Dr. Cristina Balderrama MSc. Alejandra Aguilera · Variedades Rimanneanas. Con el operador de...

Introduccion al analisis de Fourier y algunas aplicaciones

Dr. Cristina BalderramaMSc. Alejandra Aguilera

Escuela de MatematicasFacultad de Ciencias

Universidad Central de Venezuela

11 de mayo 2016

C. Balderrama, A. Aguilera (UCV) Analisis de Fourier y aplicaciones 11 de mayo 2016 1 / 28

Series trigonometricas

Aproximar una funcion por polinomios trigonometricos

N∑k=0

(an cos kt + bn sen kt)

Surge naturalmente al resolver EDP’s por separacion de variables

• 1747 D’Alambert: oscilacion de la cuerda de un violın

u(x, t) = desplazamiento en tiempo t y posicion x

∂2u∂t2 =

∂2u∂x2 , u(0, t) = u(1, t) = 0,

∂u∂t

(x,0) = 0.

Solucion: u(x, t) = 12 [f (x + t)− f (x− t)] , f impar y periodica.

• 1753 Daniel Bernoulli, 1759 Lagrange: proponen

f (x) =∞∑

k=1

bk sen kπx.


Series trigonometricas

• 1777 Euler: propone la misma representacion con

bk = 2∫ 1

0f (x) sen kπxdx.

• J. Fourier: problema de propagacion de calor

∂u∂t

=12∂2u∂x2 .

Introduce las series de Fourier para resolver el problema.1807 Presenta resultados ante la Academia de Ciencias de Parıs (Lagrange,Laplace, Legendre, Malus...).1811 ”Memoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides”.1822 ”Theorie analitique de la chaleur”.Propone que cualquier funcion suave a trozos puede ser representada como unaserie trigonometrica.

• 1829 Dirichlet, 1867 Riemann: dan presicion y formalidad a la teorıa.


Series de Fourier

Dada una funcion f 2π-periodica e integrable, consideremos los coeficientes deFourier de f

an =1π

∫ π

−π

f (x) cos nxdx, n ≥ 0,

bn =1π

∫ π

−π

f (x) sen nxdx, n ≥ 1.

La serie de Fourier de f se define como

S[f ](x) =a0

2+

∞∑n=1

[an cos nx + bn sen nx] .

SN [f ](x) =a0

2+

N∑n=1

[an cos nx + bn sen nx] .

Problemas:• Determinar cuando y en que sentido la serie representa a f .• Determinar cuando y en que sentido esta serie converge.• Si la serie converge en x0, ¿cuando converge a f (x0)?


Series de Fourier

(Algunas) respuestas

Teorema (Criterio de Dini)

Si para algun x0 existe δ > 0 tal que∫|t|<δ

∣∣∣ f (x0+t)−f (x0)t

∣∣∣ dt <∞, entonces S[f ](x0)

converge a f (x0).

Teorema (Criterio de Jordan)Si f es una funcion de variacion acotada en un entorno de x0, entonces S[f ](x0)converge a 1

2

[f (x+0 ) + f (x−0 )

].

• Si f satisface una condicion de Lipschitz en x0, i.e.existen a, c, δ > 0 tal que si |t| < δ, entonces |f (x0 + t)− f (x0)| < c|t|a,se puede aplicar el criterio de Dini.• Si f es continua, los resultados no son necesariamente ciertos.• 1873 DuBois-Reymond construyo una funcion continua cuya SF diverge.• Duoandikoetxea (AMS 2001) muestra la existencia de una funcion continua

cuya SF diverge, usando el Teorema de acotacion uniforme de Banach-Steinhauss.


Representacion exponencial

Usando la identidad de Euler einx = cos nx + i sen nx, podemos reescribir

S[f ](x) =∞∑

n=−∞cneinx,

donde cn =1

2π

∫ π

−πf (t)e−intdt.

Tenemos que

an = cn + c−n, n ≥ 0 y bn = i(cn − c−n), n ≥ 1.

Usualmente se escribe cn = cn(f ) = f (n) .


Coeficientes de Fourier

• Lema de Riemann-Lebesgue: Si f es integrable, entonces cn → 0 si |n| → ∞.

• Si f es absolutamente continua, entonces cn(f ′) = in cn(f ).

• Si f es integrable y F es la integral indefinida de f , F(t) = c +∫ t

0 f (s)ds,

F(t)− c0(f )(0)t ∼ d0 +∑n 6=0

cn(f )in

eint,

donde d0 es una constante.

• Si f y g son integrables, entonces cn(f ∗ g) = cn(f )cn(g).


Teorıa L2

L2[−π, π] ={

f : R→ C : f es 2π-periodica, medible y∫ π

−π|f (x)|2dx <∞

}.

L2[−π, π] es un espacio de Hilbert con el producto interno

〈f , g〉 = 12π

∫ π

−π

f (x)g(x)dx.

‖f‖2 =

(1

2π

∫ π

−π

|f (x)|2dx) 1

2

.

Si definimos en(x) := einx, n ∈ N.

• en ∈ L2[−π, π] para todo n ∈ N.

• {en}n∈Z es una base ortonormal completa de L2[−π, π].

Podemos aplicar la teorıa de espacios de Hilbert.


Teorıa L2

• Los coeficientes de la SF de f son

cn(f ) =1

2π

∫ π

−πf (t)e−intdt = 〈f , en〉.

• Convergencia en L2

S[f ] =∞∑

n=−∞〈f , en〉einx = f en L2[−π, π].

• Identidad de Parseval

〈f , g〉 = 12π

∫ π

−π

f (t)g(t)dt =∑n∈Z

cn(f )cn(g).

‖f‖2 =1

2π

∫ π

−π

|f (x)|2dx =∑n∈Z

|cn(f )|2.

• Teorema de PlancherelSi {cn}n∈Z ∈ l2(Z), entonces existe f ∈ L2[−π, π] tal que cn = cn(f ) para todo n ∈ Z.

• La aplicacion f 7→ {cn(f )}n∈Z es una isometrıa entre l2(Z) y L2[−π, π].C. Balderrama, A. Aguilera (UCV) Analisis de Fourier y aplicaciones 11 de mayo 2016 9 / 28

Teorıa Lp

Para 1 ≤ p <∞

Lp[−π, π] ={

f : R→ C : f es 2π-periodica, medible y∫ π

−π|f (x)|pdx <∞

}.

Ya no hay estructura de espacio de Hilbert, pero si de Banach, con la norma

‖f‖p =

(1

2π

∫ π

−π|f (x)|pdx

) 1p

.

¿Que podemos decir en este espacio de las series de Fourier?

• ¿S[f ] converge a f en normal p?

• ¿S[f ] converge a f en casi todo punto?


Teorıa Lp

• ¿S[f ] converge a f en normal p?

Lemma (Duoandikoetxea AMS 2001)Si 1 ≤ p <∞ y f ∈ Lp[−π, π], entonces S[f ] converge a f en norma Lp si, y solo si,existe una constante Cp tal que para todo N ∈ N∥∥∥∥∥

N∑n=−N

cn(f )en

∥∥∥∥∥p

≤ Cp‖f‖p.

Respuesta:

• Si 1 < p <∞, se puede demostrar que la condicion del Lemma se satisface.

• Si p = 1 La respuesta es negativa.


Teorıa Lp

• ¿S[f ] converge a f en casi todo punto?

Esta pregunta es un poco mas difıcil de responder y tomo muchos anos responderla.

• p = 1 No. En 1926 Kolmogorov construyo una funcion integrable tal que suserie de Fourier diverge en todo punto.

• p = 2 Si. Demostrado por L. Carleson en 1965.

• p > 1 Si. Demostrado por R. Hunt en 1967.

Antes de la demostracion de Carleson no se sabia la respuesta ni siquiera parafunciones continuas.


Generalizaciones

Analisis armonico: estudio de las series de Fourier y sus generalizaciones.

• Transformada de Fourier. Para funciones en R no periodicas. Si f ∈ L1(R)

f (y) =1

2π

∫ π

−π

f (t)e−iytdt.

• Para funciones generalizadas ∼ distribuciones. Generalizar la teorıa sobre objetosque no son funciones.

• Series y transformadas de Fourier en grupos compactos. Se trata de preservar lapropiedad de pasar de la convolucion al producto. Teorıa de Fourier en L2(G).

• Variedades Rimanneanas. Con el operador de Laplace-Beltrami se puede definir unaecuacion del calor. Para resolverla, se ¨crea¨ una teorıa de Fourier.

•Grupos no abelianos localmente compactos. Caracterizaciones de lasrepresentaciones irreducibles del grupo.


Aplicaciones


Evaluacion de series no triviales

Problema de Basilea∞∑

n=1

1n2 .

• Relacionado con problemas de teorıa de numeros. Funcion Zeta de Riemann.• 1735 (1741) Euler: resuelve usando desarrollos de Taylor.



Problema de Basilea∞∑

n=1

1n2 .

sen x = x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ · · · sen x

x= 1− x2

3!+

x4

5!− x6

7!+ · · ·

Ceros de sen xx en xn = nπ, n ∈ Z− {0}.

sen xx

= c∏

n∈Z−{0}

(xn − x) =∏

n∈Z−{0}

(1− x

xn

)=(

1− xπ

)(1 +

xπ

)(1− x

2π

)(1 +

x2π

)· · ·

=

(1− x2

π2

)(1− x2

4π2

)(1− x2

9π2

)· · ·

Comparando los coeficientes de x2

− 16 = − 1

3! = a2 = − 1π2 − 1

4π2 − 19π2 = − 1

π2

∑∞n=1

1n2 .

Ası∞∑

n=1

1n2 =

π2

6.



Se puede resolver el problema de Basilea usando desarrollos de Fourier.Consideremos la extension periodica de f (x) = x, x ∈ [−π, π].Sus coeficientes de Fourier vienen dados por

c0 =1

2π

∫ π

−πf (x)dx =

∫ π

−πxdx = 0.

cn =1

2π

∫ π

−πf (x)e−inxdx =

12π

∫ π

−πxe−inxdx

Por la identidad de Paseval∑n∈Z|cn|2 =

12π

∫ π

−π|f (x)|2dx.

∑n∈Z|cn|2 =

∑n∈Z−{0}

1n2 =

−1∑n=−∞

1n2 +

∞∑n=1

1n2 = 2

∞∑n=1

1n2 .

12π

∫ π

−π|f (x)|2dx =

12π

∫ π

−πx2dx =

π2

3.

Ası∞∑

n=0

1n2 =

π2

6.



Queremos ahora evaluar∞∑

n=1

1n4 .

¿Podemos hacerlo usando desarrollos de Taylor?

sen xx

= 1− x2

3!+

x4

5!− x6

7!+ · · · =

(1− x2

π2

)(1− x2

4π2

)(1− x2

9π2

)· · ·

Comparando los coeficientes de x4

15!

= a4 =1π2

∞∑k=2

1k2π2 +

14π2

∞∑k=3

1k2π2 + · · · = 1

π2

∞∑n=1

1n2

∞∑k=n+1

1k2 .

Si en lugar de sen xx , consideramos sen x

x3

sen xx3 =

1x− 1

3!+

x2

5!− x4

7!+ · · ·



Se puede resolver usando desarrollos de Fourier.Consideremos la extension periodica de f (x) = x2, x ∈ [−π, π].Sus coeficientes de Fourier vienen dados por

c0 =1

2π

∫ π

−π

f (x)dx =1

2π

∫ π

−π

x2dx =π2

3.

cn =1

2π

∫ π

−π

f (x)e−inxdx =1

2π

∫ π

−π

x2e−inxdx =2(−1)n

n2 , n 6= 0.

Por la identidad de Parseval ∑n∈Z

|cn|2 =1

2π

∫ π

−π

|f (x)|2dx.

∑n∈Z

|cn|2 =π4

9+

∑n∈Z−{0}

4n4 =

π4

9

−1∑n=−∞

4n4 +

∞∑n=1

4n4 =

π4

9+ 8

∞∑n=1

1n4 .

12π

∫ π

−π

|f (x)|2dx =1

2π

∫ π

−π

x4dx =π4

5.

Asıπ4

9+ 8

∞∑n=1

1n4 =

π4

5,

∞∑n=1

1n4 =

π4

90.


Desigualdad de WirtingerSi [a, b] es un intervalo acotado y f ∈ C1[a, b] es tal que f (a) = f (b) = 0, entonces∫ b

a|f (x)|2dx ≤

(b− aπ

)2 ∫ b

a|f ′(x)|2dx.

Simplificacion del problema: basta considerar a = 0, b = π.Sino, sea h(x) = π(x−a)

b−a y g = f ◦ h−1.Por el teorema de cambio de variable∫ b

a|f (x)|2dx =

∫ π

0|g(y)|2

(b− aπ

)dy

≤(

b− aπ

)∫ π

0|g′(y)|2dy =

(b− aπ

)∫ π

0|f ′(h−1(y))|2|(h−1)′(y)|2dy

=

(b− aπ

)∫ b

a|f ′(x)|2

(π

b− a

)(b− aπ

)2

dx

=

(b− aπ

)2 ∫ b

a|f ′(x)|2dx.


Desigualdad de Wirtinger

Vemos entonces que∫ π

0|f (x)|2dx ≤

∫ π

0|f ′(x)|2dx.

Sea f la extension impar de f a [−π, π].

Como f ∈ C1[0, π], entonces f , f ′ ∈ L2[−π, π].

Por la identidad de Parseval para f y f ′ (c0(f ) = c0(f ′) = 0)

12π

∫ π

−π|f ′(x)|2dx =

∑n 6=0

|cn(f ′)|2 =∑n 6=0

|incn(f )|2 ≥∑n 6=0

|cn(f )|2 =1

2π

∫ π

−π|f (x)|2dx.

Como f y f ′ son impares, lo anterior implica que∫ π

0|f (x)|2dx ≤

∫ π

0|f ′(x)|2dx.


El teorema de aproximacion de Weierstrass

Teorema (de aproximacion de Weierstrass)Toda funcion continua en un intervalo cerrado y acotado se puede aproximaruniformemente por polinomios.

Formulado por Karl Weierstrass en 1885. Lo demostro usando la transformada deWeierstrass.

Demostracion sencilla usando usando teorıa de Fourier

Teorema (de Fejer)Sea f una funcion 2π-periodica y sea Sn[f ] la n-esima suma parcial de la serie deFourier de f y

σn[f ] =1

n + 1

n∑j=0

Sj(f ).

Entonces lımσn[f ] = f uniformemente en R.


El problema isoperimetrico

Determinar de entre todas las curvas planas cerradas de perımetro fijo la que encierrala mayor area.

Respuesta: la circunferencia. Conocido desde la grecia antigua.

La primera demostracion rigurosa se obtiene a mediados del siglo XIX.

Teorema (Desigualdad isoperimetrica)Si C es una curva cerrada, suave y simple de longitud L, entonces el area Aencerrada por C satisface

4πA ≤ L2.

La igualdad se satisface si, y solo si, C es una circunferencia.

• Ligado con problemas de la fısica: principio de accion estacionaria.

• Hay muchas demostraciones, usando tecnicas varidas.

• En 1902 Hurwitz lo demuestra usando series de Fourier.C. Balderrama, A. Aguilera (UCV) Analisis de Fourier y aplicaciones 11 de mayo 2016 23 / 28


Sea C una curva cerrada, suave y simple con parametrizacion (x(t), y(t)), t ∈ [0, 1].

• Cerrada: x(0) = x(1), y(0) = y(1).

• Suave: x, y ∈ C1[0, 1].

• Simple: (x(t1), y(t1)) 6= (x(t2), y(t2)) si t1, t2 ∈ (0, 1), t1 6= t2.

• Longitud:∫ 1

0 [(x′(t))2 + (y′(t))2]

12 dt.

Usamos la parametrizacion por longitud de arco, por lo que

(x′(t))2 + (y′(t))2 = 1 y L = 1.

Por el Teorema de Green

A =12

∫C(xdy− ydx) =

12

∫ 1

0[x(t)y′(t)− y(t)x′(t)] dt.


El problema isoperimetricoConsideremos las series de Fourier de x e y,

x(t) ∼∑n∈Z

cne2πint, cn =

∫ 1

0x(t)e−2πintdt,

y(t) ∼∑n∈Z

dne2πint, dn =

∫ 1

0y(t)e−2πintdt.

Por Parseval1 = L =

∫ 1

0(x′(t))2dt +

∫ 1

0(y′(t))2dt =

∑n∈Z|2πincn|2 +

∑n∈Z|2πindn|2

= 4π2∑n∈Z

n2[|cn|2 + |dn|2].

A =12

[∫ 1

0x(t)y′(t)dt −

∫ 1

0y(t)x′(t)dt

]=

12

[∑n∈Z

cn(2πindn)−∑n∈Z

dn(2πincn)

]= π

∑n∈Z

in[cndn − cndn

].



Ası,

1π

[1

4π− A

]=∑n∈Z

[n2(|cn|2 + |dn|2)− in(cndn − cndn)

].

Escribiendo cn = αn + iβn y dn = γn + iδn, n ∈ N,

1π

[1

4π− A

]=∑n 6=0

[(nαn + δn)

2 + (nβn − γn)2 + (n2 − 1)(δ2

n + γ2n)].

Esta ultima suma es no negativa, por lo que

4πA ≤ 1 = L.



1π

[1

4π− A

]=∑n 6=0

[(nαn + δn)

2 + (nβn − γn)2 + (n2 − 1)(δ2

n + γ2n)].

Esta suma se anula si

αn = βn = γn = δn = 0, |n| ≥ 2, α±1 = −δ±1, β±1 = γ±1.

Pero

α1 = Re[∫ 1

0x(t)e−2πintdt

]=

∫ 1

0x(t) cos 2πntdt = Re

[∫ 1

0x(t)e2πintdt

]= α−1,

β1 = Im[∫ 1

0x(t)e−2πintdt

]=

∫ 1

0x(t) sen 2πntdt = −Im

[∫ 1

0x(t)e2πintdt

]= −β−1,

γ1 = γ−1, δ1 = −δ−1.



Ası, se satisface la igualdad si

x(t) = c0 + c−1e−2πit + c1e2πit

= c0 + (α1 − iβ1)(cos 2πt − i sen 2πt) + (α1 + iβ1)(cos 2πt + i sen 2πt)

= c0 + 2α1 cos 2πt − 2β1 sen 2πt,

y(t) = d0 + d−1e−2πit + d1e2πit

= d0 + 2β1 cos 2πt + 2α1 sen 2πt.

Tenemos que(x(t)− c0)

2 + (y(t)− d0)2 = 4(α2

1 + β21).

Pero1 = (x′(t))2 + (y′(t))2 = 4(α2

1 + β21)4π

2.

Ası(x(t)− c0)

2 + (y(t)− d0)2 =

14π2 .

Por lo tanto, (x(t), y(t)) parametriza a una circunferencia.


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