e: A História de um NúmeroEli Maor

Diogo

Guilherme

Temas presentes no livro• Origens do logaritmo• Matemática financeira (juros)• Limite (do muito pequeno ao infinitamente grande)• História do cálculo diferencial e integral• Séries• Método das Fluxões de Newton• O cálculo de Leibniz• Características das funções exponenciais• A família Bernoulli• Matemática na Arte e na Natureza• A catenária e as funções hiperbólicas• Números complexos• Os trabalhos de Euler• Álgebra• Filosofia dos números

Sobre o autor

• É um historiador da matemática nascido em 1937 em Israel

• Atualmente leciona na Universidade de Chicago (Loyola University Chicago)

• É autor de vários livros sobre a História da Matemática:• To Infinity and Beyond:

A Cultural History of the Infinite

• The Pythagorean Theorem:A 4,000-Year History

• Trigonometric Delights

Motivação do autor

• O autor conhecia vários livros que retratavam a história do número , mas nenhum que fosse dedicado ao número e.

• É um número que está presente em várias áreas da matemática e importante para os estudos das ciências naturais.

• Crítica à forma com que a Matemática é ensinada nas escolas que desconsideram a história de sua evolução.

Muito importante

• O autor sempre alerta aos leitores que existem discordâncias entre fontes diferentes e que algumas não são muito precisas

• Sempre quando conta apresenta uma “história fantástica” sobre as pessoas, o autor cita a fonte e aconselha os leitores a serem críticos

John Napier (1550-1617): o primeiro “personagem” desta história

• Era escocês e teve uma vida voltada à prática religiosa

• Era protestante, totalmente contra a Igreja Católica, à qual dedicou um livro inteiramente para fazer críticas

• Desenvolveu estudos práticos à agricultura (adubo, sistema hidráulico)

• Participou de projetos militares para defender sua terra natal, mas não se sabe se as máquinas imaginadas foram de fato construídas

O que acontecia nos séculos XVI e XVII?

• Nesta época ocorreu um enorme avanço científico

• O sistema heliocêntrico tinha uma maior aceitação

• Gerhard Mercator viaja o circunavega o mundo e faz um novo mapa novo do mundo

• Galileu estabelece os alicerces da Mecânica

• Kepler fazia seus estudos dos movimentos celestes

O logaritmo

• Os avanços científicos requeriam uma quantidade enorme de cálculos numéricos

• Não se tem certeza das intenções de Napier ao desenvolver os logaritmos

• A ideia era: dado qualquer número positivo, podemos escrevê-los em potências de um número fixo conhecido (a base) e o produto (ou divisão) dos números seria a soma (ou subtração) de seus expoentes.

O que há de novo?

• Para certos números inteiros, este método não era necessário.

• Napier construiu uma tabela que usava este método para vários números, inteiros e decimais

• O problema foi só a base utilizada para fazer seus cálculos.

• A primeira base usada para as tabelas logarítmicas foi 0,9999999

E depois?

• Após a publicação do trabalho sobre os logaritmos, Briggs vai à Escócia à procura de Napier

• Briggs propõe algumas mudanças na ideia dos logaritmos, como o uso da base 10

• Briggs então se prontifica para fazer as tabelas com a base 10

• Construção de aparelhos para calcular logaritmos

• Difusão do logaritmo no meio científico

A primeira aparição do número e

• O número e manifestou-se pela primeira vez relacionado com uma das maiores preocupações da humanidade até os dias atuais:

$$ O dinheiro $$

“Se emprestares dinheiro a alguém do meu povo, a um pobre que vive ao teu lado, não agirás como um agiota. Não lhe deves cobrar juros.” Exôdo 22:25

Mas como assim?

• O número e apareceu primeiramente em problemas que envolviam juros compostos

• Primeiro, o autor apresenta um problema de juros da época dos babilônicos.

• Após explicar a operação de juros compostos, o autor apresenta a expressão que fornece o montante após um período de aplicação

nt

n

rPS

1

• Para uma transação hipotética, onde r = 1, t = 1 ano e P = R$ 1,00, a expressão fica simplesmente:

n

nS

11

• O autor chama a atenção para o caso em que n

• Em seguida, ele faz uma tabela da expressão acima com o valor de n crescendo

Um pouco sobre a história do Cálculo

• O livro retorna aos tempos de Arquimedes para contar um pouco sobre os métodos desenvolvidos para calcular o valor de e o cálculo de áreas

• Segundo o autor, o desconhecimento da álgebra pode ser um dos motivos que não levaram os gregos a desenvolver o cálculo.

• Os gregos tinham dificuldades em aceitar que uma soma infinita convergia para um limite finito (o autor discute um dos paradoxos de Zenão)

• Dando um grande salto, em 1593 aparece o primeiro processo infinito escrito explicitamente como uma fórmula matemática

• Várias destas foram criadas para se calcular o valor de

• Kepler fez alguns estudos que envolviam o uso de elementos indivisíveis (sua 2ª Lei e volume de sólidos)

• Segundo o autor, Kepler deu um grande avanço no desenvolvimento do cálculo

A quadratura da hipérbole entra na história

• Dentro deste contexto, o autor discuti vários temas pertencentes à Matemática

• Explicação do processo de quadratura, desde a origem

• Preocupação com a quadratura da hipérbole

• As cônicas e as representações após o desenvolvimento da Geometria Analítica.

• A vida e obra de Descartes

• Fermat foi uma das pessoas que se preocuparam com a quadratura de curvas cuja equação era y = xn, com n inteiro positivo

• Fermat chegou a um método que resolvia o problema para qualquer função cujo para qualquer valor de n, exceto n = -1

• Em 1647, Grégoire percebeu que a área sob uma hipérbole (y = x-1) tem uma relação com a função logarítmica (sendo esta, talvez, o seu primeiro uso)

• Só faltava ter certeza que a função logarítmica realmente dava a área sob a hipérbole

O grande confronto

Newton Leibniz

X

Método das fluxões de Newton

• O cálculo de Newton foi caracterizado basicamente por um ponto se deslocando sobre um plano cartesiano, ou seja, duas variáveis se relacionando através de uma equação.

• Após estruturar sua ideia de fluxão, ele pensou sobre o processo inverso: encontrar o fluente. Algo como encontrar “aquilo que fluiu” no tempo.

Notação

2

xxyy

yyy

xxx

yy de fluxão

xx de fluxão

Para um intervalo de tempo , ficamos com:

Para a função , obtemos: 2xy

Notação

yexentrefluxão

2

modernoresultadooobtemos0εpara

2

:emchegamosεporladosdoisosdividindo

)()(2

2

)()(2

2

2

2

22

xxy

xxxy

xxxy

ladosdosyocancelarpodemosxycomo

xxxx

Idéia sobre o cálculo de Leibniz

• Idéia mais abstrata que a Newton;

• Pensava no cálculo como o acréscimo de pequenas taxas, os diferenciais.

• Quanto menor forem os diferenciais, mais próxima da curva estará a reta tangente.

Triângulo característico

Notação

2

222

2

2

2

Δx2xΔxΔy

Δx2xΔxxxΔy

:temos,xycomo

Δx)(xΔyy

Δy.aumentaráyΔx,aumentarxSe

xycurvaaDada

Notação

dx

dydechamamosissox

x

y

temosxPara

xxx

y

x

x

x

xx

x

y

xporladosoDividindo

,2

,0

2

)(2

:22

Notação

1

n

n

nxdxdy

xyDado

Generalizando:

Disputa pela patente

• Newton não tinha o costume de publicar seus trabalhos, sempre os mantinha restrito ao seu grupo dentro da universidade

• Leibniz sempre que possível publicava seus trabalhos.

Disputa pela patente

• Segundo o autor, Newton já havia terminado o seu cálculo 10 anos antes de Leibniz publicar.

• Pessoas ligadas a Newton mostraram para Leibniz uma parte de seu trabalho

• Newton sempre acusou Leibniz de plágio e tentou mostrar este ato mesmo após a morte deste.

Consequências

• Grande escassez na matemática e na ciência britânica nos séculos subsequentes, devido ao isolamento causado pela disputa.

• Enquanto isto, matemáticos na Europa continental aderem à notação de Leibniz que foi mais bem difundida.

• Mas mesmo assim, alguns matemáticos e cientistas debatiam sobre o autor “original” do cálculo

Casos de família

• Oito integrantes da família se empenharam no estudo da matemática e da física

• Três deles tiveram grande destaque: Jakob I (Jacques ou James), Johann I (Jean ou John) e Daniel I

• Johann I era irmão de Jakob I; Daniel I era filho de Johann I

• Johann I foi o professor de L’Hospital, o mesmo da polêmica regra de mesmo nome

Os integrantes da família Bernoulli

• Ocorreram várias intrigas entre os familiares, principalmente entre Jakob e Johann

• Uma das disputas entre os irmãos envolvia o problema de ciclóides: “encontrar a curva ao longo da qual uma partícula deslizará sob a força gravitacional no menor tempo possível” (braquistócrona)

• O problema, segundo o autor, teve cinco soluções diferentes, dados por: Newton, Leibniz, L’Hospital e os dois irmãos Bernoulli.

• Porém, a solução de Johann apresentava um erro, corrigindo-o usando um dos resultados obtidos por Jakob, sem dar mencioná-lo, possivelmente piorando assim, a situação entre os dois

• A braquistócrona é um caso particular das ciclóides

• Os Bernoulli eram defensores dos estudos de Leibniz, com quem se correspondiam

• Não bastasse as brigas com o irmão, Johann teve um péssimo relacionamento com o filho Daniel, por este ter um destaque maior

• É creditado a Daniel a relação entre pressão e velocidade de um fluido em movimento

Spira Mirabilis: A espiral logarítmica

• Dentre os estudos de Jakob, encontramos o fascínio dele pela espiral logarítmica

• O autor apresenta vários detalhes desta curva: suas propriedades, particularidades, matemáticos que a estudaram

• Imagine quatro insetos posicionados nos cantos de um quadrado. Ao tocar um apito, cada inseto começa a se mover em direção ao seu vizinho. Quais são as

trajetórias dos insetos e onde eles irão se encontrar? 

• A trajetória das quatro é uma espiral logarítmica.• Além desta situação, o autor comenta sobre outras aplicações da função

Um encontro fictício

• Dentro do contexto da espiral logarítmica, Eli Maor cria uma pequena história, contando como seria um encontro entre Johann Bernoulli e Johann Sebastian Bach

• Sabastian havia feito estudos referentes às frequências das notas musicais da escala maior e percebeu que havia algumas incoerências

• Ele então propõe uma escala temperada composta por 12 notas no lugar da escala de 7 notas.

• Após uma breve conversa entre os dois, eles concluem a escala musical temperada sendo representada por uma espiral logarítmica

Além da espiral: a catenária

• Jakob Bernoulli propõe em 1690, um problema cuja solução é uma catenária: “encontrar a curva formada por um fio pendente, livremente suspenso a partir de dois pontos fixos”

• Apareceram três soluções corretas: Huygens, Leibniz e Johann Bernoulli.

• As tensões entre os irmãos pioraram e um tempo depois Jakob apresenta uma solução para espessuras variáveis

• Na época da resolução do problema, o número e ainda não possuía um símbolo

• Apenas em 1757, Riccati apresenta uma notação para a catenária, assim como para uma função semelhante

2

xx eeChx

2

xx eeShx

Parecidas mas nem tanto

• Riccati inicia um estudo das funções hiperbólicas e percebe que há muitas semelhanças destas com as funções trigonométricas

12

02

cos

00

10cos

)(

cos)cos(

1cos 22

sen

sen

senxxsen

xx

xsenx

Funções trigonométricas Funções hiperbólicas

301,22

509,22

cosh

00

10cosh

)(

cosh)cosh(

1cosh 22

senh

senh

senhxxsenh

xx

xsenhx

Funções trigonométricas

cxsenx

dx

xsenxdx

d

senxxdx

d

xsenyysenxyxsen

senxsenyyxyxx

senxx

1

21

cos

cos

coscos)(

coscos)cos(cos

tan

Funções hiperbólicas

cxsenhx

dx

xsenhxdx

d

senhxxdx

d

xsenhyysenhxyxsenh

senhxsenhyyxyxx

senhxx

1

21

cosh

cosh

coshcosh)(

coshcosh)cosh(cosh

tanh

• As funções hiperbólicas não apresentam periodicidade como as funções trigonométricas

• Os parâmetros x e y não podem ser interpretados como ângulos quando nos referimos às funções hiperbólicas, mas pode representar o dobro da área de um setor hiperbólico

• O autor apresenta uma notação diferente para representar

Um amigo dos Bernoulli

• A família de Leonhard Euler (nascido em 1707)possuía um laço com os Bernoulli.

• O pai de Euler estudou matemática com Jakob

• Euler teve aulas com Johann e se tornou amigo de seus dois filhos, Daniel e Nicolaus.

Alguns trabalhos de Euler

• Euler desenvolveu estudos sobre a teoria dos números (matemática pura) e sobre a mecânica analítica (matemática aplicada)

• Fez um trabalho sobre funções, no qual introduziu sua definição e sua notação, usada atualmente

• Possivelmente foi o primeiro a usar a letra “e” para se referir ao número 2,71828...

• Representou a função exponencial como uma série de potências

• Segundo o autor, Euler começou a “brincar” com as relações matemáticas, fazendo alguns procedimentos não muito corretos

• Primeiramente substitui x na função exponencial por ix, obtendo uma função exponencial imaginária

• Escrevendo-a em séries de potências e rearranjando os termos, chegou à relação:

• A demonstração formal desta relação só ocorreu tempos depois

isenxxe ix cos

No campo dos números complexos

• O autor faz um breve histórico referente aos problemas que envolviam raiz quadrada de um número negativo

• A partir de então ele apresenta vários estudos que envolvem o número i:

representações polares; logaritmo de números negativos [ln(-1)] e de números imaginários [ln(i)] potências imaginárias de números imaginários [ii] funções complexas

Por fim...

O autor faz uma discussão sobre a filosofia e um histórico dos números, discutindo a visão que alguns povos e matemáticos tiveram sobre os números, assim como a “natureza” dos mesmos, focando-se mais no número e, apresentando suas particularidades e importância à ciência e à matemática