RELAESEm matemtica, relaes representa correspondncia de dois conjuntos no vazios. Por exemplo, temos um conjunto A e o conjunto B. A o conjunto de partida e B o de chegada.A relao entre os conjuntos realizada em pares ordenados onde um elemento do conjunto de partida tem seu representante do conjunto de chegada. Existem vrios tipos de relaes e cada uma com seu nome especfico.Relaes entre elementos do mesmo conjuntoUm tipo importante so as relaes em que A = B, ou, em outras palavras, subconjuntos de A x A. Os tipos de propriedades que essas relaes podem ter so:Reflexiva: x < xSimtrica: Antissimtrica: x < y e y < x => x = yTransitiva: x < y e y < z => x < zRelaes de equivalnciaSo relaes que possuem as propriedades: reflexiva, simtrica e transitiva.Relaes de ordemSeja R uma relao de A para B, e S uma relao de B para C. Ento podemos definir a relao composta S o R, de A para C, como:Relao CompostaRelao InversaPara todo racional x diferente de 0, existe um nico racional y tal que x.y = 1.DEFINIO DE FUNOToda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associao entre eles, que faa correspondera todoelemento do primeiro conjuntoum nicoelemento do segundo, ocorre uma funo..

A relao acima no uma funo, pois existe o elemento1no conjuntoA, que no est associado a nenhum elemento do conjuntoB.

A relao acima tambm no uma funo, pois existe o elemento4no conjuntoA, que est associado a mais de um elemento do conjuntoB.Agora preste ateno no prximo exemplo:

A relao acima uma funo, pois todo elemento do conjuntoA, est associado asomente umelemento do conjunto B.De um modo geral, dados dois conjuntosAeB, e uma relao entre eles, dizemos que essa relao umafuno de A em Bse e somente se,para todo xAexisteum nico yBde modo que x se relacione com y.

TIPOS DE FUNESFuno polinomialToda funo na forma P(x) = anxn+ an-1xn-1+ ... + a2x2+ a1x + a0 considerada uma funo polinomial, onde p(x) est em funo do valor de x. A cada valor atribudo a x existe um valor em y, pois x: domnio da funo e y: imagem.O grau de um polinmio expresso atravs do maior expoente natural entre os monmios que o formam. Por exemplo:g(x) = 10 5x + 2: polinmio grau 2h(x) = -3 + 9 5x + 6: polinmio grau 3.Exemplo de grfico de uma funo polinomial de segundo grau:

Funo racionalUma funo racional, y = f(x), uma funo que pode ser expressa como uma razo (quociente) de dois polinmios P(x) e Q(x).

Exemplo de grfico de uma funo racional:

Funo algbricaChama-se funo algbrica toda a funo y = f(x) que satisfaz uma equao da forma em que so polinmios em x.Qualquer funo algbrica pertencente a um dos trs tipos citados verifica uma equao da forma dada na definio anterior. Por exemplo, se n = 1 esta equao reduz-se a:

Funes transcendentes Uma equao transcendente uma equao que contm alguma funo que no redutvel a uma frao entre polinmios, e cuja soluo no pode ser expressa atravs de funes elementares.De modo geral, uma equao transcendente no possui uma soluo exata expressa atravs de funes conhecidas, sendo necessrio recorrer ao clculo numrico para obter uma soluo. As mais comuns so: equaes trigonomtricas (com incgnita em argumento e independente na mesma funo), equaes exponenciais e logartmicas.Exemplo: .

DOMNIO E IMAGEM DE UMA FUNO:Odomniode uma funo sempreo prprio conjunto de partida, ou seja, D = A. Se um elementox Aestiver associado a um elementoy B, dizemos quey aimagemdex.Exemplo: sef uma funo de IN em IN (isto significa que o domnio e o contradomnio so os nmeros naturais) definida pory = x + 2. Ento temos que:A imagem de 1 atravs def 3, ou seja, f(1) = 1 + 2 = 3;A imagem de 2 atravs def 4, ou seja, f(2) = 2 + 2 = 4;Numa funofdeAemB, os elementos deBque so imagens dos elementos deAatravs da aplicao defformam oconjunto imagemdef.Com base nos diagramas acima, conclumos que existem2condies para uma relaofseja uma funo:1)O domnio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja,todo elemento de A ponto de partida de flecha. Se tivermos um elemento deAdo qual no parta flecha, a relao no funo.2)De cada elemento deAdeve partiruma nicaflecha. Se de um elemento deApartir mais de uma flecha, a relao no funo.Observaes:Comoxeytm seus valores variando nos conjuntosAeB, recebem o nome devariveis.A varivelx chamadavarivel independentee a varively,varivel dependente, pois para obter o valor dey dependemos de um valor dex.Uma funoffica definida quando so dados seu domnio (conjuntoA), seu contradomnio (conjuntoB) e a lei de associao y=f(x).OBTENO DO DOMNIO DE UMA FUNO:Odomnio o subconjunto de IR no qual todas as operaes indicadas em y = f(x) so possveis.CONSTRUO DO GRFICO CARTESIANO DE UMA FUNOPara construir o grfico de uma funof, basta atribuir valores do domnio varivelxe, usando a sentena matemtica que define a funo, calcular os correspondentes valores da varively. Por exemplo, vamos construir o grfico da funo definida por y = x/2. Escolhemos alguns valores para o domnio. Por exemplo D = {2, 4, 6, 8}, e agora calculamos os respectivos valores dey. Assim temos:Obtemos seguinte tabela:xy

x=2; y=2/2 = 121

x=4; y=4/2 = 242

x=6; y=6/2 = 363

x=8; y=8/2 = 484

Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano:

RAZES DE UMA FUNODada uma funo y = f(x), os valores, os valores dexpara os quais f(x)=0 so chamadosrazesde uma funo. No grfico cartesiano da funo, as razes so abscissas dos pontos onde o grfico corta o eixo horizontal. Observe o grfico abaixo:

No grfico acima temos: f(x1) = 0, f(x2) = 0 e f(x3) = 0.Portanto x1, x2e x3so razes da funo.PROPRIEDADES DE UMA FUNOEssas so algumas propriedades que caracterizam uma funof:AB: Funo sobrejetora: Dizemos que uma funo sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomnio, isto , se Im=B. Em outras palavras, no pode sobrar elementos no conjunto B sem receber flechas. Funo Injetora:A funo injetora se elementos distintos do domnio tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos no podem ter a mesma imagem. Portanto no pode haver nenhum elemento no conjunto B que receba duas flechas. Por exemplo, a funo f:IRIR definida por f(x)=3x injetora pois se x1x2ento 3x13x2, portanto f(x1)f(x2). Funo Bijetora:Uma funo bijetora quando ela sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Por exemplo, a funo f: IRIR definida por y=3x injetora, como vimos no exemplo anterior. Ela tambm sobrejetora, pois Im=B=IR. Logo, esta funo bijetora.J a funo f: ININ definida por y=x+5no sobrejetora, pois Im={5,6,7,8,...} e o contradomnio CD=IN, mas injetora, j que valores diferentes dextm imagens distintas. Ento essa funono bijetora.Observe os diagramas abaixo: 1- Essa funo sobrejetora, pois no sobra elemento emB2- Essa funo no injetora, pois existem dois elementos com mesma imagem.3- Essa funo no bijetora, pois no injetora.

1- Essa funo injetora, pois elementos deBso flechados s uma vez.2- Essa funo no sobrejetora, pois existem elementos sobrando emB.3- Essa funo no bijetora, pois no sobrejetora.

1- Essa funo injetora, pois elementos deBso flechados s uma vez.2- Essa funo sobrejetora, pois no existem elementos sobrando emB3- A funo bijetora, pois injetora e sobrejetora

FUNO PAR E FUNO MPARDada uma funo f: AB, dizemos quefparse, e somente se, f(x)=f(-x) para todo xA. Ou seja: os valores simtricos devem possuir a mesma imagem. O diagrama a seguir mostra um exemplo de funo par:

Por exemplo, a funo f: IRIR definida por f(x) = x2 uma funo par, pois f(x) = x2 = (-x)2 = f(-x). Podemos notar a paridade dessa funo observando o seu grfico:

Notamos, no grfico, que existe umasimetria em relao ao eixo vertical. Elementos simtricos tm a mesma imagem. Os elementos 2 e 2, por exemplo, so simtricos e possuem a imagem 4.Por outro lado, dada uma funo f: AB, dizemos quefmparse, e somente se, f(-x) = -f(x) para todo xA. Ou seja: valores simtricos possuem imagens simtricas. O diagrama a seguir mostra um exemplo de funo mpar:

Por exemplo, a funo f: IRIR definida por f(x)=x3 uma funo mpar, pois f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x). Podemos notar que a funo mpar observando o seu grfico:

Notamos, no grfico, que existe umasimetria em relao a origem 0. Elementos simtricos tm imagens simtricas. Os elementos 1 e 1, por exemplo, so simtricos e possuem imagens 1 e 1 (que tambm so simtricas).FUNO CRESCENTE E FUNO DECRESCENTEDada uma funo f: AB, dizemos quefcrescenteem algum conjunto AA, se, e somente se, para quaisquer x1A e x2A, com x1-x2+1 => f(x1)>f(x2). Ou seja: quando os valores do domnio crescem, suas correspondentes imagens decrescem.Esse um exemplo de funocrescente. Podemos notar no grfico que medida que os valores de x vo aumentando, suas imagens tambm vo aumentando.

Esse um exemplo de funodecrescente. Podemos notar no grfico que medida que os valores de x vo aumentando, suas imagens vo diminuindo.

FUNO COMPOSTAVamos analisar um exemplo para entender o que uma funo composta.Consideremos os conjuntos A={-2,-1,0,1,2}, B={-2,1,4,7,10} e C={3,0,15,48,99}, e as funes f:AB definida por f(x)=3x+4, e g:BC definida por g(y)=y2-1.

Como nos mostra o diagrama acima, para todo xA temos um nico yB tal que y=3x+4, e para todo yB existe um nico zC tal que z=y2-1, ento conclumos que existe uma funohdeAemC, definida por h(x)=z ou h(x)=9x2+24x+15, pois:h(x) = z; h(x) = y2 - 1E sendo y = 3x + 4, ento h(x) = (3x + 4)2 1; h(x) = 9x2 + 24x +15.A funo h(x) chamadafuno compostadegcomf. Podemos indic-la porg o f(lemos gcomposta comf) ou g[f(x)] (lemos gdefdex). Vamos ver alguns exerccios para entender melhor a ideia de funo composta.FUNO INVERSAConsideremos os conjuntos A={0,2,4,6,8} e B={1,3,5,7,9} e a funo f:AB definida por y=x+1. A funofest representada no diagrama abaixo:

A funof uma funobijetora. A cada elementoxde A est associado um nico elementoyde B, de modo que y=x+1.Porm, comof bijetora, a cada elementoyde B est associado um nico elementoxde A, de modo que x = y - 1; portanto temos uma outra funo g:BA, de modo que x = y - 1 ou g(y) = y - 1. Essa funo est representada no diagrama abaixo:

Pelo que acabamos de ver, a funoflevaxatyenquanto a funoglevayatx. A funo g:BA recebe o nome defuno inversadefe indicada porf-1.O domnio def o conjunto imagem deg, e o conjunto imagem def o domnio deg. Quando queremos, a partir da sentena y=f(x), obter a sentena de f-1(x), devemos dar os seguintes passos:1) Isolamosxna sentena y = f(x)2) Pelo fato de ser usual a letraxcomo smbolo da varivel independente, trocamosxporyeyporx.Por exemplo, para obter a funo inversa de f:IRIR definida por y = 2x + 1, devemos:1) isolarxem y = 2x + 1. Assim y = 2x + 1y 1 = 2xx = (y - 1)/22) trocarxporyeyporx: y = (x - 1)/2.Portanto a funo inversa def:f-1(x) = (x - 1)/2.Observao: Para que uma funofadmita a inversaf-1 necessrio que ela seja bijetora. Sefno for bijetora, ela no possuir inversa.