Dos Produtos Notaveis ao Calculo de Volumes

Ronaldo B. Assuncao Paulo C. Carriao

Departamento de Matematica, Universidade Federal de Minas Gerais

CEP 30123-970 — Belo Horizonte (MG), Brasil

ronaldo@mat.ufmg.br carrion@mat.ufmg.br

3.a Bienal da SBM — Goiania, 6 a 10 de novembro de 2006

Sumario

Introducao 1

1 Somas de potencias inteiras dos numeros naturais 31.1 Soma dos numeros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Soma dos quadrados dos numeros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Soma dos cubos dos numeros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Notacao de somatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Calculo de areas pelo metodo de exaustao 52.1 Descricao do metodo de exaustao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Calculo da area sob o grafico da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Calculo da area sob o grafico da parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Calculo da area sob o grafico da parabola cubica . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Propriedades gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Calculo de volumes pelo metodo de exaustao 93.1 Calculo do volume do cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Calculo do volume do tronco de cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 A formula dos tres nıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Aplicacoes 124.1 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 “Telhado” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 “Ponta de chave de fenda” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4 Paraboloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Introducao

O calculo de volumes e um dos assuntos estudados na matematica desde a antiguidadeate os dias atuais. Diversas formulas foram descobertas ao longo dos anos para calcularvolumes de diferentes solidos. O objetivo deste trabalho e apresentar uma formula para

1

o calculo do volume de todos os solidos estudados no ensino medio e outros mais. E achamada formula dos tres nıveis, dada por

p

x

V =(b − a)

6

[

S(a) + 4S(a + b

2

)

+ S(b)]

q

y

em que S(x) representa a area da secao transversal do solido na posicao x (veja Teorema 1).E importante ressaltar que S(x) deve ser um poliomio de grau no maximo 3 na variavelx. Uma versao dessa formula para o calculo do volume do tronco de piramide ja eraconhecida no Egito antigo, conforme atesta o Papiro de Moscou, datado de cerca de 1900A. C.

x

x = a

x = (a + b)/2

x = b

Para ilustrar a aplicacao dessa formula, apresentamos a cunha cilındrica. Este solidoe obtido pela intersecao de um cilindro circular reto com dois planos (um deles horizontale o outro formando um angulo α com o primeiro). Como e simples observar, as secoestransversais verticais da cunha cilindrica sao triangulos (aqui estamos supondo que osplanos verticais interceptam ortogonalmente os dois planos que delimitam a cunha). A

area do triangulo obtido por um plano vertical na posicao x e dada por S(x) =tanα

2(r2−

x2), que e um polinomio de grau 2 na variavel x. Aplicando a formula dos tres nıveispara x = ±r e x = 0 encontramos S(±r) = 0 e S(0) = r2 tanα/2. Portanto, o volume dacunha cilındrica vale V = 2r/6[0 + 4(r2 tanα/2) + 0] = 2r3 tan α/3.

x

y

z

S(x) =tanα

2(r2 − x2)

V =2 tanα

3r3

x

y

z

xα

r

−r y =√

r2 − x2

z = tan α√

r2 − x2

Na secao 1 apresentamos algumas formulas para o calculo de somas de potenciasdos numeros naturais. Essas formulas, baseadas nos produtos notaveis, serao uteis parao calculo da area sob o grafico de retas, de parabolas e de parabolas cubicas que sao

2

descritas na secao 2. Na secao 3 apresentamos o calculo do volume do tronco de coneutilizando os produtos notaveis e enunciamos a formula dos tres nıveis. Para demonstra-la, usaremos o Princıpio de Cavalieri e as ideias desenvolvidas nas secoes anteriores. Nasecao 4 apresentamos algumas aplicacoes da formula dos tres nıveis para o calculo devolumes da esfera, do “telhado” e da calota esferica e da “ponta de chave de fenda” etambem propomos alguns exercıcios para o leitor.

1 Somas de potencias inteiras dos numeros naturais

1.1 Soma dos numeros naturais

A partir da conhecida formula (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 podemos determinar o valor de

S1 ≡ 1 + 2 + 3 + · · ·+ n

da seguinte maneira. Escrevendo (k+1)2−k2 = 2k+1 e usando propriedades aritmeticassimples, podemos somar os lados esquerdos de todas as igualdades abaixo e igualar asoma dos lados direitos correspondentes. Observamos agora que do lado esquerdo todosas parcelas se cancelam, exceto a primeira parcela da primeira linha e da ultima parcela daultima linha; tambem notamos que do lado direito obtemos 2S1+n pois temos exatamenten linhas. Assim,

22 − 12 = 2 · 1 + 132 − 22 = 2 · 2 + 1...

......

......

......

(n)2 − (n − 1)2 = 2 · (n − 1) + 1(n + 1)2 − n2 = 2 · n + 1(n + 1)2 − 12 = 2 · S1 + n.

Agora temos relacao (n + 1)2 − 1 = 2S1 + n, e portanto,

p

x

S1 =n(n + 1)

2.

q

y

(1)

1.2 Soma dos quadrados dos numeros naturais

Este mesmo tipo de raciocınio pode ser empregado para o calculo de

S2 ≡ 12 + 22 + 32 + · · · + n2.

De fato, a partir do produto notavel (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 temos a relacao(k + 1)3 − k3 = 3k2 + 3k + 1. Assim

23 − 13 = 3 · 12 + 3 · 1 + 133 − 23 = 3 · 22 + 3 · 2 + 1...

......

......

......

......

(n)3 − (n − 1)3 = 3 · (n − 1)2 + 3 · (n − 1) + 1(n + 1)3 − n3 = 3 · n2 + 3 · n + 1(n + 1)3 − 13 = 3 · S2 + 3 · S1 + n.

3

Usando a formula (1), obtemos facilmente a formulap

x

S2 =n(n + 1)(2n + 1)

6.

q

y

(2)

1.3 Soma dos cubos dos numeros naturais

Mais uma vez vamos usar as ideias anteriores para calcular o valor de

S3 ≡ 13 + 23 + 33 + · · · + n3.

A partir do produto notavel (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 temos a relacao(k + 1)4 − k4 = 4k3 + 6k2 + 4k + 1. Assim

24 − 14 = 4 · 13 + 6 · 1 + 4 · 1 + 134 − 24 = 4 · 23 + 6 · 2 + 4 · 2 + 1...

......

... · · · · · · ......

......

...(n)4 − (n − 1)4 = 4 · (n − 1)3 + 6 · (n − 1)2 + 4 · (n − 1) + 1

(n + 1)4 − n4 = 4 · n3 + 6 · n2 + 4 · n + 1(n + 1)4 − 14 = 4 · S3 + 6 · S2 + 4 · S1 + n.

Usando as formulas (1) e (2), obtemos facilmente a formulap

x

S3 =[n(n + 1)

2

]2

.

q

y

(3)

O leitor atento tera observado que S3 = S21 , ou seja,

13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 = (1 + 2 + 3 + · · ·+ n)2.

1.4 Notacao de somatorio

Usando a notacao de somatorio, temos as seguintes formulas.

S1 =

n∑

i=1

i =n(n + 1)

2,

S2 =n

∑

i=1

i2 =n(n + 1)(2n + 1)

6,

S3 =n

∑

i=1

i3 =[n(n + 1)

2

]2

ou S3 =n

∑

i=1

i3 =[

n∑

i=1

i]2

.

A formula geral e a seguinte:

Sm =n

∑

i=1

im =1

m + 1

[

(n + 1)m+1 − 1 −n

∑

i=1

(

(i + 1)m+1 − im+1 − (m + 1)im)

]

,

ou entao

Sm =

n−1∑

i=1

im =1

m + 1

m∑

k=0

(

m + 1

k

)

Bknm+1−k,

em que Bk sao os chamados numeros de Bernoulli, dados por Bk = 0 se k e um numeroımpar diferente de 1, B0 = 1, B1 = −1/2, B2 = 1/6, B4 = −1/30, B6 = 1/42, B8 =−1/30, B10 = 5/66, etc. Convidamos o leitor a visitar a seguinte pagina da Internet econferir novas formulas interessantes: http://www.bernoulli.org/

4

2 Calculo de areas pelo metodo de exaustao

2.1 Descricao do metodo de exaustao

Seja f : [a, b] → R uma funcao nao negativa definida no intervalo fechado a 6 x 6 b. Aarea A da regiao sombreada na figura pode ser avaliada da seguinte forma.

y = f(x)

x

y

a bSeja n ∈ N um numero natural qualquer; dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos

iguais a ∆x = (b−a)/n. O valor ∆x sera a base de dois tipos de retangulos: os do primeirotipo, representados de cinza claro, estarao totalmente abaixo do grafico de y = f(x);os do segundo tipo, representado de cinza escuro na figura (e parcialmente encobertospelos retangulos claros), conterao totalmente o grafico de y = f(x). Em outros termos,construımos duas classes de retangulos tais que os da primeira classe ficam inteiramentecobertos pelo grafico da funcao y = f(x) e os da segunda classe cobrem inteiramente ografico da funcao. Denotando por bi a area de um retangulo generico da primeira classe epor ci a area de um retangulo generico da segunda classe, temos as seguintes desigualdades:

n∑

i=1

bi 6 A 6

n∑

i=1

ci. (4)

y = f(x)

x

y

a b

y = f(x)

x

y

a bQuando o numero n de partes em que se divide o intervalo fechado a 6 x 6 b aumenta,

a soma das areas dos retangulos claros aumenta, como se pode visualizar na figura; alemdisso, a soma das areas dos retangulos escuros diminui. Entretanto, nesse processo a areaA sob o grafico da funcao permanece verificando as desigualdades (4). Podemos entaoaproximar o valor exato da area A fazendo um numero cada vez maior de retangulos(claros, por falta; escuros, por excesso). Assim, se os valores

Bn =n

∑

i=1

bi e Cn =n

∑

i=1

ci

tornarem-se arbitrariamente proximos um do outro quando o numero n cresce, entao essevalor comum devera ser igual a area A.

2.2 Calculo da area sob o grafico da reta

Consideremos nessa subsecao o grafico da funcao f : [0, b] → R definida por y = f(x) = x.A area A requerida e a de um triangulo retangulo isosceles de catetos iguais a b e valeA = b2/2. Entretanto, vamos calcular a area usando o metodo de exaustao. Para isso, seja

5

n ∈ N um numero natural qualquer; dividimos o intervalo fechado [0, b] em n subintervalosiguais a ∆x = b/n que formarao as bases dos retangulos. E facil verificar que os n + 1pontos usados para determinar os subintervalos devem ter coordenadas iguais a

x0 = 0 x1 = b/n x2 = 2b/n x3 = 3b/n · · · xn−1 = (n−1)b/n xn = nb/n = b. (5)

O retangulo generico cinza claro (totalmente contido na regiao sob o grafico da funcaof(x) = x) tem altura igual ao valor de f(xi−1) = xi−1 pois a funcao e crescente e o menorvalor que atinge no subintervalo [xi−1, xi] ocorre na extremidade esquerda do subintervalo.Assim,

bi = (∆x) · f(xi−1) = (∆x) · xi−1 = (b/n) · xi−1 = (b/n) ·(

(i − 1)b/n)

.

f(x) = x

x

y

A soma das areas dos retangulos claros vale

Bn =

n∑

i=1

bi =

n∑

i=1

( b

n

)((i − 1)b

n

)

=( b

n

)2

n∑

i=1

(i − 1) =(b2

2

)n(n − 1)

n2

=(b2

2

)(

1 −1

n

)

=(b2

2

)

−( b2

2n

)

O retangulo generico cinza escuro (que contem totalmente a regiao sob o grafico da funcaof(x) = x) tem altura igual ao valor de f(xi) = xi pois a funcao e crescente e o maiorvalor que atinge no subintervalo [xi−1, xi] ocorre na extremidade direita do subintervalo.Assim,

ci = (∆x) · f(xi) = (∆x) · xi = (b/n) · xi = (b/n) · (ib)/n.

A soma das areas dos retangulos escuros vale

Cn =

n∑

i=1

ci =

n∑

i=1

( b

n

)( ib

n

)

=( b

n

)2

n∑

i=1

i =( b

n

)2n(n + 1)

2=

(b2

2

)n(n + 1)

n2

=(b2

2

)(

1 +1

n

)

=(b2

2

)

+( b2

2n

)

Claramente, temos as seguintes desigualdades:

−b2

2n6 A −

b2

26

b2

2n.

6

Como o valor de b e arbitrario (porem fixo) e ja que o denominador da fracao b2/2ntorna-se arbitrariamente grande quando aumentamos o valor de n, resulta que b2/2n ficamenor do que qualquer valor previamente fixado (bastando para isso escolher um valorsuficientemente grande para n). Entao a diferenca entre o valor da area A e b2/2 ficamenor do que qualquer quantidade previamente fixada, por menor que seja. Isto so everdade se os valores de A e b2/2 forem iguais. Concluımos entao que A = b2/2.

2.3 Calculo da area sob o grafico da parabola

Consideremos agora a funcao f : [0, b] → R definida por y = f(x) = x2. Vamos calculara area A usando novamente o processo descrito anteriormente. Para isso, seja n ∈ N umnumero natural qualquer; dividimos o intervalo fechado [0, b] em n subintervalos iguaisa ∆x = b/n que formarao as bases dos retangulos. E facil verificar que os n + 1 pontosusados para determinar os subintervalos sao os mesmos dados por (5).

O retangulo generico cinza claro (totalmente contido na regiao sob o grafico da funcaof(x) = x2) tem altura igual ao valor de f(xi−1) = x2

i−1 pois a funcao e crescente e, por-tanto, o menor valor que atinge no subintervalo [xi−1, xi] ocorre na extremidade esquerdado subintervalo. Assim,

bi = (∆x) · f(xi−1) = (∆x) · x2

i−1 = (b/n) · xi−1 = (b/n) ·(

(i − 1)b/n)2

A soma das areas dos retangulos claros vale

Bn =

n∑

i=1

bi =

n∑

i=1

( b

n

)((i − 1)b

n

)2=

( b

n

)3

n∑

i=1

(i − 1)2

=(b3

6

)(n − 1)n(2n − 1)

n3=

(b3

6

)(

1 −1

n

)

(

2 −1

n

)

=(b3

3

)

(

1 −3

2n+

1

2n2

)

.

O retangulo generico cinza escuro (que contem totalmente a regiao sob o grafico da funcaof(x) = x2) tem altura igual ao valor de f(xi) pois a funcao e crescente e, portanto, o menorvalor que atinge no subintervalo [xi−1, xi] ocorre na extremidade direita do subintervalo.Assim,

ci = (∆x) · f(xi) = (∆x) · xi = (b/n)xi = (b/n)(ib)/n

A soma das areas dos retangulos escuros vale

Cn =n

∑

i=1

ci =n

∑

i=1

( b

n

)( ib

n

)2=

( b

n

)3

n∑

i=1

i2

=(b3

6

)(n + 1)(2n + 1)

n2=

(b3

6

)(

1 +1

n

)(

2 +1

n

)

=(b3

3

)

(

1 +3

2n+

1

2n2

)

.

Claramente, temos as seguintes desigualdades:

b3

3

(

−3

2n+

1

2n2

)

6 A −b3

36

b3

3

( 3

2n+

1

2n2

)

.

Como anteriormente, concluımos que o valor exato da area e A = b3/3.

7

f(x) = x2

x

y

2.4 Calculo da area sob o grafico da parabola cubica

Consideremos agora a funcao f : [0, b] → R definida por y = f(x) = x3. Mais umavez, vamos calcular a area A usando o processo de passagem ao limite, conhecido comometodo da exaustao. Para isso, seja n ∈ N um numero natural qualquer; dividimos ointervalo fechado [0, b] em n subintervalos iguais a ∆x = b/n que formarao as bases dosretangulos. Novamente os n + 1 pontos usados para determinar os n subintervalos devemter coordenadas dadas por (5). O retangulo generico cinza claro (totalmente contido naregiao sob o grafico da funcao f(x) = x3) tem altura igual ao valor de f(xi−1) = x3

i−1 poisa funcao e crescente e, portanto, o menor valor que atinge no subintervalo [xi−1, xi] ocorrena extremidade esquerda do subintervalo. Assim,

bi = (∆x) · f(xi−1) = (∆x) · x3

i−1 = (b/n) · xi−1 = (b/n) · ((i − 1)b/n)3

A soma das areas dos retangulos claros vale

Bn =

n∑

i=1

bi =

n∑

i=1

( b

n

)((i − 1)b

n

)3=

(b4

4

)(n − 1)2n2

n4

=(b4

4

)(

1 −1

n

)

(

1 −1

n

)

=(b4

4

)

(

1 −2

n+

1

n2

)

.

O retangulo generico cinza escuro (que contem totalmente a regiao sob o grafico da funcaof(x) = x3) tem altura igual ao valor de f(xi) = x3

i pois a funcao e crescente e, portanto,o menor valor que atinge no subintervalo [xi−1, xi] ocorre na extremidade direita do su-bintervalo. Assim,

ci = (∆x) · f(xi) = (∆x) · xi = (b/n) · xi = (b/n) · ((ib)/n)3

A soma das areas dos retangulos escuros vale

Cn =n

∑

i=1

ci =n

∑

i=1

( b

n

)( ib

n

)3=

(b4

4

)n2(n + 1)2

n4

=(b4

4

)(

1 +1

n

)(

1 +1

n

)

=(b4

4

)

(

1 +2

n+

1

n2

)

.

Claramente, temos as seguintes desigualdades:

b4

4

(

−2

n+

1

n2

)

6 A −b4

46

b4

4

(2

n+

1

n2

)

.

8

Como anteriormente, concluımos que o valor exato da area e A = b4/4.

f(x) = x3

x

y

2.5 Propriedades gerais

Nesta subsecao introduzimos a notacao Iba

(

f(x))

para representar a area sob o graficoda funcao f : [a, b] → R definida no intervalo fechado [a, b]. Com base nos calculosapresentados nas subsecoes anteriores, temos as seguintes propriedades.

1. Iba(1) = b − a.

2. Iba(x) =

b2

2−

a2

2.

3. Iba(x

2) =b3

3−

a3

3.

4. Iba(x

3) =b4

4−

a4

4.

5. Iba

(

c · f(x))

= c · Iba

(

f(x))

.

6. Iba

(

f(x) + g(x))

= Iba

(

f(x))

+ Iba

(

g(x))

.

7. Iba(c0 + c1x + c2x

2 + c3x3) = c0(b − a) +

c1

2(b2 − a2) +

c2

3(b3 − a3) +

c3

4(b4 − a4).

3 Calculo de volumes pelo metodo de exaustao

3.1 Calculo do volume do cone

Seja f : [a, b] → R uma funcao definida no interalo fechado [a, b]. Se girarmos a regiaodeterminada sob o grafico da funcao em torno do eixo Ox, obtemos uma solido denominadosolido de revolucao. Usando a simetria dos solidos de revolucao em relacao ao eixo derotacao, podemos utilizar as tecnicas desenvolvidas na secao anterior para calcular seuvolume.

x

f(x) = rx/h

Consideremos inicialmente o caso em que f : [a, h] → R e definida porf(x) = rx/h,em que r e h sao numeros reais fixos (mas arbitrarios), representando o raio da base do

9

cone e sua altura, respectivamente. Dividindo o intervalo [0, h] em n subintervalos iguaisa ∆x = h/n e tracando planos perpendiculares ao eixo Ox pelos pontos das subdivisoes,dados por

x0 = 0, x1 =h

n, x2 =

2h

n, x3 =

3h

n, · · · xn−1 =

(n − 1)h

n, xn =

nh

n= h,

obtemos n troncos de cone. Cada um deles pode ser aproximado (por falta e por excesso)por cilindros cujas espessuras valem ∆x e cujos raios variam conforme o grafico de f(x).Mais precisamente, aplicando a definicao de f(x) para x = xi = ih/n, obtemos o volumedos cilindros por excesso (e deixamos o caso por falta para o leitor). Assim,

ci = π × (raio)2 × altura = π[

f(xi)]2

∆x = πr2h

n3i2

A soma dos volumes de todos os cilindros da particao vale

Cn =

n∑

i=1

ci =

n∑

i=0

πr2h

n3i2 = π

r2h

n3

n∑

i=1

i2 = πr2hn(n + 1)(2n + 1)

6n3

=πr2h

3

(

1 +3

2n+

1

2n2

)

.

Conforme ja salientamos, este valor nao e exatamente igual ao volume do cone; entretanto,fazendo o numero n de subintervalos tender a infinito, obtemos aproximacoes cada vezmelhores (sempre por excesso, nesse caso).

Analogamente, fazendo as aproximacoes por falta, podemos determinar o valor

Bn =πr2h

3

(

1 −3

2n+

1

2n2

)

.

Conforme fizemos anteriormente, temos as desigualdades

πr2h

3

(

−3

2n+

1

2n2

)

6 V −πr2h

36

πr2h

3

( 3

2n+

1

2n2

)

.

Disso resulta que o volume do cone de altura h e raio da base r vale V = πr2h

3.

3.2 Calculo do volume do tronco de cone

O volume do tronco de cone obtido pela rotacao do grafico da funcao f : [a, b] → R definidano intervalo fechado [a, b] por y = f(x) = x em torno do eixo Ox (em que 0 < a < b)pode ser calculado com o auxılio do volume do cone determinado anteriormente. Assim

Vtronco = πb2 · b

3− π

a2 · a3

=π

3

(

b3 − a3).

Usando o produto notavel b3 − a3 = (b − a)(a2 + ab + b2), podemos reescrever o volumedo tronco de cone como

Vtronco =π(b − a)

3(a2 + ab + b2)

=π(b − a)

6(2a2 + 2ab + 2b2)

=π(b − a)

6(a2 + a2 + 2ab + b2 + b2)

=π(b − a)

6

[

a2 + 4(a2 + 2ab + b2

4

)

+ b2

]

=π(b − a)

6

[

a2 + 4(a + b

2

)2

+ b2

]

10

Observamos agora que o fator que multiplica o numero 4 na ultima igualdade e exatamentea area do cırculo a meia altura no tronco de cone. Lembramos tambem que nesse casoas areas sao polinomios de grau 2 da variavel x, isto e, S(x) = πx2 representa a area dasecao do tronco de cone obtida pela intersecao de um plano perpendicular ao eixo Oxpassando pelo ponto de abscissa x. Assim, podemos escrever

Vtronco =b − a

6

[

S(a) + 4S(a + b

2

)

+ S(b)]

.

Um raciocınio analogo permite calcular o volume de piramides, dado por V =Ah

3, em

que A e a area da base da piramide e h sua altura, alem de tronco de piramides (quedeixamos como exercıcio).

3.3 A formula dos tres nıveis

Nesta subsecao apresentamos o resultado principal deste texto. E a formula dos tres nıveis,que permite calcular o volume de certos tipos de solidos, entre os quais aqueles que saoestudados no ensino medio. Para enunciar o teorema, necessitamos de algumas definicoese notacoes. Seja K um solido no espaco tridimensional. Denotamos por S(a) a area dasecao transversal obtida interceptando o solido K por um plano perpendicular ao eixo x(plano esse que intercepta o proprio eixo x na posicao x = a). A formula dos tres nıveispermite calcular o volume do solido K usando as areas de tres secoes adequadamenteescolhidas.

Teorema 1 (Formula dos tres nıveis) Seja K um solido no espaco tridimensional.

Se a area S(x) de qualquer secao transversal do solido e um polinomio de grau no maximo

3, entao o volume do solido K entre os planos nas posicoes x = a e x = b e dado pela

formula

p

x

VK =(b − a)

6

[

S(a) + 4S(a + b

2

)

+ S(b)]

.

q

y

(6)

Para demonstrar o Teorema 1 usamos o Princıpio de Cavalieri. Este princıpio permiteque o calculo do volume do solido K seja feito atraves do calculo das areas ja estudadas.A propriedade 7 da secao 2.5 permite que tratemos separadamente os casos em que S(x)e um polinomio de grau zero, de grau 1, de grau 2 e finalmente de grau 3. Alguns dessescasos sao bem simples e deixados a cargo do leitor (confira o caso do volume do troncode cone). Faremos a demonstracao apenas do caso em que S(x) = x3. Antes, porem, einstrutivo enunciar o princıpio no qual a demonstracao se baseia.

11

Princıpio de Cavalieri Se dois solidos estao incluıdos entre um par de planos paralelos

e se as areas das secoes transversais cortadas por planos paralelos ao par de planos

que delimitam os solidos sao iguais, entao os volumes dos dois solidos tambem sao

iguais.

x y

z

x y

z

Demonstracao da formula dos tres nıveis. Usando os produtos notaveis b4−a4 =(b − a)(a3 + a2b + ab2 + b3) e (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, temos

Iba(x

3) =b4

4−

a4

4=

b − a

4(a3 + a2b + ab2 + b3)

=b − a

3 · 4(3a3 + 3a2b + 3ab2 + 3b3)

=b − a

6·1

2(2a3 + a2 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 2b3)

=b − a

6

(

a3 +(a + b)3

2+ b3

)

=b − a

6

(

S(a) + 4S(a + b

2

)

+ S(b))

4 Aplicacoes

Nesta secao final apresentamos algumas aplicacoes da formula dos tres nıveis para o calculode volumes de alguns solidos.

4.1 Esfera

x y

z

x y

z

S(x) = π(r2 − x2)

V =4π

3r3

x y

z

x y

z

xr

√r2 − x2

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4.2 “Telhado”

xy

z

S(w) =bw

h2

(

a1h + w(a − a1))

V =bh

6(2a + a1)

xy

z

wh

a

a1

b

4.3 “Ponta de chave de fenda”

x y

z

S(x) = πabx/hV = πabh/2

x y

z

a−a

bh

4.4 Paraboloide

x y

z

S(z) = πz

V =πh2

2

z√

z

x y

z

4.5 Exercıcios

1. Calcule o volume da calota esferica de altura h (para uma esfera de raio r).

2. Calcule o volume do tronco de piramide de altura h e areas das bases B1 e B2.

3. Calcule o volume do solido de revolucao obtido pela rotacao da parabola semi-cubicay = f(x) = x3/2 (para 0 6 x 6 b) em torno do eixo x.

Referencias

[1] M. Berger, Geometry II, Springer-Verlag, Universitext, Berlin 1987.

[2] H. Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders College Publishing1983.

[3] E. L. Lima, Medida e Forma em Geometria, Colecao Professor de Matematica, SBM1993.

[4] H. O. Midonick, The Treasury of Mathematics, Philosophical Library, New York1965.

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