua expressão coletiva

precedem a busca efetiva da solução, fazendo parte do jogo o

“risco” assumido por cada um.

25

8. O trabalho da situação-problema funciona, assim, como um

debate científico dentro da classe, estimulando os conflitos

sociocognitivos potenciais.

9. A validação da solução e sua sanção não são dadas de

modo externo pelo professor, mas resultam do modo de

estruturação da própria situação.

10. O re-exame coletivo do caminho percorrido é a ocasião

para um retorno reflexivo, de caráter metacognitivo; auxilia os

alunos a conscientizar-se das estratégias que executaram de

forma heurística e a estabilizá-las em procedimentos disponíveis

para novas situações-problema.”

Esta proposta de trabalho, portanto, dá mais ênfase à explicitação e

socialização de conhecimentos por parte dos alunos e professor e aos

processos de aprendizagem do que á expectativa do acerto no “produto final”

e/ou avaliação. Importa mais a participação ativa e reflexiva dos alunos durante

todo o processo de realização e socialização das atividades do que sua

produção isolada em flashes do processo.

2.5 – Diferentes tipos de problemas

2.5.1 - Problemas sem solução

Projeto ECO Matemática – volume 4 – Lourdes Amaral – página 18 / 1ªedição-2011

Quantos livros cada livraria e papelaria receberam?

26

Os dados numéricos informados não são suficientes para que o aluno

chegue a resposta. Mesmo assim, o aluno de alguma forma irá buscar a

resposta, pois o mesmo é treinado a encontrar uma solução. Nessa situação é

importante trabalhar a percepção do aluno em detectar a falta de dados

numéricos.

2.5.2 - Problemas com múltiplas soluções

Saber Matemático – Kátia Smole & Maria Ignez Diniz – volume 4 – página 170 / 2008

O momento de correção deste tipo de problema é ímpar. O problema,

em questão, é tão importante pois os alunos podem observar os diferentes

caminhos realizados para atingir a resposta. Inclusive estimula aos alunos a

crítica a respeito do caminho mais fácil, mais rápido, mais difícil, mais longo;

levando – os a defesa de sua escolha.

28

comparação com os outros colegas e desencadeia discussões sobre as

decisões tomadas em sua solução com todo o grupo. A lógica trabalha com as

diferentes habilidades matemáticas já aprendidas e absorvidas pelo aluno.

Perante ao problema de lógica, o aluno precisa aplicá – las. Atualmente, os

professores precisam trabalhar exaustivamente os problemas de lógica, pois os

mesmos são encontrados em diferentes provas de concurso.

Linguagens da Matemática – Eliane Reame & Priscila Montenegro – volume 4 - página 143 / 1ªedição. 2009

29

2.5.5 - Problemas de base algoritmica

Projeto Prosa – Matemática 4 – Daniela Padovan & Isabel Guerra – página 219 / 2009

Algoritmo é uma sequência de passos pré estabelecidos que são

utilizados para a execução de uma tarefa, cujo o objetivo é bem definido. Isso

não significa que a aplicação de um algoritmo garanta uma resolução correta. É

precio considerar cada situação. No problema acima, cada aluno desenvolve

sua habilidade de cálculo mental , faz conexões entre os diferentes fatos

fundamentais e escolha sua posição inicial de resolução. Nesse problema o

cálculo inicial é escolhido aleatoriamente pelo aluno. A importância desse tipo

de problema é a capacidade de permitir que novos problemas sejam gerados

através dos cálculos pré – existentes.

30

2.5.6 – Problemas de investigação

Linguagens da Matemática – Eliane Reame & Priscila Montenegro – volume 4 – página 73/ 1ª

edição. 2009

Esses problemas precisam ser introduzidos através de um

levantamento de hipóteses. No primeiro momento, a participação do professor

é fundamental, pois conduzirá os passos iniciais de uma investigação: as

perguntas. Com a bagagem de perguntas, deduções e suposições os alunos

serão capazes de solucionar o problema. Cabe ressaltar que nesse caso, a

verificação da resposta é muito importante, pois abre uma série de soluções

diferentes.

2.5.7 – Problemas de estratégia

31

Saber Matemático – Kátia Smole & Maria Ignez Diniz – volume 4 – página 193 / 2008

Projeto Buriti Matemática 4 – página 36 - 1ºedição. 1998

As situações acima têm como objetivo levar aos alunos a refletir sobre

os procedimentos de resolução, analisando – os e levando – os a percepção

visual dos dados que levam a resposta.

.

A diversidade de problemas permite que os alunos argumentem com

colegas e professor sobre as causas que levaram ao acerto ou erro nas

diferentes situações, desenvolvendo habilidades relativas à prática de escrita e

à prática discursiva.

Os PCNs apontam que os problemas propostos precisam ter algumas

características que os aproximem de situações reais, tornando-os mais

envolventes para os alunos. Assim, devem ser incluídos problemas com

múltiplas soluções, outros com dados não significativos e até mesmo

32

problemas não convencionais, em que a solução depende menos de cálculo

que de raciocínio ou capacidade de análise.

CAPÍTULO 3

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

NO ENSINO DA MATEMÁTICA

Para que o aluno possa construir o conhecimento será necessário que,

diante do enunciado de um problema, ele conheça cada expressão verbal

utilizada. Em seguida deverá ser capaz de traduzir cada dado apresentado

verbalmente em dados concretos do mundo em que ela vive. Por último

precisará entender as relações lógicas constantes do problema para então

relacionar os dados entre si e realizar as operações necessárias à solução.

Tudo isto supõe o desenvolvimento de certas capacidades do aluno as quais

poderão ou não estar presentes.

Um outro fator importante, que deve estar dentro do leque de

preocupações de um professor durante a resolução de problemas, é se o aluno

possui ou não pré-requisitos para execução do problema proposto.

“É relativamente recente a atenção ao fato de que o aluno é agente da

construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu

conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas” (PCN, 1998).

Assim, devemos propor situações que os estudantes tenham condições de

resolver. Caso contrário, poderemos estar nutrindo sentimentos de aversão à

matemática.

O professor deve levar seu aluno a superar os procedimentos

padronizados, próprios de uma didática desvinculada de situações reais, é

possível consolidar essa nova relação do aluno com o conhecimento adquirido

na resolução de problemas.

33

De acordo com Roberto Dante (1991), “devemos propor aos estudantes

várias estratégias de resolução de problemas, mostrando-lhes que não existe

uma única estratégia, ideal e infalível. Cada problema exige uma determinada

estratégia. A resolução de problemas não deve se constituir em experiências

repetitivas, através da aplicação dos mesmos problemas (com outros números)

resolvidos pelas mesmas estratégias. O interessante é resolver diferentes

problemas com uma mesma estratégia e aplicar diferentes estratégias para

resolver um mesmo problema. Isso facilitará a ação futura dos alunos diante de

um problema novo”.

Em sala de aula o professor pode trabalhar com as tentativas e os erros

dos alunos, observando o caminho usado para chegar à solução do problema.

Essa observação servirá para compreender o raciocínio dos alunos e preparar

as discussões em torno da resolução desses problemas, com o intuito de

conceber processos de resolução diferentes dos já aprendidos.

Segundo Polya (1978), “o professor que deseja desenvolver nos alunos

o espírito solucionador e a capacidade de resolver problemas deve incutir em

suas mentes algum interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas

oportunidades de imitar e de praticar. Além disso,quando o professor resolve

um problema em aula, deve dramatizar um pouco as suas ideias e fazer a si

próprio as mesmas indagações que utiliza para ajudar os alunos. Por meio

desta orientação, o estudante acabará por descobrir o uso correto das

indagações e sugestões e, ao fazê-lo, adquirirá algo mais importante do que o

simples conhecimento de um fato matemático qualquer”.

Todo professor quando começa a trabalhar com resolução de problemas

que exijam habilidades matemáticas deve ter objetivos concretos que

favoreçam seus alunos na produção de determinadas transformações, isto é,

que estes adquiram certos conhecimentos e capacidades.

O ensino e os métodos didáticos empregados, devem estar em função

destes objetivos.

3.1 – Estratégias de resolução

O objetivo das estratégias didáticas é incentivar os professores a

estimular o desejo dos alunos em participar da resolução de problemas

34

podendo criar suas próprias estratégias para encontrar a solução de um

problema, criar competências, bem como desenvolver habilidades.

É importante ressaltar que nenhuma estratégia tem o papel de fórmula

mágica ou regra que deve ser seguida em sequência de etapas uma atrás da

outra.

O sucesso dessas atividades dependerão do trabalho a ser realizado

considerando a habilidade de comunicação e expressão oral e escrita,de

cálculo e raciocínio lógico, favorecendo o desenvolvimento do pensamento,

levando o aluno a conhecer, questionar, transformar, produzir e compartilhar

ideias.

3.2 - Estratégias didáticas para o ensino da Matemática através da

resolução de problemas

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), consideram que a

resolução de problemas,como eixo organizador do processo de ensino e

aprendizagem de Matemática, pode ser fundamentada nos seguintes

princípios:

a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não

a definição.No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e

métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de

problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem

desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las;

o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de

forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há

problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que

lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;

aproximações sucessivas de um conceito são construídas para resolver

um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que

aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações,

rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na

História da Matemática;

um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por

meio de uma série de retificações e generalizações. Assim, pode-se

afirmar que o aluno constrói um campo de conceitos que toma sentido

35

num campo de problemas, e não um conceito isolado em resposta a um

problema particular;

a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida

em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação

para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode

apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas..

3.3 - Etapas de resolução de problemas

3.3.1 - Segundo George Polya

O processo de resolução de problemas está dividido em quatro etapas.

É importante ressaltar que as etapas não fazem uma sequência única, somente

de ida. Em diferentes situações será necessário retornar ou pular etapas.

As quatro etapas de resolução de problemas segundo Polya são:

1ª etapa: compreensão do problema

O primeiro passo é entender o problema.

É importante fazer perguntas. Identificar as informações mais

importantes.

2ª etapa: construção de uma estratégia de resolução

O aluno começa a traçar seu esquema de resolução por desenho ou

algoritmo, não se esqueça de levar em conta todos os dados e todas as

condições.

3ª etapa: executando a estratégia

A etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Contudo,

a maioria dos alunos erram na aplicação dos algoritmos.

4ª etapa: revisando a solução

O aluno deve examinar a solução obtida, verificando os resultados e

estabelecendo relações com as perguntas feitas.

A revisão da solução é a etapa mais importante segundo Polya, pois

esta etapa propicia uma depuração e uma abstração da solução do problema:

Depuração: o objetivo é verificar a argumentação usada, procurando

simplificá-la; pode-se chegar ao extremo de buscar outras maneiras de

resolver o problema, possivelmente mais simples, mas menos intuitivas

e só agora acessíveis ao resolvedor.

36

Abstração: agora, o objetivo é refletir no processo de resolução

procurando descobrir a essência do problema e do método de

resolução empregado; tendo-se sucesso , poder-se-á resolver outros

problemas mais gerais ou de aparência bastante diferente. Ela

representa a possibilidade de aumento do poder de resolução.

3.3.2 – Segundo Kátia Smole

A resolução de problemas é uma atividade cognitiva que envolve a

construção de ideias e procedimentos. Diante de uma situação sem

solução evidente o aluno precisa analisar e compreender o que se pede e

as relações envolvidas, decidir sobre a melhor estratégia para resolvê –

la, tornar decisões, argumentar, se expressar e fazer registros, ou seja,

ele mobiliza informações adquiridas, procedimentos adquiridos e os

combina na busca da resolução. Todo esse processo deve acontecer em

um ambiente em que os alunos propõem, exploram e investigam

problemas que provêm tanto de situações reais quanto de situações

lúdicas ou de investigações relacionada à própria matemática. Esse é um

momento positivo que encoraja os alunos a propor soluções, explorar

possibilidades, levantar hipóteses, justificar seu raciocínio e validar

suas próprias conclusões.

3.3.3 – Segundo Roberto Dante

Em toda a coleção do autor encontramos um anexo que deixa claro,

como o autor define a resolução dos problemas.

Para Roberto Dante a resolução de problemas deve ter por meta:

fazer o aluno pensar;

desenvolver o raciocínio lógico do aluno;

ensinar o aluno a enfrentar situações novas;

levar o aluno a conhecer as primeiras aplicações da Matemática;

tornar as aulas mais interessantes e motivadoras.

37

E como um manual para professores e alunos, em sua coleção,

estabelece cinco etapas que o aluno pode observar diante de uma situação-

problema. Enfatiza também que não é uma regra a ser seguida e sim, um meio

de auxiliar a execução.

Etapa 1 – compreensão do problema

Leitura e interpretação cuidadosa do problema.

Marcação dos dados numéricos a serem utilizados e da pergunta.

Etapa 2 – elaboração de um plano de solução

Nessa etapa o aluno será capaz de identificar o tipo de problema e

como será realizado, através de algoritmo, desenhos, diagramas, tabelas ou

gráficos.

Etapa 3 – execução do plano

O aluno deverá efetuar todos os cálculos indicados no plano ou executar

as estratégias pensadas de formas diversas para resolver o problema. O

cuidado deve ser com a execução dos algoritmos.

Etapa 4 – verificação ou retrospectiva

O aluno deverá fazer o caminho inverso através da prova real para

encontrar o dado inicial e ter a certeza de seu acerto.

Etapa 5 – emissão da resposta

A resposta deverá ser completa, contendo todos os dados da pergunta.

3.3.4 – Segundo Oscar Guelli

A Matemática surgiu com o desenvolvimento e o progresso da

humanidade, mas ao mesmo tempo contribuiu fortemente para isso.

Por isso, um dos principais objetivos da coleção de Oscar Guelli é o

desenvolvimento das habilidades básicas dos alunos para resolver problemas

que refletem situações do mundo real.

Em sua coleção há preocupação de dar importância tanto ao enunciado

de um problema quanto à sua resolução, interpretação e análise dos

resultados.

Para resolver um problema é sugerido alguns passos:

faça um resumo do problema;

planeje mentalmente como irá resolver o problema;

execute os cálculos.

38

A sequência de passos apresentada é somente uma sugestão de

trabalho e tem como objetivo fazer com que o aluno reflita com mais atenção

sobre o problema que está resolvendo. Não deve ser interpretada pelo

professor como fórmula fixa a ser aplicada a qualquer problema. O professor

pode retirar da sequência de passos o que achar mais adequado ou, até

mesmo, deixar os alunos resolverem os problemas efetuando as operações por

etapas, sem nenhum formalismo.

De todo modo, o mais importante é fazer os alunos compreenderem que

existem vários caminhos para se resolver um problema, e deixá-los escolher o

jeito em que se sintam mais seguros e confiantes.

A resolução de problemas não deve ser utilizada apenas como forma de

controlar se os alunos dominaram essa ou aquela técnica, esse ou aquele

conceito. No dia a dia, os indivíduos têm e terão sempre de enfrentar

problemas, alguns conhecidos e outros novos. O importante é que todos

tenham o direito de vivenciar situações matemáticas na escola que possam ser

úteis no cotidiano.

39

CONCLUSÃO

Os alunos de hoje precisam de muito mais que uma infinidade de

informações memorizadas; precisam de procedimentos de busca e

interpretação de informações, precisam comunicar suas ideias, precisam

conhecer técnicas e dominar estratégias para a resolução de problemas, entre

outras coisas. Ou seja, além de conteúdos conceituais, o processo de ensino e

aprendizagem deve contemplar também os conteúdos procedimentais e os

atitudinais. Fazendo referência aos conteúdos procedimentais, pode - se dizer

que: aprender um procedimento significa ser capaz de utilizá-lo em diversas

situações e de diferentes maneiras para resolver os problemas colocados e

atingir as metas fixadas.

Dessa forma, os alunos serão convidados, com muita freqüência, a

resolver problemas que ainda não lhes foram “ensinados”, com o objetivo de

colocarem em jogo o maior número de informações que possuem,

socializando-as com os colegas e aprendendo a aprender juntos. Depois de

resolvê-los, os alunos devem comparar suas estratégias de resolução com as

dos colegas para, finalmente, validar (ou não) seus procedimentos,

construindo, dessa forma, “verdades provisórias” e compartilhadas pelo grupo

de alunos sobre conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.

O problema não deve mais ser visto como um exercício para o aluno

aplicar ou reproduzir de forma mecânica o que aprendeu, mas como um

contexto, para ele construir conceitos por meio de aproximações sucessivas,

rupturas, transferências e generalizações. Dessa forma, construindo um campo

de conceitos que faz sentido para um campo de problemas.

Enfim, é muito mais importante o processo de resolução do problema do

que a apresentação da resposta correta, pois esta não garante que os alunos

tenham se apropriado de um conceito ou procedimento. Entretanto, a análise

da resposta em confronto com a situação proposta é uma ação fundamental na

40

resolução de problemas, representando um importante recurso para “fazer

Matemática” na sala de aula.

O professor tem, portanto, um novo papel em sala de aula, de

fundamental importância: é o organizador, consultor e mediador desse rico

processo de construção de conhecimentos. Será o responsável por presentear

problemas ao grupo de alunos, incentivar a criação de estratégias e

procedimentos de resolução, estimular a troca de idéias entre eles e a reflexão

acerca de regularidades observadas e descobertas feitas, polemizar e

apresentar aos alunos as semelhanças e diferenças entre o que construíram e

o saber social convencional, entre outras coisas. Segundo Perrenoud, ao

ensinar, o professor deve todo o tempo “agir na urgência” e “decidir na

incerteza”, uma vez que seu domínio sobre as situações de ensino propostas é

determinante para o sucesso das aprendizagens.

O ensino da Matemática atual volta-se muito mais para o processo do

que para o produto, dando lugar a uma Matemática de experimentação e

reconstrução. A Matemática de processo supõe respeitar o tempo e forma de

pensar de cada aluno, fornecendo espaço e material para a criação e troca de

ideias. É indispensável o confronto de ideias para progredir com segurança na

aquisição de conhecimentos.

41

BIBLIOGRAFIA

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TABOADA, Roberta; Ângela Leite. Aprender Juntos 4. Editora SM. 3ª edição.

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43

ÍNDICE

FOLHA DE ROSTO ............................................................................................ 2

AGRADECIMENTO ............................................................................................ 3

DEDICATÓRIA ...................................................................................................4

RESUMO.............................................................................................................5

METODOLOGIA .................................................................................................6

SUMÁRIO ...........................................................................................................8

CAPÍTULO I

I – PROBLEMAS MATEMÁTICOS ...................................................................10

1.1 – Conceituando problema matemático ..................................................11

1.2 – A importância de um problema matemático .......................................12

1.3 – As primeiras ideias sobre resolução de problemas ............................13

1.4 – A perspectiva metodológica da resolução de problemas................... 17

1.4.1 – A perspectiva metodológica e a comunicação ........................18

CAPÍTULO II

II – PROBLEMAS, EXERCÍCIOS E SITUAÇÕES-PROBLEMA NO ENSINO DA

MATEMÁTICA ATRAVÉS DOS LIVROS DIDÁTICOS ....................................19

2.1 – A diferença entre exercício e problema .............................................20

2.2 – Problemas convencionais e situações-problemas .............................21

2.3 – Problemas para o ensino e desenvolvimento da matemática............22

2.4 – Características dos problemas ..........................................................23

2.5 – Diferentes tipos de problemas ...........................................................25

2.5.1 – Problemas sem solução ........................................................25

2.5.2 – Problemas com múltiplas soluções..... ..................................26

2.5.3 – Problemas com dados não significativos................................27

44

2.5.4 – Problemas de lógica ..............................................................27

2.5.5 – Problemas de base algoritmica..............................................29

2.5.6 – Problemas de investigação .................................................. 30

2.5.7 – Problemas de estratégia ...................................................... 30

CAPÍTULO III

III – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ...............................................................32

3.1 – Estratégias de resolução ..................................................................33

3.2 – Estratégias didáticas para o ensino de matemática através da

resolução de problemas ...................................................................................34

3.3 – Etapas de resolução de problemas ..................................................35

3.3.1 – Segundo Polya .....................................................................35

3.3.2 – Segundo Kátia Smole ..........................................................36

3.3.3 – Segundo Roberto Dante ..................................................... 36

3.3.4 – Segundo Oscar Guelli ......................................................... 37

CONCLUSÃO .................................................................................................39

BIBLIOGRAFIA ..............................................................................................40

ÍNDICE ...........................................................................................................42

45

FOLHA DE AVALIAÇÃO

Nome da Instituição:

Título da Monografia:

Autor:

Data da entrega:

Avaliado por: Conceito:

46