E X E R C Í C I O S

1. Na figura abaixo estão representadas os vetores , e A B C . Determine, em termos de vetores unitários,

e como um módulo, direção e sentido os vetores resultantes R : Dados módulo dos vetores: A = 9 cm;

B = 8 cm; C = 6 cm

a) A B

b) A C

c) B C

d) A B C

RESPOSTA:

a). ˆ ˆR = (0,27i +7,25j)cm; 7,25cm1

b). ˆ ˆR = (4,79i - 0,7j)cm; 4,84cm2

c). ˆ ˆR = (-10,52i - 2,46j)cm; 10,80cm3

d). ˆ ˆR = (-2,73i +2,04j)cm; 3,41cm4

y

x

87,87º

R1

y

x

8,3º

2R

y

36,77º x

4R

y

13,16º

x

3R

2. Corpos neutros podem ser atraídos por uma barra eletrizada. Como isso é possível?

R: Devido ao fenômeno de indução ou polarização

3. (a) Uma barra de vidro positivamente carregada atrai um objeto suspenso por um fio não condutor.

Podemos concluir que o objeto está com carga negativa? (b) Uma barra de vidro positivamente

carregada repele um objeto também suspenso por um fio não condutor. Podemos concluir que esse

objeto está positivamente carregado?

R:(a) não, pois ele pode estar neutro.

R:(b) sim, pois só ocorre a repulsão em corpos com cargas de sinais iguais.

4. Experiências eletrostáticas simples, como atrair pedaços de papel com barras eletrizadas, não

funcionam tão bem em dias chuvosos (alta umidade relativa do ar) como nos dias secos (baixa umidade do ar). Por quê?

R:Quanto maior a umidade mais condutor se torna o ar, consequentemente o corpo perde

cargas elétricas rapidamente para o meio externo.

5. Caminhões de transporte de combustível às vezes são dotados de corrente penduradas na extremidade

traseira, que se arrastam pelo solo. Qual o motivo deste procedimento?

R:Fazer o aterramento evitando o armazenamento de carga elétrica no caminhão.

6. Um elétron (carga = - e) gira ao redor de um núcleo de hélio (carga = + 2 e) em um átomo de hélio. A força elétrica que o elétron exerce sobre o núcleo é maior, menor ou igual à força elétrica que o

núcleo exerce sobre o elétron?

R:A força elétrica terá o mesmo valor, pois ela depende do produto entre as cargas e não de

apenas uma delas.

7. O esquema abaixo mostra três cargas puntiformes fixas, no vácuo. Determine o módulo, a direção e o

sentido da força elétrica resultante: (a) Que atua na carga Q2 (b) Que atua na carga Q3.

Q1 =36C Q2= 16C Q3= 2C

2m 4 m horizontal

2a) Inicialmente devemos repersentar as duas forças que atuam em .

Como as duas forças têm a mesma direção e sentidos contrários a força

resultante tem um valor que é dado pela diferença entre as duas

q

forças e o sentido no sentido de maior valor.

Todas as grandezas devem estar no S.I.

9 6 6

1 2

12 0 2 2

12

9 10 36 10 16 101,296

2

q qF K N

d

9 6 63 2

32 0 2 2

32

9 10 2 10 16 100,018

4

q qF K N

d

12 32 1,296 0,018 1,278

é a força resultante na direção horizontal e sentido para a direita.

R

R

F F F N

F

b) A resolução é feia de maneira semelhante ao item (a).Como as duas forças têm a mesma direção e sentido,

a força resultante tem um valor que é dado pela soma entre as duas forças. Todas as grandezas devem estar no S.I.

9 6 61 3

13 0 2 2

13

9 10 36 10 2 100,018

6

q qF K N

d

9 6 62 3

23 0 2 2

23

9 10 16 10 2 100,018

4

q qF K N

d

13 23 0,018 0,018 0,036

é a força resultante na direção horizontal e sentido para a direita.

R

R

F F F N

F

8. A figura abaixo mostra duas cargas, q1 e q2, mantidas a uma distância fixa d uma da outra. (a) Qual é

o módulo da Força eletrostática que atua sobre q1? Suponha q1 = q2 = 20,0 C e d = 1,50 m. (b) Uma

terceira carga q3 = 20,0 C é trazida e colocada na posição mostrada na Fig.01b. Qual é agora o módulo da força eletrostática que atua sobre q1?

1

2

26

91 20 2 2

1,5

20

20

)

20 108,99 10

1,5

1,6

d m

q C

q C

a

q qF K

r

F N

b) Como a distância entre a carga q3 e a carga q1 é a mesma do item a, e o valor da carga é

igual, temos que o módulo da força individual de cada carga é o mesmo, no entanto temos agora duas

forças atuando na carga q1 e, portanto, a força resultante será:

2 2 2 2

31 21 31 212 cos60 1,6 1,6 2 1,6 1,6 cos60

2,77

o o

R

R

F F F F F

F N

9. Duas esferas condutoras idênticas e isoladas, 1 e 2, possuem quantidades iguais de carga e estão

separadas por uma distância grande comparada com seus diâmetros (figura a). A força eletrostática

que atua sobre a esfera 2 devida à esfera 1 é F . Suponha agora que uma terceira esfera idêntica 3, dotada de um suporte isolante e inicialmente descarregada, toque primeiro a esfera 1 (figura b),

depois a esfera 2 (figura c) e, em seguida, seja afastada (figura d). Em termos de F , qual a força

eletrostática 'F que atua agora sobre a esfera 2? R:

'F ’ = 3 F /8

2

1 2

0 02 2Inicialmente temos que:

devemos determinar a carga final de cada esfera após os contatos. Como as esferas são idênticas,

cada esfera ficará com metade da carga total em cada contato.

ap

q q qF K K

d d

' '

1 3

' ''

2 3

' ' 21 2'

0 0 02 2 2

'

ós o primeiro contato ( 1 e 3 ) temos que:

2

após o segundo contato ( 2 e 3 ) temos que:

32

2 4

portanto:

332 4

8

3

8

F

qq q

qq

qq q

q qq q q

F K K Kd d d

F F

10. Três partículas carregadas, localizadas sobre uma linha reta, estão separadas pela distância d, como

mostra a figura abaixo. As cargas q1 e q2 são mantidas fixas. A carga q3, que é livre para mover-se,

encontra-se em equilíbrio (nenhuma força eletrostática líquida atua sobre ela). Determine q1 em

termos de q2.

32 31

3 2 3 10 02 2

3 13 2 1 2

0

04

44

F F

q q q qK K

d d

q qq q q q

Como as forças possuem sentidos opostos, as cargas também devem possuir sinais opostos.

11. As cargas q1 e q2 se encontram sobre o eixo dos x, nos pontos x = -a e x =+a, respectivamente. (a)

qual deve ser a relação entre q1 e q2 para que a força eletrostática líquida sobre a carga + Q, colocada

no ponto x = +a/2, seja nula? (b) Repita o item (a) com a carga +Q colocada no ponto x =+3a/2.

1 2

1 20 02 2

1 2

)

0

3

2 2

9

R

Q Q

a

F

F F

q Q q QK K

a a

q q

1 2

1 20 02 2

1 2

1 2

)

0

3

2 2

2

,

5

25

R

Q Q

Como as forças possuem sentidos opostos

as cargas também devem

po

b

F

F F

q Q q QK K

a aa

ssuir sinais opos s

q

to

q

q q

12. Na figura abaixo, quais são os componentes horizontal e vertical da força eletrostática resultante que

atua sobre a carga no vértice inferior esquerdo do quadrado, sendo q = 1,0 x 10-7 C e a = 5,0 cm?

2

7 791 4

1 0 22 2

793 4

3 0 2

2 2 diagonal do quadrado 7,07

inicialmente devemos representar as três forças que atuam na carga considerada.

1,0 10 2 108,99 10 0,072

5 10

2,0 10 28,99 10

d a a d cm

q qF K N

a

q qF K

a

7

22

7 794 2

2 0 222

100,144

5 10

2,0 10 1 108,99 10 0,036

5 10 2

Nx

q qF K N

d

Temos que decompor a força 2 em suas componentes x e y.

2 2 2 2cos45 0,036 0,707 0,025 45o o

x yF F N F F sen

Como temos agora quatro forças, somamos as forças nas mesmas direções e depois usamos o

teorema de Pitágoras para achar a resultante, com isso, temos

2 3

1 2

2 2 2 2

0,025 0,144 0,169

0,072 0,025 0,047

se quisermos encontrar o módulo da força resultante, temos:

0,169 0,047

0,239

h x

v y

R h v

R

F F F N

F F F N

F F F

F N

13. Duas cargas puntiformes livres +q e +4q estão a uma distância L uma da outra. Uma terceira carga e

colocada de tal modo que todo o sistema fica em equilíbrio. Determine a posição, o módulo e sinal da

terceira carga.

3

A única maneira de todo o sistema ficar em equilíbrio, ou seja, cada uma das cargas estar sob ação

de duas forças de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos é se uma carga negativa

for colocad

q

1 2a entre as cargas e .q q

3

1 3 2 3 3 313 23 0 0 0 02 22 2

1

2 1 3 1 3

21 31 0 0 0 02 2 2 2

Usando a condição de equilíbrio na carga temos que:

4

3

usando a condição de equilíbrio na carga temos que:

4

q

q q q q qq qq LF F K K K K x

x xL x L x

q

q q q q q qqqF F K K K K

L x L x

3

3 3

3 1 2 1

4

9

4como a carga é negativa, temos

9

A carga deve ser colocada entre e , a uma distância de 3

qq

qq q

Lq q q q

14. Uma carga Q é dividida em duas partes q e (Q – q), que são, a seguir, afastadas por certa distância entre si. Qual deve ser o valor de q em termos de Q, de modo que a repulsão eletrostática entre as

duas cargas seja máxima.

2

0 02 2

0 2

Quando a força for máxima a sua derivada em relação a carga será nula.

20 2 0

2

Como a derivada segunda da força em relação à carga é negativa, podemos

afirmar

qQ qq Q qF K K

r r

q

Q qdF QK Q q q

dq r

q

que a força será máxima quando dividirmos a carga total ao meio.

15. Duas pequenas bolas condutoras idênticas, de massa m e carga q, estão suspensas por fios não

condutores de comprimento L como mostra a figura. Suponha tão pequeno que tan possa ser

substituída por sen com erro desprezível. (a) Mostre que, para o equilíbrio,

,2

3/1

0

2

mg

Lqx

Onde x é a separação entre as bolas. (b) Sendo L = 120 cm, m = 10 g, e x = 5,0 cm. Qual o valor de q?

a)

Inicialmente devemos representar as forças que atuam em uma das cargas.

Como cada bola está em equilíbrio a resultante das forças em cada eixo e será nula.

0considerando:

0 cos

x

y

x y

R Tsen F

R T mg

mas

Ftg

mg

tg sen F mgsen

2

0

1

2 2 2 33

2

0 0 0

mas

/ 2 1 e

2 4

2

4 2 4 2

tg sen F mgsen

x x qqsen F

L L x

q x q L q Lmg x x

x L mg mg

1

2 3

0

8

b)

substituindo os valores em 2

temos: 2,4 10

q Lx

mg

q C

16. Um nêutron consiste em um quark “up” de carga +2e/3 e dois quarks “down” cada um tendo carga

de – e/3. Se os quarks down estiverem a uma distância de 2,6 x 10-15 m um do outro, dentro do

nêutron, qual será o módulo da força eletrostática entre eles?

15

9

1 20 22 15

29 19

215

2(1)

3

1(2)

3

2,6 10

1 18,99 10

3 3

2,6 10

10 2 1,6 103,79

2,6 10

q e

e

r m

e eq q

F Kr

F F N

17. Qual deve ser a distância entre dois prótons pra que o módulo da força eletrostática atuando sobre

qualquer um deles seja igual ao seu peso na superfície da Terra? Massa do próton = 1,67 x 10-27 kg.

27

29 19

261 20 2 26

1,67 10 9,78

8,99 10 1,6 101,63 10

1,63 10

0,12 12

F P mg

q qK r

r

r m r cm

18. As linhas de campo elétrico nunca se cruzam. Por quê?

R: se as linhas de força pudessem se cruzar, nos pontos de cruzamento teríamos duas tangentes

diferentes, uma para cada linha que se cruza. Em outras palavras, em tal ponto do espaço teríamos

duas direções diferentes para o mesmo campo elétrico, o que é absurdo.

19. Duas cargas puntiformes de módulos e sinais desconhecidos estão separadas por uma distância d. O

campo elétrico é nulo num ponto do segmento que une as cargas. O que se pode concluir sobre essas

cargas?

R: Para que o campo seja nulo em um ponto entre as cargas, as mesmas devem ser de mesmo

sinal.

20. Duas cargas puntiformes de sinais e módulos desconhecidos estão fixas sobre um eixo a uma

distância L uma da outra. Podemos ter E = 0 para pontos fora do eixo (excluindo o infinito)?

Explique.

R: Não, uma vez que em nenhum ponto os vetores campo elétricos irão se cancelar. Fora do eixo, os

campos gerados elas duas cargas terão direções diferentes. Dois vetores com direções diferentes, mas

podem ter a resultante nula.

21. Duas cargas, uma positiva e outra negativa, de módulos iguais, estão situadas sobre uma linha reta.

Qual a direção e o sentido do campo elétrico criado por essas cargas em pontos sobre a linha, e que

estejam (a) entre as cargas, (b) fora da região entre as cargas e próximos da carga positiva, e (c) fora

da região entre as cargas e próximos da carga negativa? (d) Qual a direção e o sentido de E para

pontos fora da linha e no plano mediano das cargas?

a) Os campos gerados pelas duas cargas estarão no sentido da carga positiva para a negativa,

portanto, o sentido do campo resultante será da carga positiva para a negativa. A direção é a

mesma da linha.

b) Os campos gerados pelas duas cargas terão sentidos opostos, sendo que o valor do campo

gerado pela carga positiva será maior que o valor da carga negativa neste caso. Portanto, o

sentido do campo resultante será o mesmo do campo gerado pela carga positiva, ou seja, de

afastamento da carga positiva. A direção é a mesma da linha.

c) Com uma análise semelhante ao item (b) podemos perceber que o campo resultante terá um

sentido de aproximação da carga negativa. A direção é a mesma da linha.

d) Basta representarmos os campos gerados pelas duas cargas num ponto fora da linha e no plano

mediano das cargas para percebermos que o campo resultante será paralelo a linha e terá

sentido da carga positiva para a carga negativa. Observe que os dois vetores tem o mesmo valor

para estes pontos, portanto, devem ser representados por setas com o mesmo tamanho.

22. Qual é o modulo de uma carga puntiforme cujo campo elétrico, a uma distância de 50 cm, tem

módulo igual a 2,0 N/C?

02 2

222

9

0

11

?

50

2,0 /

1

4

2 50 10

8,99 10

5,6 10

o

q

r cm

E N C

q qE K

r r

Erq

K

q C

23. Seja E o módulo do campo elétrico, gerado por uma carga puntiforme Q, e r a distância da carga até

um ponto. Represente os seguintes gráficos:

a) E Q ; b) E r; c) E (1 / r2).

24. O esquema abaixo mostra duas cargas fixas, no vácuo. Determine o módulo, a direção e o sentido do

campo elétrico resultante: R: a) zero; b) 4,5 x 108 N/C, na direção horizontal e sentido para a direita.

a) No ponto A.

b) No ponto B.

Q1 = 64 .10- 6 C A Q2 = 64 . 10- 6 C B

2 cm 2 cm 4 cm horizontal

6 61 2 9

1 2 0 2 22 2 2 21 2

64 10 64 10) 8,99 10

2,0 10 2,0 10

0 /

T

T

q qa E E E K

r r

E N C

6 61 2 9

1 2 1 2 0 2 22 2 2 21 2

8

64 10 64 10) 8,99 10

8,0 10 4,0 10

4,5 10 / , na direção horizontal e sentido para a direita

T T

T

q qb E E E E E E K

r r

E N C

25. Duas cargas puntiformes de módulos Q1 = 2,0 x 10-7 C e Q2 = 8,5 x 10-8 C estão separadas por uma

distância de 12 cm. (a) Qual o módulo do campo elétrico que cada uma cria no local onde está a

outra? (b) Qual o módulo da força que atua sobre cada uma delas?

7

1

8

2

79 31 1

1 0 22 2 2

89 32 2

2 0 22 2 2

1 1 2 2 1 2

3 8 3

2 10

8,5 10

12

)

1 2 108,99 10 125 10 /

4 12 10

1 8,5 108,99 10 53,1 10 /

4 12 10

)

125 10 8,5 10 10,6 10

o

o

q C

q C

r cm

a

q qE K N C

r r

q qE K N C

r r

b

F E q E q F F

F N

26. Duas cargas iguais, mas de sinais postos (de módulo 2,010-7 C) são mantidas a uma distância de 15

cm uma da outra. (a) Quais são o módulo, a direção e o sentido de E no ponto situado a meia

distância entre as cargas? (b) Qual o módulo, a direção e o sentido da força que atuaria sobre um

elétron colocado nesse ponto?

7

1

7

2

2 10

2 10

15

q C

q C

r cm

1 2

1 2 0 2 2

1 2

7 79

2 22 2

3

)

2 10 2 108,99 10

7,5 10 7,5 10

640 10

/

T

T

T

a

q qE E E K

r r

E

E N

na direção da carga ne a iva

C

g t

3 19

13

)

640 10 1,6 10

1,02

4 10

T

na direção

b

F E q

F

na carga pos iv

N

it a

27. Na figura abaixo, localize o ponto (ou os pontos) onde o campo elétrico resultante é nulo. (b) Esboce,

qualitativamente, as linhas do campo elétrico.

1

2

2 1 1

1 2

1 2 1 2

22 2 2

1 2

2

5

0 próximo de q

5 2

5 2 2

5 2 2

5 2 2

21,7

5 2

q q

q q

r a

q q E

E E

q q q q q q

r r x x a xx a

x q x q a q

x q q a q

x q q a q

x a a

28. Na figura abaixo, as cargas +1,0q e –2,0q estão fixas a uma distância d uma da outra. (a) Determine

E nos pontos A, B e C. (b) Esboce as linhas do campo elétrico.

1 2

1 2 1 2 0 02 2 2 2

1 2

0 0

2 2

2)

4

.1 1

1 2 2

A A

T para a esqu

q q q qa E E E E E E K K

r r d d

K q K qE r

de da

d

1 2

1 2 1 2 0 0 2 22 2

1 2

0 0

2 2

2)

2 2

41 2 12 .

B B

B

q q q qb E E E E E E K K

r r d d

K q K qE

d dpara a direita

c) 02

7

4C

K qE

d , para a esquerda.

29. Duas cargas q1 = 2,1x10-8 C e q2 = -4 q1 estão fixas a uma distância de 50 cm uma da outra.

Determine, ao longo da linha reta que passa pelas duas cargas, o ponto onde o campo elétrico é zero.

Para que o campo elétrico resultante seja nulo, os campos gerados pelas duas cargas devem ter

mesma direção, mesmo módulo e sentidos opostos, portanto o ponto deve estar fora do segmento que

une as cargas e mais próximo da carga de menor módulo ( q1 ).

1 2

8 80 1 0 2

22 2 2

1 2

2,1 10 8,4 10

0,5

0,5

E E

K q K q

d d x x

x m

O campo elétrico resultante será nulo num ponto fora do segmento que une as cargas a uma

distância de 0,5 m de q1 e a 1,0 m de q2.

30. Na figura abaixo, qual o campo elétrico no ponto P criado pelas quatro cargas mostradas? Onde q1 =

+5q, q2 = +5q, q3 = +3q e q4 = -12q,

Inicialmente devemos representar no ponto P os campos gerados para cada uma das quatro cargas.

Em seguida determinamos o valor de cada campo neste ponto.

01 2 2

03 2

0 04 2 2

5

3

12 32

K qE E

d

K qE

d

K q K qE

dd

Os campos gerados pelas cargas q1 e q2 têm a mesma direção, mesmo módulo e sentidos opostos,

portanto se anulam. O mesmo acontece com os campos gerados por q3 e q4, portanto o campo

resultante no ponto P é nulo.

31. Determine o módulo do campo elétrico no ponto P da figura abaixo. Adote 66,00 10 ma

Por simetria vemos que as contribuições das duas cargas q1 = q2 = +e se cancelam, então calculamos

apenas a contribuição de q3 = +2e. A magnitude do campo elétrico é:

2 220 0 0

1 2 1 2 1 4| |

4 4 4( / 2)T

e e eE

r aa

Este campo aponta em 45°, em relação ao eixo x.

32. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no centro do quadrado da figura abaixo,

sabendo que q1 =+1,010-8 C, q2 =-2,010-8 C, q3 =+2,010-8 C e q4 = -1,010-8 C e a = 5,0 cm.

2 4 1 3

Adotamos o centro do quadrado como sendo o ponto zero de nosso sistema cartesiano.

pelas cargas e passa o eixo e pelas cargas e passa o eixo .

Com isso a distância de cada carga até o pon

q q x q q y

to de interesse é . com isso:2

ad

9 84

0 02 2 2 2

9 84

0 02 2 2 2

2 2

2 9 10 1 107,19 10 /

/ 2 / 2 / 2 0,05 / 2

de mesma forma temos

2 9 10 1 107,19 10 /

/ 2 / 2 / 2 0,05 / 2

O módulo do campo é dado por:

7,1

x

y

x y

q q qE K K N C

a a a

q q qE K K N C

a a a

E E E

2 24 4 5

1 1

9 10 7,19 10 1,02 10 /

o ângulo feito com o eixo é:

tan tan 1 45y o

x

N C

x

E

E

33. Um elétron é liberado a partir do repouso num campo elétrico uniforme de módulo 2,00 x 102 N/C. Calcule a aceleração do elétron. (Ignore a gravidade.) me = 9,11 x 10 -31 kg.

31

19

19 17

1713 2

31

9,11 10

1,6 10

200 /

200 1,6 10 3,2 10

3,2 103,5 10 /

9,11 10

e

e

m kg

q C

E N C

F Eq N

FF ma a m s

m

34. Ar úmido sofre ruptura elétrica (suas moléculas tornam-se ionizadas) num campo elétrico de 3,0 x

106 N/C. Nesse campo, qual é o módulo da força eletrostática que atua sobre (a) um elétron e (b) um

íon em que falta um elétron?

6 19 13

6

6 19 13

3 10 1,6 10 4,8 103 10 /

3 10 1,6 10 4,8 10

elétron elétron

próton próton

F Eq NE N C

F Eq x N

35. Uma barra fina, não condutora, de comprimento L, tem uma carga positiva +q uniformemente

distribuída ao longo dela. Mostre que o módulo do campo elétrico no ponto P sobre a mediatriz da

barra (como está representado na figura abaixo) é dado por:

E = q / [2oR(L2 + 4R

2)

½

Vamos usar um recurso muito útil na resolução de exercícios, a simetria. Se pensarmos na barra dividida

ao meio, percebemos que as componentes horizontais do campo elétrico, geradas por cada metade da

barra, se anulam e as componentes verticais se somam.

Vamos determinar a componente vertical do campo gerado pela metade esquerda da barra.

0 0

2 2

0

32 2 2

/2 /2

003 3

2 2 2 20 02 2

cos cos

1

y

y

L L

y

K dq K dx RdE dE

r r r

K RdE dx

x R

K RdE dx K R dx

x R x R

Para resolver a integral vamos usar substituição trigonométrica. Fazendo:

3

2 2 2

1I dx

x R

e

2 2 2x R tg temos:

2 2 2

3 3 322 2 2 2 2 2 22 2 2

2 2

32 2 3 2 22 2

122 2 2 2

sec sec 1 sec

1

1 sec 1 sec 1 1cos

sec secsec

R d d dI R

RR tg R R tg R tg

d d dI d

R R R R

sen xI

RR x R

Portanto,

/2

00 1 1

2 2 2 2 22 2

04

L

y y

K LxE K R E

R x R R L R

Temos que:0

0

1;

4L q K

Finalmente podemos escrever:

1

2 2 20

1

4 4

y

qE

R L R

.

Lembrando que yE é a componente vertical do campo gerado pela metade esquerda da barra. O campo

resultante é:

1

2 2 20

2

2 4

y

qE E

R L R

36. Uma barra fina não condutora, de comprimento L, tem uma carga q uniformemente distribuída ao

longo de seu comprimento. Mostre que o campo elétrico no ponto P, sobre o eixo da barra, a uma

distância a de sua extremidade é dado por: E = q / [4oa(L+a)]

0 0

2 2

2002

0 0

L L

K dq K dxdE

x a x a

KE dx K x a dx

x a

Calculando a integral:u x a du dx

2 2 11

0

L

I x a dx u du u x a

1 0 0 00

0

L K K K LE K x a

L a a a L a

Temos que: 0

0

1 K

4L q e

Portanto:

04

qE

a L a

37. Uma barra fina de plástico é encurvada na forma de um círculo de raio R. Uma carga +Q está

uniformemente distribuída ao longo do círculo. (a) Mostre que o campo elétrico no centro do círculo,

gerado pelo semicírculo que se encontra à esquerda do eixo y, é dado por: E = Ko Q/π R2. (observe

que a carga de cada semicírculo é +Q/2 ). (b) Determine o valor do campo elétrico gerado por toda

barra circular no centro do círculo.

a) Se pensarmos no semicírculo dividido ao meio, pela simetria, percebemos que as componentes

verticais do campo elétrico, gerado por cada metade do semicírculo, se anulam e as

componentes horizontais se somam.

Vamos determinar a componente horizontal do campo gerado pela metade de cima do

semicírculo.

0 0

2 2

0 0

2

x

x

K dq K dsdE dEsen sen sen

R R

s R ds Rd

K Rd K sen ddE sen

RR

2 2

0 0

0 0

/20 0

0

0 0

2

cos

2 2 2

x

x

x x

K sen d KE sen d

R R

K KE

R R

K K QQ QE E

R R R R

xE é a componente horizontal do campo elétrico gerado pela metade superior do semicírculo. O

campo resultante é:

0

22 x

K QE E

R

b) Devemos observar, pela simetria, que o campo resultante neste caso será nulo.

38. Uma barra fina de vidro é encurvada na forma de um semicírculo de raio r. uma carga +q está

uniformemente distribuída ao longo da metade superior e uma carga –q está uniformemente

distribuída ao longo da metade inferior, como mostra a figura abaixo. Determine o campo elétrico Eem P, o centro do semicírculo.

0 02 2

Para a metade superior:

2onde e . Portanto:

2

4

dq dldE K K

r r

Q Qdl rd

r r

0 02 2

/2

0 2

0

/2

0 02 20

2

2

o módulo da componente horizontal do campo total positivo é, portanto:

2cos cos

2 2

x x

x x

Qrd

QrdE K K dr r

QE dE dE K d

r

Q QE K sen E K

r r

/2

0 2

0

/2

0 02 20

Analogamente:

2

2 2cos

y y

y y

QE dE dE sen K sen d

r

Q QE K E K

r r

0

2

usando a simetria do problema vemos facilmente que as componentes horizontais cancelam-se

enquanto que as verticais reforçam-se. Assim sendo, o módulo do compo total é simplesmente:

42 com o y

K QE E

r vetor correspondente apontando para baixo.

39. Na experiência de Millikan, uma gota de raio 1,6410-6 m e densidade de 0,851 g/cm3 fica suspensa

na câmara inferior quando o campo elétrico aplicado tem módulo igual a 1,92105 N/C e aponta

verticalmente para baixo. Determine a carga da gota em termos de e.

Para a gota estar em equilíbrio é necessário que a força gravitacional esteja contrabalançada

pela força eletrostática associada ao campo elétrico, ou seja, é preciso ter ,

onde é a massa da go

mg qE

m

ta, é a carga sobre a gora e é a magnitude do compo elétrico

no qual a gota está imersa.

q E

34A massa da gota é dada por , com isso temos:

3m V r

3

63

5

19

19

19

44 1,64 10 851 9,843

3 3 1,92 10

8,0 10

e, portanto,

8,0 105 ou seja, 5

1,6 10

r gmg r g

qE E E

q C

qn n q e

e

40. Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) devido a um dipolo elétrico em um ponto

localizado a uma distância r >>d sobre a mediatriz do segmento que une as cargas como na figura

abaixo. Expresse sua resposta em termos do momento de dipolo p .

0 2 2

Obtém-se o campo elétrico resultante no ponto P somando-se vetorialmente

o módulo dos vetores é dado por:

/ 4

As componentes sobre a mediatriz se cancelam

enquanto as co

E E E

qE E K

z d

2 2

mponentes perpendiculares a ela somam-se. Com isso temos:

2 cos

/ 2com: cos

/ 4

E E

d

z d

0 2 2 2 2

00 3 3 3

2 2 2 2 22 2 2

2 2

/ 22

/ 4 / 4

/ 4 1 / 4

como: / 4 0

q dE K

z d z d

Kqd qdE K

z d z d z

z d d z

0

3

K qdE

z

0 3

Em termos do momento de dipolo , uma vez que e tem sentidos opostos, temos:

p qd E p

pE K

z