Introdução a Matemática FinanceiraIntrodução a Matemática Financeira

1 –Capital, Juro, Taxa:1 –Capital, Juro, Taxa:

JuroJuro é a remuneração do capitalé a remuneração do capital

CapitalCapital é a quantia emprestadaé a quantia emprestada

Taxa de JuroTaxa de Juro é a taxa percentual que determina o juro a é a taxa percentual que determina o juro a ser cobrado ou recebido durante um intervalo de temposer cobrado ou recebido durante um intervalo de tempo

Regime de capitalização Regime de capitalização processo de formação dos juros processo de formação dos juros

Juro Simples Juro Simples aquele calculado unicamente pelo capital aquele calculado unicamente pelo capital inicial inicial

Juros CompostosJuros Compostos aquele que em cada período é aquele que em cada período é calculado sobre o montante relativo ao período anterior calculado sobre o montante relativo ao período anterior

2 – Regime de Capitalização:2 – Regime de Capitalização:

Duas taxas são Duas taxas são proporcionaisproporcionais quando seus valores formam quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidademesma unidade

3 – Taxas Proporcionais:3 – Taxas Proporcionais:

iikk = = i i ..

kk

ii = taxa de juros de um período = taxa de juros de um períodoiikk = taxa de juros proporcional = taxa de juros proporcional

kk = relação de períodos = relação de períodos

ATENÇÃOATENÇÃO :: i i é sempre a é sempre a taxa de jurostaxa de juros referente ao referente ao maior maior período período

ExemploExemplo: Qual a taxa mensal proporcional a 30% ao ano?: Qual a taxa mensal proporcional a 30% ao ano?

iikk = 2,5% ao mês = 2,5% ao mês

ii = 30% ao ano = 30% ao anoiikk = ? ao mês = ? ao mês

kk = 12 meses = 12 meses

iikk = = i i ..

kkiikk = = 30 30 ..

1212

ExemploExemplo: Qual a taxa mensal proporcional a 0,08% ao : Qual a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia?dia?

iikk = 2,4% ao mês = 2,4% ao mês

ii = ? ao mês = ? ao mêsiikk = 0,08% ao dia = 0,08% ao dia

kk = 30 dias = 30 dias

iikk = = ii ..

kk0,080,08 = = ii ..

3030

0,08 . 30 = 0,08 . 30 = ii

ExemploExemplo: Qual a taxa anual proporcional a 6% ao : Qual a taxa anual proporcional a 6% ao quadrimestre?quadrimestre?

iikk = 18% ao ano = 18% ao ano

ii = ? ao ano = ? ao anoiikk = 6% ao quadrimestre = 6% ao quadrimestre

kk = 3 quadrimestre = 3 quadrimestre

iikk = = ii ..

kk66 = = ii ..

33

6 . 3 = 6 . 3 = ii

ExemploExemplo: Qual a taxa trimestral proporcional a 12% ao : Qual a taxa trimestral proporcional a 12% ao semestre?semestre?

ii = 12% ao semestre = 12% ao semestreiikk = ? ao trimestre = ? ao trimestre

kk = 2 trimestres = 2 trimestres iikk = 6% ao trimestre = 6% ao trimestre

iikk = = i i ..

kkiikk = = 12 12 ..

22

Juros CompostosJuros Compostos aquele que, em cada período, aquele que, em cada período, é calculado sobre o montante relativo ao período é calculado sobre o montante relativo ao período anterior anterior

4 – Juros Compostos4 – Juros Compostos

Regime de Capitalização Composta:Regime de Capitalização Composta:

ExemploExemplo: Tomou-se emprestada a importância de R$ 1000, : Tomou-se emprestada a importância de R$ 1000, pelo prazo de 3 meses, à taxa de juro composto de 2% ao pelo prazo de 3 meses, à taxa de juro composto de 2% ao mês. Qual o valor do juro composto a ser pago?mês. Qual o valor do juro composto a ser pago?

CC = 1000 = 1000nn = 3 meses = 3 mesesii = = 2 2 = 0,02 am = 0,02 am 100100

jj = 1000 . 0,02 = = 1000 . 0,02 = 2020

jj = 61,20 = 61,20

Juros no Juros no 1º1º mês: mês:

jj = 1020 . 0,02 = = 1020 . 0,02 = 20,4020,40

Juros no Juros no 2º2º mês: mês:

jj = 1040,40 . 0,02 = = 1040,40 . 0,02 = 20,8020,80

Juros no Juros no 3º3º mês: mês:

jj = 20 + 20,4 + 20,8 = 20 + 20,4 + 20,8

Total dos Juros:Total dos Juros:

M = C + j = 1000 + 20 = M = C + j = 1000 + 20 = 10201020

M = 1020 + 20,4 = M = 1020 + 20,4 = 1040,401040,40 M = 1040,4 + 20,8 = M = 1040,4 + 20,8 = 1061,201061,20

ATENÇÃOATENÇÃO : a : a taxa de jurostaxa de juros e número de e número de períodosperíodos devem referir-se à devem referir-se à mesma unidademesma unidade de tempo de tempo

Montante:Montante:

MM = C + j = C + j MM = C ( 1 + i ) = C ( 1 + i ) nn

(1 + i)(1 + i)nn Fator de Capitalização Fator de Capitalização

CC = capital = capitaljj = juro composto = juro compostonn = período = períodoii = taxa de juros unitária = taxa de juros unitária

Exemplo:Exemplo: Calcule o montante produzido pelo Calcule o montante produzido pelo capital de R$ 2000, aplicado em regime de juro capital de R$ 2000, aplicado em regime de juro composto a 5% ao mês, durante 2 meses.composto a 5% ao mês, durante 2 meses.

MM = C (1 + i) = C (1 + i)nnCC = 2000 = 2000nn = 2 meses = 2 mesesii = = 5 5 = 0,05 am = 0,05 am 100100

MM = 2205,00 = 2205,00

MM = 2000 (1 + 0,05) = 2000 (1 + 0,05) 22

MM = 2000 (1 ,05) = 2000 (1 ,05) 22

MM = 2000 .1,1025 = 2000 .1,1025

Exemplo:Exemplo: Calcule o capital inicial que, no prazo de Calcule o capital inicial que, no prazo de 5 meses, a taxa de juros composta de 3% ao mês, 5 meses, a taxa de juros composta de 3% ao mês, produziu o montante de R$ 4057,46.produziu o montante de R$ 4057,46.

M = M = CC (1 + i) (1 + i)nnMM = 4057,46 = 4057,46nn = 5 meses = 5 mesesii = = 3 3 = 0,03 am = 0,03 am 100100

CC = 3500,00 = 3500,00

4057,46 = 4057,46 = CC (1 + 0,03) (1 + 0,03) 55

4057,46 = 4057,46 = CC (1 ,03) (1 ,03) 55

4057,46 = 4057,46 = CC .1,15927 .1,15927

4057,46 4057,46 = = CC 1,15927 1,15927

Exemplo:Exemplo: Um capital inicial aplicado à taxa de Um capital inicial aplicado à taxa de juro composto de 2,5% ao mês, durante 4 meses, juro composto de 2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeu um montante de R$ 79474,53. Calcule o rendeu um montante de R$ 79474,53. Calcule o capital.capital.

M = M = CC (1 + i) (1 + i)nnMM = 79474,53 = 79474,53nn = 4 meses = 4 mesesii = = 2,5 2,5 = 0,025 am = 0,025 am 100100

CC = 72000,00 = 72000,00

79474,53 = 79474,53 = CC (1 + 0,025) (1 + 0,025) 44

79474,53 = 79474,53 = CC (1 ,025) (1 ,025) 44

79474,53 = 79474,53 = CC .1,10381 .1,10381

79474,53 79474,53 = = CC 1,10381 1,10381

Exemplo:Exemplo: Uma loja financia um bem de consumo durável, Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3200, sem entrada, para pagamento em uma no valor de R$ 3200, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de 4049,02 no final de 6 meses. Qual a taxa única prestação de 4049,02 no final de 6 meses. Qual a taxa de juro composta mensal cobrada pela loja?de juro composta mensal cobrada pela loja?

M = C (1 + M = C (1 + ii))nnCC = 3200 = 3200MM = 4049,02 = 4049,02nn = 6 meses = 6 meses

ii = 4% ao mês = 4% ao mês

4049,02 = 3200 (1 + 4049,02 = 3200 (1 + ii) ) 66

4049,02 4049,02 = (1 + = (1 + ii) ) 66

3200 3200 (1 + (1 + ii) ) 66 = 1,26532 = 1,26532

1 + 1 + ii = (1,26532) = (1,26532) 1/61/6 1 + 1 + ii = (1,26532) = (1,26532) 0,166670,16667

1 + 1 + ii = 1,04001 = 1,04001 ii = 1,04001 – 1 = 1,04001 – 1 ii = 0,04001 = 0,04001 xx100 100

Exemplo:Exemplo: Determine em que prazo um empréstimo de R$ Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11000 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 11000 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22124,93. Sabe-se que a taxa de juro contratada é de 15% 22124,93. Sabe-se que a taxa de juro contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto.ao semestre em regime de juro composto.

M = C (1 + i)M = C (1 + i)nnCC = 11000 = 11000MM = 22124,93 = 22124,93ii = = 15 15 = 0,15 as = 0,15 as 100100

nn = 5 semestres = 5 semestres

22124,93 = 11000 (1 + 0,15) 22124,93 = 11000 (1 + 0,15) nn

22124,93 = 11000 . 1,15 22124,93 = 11000 . 1,15 nn

22124,93 22124,93 = 1 ,15 = 1 ,15 nn

11000 11000 1,15 1,15 nn = 2,01136 = 2,01136

log 1,15 log 1,15 nn = log 2,01136 = log 2,01136 nn xx log 1,15 = log 2,01136 log 1,15 = log 2,01136

nn = = log 2,01136 log 2,01136 log 1,15log 1,15

nn = = 0,69881 0,69881 0,139760,13976

É aquela cujo período de capitalização não coincide com É aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se refereaquele a que ela se refere

5 – Taxa Nominal:5 – Taxa Nominal:

ATENÇÃOATENÇÃO : Por convenção, adota-se que a taxa por : Por convenção, adota-se que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominalperíodo de capitalização seja proporcional à taxa nominal

Exemplo: Exemplo: Qual o montante de uma capital de R$ 5000, no Qual o montante de uma capital de R$ 5000, no fim de 2 fim de 2 anosanos, com juros compostos de 24% ao , com juros compostos de 24% ao anoano capitalizados capitalizados trimestralmentetrimestralmente??

MM = C (1 + i) = C (1 + i)nn

CC = 5000 = 5000

MM = 7969,25 = 7969,25

MM = 5000 .(1 + 0,06) = 5000 .(1 + 0,06) 88

MM = 5000 .(1 ,06) = 5000 .(1 ,06) 88 MM = 5000 = 5000 x x 1,593851,59385

ii = 24% aa = = 24% aa = 24 24 = 6% at = = 6% at = 6 6 = 0,06 ao = 0,06 ao trimestretrimestre

4 1004 100

nn = 2 anos = 8 trimestres = 2 anos = 8 trimestres

Exemplo: Exemplo: Calcule o capital de uma aplicação, a taxa de Calcule o capital de uma aplicação, a taxa de juro composto de 22% ao juro composto de 22% ao anoano, capitalizado , capitalizado semestralmentesemestralmente, durante 18 , durante 18 mesesmeses, que gerou um montante , que gerou um montante de 16411,57de 16411,57

M = M = CC (1 + i) (1 + i)nn

MM = 16411,57 = 16411,57

CC = 12000,00 = 12000,00

16411,57 = 16411,57 = CC .(1 + 0,11) .(1 + 0,11) 33

16411,57 = 16411,57 = CC .(1 ,11) .(1 ,11) 33 16411,57 = 16411,57 = CC x x 1,367631,36763

ii = 22% aa = = 22% aa = 22 22 = 11% as = = 11% as = 11 11 = 0,11 ao semestre = 0,11 ao semestre 2 1002 100

nn = 18 meses = 3 semestres = 18 meses = 3 semestres

16411,57 16411,57 = = CC 1,36763 1,36763

6 – Amortização Composta6 – Amortização Composta

AmortizaçãoAmortização liquidação de uma dívida pagando certa liquidação de uma dívida pagando certa quantia em épocas distintasquantia em épocas distintas

00 2211 4433

100100100100 100100100100

100 (1+0,02) 100 (1+0,02) -1-1

100 (1+0,02) 100 (1+0,02) -2-2

100 (1+0,02) 100 (1+0,02) -3-3

100 (1+0,02) 100 (1+0,02) -4-4

AA = N ( 1 + i ) = N ( 1 + i ) –– n n

A A = = N N ..

( 1 + i ) ( 1 + i ) -- nn

AA = valor atual ou valor presente = valor atual ou valor presenteNN = valor nominal ou valor futuro = valor nominal ou valor futuronn = período = períodoii = taxa de juros unitária = taxa de juros unitária

00 2211 4433

++++ ++++

Fluxo de Caixa Fluxo de Caixa conjunto de entradas e saídas conjunto de entradas e saídas monetárias de caixamonetárias de caixa

---- ----

Entradas de CaixaEntradas de Caixa

Saídas de CaixaSaídas de Caixa

Linha horizontal Linha horizontal registra a escala de temporegistra a escala de tempo

Ponto zero Ponto zero indica o momento inicialindica o momento inicial

Demais pontos Demais pontos representam os períodos de temporepresentam os períodos de tempo

00 2211 4433

100100100100 100100100100

100 (1+0,02) 100 (1+0,02) - 1- 1

100 (1+0,02) 100 (1+0,02) - 2- 2

100 (1+0,02) 100 (1+0,02) - 3- 3

100 (1+0,02) 100 (1+0,02) - 4- 4

ExemploExemplo Qual dívida pode ser amortizada por 4 Qual dívida pode ser amortizada por 4 prestações iguais mensais de R$ 100, sendo de 2% ao prestações iguais mensais de R$ 100, sendo de 2% ao mês a taxa de jurosmês a taxa de juros

A = 100 (1+0,02) A = 100 (1+0,02) - 1- 1 ++ 100 (1+0,02) 100 (1+0,02) - 2- 2 ++ 100 (1+0,02) 100 (1+0,02) - 3- 3 ++ 100 (1+0,02) 100 (1+0,02) - 4- 4 A = 98,03922 A = 98,03922 ++ 96,11688 96,11688 ++ 94,23223 94,23223 ++ 92,38454 92,38454

A = A = 380,77380,77

AA

Exemplo: Exemplo: Qual o valor da dívida que pode ser amortizada Qual o valor da dívida que pode ser amortizada por 3 prestações mensais imediatas de R$ 800 cada uma, por 3 prestações mensais imediatas de R$ 800 cada uma, sendo de 4% ao mês a taxa de juro composto?sendo de 4% ao mês a taxa de juro composto?

Exemplo: Exemplo: Calcule o valor de uma motocicleta comprada a Calcule o valor de uma motocicleta comprada a prazo, com uma entrada de R$ 1000 e o restante à taxa de prazo, com uma entrada de R$ 1000 e o restante à taxa de juro composto 1,5% ao mês. O prazo de financiamento é de juro composto 1,5% ao mês. O prazo de financiamento é de 6 meses e o valor da prestação imediata de R$ 702,106 meses e o valor da prestação imediata de R$ 702,10

Exemplo: Exemplo: Qual o preço de uma TV Led financiada à taxa Qual o preço de uma TV Led financiada à taxa de juros composto de 3% ao mês, em 4 meses, sem entrada de juros composto de 3% ao mês, em 4 meses, sem entrada com prestações mensais de R$ 538,05com prestações mensais de R$ 538,05