Doherty Andrade Jorge Ferreira de Lacerda Geometria Analítica · 2020. 8. 5. · 13 Capítulo 1...

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Geometria Analítica Doherty Andrade Jorge Ferreira de Lacerda 2ª Edição Florianópolis, 2010.

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Geometria Analítica

Doherty AndradeJorge Ferreira de Lacerda

2ª Edição

Florianópolis, 2010.

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Acadêmica do Curso de Licenciatura em Física na Modalidade à Distância.

Ficha CatalográficaG934c Andrade, Doherty Geometria Analítica I / Doherty Andrade, Jorge Ferreira de Lacerda – 2. ed. – Florianópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2010. 191p.

ISBN 978-85-99379-74-5

1. Geometria analítica. 2. Vetores. 3. Cônicas. I. Lacerda, Jorge Ferreira de. II Título.

CDU 51

Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/786

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SumárioApresentação ...................................................................................... 9

1 Matrizes ................................................................................ 111.1 Introdução ................................................................................... 131.2 Tipos Especiais de Matrizes.......................................................141.3 Operações com Matrizes ........................................................... 16

1.3.1 Adição e Subtração ............................................................. 161.3.2 Multiplicação por escalar .................................................. 171.3.3 Transposição ...................................................................... 181.3.4 Multiplicação de Matrizes ................................................. 191.3.5 Matriz Inversa .................................................................... 22

Resumo .............................................................................................. 26

2 Sistemas de Equações Lineares......................................... 272.1 Introdução ................................................................................... 292.2 Sistemas e Matrizes ................................................................... 302.3 Operações Elementares ............................................................. 322.4 Matriz Linha Reduzida à Forma Escada ................................ 332.5 Soluções de um Sistema de Equações Lineares: Método de Eliminação de Gauss ............................................ 342.6 Matrizes Elementares ................................................................ 432.7 Procedimento para a Inversão de Matrizes ............................ 47Resumo .............................................................................................. 50

3 Determinantes e Matriz Inversa ...................................... 513.1 A Definição de Determinante ................................................... 533.2 Principais Propriedades dos Determinantes .......................... 553.4 Demonstrações das propriedades dos determinantes ...........613.5 Desenvolvimento de Laplace .................................................... 643.6 Técnica de Cálculo do Determinante: Eliminaçãode Gauss .................................................................. 673.7 O Cálculo da Matriz Inversa pelo Determinante .................. 70Resumo .............................................................................................. 73

4 Vetores ................................................................................... 754.1 Introdução ................................................................................... 774.2 A Noção de Vetor ....................................................................... 794.3 Adição de Vetores ...................................................................... 83

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4.4 Produto por um Número Real (Escalar) ................................. 864.5 Soma de Vetor com Ponto ......................................................... 874.6 Norma de Vetores ...................................................................... 88Resumo .............................................................................................. 90

5 Dependência Linear e Operações com Vetores .............. 915.1 Introdução ................................................................................... 935.2 Combinação Linear e Base ........................................................ 965.3 Produto Interno .......................................................................... 995.4 Projeção Ortogonal ...................................................................1015.5 Bases Ortogonais .......................................................................1025.6 Produto Vetorial ....................................................................... 1065.7 Produto Misto ............................................................................110Resumo .............................................................................................114

6 Retas e Planos .................................................................... 1156.1 Sistemas de Coordenadas Cartesianas ...................................1176.2 Distância entre Pontos ..............................................................1186.3 Equações do Plano ....................................................................1196.4 Equação Cartesiana do Plano ................................................. 1206.5 Voltando no tempo... ................................................................ 1216.6 Equação Normal do Plano ...................................................... 1226.7 Ângulo entre Planos ................................................................ 1236.8 Equação da Reta: forma paramétrica e forma simétrica .................................... 1256.9 Ângulo entre duas Retas ......................................................... 1296.10 Distância de um Ponto a um Plano ...................................... 1306.11 Distância de um Ponto a uma Reta ...................................... 1336.12 Distância entre Dois Planos .................................................. 1346.13 Distância entre Duas Retas ................................................... 1356.14 Interseção entre Três Planos ...................................................1376.15 Fórmulas do Capítulo ............................................................ 139Resumo .............................................................................................141

7 Curvas Cônicas .................................................................. 1437.1 Introdução ...................................................................................1457.2 Algumas Curvas Planas ...........................................................148

7.2.1 Elipse ...................................................................................1487.2.2 Elipse no mundo real ........................................................1517.2.3 Parábola ............................................................................. 1537.2.4 Parábolas no mundo real ................................................. 156

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7.2.5 Hipérbole ............................................................................1577.2.6 Hipérboles no mundo real ...............................................1627.2.7 Excentricidade................................................................... 164

Resumo .............................................................................................168

8 Superfícies Quádricas ...................................................... 1698.1 Introdução ................................................................................. 1718.2 Elipsóide ................................................................................... 1728.3 Hiperbolóide ............................................................................ 1738.4 Cone ............................................................................................1748.5 Parabolóides .............................................................................. 1758.6 Cilindros .................................................................................... 177

8.6.1 Cilindro Elíptico ................................................................1788.7 Mudança de Coordenadas e Classificação de

Superfícies Quádricas ............................................................. 1798.7.1 Efetuando mudanças ....................................................... 1808.7.2 Classificação de superfícies quádricas ........................... 184

Resumo .............................................................................................189

Bibliografia Comentada....................................................... 191

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ApresentaçãoCaro estudante,

A Geometria Analítica é um prolongamento da Geometria Eu-clidiana. As ferramentas construídas nessa disciplina serão úteis em todas as disciplinas que virão. Por isso mesmo o estudante deve esforçar-se para compreender todas as definições e resulta-dos e estabelecer relações entre os principais fatos. Compreender os exemplos e fazer os exercícios é um bom caminho para a com-preensão total do texto.

Sem sombra de dúvida, o conceito mais importante dessa disci-plina é o conceito de vetor e, em seguida, o conceito de base. O professor deve insistir na compreensão desses conceitos e o es-tudante deve trabalhar para compreendê-los. Tendo estabelecido esses conceitos, podemos aprofundar nossos estudos em outras direções, como as operações com vetores, o estudo de retas e pla-nos, matrizes e sistemas de equações lineares.

Esperamos que após o estudo do conteúdo dessa unidade você seja capaz de definir vetor e matriz, trabalhar com vetores, ma-trizes, retas, planos, sistemas de equações lineares e superfícies cônicas. E, claro, resolver problemas envolvendo estes conceitos.

A sua aprendizagem dependerá de você. Nós vamos ajudá-lo, oferecendo os meios. Esta será a nossa tarefa, mas a sua tarefa é mais importante e mais nobre. Ela pode ser explicitada com dois verbos: estudar e aprender.

Doherty Andrade

Jorge Ferreira de Lacerda

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Capítulo 1Matrizes

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Capítulo 1Matrizes

Neste capítulo vamos iniciar o estudo das matrizes, mas não apenas porque são importantes na resolução de sis-temas de equações lineares, que veremos a seguir, mas porque são importantes por si só. A teoria das matrizes, além de uma belíssima teoria, está presente em todos os ramos da Matemática e da Física, principalmente no que se refere a operações com vetores. Saber operar com matrizes é tão importante como saber somar números inteiros. Vamos aprender como somar e como multipli-car matrizes. Vamos apresentar também vários tipos de matrizes especiais: simétricas, triangulares superior e inferior, identidade, nula entre outras.

1.1 IntroduçãoEm linguagem comum, uma matriz consiste em uma tabela de ele-mentos dispostos em linhas e colunas (observe o exemplo a seguir). Em matemática, uma matriz A com m linhas e n colunas, deno-tada por m nA × , é definida como sendo uma função A de m nI I× , tomando valores num conjunto K, onde o conjunto kI é definido por { }1,2,...,kI k= . O mais freqüente é que K seja o conjunto dos números reais, , ou dos números complexos, . Mas K pode ser outro conjunto como, por exemplo, um conjunto de funções.

Como matriz é uma função, tem sentido falarmos na sua imagem. É usual representar a imagem ( , )A i j por aij. Também é comum or-ganizar uma matriz numa tabela, onde o elemento aij ocupa a li-nha i e a coluna j. É nessa forma que trabalhamos com matrizes.

Seja 3 3:A I I× → a matriz dada por ( , ) 2A i j i j= − . Então,

, 2i ja i j= − e portanto podemos representar esta matriz por:

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2 1 1 2 1 2 2 1 3 1 0 12 2 1 2 2 2 2 2 3 3 2 12 3 1 2 3 2 2 3 3 5 4 3

A⋅ − ⋅ − ⋅ − −

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ −

onde 11 1a = , 12 0a = , 13 1a = − , 21 3a = , 22 2a = , 23 1a = , 31 5a = ,

32 4a = , 33 3a = .

Dizemos que uma matriz A tem ordem (ou dimensão) m n× (nes-sa ordem) quando A possui m linhas e n colunas. Nesse caso escrevemos m nA × .

Definição 1.1: Duas matrizes Am×n = [aij]m×n e Br×s = [bij]r×s são ditas iguais se possuem o mesmo número de linhas (m = r), o mesmo número de colunas (n = s) e todos os seus elementos correspon-dentes são iguais (aij = bij).

1.2 Tipos Especiais de MatrizesConsidere uma matriz com m linhas e n colunas, que denotamos por Am×n:

Matriz • Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n). Um exemplo são as matrizes A e B abaixo.

11 12 1311 12

2 2 3 3 21 22 2321 22

31 32 33

, a a a

a aA B a a a

a aa a a

× ×

= =

.

Matriz • Nula é aquela em que aij = 0, para todo i e j. Exemplo:

2 2 3 3 2 3

0 0 00 0 0 0 0

, 0 0 0 , 0 0 0 0 0

0 0 0N N N× × ×

= = =

.

Matriz • Coluna é aquela que possui uma única coluna (n = 1). Exemplo:

11

3 1 21 2 1 4 1

31

11 1

, ,2 0

2

aC a C C

a× × ×

− = = =

.

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Matriz • Linha é aquela que possui uma única linha (m = 1). Exemplo:

[ ] [ ] [ ]1 3 11 12 13 1 2 1 4, 1 2 ,C a a a C C a b c d× × ×= = − = .

A • Diagonal Principal, ou simplesmente, Diagonal de uma ma-triz quadrada An×n é o conjunto dos elementos aii com i ∈ {1, 2, ..., n}.

Matriz Diagonal • é uma matriz quadrada em que 0ija = , para i j≠ . Isto é, todas as entradas fora da diagonal principal são nulas e pelo menos uma entrada da diagonal principal é não nula. Exemplo:

11

2 2 3 3 22

3

0 00

, 0 00

0 0D D

× ×

= =

.

Matriz • Identidade Quadrada é um tipo especial de matriz dia-gonal, onde aij = 0 para i ≠ j e aij = 1, para i = j. Exemplo:

2 2 3 3

1 0 01 0

, 0 1 00 1

0 0 1I I× ×

= =

.

Matriz • Triangular Superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, ou seja, m = n e aij = 0, para > .i j. Exemplo:

2 2 3 3, 00

0 0

a c da c

A B b eb

f× ×

= =

Matriz • Triangular Inferior é aquela em que m = n e aij = 0, para i < j. Exemplo:

2 2 3 3

0 00

, 0a

aA B c b

c bd e f

× ×

= =

.

Matriz • Simétrica é aquela matriz quadrada, isto é, m = n, onde aij = aji. Exemplo:

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2 2 3 3 3 3

1 1 4, , 1 2 5 .

4 5 3

a c da c

A B c b e Cc b

d e f× × ×

− = = = −

.

Matriz • Anti-Simétrica é aquela onde m = n e ij ija a= − .

Como ij jia a= − , concluímos que ii iia a= − . Portanto, 2 0iia = e 0iia = . Assim, uma matriz anti-simétrica possui diagonal nula. Exemplo:

2 2 3 3 3 3

0 2 3 0 1 40 1

, 2 0 5 , 1 0 5 .1 0

3 5 0 4 5 0A B C× × ×

− − − = = − = − − −

.

Exemplo 1.1

Determine x de modo que a seguinte matriz seja anti-simé-trica:

2

2 6 2 32 0 7

3 7 6 9

x

x x

− − − − − +

.

Devemos ter 2 6 0x − = e 2 6 9 0x x− + = e, portanto, 3.x =

1.3 Operações com Matrizes

1.3.1 Adição e Subtração

A soma de duas matrizes de mesma ordem, sendo Am×n = [aij]m×n e Bm×n = [bij]m×n, é uma matriz m n, que denotaremos por A + B, cujos elementos são as somas dos elementos correspondentes de A e B. Isto é, A + B = [aij + bij]m×n. Do mesmo modo, definimos A - B = [aij - bij] m×n .

Notemos que pela forma como definimos adição e subtração de ma-trizes, é impossível somar ou subtrair matrizes de ordens diferentes.

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A operação de adição de matrizes goza das mesmas propriedades que a adição de números reais: é associativa, comutativa, possui elemento neutro (zero) e toda matriz possui um oposto. Resumi-mos as principais propriedades no seguinte teorema:

Teorema 1.1: Sejam , ,A B C matrizes de mesma ordem, então va-lem as seguintes propriedades:

A soma é associativa: 1) ( ) ( )A B C A B C+ + = + + .

A soma é comutativa: 2) A B B A+ = + .

Dada uma matriz 3) A , existe uma matriz denotada por N (chamada matriz nula) de mesma ordem que A tal que A N A+ = .

Dada uma matriz 4) A , existe uma matriz denotada por A− de mesma ordem que A tal que ( )A A N+ − = . A matriz A− é chamada de o oposto de A .

A prova desse teorema se obtém de forma imediata a partir da definição de adição de matrizes.

Se tivermos as matrizes A e B de mesma dimensão, dadas por

2 3 5 1 1 53 1 1 B= 0 2 25 1 0 0 0 3

A−

= − −

.

Então,

3 2 103 3 15 1 3

A B + = −

.

Verifique que A B B A+ = + .

1.3.2 Multiplicação por escalar

Seja A = [aij] m×n e k um número real, então definimos uma nova matriz, kA = [kaij] m×n, de forma que se tivermos

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2 3 5 1 1 53 1 1 B= 0 2 25 1 0 0 0 3

A−

= − −

, então

2 3 53 5 0

k k kkA k k k

k k

= − −

.

Propriedades 1.1: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem, m × n, e números k, k1 e k2, temos:

k• (A + B) = kA + kB.

(• k1 + k2)A = k1A + k2A.

0• A = 0. Observe que aqui o primeiro símbolo para zero é o escalar e o segundo símbolo para zero é a matriz nula.

k• 1(k2A) = (k1k2)A.

As demonstrações dessas propriedades seguem diretamente da definição.

1.3.3 Transposição Dada uma matriz A = [aij], podemos obter uma outra matriz A′ = [bij], cujas linhas são as colunas de A, isto é, bij = aji A′ é denominada transposta de A. Por exemplo:

2 52 3 4

3 65 6 7

4 7A A

′= =

.

Propriedades 1.2:

Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual à sua •transposta, isto é, se, e somente se, A = A′ .

A′′• =A. Isto é, a transposta da transposta de uma matriz é ela mesma.

( )A B A B′ ′ ′+ = +• .

( )kA kA′ ′=• , onde k é qualquer escalar.

Uma propriedade interessante da teoria das matrizes é a seguin-te: toda matriz quadrada é soma de uma matriz simétrica com uma ma-triz anti-simétrica. De fato, vamos verificar essa propriedade para o caso de matrizes de ordem 3 .

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Dada a matriz 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

=

, considere as matrizes B e C

dadas por

1 1( ) ( )2 2

B A A , C A A′ ′= + = − .

Notemos que como B B′= então B é simétrica, e como C C′ = − , então C é anti-simétrica. Além disso, A B C= + . Isso termina a nossa verificação. Faça essa verificação para o caso geral.

1.3.4 Multiplicação de MatrizesSejam A = [aij]m×n e B = [bij]n×p ,

definimos AB = [ ijc ]m×p, onde 1 11

...n

ij i j in nj ik kjk

c a b a b a b=

= + + = ∑ .

Em outras palavras, o elemento ijc da matriz produto é o resul-tado da soma dos produtos dos elementos correspondentes da li-nha i da matriz A e da coluna j da matriz B. Note que para cada coluna da matriz A, existe uma linha na matriz B: o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.

Veja a ilustração indicando a formação da matriz produto.

××

×

É importante ter a habilidade de multiplicar matrizes, pois vamos sempre precisar multiplicar matrizes.

Só podemos efetuar o produto m n r pA B× × se n r= . Se esse for o caso, então o produto AB é uma matriz m pC × .

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Exemplo 1.2: Consideremos as matrizes

11 12 11 12

21 22 21 22

e a a b b

A Ba a b b

= =

. Determine C = A.B.

Resolução: C AB= . Como A e B são matrizes quadradas de ordem 2, o produto é uma matriz quadrada de ordem 2.

11 12 11 12 11 11 11 12 21 12 11 12 12 22

21 22 21 22 21 21 11 22 21 22 21 12 22 22

a a b b c a b a b c a b a bAB

a a b b c a b a b c a b a b= + = +

= = = + = +

Exemplo 1.3: Consideremos as matrizes quadradas de ordem 3,

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

=

e 11 12 13

21 22 23

31 32 33

b b bB b b b

b b b

=

. Determine C = A.B.

Resolução: Como A e B são matrizes quadradas de ordem 3, o produto é uma matriz quadrada de ordem 3. Segue que o produto simbólico é dado por

11 11 11 12 21 13 31 12 11 12 12 22 13 32 13 11 13 12 23 13 33

21 21 11 22 21 23 31 22 21 12 22 22 23 32 23 21 13 22 23 23 33

31 31 11 32 21 33 31 32 31 12 32 22 33 32 33 31

c a b a b a b c a b a b a b c a b a b a bc a b a b a b c a b a b a b c a b a b a bc a b a b a b c a b a b a b c a b

= + + = + + = + += + + = + + = + += + + = + + = 13 32 23 33 33

.a b a b

+ +

Exemplo 1.4: Consideremos as matrizes

2 3 5 1 1 53 1 1 e 0 2 25 1 0 0 0 3

A B−

= − = −

.

Calcule AB e BA.

Resolução

2 3 5 1 1 5 2 0 0 2 6 0 10 6 15 2 4 313 1 1 0 2 2 3 0 0 3 2 0 15 2 3 3 1 145 1 0 0 0 3 5 0 0 5 2 0 25 2 0 5 7 23

AB− + + − + + + +

= − = + + − + + + − = − − + + − − + − + −

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1 1 5 2 3 5 2 3 25 3 1 5 5 1 0 24 3 60 2 2 3 1 1 0 6 10 0 2 2 0 2 0 16 0 20 0 3 5 1 0 0 0 15 0 0 3 0 0 0 15 3 0

BA− − + − − + + −

= − = + + + − − + = − − + + + − + + −

Note que AB BA≠ , e isto geralmente ocorre.

Exemplo 1.5: Consideremos as duas matrizes

1 0 1 1 1 11 2 1 e 1 2 00 0 1 3 1 1

A B− −

= − = − − −

.

Calcule AB.

Resolução

1 0 1 1 1 1 1 0 3 1 0 1 1 0 1 4 2 21 2 1 1 2 0 1 2 3 1 4 1 1 0 1 2 2 20 0 1 3 1 1 0 0 3 0 0 1 0 0 1 3 1 1

AB− − + + − + − − + − − −

= − − = − + − − + + + = − − − − + + + − + − − −

Se a matriz A tem dimensão 2 3× e B tem dimensão 3 4× , en-tão a matriz produto AB tem dimensão 2 4× . Observe que não podemos efetuar o produto BA .

Propriedades 1.3: Considerando as possibilidades para a multi-plicação, temos:

Em geral i) AB ≠ BA.

AIii) = A, onde I é a matriz identidade

IAiii) = A, onde I é a matriz identidade

Aiv) (B + C) = AB + AC, distributividade à esquerda.

(v) A + B)C = AC + BC, distributividade à direita.

(vi) AB)C = A(BC), associatividade.

( )AB B A′ ′ ′=vii) .

0viii) A = 0 e A 0 = 0.

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Note que em ii) e em iii) as matrizes identidade podem ter dimensões diferentes.

As demonstrações dessas propriedades seguem diretamente da definição de produto de matrizes.

Exercícios1.1) Determine o produto AB e BA, onde:

1 0 1 0 1 11 2 4 e 1 2 02 1 1 3 1 1

A B−

= = − − −

0 1 11 2 03 1 1

B = − − −

.

Resposta:

3 2 2 3 1 514 7 3 , 1 4 92 3 1 0 1 8

AB BA−

= − − = − − − − −

.

1.2) Determine x tal que a matriz

1 11 31 2 6

x xA x

− =

seja simé-trica.

Resposta: 2x = .

1.3) Dadas as matrizes quadradas A, B e C determine e x y, de modo que A B C+ = , onde

10 2

, ,2 2 6 4x y y x

A B Cy x y x

− − = = = − −

.

Resposta: 4, 6x y= = .

1.3.5 Matriz InversaDada a matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A uma matriz B tal que AB = BA = In, onde In é a matriz identi-dade de ordem n. Escrevemos A−1 para representar a inversa de A. Nesse caso, dizemos que a matriz A é invertível.

Notemos que se A tem uma inversa, então ela é única. De fato, se B e C são inversas de A , então podemos escrever:

( ) ( )B BI B AC BA C IC C= = = = = , donde B C= .

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23

Veremos mais tarde critérios para a existência da inversa para uma dada matriz A.

Exemplo 1.6

Seja a) a b

Ac d

=

com 0ad bc− ≠ .

Então a matriz 1 d b

Bc aad bc

− = −−

é a inversa de A . Veri-

fique efetuando o produto.

Sejam as matrizes b) 1 1 21 0 30 1 2

A− −

= −

e 2 2 13 3 31 1 13 3 3

1 0 1B − −

=

.

Efetuando os produtos AB e BA , obtemos 3 3AB BA I ×= = . Assim, B é a inversa de A .

Sejam as matrizes c)

2 0 00 4 00 0 2

A =

e

12

14

12

0 00 00 0

B =

.

Efetuando os produtos AB e BA , obtemos 3 3AB BA I ×= = . Assim, B é a inversa de A . Determinar a inversa de uma matriz diagonal é simples: basta inverter os elementos da diagonal.

Dada a matriz d)

1 1 21 0 30 3 2

A−

= −

. Determine x de modo que

8 317 17

52 217 17 173 3

17 17

9 xB

x

− −

=

seja a matriz inversa de A .

Resolução:

Desejamos ter

8 217 17

9 317 17

1517

9 0 2 1 0 09 1 3 0 1 0

0 0 2 0 0 1

x xAB x x

x

+ − + = − + − + = +

.

Comparando as matrizes, obtemos 1

17x = .

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Uma grande lanchonete vende 1000 hambúrgueres, 600 che-e) esebúrgures e 1200 milkshakes em um dia. O preço de cada hambúrguer é R$4,50, cada cheesebúrguer custa R$ 6,00 e cada milkshake custa R$ 5,00. Encontre o lucro total com a venda desses produtos e o lucro individual de cada pro-duto da lanchonete em um dia, sabendo que o custo de um hambúrguer é R$ 3,50, de cada cheeseburguer é R$ 4,00 e de cada milkshake é R$ 3,50.

Resolução:

Vamos ordenar os produtos em hambúrguer, cheesebúrguer e milk-shake. A matriz quantidade é dada por:

[ ]1000 600 1200Q = , a matriz preço de venda é dada por:

4,56,05,0

P =

e a matriz custo de produção é

3,54,03,5

C =

.

Segue que a matriz lucro por unidade é:

4,5 3,5 1,06,0 4,0 2,05,0 3,5 1,5

L P C = − = − =

.

Essa matriz fornece o lucro obtido com a venda de uma unidade do produto (na ordem hambúrguer, cheeseburguer e milkshake). Portanto, o lucro total no dia é dado por:

[ ]total

1,01000 600 1200 2,0

1,5L Q L

= ⋅ =

1000 1200 1800 4000= + + = , isto é, R$ 4.000,00. E o lucro in-dividual diário de cada produto é R$ 1.000,00, R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00 (na mesma ordem acima).

Teorema 1.2: Sejam A e B matrizes invertíveis de ordem n. Então AB tem inversa e a inversa de AB é 1 1B A− − .

Demonstração: afirmamos que a inversa de AB é 1 1B A− − . De fato, como a inversa, quando existe, é única, basta efetuar os produtos para verificar:

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1 1 1 1 1( )( ) ( )AB B A A BB A AA I− − − − −= = = e

1 1 1 1 1( )( ) ( )B A AB B A A B B B I− − − − −= = = . Logo, 1 1 1( )AB B A− − −= .

Exercícios1.4) Determine os produtos AB e BA com as matrizes dadas a

seguir:1 21 3

A = −

a) , 9 82 3

B−

= − .

Respostas:

5 215 17

AB−

= − e

17 65 5

BA−

= − .

4 3

7 2 05 3 42 1 96 7 2

A

×

− = −

b) e

3 3

7 2 05 3 42 1 9

B

×

= −

.

Respostas:

39 20 842 3 4827 16 8581 7 10

AB

− = − −

e BA não existe.

1.5) Verifique se as matrizes dadas aos pares são inversas entre si.

1 21 3

A = −

a) e 3 25 51 15 5

B−

=

.

9 82 3

A−

= − b) e

3 811 11

9211 11

B

=

.

7 2 05 3 42 1 9

A = −

c) e

23 6 8267 89 26753 2821

267 89 2673111 1

267 89 267

B

− −

=

.

1.6) Uma papelaria vende 700 canetas, 400 cadernos e 200 la-piseiras em um mês. O preço de venda de cada produto é dado, respectivamente, por R$ 4,00, R$ 6,00 e R$ 15,00. O custo de cada produto para a papelaria é, respectivamente,

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R$ 3,50, R$ 4,00 e R$ 12,00. Determine o lucro mensal obtido com a venda de cada produto e o lucro total no mês.

Resposta: A matriz que apresenta o lucro mensal obtido com

a venda de cada produto é

350800600

L =

e o lucro total no mês é

de R$ 1.750,00.

ResumoNeste capítulo apresentamos uma breve introdução às matrizes, vi-mos que uma matriz é muito mais do que uma tabela de números, é uma função. Vimos também que podemos operar com matrizes. Somar, multiplicar e encontrar a transposta são operações simples envolvendo matrizes. Finalmente, vimos que a soma é associativa e comutativa, mas que a multiplicação de matrizes não é comutativa, embora tenha outras importantes propriedades.

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Capítulo 2Sistemas de Equações Lineares

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Capítulo 2Sistemas de Equações Lineares

Neste capítulo vamos apresentar os sistemas de equações lineares, a interpretação geométrica e as técnicas de reso-lução. As técnicas mais eficientes de resolver sistemas de equações lineares são baseadas em matrizes. Apre-sentaremos o Método de Eliminação de Gauss e o Méto-do de Gauss-Jordan para resolver sistemas de equações lineares. Apresentaremos também um método genial para obter a inversa de uma matriz quadrada (quando esta existe). Todo o capítulo é baseado em matrizes e em operações denominadas elementares. Procure entender as operações elementares, pois elas serão úteis em todo o seu curso de Física.

2.1 IntroduçãoUma equação é dita linear nas variáveis 1 2, ,..., nx x x se é da forma

1 1 2 2 n na x a x a x b+ + =. Por exemplo, a equação ax by c+ = , de variá-

veis x e y, é linear. Nesse caso, o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a essa equação constitui uma reta, justificando o nome da equação. No caso de três variáveis, ax by cz d+ + = , o conjunto dos pontos do espaço que satisfazem a essa equação formam um plano. Já as equações 2 2ax by c+ = e axy by c+ = não são equações lineares.

Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações line-ares. Em sistemas de equações lineares estamos preocupados em achar o conjunto-solução, que é o conjunto de números reais que satisfaz simultaneamente a todas as equações do sistema.

Por exemplo, no sistema de equações lineares a seguir,

2 53

x yx y

+ = + =

vemos que 2x = e 1y = é solução do sistema, pois

satisfaz a ambas as equações simultaneamente.

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Para obter a solução de um sistema de equações lineares, efetua-mos operações sobre as equações do sistema de modo a obter um sistema mais simples e facilitar a obtenção do conjunto-solução, mas sem modificar o conjunto solução. No sistema acima, sub-traindo a segunda equação da primeira, obtemos 2x = . Uma vez conhecido o valor de 2x = , voltamos em qualquer equação e ob-temos 1y = .

As únicas operações num sistema que produzem sistemas com o mesmo conjunto-solução são chamadas de operações elementa-res. São elas:

Multiplicar uma equação por uma constante diferente de •zero.

Adicionar uma equação multiplicada por uma constante a •uma outra equação.

Permutar• duas equações.

Observamos que essas operações são invertíveis, isto é, uma vez realizadas, elas podem ser desfeitas. Ao multiplicar uma equa-ção por uma constante 0c ≠ , para desfazê-la basta dividir a mes-ma equação pela mesma constante. Ao permutar duas equações, para desfazê-la basta permutar novamente as duas equações. E ao substituirmos a equação jE por i jkE E+ , adicionamos uma equa-ção multiplicada por uma constante a uma outra equação. Para desfazê-la, basta subtrair do resultado a equação multiplicada ikE .

2.2 Sistemas e MatrizesUm sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo:

(*)

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mmn n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x ba x

+ + + = + + + = + + + =

com aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, números reais ou complexos e bj, j = 1, ..., n, números reais ou complexos.

Transposição dos elementos de um todo para se obter uma nova combinação.

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Uma solução do sistema (*) é uma n-upla de números 1 2( , ,..., )nx x x que satisfaz simultaneamente estas m equações.

Dizemos que dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se, toda solução de um dos sistemas também é solu-ção do outro. Obtemos sistemas de equações lineares equivalentes por meio de operações elementares sobre as equações do sistema. Para cada operação elementar feita sobre as equações de um siste-ma existe uma operação elementar que, feita sobre as equações do novo sistema, o transforma novamente no sistema original. As-sim, dizemos que estas operações elementares são invertíveis.

Ao realizarmos uma operação elementar sobre as equações de um sistema, essa operação não introduz novas relações entre as variáveis e nem ignora informações entre elas. De fato, tendo um sistema modificado pela realização de operações elementares, ao desfazermos essas operações elementares, retornamos ao sistema original que não tem outro conjunto solução.

Uma forma prática para trabalhar com um sistema de equações lineares é usar a notação matricial. O sistema

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

(*)

n n

n n

m m mmn n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x ba x

+ + + = + + + = + + + =

pode ser escrito numa forma matricial AX = B onde

A =

11 1

1

n

m mn

a a

a a

é a matriz dos coeficientes,

X = 1

n

x

x

é a matriz das incógnitas e

B = 1

m

b

b

é a matriz dos termos independentes.

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Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

m m mn m

a a a ba a a b

a a a b

que chamamos matriz ampliada do sistema.

Quando realizamos operações elementares sobre as equações li-neares de um sistema, não mexemos com as variáveis. Assim, as operações que podemos efetuar nos sistemas lineares, de modo a não alterar o conjunto-solução, podem também ser efetuadas sobre as linhas da matriz ampliada do sistema. Estas operações serão definidas a seguir. São as operações elementares sobre as linhas de uma matriz.

2.3 Operações ElementaresExistem três tipos de operações elementares sobre as linhas de uma matriz.

Permutação da i) i-ésima com a j-ésima linha: ( i jL L↔ )

Multiplicação da ii) i-ésima linha por um escalar não nulo k: ( i ikL L→ )

Substituição da iii) i-ésima linha pela i-ésima linha mais k ve-zes a j-ésima linha: ( i j iL kL L+ → ).

Como já dissemos, as operações elementares são operações inver-tíveis, isto é, uma vez realizada uma operação elementar pode-mos desfazê-la voltando à matriz original.

Definição 2.1: Se A e B são matrizes de mesma ordem, dizemos que B é linha equivalente a A, quando B for obtida de A através de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A.

Usamos a seguinte notação: A B. É claro que A A; e se A B, então B A, pois as operações elementares podem ser desfeitas . Além disso, se A B e se B C, então A C. Assim, a relação é uma relação de equivalência.

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Uma conseqüência das operações elementares é o resultado a seguir.

Teorema 2.1: Dois sistemas de equações lineares que possuem matrizes ampliadas linha equivalentes são equivalentes e portan-to possuem o mesmo conjunto solução.

2.4 Matriz Linha Reduzida à Forma Escada

Uma matriz A de ordem m n× é linha reduzida à forma escada se:

O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.i)

Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de ii) alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.

Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.iii)

Se as linhas 1,…,iv) r são as linhas não nulas, e se o primei-ro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki, então k1<k2<…<kr. (Observe que esta última condição dá à matriz uma forma de escada, de onde vem o nome para essa ma-triz). Exemplo:

A matriz

1 0 00 1 00 0 0

A =

é linha reduzida à forma escada.

A matriz

0 2 01 0 00 0 1

B =

não é linha reduzida à forma escada, pois

não satisfaz i) e nem iv).

Quando realizamos operações elementares sobre as linhas de uma matriz para reduzi-la a uma matriz linha reduzida à forma esca-da, estamos eliminando todas as informações desnecessárias.

Teorema 2.2: Cada matriz m nA × é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma escada.

A demonstração deste é um pouco técnica e não vamos

apresentá-la aqui. Você pode encontrá-la no Livro

Álgebra Linear, de Boldrini/Costa/Ribeiro/Wetzler.

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Definição 2.2: Dada uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz linha re-duzida à forma escada linha equivalente a A. O posto de A, deno-tado por p, é o número de linhas não nulas de B. A nulidade de A é o número n – p, o número de linhas nulas. Veja o exemplo:

Sejam as matrizes

2 3 00 1 08 12 0

A = −

e

1 0 00 1 00 0 0

B =

.

A matriz B é linha equivalente à matriz A , assim o posto de A é 2, e sua nulidade é 1.

Dada uma matriz Amn, seja Bmn a matriz linha reduzida à forma escada, que é linha equivalente a A. Vamos interpretar a matriz A como sendo a matriz ampliada de um sistema linear. Se a matriz B possuir um número k de linhas nulas, então o sistema linear em questão tem k equações redundantes. Usamos dizer também que, neste caso, as equações não nulas apresentadas pela matriz B são “independentes”, e que as demais são “dependentes” destas. Dizemos que as linhas dependentes são uma combinação linear das independentes. Assim, o posto da matriz ampliada de um sistema nos dá o número de equações independentes deste.

2.5 Soluções de um Sistema de Equações Lineares: Método de Eliminação de Gauss

Consideremos um sistema de m equações lineares com n incógni-tas 1 2, , , nx x x ,

111 1 12 2 1

1 1 2 2

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + = + + + =

cujos coeficientes ija e termos constantes ib são números reais ou com-plexos. Em qualquer sistema de equações lineares pode ocorrer:

o sistema tem uma única solução;i)

o sistema tem infinitas soluções;ii)

o sistema não tem solução alguma.iii)

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No primeiro caso, dizemos que o sistema é possível (compatível) e determinado. No segundo caso, dizemos que o sistema é possí-vel e indeterminado. Já no terceiro caso, dizemos que o sistema é impossível (incompatível).

Existe uma relação importante entre o posto de uma matriz e o número de soluções do sistema. Essa relação é dada pelo teorema a seguir.

Teorema 2.3:

Um sistema de i) m equações lineares e n incógnitas admite solução se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.

Se as duas matrizes têm o mesmo posto ii) p e p = n, a solução será única.

Se as duas matrizes têm o mesmo posto iii) p e p < n, podemos escolher n – p incógnitas, e as outras p incógnitas serão da-das em função destas.

O método de eliminação de Gauss consiste em transformar a matriz ampliada de um sistema de equações lineares em uma matriz triangular superior, que é a matriz ampliada de um sistema equi-valente ao sistema original. Vejamos um exemplo.

Exemplo 2.2: Resolva o sistema de equações lineares reduzindo a matriz ampliada do sistema a uma matriz triangular superior.

2 5 2 13 7 4 10

2 7 1 18

x y zx y z

x y z

+ + = −− − − = + − = −

.

Resolução:

O sistema pode ser escrito na forma matricial:

2 5 2 13 7 4 10

2 7 1 18

xyz

− − − − = − −

.

O matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

é considerado o príncipe da matemática, por ter

realizado avanços em suas diversas áreas. Também contribuiu para, dentre

outras coisas, a astonomia e o eletromagnetismo.

Em Física D, você se familiarizará com uma

importante lei que leva o nome desse matemático.

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36

Agora tomemos a matriz ampliada do sistema:

2 5 2 13 7 4 10

2 7 1 18

− − − − − −

.

Agora seguiremos realizando operações elementares sobre as li-nhas da matriz ampliada do sistema. Note que na posição 11a te-mos um elemento não nulo (chamado de pivot), vamos utilizá-lo para anular os outros elementos dessa coluna. Para isso tomemos

os multiplicadores 213

2m −

= , 312 12

m = = e as seguintes opera-

ções elementares:

2 21 1 2 3 31 1 3, L m L L L m L L− → − → .

Obtemos,

2 5 2 11710 12 2

0 2 3 17

− − −

.

Passando para a segunda linha, note que na posição 22a temos um elemento não nulo (chamado de pivot), vamos utilizá-lo para anular os elementos dessa coluna que estão abaixo dele. Para isso

tomemos o multiplicador 322 4

1 2m = = e a seguinte operação ele-

mentar 3 32 2 3L m L L− → , temos

2 5 2 11710 12 2

0 0 1 51

− −

.

A matriz ampliada do sistema está agora na forma triangular su-perior. Donde obtemos

2 5 2 11 172 2

51

x y z

y z

z

+ + = − − =

= −

.

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37

Fazendo a substituição inversa (de baixo para cima) e obtemos

2638551

xyz

= = − = −

.

Assim, a solução é única. É fácil ver que o posto da matriz do sistema e o posto da matriz ampliada do sistema são iguais a 3 e portanto o sistema tem solução única, como foi obtido.

Esse é o método de eliminação de Gauss: utilizamos multiplicado-res e operações elementares para triangularizar a matriz amplia-da do sistema. É importante seguir os passos, primeiro linha 1, depois linha 2 e assim sucessivamente, para evitarmos a realiza-ção de operações desnecessárias. Além disso, existem técnicas em que o conhecimento dos multiplicadores é muito importante.

No sistema a seguir, escrito na forma matricial, nós temos um caso de dificuldade.

2 6 2 1 14 12 5 1 10

2 7 1 1 18

xyzw

− − − = − −

.

Tomemos a matriz ampliada do sistema:

2 6 2 1 14 12 5 1 10

2 7 1 1 18

− − − − − −

.

Na posição 11a temos um elemento não nulo, vamos utilizá-lo para anular os outros elementos dessa coluna. Para isso tomemos

os multiplicadores 214 2

2m −

= = − , 312 12

m = = e as seguintes ope-

rações elementares: 2 21 1 2 3 31 1 3, L m L L L m L L− → − → . Obtemos,

2 6 2 1 10 0 1 3 80 5 3 1 16

− − − − − −

.

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38

Agora observamos que na posição 22a temos um elemento nulo, e não podemos utilizá-lo como pivot. Para continuar o processo de-vemos permutar a segunda linha com a terceira linha. Obtemos,

2 6 2 1 10 5 3 1 160 0 1 3 8

− − − − − −

e assim o processo pode continuar.

Exemplo 2.3

Resolver o sistema de equações lineares reduzindo a matriz am-pliada do sistema a uma matriz triangular superior.

2 22 2 2

2 2

x y z wx y z w

x y z w

+ − + = − + − = + − + =

.

Resolução

O sistema pode ser escrito na forma matricial:

1 2 1 1 22 1 2 1 21 1 2 1 2

xyzw

− − = −

.

Tomemos a matriz ampliada do sistema: 1 2 1 1 2

2 1 2 1 21 1 2 1 2

− − − −

.

Seguiremos realizando operações elementares sobre as linhas da matriz ampliada do sistema. Note que na posição 11a temos o ele-mento 1. Vamos indicar as operações brevemente:

1 2 2 1 3 32 , 1L L L L L L− + → − + → .

Obtemos 1 2 1 1 2

0 5 4 3 20 1 1 0 0

− − − − − −

.

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Dividindo a segunda linha por −5, 2 215

L L− → , obtemos 22 1a =

1 2 1 1 240 1 3 5 2 55

00 1 1 0

− − − −

.

Fazendo 2 3 3L L L+ → , temos

1 2 1 1 2

40 1 3 5 2 552 590 0 3 55

− − −

.

Multiplicando a terceira linha por 59− , obtemos 33 1a = ,

1 2 1 1 2

40 1 3 5 2 5520 0 1 1 3 9

− −−

.

A matriz ampliada do sistema está agora na forma escada. Donde obtemos

2 22 4 35 5 5

2 19 3

x y z w

y z w

z w

= − + − = + − = − +

.

Fazendo a substituição, de baixo para cima, também chamada de substituição inversa, obtemos

432 19 3

2 19 3

x

y w

z w

= = − = − +

.

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Notemos que a solução depende da incógnita w . Para cada valor atribuído a w temos uma solução. Assim, o sistema tem infinitas soluções. Também é fácil ver que o posto da matriz do sistema e o posto da matriz ampliada do sistema são iguais a 3. Então, como são 4 incógnitas, temos 4 - 3 variáveis livres, como esperado.

No exemplo anterior, podemos fazer mais operações elementares no sistema triangular superior e reduzir ainda mais o sistema.

Exemplo 2.4: Resolver o mesmo sistema do exemplo anterior redu-zindo a matriz ampliada do sistema a uma matriz linha reduzida à forma escada.

Resolução

Já temos do exemplo anterior que

1 2 1 11 2 1 1 2 2

42 1 2 1 2 0 1 3 5 2 551 1 2 1 2 20 0 1 1 3 9

−− − − − − − −

.

Vamos continuar o processo eliminando os elementos das colunas de cada primeiro elemento não nulo (igual a 1) de cada linha.

Realizando as operações elementares 2 1 12L L L− + → , eliminamos o elemento 12 2a = , ficando com

1 0 3 5 1 5 6 540 1 3 5 2 55

2 90 0 1 1 3

− − −−

.

Usando o elemento 33 1a = e realizando as operações indicadas brevemente,

3 2 2 3 1 14 3, 5 5

L L L L L L−+ → + → ,

obtemos a seguinte matriz linha reduzida à forma escada:

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41

1 0 0 0 4 30 1 0 1 3 2 90 0 1 1 3 2 9

− −

.

Essa matriz é a matriz ampliada do seguinte sistema:

431 23 91 23 9

x

y w

z w

= + = − = −

.

A solução desse sistema é imediata:

43

1 23 9

1 23 9

x

y w

z w

= = − + = −

.

O método de resolução de um sistema de equações reduzindo a matriz ampliada do sistema a uma matriz linha reduzida à forma escada é chamado de método de Gauss-Jordan.

Observação: Já vimos que a inversa de uma matriz quadrada A de ordem n é uma matriz B tal que nA B B A I⋅ = ⋅ = , onde In é a ma-triz identidade de ordem n. Escrevemos A−1 para a inversa de A.

Notemos que se a matriz A é quadrada invertível, então o sistema AX B= tem imediatamente uma solução. De fato,

1 1 1AX B A AX A B X A B− − −= ⇒ = ⇒ = .

Exemplo 2.5: Resolva o seguinte sistema:

1 0 1 21 1 1 21 1 0 2

X BA

xyz

− = − −

.

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Resolução

A matriz A tem inversa dada por 1

1 1 11 1 02 1 1

A−

− − = − −

. Logo, a solução do sistema é

1

1 1 1 2 21 1 0 2 02 1 1 2 4

X A B−

− − − = = − = −

.

Segue que 2, 0, 4.x y z= − = = .

Exercícios 2.1) Três trabalhadores: um carpinteiro, um eletricista e um

bombeiro, decidem simultaneamente fazer reparos em suas casas. Eles decidem trabalhar um total de dez dias cada um, de acordo com a seguinte escala:

Trabalho realizado pelo carpinteiro

Trabalho realizado pelo eletricista

Trabalho realizado pelo bombeiro

Dias de trabalho/casa carpinteiro

2 1 6

Dias de trabalho/casa eletricista

4 5 1

Dias de trabalho/casa bombeiro

4 4 3

Eles ganham normalmente, por um dia de trabalho, entre 60 e 80 reais. Por isso, um deve pagar ao outro um salário diário razoável tal que o total pago seja o mesmo recebido. Determine todos os possíveis salários.

Sugestão: chame o salário diário do carpinteiro de c , o salário diário do eletricista de e , e o salário diário do bombeiro de b . Então, temos as equações

2 6 104 5 104 4 3 10

c e b cc e b ec e b b

+ + = + + = + + =

.

Agora é só resolver o sistema. A solução geral do sistema é 32 36{( , , ); }31 31

S x x x x= ∈ , mas devemos lembrar que os salários

são positivos e situam-se entre 60 e 80 reais.

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2.2) Uma cidade tem três indústrias principais: uma minerado-ra de carvão, uma geradora de eletricidade e uma ferrovia local. Para produzir R$1,00 de carvão, a mineradora conso-me R$0,25 de eletricidade e R$0,25 de transporte. Para pro-duzir R$1,00 de eletricidade, a geradora requer R$0,65 de carvão, R$0,05 de eletricidade para seus equipamentos au-xiliares e R$0,05 de transporte. Para R$1,00 de transporte, a ferrovia local gasta R$0,55de carvão e R$0,10 de eletrici-dade. Numa certa semana a mineradora recebe um pedido de R$ 50.000,00 de carvão de outra cidade, e a geradora de eletricidade recebe um pedido de R$25.000,00 de eletrici-dade de fora. Não há demanda externa para ferrovia local. Quanto deve cada uma das indústrias produzir naquela semana para satisfazer suas demandas externa e interna?

Sugestão: Chame 1x o valor total da produção de carvão, 2x o valor total da produção de eletricidade e 3x o valor total da pro-dução de transporte. Se C é a matriz consumo local, X o vetor coluna produção total e D a demanda externa, então devemos resolver o sistema:

X CX D− = , onde

0 0,65 0,550,25 0,05 0,100,25 0,05 0

C =

e

50.00025.000

0D

=

.

Agora é só resolver o sistema. A solução é 1

2

3

102,0874751 56,1630219 28,3300199

xxx

=

.

2.6 Matrizes ElementaresA cada operação elementar com as linhas de uma matriz A corres-ponde uma multiplicação à esquerda de A por uma matriz especial. Essa matriz especial é chamada de matriz elementar. Ela é obtida realizando a mesma operação elementar sobre a matriz identidade.

Vejamos isso no caso especial de uma matriz quadrada de ordem 3:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

=

.

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permutação de duas linhas: vamos trocar a linha 2 pela a a) linha 3.

11 12 13 11 12 13

21 22 23 31 32 33

31 32 33 21 22 23

a a a a a aa a a a a aa a a a a a

.

Realizando permutação sobre as linhas 2 e 3 da matriz iden-tidade, obtemos a matriz elementar E , e em seguida, multi-plicando à esquerda, isto é, EA , obtemos

11 12 13 11 12 13

21 22 23 31 32 33

31 32 33 21 22 23

1 0 00 0 10 1 0

a a a a a aa a a a a aa a a a a a

=

.

multiplicação de uma linha por uma constante não nula: va-b) mos multiplicar a linha 2 por uma constante 0k ≠

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

a a a a a aa a a ka ka kaa a a a a a

.

Multiplicando a linha 2 da matriz identidade por 0k ≠ , ob-temos uma matriz E , e efetuando a multiplicação EA , ob-temos

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

1 0 00 00 0 1

a a a a a ak a a a ka ka ka

a a a a a a

=

.

Substituição da linha 2 pela linha 2 mais c) k vezes a linha 3

(L2 + k L3 L2).

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 31 22 32 23 33

31 32 33 31 32 33

a a a a a aa a a a ka a ka a kaa a a a a a

+ + +

.

Realizando a mesma operação (L2 + kL3 L2) sobre a iden-tidade de ordem 3, obtemos a seguinte matriz elementar

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45

1 0 00 10 0 1

E k =

.

Fazendo o produto EA , obtemos

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 31 22 32 23 33

31 32 33 31 32 33

1 0 00 10 0 1

a a a a a ak a a a a ka a ka a ka

a a a a a a

= + + +

.

Assim vemos que realizar uma operação elementar nas li-nhas da matriz A é o mesmo que aplicar esta operação ele-mentar na matriz identidade e, em seguida, pré multiplicar esta nova matriz por A. Então podemos perceber que existe uma relação íntima entre as operações com linhas de uma matriz e certas matrizes especiais construídas a partir da matriz identidade. Estas matrizes serão denominadas ma-trizes elementares.

Definição 2.3: Uma matriz elementar é uma matriz obtida a par-tir da matriz identidade, através de aplicação de uma operação elementar sobre as linhas da matriz identidade.

Teorema 2.4: Se A é uma matriz, o resultado da aplicação de uma operação com as linhas de A é o mesmo que o resultado da mul-tiplicação da matriz elementar E, correspondente à operação com linhas, pela matriz A.

Da discussão acima, podemos concluir que:

Corolário: Uma matriz elementar E1 é invertível, e sua inversa é também uma matriz elementar E2.

Sejam A e B matrizes. Suponha que B seja a matriz linha-redu-zida à forma escada obtida de A . Então, existe uma seqüência de matrizes elementares 1 2 1, ,... ,k kE E E E− tais que 1 2 1...k kB E E E E A−= .

Assim, se A é linha equivalente à matriz identidade I , existe uma seqüência de matrizes elementares tais que 1 2 1...k kI E E E E A−= . Donde temos

CorolárioProposição que se deduz imediatamente de outra de-monstrada.

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1 1 1 11 2 1 1 2( ... ) ...k k kE E E E A A E E E− − − −

− = ⇒ = e 11 2 1...k kA E E E E−

−= .

Segue que A é um produto de matrizes invertíveis e, portanto, é invertível. Assim, se uma matriz A é equivalente à matriz identi-dade, então A é invertível. Reciprocamente, toda matriz invertível é um produto de matrizes elementares. Prove! (Veja os exercícios).

Teorema 2.5: Uma matriz A é invertível se, e somente se, pode ser reduzida, por operações elementares, à matriz identidade.

Teorema 2.6: Sistemas de equações lineares associados a matri-zes linha equivalentes são equivalentes.

Demonstração: Sejam A e A′ matrizes linha equivalentes. Pelo teorema anterior, A′= MA, onde M é um produto de matrizes elementares e, portanto, invertível. Os sistemas (I) e (II) que têm A e A′ como matrizes ampliadas podem ser escritos, respectiva-mente:

NX = B e N ′X = B′ ,

onde N é a submatriz de A da qual se retirou a última coluna, e B é esta coluna. (Idem para N ′ , A′ e B′ ). Além disto, podemos verificar que

N ′ = MN e B′ = MB.

Portanto, NX = B MNX = MB N ′X = B′ .

Isto significa que os sistemas (I) e (II) são equivalentes, pois toda matriz

1

n

xX

x

=

.

que seja a solução do I será solução de II e vice-versa.

Exercícios2.3) Se A e B são matrizes quadradas de ordem n e BA = In,

mostre que a matriz linha reduzida à forma escada equiva-lente a B é a identidade In.

2.4) Se A é invertível, mostre que A é produto de matrizes ele-mentares.

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47

2.7 Procedimento para a Inversão de Matrizes

Seja A uma matriz quadrada de ordem n e suponha que tenha in-versa. Então, A é linha equivalente à matriz identidade nI . Assim, existe uma seqüência de matrizes elementares 1 2 1, ,... ,k kE E E E− tais que 1 2 1...k kI E E E E A−= . Como as matrizes elementares são invertí-veis, então o produto 1 2 1...k kE E E E− é invertível. Logo,

1 1 11 2 1 1 2 1( ... ) ( ... )k k k kI E E E E A A E E E E I− − −

− −= ⇒ = .

Isto é, 11 2 1 1 2 1( ... ) ...k k k kA I E E E E E E E E−

− −= = .

Logo, para obter a inversa da matriz A, basta realizar sobre a ma-triz identidade as mesmas operações elementares que foram rea-lizadas sobre A para obter a sua linha-reduzida à forma escada.

Da discussão acima obtemos os seguintes teoremas:

Teorema 2.7: Se A é uma matriz invertível, sua matriz linha redu-zida à forma escada, R, é a identidade. Além disso, A é dada por um produto de matrizes elementares.

Teorema 2.8: Se uma matriz A pode ser reduzida à matriz iden-tidade por uma seqüência de operações elementares com linhas, então A é invertível, e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz identidade, aplicando-se a mesma seqüência de operações com linhas.

Exemplo 2.5: Determine se a matriz

1 0 11 1 11 1 0

A = − − −

possui in-versa.

Resolução:

Reduzindo a matriz à forma escada, obtemos

1 2 2 2 3 3 2 2

1 3 3 3 1 1

1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 01 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 01 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1

L L L L L L L L

L L L L L L

− + → − + → − →

+ → − + →

− − − − − −

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Assim, a matriz A pode ser reduzida à matriz identidade e, portan-to, possui inversa.

Como vimos, toda matriz invertível é um produto de matrizes elementares. Assim, podemos aproveitar as matrizes elementares para determinar a inversa. Um dispositivo prático para determi-nar a inversa de uma matriz A é o seguinte: escrevemos uma nova matriz como [ : ]A I , isto é, A e a identidade ao lado, realizamos operações elementares sobre as linhas desta matriz até que se te-nha [ : ]I B , e então teremos 1B A−= . Vejamos um exemplo:

Exemplo 2.6: Determine a inversa da matriz 1 0 11 1 11 1 0

A = − − −

.

Resolução:

Escrevemos uma matriz em que a matriz dada e a matriz identida-de são escritas lado a lado.

Procuramos reduzir a matriz dada à matriz identidade. Ao final, quando a matriz dada for reduzida à identidade, teremos, do outro lado, a matriz inversa da matriz dada.

Acompanhe as nossas reduções.

1 2 2 2 3 3 2 2

1 3 3 3 1 1

1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 01 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 01 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 2 1 1

L L L L L L L L

L L L L L L

− + → − + → − →

+ → − + →

− − − − − − − − −

1 0 0 1 1 10 1 0 1 1 00 0 1 2 1 1

Identidade e Inversa

− − − −

.

Assim, a matriz inversa de A é a matriz dada por

1

1 1 11 1 02 1 1

A−

− − = − −

.

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49

Exercícios

2.5) Determine a inversa das matrizes utilizando a técnica apresentada acima.

1 2 32 3 53 4 2

A =

a)

Resposta: A inversa é 1

5 112 25 122 21 11

2 2

A−

− = − − −

.

1 0 10 3 0 1 0 4

A =

b) .

Resposta: A inversa é 1

4 103 3

10 0 3

1 103 2

A−

− = −

.

2.6) Resolva o seguinte sistema de equações lineares. Determi-ne o posto da matriz ampliada do sistema.

2 22 2 1

2

x y z wx y z w

x y z w

+ − + = − + + = + − + =

.

Resposta: O conjunto solução é:

1 3 1 1( , , , ); , 1, ,2 4 2 4

S x y z w x w y z w w = = − = = + ∈

.

O posto da matriz ampliada é 3, e o sistema possui infini-tas soluções.

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50

2.7) Determine a solução do sistema de equações lineares

2 2

2 2 31

2 4

x y z wx y z w

x y z wx y z w

− − + = + + − = + + + = − + + =

.

Resposta: A solução é 0, 1, 1, 0x y z w= = − = = . O posto da matriz do sistema e o posto da matriz ampliada do siste-ma são iguais a 4. A solução é única.

ResumoNeste capítulo estudamos alguns métodos diretos para obter a solução de um sistema de equações lineares: o método de eliminação de Gauss e o método de Gauss-Jordan. Essas técnicas utilizam uma combinação de matrizes com operações elementares sobre suas li-nhas. É impressionante o feliz casamento entre sistemas de equa-ções lineares e matrizes.

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Capítulo 3Determinantes e Matriz Inversa

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Capítulo 3Determinantes e Matriz Inversa

Neste capítulo vamos estudar determinantes e sua rela-ção com matriz inversa. O determinante é uma opera-ção sobre matrizes quadradas, que fornece também um método direto importante para decidir se uma matriz quadrada possui inversa ou não: se o determinante de uma matriz é diferente de zero, então a matriz possui inversa. Apresentamos também técnicas para facilitar o cálculo do determinante de uma matriz.

3.1 A Definição de DeterminanteVamos denotar o determinante de uma matriz quadrada ( )ijA a= por:

det A ou A ou det[ ]ija .

Uma permutação no conjunto {1,2,..., }n é qualquer bijeção : {1,2,..., }n → {1,2,..., }n sobre esse conjunto. Podemos repre-sentar a permutação por

1 2 :

(1) (2) ( )nn

ou ainda por

:( (1) (2) ... ( )).n .

Sobre o conjunto {1,2,..., }n existem !n permutações. Isso pode ser demonstrado por indução sobre n .

Dizemos que uma permutação sobre o conjunto {1,2,..., }n apre-senta uma inversão quando, na imagem da função , um inteiro precede outro menor do que ele. A potência de base −1 e expoente igual ao número de inversões é chamado de sinal da permutação.

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54

Denotamos por sgn( ) o sinal da permutação .

Por exemplo: se é a permutação dada por

1 2 3 4 5:

1 5 2 4 3

para determinar o seu sinal, observamos que temos as se-guintes inversões: (5 2), (5 4), (5 3) e (4 3). Segue que o sinal é

4sgn( ) ( 1) 1 = − = .

Agora estamos prontos para apresentar a definição de determinante.

Definição 3.1: O determinante de uma matriz quadrada ( )ijA a= é definido por:

1 (1) 2 (2) 3 (3) ( )det sgn( ) n nA a a a a

= ∑ ,

onde a soma é estendida a todas as !n permutações no conjun-to { }1,2,3,..., n .

Notemos da definição acima que em cada fator 1 (1) 2 (2) 3 (3) ( )n na a a a 1 (1) 2 (2) 3 (3) ( )n na a a a há apenas um único elemento de cada linha e um único elemento de cada coluna.

Exemplo 3.1

O determinante de uma matriz quadrada a) n n é dado por

det A ad bc= − . De fato, existem duas permutações sobre o

conjunto {1,2} são elas: 0

1 21 2

=

e 1

1 22 1

=

, com si-

nais 1 e 1− , respectivamente. Logo, temos

0 0 1 11 (1) 2 (2) 1 (1) 2 (2) 11 22 12 21det A a a a a a a a a ad bc = − = − = − .

Do mesmo modo, podemos utilizar a definição de determi-b) nante de uma matriz para provar que, se

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55

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

=

,

então o seu determinante é dado por

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a= + + − − − .

Um artifício que auxilia o cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 é ilustrado pela figura a seguir:

repetimos as duas primeiras colunas da matriz e multiplicamos cada três elementos dessa matriz que estão alinhados. Se a flecha indica descida, o sinal do produto é positivo; se a flecha indica su-bida, o sinal é negativo. O resultado dessa soma é o valor do deter-minante. Esse artifício vale apenas para matrizes de ordem 3 3× .

3.2 Principais Propriedades dos Determinantes

Calcular diretamente da definição o determinante de uma matriz pode ser uma árdua tarefa. Em geral, usamos propriedades que nos ajudam nesse trabalho. Dentre as propriedades dos determi-nantes, destacamos as encontradas abaixo. Essas propriedades, quando usadas simultaneamente, simplificam muito o cálculo do determinante.

Propriedades 3.1:

Se todos os elementos de uma linha (coluna) de uma matriz i) A são nulos, então det 0A = .

ii) det detA A′= , onde A′ é a matriz transposta de A.

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Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) da matriz por iii) uma constante, o determinante fica multiplicado por esta constante.

Se permutarmos duas linhas (ou colunas), o determinante iv) tem seu sinal trocado.

Se v) A tem duas linhas ou duas colunas idênticas, então det 0A = .

vi)

11 1

1 1

1

n

i i in in

n nn

a a

a b a b

a a

+ +

=

11 1

1

1

n

i in

n nn

a a

a a

a a

+

11 1

1

1

n

i in

n nn

a a

b b

a a

.

O determinante não se altera se somarmos a uma linha vii) uma outra linha multiplicada por uma constante.

det viii) (A.B) = det A.det B.

Antes de apresentamos as demonstrações dessas importantes propriedades, vamos apresentar alguns exemplos que tornarão essas propriedades mais simples de serem entendidas.

Vimos que, se uma matriz A tem inversa, então 1AA I− = , e pela propriedade 8, acima, temos 1 11 det( ) det( ) det detI AA A A− −= = = .

Segue que 1 1detdet

AA

− = . Temos o seguinte resultado:

Teorema 3.1: Se uma matriz quadrada possui inversa, então o seu determinante é diferente de zero. Além disso, 1 1det

detA

A− = .

Em outras palavras, se o determinante é nulo, então a matriz não possui inversa. A recíproca também é verdadeira.

Teorema 3.2: Se det 0A ≠ então A possui inversa.

Um importante resultado, apresentado a seguir, mostra que, para matrizes triangulares, calcular seus determinantes é tarefa simples.

Teorema 3.3: Se A é matriz triangular (isto é, tem apenas zeros abaixo ou acima da diagonal principal), então det A é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.

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57

Demonstração: A prova segue da definição de determinante e da observação de que, quando Id ≠ , aparecerá ao menos um ele-mento nulo na expressão 1 (1) 2 (2) 3 (3) ( )n na a a a . Vamos supor que

a matriz A seja triangular superior, isto é, 0ija = se i j> . Como na

expressão do determinante 1 (1) 2 (2) ( )det sgn( ) ... n nA a a a

= ∑ , em

cada termo da soma há um (único) elemento de cada linha e um (único) elemento de cada coluna, se um dos elementos ( )i ia tiver

( )i i> , então 1 (1) 2 (2) 3 (3) ( ) 0n na a a a = . O único termo em que não se tem ( )i i> para todo 1,2,...,i n= ocorre quando Id = é a aplicação (permutação) identidade, isto é, 11 22 33 nna a a a

. Segue que 11 22 33det nnA a a a a=

. Isso prova o teorema.

Exemplo 3.2

Seja a matriz triangular superior a) 1 3 50 1 40 0 2

A = − −

. Segue que det 2A = .

Seja a matriz triangular inferior b)

1 0 02 3 06 9 2

B = −

. Segue que det 6B = − .

3.3 Usando as Propriedades dos DeterminantesExemplo 3.3

Considere que a matriz dada por a) 1 1 11 2 1

1 1 0A

− − = −

possui determinante igual a 1.

Logo, possui inversa, pois se não possuísse inversa, o seu determinante seria nulo.

Determine b) x na matriz A6 5

:1

xA

x−

= − de modo que possua

inversa.

Como det 6 6A x= − devemos ter 1x ≠ .

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58

Dada a matriz c)

1 4 11 2 1

1 1 0A

− = −

,

sua transposta é

1 1 14 2 11 1 0

A−

′ = −

. Cada uma delas possui determinante igual a 6.

A matriz d)

1 4 10 0 01 1 0

A−

=

possui uma linha nula, logo seu

determinante é nulo.

A matriz e)

1 4 04 3 01 1 0

B =

possui uma coluna nula, logo seu

determinante é nulo.

Seja a matriz f) 1 4 1

1 3 2 1 4 21 1 0

A−

= + + +

, que tem determinante

igual a 17.

Pela propriedade 6, temos que

1 4 1 1 4 1det det 1 2 4 det 3 1 2 13 4 17

1 1 0 1 1 0A

− − = + = + =

.

Seja a matriz g)

3 12 32 4 61 1 0

A−

=

.

Essa matriz pode ter a primeira linha fatorada por 3 e a segun-da linha fatorada por 2. Assim, pela propriedade 3, temos

10

1 4 1det 3 2det 1 2 3 3 2 10 60

1 1 0A

− = × = × × =

.

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59

Seja a matriz h)

3 7 31 1 16 14 3

A−

= −

.

Observe que, multiplicando a primeira linha por 2− e so-mando com a terceira linha, obtemos a matriz

3 7 31 1 10 0 9

B−

= −

.

Pela propriedade 7, essa operação não altera o determinante. Logo, det det 90A B= = − .

Calcule o determinante da matriz i)

1 1 11 1 1

1 0 9A

− = − −

.

Substituindo a linha 2 pela soma da linha 1 com a linha 2, obtemos

1 1 10 0 01 0 9

B−

=

.

Como essa operação não altera o determinante, temos det 0.A =

No seguinte exemplo, ilustramos a utilização das propriedades para calcular o determinante. Essa técnica, denominada “cálculo do determinante por triangulação”, se baseia na utilização simul-tânea das propriedades dos determinantes.

Considere a matriz dada por j)

1 1 1 21 1 1 01 0 3 12 0 3 1

A

− − − = − −

.

Vamos realizar as seguintes operações sobre as linhas dessa matriz. Elas não alteram o valor do determinante:

substituir a linha 2 pela linha 1 mais a linha 2;•

substituir a linha 3 pela linha 3 menos a linha 1;•

substituir a linha 4 pela linha 4 menos duas vezes a linha 1. •

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Obtemos a seguinte matriz

1 1 1 20 0 0 20 1 2 30 2 1 5

B

− = − −

.

Efetuando a operação linha 4 menos duas vezes a linha 3, obtemos

1 1 1 20 0 0 20 1 2 30 0 3 1

C

− = − −

.

Multiplicando a linha 4 por 13

− , o determinante fica (altera-

do) multiplicado por 13

− ,

1 1 1 20 0 0 20 1 2 3

10 0 13

D

= − −

.

Permutando a linha 2 com a linha 3 e em seguida a linha 3 com a linha 4, o determinante troca de sinal duas vezes, e obtemos a seguinte matriz triangular superior:

1 1 1 20 1 2 3

10 0 13

0 0 0 2

E

− −

= −

,

cujo determinante é 2.

Assim, como só realizamos três operações que alteram o de-terminante, temos

1 12 det ( 1)( 1)det det det 6.3 3

E A A A− −= = − − = ⇒ = − .

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61

Como vimos, aplicando repetidas vezes as propriedades dos determinantes, podemos calcular o determinante de uma matriz de um modo mais eficiente.

3.4 Demonstrações das propriedades dos determinantes

Apresentaremos, a seguir, as demonstrações das propriedades dos determinantes. Ignore essas demonstrações numa primeira leitura, mas, assim que se sentir mais seguro, volte e procure en-tendê-las.

Se todos os elementos de uma linha (coluna) de uma matriz i) A são nulos, então det 0A = .

Como foi observado na definição de determinante, cada termo

1 (1) 2 (2) 3 (3) ( )n na a a a possui um (único) elemento de cada linha e um (único) elemento de cada coluna. Se uma linha ou coluna é com-posta apenas de zeros, então cada produto 1 (1) 2 (2) 3 (3) ( )n na a a a contribuirá com zero no somatório. Assim, o determinante é nulo.

det detA A′=ii) , onde A′ é a matriz transposta de A. De fato, pela definição, temos

1 (1) 2 (2) 3 (3) ( )det sgn( ) n nA a a a a

= ∑ .

Vamos mostrar que

(1)1 (2)2 (3)3 ( )det sgn( ) n nA a a a a

′ = ∑ .

O lado direito da igualdade é a soma de termos consistindo exa-tamente de um fator de cada linha e de cada coluna.

Quando reordenamos os fatores em cada termo

1 (1) 2 (2) 3 (3) ( )n na a a a de modo a trazer de volta o índice das colu-nas a sua ordem natural, estamos, simultaneamente, alterando os índices das linhas de sua ordem natural. Cada inversão dos índi-ces das colunas que se desfaz gera uma inversão nos índices das linhas. Assim, o sinal dos termos 1 (1) 2 (2) 3 (3) ( )n na a a a é o mes-mo que o sinal dos correspondentes termos (1)1 (2)2 (3)3 ( )n na a a a . Segue que det detA A′= .

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Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, iii) o determinante fica multiplicado por esta constante.

Seja A uma matriz n n× e B a matriz obtida de A pela multiplica-ção uma linha ou coluna por k ∈ , digamos , 1, 2, ,ij ijb ka j n= = , isto é a linha i foi multiplica pela constante k . Então,

1 (1) 2 (2) 3 (3) ( ) ( ) 1 (1) 2 (2) 3 (3) ( ) ( )

1 (1) 2 (2) 3 (3) ( ) ( )

det sgn( ) ... sgn( ) ( )...

sgn( ) ( )... det

i i n n i i n n

i i n n

B b b b b b a a a ka a

k a a a a a k A

= =

=

∑ ∑

Demonstraremos agora que, se permutarmos duas linhas iv) de A , então o determinante muda de sinal.

De fato, seja B a matriz obtida de A permutando-se a k -ésima e p-ésima linhas. Pela definição de determinante, temos

1 (1) 2 (2) ( ) ( ) ( )

1 (1) 2 (2) ( ) ( ) ( )

det sgn( ) ... ... ...

det sgn( ) ... ... ...

k k p p n n

p p k k n n

A a a a a a

B a a a a a

=

=

∑ Se o conjunto { (1), (2),..., ( ),..., ( ),..., ( )}k p n pos-sui um número par de inversões, então o conjunto { (1), (2),..., ( ),..., ( ),..., ( )}p k n possui um número ímpar de inversões, e vice-versa. Assim, estas permutações possuem sinais opostos, e temos det detA B= − .

Se v) A tem duas linhas ou duas colunas idênticas, então det 0A = . Para provar essa afirmação, vamos usar o item iv. Seja B a matriz obtida de A pela permutação das linhas (ou colunas) idênticas. Claramente, det detA B= . Mas, por outro lado, permutando linhas obtemos det detA B= − . Donde se-gue que det 0A = .

Sejam vi) ,A B e C matrizes idênticas, exceto na i-ésima li-nha, e que a i-ésima linha da matriz C é soma da i-ésima linha da matriz A com i-ésima linha da matriz B , isto é,

, 1, 2,...,ij ij ijc a b j n= + = . Todas as demais linhas das três ma-trizes são iguais. Vamos provar que det det detC A B= + .

Mais precisamente, se

.

.

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63

11 1

1 1

1

n

i i in in

n nn

a a

C a b a b

a a

= + +

,

11 1

1

1

n

i in

n nn

a a

A a a

a a

=

,

11 1

1

1

n

i in

n nn

a a

B b b

a a

=

,

então det det detC A B= + . De fato,

1 (1) 2 (2) 3 (3) ( ) ( )

1 (1) 2 (2) 3 (3) ( ) ( ) ( )

1 (1) 2 (2) 3 (3) ( ) ( )

1 (1) 2 (2) 3 (3) ( ) ( )

det sgn( ) ...

sgn( ) ( )...

sgn( ) ...

sgn( ) ...

det det

i i n n

i i i i n n

i i n n

i i n n

C c c c c c

a a a a b a

a a a a a

a a a b a

A B

=

+

= +

+

= +

Agora vamos provar que o determinante não se altera se vii) somarmos a uma linha uma outra linha multiplicada por uma constante. Seja ( )ijA a= e B a matriz obtida de A na qual a i-ésima linha é o produto da p-ésima linha de A por uma constante k mais a i-ésima linha de A . Vamos provar que det det .A B= De fato, notemos que a matriz B tem a forma

11 1

1 1

1

n

i p in pn

n nn

a a

B kaa ka a

a a

= + +

.

Pelo item vi) sabemos que det det detB A k C= + , onde C é matriz que possui a i-ésima e a p-ésima linhas iguais. Assim, det 0C = e, portanto, det detA B= .

Agora provaremos que viii) det (AB) = det Adet B.

Primeiramente, vamos provar esse resultado para uma matriz elementar A E= . Lembramos que uma matriz elementar é uma

.

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matriz E obtida da matriz identidade pela realização de uma operação elementar. Vamos mostrar que det( ) det detEB E B= ⋅ .

Se E é matriz elementar obtida pela permutação de duas linhas de n nI × , então por iv), det( ) detEB B= − e det 1E = − , portanto det( ) det detEB E B= ⋅ .

Se E é matriz elementar obtida pela multiplicação de uma das linhas de n nI × por uma constante 0k ≠ , então por iii),det( ) detEB k B= e det E k= , portanto det( ) det detEB E B= ⋅ .

Se E é matriz elementar obtida adicionando k vezes uma li-nha de n nI × à outra linha de n nI × , então por vii), det( ) detEB B= e det 1E = , portanto det( ) det detEB E B= ⋅ .

Agora consideremos o caso em que A é invertível. Assim, A pode ser escrita como um produto de matrizes elementares

1 2.... mA E E E= . Logo, aplicando repetidas vezes o resultado, já pro-vado para o caso de matrizes elementares, temos

1 2

1 2

1 2

det( ) det( .... ) det( )det( )...det( )det( ) det( .... ) det( ) det( )det .

m

m

m

AB E E E BE E E BE E E BA B

====

No caso em que A não é invertível, sua matriz reduzida à for-ma escada tem ao menos uma linha nula, isto é, 1 2 3... mA E E E E C=onde C é matriz reduzida à forma escada de A e tem ao menos uma linha nula.

Segue que

1 2 3

1 2 3

1 2 3

det( ) det( ... )det( ... ) det( )det( ... )0 0,

m

m

m

AB E E E E CBE E E E CBE E E E

=== =

pois CB tem uma linha nula e, portanto, o seu determinante é nulo.

3.5 Desenvolvimento de LaplaceSeja A = [aij] uma matriz de ordem n. Considere Aij a submatriz da matriz A, onde a i-ésima linha e a j-ésima coluna foram retiradas.

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Além disso, chamemos

∆ij = (−1)i+jAij

de cofator ou complemento algébrico do elemento aij.

Dessas definições, podemos expressar:

1 1

1

1

det

( 1) det

.

i i in inn

i jij ij

j

n

ijijj

A a a

a A

a

+

=

=

= ∆ + + ∆

= −

= ∑ ∆

O processo acima, de calcular o determinante de uma matriz de ordem n a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n – 1 é chamado de desenvolvimento de Laplace. Obser-ve que na fórmula dada, o determinante foi desenvolvido pela i-ésima linha, mas também podemos desenvolvê-lo de uma forma análoga por colunas.

Exemplo 3.4: Calcular o determinante da matriz pelo desenvolvi-mento de Laplace.

1 0 1 10 3 0 11 0 4 01 2 1 1

A

= −

.

Resolução

Vamos escolher a primeira linha para efetuar o desenvolvimento. Assim, temos

11 11 12 12 13 13 14 14

1 1 1 2 1 3 1 411 11 12 12 13 13 14 14

11 12 13 14

det

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

0 1 .

A a a a aa A a A a A a A

A A A A

+ + + +

= ∆ + ∆ + ∆ + ∆

= − + − + − + −

= − + −

Vamos calcular separadamente os determinantes

11 12 13 14, , ,A A A A .

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66

11 12

13 14

3 0 1 0 0 10 4 0 4, 1 4 0 52 1 1 1 1 1

0 3 1 0 3 01 0 0 2, 1 0 4 121 2 1 1 2 1

A A

A A

= = = = −−

= = = = −− −

Donde segue que

11 12 13 14det 0 1 4 0( 5) 2 ( 12) 18A A A A A= − + − = − − + − − = .

Exercícios3.1) Calcule o determinante das seguintes matrizes. Qual de-

las possui inversa?

1 1 11 1 1

1 1 0

− −

a) . Resposta: det = −4, possui inversa.

2 1 11 1 1

1 1 0

− −

b) . Resposta: det = −5, possui inversa.

00 0

a b cd e

f

c) .

0 00

ab dc e f

d) .

0 00 00 0

ad

f

e) .

3.2) Use o desenvolvimento de Laplace para calcular os deter-minantes:

Resposta: os três itens, c,d e e têm o mesmo valor adf .

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2 0 1 10 1 0 11 0 4 01 2 1 5

A

− = −

a) . Resposta: detA = −54.

8 0 1 10 1 6 10 0 4 00 2 1 10

A

− =

b) . Resposta: detA = −384.

3.6 Técnica de Cálculo do Determinante: Eliminação de Gauss

Devido à sua importância, retomamos o cálculo do determinante por meio da aplicação simultânea das propriedades dos determi-nantes. Procuramos formalizar esse procedimento e estabelecer um algoritmo.

Calcular o determinante de uma matriz pela definição pode ser complicado, mesmo para um computador poderoso. Imagine que desejamos calcular o determinante de uma matriz de ordem 50 50× . Em aplicações, é muito comum nos depararmos com ma-trizes muito maiores. Para isso, devemos efetuar aproximada-mente 6550! 0,304 10≈ × operações. Se um poderoso computador realizasse um trilhão de operações por segundo, faria todas as operações em aproximadamente 530,304 10× segundos. Isso é simplesmente 450,96 10× anos, aproximadamente quatro vezes a idade da Terra. Por isso, é importante conhecer as propriedades dos determinantes para otimizar o cálculo dos determinantes. É isso o que vamos fazer agora.

O método mais usual para calcular o determinante de uma ma-triz, de forma indireta, é utilizando o método de eliminação de Gauss para triangularizar a matriz dada. Já vimos nas proprieda-des de determinantes que, se uma matriz B foi obtida de ( )ijA a= adicionando à i-ésima linha de A o produto da p-ésima linha de A por uma constante k, então det det .A B= . Logo, se ao triangu-

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larizarmos uma matriz não efetuarmos permutações de linhas ou colunas e nem multiplicarmos linha ou coluna da matriz por uma constante, não alteraremos o seu determinante. Mas se lan-çarmos mão dessas duas operações, devemos tomar os devidos cuidados para garantir que o determinante não seja alterado. Isto é, se multiplicamos uma linha ou coluna de uma matriz por uma constante, devemos em seguida dividir o determinante. E, se per-mutarmos linhas ou colunas de uma matriz, devemos em segui-da trocar o sinal do determinante. Resumindo, temos o seguinte algoritmo:

Algoritmo

Entre com a matriz 1) A de ordem n n× .

Tome 2) sgn 0= .

Se 3) 1 0, 1, 2,...,ia i n= = , então det 0A = e pare.

Se não, encontre o elemento 4) 1ia da primeira coluna que seja não nulo.

Se 5) 1i ≠ , permute a primeira linha com a i-ésima linha e faça sgn sgn 1= + .

Use 6) 11a para substituir a linha j por k vezes a linha 1 mais a linha j, de modo a obter aj1 = 0, para j = 2, 3, ..., n.

Repita o procedimento com a submatriz obtida, retirando a 7) primeira linha e a primeira coluna.

Continue o procedimento até obter uma matriz triangular 8) superior T .

sgndet ( 1) detA T= −9) .

Exemplo 3.5

Seja a matriz a)

1 4 62 3 06 9 2

C = −

.

Utilizando operações elementares (apenas adicionando a uma li-nha o produto de constante por outra linha da matriz C) vemos que a matriz pode ser reduzida à seguinte matriz triangular superior:

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1 4 60 5 120 0 2

R = − − −

e, portanto, det det 10C R= = .

Seja a matriz b)

1 4 1 1 22 4 0 1 1

1 2 1 0 15 2 4 3 21 2 6 4 3

D

− − − = − − − − −

.

Mesmo utilizando o desenvolvimento de Laplace, teremos um certo trabalho para calcular o determinante dessa matriz. Utili-zando operações elementares (apenas adicionando a uma linha o produto de constante por outra linha da matriz) vemos que a matriz pode ser reduzida à seguinte matriz triangular superior:

1 4 1 1 2

0 12 2 3 3

5 510 0 3 2 251 30 0 0 10 2

1060 0 0 0 17

S

− − −−=

,

cujo determinante é dado por det det 636D S= = .

Aplicando o algoritmo acima à matrizc)

5 1 1 21 1 1 01 0 2 12 0 1 1

A

− − − = − −

obtemos 4 4 25 5 5

325

4

5 1 1 200 0 20 0 0

B−

− =

.

Assim, det 10A = − .

Aplicando o algoritmo acima à matriz d)

2 5 31 1 10 0 9

A−

= −

ob-

temos 7 52 2

2 5 300 0 9

B −

− =

. Segue que det 63A = − .

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70

Seja a matriz e)

111

x y zA y x z

z x y

+ = + +

. Vamos calcular o seu deter-minante.

Escrevendo a terceira coluna da matriz acima com a segunda co-luna adicionada a ela, obtemos

1

111

x x y zA y x y z

z x y z

+ + = + + + +

.

Assim, temos

1

1 1det det ( )det 1 1 ( ) 0 0

1 1

xA A x y z y x y z

z

= = + + = + + × =

.

3.7 O Cálculo da Matriz Inversa pelo Determinante

Para finalizar esse capítulo, vamos apresentar uma fórmula que fornece a matriz inversa em termos de seu determinante. Essa fórmula é sugerida pela inversa de uma matriz 2 2× e de 3 3× .

Vimos que se a b

Ac d

=

com 0ad bc− ≠ , então a matriz

1 1 d b

Ac aad bc

− − = −−

é a inversa de A .

A inversa de uma matriz quadrada de ordem 3,

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

=

, é dada por

22 33 23 32 12 33 13 32 12 23 13 22

21 33 23 31 11 33 13 31 11 23 13 21

21 32 22 31 11 32 12 31 11 22 12 21

det det det1

det det det

det det det

a a a a a a a a a a a aA A A

a a a a a a a a a a a aA A A

a a a a a a a a a a a aA A A

A

− − −

− − −−

− − −

= − − −

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71

onde

11 22 33 11 23 32 21 12 33 21 13 32 31 12 23 31 13 22det .A a a a a a a a a a a a a a a a a a a= − − + + −

Vamos apresentar, sem a demonstração, a fórmula geral.

Como já vimos na expansão de Laplace, vamos rever os cofatores de uma matriz. Seja [ ]ijA a= uma matriz quadrada de ordem n. A cada elemento ija da matriz associamos uma submatriz de A, de-notada por ijA , obtida retirando a i -ésima linha e a j-ésima coluna de A . O cofator ijC da matriz A é definido por

( 1) deti jij ijC A+= − .

A adjunta de uma matriz [ ]ijA a= é a transposta da matriz dos cofatores de A . Por exemplo:

A matriz 2 1 21 1 10 0 1

A−

= −

tem os seguintes cofatores:

1 111

1 1( 1) det 1

0 1C + −

= − = −

, 1 212

1 1( 1) det 1

0 1C +

= − = −

,

1 313

1 1( 1) det 0

0 0C + −

= − =

,

2 121

1 2( 1) det 1

0 1C + −

= − = −

, 2 222

2 2( 1) det 2

0 1C + −

= − =

,

2 323

2 1( 1) det 0

0 0C +

= − =

3 131

1 2( 1) det 1

1 1C + −

= − = − − , 3 2

32

2 2( 1) det 4

1 1C + −

= − = −

,

3 333

2 1( 1) det 3

1 1C +

= − = − − .

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Segue que adjunta da matriz A, a transposta da matriz formada pelos cofatores, é dada por

1 1 1adj 1 2 4

0 0 3A

− − − = − − −

.

Teorema 3.4: Suponha que a matriz n nA × tem inversa. Então,

1 1 adjdet

A AA

− = .

Exemplo 3.6

Seja a) a b

Ac d

=

, com 0ad bc− ≠ .

Seus cofatores são 11 12 21 22, , ,C d C c C b C a= = − = − = . Segue que a

matriz adjunta é Adjd b

Ac a

− = −

.

Portanto, a inversa de A é dada por 1 1 d bA

c aad bc− −

= −− .

No exemplo acima vimos que b) det 3A = − . Segue do teorema que

1

1 1 11 1adj 1 2 4

3 30 0 3

A A−

− − − − − = = − −

, isto é,

1

1 1 13 3 31 2 43 3 30 0 1

A−

− =

.

Seja c)

4 2 53 1 89 6 7

A =

.

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A matriz dos cofatores é

41 51 916 17 611 17 2

C−

= − − − −

e a matriz adjunta

de A é

41 16 11adj 51 17 17

9 6 2A

− = − − − −

.

Como det 17A = − , a matriz inversa de A é a matriz

1

1641 1141 16 11 17 17 171 1Adj 51 17 17 3 1 117 17

9 6 2 9 6 217 17 17

A A−

− − − − − = = − − = − − − −

.

Exercícios

3.3) Calcule a inversa de 4 2 53 1 89 6 7

A− −

= −

.

Resposta:

41 44 21157 157 157

1 93 73 17157 157 157

27 6 10157 157 157

A

− −

− −

=

.

3.4) Calcule a inversa de 1 0 13 1 11 1 2

A− −

= −

.

Resposta:

1 1 15 5 5

1 7 3 25 5 54 1 1

5 5 5

A

− −

− −

=

.

ResumoNeste capítulo vimos a definição de determinante e muitas de suas propriedades. Vimos como podemos utilizá-lo para decidir se uma matriz quadrada possui ou não inversa. Vimos como foi útil conhecer essas propriedades para facilitar no cálculo do de-terminante. Aprendemos a calcular a inversa de uma matriz uti-lizando o determinante e a matriz dos seus cofatores.

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Capítulo 4Vetores

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77

Capítulo 4Vetores

Uma das noções fundamentais da Matemática e da Fí-sica é a noção de vetor. Neste capítulo vamos apresentar esta noção. Você deverá estudar todas as definições aqui descritas para compreender completamente este conte-údo. O conceito de vetor é um conceito bem elaborado, por isso não desista na primeira leitura. Leia e releia até ter a certeza de que entendeu completamente. A par-tir da construção dessas idéias e do seu conhecimento na abordagem deste tema, outros assuntos se tornarão mais simples de serem entendidos, tais como: as opera-ções com vetores e as suas aplicações.

4.1 IntroduçãoEstamos bem familiarizados com grandezas como comprimento, massa, área e temperatura. Para essas grandezas basta especificar a sua magnitude. Elas são chamadas de grandezas escalares. Ou-tras grandezas, como força, velocidade, deslocamento e aceleração exigem, além de sua magnitude, uma direção e um sentido. Estas são chamadas de grandezas vetoriais. Este conceito é fundamental no estudo e na compreensão de fenômenos físicos.

F

Figura 4.1

Na figura, ilustramos uma força ascendente de certa intensidade aplicada ao brinquedo, na direção de 45º com a horizontal.

Na representação gráfica de vetores utilizamos uma flecha. O comprimento da flecha é proporcional à sua intensidade.

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Como veremos, um vetor com origem no ponto A e extremidade no ponto B será representado por um segmento de reta orientado que corresponde ao deslocamento do ponto A até o ponto B, nessa ordem. Denotamos esse vetor por AB

.

A

B

Figura 4.2

Observe que, se tomarmos o ponto inicial como sendo um ponto fixo do plano, cada ponto do plano corresponde a um vetor do plano e vice-versa. Assim, identificamos o conjunto dos pontos do plano com o conjunto de vetores do plano. O mesmo ocorre com os pontos do espaço. As propriedades de vetores no plano ou no espaço, decorrem da Geometria Euclidiana. Vamos rapidamente recordar alguns fatos desta Geometria.

Os conceitos de ponto, reta e plano são os mesmos da Geometria Euclidiana, são conceitos primitivos. As relações entre pontos, retas e planos são estabelecidas pelos seguintes axiomas da Geometria:

Dois pontos distintos determinam uma única reta.•

Por um ponto fora de uma reta • r passa uma única reta pa-ralela a r (axioma das paralelas).

Três pontos, não • colineares, determinam um único plano.

Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então a •reta está contida no plano.

Se dois planos têm um ponto em comum, então eles têm ao •menos uma reta em comum que passa por esse ponto.

Existem ao menos quatro pontos que • não pertencem a um mesmo plano.

Continuando com a Geometria Euclidiana, lembramos que duas retas são chamadas paralelas quando estão situadas em um mes-mo plano e não se interceptam.

Euclides (330 a. C. - 260 a. C.) nasceu na Síria e estudou em Atenas. Foi um dos primeiros geômetras, e é reconhecido como um dos matemáticos mais importantes da Grécia Clássica e de todos os tempos. Deve-se a ele a obra intitulada “Elementos”, composta de treze livros em que apresenta de maneira primorosa todo o conhecimento de Geometria até a sua época. É em homenagem a Euclides que Geometria Euclidiana possui esta denominação.

AxiomaÉ uma proposição que se ad-mite como verdadeira (sem exigência de demonstração), dela se podem deduzir as proposições de uma teoria ou de um sistema lógico ou matemático.

ColinearDiz-se colinear uma confi-guração pertencente à mes-ma reta.

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Note que, se as retas ,r s são paralelas e ,s t são paralelas, então ,r t são paralelas. Assim, a noção de paralelismo estabelece uma

relação de transitividade.

Dizemos que uma reta é paralela a um plano se a reta não possui um ponto em comum com o plano. Se a reta possui um ponto em comum com o plano, então ou a reta está contida no plano ou a reta intercepta o plano em um único ponto.

rr

t

ts s⊂

Figura 4.3

Dizemos que a reta r é perpendicular ao plano se a reta r inter-cepta o plano em um único ponto P e, além disso, r é perpen-dicular a toda reta do plano que passa por P.

Dado um ponto P do plano , podemos demonstrar que existe uma única reta r que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano .

4.2 A Noção de VetorA fim de introduzir o conceito de vetores (no plano ou no espaço), precisamos do conceito de segmento orientado. Então vamos ago-ra definir segmento orientado. Um segmento orientado é um par (A,B) de pontos (do plano ou do espaço), em que A é a origem e B é a extremidade do segmento AB. Indicamos por AB

um segmento orientado com origem em A e extremidade em B.

BA

Figura 4.4

Dois segmentos orientados são ditos de mesmo comprimento se os segmentos de reta correspondentes têm a mesma medida. Um seg-mento orientado é nulo se tem origem e extremidade coincidentes.

O que seria transitividade? Esse termo tem o mesmo

sentido que o dicionário nos fornece?

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Dois segmentos orientados são ditos paralelos (ou de mesma di-reção) se os segmentos de reta correspondentes são paralelos.

Para introduzirmos a noção de sentido de um segmento orienta-do, consideremos dois segmentos orientados AB

e CD

. Primei-ramente, suponha que ambos sejam paralelos e que os segmentos de reta AB e CD estejam em retas distintas. Dizemos que os seg-mentos têm o mesmo sentido se os segmentos de reta AC e BD têm interseção vazia.

A

B

A

B

A

B

C

CDD

C

DFigura 4.5

No caso em que AB e CD são segmentos de uma mesma reta, isto é, retas que coincidem, então tomamos um segmento orientado EF, fora da reta AB, tal que AB e EF tenham o mesmo sentido. Agora que recaímos no caso anterior, comparamos o segmento orientado EF com o segmento orientado CD.

A

BF

FE

E

C

D

A

B

C

D

São de mesmo sentido Sentidos diferentes

Figura 4.6

Note que, de acordo com a nossa definição, o segmento orientado AB

e o segmento orientado BA

têm o mesmo comprimento, mes-ma direção, mas sentidos opostos.

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Definição 4.1: Dois segmentos orientados AB

e CD

são ditos eqüipolentes se ambos forem nulos ou se tiverem mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento.

As seguintes propriedades da relação de eqüipolência são conse-qüências diretas da definição de eqüipolência:

Todo segmento orientado é eqüipolente a si mesmo.i)

Se ii) AB

é eqüipolente a CD

, então CD

é eqüipolente a AB

.

Se iii) AB

é eqüipolente a CD

e CD

é eqüipolente a EF

, então AB

é eqüipolente a EF

.

Assim, a relação de eqüipolência é uma relação de equivalência no conjunto dos segmentos orientados (do plano ou do espaço). Observe que i) diz que a relação é reflexiva, ii) diz que a relação é simétrica e iii) diz que a relação é transitiva.

Uma relação de equivalência qualquer sobre um conjunto X par-ticiona ou decompõe o conjunto X em classes de equivalência. Es-sas classes de equivalência (ou de eqüipolência) são subconjuntos de X que ou são coincidentes, ou são disjuntas. Assim, dado um segmento orientado AB

, ele está em apenas uma classe de eqüi-polência. Juntamente com ele, estão os segmentos orientados que estão relacionados com AB

pela relação de eqüipolência. Todo segmento orientado que pertence à classe de AB

é um represen-tante da classe. É fácil ver que, dado um segmento orientado AB

, podemos construir infinitos segmentos orientados que são eqüi-polentes ao segmento AB

: basta transladar (mover) o segmento mantendo o seu comprimento, direção e sentido.

Agora estamos prontos para definir vetor: um vetor é a classe de eqüipolência de um segmento orientado. Isto é, vetor é um con-junto de segmentos orientados tendo em comum a propriedade de serem todos eqüipolentes entre si.

Definição 4.2: Um vetor (no plano ou no espaço) é a classe de eqüipolência de um segmento orientado.

Assim, um vetor é a classe de equivalência de um segmento orien-tado AB

; é o conjunto de todos os segmentos orientados que são

CoincidentesQue coincidem.

DisjuntosDois conjuntos são ditos disjuntos se possuem inter-seção vazia.

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eqüipolentes AB

. Note que um vetor pode ser representado por uma infinidade de segmentos orientados. A proposição 1 nos diz que cada ponto do plano (ou do espaço) é origem de um segmento que representa um vetor dado.

Vamos continuar a representar um vetor como sendo um segmento orientado AB

quando desejarmos indicar a sua origem e extremi-dade. Quando desejarmos apenas denominar um vetor, usaremos letras minúsculas com uma flecha, como por exemplo, , , ,u a b v

.

O vetor nulo, denotado por 0

, é o vetor que tem como represen-tante um segmento orientado nulo.

Proposição 4.1: Dados um vetor v

e um ponto P, existe um seg-mento orientado PB

representante de v

.

Demonstração: De fato, dado o vetor v

, ele é a classe de eqüi-polência de algum segmento orientado CD

. Unindo o ponto P ao ponto C, obtemos o segmento CP. Em seguida, passamos pelo ponto P uma reta paralela ao segmento CD. Passamos pelo pon-to D uma reta paralela ao segmento CP e determinamos o ponto B, ponto de interseção entre as retas. O segmento orientando PB

é eqüipolente ao segmento orientado CD

. Veja a figura.

D B

PC

Figura 4.7

Esta proposição nos diz um fato muito importante: dado um ve-tor v

, cada ponto P do plano ou do espaço é origem de um repre-sentante do vetor v

.

Dado um vetor v

, ele tem um representante AB

. O segmento orientado BA

representa um vetor que tem mesma direção e comprimento de v

, mas sentido oposto. O vetor oposto de v

, in-dicado por v−

, é o vetor que tem como representante qualquer segmento eqüipolente ao segmento orientado BA

.

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B

A

B

AFigura 4.8

Portanto, podemos escrever AB BA= −

.

É usual denotar o comprimento ou a norma de um vetor v

por v

. A norma de um vetor é a distância entre os pontos de sua origem e sua extremidade. É fácil ver que 0v =

se, e somente se, 0v =

e que v v= −

.

Exercícios

4.1) Dados os pontos A(0,0) e B(1,2), desenhe o segmento orien-tado AB

.

4.2) Dados os pontos A(0,0) e B(1,2), desenhe dois representan-tes distintos para o vetor AB

.

4.3) Dados os pontos A(0,0) e B(1,2), desenhe o oposto do vetor AB

.

4.4) Expresse com suas palavras o conceito de vetor.

4.3 Adição de VetoresNesta seção vamos introduzir a noção de soma de vetores. Sejam u

e v

dois vetores, com representantes dados pelos segmentos orientados AB

e BC

, respectivamente. A soma de u

com v

, de-notada por u v+

, é o vetor que tem o segmento orientado AC

como representante.

A existência do vetor soma, como veremos, é garantida pela pro-posição 1 da seção anterior. Veja a figura.

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B

CA

u

u+v

v

Figura 4.9

Essa definição supõe que a extremidade do primeiro vetor e a origem do segundo vetor sejam coincidentes. Isso é sempre possí-vel? Sim. Dados dois vetores, u

e v

, tomemos como representante de u

o segmento orientado AB

. Agora, usando a proposição 4.1, podemos tomar um representante de v

com origem em B. Tudo se resume em tomar os representantes adequados.

Podemos usar também a regra do paralelogramo para construir a soma u v+

. Esta regra consiste em escolher representantes de u

e v

, respectivamente AB

e AD

, com origem em A e construir um pa-ralelogramo ABCD. O segmento orientado AC

é um representan-te do vetor u v+

, já que BC

é um representante para v

.

D C

BA

Figura 4.10

Quando trabalhamos com representantes e classes de equivalên-cia, precisamos ter certeza de que o resultado não depende do representante escolhido. E de fato, podemos demonstrar que a operação de soma de vetores não depende dos representantes es-colhidos. Não faremos essa demonstração, mas deixamos regis-trado essa importante observação.

Proposição 4.2: Sejam u

, v

e w

vetores quaisquer. Valem as se-guintes propriedades:

A soma de vetores é associativa: 1) ( ) ( )u v w u v w+ + = + +

.

A soma de vetores é comutativa: 2) u v v u+ = +

.

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Demonstração:

1) Para cada vetor, tomemos um segmento orientado que o repre-sente. Sejam u

= AB

, v

= BC

e w

=CD

. (Nesta demonstra-ção vamos usar várias vezes que XY YZ XZ+ =

, para quaisquer segmentos orientados.)

A

BC

D

Figura 4.11

Como ( ) ( )u v w AB BC CD AC CD AD+ + = + + = + =

e

( ) ( )u v w AB BC CD AB BD AD+ + = + + = + =

, concluímos que

( ) ( )u v w u v w+ + = + +

.

2) Suponha que u AB=

e v BC=

. Seja D o ponto tal que AD v=

. Assim, AD BC=

e DC AB u= =

Como u v AB BC AC+ = + =

e v u AD DC AC+ = + =

, temos

u v v u+ = +

.

D C

BAFigura 4.12

Exemplo 4.1: Verificar se vale a lei de cancelamento: u v u w v w+ = + ⇒ =

.

Resolução:

De fato, somando o simétrico ou oposto de u

, u−

, a ambos os membros da igualdade u v u w+ = +

, obtemos ( ) ( )u u v u u w− + + = − + +

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86

( ) ( )u u v u u w− + + = − + +

. Usando a associatividade da adição, ( ) ( )u u v u u w− + + = − + +

concluímos que v w=

.

4.4 Produto por um Número Real (Escalar)

Dado um vetor v

e um número real k, definimos a multiplicação de k pelo vetor v

, denotado por kv

, como sendo o vetor tal que:

Se a) 0k = ou 0v =

, então kv

= 0

e o comprimento é igual a 0.

Se b) 0k > e 0v ≠

, então kv

é paralelo a v

, tem mesma dire-ção e sentido que v

e comprimento igual a k v⋅

.

Se c) 0k < e 0v ≠

, então kv

é paralelo a v

, tem mesma direção de v

sentido contrário ao sentido de v

e comprimento igual a k v⋅

.

A multiplicação de um real por um vetor é geralmente chamada de multiplicação por escalar.

Propriedades 4.1

Dados os escalares , e os vetores , ,u v w

, valem as seguintes propriedades:

( )u v u v + = +

1) .

( )u u u + = +

2) .

1v v=

3) .

( ) ( ) ( )u u u = =

4) .

Neste ponto é importante colocar uma definição que utilizaremos ao longo do texto: espaço vetorial real.

Mostramos até aqui que o conjunto dos vetores do plano ou do es-paço, munidos com as operações de adição e multiplicação por es-calar, definidas acima, satisfazem algumas propriedades. São elas:

a soma de vetores é associativa,i)

a soma de vetores é comutativa,ii)

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87

existe o vetor nulo iii) 0

,

para cada vetor iv) v

existe um vetor w

tal que 0v w+ =

( )u v u v + = +

v)

vi) ( )u u u + = +

1v v=

vii)

viii) ( ) ( ) ( )u u u = =

,

onde , são números reais quaisquer.

Um conjunto de vetores que satisfaça essas oito propriedades é chamado espaço vetorial real (real, pois os escalares são reais).

Da definição de multiplicação de escalar por vetor, temos o se-guinte resultado.

Proposição 4.3: Dois vetores v

e w

são paralelos se, e somente se, existe um escalar k tal que w k v= ⋅

.

Demonstração: É claro que se w k v= ⋅

, então os vetores são pa-ralelos. Suponha que os vetores são paralelos (mesma direção) e de mesmo sentido. Então, podemos tomar pontos A, B, C, D forman-do um quadrilátero com um par de lados paralelos, onde AB v=

e CD w=

. Existe um número real k tal que multiplicando um lado do quadrilátero, aumentando-o ou diminuindo-o, podemos cons-truir um paralelogramo.

4.5 Soma de Vetor com PontoSejam P um ponto e u

um vetor. A soma do ponto P com o vetor u

, denotada por P u+

, é o ponto Q tal que o segmento orientado PQ

é um representante de u

.

Geometricamente, a soma de um ponto com vetor pode ser inter-pretada como sendo o resultado do deslocamento da origem do vetor u

até o ponto P. Um caso especial importante nessa defini-ção é dado por P PQ Q+ =

.

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88

Q

PP

Figura 4.13

Propriedades 4.2:

Dados os pontos ,P Q e os vetores ,u v

, valem as seguintes pro-priedades:

( ) ( )P u v P u v+ + = + +

1)

P u P v u v+ = + ⇒ =

2)

P u Q u P Q+ = + ⇒ =

3)

( )P u u P− + =

4)

4.6 Norma de VetoresNorma, módulo ou comprimento de um vetor é o comprimento de qualquer segmento orientado que representa o vetor. A norma de um vetor v

é indicada por v

.

Muitas vezes vamos precisar de vetores que tenham norma ou comprimento 1. Esses vetores são chamados de vetores unitários. Algumas propriedades são óbvias:

Propriedades 4.3:

Se 1) 0v ≠

, então 0v >

.

v v− =

2) .

0v =

3) se, e somente se, 0v =

.

Se 4) k é um número real, então k v k v⋅ =

.

Sejam 5) u

e v

vetores não nulos. Então, u v=

se, e somente se, u

e v

têm mesma norma, mesma direção e mesmo sentido.

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Uma propriedade muito útil é a desigualdade triangular. Ela diz que, em um triângulo, o comprimento de um lado é sempre me-nor ou igual à soma dos comprimentos dos outros lados. Vamos provar esta desigualdade mais adiante.

u v u v+ ≤ +

6) (desigualdade triangular)

C

BA

Figura 4.14

A norma de um vetor foi definida como sendo o comprimento de qualquer segmento orientado que representa o vetor. Lembramos que a distância de um ponto 0 0 0( , , )P x y z do espaço até a origem é dada pela expressão

2 2 20 0 0( , )d P O x y z= + + .

Dado o vetor v

, suponha que seja representado pelo segmento orientado OB

, onde O é a origem e B é ponto do espaço de coor-denadas (1, 2,3)B . Neste caso, escrevemos (1, 2,3)v =

e a sua nor-ma é 2 2 21 2 3 14v = + + =

unidades de comprimento. Voltare-mos nesse assunto mais adiante.

Exercícios4.5) Use a regra do paralelogramo para representar grafica-

mente a soma dos vetores (1, 2)u = −

e (1,3)v =

.

Resposta: Veja a figura

Figura 4.15

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4.6) Determine os escalares 1k e 2k tais que os vetores 1k u

e

2k v

tenham norma 1, onde (1, 2)u = −

e (1, 2)v =

.

Resposta: 1 25

5k k= = ± .

4.7) Determine os escalares 1k e 2k tais que os vetores 1k u

e v

tenham mesma norma, e 2k v

e u

tenham mesma norma, onde (1, 2)u = −

e ( 3,6)v = −

.

Resposta: como 5u =

e 45 3 5v = =

, então 1 3k = ± .

Do mesmo modo, 213

k = ± .

ResumoNeste capítulo vimos o importante conceito de vetor e aprende-mos a operar com eles. Na verdade nos limitamos aos vetores no plano e no espaço, mas a idéia de vetor é a mesma. Você pode observar que a adição de vetores tem importantes propriedades: comutatividade, associatividade e, além disso, cada vetor tem um si-métrico. A operação de multiplicação de escalar por vetor também tem propriedades que não podem ser ignoradas. Faça um resumo de todas as propriedades.

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Capítulo 5Dependência Linear e Operações com Vetores

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Capítulo 5Dependência Linear e

Operações com Valores

Continuando o nosso estudo sobre vetores, teremos como objetivo deste capítulo apresentar a noção de veto-res linearmente dependentes. Vamos identificar o vetor que é linearmente dependente dos demais, porque o que queremos é ter um conjunto máximo de vetores no qual vetor algum desse conjunto seja dependente dos demais. O próximo conceito a ser estudado é o conceito de base e orientação. Avançaremos um pouco mais introduzindo a noção de vetores linearmente independentes, base e orientação de um espaço vetorial. Apresentaremos as operações com vetores; produto interno, produto veto-rial e produto misto. Essas operações são importantes como ferramentas de cálculo com vetores. Além disso, as operações com vetores apresentadas nesse capítulo têm importantes interpretações geométricas.

5.1 IntroduçãoDados os vetores 1 2 3, , , , nv v v v

e 1 2 31 2 3 nnw c v c v c v c v= + + + +

,

onde , 1, ,ic i n= , n∈ são escalares reais, dizemos que w

é uma combinação linear de 1 2 3, , , , nv v v v

. Também dizemos que w

é gerado por 1 2 3, , , , nv v v v

. Os escalares são chamados de coeficien-tes da combinação linear.

Dizemos que os vetores 1 2 3, , , , nv v v v

são linearmente independen-tes (LI) se a combinação linear 1 2 31 2 3 0nnc v c v c v c v+ + + + =

im-plicar obrigatoriamente que 1 2 0nc c c= = = =

.

Vetores que não são linearmente independentes (LI) são chama-dos de vetores linearmente dependentes (LD).

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Salientamos que dizer que os vetores são LD significa dizer que se pode obter uma combinação linear nula desses vetores com ao menos um coeficiente diferente de zero.

Vejamos algumas situações particulares. Um único vetor é LI se, e somente se, é não nulo.

No caso de dois vetores 1 2,v v

, se eles forem LD, então existe uma combinação linear entre eles, 1 21 2 0c v c v+ =

com pelo menos um dos escalares, 1c ou 2c , não nulo. Suponha que 1 0c ≠ . Então, temos

1 22

1

cv vc

= −

. Assim, os vetores são paralelos. Por outro lado, como

já vimos, se os vetores são paralelos, 1 2v kv=

, daí 1 2 0v kv− =

, (o coeficiente de 1v

é 1 0≠ ) então são LD. Logo, concluímos que:

Dois vetores são LD se, e somente se, são paralelos.

Agora o caso de três vetores LD 1 2 3, ,v v v

. Então existe uma com-

binação linear entre eles 1 2 31 2 3 0c v c v c v+ + =

, com pelo menos um dos escalares não nulo. Podemos supor que 1 0c ≠ e escrever

1 2 332

1 1

ccv v vc c

= − −

. Isto é, 1v

é gerado pelos outros dois vetores.

Agora, se um dos vetores é combinação linear dos outros, supo-nha 2 11 3 3v c v c v= +

, então 1 21 3 3 0c v c v v+ − =

(pelo menos o coefi-

ciente de 2v

é não nulo). Logo, concluímos que:

Três vetores são LD se, e somente se, um deles é combinação linear dos outros.

Proposição 5.1: Sejam 1 2 3, , , , nv v v v

vetores linearmente inde-pendentes. Se o vetor v

é escrito como combinação linear dos ve-tores LI de duas maneiras, então elas são iguais. Isto é, suponha que

1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3n nn nv c v c v c v c v d v d v d v d v= + + + + = + + + +

.

Então necessariamente tem-se 1 1 2 2, , , n nc d c d c d= = =.

Em outras palavras: Cada vetor gerado por um conjunto de vetores LI é expresso de modo único.

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Demonstração: Podemos reescrever a igualdade

1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3n nn nc v c v c v c v d v d v d v d v+ + + + = + + + +

da seguinte forma:

1 2 31 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) 0nn nc d v c d v c d v c d v− + − + − + + − =

.

Como os vetores são LI, segue que os coeficientes são todos nu-los. Logo, 1 1 2 2, , , n nc d c d c d= = =

. Assim, v

se escreve de modo

único, como combinação linear de 1 2 3, , , , nv v v v

.

Exemplo 5.1: Suponha que os vetores 1 2 3, ,v v v

sejam LI. Verifique se também são LI os vetores 1 2 1 2 3 2 3, 2 , 2u v v v v v v w v v= + = + − = −

.

Resolução: De fato, como 1 2 3, ,v v v

são LI, temos

1 2 3 0 0av bv cv a b c+ + = ⇒ = = =

.

Considere então 0u v w + + =

. Vamos mostrar que 0 = = = .

1 1 2 3 2 320 ( ) (2 ) ( 2 )u v w v v v v v v v = + + = + + + − + −

=

= 1 2 3( 2 ) ( ) ( 2 )v v v + + + + + − −

.

Como 1 2 3, ,v v v

são LI, temos o sistema linear

2 00

2 0

+ = + + =− − = e obtemos 0 = = = , portanto os vetores , ,u v w

são LI.

Exercícios5.1) Mostre que, se os vetores 1 2,v v

são LD, então também são LD os vetores 1 2 3, ,v v v

.

5.2) Mostre que, se um dos vetores 1 2 3, , , , nv v v v

for nulo, en-tão os vetores são LD.

5.3) Mostre que os vetores 1 (1,0)e =

e 2 (0,1)e =

são LI.

Resposta: Tome 1 2, ; 0e e ∈ + =

e conclua que 0. = = .

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5.2 Combinação Linear e BaseDizemos que os vetores 1 2 3, , , , nv v v v

geram o vetor v

, se exis-tem escalares 1 2 3, , , , nc c c c

tais que 1 2 31 2 3 nnv c v c v c v c v= + + + +

.

Também dizemos que o vetor v

é combinação linear dos vetores

1 2 3, , , , nv v v v

.

Os escalares são chamados de coeficientes da combinação linear. Uma observação importante:

Dois vetores linearmente independentes do plano geram to-dos os outros vetores do plano.

Vejamos isso mais de perto!

Sejam u

e v

vetores linearmente independentes do plano. Fixe-mos um ponto P desse plano e representantes PA

e PB

dos veto-res u

e v

, respectivamente.

P A

C

A’

B

B’

Figura 5.1

Seja 0v

um vetor qualquer do plano e PC

seu representante. Traçando por C uma reta paralela ao segmento PB

, determi-namos um ponto A′ sobre a reta que contém PA

. Assim, temos PA xPA′ =

para algum escalar real x . Traçando por C uma reta paralela ao segmento PA

, determinamos um ponto B′ sobre a reta que contém o segmento PB

. Assim, temos PB yPB′ =

. Logo, temos 0v xPA yPB= +

(isto é, o vetor 0v

é combinação linear de u

e v

). Esse resultado também vale para três vetores do espaço. Provaremos agora que:

Três vetores linearmente independentes no espaço geram todos os vetores do espaço.

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De fato, sejam , ,u v w

vetores do espaço e suponha que sejam li-nearmente independentes. Fixemos um ponto P do espaço e to-memos os segmentos orientados , , PA PB PC

, representantes de , ,u v w

, respectivamente. Dado um vetor 0v

qualquer do espaço, seja PM

um segmento orientado que o representa.

Por M traçamos uma paralela a PC

. Seja M ′ o ponto de encontro dessa paralela com o plano determinado pelos segmentos ,PA PB

.

P

B

B’

M

M’

AA’

C’

C

Figura 5.2

Notemos que PM PM M M PM PC′ ′ ′ ′= + = +

, onde PC zPC′ =

para algum z ∈ . Além disso, PM ′

está no pla-no determinado por PA

e PB

, portanto exis-tem escalares reais x e y tais que PM xPA yPB′ = +

. Logo, 0v xu yv zw= + +

.

Resumindo, temos o seguinte teorema.

Teorema 5.1: Dois vetores linearmente independentes no plano geram todos os vetores do plano. Três vetores linearmente inde-pendentes no espaço geram todos os vetores do espaço.

Por causa desse teorema, introduzimos o conceito de base.

Definição 5.1: Um conjunto de dois vetores de um plano que são linearmente independentes é chamado de base para o plano de vetores. Um conjunto de três vetores do espaço que são linearmen-te independentes é chamado de base do espaço dos vetores.

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Dada uma base para o espaço, é importante estabelecer uma or-dem em que os vetores aparecem. Por exemplo, a base { }, ,u v w =

é diferente da base { }, ,v w u′ =

.

Como vimos, uma base { }, ,u v w =

para o espaço gera todos os vetores do espaço. Isto é, dado um vetor 0v

, existem escalares re-ais , ,x y z tais que 0v xu yv zw= + +

e esses escalares são únicos.

Os escalares , ,x y z são chamados de coordenadas do vetor 0v

na

base , e escrevemos xyz

ou simplesmente ( , , )x y z .

Na base ′ as coordenadas de 0v

são

'

yzx

ou simplesmente '( , , )y z x.

Como vamos sempre usar as coordenadas de um vetor, a ordem em que os elementos da base aparecem, como vimos acima, é muito importante.

No plano, uma base muito utilizada é a base canônica que é a base 1 2{ , }e e =

composta dos vetores 1 (1,0)e =

e 2 (0,1)e =

.

No espaço, uma base muito utilizada é a base também deno-minada canônica 1 2 3{ , , }e e e =

composta dos vetores 1 (1,0,0)e =

,

2 (0,1,0)e =

e 3 (0,0,1)e =

. Veja a ilustração do plano e do espaço com os vetores da base canônica:

x

y

e1

e2

z

x

ye1

e2

e3

Figura 5.3

Exercícios5.4) Sejam , ,u v w

vetores do espaço e linearmente independen-tes. Mostre que, se 0 1 1 1v x u y v z w= + +

e 0 2 2 2v x u y v z w= + +

, então 1 2 1 2 1 2, ,x x y y z z= = = .

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5.5) Mostre que, no plano, três vetores são sempre linearmente dependentes.

5.6) Mostre que, no espaço, quatro vetores são sempre linear-mente dependentes.

5.7) Represente o vetor (5, 2)u =

em cada uma das bases }{(1,0), (0,1) = e { }(1,1), (0,1)′ = do plano.

Resposta: (5, 2) 5(1,0) 2(0,1);(5, 2) 5(1,1) 3(0,1) .= + = −

5.3 Produto InternoO produto interno entre dois vetores é uma operação que associa a cada par de vetores u

e v

um número real (um escalar). Para in-troduzirmos essa operação, vamos precisar do conceito de ângulo entre dois vetores.

Definição 5.2: O ângulo entre dois vetores não nulos, u

e v

, é definido como sendo o ângulo entre os segmentos orientados que os representam. Se u AB=

e v AC=

, então o ângulo entre u

e v

é o ângulo entre os segmentos AB

e AC

.

A definição acima utiliza representantes para os vetores. Assim, essa definição tem sentido se provarmos que ela não depende dos representantes. Isto é, se u AB A B′ ′= =

e v AC A C′ ′= =

, então o ângulo entre os segmentos AB

e AC

é o mesmo que o ângulo entre os segmentos A B′ ′

e A C′ ′

. Deixamos aqui esta tarefa para o leitor tentar resolver.

Lembramos que o ângulo entre dois segmentos AB

e AC

é dado pelo menor ângulo que AB

deve girar para coincidir com AC

.

C

B

AB

C

A

Figura 5.4

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Definição 5.3: Sejam dois vetores não nulos, u

e v

. O produto in-terno do vetor u

com o vetor v

, indicado por u v⋅

, é definido por

cos( , )u v u v u v⋅ = ⋅

.

Se um dos vetores for nulo, então o produto interno entre eles é zero.As seguintes propriedades são facilmente verificadas diretamen-te da definição.

Propriedades (produto interno):

u v v u⋅ = ⋅

1) (comutatividade)

( )w u v w u w v⋅ + = ⋅ + ⋅

2) (distributividade)

( ) ( ) ( ),x u v xu v u xv x⋅ = ⋅ = ⋅ ∀ ∈

3) (homogeneidade)2

cos( , )u u u u u u u⋅ = ⋅ =

4) .

Da definição de produto interno entre vetores não nulos, cos( , )u v u v u v⋅ = ⋅

, vemos que, se 0u v⋅ =

, então cos( , ) 0u v =

. Portanto, o ângulo entre u

e v

é 2

n+ , onde n é um número

inteiro. Por isso, dizemos que dois vetores, u

e v

, são perpendi-culares se 0u v⋅ =

. Segue da definição que o vetor nulo é perpen-dicular a todos os vetores.

A operação de produto interno entre dois vetores surge na-turalmente em diversas situações da Física e da Matemática. Por exemplo, no cálculo do trabalho realizado por uma força,

cos( )W F d Fd q= ⋅ =

, utilizamos o produto interno, como vere-mos ao final da seção 5.5.

Exemplo 5.1: As diagonais de um losango são perpendiculares?

A

B

C

D

E

Figura 5.5

Entenda cos ( , )u v como o cosseno do ângulo entre os vetores u e v .

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Resolução: Devemos provar que 0AC BD⋅ =

. De fato,

2 2

( ) ( )

0.

AC BD AB BC BA AD

AB BA AB AD BC BA BC AD

AB AB AD AB AD AD

⋅ = + ⋅ +

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= − + ⋅ − ⋅ + =

5.4 Projeção OrtogonalDados os vetores v

e 0w ≠

, vamos provar nessa seção que pode-mos decompor v

em uma soma de dois vetores 1 2v v v= +

, onde 1v

é paralelo a w

, e 2v

é perpendicular a w

. Vamos também apre-sentar uma expressão para o vetor 1v

que é paralelo a w

.

V2

V1W

V

Figura 5.6

Teorema 5.2: Dados 0w ≠

e v

vetores. A projeção ortogonal de v

sobre w

é dada por

2Projw

v wv ww

⋅=

.

Demonstração: Seja 1Projw v v=

a projeção ortogonal de v

sobre w

e 12v v v= −

. Como 1v

é paralelo a w

, existe um escalar k tal que 1 v kw=

.

Logo, 1 2 2v v v kw v= + = +

. Realizando o produto interno com w

temos

22v w kw w v w k w⋅ = ⋅ + ⋅ =

,

pois 2v

é perpendicular a w

. Segue que 2v wkw

⋅=

e substituindo na expressão acima para 1v

, tem-se

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1 2 v wv ww

⋅ =

.

Isso conclui a demonstração.

5.5 Bases OrtogonaisDefinição 5.4: Uma base { }, ,u v w =

é dita ortogonal se os seus vetores são, dois a dois, ortogonais. Isto é, se 0u v u w v w⋅ = ⋅ = ⋅ =

. Uma base é dita ortonormal se é uma base ortogonal e seus vetores são unitários.

Note que as bases canônicas do plano e do espaço são bases orto-normais.

A utilidade das bases ortonormais está na seguinte propriedade.

Proposição 5.2: Seja { }, ,u v w =

uma base ortonormal e 0v

um vetor qualquer do espaço. Então vale a igualdade

0 0 00( ) ( ) ( )v v u u v v v v w w= ⋅ + ⋅ + ⋅

.

Demonstração: Como existem escalares , ,x y z reais tais que

0v xu yv zw= + +

, então fazendo o produto interno com os veto-res da base ortonormal, obtemos

0

0

0 .

v u xu u x

v v yv v y

v w zw w z

⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ =

Como os escalares são únicos, então a prova está concluída.

A proposição a seguir mostra uma outra utilidade das bases or-tonormais:

Proposição 5.3: Sejam { }, ,u v w =

uma base ortonormal,

1 1 1a x u y v z w= + +

e 2 2 2b x u y v z w= + +

vetores do espaço. Então,

1 2 1 2 1 2a b x x y y z z⋅ = + +

.

Demonstração: A prova consiste em realizar o produto interno a.b. De fato, como os vetores da base são ortogonais, então os produtos internos 0u v u w v w⋅ = ⋅ = ⋅ =

, assim o produto interno se reduz a

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1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) .

a b x u y v z w x u y v z w

x x u u y y v v z z w wx x y y z z

⋅ = + + ⋅ + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅= + +

O conceito de orientação para o espaço é muito importante, prin-cipalmente para a operação que estudaremos a seguir: o produto vetorial. De posse da noção de orientação, e escolhida uma base or-tonormal para o espaço, o conjunto das bases é dividido em duas classes: a classe das bases positivas e a classe das bases negativas.

Fixemos o ponto O do espaço, que denominaremos de origem. Um triedro é uma terna ordenada ( , , )OA OB OC

de segmentos orienta-dos não coplanares (veja a fig. 5.7). Alterando a ordem nos segmen-tos orientados nessa terna, obtemos seis ternas ordenadas diferen-tes. Considere uma terna qualquer dessas e a rotação de menor ângulo q que o primeiro segmento da terna deve realizar para ficar colinear com o segundo. Dizemos que o triedro é positivo, se o giro, observado a partir da extremidade do terceiro segmento, for no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. O triedro será negativo, se o movimento for no mesmo sentido dos ponteiros do relógio.

O

C

B

AFigura 5.7

O triedro ( , , )OA OB OC

é positivo, enquanto o triedro ( , , )OB OA OC

é negativo.

Sejam os vetores , ,u OA v OB w OC= = =

. Dizemos que a terna ordenada de vetores ( , , )u v w

é positiva ou negativa, se o triedro ( , , )OA OB OC

é positivo ou negativo. É possível provar que essa definição não depende dos representantes dos vetores.

Uma base { , , }u v w

é dita positiva se a terna ( , , )u v w

é positiva.

Tomemos agora um triedro positivo ( , , )OA OB OC

de segmentos

TriedroFigura formada por três planos mutuamente inter-ceptantes, com um ponto comum, isto é, por três ve-tores L.I.

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unitários e mutuamente ortogonais. É usual representar esses vetores por , , i OA j OB k OC= = =

, e podem ser identificados aos vetores 1 (1,0,0)e =

, 2 (0,1,0)e =

e 3 (0,0,1)e =

. Assim, a base { , , }i j k

é ortonormal e positiva. Os vetores , ,i j k

satisfazem cla-ramente

1, 0i i j j k k i j i k j k⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

.

Como { , , }i j k

é uma base, então, como vimos na seção 5.2, dado um vetor a OM=

do espaço, ele é escrito de modo único na forma .a xi yj zk= + +

, para escalares x, y e z adequados.

Como { , , }i j k

é ortonormal, decorre da primeira proposição desta seção que a se escreve da forma

( ) ( ) ( )a a i i a j j a k k= ⋅ + ⋅ + ⋅

.

Portanto cos( , ) cos( , )x a i a i a i a a i= ⋅ = ⋅ =

,

cos( , )y a j a a j= ⋅ =

e cos( , )z a k a a k= ⋅ =

.

Os números , ,x y z são chamados de coordenadas cartesianas ou retangulares do vetor a

ou do ponto M .

Como 2 2 2 2v v v x y z= ⋅ = + +

, então 2 2 2v x y z= + +

para um

vetor v xi y j zk= + +

qualquer do espaço.

Exemplo 5.2: Uma criança puxa seu carrinho, que estava inicial-mente em repouso, com uma força constante de módulo 0,5 NF = , por um fio que faz um ângulo 45q = ° com a horizontal conforme a figura 5.8. Após o carrinho se deslocar a uma distância 2,0md = , qual foi o trabalho realizado sobre o carrinho?

0

0 2m

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105

0

0 2mFigura 5.8

Resolução:

Para facilitar a visualização, podemos decompor o vetor força ao longo da direção vertical e horizontal. Então

cos( ) sen ( )x yF F i F j F i F jq q= + = +

.

F

Fx=Fcosθ

Fy=Fsenθ

θ

0

Como o deslocamento se dá na horizontal, podemos escrever na forma vetorial: 2,0 0,0x yd d i d j i j= + = +

.

O trabalho sobre o carrinho é o produto interno do vetor força, aplicado sobre o carrinho, com o vetor deslocamento, W F d= ⋅

. Então, teremos:

( cos( ) sen( ) ) ( )

( cos ) ( sen )

(0,5 2,0 cos 45 ) (0,5 0,0 sen 45 )

21,0 cos 45 Nm2

x y

x y

W F dF i F j d i d jFd Fd

q q

q q

= ⋅

= + ⋅ +

= +

= ⋅ ⋅ ° + ⋅ ⋅ °

= ⋅ ° =

Exercícios5.8) Calcule os produtos internos ( ) ( )u v u v+ ⋅ +

, ( ) ( )u v u v− ⋅ −

e ( ) ( )u v u v+ ⋅ −

.

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106

5.9) Use o item anterior para mostrar a lei dos cossenos:2 2 2 2 cos( )a b c bc Â= + − . Veja a figura a seguir:

A

C

b a

cFigura 5.8

5.10) Mostre que . .u v u v≤

(desigualdade de Cauchy-Schwartz).

5.11) Mostre que o conjunto { , , }u v w

é uma base, onde2 3 , 1 1 , 1 2u i j k v i k w j k= − + = − + = −

.

5.12) Calcule os seguintes produtos internos: , , u v u w v w⋅ ⋅ ⋅

, onde 2 3 , 1 1 , 1 2u i j k v i k w j k= − + = − + = −

.

5.13) Calcule o ângulo entre os vetores ,u v

, ,v w

e ,u w

, onde 2 3 , 1 1 , 1 2u i j k v i k w j k= − + = − + = −

.

5.14) Calcule o trabalho realizado sobre um corpo que se deslo-ca do ponto 0 (0,0,0)P = ao ponto (4,0,1)P = devido a uma força (3 2 4 )F i j k= + +

. A distância medida em metros(m)e a força em Newtons (N) Obtenha o ângulo entre a o vetor deslocamento e o vetor força. Faça também um esboço da situação, indicando os vetores força e deslocamento assim como o ângulo q entre eles.

Resposta: 16 Nm , 40q ≅ ° .

5.6 Produto VetorialQuando tratamos de orientação, dissemos que a orientação se-ria importante para definir uma nova operação entre vetores: o produto vetorial, também chamado de produto externo. Na Física básica encontramos diversas situações em que aparece o produto vetorial. Por exemplo, a força de momento ou torque é um produ-to vetorial: sen( )M Fd q= . O seu resultado é um vetor simultane-amente perpendicular a F

e a d

. Dentre outros, também pode-mos citar a força magnética: ( )mF q v B= ×

.

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107

O produto vetorial é uma operação que, a cada par ordenado de vetores ( , )u v

, associa um vetor, denotado por u v×

.

Definição 5.5: Seja ( , )u v

um par de vetores do espaço. Se u

e v

são colineares, definimos 0u v× =

. Se u

e v

não são colineares, definimos u v×

como sendo o único vetor que satisfaz

. . s e n( , )u v u v u v× =

a) ;

u v×

b) é perpendicular ao plano gerado por u

e v

;

a terna ordenada c) ( , , )u v u v×

é positiva.

Um artifício para determinar o sentido do vetor u v×

é dado pela regra da mão direita. Veja a figura. Se o ângulo entre u

e v

é q , giramos o vetor u

do ângulo q até que coincida com v

e acom-panhamos este movimento com os dedos da mão direita, então o polegar vai apontar no sentido de u v×

.

× vv

v

u

×v uu

u

θ

θ

Figura 5.9

Decorre imediatamente da definição que 0u u× =

e u v v u× = − ×

.

Para a base ortonormal positiva { , , }i j k

, temos

, ,

0

, ,

i j k j k i k i j

i i j j k k

j i k k j i i k j

× = × = × =

× = × = × =

× = − × = − × = −

Uma interpretação geométrica para o produto vetorial é dada a seguir: u v×

é a área do paralelogramo cujos lados sejam repre-sentantes dos vetores u

e v

. É isso que vamos provar agora.

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108

Consideremos os vetores u

e v

e os segmentos orientados OA

e OB

, seus representantes. Pelo ponto A, traçamos uma paralela ao segmento OB

; e por B, passamos uma reta paralela ao segmento OA

. Essas retas se cortam no ponto D. Obtemos assim o paralelo-gramo OADB .

A

O

AH

B

D

Figura 5.10

A altura do paralelogramo OADB é dada por ( , )h v sen u v= ⋅

. Portanto,

( , )u v u v sen u v u h× = ⋅ ⋅ = ⋅

,

que é a área do paralelogramo OADB . Resumindo, provamos o seguinte resultado.

Teorema 5.3: u v×

é a área do paralelogramo cujos lados sejam representantes dos vetores u

e v

.

Exercícios5.15) Verifique se ( )u v w u v u w× + = × + ×

.

5.16) Calcule a área do paralelogramo cujos lados representam os vetores i

e j

.

5.17) Calcule a área do paralelogramo cujos lados são repre-sentados pelos vetores (1,0,1) e (0,1,1)u v= =

.

5.18) A medida em radianos do ângulo entre u

e v

é 3

. Sendo

2u =

e 5v =

, calcule 3 12 3

u v×

.

Resposta:5 3

2.

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Exemplo 5.3: Calcule o produto vetorial u v×

, onde:

1 2 3u x i x j x k= + +

e 1 2 3v y i y j y k= + +

.

Resolução:

Levando em conta as relações

, ,

0,

i j k j k i k i j

i i j j k k

× = × = × =

× = × = × =

temos,

1 2 3 1 2 3

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) .

u v x i x j x k y i y j y k

x y x y i x y x y j x y x y k

× = + + × + +

= − + − + −

Observamos que o resultado pode ser obtido calculando o deter-minante simbólico.

1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3

( ) ( ) ( )i j kx x x x y x y i x y x y j x y x y ky y y

= − + − + −

.

Nosso exemplo sugere estabelecer o seguinte teorema, cuja prova foi feita acima.

Teorema 5.4: Fixada a base { , , }i j k

do espaço, o produto vetorial u v×

, onde 1 2 3u x i x j x k= + +

e 1 2 3v y i y j y k= + +

, é dado por

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )u v x y x y i x y x y j x y x y k× = − − − + −

.

Exemplo 5.4: Determine o produto vetorial entre os vetores (1,0,1)u =

e (0,1,1)v =

.

Resolução:

1 0 1 (0 1) (0 1) (1 0) 1 1 10 1 1

i j ki j k i j k= − + − + − = − − +

.

Logo, o produto vetorial é 1 1 1 ( 1, 1,1)u v i j k× = − − + = − −

.

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110

Exercícios5.19) Calcule a área do paralelogramo cujos lados representam

os vetores i e j

.

Resposta: 1 u.a

5.20) Calcule a área do paralelogramo cujos lados representam os vetores (1,0,1)u =

e (0,1,1)v =

.

Resposta: 3 unidades de área.

5.21) Determine x de modo que os vetores (1,0,1)u =

e (0,1, )v x=

formem um paralelogramo de área igual a 3.

Resposta: 1x = ± .

5.22) Calcule o produto vetorial entre 2u i j k= − +

e 2v i j k= − −

.

Resposta: (3,3, 3)− .

5.23) Calcule o produto vetorial entre u i=

e v j=

, e entre u j=

e v k=

.

Resposta: k

e i

, respectivamente.

5.24) Calcule a área do paralelogramo gerado por (1,0,1)u =

e (1, 1,1)v = −

.

Resposta: 2 unidades de área.

5.25) Verifique se ( )u v w u v u w× + = × + ×

. Sugestão: use o de-terminante simbólico.

5.7 Produto MistoUtilizando o produto interno e o produto vetorial, vamos defi-nir o produto misto. O produto misto associa a cada terna de veto-res ( , , )u v w

um número real. O produto misto da terna ordenada ( , , )u v w

, representado por [ , , ]u v w

, é definido por:

[ , , ] ( )u v w u v w= × ⋅

.

Para dar uma interpretação geométrica para o produto misto, con-sideremos os vetores ( , , )u v w

e seus representantes, , ,OA OB OC

, respectivamente.

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111

×

w

v

u

u v

C’

OC’’

A

C

B

Figura 5.11

O volume do paralelepípedo é o produto da altura pela área

da base. Já vimos que a área da base é dada por u v×

e, ob-

servando a figura, vemos que a altura do paralelepípedo, CC”, é dada por cos( , )w w u v⋅ ×

. Logo, o volume é dado por

, , ( ) cos( , )u v w u v w u v w w u v = × ⋅ = × ⋅ ⋅ ×

.

Isto é, o volume do paralelepípedo gerado por , e u v w

é o valor absoluto do produto misto entre os três vetores.

Teorema 5.5: O volume do paralelepípedo gerado pelos vetores ( , , )u v w

é dado por

, , cos( , )u v w u v w w u v = × ⋅ ⋅ ×

.

O produto misto também serve para testar se três vetores são LI ou LD: três vetores, , ,u v w

são LD se, e somente se, o produto misto [ , , ] 0u v w =

. De fato, os vetores são LD se, e somente se, o paralelepípedo reduz-se a uma figura plana.

Corolário: Os vetores , ,u v w

são LD se, e somente se, o produto misto [ , , ] 0u v w =

.

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112

Propriedades (produto misto): Sejam os três vetores, , ,u v w

. Valem as propriedades:

[ , , ] [ , , , ]u v w v w u=

1) .

[ , , ] [ , , ]u v w u w v= −

2) .

Estas propriedades são conseqüências imediatas do exemplo e do teorema que seguem.

Exemplo 5.5: Calcule o produto misto [ , , ]u v w

entre os vetores:

1 2 3u x i x j x k= + +

, 1 2 3v y i y j y k= + +

e 1 2 3w z i z j z k= + +

.

Resolução

Sabemos que

3 32 1 1 21 2 3

2 3 1 3 1 21 2 3

i j kx xx x x x

u v x x x i j ky y y y y y

y y y× = = − +

.

Agora, pelo que vimos sobre produto escalar,

3 32 1 1 21 2 3

2 3 1 3 1 2

( ).x xx x x x

u v w z z zy y y y y y

× = − +

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x xy y yz z z

= .

Nosso exemplo sugere estabelecer o seguinte teorema, cuja prova foi feita acima.

Teorema 5.6: Fixada a base { , , }i j k

do espaço, o produto misto entre os vetores , ,u v w

, onde 1 2 3u x i x j x k= + +

, 1 2 3v y i y j y k= + +

e 1 2 3w z i z j z k= + +

, é dado por

1 1 1

2 2 2

3 3 3

, ,x y z

u v w x y zx y z

=

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x xy y yz z z

= .

O objetivo deste exemplo é mostrar que o produto misto pode ser obtido através do cálculo de um determinante. Você verá que isto facilitará a resolução de exercícios e também o entendimento das propriedades 1 e 2.

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Exercícios5.26) Calcule o volume do paralelepípedo que tem vértices nos

pontos (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)O A B C .

Resposta: 1 unidade de volume.

5.27) Calcule ( )i j k⋅ ×

e ( )j i k⋅ ×

.

Resposta: 1 e -1, respectivamente.

5.28) Calcule o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores (1, 2,3), ( 1, 2,1) e (1,0,1)u v w= = − =

.

Resposta: 12 u.v.

5.29) Determine um vetor que seja perpendicular aos vetores (1, 2,3) e ( 1, 2,1)u v= = −

.

Resposta: (−4, −4,4).

5.30) Determine o valor de x de modo que (1, 2,3) e ( 1, 2, )u v x= = −

sejam perpendiculares.

Resposta: 1x = − .

5.31) Determine o valor de x de modo que o paralelepípedo ge-rado pelos vetores (1, 2, 4), ( , 1, 1) e (0, 2, 1)u v x w= = − =

tenha volume nulo.

Resposta: 12

x = .

5.32) Utilize o produto misto para decidir se os vetores são LI ou LD nos seguintes casos:

(1, 2, 4), (2, 1, 1), (0, 2, 1)u v w= = − =

a) .

Resposta: LI.

(1, 1, 4), (1, 1, 1), (0, 1, 3)u v w= − = − = −

b) .

Resposta: LI.

( 1, 2, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)u v w= − − = − =

c) .

Resposta: LI.

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ResumoNeste capítulo avançamos um pouco mais: vimos que um conjun-to de vetores pode ser LI ou LD. Essa noção pode ser resumida com a seguinte analogia: num conjunto de vetores, cada um tem uma função específica na realização de uma tarefa. Se o traba-lho de um vetor pode ser realizado pelos demais, esse vetor pode ser descartado sem prejuízo na realização da tarefa. Dizemos que esse vetor que pode ser descartado é uma combinação linear dos demais vetores do conjunto. Essa noção, colocada dessa forma, é bem ingênua, mas é isso que acontece. No trabalho com vetores, introduzimos as noções de base e orientação de um espaço veto-rial. Com esse nome só podia ser muito importante e, de fato, é. Uma base é um conjunto que serve para a construção de espaço vetorial. Apresentamos as operações com vetores: produto interno, produto vetorial e produto misto. Essas operações são importantes como ferramentas de cálculo com vetores, mas também servem para construírmos bases especiais, ou seja, as bases ortonormais. Além disso, as operações com vetores apresentadas nesse capítu-lo têm importantes interpretações geométricas: ângulo entre vetores, no caso do produto interno; vetor ortogonal a outros dois vetores dados e área no caso do produto vetorial; e volume de paralelepí-pedo, no caso do produto misto.

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Capítulo 6Retas e Planos

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Capítulo 6Retas e Planos

Nos dois capítulos anteriores construímos noções fun-damentais que nos permitem agora avançar no enten-dimento de entes matemáticos básicos como retas e pla-nos. As noções (vetores, LI e LD, orientação e base) e ferramentas (produto interno, produto vetorial e produ-to misto) dos capítulos anteriores nos permitirão, neste capítulo, introduzir o conceito fundamental de sistemas de coordenadas. De posse dessa noção, podemos enten-der em profundidade retas e planos, e as relações entre eles. Neste capítulo veremos que as retas e planos serão dados por equações, e estudá-los vai ficar simples.

6.1 Sistemas de Coordenadas Cartesianas

No capítulo 5 falamos de bases ortonormais e orientação. Lá, fi-xamos um ponto O do espaço, que chamamos de origem, e os segmentos unitários orientados, , ,OA OB OC

, e ortogonais. Esses segmentos formam um triedro positivo ( , , )OA OB OC

, e os veto-res , ,i OA j OB k OC= = =

formam a base positiva { , , }i j k

.

As retas que contêm os segmentos , ,OA OB OC

são denotadas por OX, OY, OZ, respectivamente. Essas retas também são denomina-das de eixo dos x, eixo dos y e eixo dos z, respectivamente.

Tomemos um ponto A, na reta OX, diferente de O e um ponto B, na reta OY, diferente de O. Os três pontos, O, A, B, determinam um único plano, plano chamado de plano xy. Note que esse plano contém o eixo dos x e o eixo dos y.

Do mesmo modo, as retas OX e OZ determinam um único plano, chamado de plano xz, que contém o eixo dos x e o eixo dos z. Tam-

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118

bém as retas OY e OZ determinam um único plano, chamado de plano yz, que contém o eixo dos y e o eixo dos z.

Como já dissemos anteriormente, a cada ponto P do espaço cor-responde um único segmento orientado OP

que determine um único vetor v

com representante OP

. Além disso, provamos que esse vetor é escrito de modo único como combinação linear dos vetores da base { , , }i j k

, chamada de base canônica. (Veja a seção 2 do capítulo 5),

v xi y j zk= + +

.

Logo, concluímos que a cada ponto do espaço corresponde uma única terna (x, y, z) de números reais. Esses números são chamados de coordenadas cartesianas do ponto P. Por outro lado, dada uma terna (x, y, z) de números reais, existe um único ponto P do espaço tal que OP xi y j zk= + +

. Segue que, uma vez fixada a base { , , }i j k

para o espaço, podemos representar cada um dos pontos do espa-ço por ternas ordenadas (x, y, z) de números reais. Um ponto P do espaço pode agora ser representado da seguinte forma: ( , , )P x y z .

A menos que seja dito explicitamente o contrário, adotaremos, a partir de agora, a base { , , }i j k

como base usual, também chamada de base canônica do espaço. Em todos os resultados que seguem utilizaremos a base canônica.

6.2 Distância entre PontosAgora que já associamos a cada ponto P do espaço suas coorde-nadas cartesianas, podemos obter muitos resultados importantes. Vamos começar pela fórmula da distância entre dois pontos.

Sejam 1 1 1( , , )A x y z e 2 2 2( , , )B x y z pontos do espaço. A distância en-tre eles, indicada por ( , )d A B , é, por definição, o comprimento do segmento AB

.

O

A

BFigura 6.1

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119

Como 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )AB B A x x i y y j z z k= − = − + − + −

, segue que

2 2 22 1 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( )d A B AB AB AB x x y y z z= = ⋅ = − + − + −

.

Exemplo 6.1: Determine a distância entre o ponto (cos ,sen )A x x e a origem.

Resolução: 2 2( , ) cos sen 1d A O OA x x= = + =

.

Exemplo 6.2: Determine os pontos do plano que distam uma uni-dade da origem.

Resolução:

Tomemos um ponto ( , )P x y do plano e (0,0)O a origem, então

2 2 2 2( , ) ( 0) ( 0) 1.d P O OP x y x y= = − + − = + =

.

Elevando ao quadrado o resultado acima, obtemos 2 2 1x y+ = . Isto é, os pontos que distam 1 unidade de comprimento da origem es-tão sobre a circunferência de centro na origem e raio 1.

6.3 Equações do PlanoSabemos da Geometria Euclidiana que três pontos não colineares determinam um único plano. Nesta seção veremos como encon-trar a equação do plano determinado por três pontos não coline-ares do espaço.

Sejam 1 1 1( , , )A x y z , 2 2 2( , , )B x y z e 3 3 3( , , )C x y z pontos não colinea-res do espaço. Como os pontos são não colineares, então os vetores AB

e AC

são linearmente independentes. Logo, dado um ponto P qualquer do plano, os vetores AB

e AC

geram o vetor AP

. Se-gue que existem escalares reais s e t tais que AP s AB t AC= +

. Como AP OP OA= −

, podemos escrever

OP OA s AB t AC= + +

.

Tomemos as coordenadas de OP xi y j zk= + +

. Então podemos escrever

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120

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .

AB x x i y y j z z k

AC x x i y y j z z k

= − + − + −

= − + − + −

Logo, temos OP OA s AB t AC= + +

, que pode ser escrito como

[ ][ ][ ]

1 2 1 3 1

1 2 1 3 1

1 2 1 3 1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) .

OP xi y j zk x s x x t x x i

y s y y t y y j

z s z z t z z k

= + + = + − + −

+ + − + −

+ + − + −

Comparando os vetores, como a representação é única, segue que

1 2 1 3 1

1 2 1 3 1

1 2 1 3 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

x x s x x t x xy y s y y t y yz z s z z t z z

= + − + −= + − + −= + − + −

Essas equações são chamadas de equações paramétricas do pla-no, e os números s e t são chamados de parâmetros e podem ser qualquer número real.

Exemplo 6.3: Determine as equações paramétricas do plano de-terminado pelos pontos (1, 2,3)A , (0,3, 4)B e (0,0,1)C .

Resolução:Basta utilizar as equações paramétricas do plano e obter:

1 (0 1) (0 1) 1

2 (3 2) (0 2) 2 2 3 (4 3) (1 3) 3 2 .

x s t s ty s t s tz s t s t

= + − + − = − −= + − + − = + −= + − + − = + −

Logo, as equações paramétricas do plano são

1 2 2 3 2

x s ty s tz s t

= − −= + −= + − .

Onde s e t são reais quaisquer.

6.4 Equação Cartesiana do PlanoNa dedução das equações paramétricas do plano vimos que os vetores AB

, AC

e AP

são LD. Então o produto misto entre eles é nulo, isto é, , , 0AB AC AP =

. Assim, um ponto P(x, y, z) está no

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121

plano determinado por A, B e C se, e somente se, , , 0AB AC AP =

. A equação determinada dessa forma recebe o nome de equação cartesiana do plano.

No exemplo acima, temos

( 1,1,1)

( 1, 2, 2)

( 1, 2, 3).

AB

AC

AP x y z

= −

= − − −

= − − −

e o produto misto é

1 1 11 2 2 3 3 4 2 01 2 3

z y xx y z

−− − − = − − + =− − −

.

Segue que a equação cartesiana do plano é dada por

2 4 3 3 0x y z− + − = .

6.5 Voltando no tempo...Imagine que você precisa informar a alguém a posição exata de uma mosca que esteve pousada numa parede. Esta foi a idéia ini-cial da origem do plano cartesiano que se deve a René Descartes, filósofo e matemático francês nascido em 1596. Descartes teve a idéia de utilizar um conjunto de retas paralelas e perpendiculares para localizar a posição da mosca na parede.

Podemos representar graficamente o plano cartesiano utilizando duas retas perpendiculares que foram geradas pelos vetores da base canônica do plano, chamadas de eixos cartesianos. Veja a figura.

Fixada uma base, já provamos que a cada ponto do plano associa-mos um único par de coordenadas ( , )x y e a cada par de coorde-nadas ( , )x y associamos um único ponto do plano. A coordenada x , marcada sobre o eixo horizontal OX, é chamada de abscissa; e a coordenada y , marcada sobre o eixo vertical OY, é chamada de ordenada.

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122

Abscissa

P

Figura 6.2

6.6 Equação Normal do PlanoAgora veremos como determinar a equação normal do plano. Dize-mos que um vetor v ai b j ck= + +

é normal a um plano se for perpen-dicular a todos os vetores que possuem representante nesse plano.

Seja v ai b j ck= + +

um vetor normal ao plano . Se 0 0 0 0( , , )P x y z é um ponto conhecido do plano, e ( , , )P x y z um ponto arbitrário do plano, então o vetor 0 0 0 0( , , )P P x x y y z z= − − −

é perpendicular a v

. Segue que 0 0 0 0( ) ( ) ( ) 0P P v a x x b y y c z z⋅ = − + − + − =

.

Assim, a equação do plano que tem v ai b j ck= + +

como vetor nor-mal e passa pelo ponto 0 0 0 0( , , )P x y z é dada pela equação cartesiana

0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z− + − + − = .

Notemos que 0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z− + − + − = pode ser escri-to como 0ax by cz d+ + + = , onde 0 0 0d ax by cz= − − − . Assim, na equação cartesiana do plano, os coeficientes são as coordenadas do vetor normal a este plano.

Exemplo 6.4: Determine a equação normal do plano que passa pelo ponto 0 (1, 2,3)P e tem o vetor 1 2 1v i j k= − + +

como vetor normal.

Resolução:

Basta calcular o produto interno 0 0P P v⋅ =

. Logo, 1( 1) 2( 2) 1( 3) 0x y z− − + − + − = ,

Abscissa

P

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123

ou seja,2 1 6 0x y z− + + − = .

Exemplo 6.5: Apresente um vetor normal ao plano 2 1 2 3 0x y z+ + + = .

Resolução:

O vetor (2,1, 2)n =

é normal ao plano.

Em Geometria Analítica uma equação do tipo 0Ax By Cz D+ + + = chama-se equação geral do plano ou equação normal do plano.

6.7 Ângulo entre PlanosConsideremos dois planos, 1 2 e . Suponha que os planos não sejam paralelos. Então eles se encontram em uma reta r , comum aos dois. Tomemos um ponto P da reta r e pontos 1A ∈ e 2B ∈ tais que os segmentos orientados PA

e PB

sejam perpendiculares à reta r . O ângulo entre os planos 1 2 e é definido como sendo o menor ângulo positivo possível entre vetores PA

e PB

obtidos da forma acima descrita.

B

C

AP

Figura 6.3

Suponha que os planos sejam dados por

1 1 2 3 0

2 1 2 3 1

: 0: 0.a x a y a z db x b y b z d

+ + + =+ + + =

Logo, os vetores

1 1 2 3

2 1 2 3

n a i a j a k

n b i b j b k

= + +

= + +

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são perpendiculares aos planos 1 2 e , respectivamente. Traçan-do por A uma perpendicular ao plano 1 e por B uma perpendi-cular ao plano 2 , as retas se cruzam no ponto C. A soma dos ângulos internos do quadrilátero PBCA é 360º, sendo os ângulos em A e B retos. Então é claro que o ângulo em C e o ângulo entre os planos são suplementares. Assim

cos( , ) cos( , )PA PB CA CB=

.

Vamos denotar por 1 2cos( , ) o cosseno do ângulo entre os pla-nos 1 2 e .

Notemos que os vetores normais, 1n

e CA

, são ambos perpendicu-lares a 1 , então possuem representantes na reta que passa por CA

. Do mesmo modo, 2n

e CB

são ambos perpendiculares a 2 , então possuem representantes na reta que passa por CB

. Logo, ou o ângulo entre CA

e CB

é o mesmo ângulo entre 1n

e 2n

, ou são suplementares. Segue que

1 2cos( , ) cos( , )n n CA CB=

.

Como

1 21 2

1 2

cos( , ) n nn nn n

⋅=

,

o ângulo entre os planos é dado por

1 21 1 2 2 3 3

1 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 3 1 2 3

cos( , )n n a b a b a b

n n a a a b b b

⋅ + += =

⋅ + + + +

.

Exemplo 6.6: Determine o ângulo entre os planos que têm os veto-res 1 22 1 1 , 1 4 2n i j k n i j k= + + = − +

como seus vetores normais.

Resolução:

Como 1 2

1 2 2 2 2 2 2 21 2

2 4 2cos( , ) 0

. 2 1 1 1 ( 4) 2

n n

n n

⋅ − += = =

+ + + − +

,

então os planos são perpendiculares.

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125

6.8 Equação da Reta: forma paramétrica e forma simétrica

Novamente, sabemos da Geometria Euclidiana que dois pontos distintos determinam uma única reta. Nesta seção veremos como determinar a reta que passa por dois pontos.

Sejam os pontos 1 1 1 1( , , )P x y z e 2 2 2 2( , , )P x y z e seja r a reta determi-nada por eles. Se ( , , )P x y z é um ponto arbitrário de r , então os vetores 1PP

e 1 2PP

são linearmente dependentes. Portanto, existe um escalar real t tal que 1 1 2PP tPP=

. Como 11PP OP OP= −

, pode-mos reescrever

1 1 2OP OP tPP= +

.

Usando a base { , , }i j k

, podemos expressar a equação acima em termos de coordenadas cartesianas dos vetores:

1 2 1 1 2 1 1 2 1[ ( )] [ ( )] [ ( )]xi y j zk x t x x i y t y y j z t z z k+ + = + − + + − + + −

.

Comparando os vetores, obtemos

1 2 1

1 2 1

1 2 1

( )( )( ).

x x t x xy y t y yz z t z z

= + −= + −= + −

Essas são as equações paramétricas da reta r que passa pelos pon-tos 1 1 1 1( , , )P x y z e 2 2 2 2( , , )P x y z .

Se a reta r é paralela ao plano xy , então os componentes z dos pontos dados são iguais, portanto 2 1 0z z− = . Do mesmo modo, se a reta é paralela ao plano xz , então os componentes y dos pontos dados são iguais, portanto 2 1 0y y− = ; também se a reta é para-lela ao plano yz , então os componentes x dos pontos dados são iguais, assim, 2 1 0x x− = . Se a reta r não é paralela a nenhum dos planos ,xy yz e xz , esses componentes não serão nulos e as equa-ções paramétricas podem ser reescritas na forma

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z z tx x y y z z

− − −= = =

− − −.

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126

As equações da reta escritas na forma

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z zx x y y z z

− − −= =

− − −

são chamadas de equações simétricas da reta.

Exemplo 6.7: Determine as equações simétricas e as equações pa-ramétricas da reta que passa pelos pontos (1, 2,3)A e (3, 4,5)B .

Resolução:

Vamos calcular

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z zx x y y z z

− − −= =

− − −,

o que nos dá a equação na forma simétrica

1 2 3 1 2 33 1 4 2 5 3 2 2 2x y z x y z− − − − − −

= = ⇒ = =− − −

,

ou ainda, 2 12 22 3.

x ty tz t

= + = + = +

Que são as equações paramétricas da reta. Nessa forma, o ponto (1, 2,3)P é um ponto da reta e o vetor (2, 2, 2)u =

é um vetor paralelo à reta.

Na geometria analítica plana, apresentada nos ensinos fun-damental e médio, uma equação do tipo y ax b= + é equa-ção de uma reta. Mas a geometria analítica lá é plana e, portanto, 0z = . Na geometria analítica (geral ou espacial) a equação y ax b= + é um plano, a saber, o plano perpendi-cular ao plano xy que contém a reta y ax b= + deste plano, pois o valor de z é livre, podendo assumir qualquer valor real. Em geral, as retas do espaço são apresentadas como in-terseção entre dois planos. Por exemplo, se queremos a reta y ax b= + no plano, devemos dizer a reta dada pela interse-ção dos dois planos y ax b= + e 0z = .

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127

Veremos então outros exemplos da reta dada pela interseção en-tre os planos z ay b= + e x c= .

Exemplo 6.8: Determine as equações da reta que passa pelo ponto

0 0 0( , , )P x y z e é perpendicular ao plano 0ax by cz d+ + + = .

Resolução:

Como o vetor ( , , )n a b c=

é normal ao plano, então a reta tem n

como vetor paralelo. Logo, as equações paramétricas da reta procurada são

0

0

0 .

x x aty y btz z ct

= += += +

Exemplo 6.9: Determine a reta dada pela interseção dos planos

1 1 2 3 1

2 1 2 3 2

: 0: 0.a x a y a z db x b y b z d

+ + + =+ + + =

Resolução:

Os vetores normais aos planos são 1 21 2 3 1 2 3( , , ) e ( , , )n a a a n b b b= =

respectivamente. Se os planos são paralelos ou coincidentes, então seus vetores normais sãos paralelos, isto é, 1 2n kn=

para algum k real. Planos paralelos têm interseção vazia. Planos coincidentes têm interseção dada por qualquer um dos planos e assim determi-nam infinitas retas, todas as retas do plano.

Se os dois planos não são paralelos ou coincidentes, então a inter-seção deles é uma reta r . Essa reta r pertence a ambos os planos. Como a reta pertence ao plano 1 , o vetor 1n

é perpendicular à reta. Do mesmo modo como a reta pertence ao plano 2 , o vetor

2n

é perpendicular à reta. Logo, 1 2n n×

é paralelo à reta r . Tendo 1 2n n×

paralelo à reta e conhecendo-se um ponto da reta, pode-mos determiná-la completamente.

Exemplo 6.10: Determine as equações paramétricas da reta dada pela interseção dos planos

1

2

: 2 3 1 6 0: 2 1 1 0 0.

x y zx y z

+ + − =− + + + =

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Resolução:

Como os vetores normais aos planos não são paralelos, então os planos se interceptam em uma reta. O vetor paralelo à reta é

(2, 4,8)v = −

. Notemos que o ponto (1,1,1)P é um ponto comum aos planos e, portanto, está na reta. Logo, as equações paramétri-cas da reta procurada são

1 21 41 8 .

x ty tz t

= += −= +

Nesse exemplo, por inspeção vimos que o ponto (1,1,1)P pertence aos planos. Num caso geral, devemos resolver o sistema de equa-ções lineares

2 3 1 6 02 1 1 0 0.x y z

x y z+ + − =

− + + + =

Exercícios6.1) Determine a distância entre os pontos (1, 2,3)P − e (2, 2,5)Q − .

Resposta: 5 u.c.

6.2) Determine as coordenadas do vetor que tem representante AB

, sendo (1, 2,3)A − e (2, 2,5)B − .

Resposta: (1,0, 2) 1 0 2AB i j k= = + +

.

6.3) Determine a equação do plano que passa pelos pontos (1, 2,3)A − , (2, 2,5)B − e (1,0, 1)C − .

Resposta: 2 2 0x y z+ + + = ou 1 0

2 0 23 2 4

x s ty s tz s t

= + + = − + + = + −

.

6.4) Determine a equação do plano que passa pelo ponto (1,0, 1)A − e tem o vetor (1, 2,3)n = −

como vetor normal.

Resposta: 2 3 2 0x y z− + + = .

6.5) Calcule o ângulo entre os planos dados por 1 0x y z− + + = e 2 0x y z− + − + = .

Resposta: O ângulo é nulo, os planos são paralelos.

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129

6.6) Determine as equações da reta que passa pelos pontos (1, 2,3)A − , (2, 2,5)B − .

Resposta:

12 0

3 2

x ty tz t

= + = − + = +

6.9 Ângulo entre duas RetasDadas duas retas, 1r e 2r , no espaço, ocorre uma das seguintes situações:

1r• e 2r são paralelas ou coincidentes;

1r• e 2r se interceptam em um único ponto;

1r• e 2r não são paralelas e nem se cruzam em um ponto (as retas são reversas). Veja na figura que cada reta contém uma aresta de um paralelepípedo, não são paralelas e nem se cruzam.

Figura 6.4

No primeiro caso, definimos o ângulo entre elas como sendo zero.No segundo caso, as retas determinam quatro ângulos, dois a dois, opostos pelo vértice.O ângulo entre as retas é definido como sendo o menor desses ângulos.No terceiro caso, se as retas são reversas, escolhemos um ponto P qualquer de 1r e traçamos por P uma reta r′ paralela a 2r . Defini-mos o ângulo entre 1r e 2r como sendo o ângulo entre 1r e r′ .

Sejam 1v

e 2v

vetores paralelos às retas 1r e 2r . Então o ângulo entre 1r e 2r é dado por

1 21 21 2

1 2

cos( , ) cos( , )v v

r r v vv v

⋅= =

.

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130

Exemplo 6.11: Determine o ângulo entre as retas

1

1 11 21 3

x tr y t

z t

= + = + = +

e 2

1 21

1 1.

x tr y t

z t

= + = − = − +

Resolução

Os vetores (1,1,1)u =

e (1,1, 1)v = −

são paralelos, respectivamente, a 1r e 2r . Logo,

1 21 1cos( , )

33 3

u vr r

u v

⋅= = =

×⋅

.

Assim, o ângulo q entre as retas é tal que

1cos( )3

q = .

Exercícios6.7) Determine o ângulo entre as retas

1

1 13 11

x tr y t

z t

= + = − =

e 2

1 21 1

1 1.

x tr y t

z t

= − + = + = − +

Resposta: 15arccos( )15

q = .

6.8) Determine o ângulo entre as retas

1

1 11 21 3

x tr y t

z t

= − + = + = +

e 2

1 21 1

2 1.

x tr y t

z t

= + = − = − +

Resposta: 2arccos( )3

q = .

6.10 Distância de um Ponto a um Plano

Dado um ponto 0P qualquer e um plano , a distância do ponto ao plano é o comprimento do segmento de reta 0 1P P , onde 1P é o pé da perpendicular ao plano que passa por 0P , isto é, 1P é a inter-seção do plano com a perpendicular ao plano baixada de 0P .

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131

P0

P1

P

Figura 6.5

Seja n

o vetor unitário normal ao plano. A reta perpendicular ao plano que contém o segmento 0 1P P é paralela ao vetor n

. Logo,

0 1P P tn=

para algum escalar real t . Se P é um ponto arbitrário do plano, podemos decompor 0P P

em dois componentes: um na mesma direção de 0 1P P

(normal ao plano) e outro perpendicular a 0 1P P

. Como o triângulo é retângulo em 1P , temos

2 2 2 2

0 0 1 1 0 1P P P P PP P P= + ≥

.

Portanto, 0 0 1P P P P≥

. Isto é, o comprimento do segmento 0P P

é maior ou igual ao comprimento do segmento 0 1P P

.

Assim, a menor distância entre o ponto e o plano é o comprimen-to do segmento perpendicular ao plano que liga os pontos 0P e

1P . Segue que o comprimento do segmento 0 1P P

é a distância do ponto ao plano.

Portanto, é natural definir, como o fizemos, a distância de um ponto a um plano como sendo o comprimento do segmento 0 1P P

perpendicular ao plano.

0 0 0 0 01 1

0 0 0 0 0 1 01 1

0 1 0 1

d( , ) . cos( , )

. . cos( , ).

P P P P P P P P P

P P P P P P P P P P P P

P P P P

= = =

⋅=

Está provado, então, o teorema a seguir.

Teorema 6.1: Dado um ponto 0 0 0 0( , , )P x y z qualquer e um plano , a menor distância do ponto ao plano ocorre entre o ponto 0P e o ponto

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132

1P , onde 1P é o pé da perpendicular ao plano que passa por 0P . Além disso, a distância é dada pela expressão

0 010

0 1

d( , )P P P P

PP P

=

.

Continuando com a nossa análise, seja um ponto 0 0 0 0( , , )P x y z fora do plano dado por 0ax by cz d+ + + = .

Sabemos que o vetor n ai b j ck= + +

é um vetor normal ao plano . Então 0 1P P tn=

, para algum escalar t. Seja ( , , )P x y z um ponto qual-quer do plano. Tomemos o vetor 0 0 0 0( ) ( ) ( )P P x x i y y j z z k= − + − + −

e calculemos o produto interno 0 1 0P P P P⋅

:

0 1 0 0 0 0

0 0 0

( , , ) ( , , )( ) ( ) ( )

P P P P t a b c x x y y z zta x x tb y y tc z z

⋅ = ⋅ − − −= − + − + −

Como P pertence ao plano, segue que ax by cz d+ + = − , donde temos

0 1 0 0 0 0( )P P P P t ax by cz d⋅ = − − − −

.

Por outro lado,

2 2 20 1P P t n t a b c= ⋅ = + +

.

Segue que a distância do ponto ao plano é dada pela expressão

0 01 0 0 00 2 2 2

0 1

d( , )P P P P ax by cz d

PP P a b c

⋅ + + +

= =+ +

.

Teorema 6.2: A distância do ponto 0 0 0 0( , , )P x y z ao plano dado por 0ax by cz d+ + + = é dada pela expressão

0 0 00 2 2 2

d( , )ax by cz d

Pa b c

+ + +

=+ +

.

Exemplo 6.12: Determine a distância do ponto 0 (1, 2,3)P − ao plano 2 3 4 0x y z+ − + = .

Resolução

Usando a fórmula acima temos

0 2 2 2

2 1 3 ( 2) 1 3 4 3d( , )142 3 ( 1)

P × + × − − × +

= =+ + −

unidades de compri-

mento.

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133

Exercícios6.9) Determine a distância do ponto 0 (1, 1, 2)P − ao plano

2 3 14 0x y z− − − = .

Resposta: 1114

.

6.10) Determine o ponto 0 (1, ,3)P a que está distante duas uni-dades de comprimento do plano 2 3 4 0x y z+ − + = .

Resposta: 2 21 14 ou 1 143 3

a a= − + = − − .

6.11 Distância de um Ponto a uma Reta

Dado um ponto 0 0 0 0( , , )P x y z e uma reta r , queremos determinar a distância do ponto até a reta. No plano, a menor distância entre esse ponto e a reta ocorre entre o ponto 0P e o pé da perpendicu-lar à reta que passa pelo ponto 0P . Assim, define-se a distância entre um ponto 0P e uma reta r por 0 0 1d( , )P r P P=

, onde 1P é o pé da perpendicular mencionada.

Traçamos por 0P uma reta perpendicular à reta dada r e deter-minamos o ponto 1P .

Seja v ai b j ck= + +

vetor paralelo à reta, então2

2 2 2 2 00 1 0 1 0 2

2 2 2

0 0

2

2 2 2 2 20 0 0

2

2 2 20 0

2

2

0

2

cos ( , )

sen ( , )

.

P P vP P P P PP P P

v

P P v P P v

v

P P v P P v P P v

v

P P v P P v

v

P P v

v

⋅= − = −

− ⋅=

− ⋅ ⋅=

=

×=

P1

P0

PFigura 6.6

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134

Acabamos de provar o seguinte teorema:

Teorema 6.3: Seja 0 0 0 0( , , )P x y z um ponto fora da reta r com vetor paralelo v ai b j ck= + +

. A distância entre o ponto 0P e a reta r é dada por

00d( , )

P P vP r

v

×=

,

onde P é um ponto qualquer da reta.

Exemplo 6.13: Determine a distância entre o ponto 0 (1, 2, 1)P − e a reta dada por

1 312 5

x ty tz t

= + = − = −

Resolução

A reta passa pelo ponto P(1,1,2) e tem vetor paralelo (3, 1, 5)v = − −

. Logo, usando a expressão acima, temos

00

(0, 1,3) (3, 1,5) (8,9,3) 154( , )(3, 1,5) 35 35

P P vd P r

v

× − × −= = = =

u.c.

6.12 Distância entre Dois PlanosConsideremos dois planos, 1 e 2 . A distância entre eles é defi-nida como sendo a menor distância entre dois quaisquer de seus pontos.

Conhecendo-se os seus vetores normais, podemos obter informa-ções sobre os planos. Se os seus vetores normais não são para-lelos, então os planos são concorrentes, e neste caso a distância entre os planos é zero.

Se os seus vetores normais são paralelos, então os planos são pa-ralelos ou coincidentes. Nesse caso, a distância entre eles será en-tão a mesma distância entre um ponto 1P ∈ e o plano 2 . A distância de ponto a plano, já sabemos calcular.

Exemplo 6.14: Sejam os planos 1 : 2 1 0x y z − + + = e

2 : 2 4 2 3 0x y z − + + = . Eles são paralelos pois seus vetores nor-

Assim como retas concorrentes são aquelas retas que se cruzam, planos concorrentes são planos que se cruzam.

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135

mais são paralelos 2 12(1, 2,1) 2n n= − =

. Temos 1 1(2,1, 1)P − ∈ e

2 23(2,1, )2

P − ∈ . Logo,

1 2 2 1

32 2 112d( , ) d( , )

1 4 1 2 6P

− − += = =

+ +.

Do mesmo modo, também podemos calcular

1 2 1 2

4 4 2 3 1d( , ) d( , )4 16 4 2 6

P − − +

= = =+ +

.

6.13 Distância entre Duas RetasDadas duas retas, 1r e 2r , suponha que exista uma reta r perpen-dicular a ambas. Então existe um ponto 1A comum a r e a 1r , e um ponto 2A comum a r e a 2r . É natural definir as distâncias entre as retas como sendo a distância entre os pontos 1A e 2A .

Para a nossa definição ter sentido, devemos provar que sempre existe uma reta r perpendicular a ambas, 1r e 2r . De fato, se as retas 1r e 2r são paralelas, então tomemos um ponto qualquer 1A de 1r e tracemos uma reta perpendicular a 1r passando por esse ponto e contida no plano que contém 1r e 2r . Essa reta é também perpendicular a 2r e a corta em 2A . Assim, 1 2 1 2d( , ) d( , )r r A A= .

No caso anterior, de retas paralelas, foi fácil determinar uma reta perpendicular a ambas. Se as retas não são paralelas (podem ser concorrentes ou reversas), precisamos determinar uma reta que seja perpendicular a ambas. Vamos aceitar que existe uma tal reta.

Admitindo a existência dessa tal reta, vamos agora deduzir uma expressão para essa distância em termos de 1 1 1 1( , , )P x y z e

2 2 2 2( , , )P x y z , 1n

e 2n

, isto é, um ponto de cada reta e um vetor paralelo a cada reta.

Como as retas não são paralelas, existe um único plano 2 que contém a reta 2r e é paralelo à reta 1r . Baixemos por 1P a perpen-dicular ao plano 2 . Seja P o ponto onde ela corta o plano 2 . O segmento 1PP

é eqüipolente ao segmento 1 2A A

, portanto paralelo ao vetor 1 2n n×

. O comprimento 1PP

é a projeção ortogonal de

1 2PP

sobre a reta que passa por 1P e P . Logo,

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136

1 2 1 21 2 1 2 1

1 2

( )d( , )

PP n nr r A A PP

n n

⋅ ×= = =

×

.

Notemos que na expressão acima, que dá a distância entre duas retas, não é necessário conhecer as equações das retas: basta um ponto de cada e um vetor paralelo a cada reta. Vamos resumir nossos resultados no seguinte teorema:

Teorema 6.4: Sejam as retas 1r passando pelo ponto 1 1 1 1( , , )P x y z , e

2r , passando pelo ponto 2 2 2 2( , , )P x y z . Sejam 1n

um vetor não nulo paralelo a 1r e 2n

um vetor não nulo paralelo a 2r . A distância entre as retas é dada pela expressão

1 2 1 21 2

1 2

( )d( , )

PP n nr r

n n

⋅ ×=

×

.

Exemplo 6.15: Determine a distância entre as retas

1 2

1 2: 1 2 e : 1

2 2 3 .

x t x tr y t r y t

z t z t

= + = − = − + = + = − = +

Resolução:

As retas passam pelos pontos 1(1, 1, 2)P − e 2 (2,1,3)P e têm veto-res paralelos 1 2(1, 2, 2), ( 1,1,1)n n= − = −

, respectivamente. Como

1 2 (1, 2,1)PP =

e

1 2 1 2 2 4 1 31 1 1

i j kn n i j k× = − = + +

,

então temos que a distância entre as retas é dada por

1 2 1 21 2

1 2

( ) 9d( , )26

PP n nr r

n n

⋅ ×= =

×

.

Exercícios6.11) Determine a distância entre as retas

1 2

1 3 1 2: 1 2 e : 1 1

5 3.

x t x tr y t r y t

z t z

= + = − = − + = − = − =

.

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137

Resposta: 14

14u.c.

6.12) Determine a distância entre as retas

1 2

1: 1 2 e : 2 1

.

x t x tr y t r y t

z t z t

= = − = − + = + = − =

Resposta: 2 u.c.

6.14 Interseção entre Três PlanosConsideremos três planos dados por

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

: 0,: 0,: 0,

a x b y c z da x b y c z da x b y c z d

+ + + =+ + + =+ + + =

e seus vetores normais, 1 2 3, ,n n n

, respectivamente. Eles têm um ponto em comum? Um ponto ( , , )P x y z comum aos planos deve satisfazer simultaneamente a todas as equações do plano, isto é, a terna (x, y, z) formada por suas coordenadas deve ser solução do sistema de equações lineares acima. No momento, estamos ape-nas interessados em responder se os planos se interceptam em um único ponto. Isto ocorrerá se, e somente se, o sistema tiver uma única solução.

Vamos agora responder esta questão de uma forma mais geomé-trica. Vimos que uma condição necessária e suficiente para que dois planos se interceptem segundo uma reta é que o produto vetorial entre seus vetores normais seja não nulo. Estamos inte-ressados em determinar uma condição para que os três planos se interceptem em um ponto. Para isso ocorrer, é necessário que dois planos, por exemplo 1 2, , se interceptem segundo uma reta r (paralela ao vetor não nulo 1 2n n×

) e, além disso, que a reta r intercepte o plano 3 em um ponto. Ou seja, o plano 3 não é paralelo à reta r e, equivalentemente, não é paralelo a 1 2n n×

.

Logo, 1 2 3( ) 0n n n× ⋅ ≠

. Por outro lado, se 1 2 3( ) 0n n n× ⋅ ≠

, então 1 2 0n n× ≠

e, portanto, os planos 1 e 2 se interceptam em uma reta não paralela ao plano 3 .

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Logo, a condição necessária e suficiente para que os planos

1 2, e 3 se interceptem em um ponto é que o produto misto entre os vetores normais aos planos seja não nulo, isto é, 1 2 3[ , , ] 0n n n ≠

.

Teorema 6.5: Sejam os planos 1 2, e 3 com vetores normais 1 2, n n

e 3n

, respectivamente. Os planos se interceptam em um único ponto se, e somente se, 1 2 3[ , , ] 0n n n ≠

.

Exemplo 6.16: Verifique se os seguintes planos se interceptam em um único ponto:

1

2

3

:1 2 1 1 0,:1 1 1 1 0,: 1 1 1 1 0.

x y zx y z

x y z

+ + + =− + + =

− − + − =

Resolução:

O produto misto entre os vetores normais aos planos é dado por

1 2 11 1 1 6 01 1 1

− = − ≠− −

e, portanto, os planos se interceptam em um único ponto. Po-demos verificar facilmente, por substituição direta, que o ponto

( 1,0,0)P − é o ponto comum aos planos.

Subtraindo a equação de 1 da equação de 2 , obtemos 0y = . Adicionando as equações de 1 e de 3 , obtemos 0z = , donde segue que 1x = − .

Já vimos em capítulos anteriores, técnicas para obter as so-luções de sistemas de equações lineares. Quando a solução é única, ela fornece as coordenadas do ponto de interseção entre os planos.

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139

6.15 Fórmulas do Capítulo

Distância entre

Pontos

1 1 1 1

2 2 2 2

( , , ),( , , )

P x y zP x y z

2 2 21 2 2 1 2 1 2 1 1 2( , ) ( ) ( ) ( )d P P x x y y z z PP= − + − + − =

Equações do Plano

Três pontos

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

( , , ),( , , ),( , , )

P x y zP x y zP x y z

Paramétricas

1 2 1 3 1

1 2 1 3 1

1 2 1 3 1

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

x x s x x t x xy y s y y t y yz z s z z t z z

= + − + −= + − + −= + − + −

Três pontos

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

( , , ),( , , ),( , , )

P x y zP x y zP x y z

Cartesiana

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

0x x y y z zx x y y z zx x y y z z

− − −− − − =− − −

0 0 0 0( , , )P x y z ∈

1 ( , , )n a b c=

normal a

Normal

0 0 0( , , ) ( , , ) 0x x y y z z a b c− − − ⋅ =

Ângulo entre

Planos

1n

normal a 1

2n

normal a 2

1 21 2

1 2

cos( , )n n

n n

⋅=

Equações da reta

Dois pontos

1 1 1 1

2 2 2 2

( , , ),( , , )

P x y zP x y z

Paramétricas

1 2 1

1 2 1

1 2 1

( )( )( )

x x t x xy y t y yz z t z z

= + −= + −= + −

Forma Simétrica

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z zx x y y z z

− − −= =

− − −

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Ângulo entre Retas

1v

paralelo a 1r

2v

paralelo a 2r

1 21 2

1 2

cos( , )v v

r rv v

⋅=

Distância de Ponto a

Plano

0 0 0 0( , , ),: 0

P x y zax by cz d + + + =

0 0 0

2 2 2( , )

ax by cz dd P

a b c

+ + +=

+ +

Distância de Ponto a

Reta

0 0 0 0( , , )P x y z fora de r .

P qualquer ponto de r .

1 ( , , )v a b c=

paralelo a r .

00( , )

P P vd P r

v

×=

Distância entre Retas

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

( , , ) ,( , , ) ,

P x y z rP x y z r

∈∈

1v

paralelo a 1r ,

2v

paralelo a 2r .

1 2 1 2

1 21 2

( )( , )

PP v vd r r

v v

⋅ ×=

×

Distância entre Planos

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

( , , ) ,( , , ) ,

P x y zP x y z

∈∈

1n

normal a 1 ,

2n

normal a 2 .

1 2 11 2

1

( , )PP n

dn

=

Interseção de Planos

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

: 0: 0: 0

a x b y c z da x b y c z da x b y c z d

+ + + =+ + + =+ + + =

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0a b ca b ca b c

os planos de intersectam em um único ponto

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Exercícios6.13) Verifique se os planos se interceptam em um ponto:

1

2

3

:1 1 3 0,:1 1 1 1 0,:1 1 1 1 0.

x y zx y zx y z

− + =+ + + =− − − =

Resposta: O produto misto entre os vetores normais é não nulo. Os planos se interceptam em um único ponto.

6.14) Verifique se os planos se interceptam em um ponto:

1

2

3

:1 1 1 5 0,:1 0 1 2 0,:1 1 1 1 0.

x y zx y zx y z

− − + =+ − + =+ + − =

Resposta: O produto misto entre os vetores normais é dife-rente de zero. Os planos se interceptam em um ponto.

ResumoNesse capítulo apresentamos em detalhes a noção de sistema de co-ordenadas e muitas das implicações que esse conceito nos fornece no estudo de retas e planos. Vimos que, uma vez estabelecido um sistema de coordenadas, podemos fazer o estudo das retas e planos via equações, o que torna esse trabalho mais simples e atraente. Foi assim que atribuímos aos planos e às retas suas equações e pude-mos responder a várias perguntas, tais como: os planos dados se inter-ceptam? As retas se cruzam? Qual a distância entre uma reta e um plano? Qual é a reta que passa por um ponto e é paralela a um plano? Vimos também alguns tipos de equações para as retas e os planos e apren-demos a ver, nessas equações, informações importantes. Como você pode ver, mergulhamos mais fundo nesse mundo dos vetores.

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Capítulo 7Curvas Cônicas

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145

Capítulo 7Curvas Cônicas

Neste capítulo vamos dar início ao estudo de algumas curvas: as curvas cônicas. Elas são obtidas pela inter-seção de um cone com um plano. A inclinação do plano com relação à base do cone é que determina as diferentes curvas cônicas. Vamos deduzir suas equações e estudar algumas de suas propriedades. Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de defini-las, identificá-las, além de classificá-las e de reconhecer seus traçados.

7.1 IntroduçãoO primeiro estudo sistemático das cônicas deve-se a Apolônio, que nasceu em Perga, na Ásia Menor, e viveu em Alexandria. Em seu "Secções Cônicas", define as cônicas como sendo seções de um cone de base circular e atribui-lhes os nomes de elipses, parábolas e hipérboles. Um século antes dele, o matemático Menecmus tinha descoberto as cônicas de forma a solucionar o problema da dupli-cação do cubo. Aí começou sua história. Ao longo dos séculos, a família das cônicas foi sendo vista sob diferentes perspectivas, e novas propriedades foram descobertas. Algumas vezes, ainda, as cônicas revelavam relações inesperadas entre a matemática e a realidade. Desargues também explorou o fato de que as cônicas podiam ser obtidas umas através das outras por projeção. Assim, o que interessava era estudar quais propriedades se mantinham invariáveis por projeções da circunferência. Isso simplificou mui-to a dedução dos resultados de Apolônio. Pascal, aos 16 anos, ba-seando-se nos métodos de Desargues, escreveu um "ensaio sobre as cônicas". A importância das cônicas pode ser evidenciada em áreas como Física, Óptica, Acústica, Engenharia e Arquitetura.

Uma cônica é uma curva plana obtida da interseção de um plano com um cone. Neste capítulo vamos estudar algumas proprieda-des das curvas cônicas. A figura 7.1 indica as possíveis curvas

Girard Desargues (1591-1661)

Apolonius de Perga (260-200 a.C.)

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obtidas da interseção do cone com um plano. São elas: elipse, hi-pérbole e parábola. O tipo de curva obtida depende da inclinação do plano com relação à base do cone.

Figura 7.1

Definição 7.1: Dadas duas retas concorrentes, r e g, o cone de eixo r e geratriz g é a superfície gerada pela rotação da reta g em torno da reta r, mantendo-se fixo o ângulo entre r e g.

Figura 7.2

Uma equação para o cone que tem como eixo o eixo dos z e como geratriz a bissetriz do plano xz é dada por 2 2 2z x y= + .

Figura 7.3

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Definição 7.2: Uma cônica é uma curva plana obtida da interse-ção de um plano com um cone.

Vamos considerar as cônicas obtidas da interseção de um pla-no qualquer com o cone dado pela equação 2 2 2z x y= + . Como a equação de um plano é da forma 0ax by cz d+ + + = , então temos o seguinte sistema:

2 2 2

0ax by cz dz x y

+ + + =

= +.

Se c ≠ 0, isolando z na primeira equação e substituindo em

2 2 2z x y= + o valor ( )d ax byz

c+ +

= − , obtemos uma cônica que

terá equação da forma

2 2 0.Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = (1)

Exemplo 7.1: Encontre uma equação para a cônica obtida da inter-seção dos seguintes planos com o cone x2 + y2 = z2:

a) 4z = b) 1z y= + c) 2 1z y= +

Resolução:

a) Substituindo 4z = na equação do cone, temos a equação x2 + y2 = 16, que é a equação da circunferência de centro na ori-gem e raio 4. Observe que a equação acima é da forma (1) com

1A C= = , 16F = − e B 0C D E= = = .

b) Substituindo 1z y= + na equação do cone, temos

2 22

2 22

2

( 1)2 1

2 1 0,

y yxyy yx

yx

+ = +

+ = + +− − =

que é uma equação da forma (1) com 1A = , 2E = − , 1F = − e 0B C D= = = .

c) Substituindo 2 1z y= + na equação do cone, temos

2 22

2 22

2 2

(2 1)4 144 1 0,3

y yxyy yxyy x

= ++

+ + = +

+ − + =

que é da forma (1) com 1A = − , 3C = , 4E = , 1F = e 0B D= = .

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148

7.2 Algumas Curvas Planas7.2.1 Elipse

Figura 7.4

Uma elipse é o conjunto dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante. Os pontos fixos são chamados focos da elipse.

Sejam 1F e 2F dois pontos em um plano com distância entre eles de 2 0c > . Seja a c> . A elipse com focos nos pontos 1F e 2F é o conjunto dos pontos ( , )P x y do plano cuja soma das distân-cias aos pontos 1F e 2F é igual a 2a . Isto é, 1 2 2F P F P a+ = .

a

aa

ab

c c

CA1A2

B1

B2

F1F2

Figura 7.5

Podemos supor que os focos estejam sobre o eixo OX, assim os focos possuem as seguintes coordenadas: 1 2( ,0), ( ,0)F c F c−. Então temos o conjunto dos pontos ( , )P x y= do plano carte-siano tais que, 1 2|| || || || 2P P aF F+ =

é a elipse de focos 1F e 2F .

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149

Em coordenadas, esta equação é equivalente a2 2 2 2 2( ) ( ) ax c y x c y+ + + =+ −

ou ainda 2 2 2 22( ) ( )ax c y x c y+ = − +− + (Figura 7.6).

Tomando o quadrado em ambos os lados, temos

2 2 2 2 2 224 4( ) ( ) ( )ax c y x c y x c ya+ = − + + +− + + .

Simplificando e isolando o termo da raiz quadrada, te-mos

2 2( ) ca xx c ya

+ = ++ .

Tomando novamente o quadrado nos dois membros, temos

222 2 2 2

22 2 ccx cxyx c a x

a+ + + = + + .

Simplificando, temos 2

22 2 22

22

2 2 2

(1 )

1.

c yx a ca

yxa a c

− + = −

+ =−

Como a c> , então 2 2 0a c− > . Portanto existe 0b > tal que 2 2 2b a c= − . Assim, a equação desta elipse é

22

2 21yx

a b+ =

Observe que, se 0c = , então a b= . Neste caso, a equação acima é equivalente a x2 + y2 = a2, que é a equação da circunferência de centro na origem e raio a .

Na elipse de focos 1F e 2F , o ponto médio do segmento 1 2F F é chamado centro e a reta que contém os focos é o eixo focal. A reta perpendicular ao eixo focal no centro é chamada eixo secundário. A elipse é simétrica em relação ao eixo focal e também em relação ao eixo secundário. As intersecções da elipse com os eixos são chamadas vértices, e os segmentos que ligam o centro aos vértices são chamados semi-eixos.

y

x

a

b

b

c

-b

-a aF1 F2

Figura 7.6

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150

A

C

B

D

O F2F1

X

Figura 7.7

A equação que deduzimos acima é de uma elipse de centro na origem. O eixo focal é o eixo dos x , e o secundário, o eixo dos y . O comprimento do semi-eixo sobre o eixo dos x é a , e o do semi-eixo sobre o eixo dos y é b . Observe que b a< .

Se o centro é o ponto 0 0( , )yx , e o eixo focal é paralelo ao eixo dos x com semi-eixo a , então a equação da elipse é da forma

2 20 0

2 2

( ) ( ) 1x x y ya b− −

+ = . (2)

Gráfico padrão Elementos principais

a

aa

ab

c c

CA1A2

B1

B2

F1F2

1F e 2F são focos

C é o centro

1 2A A é o eixo maior

1 2B B é o eixo menor

2c é a distância focal2a é a medida do eixo maior2b é a medida do eixo menor

1cea

= < é a excentricidade

Relação notável: 2 2 2a b c= +

Equação reduzida: 2 2

2 2 1x ya b

+ =

1 2 1 2, , ,A A B B são vértices

1 2,F P F P são raios focais de ( , )P x y .

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151

Se 1 2A A está sobre o eixo 0Y e 1 2B B sobre o eixo 0X, a equação

da elipse fica como 2 2

2 2 1y xa b

+ = . Se a elipse tem centro no ponto

0 0( , )C x y e 1 2A A é paralelo ao eixo 0X, então sua equação é da for-

ma 2 2

0 02 2

( ) ( ) 1x x y ya b− −

+ = .

Círculo: note que se 1F e 2F são coincidentes, então a elipse re-duz-se a um círculo. Nesse caso, a excentricidade é nula, pois

0c = .

A figura a seguir ilustra a elipse 2 2

2 2

( 1) ( 2) 13 2

x y+ −+ = ,que possui

centro no ponto ( 1, 2)− .

Figura 7.8

Analogamente, se o eixo focal for paralelo ao eixo dos y com se-mi-eixo a , a equação da elipse é da forma

2 20 0

2 2

( ) ( ) 1x x y yb a− −

+ = . (2a)

A Figura 7.9 ilustra a elipse 2 2

2 2

( 1) ( 2) 12 5

x y− −+ = , que possui cen-

tro no ponto (1, 2) .

7.2.2 Elipse no mundo realA todo momento estamos nos deparando com elipses. Diversas construções possuem arcos em forma de elipses. Um copo com um pouco de água, ao ser inclinado, forma na superfície desse lí-

y

x10

2

Figura 7.9

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152

quido uma elipse. A sombra de um abajur ou lanterna pode for-mar elipses.

A ocorrência de elipses no mundo real vai além de objetos com o seu formato. É em suas diversas aplicações que está o verdadeiro interesse nessas curvas.

As órbitas da lua, de cometas permanentes e de satélites ar-•tificiais, em torno da Terra, são curvas elípticas. Kepler de-monstrou no século XVII, que os planetas viajam em torno do sol descrevendo uma trajetória elíptica, tendo o sol com um dos focos.

Terra

Periélio AfélioSol Foco 2

Figura 7.10

Pelo sucesso na descrição das órbitas planetárias e pe-•las similaridades entre a expressão da força gravitacional

1 22

ˆgG m mF r

r⋅ ⋅

=

e força elétrica 1 22

ˆek q qF r

r⋅ ⋅

=

, após o ex-

perimento de E. Rutherford buscou-se um modelo atômico em que os elétrons se movessem em uma órbita elíptica em torno do núcleo conforme a figura 7.10. Embora hoje saiba-mos que não é bem assim, não se pode negar a importância dessa aproximação para a evolução dos modelos atômicos.

Figura 7.11

Em uma trajetória elíptica, temos o periélio como o ponto em que o planeta se encontra mais próximo do sol e o afélio como o ponto em que o planeta se encontra mais afastado do sol. A excentricidade das elipses que descrevem as órbitas dos planetas varia desde a mais excêntrica, como a do Planeta Mercúrio, com

0,2056e = , até as menos excêntricas, como a Terra, com 0,0167e = , e Vênus com 0,0068e = . Ou seja, a órbita da Terra descreve uma trajetória praticamente circular.

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153

As elipses possuem uma propriedade importante e com •diversas aplicações, é a propriedade refletiva. Em que uma onda luminosa ou sonora, disparadas de um dos focos, é refletida no outro foco. Isso permite, por exemplo, uma im-portante aplicação na medicina: o paciente é colocado em um tanque elíptico com água, e a partir de um foco da elipse dispara-se uma onda de ultrassom, a qual incide no outro foco em que esteja localizado um cálculo renal, para que essa onda o destrua.

As lâmpadas refletoras utilizadas pelos dentistas são refle-•tores elípticos que têm a propriedade de concentrar a luz no local da boca em que eles se trabalham. Também os apa-relhos de radioterapia utilizam espelhos elípticos para tra-tamento médico, pois assim a emissão dos raios pode ser concentrada nos tecidos doentes, não afetando os tecidos sadios.

A propriedade refletora da elipse ainda permite a constru-•ção das famosas salas de sussurros. São salas construídas em forma de elipsóides, permitindo que pessoas localizadas nos focos ouçam a si mesmas perfeitamente, mesmo sussur-rando e sendo inaudíveis para as demais.

Atividade: Pesquise sobre teatros, a Catedral de St. Paul em Lon-dres, e o Capitólio em Washington, que possuem a propriedade de salas de sussurro.

7.2.3 Parábola

Fixe um ponto F , uma reta d no plano cartesiano, e seja c um número positivo. A parábola de foco F e diretriz d é o conjunto dos pontos P do plano que eqüidistam do ponto F e da reta d . A reta perpendicular à diretriz pelo foco é chamada eixo da pa-rábola. A parábola é simétrica em relação ao eixo, e a interseção da parábola com o eixo é chamada vértice. Seja d uma reta e F um ponto fora de d , e ambos pertencentes a um mesmo plano . Seja 2c a distância entre F e d . Uma parábola, com diretriz d e foco F , é o conjunto dos pontos ( , )P x y do plano equidistantes de d e de F . Isto é, ( , )FP d P d=

.

DiretrizReta cuja distância aos pon-tos de uma parábola é igual à distância desses pontos ao

foco da parábola.

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154

P

dBV

F

d

Figura 7.12

Por simplicidade, vamos supor que o foco F esteja sobre o eixo 0V. Assim, F tem coordenadas dadas por (0, )F c e d é a reta ver-tical dada por y c= − . Veja a figura 7.13.

Um ponto ( , )P x y= está nesta parábola se, e somente se, verifica a equação

( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2

2 24

.4

y c y c x

y c y c x

y cy c y cy c xcy x

xyc

+ = − +

+ = − +

+ + = − + +

=

=

cP

-c d

x

y

Figura 7.13

Esta equação é equivalente a

21 .4

y xc

= .

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155

Esta parábola tem vértice na origem, e c é o comprimento do se-mi-eixo.

Se a parábola tem vértice no ponto 0 0( , )yx e diretriz paralela ao eixo dos x, dada por y = a, sua equação é da forma

20 0

1 ( )4

y y x xc

− = − (3)

onde c = y0 - a.

A equação da parábola com vértice no ponto 0 0( , )yx e diretriz paralela ao eixo dos y , dada por x = a, é da forma

20 0

1 ( )4

x x y yc

− = − , (3a)

onde c = x0-a.

y

xx0

y0

a

d

Figura 7.14

Gráfico padrão Elementos principais

d

P

B

FV

F é o focod é diretrizV é o vértice

Relação notável: VF c=

Equação reduzida: 2

4x yc

=

Se a parábola apresentar vértice na origem e foco no eixo OX, então sua Equação terá

a forma 2

4y xc

= .

Se a parábola apresentar vértice no ponto

0 0( , )V x y e //VF OX , então sua equação terá a forma 2

0 0( ) 4 ( )y y c x x− = − .

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156

7.2.4 Parábolas no mundo real

Como no caso da elipse, também diversas construções possuem arcos em forma de parábolas. A antena parabólica é um objeto quase que comum no cotidiano da maioria das pessoas.

A ocorrência de parábolas no mundo real vai além do aspecto visual. É em suas diversas aplicações que está o verdadeiro inte-resse pelas parábolas.

Um objeto lançado obliquamente descreve no ar uma tra-•jetória parabólica. Essa propriedade é utilizada na guerra pelos militares, ao realizarem disparos. Escolhendo con-venientemente o ângulo de lançamento é possível atingir o alvo com precisão. O atrito do objeto com o ar deforma ligeiramente essa trajetória. A trajetória do objeto perde um pouco do formato de parábola, mas ainda mantém muitas de suas características.

As parábolas também possuem uma propriedade refletiva. •Se no foco de um espelho parabólico (obtido pela rotação de uma parábola) localizarmos uma fonte luminosa, então o espelho refletirá a luz em raios paralelos. Isso permite uma iluminação uniforme. Veja a figura 7.15.

Figura 7.15

As antenas ou espelhos parabólicos utilizam esse princípio •com uma pequena alteração: eles são usados para coletar ondas de rádio ou luz. As ondas de luz(figura 7.16b) ou de rádio (figura 7.16a) que atingem o espelho ou a antena para-bólica são refletidas para o ponto focal onde, no qual pode estar localizado um instrumento que os capte. Esse princí-

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157

pio é atualmente empregado com espelhos parabólicos con-trolados por computador para acompanhar o sol e coletar o máximo de luz solar, que é utilizada na produção de energia elétrica.

Figura 7.16a Figura 7.16b

Uma ilusão de ótica utilizando a conjugação de dois espe-•lhos parabólicos côncavos (figura 7.17) é um truque bem co-nhecido. O objeto localizado dentro dos espelhos é refletido formando um objeto virtual fora do conjunto de espelhos.

Figura 7.17

7.2.5 HipérboleSejam 1F e 2F dois pontos em um plano , com distância dis-tância entre eles de 2c . Seja a c< . Uma hipérbole com focos 1F e 2F é o conjunto dos pontos ( , )P x y do plano , cuja diferen-ça entre as distâncias aos focos é constante igual a 2a . Isto é,

1 2 2F P F P a− = . Sejam dados 1F e 2F dois pontos em um plano cuja distância entre eles é 2c . Seja a c< . Uma hipérbole com focos 1F e 2F é o conjunto dos pontos ( , )P x y do plano cuja di-ferença entre as distâncias aos focos, é constante igual a 2a . Isto é, 1 2 2F P F P a− = .

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158

A1 A2

B1

B2

F1 F2x

y

a

b c

C

Figura 7.18

O ponto médio do segmento focal 1 2F F é chamado centro da hi-pérbole. A reta que contém os focos é chamada eixo-focal ou prin-cipal. A reta perpendicular ao eixo focal pelo centro é o eixo-se-cundário. A hipérbole é simétrica em relação aos seus eixos. Ela intercepta o eixo focal em dois pontos chamados vértices, que são simétricos em relação ao centro. A distância do centro a um vértice é chamada semi-eixo.

-c cF1 F2a-a

b

-b

c

Py

x

Figura 7.19

A equação para a hipérbole de focos 1 ( ,0)F c= − e 2 ( ,0)F c= sobre o eixo dos x com 2d a= , onde a c< , é dada por

2 2 2 2| | 2( ) ( ) ax c y x c y+ − + =− + .

Esta equação é equivalente às seguintes equações:

2 2 2 2 2( ) ( ) ax c y x c y+ − + = ±− +

2 2 2 2 2( ) ( ) ax c y x c y+ = + ±− +

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159

2 2 2 22 2 2 2 2

2 2 2

2 2

222 2 2 2

2

222 2 2

2

2 22 22 2 2 2

22

2 2 2

2 4 4 2( )

4 4 4( )

( )

2 2

( 1)

) )( (

1.

cx a cxy x c y yx c a x c

a cxx c y aca xx c ya

ccx cxyx c a xa

c yx c aa

a yc ca x a ayx

a c a

− + + = ± + + + + ++

± + = ++

± + = ++

+ + + = + +

− − = −

− − = −

− =−

2 2 2 22 2 2 2 2

2 2 2

2 2

222 2 2 2

2

222 2 2

2

2 22 22 2 2 2

22

2 2 2

2 4 4 2( )

4 4 4( )

( )

2 2

( 1)

) )( (

1.

cx a cxy x c y yx c a x c

a cxx c y aca xx c ya

ccx cxyx c a xa

c yx c aa

a yc ca x a ayx

a c a

− + + = ± + + + + ++

± + = ++

± + = ++

+ + + = + +

− − = −

− − = −

− =−

2 2 2 22 2 2 2 2

2 2 2

2 2

222 2 2 2

2

222 2 2

2

2 22 22 2 2 2

22

2 2 2

2 4 4 2( )

4 4 4( )

( )

2 2

( 1)

) )( (

1.

cx a cxy x c y yx c a x c

a cxx c y aca xx c ya

ccx cxyx c a xa

c yx c aa

a yc ca x a ayx

a c a

− + + = ± + + + + ++

± + = ++

+ = ++

+ + + = + +

− − = −

− − = −

− =−

Como c a> , existe 0b > tal que 2 2 2b c a= − . Assim, a equação desta hipérbole é da forma

22

2 21yx

a b− = .

Nesta equação, a é a medida do semi-eixo.

Se a hipérbole tem centro no ponto 0 0( , )yx , eixo focal paralelo ao eixo dos x com semi-eixo a e distância do centro ao foco c , então sua equação é da forma

2 20 0

2 2

( ) ( ) 1x x y ya b− −

− = . (4)

onde b é dado por b2 = c2 - a2.

Analogamente, a hipérbole de centro no ponto 0 0( , )yx , eixo focal paralelo ao eixo dos y com semi-eixo a e distância do centro ao foco c tem equação da forma

2 20 0

2 2

( ) ( ) 1y y x xa b− −

− = . (4a)

onde b é dado por b2 = c2 - a2.

As equações da elipse, (2) e (2a), da parábola, (3) e (3a), e da hipér-bole, (4) e (4a), são casos particulares da equação (1) e são referidas como formas canônicas.

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160

Gráfico padrão Elementos principais

A1 A2

B1

B2

F1 F2x

y

a

b c

C

1F e 2F são focosC é o centro

1 2A A é o eixo real

1 2B B é o eixo transverso

2c é a distância focal2a é a medida do eixo real2b é a medida do eixo transverso

1cea

= > é a excentricidade

Relação notável: 2 2 2c a b= +

Equação reduzida: 2 2

2 2 1x ya b

− =

1 2,F P F P são raios focais de P

1 2,A A são vérticesA Hipérbole é simétrica com relação aos eixos OX e OY

Se 1 2A A está sobre o eixo 0Y e 1 2B B sobre o eixo 0X, a equação da

hipérbole fica como 2 2

2 2 1y xa b

− = . Se a hipérbole tem centro no pon-

to 0 0( , )C x y e 1 2A A é paralelo ao eixo 0X, então sua equação é da

forma 2 2

0 02 2

( ) ( ) 1x x y ya b− −

− = .

Vamos mostrar com exemplos que estas três curvas são cônicas, isto é, podem ser obtidas pela intersecção de um cone com um plano.

Considere o cone de equação 222 yxz = + . Interceptando-o com o

plano de equação 1 12

z x= + temos

222

22 2

22

22

2

2

2

2

1 14

4 4 443 44 4

4823 4( )93

2( ) 434 3 92( )3 1.

16 / 9 4 / 3

x yx x

x yx xx yx

yx

x y

x y

+ + = +

+ + = +

=− +

=+−

−+ =

−+ =

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161

222

22 2

22

22

2

2

2

2

1 14

4 4 443 44 4

4823 4( )93

2( ) 434 3 92( )3 1.

16 / 9 4 / 3

x yx x

x yx xx yx

yx

x y

x y

+ + = +

+ + = +

=− +

=+−

−+ =

−+ =

Comparando com a equação (2), vemos que é a equação da elipse

de centro em 2 ,03

, semi-eixo focal 43

a = e semi-eixo secundá-

rio 43

b = . De fato: b a< .

A interseção do cone com o plano de equação 1z x= + dá uma curva com a seguinte equação:

2 22

2

2

( 1)2 1

1 .2 2

x yxx y

yx

= ++

+ =

+ =

Comparando-a com a forma canônica (3a), vemos que é a equação

da parábola de centro 1( ,0)2

− e diretriz paralela ao eixo dos y .

A interseção do cone com o plano de equação 1y x= + dá a equa-ção,

222

22

22

22

2

2

( 1)2 2 1

112( )22

1 11( )2 42

1( )2 1.

1/ 2 1/ 4

xxzxxz

xz

xz

xz

= + += + +

= ++

− =+

+− =

222

22

22

22

2

2

( 1)2 2 1

112( )22

1 11( )2 42

1( )2 1.

1/ 2 1/ 4

xxzxxz

xz

xz

xz

= + += + +

= ++

− =+

+− =

Comparando-a com a forma canônica (4a), concluímos que a cur-va é uma hipérbole no plano xz de centro (1/ 2,0) e eixo focal paralelo ao eixo dos z .

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162

7.2.6 Hipérboles no mundo realComo no caso da elipse e da parábola, também diversas cons-truções possuem a forma de hiperbolóides (superfície obtida pela revolução de um ramo de hipérbole) ou possuem arcos em forma de hipérboles.

Vejamos alguns exemplos.

Sombra de uma lâmpada na parede pode resultar em hi-•pérbole;

Objetos e construções possuem arcos em forma de hipérbo-•le ou possuem a forma de hiperbolóides (superfície obtida pela rotação de um ramo de hipérbole).

O hiperbolóide de uma folha é uma superfície gerada pela •rotação de um ramo de uma hipérbole em torno de seu eixo transverso. Tais superfícies também podem ser obtidas pela rotação de um segmento de reta, essas superfícies são cha-madas de regradas. Assim, as superfícies regradas podem ser vistas como uma reunião de segmentos de reta. Esse é o motivo pelo qual fornos especiais e usinas nucleares pos-suem formato de um hiperbolóide: podem ser construídas utilizando barras retas de aço que se cruzam, oferecendo maior resistência.

Figura 7.20

Um jato, ao se deslocar, provoca uma onda de choque com •a forma de um cone. A interseção dessa onda com o solo é parte de uma hipérbole.

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163

Figura 7.21

Exemplo 7.2: Pode existir um observador que perceba o som de um disparo de um projétil e o som do impacto desse projétil com um objeto alvo ao mesmo tempo?

Resolução: Suponha que o disparo ocorra em um ponto denominado

1F e o que o objeto alvo esteja localizado no ponto 2F . Desejamos determinar o ponto 0 onde está localizado o observador, de modo que este perceba o som do disparo e o som do impacto com o alvo ao mesmo tempo.

F1 t3 F2

t1

O

t2

Figura 7.22

Vamos denotar por 1t o tempo que o som do disparo leva par atingir o observador, 2t o tempo que o som do impacto leva para atingir o obser-vador e 3t o tempo que o disparo leva para atingir o alvo. Para o obser-vador perceber os dois sons simultaneamente, devemos ter 1 2 3t t t= + . Considerando que a velocidade do som no ar é 340m sv = e multi-plicando a equação por v obtemos

1 2 3

1 2 1 2( ,0) ( ,0) ( , ).vt vt vtd F d F d F F

= += +

Ou seja,

1 2 1 2( ,0) ( ,0) ( , ).d F d F d F F− =

Considerando que 1 2( , ) 2d F F c= é constante, obtemos que a equação

1 2( ,0) ( ,0) 2d F d F c− = é equação de um ramo da hipérbole de focos

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164

1F e 2F . Assim, podemos afirmar que existem infinitas posições para o observador ocupar sobre a hipérbole, todos situados sobre a hipér-bole, que percebem o som do disparo e o som do impacto ao mesmo tempo.

Atividade: Pesquise sobre o sistema de navegação de longa distân-cia que utiliza hipérboles.

7.2.7 ExcentricidadePodemos introduzir as curvas cônicas da seguinte forma. Dados um ponto F , uma reta d e um número 0e > . Uma curva côni-ca com foco F , reta diretriz d e excentricidade 0e > é o lugar geométrico dos pontos ( , )P x y do plano que satisfazem a relação

( , ) ( , )d P F ed P d= .

Como exemplo, vamos determinar o lugar geométrico dos pontos ( , )P x y do plano que satisfazem a relação ( , ) ( , )d P F ed P d= , em que

( ,0)F c= e a reta d é a reta vertical x d= .

Como ( , ) ( , )d P F ed P d= , então

2 2 2 2

( , ) ( , )

( ) ( 0) ( ) ( )

d P F ed P d

x c y e x d y d

=

− + − = − + − .

Simplificando, obtemos 2 2 2 2 2 2 2(1 ) 2 ( ) 0x e y x de c c d e− + + − + − = . Escolhendo 1e = , d c= − e simplificando ainda mais a expressão acima obtemos 2 4y cx= que é a equação de uma parábola.

O mesmo raciocínio pode ser empregado para deduzir a equação da elipse e da hipérbole. Assim, se 0 1e< < obtemos uma elipse, se

1e = obtemos uma parábola e, se 1e > obtemos uma hipérbole.Vamos estudar o conjunto das soluções da equação geral do segundo

grau em duas incógnitas, dado em (1).

No caso de um círculo, a excentricidade é e = 0, assim po-demos pensar na excentricidade de uma cônica como sendo uma medida do quanto ela difere de um círculo.

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165

Se 0A B C= = = , a equação (1) se reduz a 0Dx Ey F+ + = , que tem como solução uma reta, um ponto, ou mesmo nenhuma solução, de-pendendo dos coeficientes ,D E e F .

Quando A , B e C não são simultaneamente nulos, a equação aci-ma tem grau 2.

Consideremos os casos em que a equação não tem o termo misto, isto é, 0B = .

Teorema 7.1: O conjunto solução da equação:

22 0A C Dx Ey Fyx + + + + = ,

em que 0A ≠ , ou 0C ≠ , é o conjunto vazio, um ponto, um par de retas ou uma cônica. Se for uma cônica, então será:

uma parábola, se a) 0A = ou 0C = ;

uma elipse, se b) 0AC > ;

uma hipérbole, se c) 0AC < .

Observação: Um ponto ou um par de retas é chamado cônica dege-nerada.

A demonstração deste teorema é feita escrevendo a equação em uma das formas canônicas. Faremos isto através de exemplos.

Exemplo 7.3: Identifique a cônica dada pelas equações

a) 229 4 18 16 29 0x yyx − − − + = b) 226 9 24 54 51 0x yyx + + − + =

c) 2 6 8 1 0x yy + + + = d) 2 8 25 0xx − + =

e) 22 3 02 yx + = f) 2 22 1 0x x y− − + =

Resolução:

a) 22

22

2 2

2 2

2 2

9 4 18 16 29 09( 2 ) 4( 4 ) 29 09 4 9 16 29 0( 1) ( 2)9 4 36( 1) ( 2)

( 1) ( 2) 1.4 9

x yyxx yyx

x yx yx y

− − − + =

− − + + =

− − + + =− +

− = −− +

− +− + =

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166

Portanto a cônica é uma hipérbole.

b) 22

22

2 2

2 2

2 2

6 9 24 54 51 06( 4 ) 9( 6 ) 51 06 9 24 81 51 0( 2) ( 3)6 9 54( 2) ( 3)( 2) ( 3) 1.

9 6

x yyxx yyx

x yx y

x y

+ + − + =

+ + − + =

+ − − + =+ −

+ =+ −

+ −+ =

Portanto a cônica é uma elipse.

c) 2

2

2

2

6 8 1 06 16 1 0( 4)

6 15 ( 4)5 1( 4) .2 6

x yyxy

x y

x y

+ + + =

+ − + =+

− = − +−

− = +

Portanto a cônica é uma parábola.

d) Como 2

2

2

8 25 016 25 0( 4)

9,( 4)

xxxx

− + =

− + =−

= −−

, então

2

2

16 25 0( 4)9.( 4)

xx

− + =−

= −−

a equação não tem solução. Portanto, a equação representa o conjunto vazio.

e) Como a solução de 22 3 02 yx + = é 0x y= = , a equação represen-ta o ponto (0, 0), e a cônica é degenerada.

f) 2 2

2 2

2 1 0( 1)

1( 1)

x x yy xy xy x

− − + =

= −

= −

= ± −

O conjunto solução é o par de retas dado por y= x-1 e y = - (x - 1) = 1 - x.Portanto, a equação representa uma cônica degenerada.

Se 0B ≠ , a equação geral (1) pode ser transformada em uma equa-ção da forma 22 ' ' ' ' 0'A C D x E y Fyx + + + + = por meio de uma ro-tação no plano. Como uma rotação não muda a forma da curva,

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167

concluímos que o gráfico da equação (1), ou é o conjunto vazio, ou é uma cônica degenerada, ou é uma cônica.

A rotação de ângulo que “elimina”o termo misto na equação (1) é da forma

'cos 'sen'sen 'cos

x x yy x y

= −= +

com tal que

cot 2 A CgB

= .

P

α

α

y

y

y’

y’

x x

x’x’

Figura 7.23

Exemplo 7.4: Simplifique a equação 1 0xy − = por meio de uma rota-ção apropriada.

Resolução: Nesta equação 0A C= = e 1B = . Assim, queremos tal

que cotg2 0 = . Basta tomar 4

= . Neste caso, 2cos sen

2 = = .

Portanto teremos a seguinte transformação:

2 ( ' ')22 ( ' ').

2

x x y

y x y

= −

= +

Substituindo na equação, obtemos

, , , ,

, 2 , 2

2 2( ) ( ) 1 02 2

( ) ( ) 1.2 2

x y x y

x y

− + − =

− =

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168

Esta última equação é de uma hipérbole.

y’ x’

x

y

√2

1

Figura 7.24

Exercícios7.1) Volte nas definições das curvas cônicas e certifique-se de que as

entendeu. Faça um pequeno resumo sobre cada uma delas.

7.2) Faça uma pesquisa sobre as curvas indicando em que momen-to as curvas cônicas aparecem na Física. Ou: onde se aplicam as curvas cônicas na Física? Recorde dos movimentos dos pla-netas e da transmissão e recepção de sinais em antenas.

7.3) Resolva novamente os exemplos acima, traçando as cônicas.

ResumoNeste capítulo estudamos as curvas cônicas e vimos que elas sur-gem da interseção de um cone com um plano. A inclinação do plano com relação ao eixo e geratrizes do cone é que determina a forma da cônica. Do ponto de vista matemático, vimos que essas curvas são descritas por equações. O capítulo mostrou como classificar uma curva cônica tanto pela sua equação quanto pelo seu desenho, e no-mear seus principais elementos.

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Capítulo 8Superfícies Quádricas

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171

Capítulo 8Superfícies Quádricas

Neste capítulo estudaremos as superfícies quádricas. Do ponto de vista matemático, é conveniente que essas superfícies sejam descritas por equações. Assim, no fi-nal deste capítulo, ao nos depararmos com a equação de uma quádrica, devemos ser capazes de classificá-la e traçar o seu gráfico.

8.1 IntroduçãoAté agora estudamos um tipo especial de superfície: o plano. Fi-xado um sistema de coordenadas ortogonais, a equação geral do plano é dada por 0ax by cz d+ + + = . O plano é chamado de super-fície de primeiro grau.

Nesta seção vamos estudar outras superfícies, chamadas de quá-dricas. Estas superfícies estão intimamente relacionadas com as curvas cônicas, pois a intersecção de cada um delas com um pla-no resulta em uma cônica e algumas quádricas são obtidas pela rotação de cônicas. Imagine uma circunferência girando em torno de uma reta que contém seu diâmetro. A superfície assim obtida será uma esfera. De modo análogo, um elipsóide é obtido pela ro-tação de uma elipse. Fixado um sistema de coordenadas ortogo-nais, as superfícies quádricas são superfícies dadas por equações do segundo grau

2 2 2 0ax by cz dxy exz fyz gx hy kz l+ + + + + + + + + = . (1)

As quádricas também são chamadas de superfícies do segundo grau.

Por conveniência, vamos utilizar a equação (1) na forma

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Kz L+ + + + + + + + + = . (2)

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Consideremos a equação incompleta

2 2 2 0Ax By Cz L+ + + = ,

onde , , ,A B C L são constantes diferentes de zero.

Se , ,A B C são números reais de mesmo sinal e L possui sinal contrário, a superfície é chamada de elipsóide.

Se um dos coeficientes, , ,A B C , é de sinal contrário ao sinal dos outros dois, a superfície é chamada de hiperbolóide.

8.2 Elipsóide Pela definição, na equação 2 2 2 0Ax By Cz L+ + + = se , ,A B C são números reais de mesmo sinal, e L de sinal contrário, a superfície é chamada de elipsóide. Podemos supor , ,A B C positivos. Logo, L é negativo. Dividindo a equação por L− obtemos

2 2 2

1x y zL L L

A B C

+ + =− − −

.

Como 0, 0, 0L L LA B C

− − − > > >

, podemos fazer as seguintes

substituições:

2 2 2, ,L L La b cA B C

− − −= = = .

Logo, temos 2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = . Esta é a equação canônica do elip-sóide.

Os coeficientes , ,a b c são chamados de semi-eixos do elipsóide.

Um caso particular importante ocorre quando a b c= = . Nesse caso, o elipsóide assume a forma de uma esfera:

2 2 22 2 2 2

2 2 2 1x y z x y z aa a a

+ + = ⇒ + + = .

z

y

x

Figura 8.1 - Observe que a intersecção do elipsóide com um plano z = z0 , com -c < z0 < c, é

uma elipse.

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173

Exemplos:

Ilustração do elipsóide dado por 1) 2 2 2

2 2 2 12 3 5x y z

+ + = . Observe

que o eixo maior ocorre em z (Figura 8.2).2 2 2

2 2 2 12 2 2x y z

+ + =2) é uma esfera de centro no ponto (0,0,0)P e

raio 2r = .

8.3 Hiperbolóide Pela definição, se na equação 2 2 2 0Ax By Cz L+ + + = um dos co-eficientes, , ,A B C , é de sinal contrário ao sinal dos outros dois, a superfície é chamada de hiperbolóide. Podemos supor que ,A B tenham o mesmo sinal. Assim, temos 2 2 2Ax By Cz L+ + = − .

Há dois casos a considerar:

L−a) tem o mesmo sinal que ,A B

L−b) tem sinal contrário ao sinal de ,A B

No primeiro caso, dividindo a equação por L− e chamando

, ,L L La b cA B C

− −= = =

temos,

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ − = .

Essa é a equação canônica do hiperbolóide de uma folha.

O hiperbolóide de uma folha dado por 2 2 2 1x y z+ − = está ilustra-do na figura 8.3.

No segundo caso, em que L− tem sinal contrário ao sinal de ,A B, dividindo por L e fazendo

, ,L L La b cA B C

−= = = ,

obtemos 2 2 2

2 2 2 1x y za b c

− − + = .

Figura 8.2

z

yx

Figura 8.3 - Hiperbolóide de uma folha. Sua intersecção com o plano 0z z= é a circunferência

2 2 201x y z+ = + . Sua intersec-

ção com o plano 0 1y y= < é a hipérbole 2 2 2

01x z y− = − .

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Esta é a equação canônica do hiperbolóide de duas folhas.

Temos como exemplo a ilustração de hiperbolóide de duas folhas 2 2 2 1x y z− − + = (Figura 8.4).

Observe que este hiperbolóide não possui pontos com 1z < . Para 0 1z > , a intersecção com o plano 0z z= é a circunferên-cia 2 2 2

0 1x y z+ = − . Para 0 1x x= ≠ , a intersecção é a hipérbole 2 2 2

01y z x− = − .

Na dedução da equação do hiperbolóide de uma folha admitimos que ,A B tinham o mesmo sinal. Mas poderíamos supor que ,A C ou ,B C

tivessem o mesmo sinal. Assim obteríamos as seguintes equações:

2 2 20 0 0

2 2 2

2 2 20 0 0

2 2 2

2 2 20 0 0

2 2 2

( ) ( ) ( ) 1;

( ) ( ) ( ) 1;

( ) ( ) ( ) 1.

x x y y z za b c

x x y y z za b cx x y y z z

a b c

− − −+ − =

− − −− + =

− − −− + + =

Do mesmo modo, na dedução das equações do hiperbolóide de duas folhas, admitimos ,A B com mesmo sinal e sinal contrário de L− , mas poderíamos supor que quaisquer dois coeficientes tenham mesmo sinal e sinal contrário de L− . Assim, as equações dos hiperbolóides de duas folhas poderiam ser dadas por

2 2 20 0 0

2 2 2

2 2 20 0 0

2 2 2

2 2 20 0 0

2 2 2

( ) ( ) ( ) 1;

( ) ( ) ( ) 1;

( ) ( ) ( ) 1.

x x y y z za b c

x x y y z za b cx x y y z z

a b c

− − −− − + =

− − −− − =

− − −− + − =

8.4 ConeVamos examinar a superfície quádrica 2 2 2 0Ax By Cz L+ + + = em que 0L = supondo, como antes, que os coeficientes , ,A B C sejam não nulos.

Figura 8.4 - Hiperbolóide de 2 folhas.

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Existem dois casos a serem considerados:

Os coeficientes a) , ,A B C têm o mesmo sinal.

Os coeficientes b) , ,A B C têm sinais diferentes.

No primeiro caso a equação se reduz a 2 2 2 0Ax By Cz+ + = , cuja solução é apenas o ponto 0x y z= = = .

No segundo caso, em que os sinais dos coeficientes , ,A B C são diferentes, suponhamos que ,A B são positivos e C é negativo. A equação 2 2 2 0Ax By Cz+ + = se reduz a

2 2 2

01 1 1x y z

A B C

+ − = −

.

Chamando 2 2 21 1 1, , a b cA B C

−= = = temos

2 2 2

2 2 2 0x y za b c

+ − = .

Esta é a equação do cone (Figura 8.5).

Na dedução da equação do cone, admitimos que ,A B eram po-sitivos e C era negativo. Mas existem outras possibilidades para sinais diferentes. Assim, são também equações do cone as equa-ções dadas por

2 2 20 0 0

2 2 2

2 2 20 0 0

2 2 2

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

x x y y z za b c

x x y y z za b c

− − −+ − =

− − −− + =

2 2 20 0 0

2 2 2

( ) ( ) ( ) 0x x y y z za b c− − −

− + + = .

A superfície quádrica 2 2 2

2 2 2 02 2 4x y z

+ − = é um cone, conforme a fi-gura 8.6.

8.5 ParabolóidesConsideremos ainda um caso particular da equação geral do se-gundo grau:

Figura 8.5 - Observe que a intersecção desse cone com

o plano 0z z= é a elipse 22 20

2 2 2

zx ya b c

+ = .

Figura 8.6 - Este cone é, em particular, um cone circular,

pois para cada 0z z= fixo temos a equação da circunferência

22 2 0

4zx y+ = .

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176

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Kz L+ + + + + + + + + = .

Vamos tomar a equação dada por 2 2 2 0Ax By Kz+ + = e suponha-mos que os coeficientes , e A B K sejam não nulos. Para fixar as idéias, suponhamos que e A K tenham sinais diferentes. Pode-mos escrever a equação da seguinte forma:

2 2

2 x yzK KA B

= +− −

.

Como e A K tem sinais contrários, segue que 0KpA

= − > . O

termo KqB

= − pode ser negativo ou positivo. Logo, a equação fica 2 2

2 x yzp q

= + ou 2 2

2 x yzp q

= − , onde p e q são positivos.

(Aqui q = KqB

= − ou q = KqB

= − .)

A superfície definida pela equação 2 2

2 x yzp q

= + é chamada de pa-

rabolóide elíptico. Nessa quádrica, para z fixo, obtemos elipses e, para x ou y fixos, obtemos parábolas.

A superfície definida pela equação 2 2

2 x yzp q

= − é chamada de

parabolóide hiperbólico ou sela. Nesse caso, para z fixo, obtemos hipérboles. Para x ou y fixos temos parábolas.

Parabolóideelípitco

Parabolóidehiperbólico

zz

y

x

yx

Figura 8.7

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177

Também são equações do parabolóide elíptico:

2 20 0

0 2 2

2 20 0

0 2 2

2 20 0

0 2 2

( ) ( ) ;

( ) ( ) ;

( ) ( ) .

x x y yz za b

y y z zx xb c

x x z zy ya c

− −− = +

− −− = +

− −− = +

Do mesmo modo, as possíveis equações do parabolóide hiperbó-lico são:

2 20 0

0 2 2

2 20 0

0 2 2

2 20 0

0 2 2

2 20 0

0 2 2

2 20 0

0 2 2

2 20 0

0 2 2

( ) ( ) ;

( ) ( ) ;

( ) ( ) ;

( ) ( ) ;

( ) ( ) ;

( ) ( ) .

x x y yz za bx x y yz z

a by y z zx x

b cy y z zx x

b cx x z zy y

a cx x z zy y

a c

− −− = −

− −− = − +

− −− = −

− −− = − +

− −− = −

− −− = − +

2 20 0

0 2 2

2 20 0

0 2 2

2 20 0

0 2 2

2 20 0

0 2 2

2 20 0

0 2 2

2 20 0

0 2 2

( ) ( ) ;

( ) ( ) ;

( ) ( ) ;

( ) ( ) ;

( ) ( ) ;

( ) ( ) .

x x y yz za bx x y yz z

a by y z zx x

b cy y z zx x

b cx x z zy y

a cx x z zy y

a c

− −− = −

− −− = − +

− −− = −

− −− = − +

− −− = −

− −− = − +

8.6 CilindrosConsideremos o caso em que os coeficientes , , ,C E F K são nulos. A equação (2) toma então a seguinte forma:

2 2 2 2 2 0Ax By Dxy Gx Hy L+ + + + + = .

A variável z não comparece na equação. Assim, z assume qual-quer valor. A superfície toma então a forma de um cilindro ou superfície cilíndrica, isto é, a superfície é constituída por retas pa-ralelas ao eixo OZ.

Como a equação acima é de segundo grau, a superfície chama-se cilindro do segundo grau.

Em geral, o cilindro de diretriz C é a superfície descrita por uma reta r que se move ao longo da curva C , perpendicularmente ao

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plano onde a curva se encontra. A reta r chama-se geratriz do cilindro.

r r

CC

Figura 8.8

8.6.1 Cilindro Elíptico

Se a equação 2 2 2 2 2 0Ax By Dxy Gx Hy L+ + + + + = pode ser reescri-

ta como 2 2

2 2 1x ya b

+ = , teremos um cilindro elíptico. Note que, no

plano, 2 2

2 2 1x ya b

+ = define uma elipse, mas no espaço é um cilindro

elíptico, pois z assume qualquer valor. Veja a figura 8.9 (I).

Na equação 2 2

2 2 1x ya b

+ = , se a b= , teremos o cilindro circular ou

cilindro de revolução.

Se a equação 2 2 2 2 2 0Ax By Dxy Gx Hy L+ + + + + = pode ser reescri-

ta como 2 2

2 2 1x ya b

− = , ela gera um cilindro hiperbólico. Note que, no

plano, 2 2

2 2 1x ya b

− = é uma hipérbole, mas no espaço é um cilindro

hiperbólico, pois z assume qualquer valor. Veja a figura 8.9 (II).

Se a equação 2 2 2 2 2 0Ax By Dxy Gx Hy L+ + + + + = pode ser rees-crita como 2 2y px= , teremos um cilindro parabólico. Note que, no plano, 2 2y px= é uma parábola, mas no espaço é um cilindro parabólico, pois z assume qualquer valor. Veja a figura 8.9 (III).

CilindroElíptico

CilindroHiperbólico

CilindroParabólico

z z

xxy

z

x y

y

a b0 0

Figura 8.9

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179

Superfícies regradas são superfícies que podem ser construídas por meio de retas. As superfícies cilíndricas e os cones são exem-plos de superfícies regradas. Ainda que não seja óbvio, o hiperbo-lóide de uma folha também é uma superfície regrada:

Figura 8.10

8.7 Mudança de Coordenadas e Classificação de Superfícies Quádricas

A equação geral do segundo grau nas variáveis ,x y e z ,

(1)

determina uma superfície chamada de quádrica. Classificar uma superfície dada pela equação acima pode ser trabalhoso.

Se a equação do segundo grau dada em (1) tem a forma

2 2 2 0ax by cz dx ey fz g+ + + + + + = (2)

então, podemos utilizar mudanças de coordenadas para reescre-ver a equação (2) em uma forma mais simples de ser classificada.

O artifício é utilizar mudança de coordenadas para passar do sis-tema de coordenadas 0, , ,i j k

para outro sistema de coordenadas

1 2 30́ , , ,u u u

e obter uma formulação mais simples da equação (2). Podemos efetuar isso de três maneiras diferentes:

O enfoque mais geral para tratar desse problema

consiste em utilizar autovalores, autovetores e diagonalização de uma

matriz simétrica associada ao polinômio do segundo

grau dado ao lado. Esse enfoque mais geral para

pode ser estudado em livros de álgebra linear.

2 2 211 22 33 12 13 23 1 2 3 02 2 2 0,a x a y a z a xy a xz a yz a x a y a z a+ + + + + + + + + =

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180

1) Translação dos eixos;

2) Rotação dos eixos;

3) Rotação seguida de translação dos eixos.

8.7.1 Efetuando mudanças

1. Translação dos eixosA translação de eixos consiste em mudar apenas a origem do sis-tema de coordenadas, passando do sistema 0, , ,i j k

para um sis-tema do tipo 0́ , , ,i j k

.

O

O'

Figura 8.11

Sejam 1 2 3( , , )P x x x um ponto no sistema 0, , ,i j k

e '1 2 3( , , )O c c c é

a nova origem do sistema. Seja 1 2 3( , , )P y y y no sistema 0́ , , ,i j k

. Como ´ ´O P OP OO= −

e

1 2 3

1 2 3

1 2 3

´

´

OP x i x j x k

O P y i y j y k

OO c i c j c k

= + +

= + +

= + +

então, temos 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )y i y j y k x c i x c j x c k+ + = − + − + −

. Isto é,

1 1 1

2 2 2

3 3 3.

y x cy x cy x c

= −= −= −

Obtemos deste modo as novas coordenadas de P no sistema 0́ , , ,i j k

.

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181

Exemplo 8.3: Determinar as coordenadas do ponto (1, 2,3)P no sistema 0́ , , ,i j k

, sendo (́1, 4,5)O a nova origem.

Resolução: As coordenadas do ponto P são

1 1 1 1 1 0y x c= − = − = ,

2 2 2 2 4 3y x c= − = − = − e

3 3 3 3 5 2.y x c= − = − = −

Logo, as coordenadas de (1, 2,3)P no novo sistema 0́ , , ,i j k

são (0, 3, 2)P − − .

2. Rotação dos eixosA rotação dos eixos consiste em substituir { }, ,i j k

por outra base ortonormal, { }1 2 3, ,u u u

. Assim, passamos do sistema 0, , ,i j k

para

o sistema 1 2 30, , ,u u u

.

Seja P é um ponto qualquer do espaço, o vetor OP

pode ser escri-to como combinação linear dos vetores da base { }, ,i j k

e da base

{ }1 2 3, ,u u u

:

1 2 3

1 1 2 2 3 3.

OP x i x j x k

OP y u y u y u

= + +

= + +

(3)

Escrevendo , ,i j k

como combinação linear dos vetores 1u

, 2u

e 3u

, obtemos:

11 1 21 2 31 3

12 1 22 2 32 3

13 1 23 2 33 3

i a u a u a u

j a u a u a u

k a u a u a u

= + +

= + +

= + +

(4)

Substituindo (4) em (3), obtemos

.

Segue da igualdade que

1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 3.

y a x a x a xy a x a x a xy a x a x a x

= + += + += + +

(5)

Reescrevendo na forma matricial, temos

( )11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 1 1 2 2 3 3( ) ( )a x a x a x u a x a x a x u a x a x a x u y u y u y u+ + + + + + + + = + +

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182

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

.y a a a xy a a a xy a a a x

=

(5’)

Assim, obtemos as coordenadas de P no novo sistema 1 2 30, , ,u u u

.

Exemplo 8.4: Calcular as coordenadas do ponto (1, 1,2)P − no siste-ma 1 2 30, , ,u u u

onde

11 ( )2

u i j= −

, 21 ( )2

u i j= +

, 3u k=

.

Resolução: Primeiro observe que 1 2 30, , ,u u u

é um sistema ortonor-mal. Agora vamos escrever , ,i j k

como combinação linear dos veto-res 1u

, 2u

e 3u

.

11 1 21 2 31 3

11 11 21 2131

11 21 11 2131

2 2 2 2

2 2 2 2

i a u a u a ua a a ai i j i j a k

a a a ai i j a k

= + +

= − + + + = + + − + +

Comparando, obtemos o seguinte sistema:

11 21

11 21

31

12 2

02 2

0

a a

a a

a

+ =

− + =

=

Resolvendo o sistema obtemos

11 21 312 2, , 0

2 2a a a= = =

Assim, temos que 1 2 32 2 0

2 2i u u u= + +

.

Do mesmo modo,

12 1 22 2 32 3

12 12 22 2232

12 22 12 2232

2 2 2 2

2 2 2 2

j a u a u a ua a a aj i j i j a k

a a a aj i j a k

= + +

= − + + + = + + − + +

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18312 1 22 2 32 3

12 12 22 2232

12 22 12 2232

2 2 2 2

2 2 2 2

j a u a u a ua a a aj i j i j a k

a a a aj i j a k

= + +

= − + + + = + + − + +

Comparando, obtemos o seguinte sistema:

12 22

12 22

32

02 2

12 2

0

a a

a a

a

+ =

− + =

=

Resolvendo o sistema obtemos

12 22 322 2, , 0

2 2a a a= − = =

Assim, temos que 1 2 32 2 0

2 2j u u u= − + +

.

É fácil ver que 1 2 30 0 1 .k u u u= + +

As equações (5) ou (5`) nos dão,

1 1

2 2

3 3

2 2 02 22 2 0

2 20 0 1

y xy xy x

=

ou

1

2

3

2 2 02 2 1 22 2 0 1 0

2 22 20 0 1

yyy

= − =

.

Após multiplicação, segue que as coordenadas do ponto (1, 1, 2)P − no sistema 1 2 30, , ,u u u

são dadas por

1 2y = ,

2 0y = ,

3 2.y =

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8.7.2 Classificação de superfícies quádricasAgora vamos empregar a translação e a rotação de eixos que apre-sentamos anteriormente para classificar superfícies dadas por equa-ções forma 2 2 2 0.ax by cz dx ey fz g+ + + + + + =

Consideremos as equações do segundo grau do tipo.

2 2 2 0.ax by cz dx ey fz g+ + + + + + = (1)

Primeira mudança: se 0a ≠ , então existe uma translação dada por

1 2dx xa

= − , 1y y= e 1z z= , que anula o termo d .

Vamos verificar essa afirmação. Considere o ponto ´ ,0,02dOa

e

sejam 1y , 2y e 3y as coordenadas de um ponto 1 2 3( , , )P x x x no novo

sistema ,́ , ,O i j k

. Assim,

1 2dx xa

= − , 1y y= e 1z z= .

Portanto a equação (1) se escreve no novo sistema de coordenadas como

22 2

1 1 1 1 1 1

22 2 21 1 1 1 1 1 12

22 2 21 1 1 1 1

02 2

2 02 4 2

0.4

d da x by cz d x ey fz ga a

d d da x x by cz d x ey fz ga a a

dax by cz ey fz ga

− + + + − + + + = − + + + + − + + + =

+ + + + + − =

Note que o mesmo pode ser feito quando 0, 0, 0a b c≠ ≠ ≠ . Nesse

caso ´ , ,2 2 2d e fOa b c

− − −

é o novo centro e a translação é dada por:

1

1

1

2

2

.2

dx xaey yb

fz zc

= −

= −

= −

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Essa mudança resultará em

2 2 22 2 2

1 1 1 .4 4 4d e fax by cz g

a b c+ + = + + −

Exemplo 8.5: Achar a translação dos eixos que elimina os termos do primeiro grau da equação

2 2 21 2 3 1 2 3

12 2 1 0.2

x x x x x x− + + + − + =

Resolução: Como 0, 0, 0a b c≠ ≠ ≠ , pelo visto acima, o novo siste-

ma de coordenadas é ,́ , ,O i j k

, onde 1´ 1, ,14

O −

. As novas coor-denadas são dadas pelas equações

1 1 1x y= − ,

2 214

x y= +

e 3 3 1.x y= +

Logo, a equação se escreve no novo sistema de coordenadas como

( )2

2 21 2 3 1 2 3

1 1 11 2 ( 1) 2( 1) 1 1 0.4 2 4

y y y y y y − − + + + + − + + − − + =

Ou seja, 2 2 21 2 3

1 32 02 8

y y y− + − = . Reescrevendo, temos

22 231 2

2 2 2 13 3 3

4 22 2

yy y− + =

,

que é a equação de um hiperbolóide de uma folha.

Segunda mudança: se a equação (1) possui apenas um termo do se-gundo grau não nulo, então existe um novo sistema de coordenadas em relação ao qual a equação se escreve com apenas um termo do segundo grau e no máximo um termo do primeiro grau não nulo.

Para ilustrar essa técnica, suponha que 2ax é o único termo do se-gundo grau não nulo da equação. Em virtude da primeira mudança, podemos supor que a equação não possui termo do primeiro grau em x . Portanto, nossa equação é do tipo

2 0.ax ey fz g+ + + = (1’)

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Se , 0e f ≠ , podemos ainda supor que 2 2 1e f+ = , pois caso contrá-rio, dividimos a equação por 2 2e f+ . Considere os vetores

1

2

3 .

u i

u e j f k

u f j ek

=

= +

= − +

É fácil verificar que { }1 2 3, ,u u u

é uma base ortonormal.

Sejam ( , , )x y z e 1 1 1( , , )x y z as coordenadas de um ponto P nos siste-mas 0, , ,i j k

e 1 2 30, , ,u u u

, respectivamente. Assim,

[ ] [ ]1 1 1 2 1 3 1 1 1

1 1 1 1 1

x u y u z u x i y e j f k z f j ek

x i ey fz j fy ez k xi y j zk

+ + = + + + − +

= + − + + = + +

Comparando, segue que

(*) 1

1 1

1 1.

x xy ey fzz fy ez

= = − = +

Substituindo na equação (1’) temos:

21 1 0.ax y g+ + =

Exemplo 8.6: identificar a superfície quádrica cuja equação é

2 9 0.2 2 2 2

x y z+ − + =

Resolução: Como a equação tem apenas o termo de segundo grau 2x e não em termo de primeiro grau associado a x , podemos aplicar

a segunda mudança. Note que 12

e f= = e 2 2 1e f+ = . Assim, po-demos usar a rotação (*)

1 1

1 2 3

1 2 3

1 12 2

1 12 2

x z

y z z

z z z

= = −

= +

e obtemos

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21 1 1

21 2 3 2 3

21 3

1 1 1 9 02 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 9 02 2 2 2 2 2 2 2

2 9 0.

x y z

z z z z z

z z

+ − + =

+ − − + + =

− + =

Reescrevendo, obtemos 23 1

2 9 22 2

z z= + que é um cilindro para-bólico.

Exemplo 8.7: Identificar a superfície cuja equação é

2 4 5 0.x x y z+ + − + =

Resolução: Como a equação tem apenas um termo de segundo grau, 2x , com um termo de primeiro grau associado, 4x , precisamos fa-

zer a translação de eixos para eliminar o termo de primeiro grau. A translação é:

1 2x x= − , 1y y= e 1z z= .

Substituindo na equação obtemos

21 1 1 1

21 1 1

( 2) 4( 2) 5 0

9 0.

x x y zx y z

− + − + − + =

+ − + =

Assim, obtemos 21 1 1 9 0x y z+ − + = .

Agora temos que 21x é o único termo do segundo grau não nulo. Além

disso, 2 2 2 1e f+ = ≠ vamos dividir a equação por 2 , assim,

21 1 1

1 1 1 9 0.2 2 2 2

x y z+ − + =

Agora podemos aplicar a segunda mudança de eixos:

Temos que 1 1 1 9, , ,2 2 2 2

a e f g= = = − =

Usando a rotação (*)

1 1

1 2 3

1 2 3

1 12 2

1 12 2

x z

y z z

z z z

= = −

= +

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recaímos no exemplo anterior, obtendo 23 1

2 9 22 2

z z= + que é um cilindro parabólico.

Exemplo 8.8.

a) Usando translações e rotações dos eixos, identifique a superfí-cie 2 2 22 2 2 4 4 12 21 1x y z x y z+ + − − − + = .

b) Usando translações e rotações dos eixos, identifique a super-fície 2 2 22 2 4 2 1 0x y z y z+ + − − + = . Como 1, 2, 2a b c= = = são

não nulos tomemos 1´ , , ´ 0,1,

2 2 2 2d e fO Oa b c

− − − =

.

Resolução:

a) Como 2, 2, 2a b c= = = são não nulos tomemos

( )´ , , ´ 1,1,32 2 2d e fO Oa b c

− − − =

.

Sejam113

x uy vz w

= += += +

substituindo, obtemos 2 2 2 1u v w+ + = que é uma esfera.

b) Sejam, 1, 1,2

x u y v z w= = + = + , substituindo, obtemos

2 2 2 32 22

u v w+ + = ,

que é um elipsóide.

Exercícios:

8.1) Desenhe os parabolóides 2 2

22 8x yz = + e

2 2

22 8x yz = − .

8.2) Desenhe o cilindro 2 2

14 9x y

+ = .

8.3) Classifique as seguintes superfícies quádricas:

2 2 2

2 2 2 12 3 4x y z

+ + =a) . Resposta: Elipsóide.

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2 2 2

2 2 2 12 2 2x y z

+ + =b) . Resposta: Esfera de centro na origem e raio 2.

2 2 22 2 1x y z+ − =c) . Resposta: Hiperbolóide de uma folha.

d) 2 2

2 2 12 3x y

+ = . Resposta: Cilindro elíptico.

2 4y x=e) . Resposta: Cilindro parabólico.

Resumo(Apenas das equações deduzidas)

Superfície 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Kz L- + + + + - + + + =

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Kz L- + + + + - + + + =Condições

Elipsóide 2 2 2 0Ax By Cz L+ + + = , ,A B C de mesmo sinal e L com sinal contrário

Hiperbolóide

2 2 2 0Ax By Cz L+ + + = Um dos coeficientes , ou A B C com sinal contrário dos outros dois.

Hiperbolóide de uma folha e A B e L− de mesmo sinal

Hiperbolóide de duas folhas e A B com mesmo sinal e L− de sinal contrário

Cone

2 2 2 0Ax By Cz+ + = , e 0A B C ≠

O cone se reduz a um ponto , e A B C com sinais iguais

Cone , e A B C com sinais diferentes

Parabolóide

2 2 2 0Ax By Kz+ + = , e 0A B K ≠

Parabolóide elíptico

e A K com sinais diferentes e

0KB

− >

Parabolóide hiperbólico ou Sela

e A K com sinais diferentes e

0KB

− <

Cilindro 2 2 2 2 2 0Ax By Dxy Gx Hy L+ + + + + = 0C E F K= = = =

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Neste capítulo estudamos as superfícies quádricas. Vimos que, de-pendendo dos coeficientes da equação

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Kz L+ + + + + + + + + = ,

a superfície toma uma forma ou outra. Na tabela acima fizemos um resumo, mas você não deve ficar preso a ele. Você deverá ser capaz de manipular algebricamente uma equação do tipo acima e colocá-la na forma padrão de uma superfície quádrica. Para isso, você deverá ser capaz de completar quadrados e de reconhecer uma superfície quádrica pela sua equação padrão. Reconhecer o gráfico de uma su-perfície quádrica também é importante.

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Bibliografia Comentada[1] J. L. Boldrini et al.. Álgebra Linear. Editora Harbra, São Paulo, 3a Edição. 1986.

Este livro contém as demonstrações de todos os resultados. O livro inicia tratando das matrizes e sistemas lineares. A parte introdutória de vetores não é abordada. É mais indicado para o estudo da álgebra linear.

[2] Alpha Chiang. Matemática para Economistas. Editora da Uni-versidade de São Paulo/Brasil, 1982.

[3] N. M. dos Santos. Vetores e Matrizes. LTC. Rio de Janeiro/Brasil, 1976.

[4] David Poole. Álgebra Linear, Pioneira Thompson Learning, São Paulo, 2004.

Os livros [3] e [4] contém grande parte do material abordado aqui. No livro [4] você pode encontrar novos exercícios, ver outras demonstrações e aplicações.

Na internet você pode encontrar os sites http://www.dm.ufscar.br/disciplinas/grad/ga/ga2004.html e http://www.mat.ufmg.br/gaal/ que tratam de Geometria Analítica. O primeiro site é para realizar atividades por meio do computador, e o segundo possui diversas atividades de Geometria Analítica.

http://www.mat.ufmg.br/~regi/livros.html possui um livro que pode ser copiado ou lido online.

Para ilusão de ótica

visite http://www.optigone.com

Para aplicações das cônicas visite

Revista do professor de matemática, 36

http://www.sato.prof.ufu.br/Conicas