EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7cardieri/NotasdeAula_EA611/EA611... · de...
7
EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7 1 Esta aula: ! Quadripolos ! Parâmetros de admitância, de impedância, híbridos e de transmissão. As figuras dessa Nota de Aulas foram retiradas do livro Engineering Circuits Analysis, Hayt, Kemmerly e Durbin. Redes de dois pares de terminais, sendo um par de entrada e outro de saída são muito importantes em circuitos elétricos, pois modelam a situação em que um sinal é processado por um circuito, gerando outro sinal. Bipolos vs. quadripolo: Quanto temos apenas um par de terminais, a rede é chamada de bipolo. Claramente, b a i i = . Quando temos dois pares de terminais, chamamos de quadripolos. EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7 2 Para a análise de quadripolos, usaremos a seguinte representação para as correntes e tensões dos pares de entrada e saída. Algumas restrições são impostas quanto à composição do quadripolo e às conexões: • Fontes e cargas só podem ser conectados a um par de terminais, de entrada ou de saída. Ou seja, nenhum bipolo externo pode ser conectado a um terminal de um par, e a um terminal de outro par. • Os quadripolos devem ser compostos por elementos passivos lineares (capacitores, indutores e resistores) e fontes dependentes lineares. • Fontes independentes não são permitidas no interior do quadripolo Estudaremos formas de representação de quadripolos que nos permitirão analisar o funcionamento do quadripolo, sem a
Transcript of EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7cardieri/NotasdeAula_EA611/EA611... · de...
EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7
1
Esta aula: ! Quadripolos ! Parâmetros de admitância, de impedância,
híbridos e de transmissão. As figuras dessa Nota de Aulas foram retiradas do livro Engineering Circuits Analysis, Hayt, Kemmerly e Durbin. Redes de dois pares de terminais, sendo um par de entrada e outro de saída são muito importantes em circuitos elétricos, pois modelam a situação em que um sinal é processado por um circuito, gerando outro sinal. Bipolos vs. quadripolo:
Quanto temos apenas um par de terminais, a rede é chamada de bipolo. Claramente, ba ii = . Quando temos dois pares de terminais, chamamos de quadripolos.
EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7
2
Para a análise de quadripolos, usaremos a seguinte representação para as correntes e tensões dos pares de entrada e saída.
Algumas restrições são impostas quanto à composição do quadripolo e às conexões: • Fontes e cargas só podem ser conectados a
um par de terminais, de entrada ou de saída. Ou seja, nenhum bipolo externo pode ser conectado a um terminal de um par, e a um terminal de outro par.
• Os quadripolos devem ser compostos por elementos passivos lineares (capacitores, indutores e resistores) e fontes dependentes lineares.
• Fontes independentes não são permitidas no interior do quadripolo
Estudaremos formas de representação de quadripolos que nos permitirão analisar o funcionamento do quadripolo, sem a
EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7
3
necessidade de descrever as correntes e as tensões internas do quadripolo.
Parâmetros de Admitância Consideremos o quadripolo:
Supondo que não haja fontes independentes no interior do quadripolo, e que todos o elementos que o compõem (bipolos passivos e fontes dependentes) sejam lineares, podemos dizer que a correntes 1I é formada pela soma de uma corrente devido a 1V e outra devido a 2V (pelo Princípio da Superposição). Usando o mesmo argumento para 2I , podemos escrever, portanto:
2221212
2121111
VyVyIVyVyI
+=
+=
EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7
4
Os coeficientes ijy são desconhecidos (é o que buscaremos determinar), e tem dimensão de condutância, ou seja, 1−Ω ou siemens. Esses coeficientes são conhecidos como parâmetros de admitância. Usando notação matricial, temos:
yVI =
com !"
#$%
&=
2
1
II
I , !"
#$%
&=
2
1
VV
V e !"
#$%
&=
2221
1211
yyyy
y
Note que podemos interpretar 11y como sendo a razão 11 IV quando 02 =V . Assim, podemos determinar cada uma dos parâmetros ijy curto-circuitando a tensão de entrada ou de saída, ou seja,
01
111
2=
=VV
Iy é a admitância de entrada com
curto-circuito (c.c.) na saída
EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7
5
02
222
1=
=VV
Iy é a admitância de saída com c.c. na
entrada.
02
112
1=
=VV
Iy é a admitância de transferência
com c.c na entrada.
01
221
2=
=VV
Iy é a admitância de transferência
com c.c. na saída. Exemplo: Considere o circuito mostrado abaixo:
Podemos determinar cada um dos parâmetros ijy aplicando a sua respectiva definição.
EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7
6
Por exemplo, 11y é a razão 11 IV quando 02 =V . Portanto, curto-circuitando a saída, termos entre os terminais de entrada dois resistores em paralelo, sendo um de Ω10 e outro de Ω5 , resultando em Ω310 , ou seja, Sy 3,011 = . Por outro lado, para determinarmos 12y , curto-circuitamos a entrada, e precisamos determinar 1I em função de 2V . Para tal, podemos aplicar
uma tensão de 1 volt na saída e medimos a tensão no curto-circuito na entrada. Essa corrente será 1,01 −=I A, resultando
Sy 1,012 −= . Procedendo de forma similar para os outros paramentos, chegamos a
212
211
15,01,01,03,0VVI
VVI+−=
−=
Uma forma alternativa de determinar esses coeficientes é por meio da análise nodal aplicada nos terminais de entrada e saída, em função de 1V e 2V .
EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7
7
Parâmetros de Impedância Consideremos novamente o modelo geral de um quadripolo:
Podemos considerar que as tensões 1V e 2V são respostas das correntes 1I e 2I , ou seja
.2221212
2121111
IzIzVIzIzV
+=
+=
Na forma matricial, temos
zIV =
com !"
#$%
&=
2
1
II
I , !"
#$%
&=
2
1
VV
V e !"
#$%
&=
2221
1211
zzzz
z .
EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7
8
Note-se que os coeficientes ijz tem unidade ohms, sendo chamados de parâmetros de impedância. As impedâncias podem ser determinadas zerando uma das correntes, ou seja, abrindo a entrada ou a saída. Assim, os parâmetros ijz recebem as seguintes denominações:
01
111
2=
=II
Vz é a impedância de entrada com
circuito aberto (c.a.) na saída.
02
222
1=
=II
Vz é a impedância de saída com c.a. na
entrada.
02
112
1=
=II
Vz é a impedância de transferência
com c.a. na entrada.
01
221
2=
=II
Vz é a impedância de transferência
com c.a. na saída
EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7
9
Note que ijij yz 1≠ , uma vez que as condições impostas nas definições são diferentes. Por exemplo:
01
111
2=
=VV
Iy ⇒ saída em curto ( )02 =V .
enquanto que
01
111
2=
=II
Vz ⇒ saída em aberto ( )02 =I .
Porém, podemos mostrar que
y = z−1
EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7
10
Parâmetros Híbridos Uma outra forma de caracterizar um quadripolo é considerar a corrente de entrada 1I e a tensão de saída 2V como variáveis independentes. Assim, escrevemos as equações
V1 = h11I1 + h12V2I2 = h21I1 + h22V2.
Na forma matricial, temos
V1I2
!
"##
$
%&&= h
I1V2
!
"##
$
%&&
com
h =h11 h12h21 h22
!
"##
$
%&&.
EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7
11
Os coeficientes hij são chamados de parâmetros híbridos, e recebem as seguintes denominações:
h11 =V1I1 V2=0
é a impedância entrada, com
circuito aberto (c.a.) na entrada.
h22 =I2V2 I1=0
é a admitância de saída, com c.a. na
saída.
h12 =V1V2 I1=0
é o ganho de tensão reverso de c.a.
na entrada.
h21 =I2I1 V2=0
é o ganho de corrente de c.c. na
saída.
EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7
12
Da mesma forma, podemos definir os parâmetros híbridos gij da forma
I1V2
!
"##
$
%&&= g
V1I2
!
"##
$
%&&
com
g =g11 g12g21 g22
!
"##
$
%&&
Podemos facilmente mostrar que
g = h−1
EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7
13
Parâmetros de Transmissão Por fim, uma última forma de caracterizar um quadripolo é considerar a tensão e a corrente de entrada V2 e I2 como variáveis independentes. Assim, escrevemos as equações
V1 = t11V2 − t12I2I1 = t21V2 − t22I2.
Na forma matricial, temos
V1I1
!
"##
$
%&&= t
V2−I2
!
"##
$
%&&
com
t =t11 t12t21 t22
!
"##
$
%&&= A B
C D
!
"#
$
%&
O sinal negativo em I2 é usado para indicar o fluxo de energia, representado pelos sentidos das correntes, é da esquerda para a direita. Assim, ambas I1 e −I2 estão com o sentido para a direita.
EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 7
14
Os coeficientes tij são chamados de parâmetros de transmissão ou parâmetros ABCD, e são calculados seguindo o mesmo procedimento adotado nas outras representações, ou seja:
t11 =V1V2 I2=0
, t22 =I1−I2 V2=0
t12 =V1−I2 V2=0
e t21 =I1V2 I2=0
