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ECONOMETRIA
Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.
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Cap. 11 – Heterocedasticidade: o que
acontece se a variância do erro não é
constante?
Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição.
Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006
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1. Qual é a natureza da heterocedasticidade?
2. A multicolinearidade é realmente um problema?
3. Quais são as suas consequências?
4. Como é possível detectá-las?
5. Quais são as medidas corretivas?
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A natureza da Heterocedasticidade
• Homo = igual; cedasticidade = espalhamento
• 𝐸 𝑢𝑖2 = 𝜎2, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑐𝑒𝑑á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜
• 𝐸 𝑢𝑖2 = 𝜎𝑖
2, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 ℎ𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜
• Exemplo: poupança como função da renda – pessoas
com mais renda poupam mais, mas, com maior
variabilidade
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Razões para ocorrência
1. Modelos de aprendizagem pelo erro: no. de defeitos,
no. de erros em faturas
2. Exemplo da renda e política de dividendos: pessoas
com maior renda e empresas com maior lucro terão
maior discricionariedade na definição de poupança e
política de dividendos
3. Problemas na especificação do modelo (violação da
premissa 9) como omissão de variáveis podem parecer
heterocedasticidade. Ex.: na função demanda não
incluir o preço dos produtos concorrentes – os
resíduos podem dar a impressão de que a variância
não é constante
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Razões para ocorrência
4. Dados discrepantes ou outliers:
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Razões para ocorrência
5. Assimetria na distribuição dos regressores. Ex.: renda,
riqueza, escolaridade
Mais comum em dados em corte transversal.
Variedade de tamanhos de empresas por exemplo podem
causar heterocedasticidade.
Analisar exemplo da tabela 11.1
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Estimação dos MQO na presença de
heterocedasticidade
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
𝑣𝑎𝑟 𝛽2 =𝜎2
𝑥𝑖2 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑐𝑒𝑑á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜
𝑣𝑎𝑟 𝛽2 = 𝑥𝑖
2 𝜎𝑖2
𝑥𝑖2 2 ℎ𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜
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Estimação dos MQO na presença de
heterocedasticidade
• 𝛽2
– é ainda um estimador linear;
– é não tendencioso;
– é consistente ( 𝛽2 converge para 𝛽2 à medida que o tamanho
da amostra aumenta);
– NÃO é eficiente (não é o estimador com variância mínima na
classe dos estimadores não tendenciosos);
– A variância mínima é diferente de 𝑥𝑖
2𝜎𝑖2
𝑥𝑖2 2
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O método dos mínimos quadrados
generalizados (MQG)
• Observar na tabela 11.1 como σ aumenta com o
aumento do no. de empregados.
• A questão é: como dar maior peso às observações com
menor variação?
• É o que faz o MQG
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
Para simplificar escreveremos:
𝑌𝑖 = 𝛽1𝑋0𝑖 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
Onde 𝑋0𝑖 = 1
Supondo 𝜎𝑖2 conhecidas:
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O método dos mínimos quadrados
generalizados (MQG)
Supondo 𝜎𝑖2 conhecidas:
𝑌𝑖
𝜎𝑖= 𝛽1
𝑋0𝑖
𝜎𝑖+ 𝛽1
𝑋𝑖
𝜎𝑖+ 𝛽1
𝑢𝑖
𝜎𝑖
𝑌𝑖∗ = 𝛽1
∗𝑋0𝑖∗ + 𝛽2
∗𝑋𝑖∗ + 𝑢𝑖
∗
𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑖∗ = 𝐸 𝑢𝑖
∗ 2 = 𝐸𝑢𝑖
𝜎𝑖
2
=1
𝜎𝑖2 𝐸(𝑢𝑖
2) já que 𝜎𝑖2 é conhecido
=1
𝜎𝑖2 (𝜎𝑖
2) já que 𝐸 𝑢𝑖2 = 𝜎𝑖
2
= 1 que é uma constante, logo, homocedástico
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O método dos mínimos quadrados
generalizados (MQG)
• MQO sobre o modelo transformado gera 𝛽1∗ e 𝛽2
∗ que
são BLUE.
• MQG = MQO sobre variáveis transformadas de modo a
satisfazer as premissas dos mínimos quadrados padrão.
• Definindo 𝑤𝑖 =1
𝜎𝑖2
• 𝑣𝑎𝑟 𝛽2∗ =
𝑤𝑖
𝑤𝑖 𝑤𝑖𝑋𝑖2 − 𝑤𝑖𝑋𝑖
2
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O método dos mínimos quadrados
generalizados (MQG)
• A diferença entre MQO e MQG
• MQO => 𝑢𝑖2 = 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖
2
• MQG => 𝑢𝑖
𝜎𝑖
2=
𝑌𝑖
𝜎𝑖− 𝛽1
∗ 𝑋0𝑖
𝜎𝑖− 𝛽2
∗ 𝑋𝑖
𝜎𝑖
2
𝑤𝑖 𝑢𝑖2 = 𝑤𝑖 𝑌𝑖 − 𝛽1
∗𝑋0𝑖 − 𝛽2∗𝑋𝑖
2
O peso atribuído a cada observação é inversamente
a seu 𝜎𝑖. Estaremos dando maior peso às observações
que se concentram em torno de sua média.
Como esse SQR é uma ponderação por 𝜎𝑖, e esse SQR será minimizado para obter 𝛽1∗ e
𝛽2∗, esse método é um caso especial do MQG que é conhecido como MQP = Mínimos
Quadrados Ponderados
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Consequências do uso de MQO na presença de
heterocedasticidade
• Se ignorarmos a heterocedasticidade e estimarmos 𝛽2
usando MQO e 𝑣𝑎𝑟 𝛽2 =𝜎2
𝑥𝑖2 essa variância poderá
estar super ou subestimada porque quando há
heterocedasticidade 𝑢𝑖
2
𝑛−2não é mais um estimador não
tendencioso de 𝜎2.
• 𝛽2 não é mais eficiente, ou seja, não tem variância
mínima, logo, os intervalos de confiança serão mais
amplos, facilitando a não rejeição de H0.
• Os testes t e F não serão mais confiáveis.
• Solução: usar MQGVer quadro na pag. 322 com os erros-padrão das 3 abordagens.
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Detecção da heterocedasticidade
• Em ciências sociais há pouco controle sobre
experimentos
• Em geral temos um Yi para um Xi
• Não é possível obter a variância do erro em Xi se só há
uma observação para aquele Xi
• Como detectar?
• Métodos informais:
– Natureza do problema: (i) exemplo da poupança e renda, (ii)
em dados de corte transversal se as unidades são muito
heterogêneas
– Método gráfico: (i) 𝑢𝑖2 x 𝑌𝑖; (ii) 𝑢𝑖
2 x Xi
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Métodos formais de detecção
• Teste de Park
𝜎𝑖2 = 𝜎2𝑋1
𝛽𝑒𝑣𝑖
𝑙𝑛𝜎𝑖2 = 𝑙𝑛𝜎2 + 𝛽𝑙𝑛𝑋𝑖 + 𝑣𝑖
𝑙𝑛 𝑢𝑖2 = 𝛼 + 𝛽𝑙𝑛𝑋𝑖 + 𝑣𝑖
– Se 𝛽 for significativo há heterocedasticidade
– O teste é um procedimento em duas etapas: (i) estima-se a
regressão por MQO sem levar em conta a heterocedasticidade
e obtemos os 𝑢𝑖2, e em (ii) estima-se a regressão do teste.
– Crítica: o termo de erro 𝑣𝑖 pode não atender aos pressupostos
de MQO e ser ele próprio heterocedástico. O método pode ser
estritamente exploratório.
Ver arquivo Tabela11-1_Parker e Glejser.txt
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Métodos formais de detecção
• Teste de Glejser
– Sugere fazer regressão dos valores absolutos de 𝑢𝑖 contra a
variável X.
– Sugere vários modelos.
– Vamos testar: 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑣𝑖
– É um teste que deve ser aplicado a grandes amostras.
Ver arquivo Tabela11-1_Parker e Glejser.txt
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Métodos formais de detecção
• Teste de Breusch – Pagan – Godfrey
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 + 𝑢𝑖
Suponha que a variância do erro seja descrita como:
𝜎𝑖2 = 𝑓(𝛼1 + 𝛼2𝑍2𝑖 + ⋯ + 𝛼𝑚𝑍𝑚𝑖)
Os Xs podem servir como Zs.
O teste BPG testa se 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑚 = 0
Se isso ocorre 𝜎𝑖2 = 𝛼1 e portanto homocedástico
É um teste para grandes amostras
Sensível à premissa de normalidade de 𝑢𝑖 se a amostra é
pequenaVer arquivo testeheteroc2_BPG.txt
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Métodos formais de detecção
• Teste de White
– Não depende da premissa de normalidade
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖
1. Estimar a regressão e obter os resíduos
2. 𝑢𝑖2 = 𝛼1 + 𝛼2𝑋2𝑖 + 𝛼3𝑋3𝑖 + 𝛼4𝑋2𝑖
2 + 𝛼5𝑋3𝑖2 + 𝛼6𝑋2𝑖𝑋3𝑖 +
𝑣𝑖
Usar em 2 sempre os Xs, os mesmos ao quadrado e os produtos cruzados
3. Obter o R2 dessa regressão
4. Sob H0: homocedasticidade
𝑛. 𝑅2~ χ𝑔.𝑙.2
(assintoticamente)
g.l. = no. de regressores (sem a constante)
Ver arquivo testesheteroc3_white.txt
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Métodos formais de detecção
• Teste de White
5. Se 𝑛. 𝑅2 > χ𝑐𝑟𝑖𝑡,𝛼2 conclui-se que há heterocedasticidade
– Se o modelo tem muitos regressores a inclusão dos mesmos,
seus termos ao quadrado e os cruzados podem consumir
muitos g.l.
Ver arquivo testesheteroc3_white.txt
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Providências corretivas
• Quando 𝜎𝑖2 é conhecido: usar o método dos mínimos
quadrados ponderados
• Quando 𝜎𝑖2 não é conhecido: estimar os modelos com
erros robustos a heterocedasticidade de White
Obs.: ver premissas plausíveis sobre o padrão da heterocedasticidade nas
páginas 337 a 341