EBI - Módulo 5 - Pilares

ESTRUTURAS DE BETÃO I

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

MÓDULO 5

VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES

ÚLTIMOS DE ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL NÃO

DESPREZÁVEL

Coordenação: Júlio Appleton

Ano Lectivo 2010/2011

ÍNDICE

1. FLEXÃO COMPOSTA ................................ .......................................................................... 150

1.1. ROTURA CONVENCIONAL ................................................................................................... 150

1.2. DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES NA ROTURA ........................................................................ 150

1.3. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES ................................................................... 151

1.4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES .......................................................................... 152

1.4.1. Armadura longitudinal ............................................................................................. 152

1.4.2. Armadura transversal .............................................................................................. 153

1.5. EFEITO FAVORÁVEL DE UM ESFORÇO AXIAL MODERADO DE COMPRESSÃO NA RESISTÊNCIA À

FLEXÃO ................................................................................................................................... 156

2. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE PILARES ISOLADOS AOS ESTADOS LIMITE

ÚLTIMOS .................................................................................................................................. 157

2.1. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS .................................................................... 157

2.2. TIPOS DE ROTURA ............................................................................................................. 158

2.3. ESBELTEZA ....................................................................................................................... 158

2.4. COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA DE ELEMENTOS ISOLADOS ............................................ 159

2.5. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS ........................................................................................... 159

2.5.1. Excentricidade inicial ............................................................................................... 160

2.5.2. Força horizontal equivalente ................................................................................... 161

2.6. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM ....................................................................... 162

2.6.1. Métodos de análise simplificados............................................................................ 162

2.6.1.1 Método da curvatura nominal .......................................................................... 164

2.6.1.2 Método da rigidez nominal .............................................................................. 167

2.7 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO .............................................. 169

3 ESTRUTURAS EM PÓRTICO .......................................................................................... 178

3.1 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS .............................................................................. 178

3.2 COMPRIMENTO DE ENCURVADURA ............................................................................... 179

3.3 EFEITOS DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS EM PÓRTICOS ............................................ 181

3.4 EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM PÓRTICOS ................................................................ 182

3.4.1 Verificação da segurança de pórticos contraventados cujos efeitos globais de

segunda ordem possam ser desprezados ........................................................................ 182

3.4.2 Verificação da segurança de pórticos contraventados cujos efeitos globais de

segunda ordem não possam ser desprezados ................................................................. 183

3.4.3 Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórticos não contraventados ........... 184

4 FLEXÃO DESVIADA ................................... ..................................................................... 192

4.1 ROTURA CONVENCIONAL............................................................................................. 192

4.2 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES ............................................................ 192

Estruturas de Betão I

MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos

com esforço axial não desprezável

150

1. Flexão Composta

(Flexão com esforço normal de tracção ou compressão)

1.1. ROTURA CONVENCIONAL

� εs ≤ 10‰

� εc(-) ≤ 3.5‰

� Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰

Tensões uniformes

σc εc

(-)

2‰

Tensões não uniformes

(-)

2‰ ≤ εc ≤ 3.5‰σc

ou

εc = 3.5‰

(-)

σc

00

1.2. DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES NA ROTURA

Com base nas extensões máximas para o betão e armaduras, podem ser definidas 5

zonas com diagramas associados à rotura:

As2

As1

MN 1

10‰

10‰

02‰3.5‰

2‰ εyd

2

3

45

Compressão Tracção

Zona 1 - Tracção com pequena excentricidade (εs1 = 10‰, εs2 ≤ 10‰)

Zona 2 - Tracção e compressão com grande ou média excentricidade (εs1 = 10‰, εc(-) ≤ 3.5‰)

Zona 3 - Tracção e comp. com grande ou média excentricidade (εyd ≤ εs1 ≤ 10‰, εc(-) = 3.5‰)

Zona 4 - Compressão com média ou pequena excentricidade (εs1 ≤ εyd, εc(-) = 3.5‰)

Zona 5 - Compressão com pequena excentricidade (2‰ ≤ εcmáx ≤ 3.5‰)

Conclusão:

� Zonas 1, 2 e 3: εs > εyd ⇒ rotura dúctil

� Zonas 4 e 5: εs < εyd ⇒ rotura frágil




151

1.3. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES

(i) Consideração de um determinado diagrama de rotura, para uma secção de betão

armado com dois níveis de armadura (As1 e As2)

As1

As2 MRd

NRd

(-)

(+)

εc

εs2

εs1

Fc

Fs1

Fs2

yc ys2

Nota: A coordenada y pode ser medida em relação ao centro geométrico da secção ou

em relação ao nível da armadura inferior.

Equações de Equilíbrio

• Equilíbrio axial: Fc + Fs2 − Fs1 = NRd

• Equilíbrio de momentos: Fc × yc + Fs2 × ys2 – N (d-h/2) = MRd

⇒ Para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço NRd – MRd

(ii) Varrendo a secção com os possíveis diagramas de rotura obtém-se um diagrama

de interacção NRd – MRd

(iii) Repetindo o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de

dimensionamento

NRd

MRd

(-)

a) Diagrama de interacção NRd - MRd

M Rd

(-)NRd

a) Diagrama de dimensionamento




152

Grandezas adimensionais:

− Esforço normal reduzido: ν = NRd

b h fcd

− Momento flector reduzido: µ = MRd

b h2 fcd

− Percentagem mecânica de armadura: ωTOT = AsTOT b h

fyd fcd

1.4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES

1.4.1. Armadura longitudinal

(i) Quantidades mínimas e máximas de armadura

As quantidades mínimas de armadura em pilares, variam consoante o tipo de aço

utilizado e o valor do esforço axial de dimensionamento, de acordo com a seguinte

expressão:

As, min = 0.10 Nsd

fyd ≥ 0.002 Ac

A quantidade máxima de armadura é dada por:

As, máx = 0.04 Ac (fora das secções de emenda)

Nota: Nas secções de emenda, poderá adoptar-se uma armadura até 0.08 Ac.

(ii) Disposição da armadura, diâmetros e espaçamento

1. Mínimo número de varões na secção transversal

� 1 varão em cada ângulo da secção (saliente ou reentrante) ou

� 4 varões em secções circulares ou a tal assimiláveis (É recomendável

adoptar pelo menos 6 varões)

2. Diâmetro mínimo dos varões: 8 mm (Recomendável: 10 mm)




153

1.4.2. Armadura transversal

(i) Espaçamento das cintas

smáx = min (20 × φL,menor; bmin; 40 cm)

O espaçamento indicado deve ser reduzido a 0.6 smáx nos seguintes casos:

- nas secções adjacentes a vigas ou lajes, numa altura igual à maior dimensão do pilar;

- nas secções de emenda de varões longitudinais, caso o diâmetro destes varões

seja superior a 14 mm. Deverão existir pelo menos três cintas ao longo do

comprimento de emenda.

(ii) Diâmetro

φcinta = max (6 mm; 0.25 φL,maior)

(iii) Forma da armadura / cintagem mínima

� Os varões longitudinais situados nos cantos da secção devem ser abraçados por

armadura transversal.

� Em zonas comprimidas, não é necessário cintar varões longitudinais que se

encontrem a menos de 15 cm de varões cintados.

Função da armadura transversal

� Cintar o betão;

� Impedir a encurvadura dos varões longitudinais;

� Manter as armaduras longitudinais na sua posição durante a montagem e

betonagem;

� Resistir ao esforço transverso.

Nota: As cintas devem ser mantidas na zona dos nós de ligação com as vigas.




154

EXERCÍCIO 5.1

Considere a secção rectangular representada, sujeita a flexão composta conforme

indicado. Dimensione e pormenorize a secção.

As/2

As/2

0.30

0.50

M sd

Nsd

Nsd = -1200 kN

Msd = 150 kNm

Materiais: A400NR

C20/25

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5.1

Flexão composta de secções rectangulares (Tabelas)

d1 ≅ 0.05m

h = 0.50m ⇒

d1 h = 0.10 ; A400

Esforço normal reduzido: ν = Nsd

b h fcd =

-1200 0.30 × 0.50 × 13.3×103 = -0.60

Momento flector reduzido: µ = Msd

b h2 fcd =

150 0.30 × 0.502 × 13.3×103 = 0.15

ωTOT = 0.20 ⇒ AsTOT = ωTOT b h fcd fyd

= 0.20 × 0.30 × 0.50 × 13.3 348 × 104 = 11.47cm2

Na rotura εc2 εs1

= -3.5 0 a 1 ⇒

rotura pelo betão

armaduras traccionadas não atingem a cedência

Zona �




155

EXERCÍCIO 5.2

Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as

armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msd =250 kNm

Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR


d1 = 0.05 ⇒ d1 h = 0.10

ν = Nsd

π r2 fcd =

-1400 π × 0.252 × 16.7×103 = -0.427

µ = MSd

2π r3 fcd =

250 2 × π × 0.253 × 16.7×103 = 0.152

⇒ ωTOT = 0.30

AsTOT = ωTOT × πr2 × fcd

fyd = 0.30 × π × 0.252 ×

16.7 348 × 104 = 28.3cm2




156

1.5. EFEITO FAVORÁVEL DE UM ESFORÇO AXIAL MODERADO DE COMPRESSÃO NA

RESISTÊNCIA À FLEXÃO

Considere-se o seguinte diagrama de interacção ν - µ, bem como os diagramas de

tensão na rotura para as situações A e B ilustradas.

µ

ν

0.4 B

A

As2

As1

b

h

A Fs2,A

As1 fyd

Fc,A

MRd,A

NRd

MRd,B

B

As1 fyd

Fs2,B

Fc,B

MRd,A < MRd,B

∴ A existência de um esforço axial aumenta as resultantes de compressão (Fc e Fs2) e,

consequentemente, o MRd apesar da diminuição do braço de Fc.




157

2. Verificação da segurança de pilares isolados aos es tados limite últimos

2.1. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS

Nos elementos de betão armado não solicitados por cargas axiais, os esforços são,

em geral, determinados na estrutura não deformada (Teoria de 1ª ordem). Nestes

casos a influência da deformação da estrutura nos esforços actuantes é desprezável.

Sempre que as deformações tenham um efeito importante nos esforços solicitantes (p.

ex. no caso de pilares esbeltos), as hipóteses lineares da teoria de 1ª ordem não

devem ser aplicadas. Nestes casos as condições de equilíbrio devem ser

estabelecidas na estrutura deformada (Teoria de 2ª ordem).

Exemplos:

Teoria de 1ª ordem:

M = N × e

Teoria de 2ª ordem:

M = N (e + v) ⇔ M = N × e + N × v

N × e – momento de 1ª ordem

N × v – momento de 2ª ordem

Nota: na teoria de 2ª ordem as condições de equilíbrio devem ser satisfeitas na

estrutura deformada.

Os efeitos de 2ª ordem dependem da esbelteza dos pilares: λ = l0 i

� - λ pequeno ⇒ efeitos de 2ª ordem desprezáveis

(Teoria de 1ª ordem)

� - λ médio/elevado ⇒ efeitos de 2ª ordem relevantes

(Teoria de 2ª ordem)

Consideram-se os efeitos de 2ª ordem desprezáveis

se: M2ªordem ≤ 0.10 M1ªordem (⇔ N × v ≤ 0.1 N × e) M

N

Ne

Ne N v

1

2

N

vL

N

L

v




158

2.2. TIPOS DE ROTURA

� Relação N - M para e2=0

Elemento pouco esbelto: análise de 1ª ordem - Mu = Nu e1 ⇒ rotura da secção

� Relação N - M para e2 ≠ 0

Elemento com esbelteza moderada: análise de 2ª ordem Mu = Nu (e1+ e2)⇒ rotura da secção

� Relação N - M para e2 ≠ 0

Elemento com esbelteza elevada análise de 2ª ordem Mu = Nu (e1+ e2) ⇒ rotura por instabilidade

2.3. ESBELTEZA

A esbelteza de um pilar é dada por: λλλλ = l0 i

onde:

l0 representa o comprimento efectivo da encurvadura (distância entre pontos de

momento nulo ou pontos de inflexão da configuração deformada)

i representa o raio de giração da secção

i = I A

Nota: Deve ser considerado o momento de inércia da secção segundo o eixo

perpendicular ao plano de encurvadura.

Maior λ ⇒ maior sensibilidade aos efeitos de 2ª ordem.

21

Ne1

N

M

Ne 1

N

Ne1 Ne 2

Ne 2

Nu , M u 1 1

22N u , M u

2 2N CR, M CR

N u , M u 33

N CR , M CR33

N

e 1 e1

N

N

e 2e 2

3N

N

e1




159

2.4. COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA DE ELEMENTOS ISOLADOS

� Elementos contraventados

� Elementos não contraventados

2.5. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS

O efeito desfavorável de possíveis desvios na geometria da estrutura ou posição do

carregamento deverá ser tido em consideração no dimensionamento.

Os efeitos das imperfeições geométricas poderão ser avaliados de forma geral

considerando a estrutura inclinada de um ângulo θi.

= L/2 = L l0

l0

l0

= 0.7L

= 2L = L = 2Ll0 l0 l0




160

Hi

NNei

L

Para elementos isolados, estes efeitos poderão ser considerados de forma

simplificada através de uma excentricidade inicial ei ou através de uma força horizontal

equivalente Hi.

a) Elementos não contraventados

b) Elementos contraventados

2.5.1. Excentricidade inicial

Com base na estrutura inclinada de θi a excentricidade inicial poderá ser calculada

através da seguinte expressão

ei = θi l0 / 2

onde l0 representa o comprimento efectivo de encurvadura.

A inclinação θ i pode ser calculada através da seguinte expressão:

θ i = θ0 ⋅ αh ⋅ αm onde,

θ0 representa o valor de inclinação base que pode ser tomado igual a 1/200;

αh representa um coeficiente de redução relacionado com o comprimento do

elemento (αh = 2 / l e 2/3 ≤ αh ≤ 1);

αm representa um coeficiente de redução relacionado com o número de elementos

verticais existente na estrutura (αm = 0.5 (1 + 1/m), onde m representa o número

de elementos verticais).

Caso se tratem de colunas isoladas em estruturas contraventadas, poderá considerar-

se simplificadamente que ei = l0 / 400.

= l0/2

θ i θ i

≅




161

2.5.2. Força horizontal equivalente

A força horizontal deverá actuar na posição em que provoque o máximo momento

flector e pode ser obtida através das seguintes expressões:

(i) Elementos não contraventados: Hi = N θ i

(ii) Elementos contraventados: Hi = 2 N θ i

Mi = N ei Mi = Hi L

Mi = N ei Mi = Hi L/4

θ i

Hi L = N ei ⇒ Hi = N ei /L ⇒ Hi = N θ i

θ i

Hi L/4 = N ei ⇒ Hi = N (4ei /L) ⇒ Hi = 2 N θ i ≅

Hi

NN e i

L =

=




162

2.6. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM

O cálculo rigoroso dos efeitos de 2ª ordem obriga a estabelecer as condições de

equilíbrio na estrutura deformada considerando o comportamento não linear do betão

armado. Isto significa a realização de análises não lineares da estrutura tendo em

conta as não linearidades geométricas e as não linearidades físicas dos materiais.

Este método é designado por Método Geral sendo válido para qualquer tipo de

elemento estrutural ou estrutura submetida a qualquer tipo de carregamento.

Trata-se de uma metodologia que envolve um esforço de cálculo significativo e a sua

utilização no projecto de estruturas apenas se justifica em algumas situações

particulares.

Tendo em conta a complexidade deste tipo de análises a regulamentação permite a

utilização de métodos simplificados para quantificar os efeitos de 2ª ordem.

2.6.1. Métodos de análise simplificados

O EC2 contempla a utilização de dois métodos simplificados para calcular os efeitos

de 2ª ordem:

- Método da curvatura nominal

Este método consiste em estimar a curvatura (1/r) na secção mais esforçada para

efeitos do cálculo da deformada de 2ª ordem da estrutura a partir da qual é calculado o

momento de 2ª ordem.

- Método da rigidez nominal

O método consiste em estimar a rigidez de flexão EI do elemento estrutural a qual é

utilizada na análise linear de 2ª ordem.

Os dois métodos apresentam a mesma fundamentação conforme se demonstra a

seguir.

Considerando uma coluna bi-articulada sujeita a um esforço axial N e a uma carga

transversal (ou a uma imperfeição geométrica) o momento total actuante incluindo os

efeitos de 2ª ordem é obtido de acordo com a seguinte expressão:




163

0

rv

M0 M 1/r

M = M + M

2

0 2

M = M0 + M2 = M0 + N v = M0 + N 1 r

l02

c

em que:

M – momento total

M0 – momento de 1ª ordem

M2 – momento de 2ª ordem

v – deslocamento associado à curvatura 1/r

l0 – comprimento do elemento (comprimento de encurvadura)

c – factor que depende da distribuição da curvatura

O deslocamento v pode ser obtido pela integração das curvaturas ao longo da coluna:

v = ⌡⌠

l0 1r

–M dx =

⌡⌠

l0 M

–M

EI dx = 1 EI ⌡

⌠l0 M

–M dx =

M EI

l02

c = 1 r

l02

c

Em que c tem os seguintes valores função da distribuição do momento flector ao longo

da coluna:

distribuição parabólica: c=9.6

distribuição uniforme (constante): c= 8

distribuição triangular simétrica: c=12

M e 1/r são o momento e a curvatura na secção mais esforçada do pilar.

A diferença entre os dois métodos reside na formulação da curvatura:

- No método da rigidez nominal a curvatura 1/r é expressa em termos de rigidez

nominal à flexão:

1 r =

M EI

A rigidez EI deve ter em conta a influência da fendilhação e da fluência.

N




164

- No método da curvatura nominal a curvatura 1/r associada à deformada final do

elemento é calculada admitindo que as armaduras de tracção e compressão

apresentam uma extensão igual à extensão de cedência.

syd

(-)

(+)

0.9d

εsyd

1 r =

εsyd + εsyd 0.9d =

εsyd 0.45d

Importa referir que neste tipo de análises o comprimento l0 deve ser considerado de

um modo mais genérico que o definido na estabilidade elástica de colunas, como um

comprimento que traduz a forma da deformada final do elemento estrutural.

Dado que os métodos simplificados se baseiam na análise de uma coluna bi-

articulada, o comprimento l0 pode ser considerado como o comprimento de um pilar

simplesmente apoiado cujo comportamento traduz o do pilar em causa e cujas

extremidades coincidem com as secções de momento nulo deste pilar.

2.6.1.1 Método da curvatura nominal

Método de dimensionamento a partir dos resultados de uma análise linear de 1ª

ordem, corrigindo a excentricidade para ter em conta os efeitos de 2ª ordem.

Msd = Nsd (e + e2)

eN

e

N

v

N

e+e2




165

- Excentricidade de 2ª ordem

De acordo com o EC2, a excentricidade 2ª ordem pode ser calculada com base na

curvatura nominal através da seguinte expressão:

e2 = 1 r

l02

c

onde c representa um factor que depende da distribuição da curvatura ao longo do

elemento. Normalmente adopta-se c = 10, excepto se o momento de primeira ordem

for constante, situação em que se poderá adoptar c = 8.

A curvatura (1/r) pode ser determinada a partir da expressão:

1 r = Kr ⋅ Kϕ ⋅

1 r0

onde,

Kr representa um factor correctivo que tem em consideração o nível de esforço axial;

Kϕ representa um coeficiente destinado a ter em conta o efeito da fluência;

1 / r0 representa a curvatura base

1

r0 ≅

εyd 0.45d .

O coeficiente Kr destina-se a ter em conta o facto de, em determinados casos, a

armadura não atingir a extensão de cedência, o que conduz a uma curvatura inferior à

curvatura base. Este factor de redução pode ser determinado através de:

Kr = nu - n

nu - nbal ≤ 1.0

onde,

n representa o valor do esforço normal reduzido;

nbal representa o valor do esforço normal reduzido na zona do máximo

momento resistente (em geral, nbal ≈ 0.4);

nu = 1 + ω, com ω = As fyd / (Ac fcd).

O efeito da fluência é considerado através da introdução do coeficiente Kϕ, que

pretende corrigir os casos em que a curvatura base seria inferior à curvatura real

devido ao facto de não se considerar o efeito da fluência.

Kϕ = 1 + β ϕef ≥ 1

onde,

ϕef representa o coeficiente de fluência efectivo

ϕef = ϕ(t∞, t0)

M0cqp M0sd

;

β = 0.35 + fck / 200 - λ / 150;




166

M0cqp representa o momento de primeira ordem para a combinação

quase-permanente de acções;

M0sd representa o momento de primeira ordem para a combinação fundamental.

O efeito da fluência poderá ser desprezado, o que equivale a assumir que ϕef = 0, caso

sejam verificadas as três condições seguintes: ϕ(∞, t0) ≤ 2; λ ≤ 75; M0sd / Nsd ≥ h

- Força horizontal equivalente

Os efeitos de 2ª ordem poderão ser considerados, tal como no caso das imperfeições

geométricas, através de uma força horizontal equivalente.

Esta força poderá ser uma força concentrada ou outra força equivalente que produza

os mesmos efeitos. Por exemplo, no caso dos elementos contraventados a

consideração de uma força uniformemente distribuída ao longo do elemento conduz a

uma distribuição de momentos próxima da introduzida por uma deformada de 2ª

ordem parabólica.

- Elementos não contraventados

M2 = N e2 M = ∆H l02

∆H l02 = N e2 ⇒ ∆H = 2N

e2

l0 ⇒ ∆H = N θ2

N

L

θ

e 0 2

2

≡

0 2

∆ H

N




167

- Elementos contraventados

0

θ 2

e 2 ≡ ∆H

M2 = N e2 M = ∆H l04

∆H l04 = N e2 ⇒ ∆H = 4N

e2

l0 ⇒ ∆H = 2N θ2

2.6.1.2 Método da rigidez nominal

Considerando a coluna bi-articulada definida em 2.6.1 com comprimento l=l0, o

momento de 2ª ordem pode ser calculado da seguinte forma:

M2 = N v = N 1 r

l02

c = N M EI

l02

c = N l0

2 c EI (M0 + M2)

onde M0 é o momento de 1ª ordem e c é um parâmetro que depende da distribuição

da curvatura (assume-se que a distribuição das curvaturas de 1ª e 2ª ordem são

idênticas).

Desenvolvendo a expressão anterior em ordem a M2, tem-se:

M2 = M0

N l02

c EI

1 - N l0

2 c EI

= M0 1

c EI l0

2 / N - 1 = M0

1

NB

N - 1

em que: NB = c EI l0

2 ≈ π2 EI

l02 (carga crítica do pilar)

O momento total do pilar pode ser calculado da seguinte forma:

M = M0 + M2 = M0 1 + 1

NB

N - 1 ⇒ M =

M0

1 - N

NB

N




168

O parâmetro 1

1 - N

NB é o factor de amplificação do momento de 1ª ordem.

- Rigidez nominal

A rigidez de flexão EI a usar no cálculo de NB deve ter consideração o efeito da

fendilhação e da fluência. O EC2 considera a seguinte expressão para cálculo da

rigidez nominal:

EI = KcEcdIc + KsEsIs

em que:

Ecd valor de cálculo do módulo de elasticidade do betão, Ecd = Ecm /γcE, com γcE= 1.2

Ic momento de inércia da secção transversal de betão

Es valor de cálculo do módulo de elasticidade do aço das armaduras,

Is momento de inércia das armaduras, em relação ao centro da área do betão

Kc é um coeficiente que toma em conta os efeitos da fendilhação e da fluência,

Ks é um coeficiente que toma em conta a contribuição das armaduras.

- Nos casos em que ρ ≥ 0,002

Ks = 1

Kc = k1k2 / (1 + ϕef)

em que:

ρ = As/Ac

ϕef coeficiente de fluência efectivo;

k1 é um coeficiente que depende da classe de resistência do betão;

k2 é um coeficiente que depende do esforço normal e da esbelteza, expressão

k1 = 20ck /f (MPa)

k2 = 170

λ⋅n ≤ 0,20

- Nos casos em que ρ ≥ 0,01

Ks = 0

Kc = 0,3 / (1 + 0,5ϕef)

A maior dificuldade na aplicação deste método reside no cálculo da rigidez nominal o

qual obriga a um processo iterativo.




169

2.7 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO

1. Verificação do estado limite último de flexão composta na secção crítica (secção

mais esforçada), para os esforços

Nsd e Msd = M0sd + Nsd e2

em que: M0sd = M0e + Nsd ei

2. Secção crítica

(i) Elementos contraventados

A localização da secção crítica depende do diagrama de Msd conforme se pode

observar na figura seguinte. Nesta figura considera-se uma coluna genérica e

representam-se os esforços relativos às cargas atuantes e ao efeito de 2ª ordem.

M1M2

M2M1

NM02

M01N

M = M + M1TOT 2

≡ + =

Verifica-se, em geral, que a secção crítica se localiza numa zona intermédia, e não

junto das extremidades, pelo que a sua determinação requer um certo esforço de

cálculo.

O EC2 ultrapassa esta dificuldade indicando uma metodologia simplificada para

estimar o momento máximo. Essa metodologia consiste em tomar para o momento

associado às cargas actuantes um valor constante, o qual é somado directamente aos

momentos relativos às imperfeições geométricas e aos efeitos de 2ª ordem.




170

M0e = máx 0.6 M02 + 0.4 M01

0.4 M02

com |M02| ≥ |M01|

Todavia, como é possível verificar na primeira figura, os efeitos da imperfeição

geométrica e de 2ª ordem também se fazem sentir nos nós pelo que o momento

máximo pode, eventualmente, ocorrer numa das extremidades do elemento.

As dificuldades atrás referidas podem ser ultrapassadas se os efeitos das imperfeições

geométricas e de 2ª ordem forem considerados através da força horizontal equivalente

de acordo com exposto anteriormente.

(ii) Elementos não contraventados

Nos elementos não contraventados os esforços máximos ocorrem nos nós como se

pode observar na figura seguinte pelo que não se coloca o problema atrás referido.

M2M1

NM02

M01N

M = M + M1TOT 2

+ =

N

θ2

N

ei

θ i

e2 MSd 0

M0e N ei

=++

N e2 Sd 0eM = M +Nei + N e2




171

3. Dispensa da verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura

Para o caso de elementos isolados, os efeitos de segunda ordem poderão ser

desprezados se for satisfeita a condição

λ ≤ λlim = 20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C

n

onde,

λ = l0 / i e representa o coeficiente de esbelteza (i representa o raio de giração

da secção transversal não fendilhada);

A = 1 / (1 + 0.2 ϕef ) (se ϕef for desconhecido pode adoptar-se A = 0.7);

B = 1 + 2 ω (se ω for desconhecido pode adoptar-se B = 1.1);

C = 1.7 – rm (se rm for desconhecido pode adoptar-se C = 0.7);

ϕef representa o coeficiente de fluência efectivo;

ω = Asfyd / Acfcd e representa a percentagem mecânica de armadura;

rm = M01 / M02 onde M01 e M02 representam os momentos de primeira ordem nas

extremidades de um elemento, sendo |M02| ≥ |M01|;

n = Nsd / (Ac fcd) e representa o esforço normal reduzido

O parâmetro C é o que apresenta, nos casos correntes, uma maior variação (entre 0.7

e 2.7) pelo que é conveniente o seu cálculo dado ter uma influência significativa no

valor de λlim.




172

EXERCÍCIO 5.3

Dimensione o pilar indicado sujeito aos seguintes esforços:

N

H

3.00

Secção transversal

0.30

0.40

Esforços característicos: Ng = 550 kN; Nq = 250 kN

Hq = 20kN

(ψ1 = 0.6; ψ2 = 0.4)

Materiais: C25/30; A400NR


1. Cálculo da esbelteza

λ = L0 i =

2 × 3.0 0.0866 = 69.3

i = I A =

9 × 10-4 0.30 × 0.40 = 0.0866 m; I =

bh3 12 =

0.4 × 0.33 12 = 9 × 10-4 m4

2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas ei = θi l0 / 2

θi = θ0 ⋅ αh ⋅ αm

αh = 2 / l = 2 / 3.0 = 1.15 < 1.0 ⇒ αh = 1.0

αm = 0.5 (1 + 1/m) = 1.0

θi = 1

200

ei = l0

400 = 6.0 400 = 0.015 m




173

3. Determinação dos esforços de dimensionamento

Nsd = 1.5 × (550 + 250) = 1200 kN; M0sd = 20 × 3 × 1.5 + 0.015 × 1200 = 108.0 kN

3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem

Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar a

condição seguinte:

λ = 69.3 ≤ λlim = 20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C

n

C = 1.7 – rm = 1.7

rm = M01 / M02 = 0

n = Nsd

Ac fcd =

1200 0.30 × 0.40 × 16.7×103 = 0.599

λlim = 20 × 0.7 × 1.1 × 1.7

0.599 = 33.8

⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis

3.2. Quantificação dos esforços de cálculo

Nsd = 1200 kN

Msd = M0sd + Nsd e2

(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem

e2 = 1 r

L02

c

1 r = Kr ⋅ Kϕ ⋅

1 r0

1 r0

= εyd

0.45d = 1.74×10-3

0.45 × 0.25 = 1.55×10-2 m-1

Kr = nu - n

nu - nbal =

1.5 - 0.6 1.5 - 0.4 = 0.82 ≤ 1.0




174

n = Nsd

Ac fcd =

1200 0.30 × 0.40 × 16.7×103 = 0.60

nu = 1 + ω ≈ 1 + 0.5 = 1.5

Estima-se em 0.5 a percentagem mecânica de armadura. Refira-se que este

parâmetro tem influência reduzida no valor de nu.

Kϕ = 1 + β ϕef ≥ 1

ϕef = ϕ(t∞, t0) M0cqp M0sd

= 2.5 × 33.8 108 = 0.78

M0cqp = 20 × 3 × 0.4 + 0.015 × (550 + 0.4 × 250) = 33.8 kNm

β = 0.35 + fck

200 - λ

150 = 0.35 + 25

200 - 69.3 150 = 0.013

Kϕ = 1 + 0.013 × 0.78 = 1.01 ≥ 1

1 r = Kr ⋅ Kϕ ⋅

1 r0

= 0.82 × 1.01 × 1.55×10-2 = 0.013 m-1

e2 = 1 r

L02

c = 0.013 × 62

10 = 0.047 m

Msd = M0sd + Nsd e2 = 108 + 1200 × 0.047 = 164.4 kNm

4. Cálculo da armadura (flexão composta)

ν = Nsd

b h fcd =

-1200 0.3 × 0.4 × 16.7×103 = -0.60

µ = Msd

b h2 fcd =

164.4 0.4 × 0.32 × 16.7×103 = 0.273

⇒ ωTOT = 0.62

d1 h =

0.05 0.3 = 0.167≅ 0.15 ; A400

ASTOT = ωTOT × bh × fcd fsyd

= 0.62 × 0.30 × 0.40 × 16.7 348 × 104 = 35.7cm2




175

EXERCÍCIO 5.4

Dimensione o pilar sujeito aos seguintes esforços:

5.00

N

Secção transversal

0.25

0.25

Esforços característicos: Ng = 380 kN; Nq = 220 kN

(ψ1 = 0.4; ψ2 = 0.2)

Materiais: C20/25; A400NR


1. Cálculo da esbelteza

λ = L0 i =

5 0.0722 = 69.3

i = I A =

3.255 × 10-4 0.252 = 0.0722 m ; I =

b h3 12 =

0.254 12 = 3.255×10-4 m4

2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas ei = θi l0 / 2

θi = θ0 ⋅ αh ⋅ αm = 1

200 × 0.89 = 0.0045

αh = 2 / l = 2 / 5.0 = 0.89 ; αm = 0.5 (1 + 1/m) = 1.0

ei = θi l0 / 2 = 0.0045 × 5.0 2 = 0.011 m




176

3. Esforços de dimensionamento

Nsd = (380 + 220) × 1.5 = 900 kN; M0sd = 0.011 × 900 = 9.9 kNm

3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar

condição seguinte:

λ = 69.3 ≤/ λlim = 20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C

n =

20 × 0.7 × 1.1 × 1.7 1.083

= 25.2

C = 1.7 – rm = 1.7

rm = M01 / M02 = 0

n = Nsd

Ac fcd =

900 0.25 × 0.25 × 13.3×103 = 1.083

λlim = 20 × 0.7 × 1.1 × 1.7

1.083 = 25.2

⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis

3.2. Quantificação dos esforços de cálculo

Nsd = 900 kN; Msd = M0sd + Nsd e2

(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem

e2 = 1 r

L02

c

1 r = Kr ⋅ Kϕ ⋅

1 r0

1 r0

= εyd

0.45d = 1.74×10-3

0.45 × 0.20 = 1.93×10-2 m-1

Kr = nu - n

nu - nbal =

1.5 - 1.083 1.5 - 0.4 = 0.38 ≤ 1.0

n = Nsd

Ac fcd =

900 0.252 × 13.3×103 = 1.083




177

nu = 1 + ω ≈ 1 + 0.5 = 1.5

Kϕ = 1 + β ϕef

ϕef = ϕ(t∞, t0) M0cqp M0sd

= 2.5 × 4.7 9.9 = 1.2

M0cqp = 0.011 × (380 + 0.2 × 220) = 4.7 kNm

β = 0.35 + fck

200 - λ

150 = 0.35 + 20

200 - 69.3 150 = -0.012

Kϕ = 1 - 0.012 × 1.2 = 0.99 ⇒ Kϕ = 1

1 r = Kr ⋅ Kϕ ⋅

1 r0

= 0.38 × 1.0 × 1.93×10-2 = 0.0073 m-1

e2 = 1 r

L02

c = 0.0073 × 52

10 = 0.0183 m

Msd = M0sd + Nsd e2 = 9.9 + 900 × 0.0183 = 26.4 kNm

3. Cálculo da armadura (flexão composta)

d1 h =

0.05 0.25 = 0.20 ; A400 → Tabelas pág. 45

ν = Nsd

b h fcd =

-900 0.252 × 13.3×103 = -1.083

µ = Msd

b h2 fcd =

27.9 0.253 × 13.3×103 = 0.127

⇒ ωTOT = 0.65

AsTOT = ωTOT × b h × fcd fsyd

= 0.65 × 0.252 × 13.3 348 × 104 = 15.5cm2




178

3 Estruturas em Pórtico

3.1 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS

Uma vez que os esforços de 2ª ordem dependem da deformabilidade lateral dos

pórticos convém classificar as estruturas relativamente a esta característica.

� Estruturas contraventadas: estruturas com elementos verticais de grande rigidez

com capacidade resistente para absorver a maior parte das acções horizontais.

paredesou

núcleos

Neste tipo de estruturas a deformação lateral é condicionada pelos elementos de

contraventamento.

A deformação lateral global da estrutura pode ou não ser desprezável consoante a

rigidez dos elementos de contraventamento e as cargas actuantes.

Embora a deformação global da estrutura possa ter significado, a deformação lateral

relativa entre pisos consecutivos é desprezável.

Deste modo há apenas que considerar os efeitos locais de 2ª ordem para

dimensionamento dos pilares. No dimensionamento dos elementos de

contraventamento devem ou não ser considerados os efeitos globais de 2ª ordem

consoante os deslocamentos laterais são significativos ou desprezáveis,

respectivamente.

� Estruturas não contraventadas: estruturas sem elementos de contraventamento

Nestas estruturas a deformação lateral é, em geral, significativa. Os pilares e paredes

devem ser dimensionados para os efeitos globais de 2ª ordem sendo ainda necessário

verificar se os efeitos locais são condicionantes.




179

3.2 COMPRIMENTO DE ENCURVADURA

O comprimento de encurvadura é definido pela distância entre os pontos de momento

nulo, da distribuição final de momentos ao longo do pilar, podendo ser determinado

pela expressão:

l0 = ηl

onde l representa o comprimento livre do elemento e η é um factor que depende das

condições de ligação das extremidades do elemento

Estruturas contraventadas

l0 ≤ l (η ≤ 1)

Estruturas não contraventadas

l0 ≥ l (η ≥ 1)

O comprimento de encurvadura de acordo com o EC2 é obtido pelas seguintes

expressões (calibradas com recurso a análises não lineares):

- Elementos contraventados

l0 = 0,5l⋅

++⋅

++

2

2

1

1

45,01

45,01

kk

kk

- Elementos não contraventados

l0 = l⋅

++⋅

++

+⋅

⋅+ k

kk

k

kkkk

2

21

1

21

21

11

11;101max

k1, k2 são parâmetros relativos às extremidades do pilar que traduzem a rigidez

relativa à rotação dos nós:

k = (θ / M)⋅ (EΙ / l)

θ / Μ rigidez à rotação dos elementos que concorrem no nó que restringem a rotação

desse nó;

EΙ rigidez de flexão do pilar;

l altura livre do pilar entre ligações de extremidade

l l




180

A rigidez θ/Μ pode ser definida aproximadamente por:

θ/Μ = 4 EI/L para elementos com ligações de continuidade nas extremidades

θ/Μ =3 EI/L para elementos rotulados na extremidade oposta à da ligação em análise

Nos casos gerais em que apenas as vigas contribuem para a restrição à rotação dos

nós tem-se:

ki = ∑

( )EI / L pilares

∑

( )αEI / L vigas

nó i:

viga

pilar

Em que α toma o valor de 3 ou 4 consoante os casos atrás referidos.

O parâmetro k pretende traduzir a maior ou menor dificuldade de rotação do nó:

Maior rotação ⇒ maior deformação ⇒ maior l0 ⇒ maiores efeitos de 2ª ordem.

Exemplo de cálculo de l 0:

Determinar o comprimento de encurvadura do pilar indicado na figura.

3.00

3.00

4.00

6.00 5.00

0.3

0.6 0.5

0.3

0.5

0.3 0.3

0.4

0.30.3

1

2

Classificação da estrutura: Estrutura não contraventada




181

k1 = ∑

( )EI / L pilares

∑

( )4EI / L vigas

= ∑

( )I / L pilares

∑

( )4I / L vigas

=

0.34 12 ×

1 4 +

0.34 12 ×

1 3

0.3 × 0.53 12 ×

4 6 +

0.3 × 0.43 12 ×

4 5

= 0.117

k2 =

0.34 12 ×

1 3 × 2

0.3 × 0.63 12 ×

4 6 +

0.3 × 0.53 12 ×

4 5

= 0.074

l0 = l⋅

++⋅

++

+⋅

⋅+ k

kk

k

kkkk

2

21

1

21

21

11

11;101max

l0 = l . max (1.20; 1.18)

l0 = 3 x 1.2 = 3.60 m

3.3 EFEITOS DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS EM PÓRTICOS

Em pórticos os efeitos das imperfeições geométricas podem ser avaliados

considerando a estrutura inclinada de um ângulo θi. Uma metodologia alternativa

consiste na aplicação de forças horizontais ao nível dos vários pisos do pórtico que

conduzam ao mesmo efeito da inclinação θi.

H i

Nθ i

≡

H = Ni θ i




182

3.4 EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM PÓRTICOS

Para o caso de estruturas em pórtico, os efeitos globais de segunda ordem poderão

ser desprezados se for satisfeita a condição

Fv,sd ≤ k1 ns

ns + 1.6 ∑Ecd Ic

L2

onde,

Fv,sd representa a carga vertical total;

ns representa o número de pisos;

L representa a altura total do edifício acima do nível a partir do qual os

deslocamentos horizontais estão restringidos;

Ecd representa o valor de dimensionamento do módulo de elasticidade do

betão (Ecd = Ecm / γcE = Ecm / 1.2);

Ic representa o momento de inércia da secção transversal dos elementos de

contraventamento (em estado não fendilhado);

k1 é um coeficiente que em geral toma o valor 0.31, ou o valor 0.62 caso se

verifique que os elementos de contraventamento não estão fendilhados em

estado limite último.

Esta expressão é válida caso se verifiquem as condições seguintes:

- Estrutura aproximadamente simétrica;

- Deformações globais por corte desprezáveis;

- Rotação da base dos elementos de contraventamento desprezável;

- Elementos de contraventamento com rigidez aproximadamente constante em altura;

- Cargas verticais semelhantes nos vários pisos.

3.4.1 Verificação da segurança de pórticos contrave ntados cujos efeitos globais

de segunda ordem possam ser desprezados

Caso os efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados apenas há que

verificar os efeitos locais de 2ª ordem.

Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª ordem.

Os pilares podem ser analisados como elementos isolados de acordo com o definido

em 2.7.




183

3.4.2 Verificação da segurança de pórticos contrave ntados cujos efeitos globais

de segunda ordem não possam ser desprezados

Nestes casos, embora os deslocamentos globais da estrutura sejam significativos

(deslocamentos entre o topo e a base do edifício), os deslocamentos entre pisos são

desprezáveis dada a elevada rigidez dos elementos de contraventamento, desde que

estes apresentem em planta uma disposição aproximadamente simétrica.

É razoável admitir que os elementos contraventados não sofrem deslocamento

horizontal, pelo que há apenas que verificar os efeitos locais de 2ª ordem.

Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª e 2ª

ordem.

Os pilares podem ser analisados como elementos isolados conforme definido em 2.7.

Elementos de contraventamento (paredes)

Os efeitos de 2ª ordem podem ser avaliados por uma metodologia idêntica à referida

para as imperfeições geométricas.

∆H

Nθ 2

≡

∆H = N θ2

A inclinação θ2 é calculada com base no comprimento de encurvadura e

excentricidade de 2ª ordem do elemento de contraventamento.

comprimento de encurvadura doelemento de contraventamento

0

2




184

3.4.3 Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórti cos não contraventados

No caso de estruturas em que os efeitos globais de segunda ordem tenham que ser

considerados, a análise de pilares isolados em estruturas introduz alguns problemas:

− A análise de pilares isolados conduz a excentricidades diferentes, o que não é

realista dado que as vigas e lajes do piso impõem igualdade de deslocamentos

horizontais para os pilares. Assim, deverá considerar-se a mesma excentricidade

de 2ª ordem em todos os pilares.

− Os efeitos de 2ª ordem provocam um aumento de esforços nos pilares que, por

equilíbrio, conduzem a um aumento de esforços nas vigas adjacentes. A análise

de pilares isolados não tem em conta este efeito.

Desde modo, verifica-se que a análise dos pilares isolados não é adequada pelo que a

metodologia a adoptar deve contemplar o comportamento global da estrutura.

Formas mais correctas de ter em conta os efeitos de 2ª ordem

1. Análise da estrutura inclinada (deformada)

θ

2. Aplicação de forças horizontais fictícias que conduzam aos valores dos esforços

provocados pelos efeitos de 2ª ordem.

θ

∆H2

∆H1

Esta metodologia pode ser ilustrada através da análise de um pórtico simples a seguir

indicada.




185

Considere-se o pórtico na posição deformada:

O ângulo θ e o deslocamento δ podem ser determinados com base no comprimento de

encurvadura l0 e na excentricidade e2 da seguinte forma:

θ = e2

l 1 02

= 2 e2

l 1 0 ; δ = Lθ = 2L

e2

l 1 0

O momento global de 2ª ordem é:

MTOTAL2 = (N1 + N2) δ → MTOTAL

2 = (N1 + N2) 2L e2

l 1 0

e2; l0 → parâmetros relativos ao pilar que atinge primeiro a curvatura de cedência (pilar condicionante)

A força horizontal equivalente que conduz ao mesmo momento global nos pilares pode

ser calculada da seguinte forma:

MTOTAL∆H = ∆H L → ∆H L = (N1 + N2) 2L

e2

l0

→ ∆H = 2 (N1 + N2) e2

l0

l0; e2 → parâmetros relativos ao pilar condicionante

P

N N

2 e

θ θ

1

1

P2

2

e

L

10 2

0

δ δ

L

∆H




186

Definição do Pilar Condicionante

Considerando que o deslocamento horizontal no topo dos pilares é idêntico, as

características que determinam qual o primeiro pilar a atingir a curvatura de cedência

são a altura da secção, as condições de fronteira e o nível de esforço axial actuante.

As duas primeiras características caracterizam a rigidez do pilar, a terceira determina a

extensão máxima na armadura.

Considere-se a seguinte metodologia para definir um único parâmetro que tenha em

consideração as características atrás referidas:

- a excentricidade de 2ª ordem e2 é função da curvatura de cedência do pilar: e2 = 1r

l 2 010

A curvatura base é definida pela seguinte expressão: 1r0

= εyd

0.45d ≅ εyd

0.4h

A curvatura de cedência pode ser estimada de forma aproximada, a partir da curvatura

base, pela seguinte expressão:

1r =

εyd

0.4h 0.4n =

εyd

n h → e2 = εyd

n h l 2 010 com n ≥ 0.4

sendo: e2 = θ l02 ⇒

θ l02 =

εyd

n h l 2 010 ⇒ θ =

15 εyd

l0n h

θ é a inclinação do pórtico associada ao pilar que atinge primeiro a curvatura de

cedência: ⇒ θ = θi,mínimo

Donde se conclui que o pilar condicionante é o pilar com menor relação l0

n h (n ≥0.4)

No caso de pórticos com pilares com alturas diferentes deduz-se a seguinte relação,

que substitui a anterior, L l0n h em que L é a altura do pilar em análise.

N

2

N

e 0 0.4

h

n

m

n

+ -

1/r

1r0

1r0

0.4n≅1

r




187

EXERCÍCIO 5.5

C25/30 g = 17kN/m ψ0 = 0.4

A500 NR q = 13.5kN/m γG = 1.35

Rec: 3cm G1 = 600kN γQ = 1.5

G2 = 400kN

W = ± 100kN

Dimensionamento dos pilares

— Estrutura não contraventada

Esbeltezas λ = l0i

l0 = 2l = 2 x 5 = 10m

P1: i = 0.612

= 0.115m → λ = 10

0.115 = 87

P2: i = 0.612

= 0.173m → λ = 10

0.173 = 58

5,0

10,0

0.6

0.3 0.3

0.4

W

g, qG2 G1

P 1 P 2




188

— Efeito das imperfeições geométricas

θi = θ0 αh αm ; θ0 = 1

200

αh = 2l =

25 = 0.894 ; αm = 0.5

1 +

1m = 0.5

1 +

12 = 0.87

θi = 1

200 x 0.894 x 0.87 = 0.0039 ; ei = 0.0039 x 5 = 0.0194m

Força horizontal equivalente:

Hi = N θi

Combinação que envolve a acção do vento

Sd = 1.35 Sg + 1.5 ψ2 Sq ± 1.5 SW

N = N1 + N2 =1.35 (600 + 400) + 10 (1.35x17 + 1.5x0.4 x 13.5) = 1660kN

Hi = 1660 x 0.0039 = 6.47kN

R1 =

EI1L3

1

EI1L3

1

+ EI2L3

2

H1 = 0.43

0.43 + 0.63 14243

0.23

6.47 = 1.49kN

R2 = Hi – R1 = 4.98kN

Esforços de 1ª ordem

P1 → W1 = 0.23 x 100 = 23kN

Nsd = 1.35x400 + 102 (1.35x17 + 1.5x0.4 x 13.5) = 695kN

0.0039

0.0194

0.0039

R1

H i = 6.47

R 2




189

M0sd = 1.5 x 23 x 5 + 1.49 x 5 = 180kNm

P2 → W2 = 100 – 23 = 77kN

Nsd = 1.35x600 + 102 (1.35x17 + 1.5x0.4 x 15) = 965kN

M0sd = 1.5 x 77 x 5 + 4.98 x 5 = 602,4kNm

- Efeitos de 2ª ordem

Pórtico não contraventado ⇒ necessidade de considerar os efeitos de 2ª ordem

Excentricidade de 2ª ordem

A excentricidade de 2ª ordem é calculada para o pilar que atinge primeiro a curvatura

de cedência (pilar condicionante)

- pilar condicionante: pilar com menor relação l0

n h (n ≥0.4)

Pilar P1: l0

n h = 10 /(0.4x0.4) = 62.5 (n=0.35)

Pilar P2: l0

n h = 10 /(0.4x0.6) = 41.7 (n= 0.32) (condicionante)

O pilar condicionante coincide, em geral, com o pilar mais rígido como é possível

observar na figura seguinte.

δ1 = δ2 = ⌡⌠

1r M

− ⇒

1r1

= 1r2

e2 → 1r =

1r0

⇓

k1 k2

εyd

0.45d

Para um determinado deslocamento horizontal δ o pilar mais rígido (P2) atinge primeiro

a cedência donde se conclui que e2 é condicionada pelo pilar mais rígido.

P2 → e2 = 1r

l 2 010 ;

1r = kr kφ

1r0

; 1r0

= εyd

0.45d

δ1 δ2

oo o o

1/r0

P1

P2

ε

o




190

1r0

= 2.175 x 10-3

0.45 x 0.55 = 8.79 x 10-3/m

kφ = 1 + βφef ≥ 1.0

β = 0.35 + fck

200 - λ

150 = 0.35 + 25200 -

58150 = 0.088

φef = φ M0cqp

M0sd

M0cqp = 4.98 x 5 = 24.9kNmM0sd = 602.4kNm

→ φef = 2.5 24.9602.4 = 0.1

kφ = 1 + 0.088 x 0.1 ≅ 1.0

kr = nn - n

nn - nbal ≤ 1.0 ; n =

Nsd

Ac fcd ; nn = 1 + w

n = 0.32 ; nbal = 0.4 ; w ≈ 0.5 (estimativa)

kr = 1.5 - 0.3431.5 - 0.4 = 1.05 ⇒ kr = 1.0 (n ≤ 0.4 ⇒ kr = 1.0)

e2 = 8.79 x 10-3 102

10 = 0.0879m

Força horizontal equivalente: ∆H = 2N e2

l0 ; l0 = 2l ⇒ ∆H = N e2/l = (N1 + N2)

e2

l

∆H = 1660 x 0.0879

5 = 29.18kN

Momento de 2ª ordem

P1 → M2 = 0.23 x 29.18 x 5 = 33.56kNm

P2 → M2 = 0.77 x 29.18 x 5 = 112.34kNm

Esforços de dimensionamento

P1 → Nsd = 695kN

Msd = M0sd + M2 = 180 + 33.56 = 213.56kNm

n = 0.35 ; µ = 213.56

0.3 x 0.42 x 16700 = 0.266 → w = 0.44

AsTOT = 20.3cm2

Vsd = Msd

l = 213.56

5 = 42.7kN

Asw

s = Vsd

z cotg θ fyd =

42.70.9 x 0.35 x 2 x 43.5 = 1.56 cm2/m →

Asw

s min




191

0,3

0,4

4φ20 + 4φ16

Cintas φ6//0.15

(ρ = 1.7%)

P2 → Nsd = 965kN

Msd = 602.4 + 112.34 = 714.74kNm→ n = 0.32

µ = 0.396 → w = 0.76

AsTOT = 52.5cm2

Vsd = 714.74

5 = 142.9kN Asw

s = 3.32cm2/m

0,6

0,3

4φ25

2φ20

2φ16

4φ25

2φ20

8φ25 + 4φ20

Cintas φ8//0.15

(ρ = 3.1%)




192

4 Flexão Desviada

4.1 ROTURA CONVENCIONAL

� εs ≤ 10‰

� εc(-) ≤ 3.5‰

� Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰

Problema: o momento não está a actuar segundo as direcções principais de inércia.

4.2 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES

(i) Consideração de um determinado diagrama de rotura, para uma secção de betão

armado

σc

Fs1Fs2

Fc

My

Mz

(-)

ε

(+)

Através das equações de equilíbrio, para um dado diagrama de rotura obtém-se um

par de esforço MRd,y – MRd,z

(ii) Varrendo a secção com os possíveis diagramas de rotura obtém-se um diagrama

de interacção MRd,y – MRd,z

(iii) Repetindo o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de

dimensionamento

Flexão composta desviada: os processos anteriores são repetidos para vários níveis

de esforço axial.

Grandezas adimensionais:




193

− Esforço normal reduzido: ν = NRd

b h fcd

− Momentos flectores reduzidos: µy = MRd,y

b h2 fcd ; µz =

MRd,z

b2 h fcd

− Percentagem mecânica de armadura ωTOT = AsTOT b h

fsyd fcd

Nota:

Simplificadamente, é possível dividir o problema nas duas direcções e resolver como

se se tratasse de um problema de flexão composta em cada direcção. Neste caso, é

necessário verificar no final a seguinte condição:

Msd,y

MRd,y

α

+

Msd,z

MRd,z

α

≤ 1.0

onde α é um coeficiente que depende da forma da secção transversal e que toma os

seguintes valores:

• Secções transversais circulares ou elípticas: α = 2

• Secções transversais rectangulares

Nsd / NRd ≤ 0.1 0.7 1.0

α 1.0 1.5 2.0




194

EXERCÍCIO 5.6

Dimensione e pormenorize a seguinte secção de um pilar para os esforços de cálculo

indicados.

z

0.50

0.30

y

Nsd = -1200 kN

Msd,y = 150 kNm

Msd,z = 100 kNm

Materiais: A400

C20/25


Flexão desviada com esforço axial (Tabelas)

Msdz

Msdy

Astot/4

ν = Nsd

b h fcd =

-1200 0.30 × 0.50 × 13.3×103 = -0.60

µy = Msdy

b h2 fcd =

150 0.30 × 0.502 × 13.3×103 = 0.15

µz = Msdz

b2 h fcd =

150 0.302 × 0.50 × 13.3×103 = 0.167

Como µz > µy ⇒ µ1 = µz = 0.167 e µ2 = µy = 0.15

ν = -0.6

µ1 = 0.167

µ2 = 0.15

⇒ ωTOT = 0.60

⇒ AsTOT = ωTOT b h fcd fsyd

= 0.60 × 0.30 × 0.50 × 13.3 348 × 104 = 34.4cm2




195

EXERCÍCIO 5.7

Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as

armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msdz = 150 kNm;

Msdy = 200 kNm

Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR


Msd =

1502 + 2002 = 250 kNm ⇒ Flexão composta

d1 = 0.05 ⇒ d1 h = 0.10

ν = Nsd

π r2 fcd =

-1400 π × 0.252 × 16.7×103 = 0.427

µ = MSd

2π r3 fcd =

250 2 × π × 0.253 × 16.7×103 = 0.152

⇒ ωTOT = 0.30

AsTOT = ωTOT × πr2 × fcd

fsyd = 0.30 × π × 0.252 ×

16.7 348 × 104 = 28.3cm2

EBI - Módulo 5 - Pilares

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