Ed Castillo

7/24/2019 Ed Castillo

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R I C K J A V I E R V A R G A S O R D A Z

A L E J A N D R O M T T A R F L O R E S

N O R M A E L I Z A B E T H O L V E R A F U E N T E S

MATEMTICAS2A P R A C T I C A R

C U A D E R N O D E T R A B A J O


2/44

DIRECCIN EDITORIAL Adriana Beltrn Fernndez SUBDIRECCIN EDITORIAL Tania Carreo

King GERENCIADESECUNDARIAAurora Saavedra Sol GERENCIADEDISEORenato Aranda

EDICINJavier Jimnez Alba, Ren Lpez Villamar, Jos Antonio Gaytn Garca, Milosh

Trnka Rodrguez ASISTENCIAEDITORIALAlma Rosa Valadez Canseco, Ricardo Medel Esquivel,

Victor Duarte Alaniz CORRECCINDEESTILODnae Montero Alejandri DISEODELASERIE

Renato Aranda y Gustavo Hernndez Jaime SUPERVISINYCOORDINACINDEDISEOGabriela

Rodrguez FORMACIN Capitulares SUPERVISIN Y COORDINACINDE IMAGEN Tere LeyvaNava GRFICOSYESQUEMASMariana Jimnez, Carlos Zariana DIGITALIZACINYRETOQUE

Juan Ortega GERENCIADEPRODUCCINAlma Orozco COORDINACINDEPRODUCCINAlma

Ramrez

Primera edicin: enero de 2013

A practicar Matemticas 2

Gua para el Maestro

Autores del texto: Erick Javier Vargas Ordaz, Alejandro Mttar Flores,

Norma Elizabeth Olvera Fuentes

Todos los derechos reservados.

D. R. 2012, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

Castillo es una marca registrada

Insurgentes Sur 1886, Col. Florida,

Del. lvaro Obregn,

C.P. 01030, Mxico, D. F.

Tel.: (55) 5128-1350

Fax: (55) 5128-1350 ext. 2899

Ediciones Castillo forma parte del Grupo Macmillan

www.grupomacmillan.com

www.edicionescastillo.com

[email protected]

Lada sin costo: 01 800 536 1777

Miembro de la Cmara Nacional

de la Industria Editorial Mexicana

Registro nm. 3304

ISBN de la serie: 978-607-463-780-9

Prohibida la reproduccin o transmisin parcial o total de esta obra por cualquier medio

o mtodo o en cualquier forma electrnica o mecnica, incluso fotocopia, o sistema para

recuperar informacin, sin permiso escrito del editor.

Impreso en Mxico/Printed in Mexico


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3

Las matemticas no me gustan, Las matemticas son difciles,

Las matemticas son aburridas, Siempre repruebo matemti-

cas Alto!... Calma deja de ver a las matemticas como tu enemi-

go ms acrrimo (aunque a muchas personas s les agradan). Esta

materia debe convertirse en tu aliado para resolver problemas. Lo

nico que tendrs que hacer es familiarizarte con su metodologa,

las frmulas y ecuaciones que te permitirn descubrir las claves

para resolver, no slo los casos que se presenten en este libro, sino

problemas de tu vida cotidiana.Cada vez que nos enfrentamos a un reto es posible que experi-

mentemos rechazo o temor (y ms si has fallado constantemente),

pero el temor es una palabra que no debe existir en tu dicciona-

rio. No dejes de intentarlo, dicen por ah que La prctica hace al

maestro y cuando realices los ejercicios que aqu se presentan, te

sorprender lo fcil que es resolver problemas cotidianos aplicando

matemticas.

Todos tenemos diferentes estilos al aprender, por eso procuramos

que en este libro exista variedad de problemas, de situaciones y de

mtodos de solucin. En cada leccin te ofrecemos los elementos

necesarios para ir, paso a paso, de lo ms fcil a lo ms complicado.

As tambin te brindamos consejos que te pondrn alerta para evi-

tar errores. No dudes, slo es cuestin de prctica, sin embargo no

te confes y no dejes el estudio para un da antes del examen.

No desconfes de las matemticas, confa en tus habilidades, des-

pierta tu curiosidad y atrvete a mirar esta materia desde un punto

de vista distinto, es como las obras de arte moderno, para encontrar

su belleza, hay que mirarlas desde otro ngulo. Las matemticas

forman parte de tu vida, no las dejes encerradas en la escuela. Te

aseguramos que con la prctica, llegars a dominarlas. Adelante!

Presentacin


4/44

4

6 Conoce tu libro7 Dosificacin

9 BLOQUE 1

10 Multiplicaciones y divisiones con nmerosenteros

13 Potenciacin17 ngulos entre paralelas y ngulos interiores

de tringulos y paralelogramos20 Construccin de tringulos24 rea de figuras compuestas28 El porcentaje

32 Procedimientos recursivos36 Comparacin de eventos a partir de sus

resultados posibles40 Anlisis de datos a partir de su media

aritmtica o mediana43 Lo que aprend

45 BLOQUE 2

46 Suma y resta de monomios49 Suma y resta de polinomios53 Expresiones algebraicas equivalentes57 Frmulas para el clculo de volmenes

de cubos, prismas y pirmides rectos60 Clculo de volmenes de cubos, prismas

y pirmides63 Situaciones de proporcionalidad inversa67 Experimentos aleatorios 71 Lo que aprend

NDICE4


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5

73 BLOQUE 3

74 Jerarqua de las operaciones 77 Multiplicacin entre polinomios y divisin

de un polinomio entre un monomio

81 La suma de los ngulos interioresde un polgono84 Teselaciones88 Relacin entre litro y decmetro cbico

y entre otras unidades de volumen92 La expresiny = kxpara representar

proporcionalidad96 Histogramas y grficas poligonales100 Propiedades de la media y la mediana103 Lo que aprend

105 BLOQUE 4

106 Sucesiones de nmeros enteros110 Ecuaciones de primer grado114 ngulos inscritos y ngulos centrales118 Grficas de proporcionalidad directa e inversa122 Representaciones de variaciones lineales126 Media ponderada129 Lo que aprend

131 BLOQUE 5

132 Sistemas de ecuaciones 2 2135 Representacin grfica de un sistema de ecua-

ciones lineales con dos incgnitas139 Construccin de figuras simtricas respecto

de un eje143 ngulos inscritos y centrales, arcos, sectores

circulares y coronas147 Lectura y construccin de grficas lineales150 Grficas de relaciones lineales153 Distribucin frecuencial y terica157 Lo que aprend

159 Bibliografa

5


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7

Semanas Ficha Contenido Pginas

Bloque1

1

1. Multiplicaciones y

divisiones con nmerosenteros Resolucin de multiplicaciones y divisiones con nmeros enteros. 10 a 12

1 y 2 2. PotenciacinClculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la mismabase y potencias de una potencia. Significado de elevar un nmero natural auna potencia de exponente negativo.

13 a 16

2 y 3

3. ngulos entre paralelasy ngulos interiores detringulos y paralelo-gramos.

Identificacin de relaciones entre los ngulos que se forman entre dos rectasparalelas cortadas por una transversal. Justificacin de las relaciones entre lasmedidas de los ngulos interiores de los tringulos y paralelogramos.

17 a 19

3 y 44. Construccin de trin-

gulosConstruccin de tringulos con base en ciertos datos. Anlisis de lascondiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

20 a 23

4 y 55. rea de figuras com-

puestasResolucin de problemas que impliquen el clculo de reas de figurascompuestas, incluyendo reas laterales y totales de prismas y pirmides.

24 a 27

5 y 6 6. El porcentaje

Resolucin de problemas diversos relacionados con el porcentaje, comoaplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qu porcentaje representauna cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte deella y el porcentaje que representa.

28 a 31

6 y 77. Procedimientos recur-

sivosResolucin de problemas que impliquen el clculo de inters compuesto,crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.

32 a 35

7 y 88. Comparacin de

eventos a partir de susresultados posibles

Comparacin de dos o ms eventos a partir de sus resultados posibles, usandorelaciones como: es ms probable que..., es menos probable que....

36 a 39

8 y 99. Anlisis de datos a partir

de su media aritmtica omediana

Anlisis de casos en los que la media aritmtica o mediana son tiles paracomparar dos conjuntos de datos.

40 a 42

Bloque2

9 y 101. Suma y resta de mono-

mios Resolucin de problemas que impliquen adicin y sustraccin de monomios. 46 a 48

10 y 112. Suma y resta de

polinomiosResolucin de problemas que impliquen adicin y sustraccin de polinomios.

49 a 52

11 y 123. Expresiones algebraicas

equivalentesIdentificacin y bsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir delempleo de modelos geomtricos.

53 a 56

12 y 13

4. Frmulas para el clculode volmenes de cubos,prismas y pirmidesrectos

Justificacin de las frmulas para calcular el volumen de cubos, prismas ypirmides rectos.

57 a 59

13 y 145. Clculo de volmenes

de cubos, prismas ypirmides

Estimacin y clculo del volumen de cubos, prismas y pirmides rectos ode cualquier trmino implicado en las frmulas. Anlisis de las relaciones devariacin entre diferentes medidas de prismas y pirmides.

60 a 62

14 y 156. Situaciones de propor-

cionalidad inversaIdentificacin y resolucin de situaciones de proporcionalidad inversamediante diversos procedimientos.

63 a 66

15 7. Experimentos aleatoriosRealizacin de experimentos aleatorios y registro de resultados paraun acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relacin de sta con laprobabilidad terica.

67 a 70

DOSIFICACIN

7


8/44

8

Bloque3

16 y 171. Jerarqua de las opera-

ciones

Resolucin de clculos numricos que implican usar la jerarqua de lasoperaciones y los parntesis, si fuera necesario, en problemas y clculos connmeros enteros, decimales y fraccionarios.

74 a 76

17 y 18

2. Multiplicacin entrepolinomios y divisin deun polinomio entre unmonomio

Resolucin de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresionesalgebraicas, a excepcin de la divisin entre polinomios.

77 a 80

18 y 193. La suma de los ngulos

interiores de un pol-

gono

Formulacin de una regla que permita calcular la suma de los ngulosinteriores de cualquier polgono.

81 a 83

19 4. Teselaciones Anlisis y explicitacin de las caractersticas de los polgonos que permitencubrir el plano.

84 a 87

20

5. Relacin entre litro ydecmetro cbico yentre otras unidades devolumen

Relacin entre el decmetro cbico y el litro. Deduccin de otras equivalenciasentre unidades de volumen y capacidad para lquidos y otros materiales.Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunasunidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etctera.

88 a 91

216. La expresiny= kxpara

representar proporcio-nalidad

Representacin algebraica y anlisis de una relacin de proporcionalidady= kx, asociando los significados de las variables con las cantidades queintervienen en dicha relacin.

92 a 95

227. Histogramas y grficas

poligonales

Bsqueda, organizacin y presentacin de informacin en histogramas o engrficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), segn el caso yanlisis de la informacin que proporcionan.

96 a 99

238. Propiedades de la media

y la mediana Anlisis de propiedades de la media y mediana. 100 a 102

Bloque4

24 y 251. Sucesiones de nmeros

enteros

Construccin de sucesiones de nmeros enteros a partir de las reglasalgebraicas que las definen. Obtencin de la regla general (en lenguajealgebraico) de una sucesin con progresin aritmtica de nmeros enteros.

106 a 109

252. Ecuaciones de primer

grado

Resolucin de problemas que impliquen el planteamiento y la resolucin deecuaciones de primer grado de la forma: ax+ b= cx+ dy con parntesis enuno o en ambos miembros de la ecuacin, utilizando coeficientes enteros,fraccionarios o decimales, positivos y negativos.

110 a 113

263. ngulos inscritos

y ngulos centralesCaracterizacin de ngulos inscritos y centrales en un crculo, y anlisis de susrelaciones.

114 a 117

274. Grficas de proporcio-

nalidad directa e inversaAnlisis de las caractersticas de una grfica que represente una relacin deproporcionalidad en el plano cartesiano.

118 a 121

27 y 285. Representaciones de

variaciones lineales

Anlisis de situaciones problemticas asociadas a fenmenos de la fsica, labiologa, la economa y otras disciplinas, en las que existe variacin lineal entre

dos conjuntos de cantidades. Representacin de la variacin mediante unatabla o una expresin algebraica de la forma: y= ax+ b.

122 a 125

28 y 29 6. Media ponderada Resolucin de situaciones de medias ponderadas. 126 a 128

B

loque5

301. Sistemas de ecuaciones

2 2

Resolucin de problemas que impliquen el planteamiento y la resolucin deun sistema de ecuaciones 2 2 con coeficientes enteros, utilizando el mtodoms pertinente (suma y resta, igualacin o sustitucin).

132 a 134

30 y 31

2. Representacin grficade un sistema de ecua-ciones lineales con dosincgnitas

Representacin grfica de un sistema de ecuaciones 2 2 con coeficientesenteros. Reconocimiento del punto de interseccin de sus grficas como lasolucin del sistema.

135 a 138

31 y 323. Construccin de figuras

simtricas respecto deun eje

Construccin de figuras simtricas respecto de un eje, anlisis y explicitacinde las propiedades que se conservan en figuras como: tringulos issceles yequilteros, rombos, cuadrados y rectngulos.

139 a 142

32 y 334. ngulos inscritos y cen-

trales, arcos, sectores

circulares y coronas

Clculo de la medida de ngulos inscritos y centrales, as como de arcos, elrea de sectores circulares y de la corona.

143 a 146

33 y 345. Lectura y construccin

de grficas linealesLectura y construccin de grficas de funciones lineales asociadas a diversosfenmenos.

147 a 149

34 y 356. Grficas de relaciones

linealesAnlisis de los efectos al cambiar los parmetros de la funciny= mx+ b, enla grfica correspondiente.

150 a 152

35 y 367. Distribucin frecuencial

y terica Compar ces un experimento aleatorio. 153 a 156

8


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Ficha Eje Tema Contenido

1 Sentidonumrico y

pensamientoalgebraico

Problemas

multiplicativos

Resolucin de multiplicaciones y divisiones con nmeros enteros.

2

Clculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de

la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar unnmero natural a una potencia de exponente negativo.

3

Forma, espacioy medida

Figuras y cuerpos

Identificacin de relaciones entre los ngulos que se forman entredos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificacin de lasrelaciones entre las medidas de los ngulos interiores de los tringulos yparalelogramos.

4 Construccin de tringulos con base en ciertos datos. Anlisis de las

condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

5 Medida Resolucin de problemas que impliquen el clculo de reas de figuras

compuestas, incluyendo reas laterales y totales de prismas y pirmides.

6

Manejo de lainformacin

Proporcionalidady funciones

Resolucin de problemas diversos relacionados con el porcentaje,como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qu porcentajerepresenta una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidadconociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.

7 Resolucin de problemas que impliquen el clculo de inters

compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieranprocedimientos recursivos.

8Nociones deprobabilidad

Comparacin de dos o ms eventos a partir de sus resultados posibles,usando relaciones como: es ms probable que, es menos probableque.

9Anlisis yreprsentacinde datos

Anlisis de casos en los que la media aritmtica o mediana son tilespara comparar dos conjuntos de datos.

BLOQUE 1


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10

MANEJODELAINFORMACIN

FORMA,ESPACIO

YMEDIDA


FORMA,ESPACIO

YMEDIDA

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

Contenido: Resolucin de multiplicaciones y divisiones con nmeros enteros.

Multiplicaciones y divisionescon nmeros enterosLas cuatro operaciones bsicas entre los nmeros son suma, resta, multiplicacin y divi-

sin. Ya has realizado estas operaciones con nmeros naturales y con nmeros fracciona-

rios y decimales positivos. En tu curso de Matemticas anterior te familiarizaste con unaclase diferente de nmeros: los enteros. Los cuales, como has aprendido ya, son nmeros

que pueden ser tanto positivos como negativos. Con estos nmeros has hecho operaciones

de suma y resta; en esta leccin tambin realizars, con ellos, las operaciones de multipli-

cacin y divisin.

Losenterossonnme-rosquepuedensertantopositivoscomonega-tivosynotienencifrasdecimales:,3,2,1,0,1,2,3,

Conceptosclave

Las reglas de los signos

para la multiplicacin

son:

(+) (+) = (+)

(+) () = ()() (+) = ()

() () = (+)

Las reglas de los signos

para la divisin son:

(+) (+) = (+)

(+) () = ()

() (+) = ()

() () = (+)

Procedimiento

1. En el negocio de los hermanos Enrique, Esteban, Margarita y Diana, las

ganancias se reparten y las prdidas se asumen equitativamente. Al tr-

mino de la jornada de hoy se registr una venta de 36 artculos, queaportaron al negocio una ganancia de $40 cada uno; por otra parte,

ocurri un lamentable descuido en el traslado de la mercanca y se rom-

pieron 12 piezas, que al negocio le costaron $20 cada una.

Como siempre lo hacen, los hermanos registraron las ganancias y las

prdidas en su bitcora. Puestos a hacer las cuentas, cunto dinero le

corresponde el da de hoy a cada uno de ellos?

Las claves del problema

1. Selecciona la opcin correcta.

a) Cmo pueden los hermanos usar nmeros con signo para distinguir

entre prdidas y ganancias?

Pueden escribir positivas las ganancias y negativas las prdidas.

Pueden escribir positivas las prdidas y negativas las ganancias.

Las dos opciones anteriores son vlidas, pues se trata de un conve-

nio de uso.

No podran, porque no tiene sentido usar nmeros negativos con el

dinero.

b) Para obtener la cantidad de dinero que recibir cada hermano el da

de hoy, se debe:Sumar la ganancia y prdida por persona, considerando los signos

adecuados.

Sumar la ganancia y prdida por persona, considerando todas las

cantidades negativas.

Sumar la ganancia y prdida por persona, considerando todas las

cantidades positivas.

Sumar la ganancia y prdida para el negocio, considerando los sig-

nos adecuados, y dividir todo entre 4.

Desafomatemtico

Escomnolvidarescri-

birclaramenteelsigno

deunresultadoluego

dehaberhechouna

operacin.Estoocurre

sobretodocuandohay

variasoperaciones

involucradas.

Errorfrecuente

(36 40) + (12 ( 20)) = $3004


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11

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


c) Cul de las siguientes operaciones tiene ms sentido real para calcular la prdida

que la destruccin de los artculos reporta para cada uno de los hermanos?

Multiplicar 40 por 36 y dividir entre 4. Multiplicar 12 por 20 y dividir entre 4.

Multiplicar 12 por 20 y dividir entre 4. Multiplicar 12 por 20 y dividir entre 4.

Operando:Escadauna

delascantidadesque

intervienenenunaope-

racinmatemtica.

Conceptosclave

Ahora practica1. Completa la siguiente tabla.

v

2. Escribe el signo faltante para que se cumpla la igualdad en cada caso. Comenta con

tus compaeros si algn ejercicio admite ms de una solucin y cules son.

a) 70 ( 3) = 210 f) ( 360) (10) = 36

b) 30 ( 11) = 330 g) ( 144) (9) = 16

c) (14) ( 20) = 280 h) (115) ( 5) = 23

d) ( 11) (+10) = 110 i) (204) ( 17) = 12

e) ( 5) ( 4) = 20 j) ( 72) ( 3) = 24

3. Escribe el nmero entero requerido para que la igualdad se cumpla en cada caso.

Comenta con tus compaeros si hay ms de una solucin, cuntas y cules son.

a) (+20) ( ) = 80 g) ( ) (3) = 105

b) (+150) ( ) = 50 h) ( ) (24) = 8

c) (+17) ( ) = 68 i) (21) ( ) = 84

d) (+22) ( ) = 2 j) (238) ( ) = 14

e) ( ) (3) = 120 k) ( ) (7) = 245

f) ( ) (25) = 10 l) ( ) ( ) = 4

4. Realiza las siguientes operaciones. Recuerda escribir el signo correcto del resultado.

a) (3) (4) (2) = b) (2) (3) (4) =

c) (2) (4) (5) (3) = d) (3) (1) (10) (2) =

Operacin Signos de los operandos Signo del resultado Resultado

2 30

30 (2)

45 11

80 20

15 (3)

65 (5)

330 10

Unafraccinnegativapuedeescribirsedetresformasdiferent

es, todasequivalentesentres:

a=

a=

a

b b b

Notacin

+

+

+

+

+40

+30

4

11 +40

250

35

192

+4

+17 35

+8 2

+24 +24

120 +60

+ +

+

+

+

+ +

+

+

+

+

+

+

+

60

60

495

4

5

13

33

o (5) (4) = 20 o (72) (3) = 24

o (8) (+2) = 4


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FORMA,ESPACIO

YMEDIDA


FORMA,ESPACIO

YMEDIDA

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

1. Lee nuevamente el Desafo matemtico y, a partir de lo que practicaste a lo largo de

la ficha, revisa si tus respuestas son correctas. Compara tus resultados con los de tus

compaeros y juntos valdenlos con ayuda de su profesor.

2. Obtn el dinero total recibido por cada hermano si el nmero total de piezas rotas se

incrementara a 72. Es posible encontrar otros nmeros de objetos vendidos y piezas

rotas que den este mismo resultado?

Validacin

1. Escribe sobre las lneas del diagrama las palabras que faltan para completar los

enunciados.

RegresoalDesafomatemtico


5. En la recta numrica, la posicin inicial de una hormiga esx= 3.

a) Si su posicin final est 5 veces ms alejada del origen, cul es su posicin final?

b) Es la nica posicin posible? Explica.

c) Sita en la recta numrica la o las posiciones correctas.

6. Mara, Luis y Pedro rompieron accidentalmente un termmetro del laboratorio de

Fsica. Mara dice que, tristemente, ahora cada uno de ellos tiene $40 en la bolsa,

pues habr que reponerlo.

a) Qu significa el signo negativo?

b) Cmo reportaran el costo del termmetro?

Determinar la gananciaque entra al negocio.

En este caso:

( ) ( ) =

Determina las prdidasdel da.

En este caso:

( ) ( ) =

Para resolver el DesafoMatemtico hay querealizar dos operaciones:

y denmeros enteros.Representamos unaganancia con

un nmero

y una prdida conun nmero

.

Para calcularla cantidad dedinero quecorresponde acada hermano esnecesario:

Al sumar estas cantidadesobtenemos el saldo del da:

+ =

Al dividir

estacantidadentre elnmero dehermanosobtenemosel resultado:

Hormiga

16 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

15

La posicin en el 15 tambin est

R. M. Que no es un dinero que tienen sino que adeudan.

S, de hecho todos los nmeros enteros positivos que cumplan la relacin:

((36 40) + (72 (20)) 4 = 0.

$80

5 veces ms alejada.

2 (nmero de objetos vendidos) = No. piezas rotas.

multiplicacindivisin

positivo

+36

+$1440 $240

12 $20

+$300

$240

+$1200

$40 +$1440

negativo


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13

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

Contenido: Clculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de unapotencia. Significado de elevar un nmero natural a una potencia de exponente negativo.

PotenciacinLos nmeros o cantidades que se manejan en reas como: Astronoma, Economa, Biologa

o Fsica, pueden llegar a ser tan grandes o tan pequeos que resulta necesaria una manera

compacta de expresarlas. El mtodo ms eficaz para trabajar con esas cantidades es el uso

de potencias.

1. En un laboratorio de investigacin biotecnolgica se ha observado que

cierto tipo de clula puede dividirse en el lapso de una hora, dando ori-

gen a dos nuevas clulas iguales a la original y capaces, a su vez, de di-

vidirse de la misma manera y en el mismo lapso de tiempo (este proceso

se conoce como divisin celular).

Un equipo de investigadores necesita reproducir una enorme cantidad

de esas clulas para un experimento, por lo que han solicitado a laborato-

rios de todo el mundo participar en la reproduccin. El equipo inici conuna sola bacteria en un medio de cultivo, y en la primera hora ya contaba

con 2 clulas, pero recibi la noticia de que otro laboratorio, participante

en la reproduccin, tambin contaba con 2 clulas; a la segunda hora el

equipo ya contaba con 4 clulas, pero tena noticias de que otros tres la-

boratorios contaban tambin con 4 clulas; a la tercera hora el equipo te-

na 8, y recibi la noticia de que siete laboratorios ms contaban tambin

con 8 clulas. De continuar con ese ritmo de crecimiento y de que el n-

mero de laboratorios que se agregan a la reproduccin tambin contine

aumentando al mismo ritmo, con cuntas clulas se contara despus de

15 horas? Encuentra una expresin matemtica para el nmero de clulas

que habr en un determinado nmero de horas.



a) De qu manera aumenta el nmero de bacterias en un solo caldo de

cultivo?

Aritmtica Sumativa Exponencial Logartmica

b) De qu manera aumenta el nmero de laboratorios que se agregan

la reproduccin de bacterias cada hora?Aritmtica Sumativa Exponencial Logartmica

c) Si nrepresenta el nmero de horas que han transcurrido desde que

inici el experimento, qu expresiones representaran el nmero de

bacterias que habr en cada laboratorio y el nmero de laboratorios

anexados en ese tiempo?

2 ny n2 2 ny 2 n 2 ny 2 n n3y n2

Desafomatemtico

La potencia es una mul-tiplicacin consecutivade factores iguales.

La expresin anindica lamultiplicacin consecu-tiva en la que aaparece nveces como factor.

En una expresin de laforma an= b, se llama

base al trmino a, ex-ponente al ny potenciatanto a la expresin an,como al resultado, quees b.

Ejemplo: En la expresin

5 5 5 = 53= 125

5 es la base, 3 el expo-nente y 53la potencia, 5aparece 3 veces comofactor y el resultado es125.

Conceptosclave

215 2 15 = 2 30


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FORMA,ESPACIO

YMEDIDA


FORMA,ESPACIO

YMEDIDA

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


Ahora practica

1. Representa como potencias las siguientes multiplicaciones.

a) 2 2 2 2 = b) 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 =

c) 13 13 13 13 13 13 = d) 1 1 1 1 =

e)y y y y y= f) a a a=

g)23

23

23

23

23

= h)12

12

12

12

=

2. Desarrolla las siguientes multiplicaciones como en el ejemplo.a) (2 2) (2 2 2) = 2 2 2 2 2

= = =

b) (z z z z) (z z z z z z z) =

= = =

c) (a a) (a a a a a) (a a a a a a) =

= = =

3. Resuelve las siguientes multiplicaciones de potencias. Expresa el resul-

tado como una potencia.

a) 79 7 7= b) 13 4 13 6=

c) 53 5 4 55= d) 3 2 3 5 2 5=

e) (43

)5 (43

)2= f) (153

)2 (153

)2 =

4. Desarrolla las siguientes potencias de otra potencia como en el ejemplo.a) (22)3= (2 2) (22) (22) = (2 2) (2 2) (2 2) = 2 2 2 2 2 2

= = =

b) (33)4= =

= = =

c) (y5)3= =

= = =

El resultado de multipli-car potencias de la mis-ma base es una poten-cia que tiene la mismabase que los factores ycuyo exponente es lasuma de los exponentesde los factores:am an= am + n

Ejemplo:93 92 95= 9(3 + 2 + 5)= 910

El resultado de la po-tencia de una potencia,es decir, de la potenciacuya base es otra po-tencia se obtiene con lasiguiente expresin:(an)m= anm

Ejemplo:(23)5= 2(3 5)= 215

El cociente de potencias

de la misma base seexpresa como la baseelevada a la diferencia delos exponentes.

an= an m

am

Ejemplo:

511= 5(11 3)= 58

53

Procedimiento

d) Si en la tercera hora haba 8 bacterias en 8 laboratorios distintos, qu operacin te

permite conocer el nmero total de bacterias con las que se cuenta?

Una multiplicacin Una suma Una resta Una divisin

22 + 3252322

22 22 22 26 22 3

24 (0.6)5

14(13)16

y3 a3

23

5 12

4

z z z z z z z zz z z

z4

a2 a5 a6 a13 a2 + 5 + 6

7 (9 + 7) = 716

5(3 + 4 + 5)= 5 12

3(4 + 6) = 310

3(2 + 5) 2 5= 3 7 25

z7 z11 z4 + 7

43

5 + 2

= 4

3

7

153

(2 + 2)

=

153

4

(33) (33) (33) (33)

(y5) (y5) (y5)

y5 y5 y5 y5 3 y15

(3 3 3) (3 3 3) (3 3 3) (3 3 3)

(y y y y y) (y y y y y) (y y y y y)

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 4= 3 12


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15

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


5. Simplifica las siguientes expresiones escribiendo el resultado final como

una potencia.

a) (22)3= b) (5 3)4 =

c) (73)3= d) (3 a)2=

e) ((0.5)2)2= f) (( 57

)3) 4 =

6. Desarrolla las siguientes divisiones de potencias como en el ejemplo.

a) 23

22= 2 2 2

2 2=

2 2 22 2

= 21

= 2

= 23 2= 2 1 = 2

b) 37

33=

= =

=

c)b8

b4= =

= =

7. Simplificada los siguientes cocientes escribiendo su resultado como una potencia.

a)45

4= b)

178

172=

c)3n

33 = d)

5n

5n =

e)78

75= f)

a8

a5=

8. En la siguiente expresin el nmerozno es igual a 0:zn

zn

a) Simplifica la divisin como una potencia.

b) Cul es su resultado numrico? Explica.

9. Observa la siguiente operacin:

7 7 77 7 7 7 7

=7 7 7

7 7 7 7 7= 1

7 7

Gaby dice que el resultado puede escribirse como172

; Paty afirma que se puede escribir

como 72. Cul respuesta es correcta? Por qu?

Al escribir unapotencia

noesindispensable

simplificarlabase si sta

notieneexponente.

Por ejemplo,noesnece-

sarioaclararque:

(3

4)2=(0.75)2

Errorfrecuente

22 2 2 2 2= 2 (23)= 26 53 5 3 5 3 5 3= 5 (3 4)= 2 12

3a 3a= 3 (a 2)= 32a73 7 3 7 3= 7 (3 3)= 79

0.52 0.5 2= (0.5) (2 2)= (0.5)4 57

3 4

= 57

12

3 3 3 3 3 3 33 3 3

3 3 3 3 3 3 3

3 3 3

b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b bb b b b

1

1 b4 = b8 4.

25 1= 4 4

3n 3

78 5= 7 3 a8 5= a3

5n n = 50

178 2= 17 6

zn

zn= zn n= z0.

El resultado debe ser 1 porque la expresin

indica la divisin de nmero por s mismo.

Las dos respuestas son correctas, porque 17 7

= 172

y adems 73

75= 7 3 7 5= 72.

3 3 3 3

3

4

= 3

7 3


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FORMA,ESPACIO

YMEDIDA


FORMA,ESPACIO

YMEDIDA

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


10. En un canal cultural de televisin, un astrnomo muy famoso comen-

taba: segn se estima, en el universo existen alrededor de 10 11ga-

laxias, cada una de ellas con un promedio de 1012estrellas: eso significa

que el nmero de estrellas en el universo es aproximadamente de, y

justo entonces se interrumpi la programacin. Qu cantidad de es-

trellas iba a concluir el astrnomo? Por qu?

11. Una obra escultrica de forma cbica mide 10000 mm de lado.

a) Expresa esa longitud como una potencia de 10.

b) Cul es el volumen del cubo expresado como una potencia? Utiliza uni-

dades de milmetros.

c) Cuntos cubos de 10 mm de lado tendran un volumen equivalente?

Una potencia conexponente negativo esequivalente a la fraccincuyo denominador esla misma potencia perocon exponente positivo

y cuyo numerador es 1.

Por ejemplo:37=

1

37

Conceptos clave

1. Compara tu respuesta al Desafo matemtico con la de tus compaeros. Si las res-

puestas son diferentes comntenlas y obtengan entre todos la solucin correcta.

Validacin

1. En el diagrama siguiente, escribe sobre las lneas las palabras que faltan para comple-

tar correctamente los enunciados.


Al inicio del experimento

haba clula en cadalaboratorio.

En la primera hora habaclulas en cada laboratorio.

En la segunda hora haba

clulas.En la tercera hora habaclulas.De modo que el crecimiento

es de tipo ,y puede expresarse de la

siguiente forma: ,

donde es el nmero dehoras transcurridas desde elinicio del experimento.

Al inicio del experimento habalaboratorio trabajando en el proyecto.

En la primera hora habalaboratorios involucrados.

En la segunda hora habalaboratorios.

En la tercera hora habalaboratorios.De modo que el aumento en elnmero de laboratorios es de tipo

, y puede expresarse

de la siguiente forma: .

As, el total de clulas por cadalaboratorio en 15 horas puede

calcularse con la potencia: .De la misma manera, el total delaboratorios participantes a las15 horas se puede calcular con la

potencia: .

Por tanto, el total de clulas con lasque se cuenta en 15 horas se obtienecon la operacin de potencias:

= .

1023, porque iba a multiplicar el nmero de galaxias por el nmero de estre-

llas que contiene cada una, as: 1011 10 12 = 10 23.

104mm.

(104 10 4 10 4) mm3= (10 4 3) mm3= 10 12 mm 3.

1012 mm 3

103mm 3= 10 12 3 = 10 9 cubos.

una

1

1

2

2

215

215

215 215 230

4

4

8

n

exponencial

exponencial2n

2n


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PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

Contenido: Identificacin de relaciones entre los ngulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por unatransversal. Justificacin de las relaciones entre las medidas de los ngulos interiores de los tringulos y paralelogramos.

ngulos entre paralelas y ngulosinteriores de tringulos y paralelogramosHay caractersticas geomtricas que no dependen del tamao de una figura, por ejemplo,

la suma de los ngulos internos de un tringulo siempre dar como resultado el mismo

nmero, sin importar su tamao o de qu tipo de tringulo se trate, y existe un resultadoanlogo para la suma de los ngulos internos de los paralelogramos. Otro ejemplo son las

relaciones entre los ngulos que se forman entre dos lneas rectas paralelas intersecadas por

una recta transversal.

1. Vctor planea hacer un cancel para un cuarto de bao, el cual consistira

en un marco rectangular de aluminio y en un tambor que estar hecho

con acrlico de dos colores formando la figura que se muestra en la

imagen. A la mitad del tambor hay una barra de aluminio para darle fir-meza, la cual est colocada horizontalmente en la parte media. Cul es

la medida de todos los ngulos que se forman con los bordes de la tira

oscura de acrlico y la barra central?


1. Selecciona la respuesta correcta a las siguientes preguntas.

a) Cuntas medidas de los ngulos es necesario conocer para encon-

trar la medida de todos los ngulos formados por dos lneas paralelas

y una lnea transversal sin medirlos directamente?

Es necesario conocer la medida de todos los ngulos.

Es necesario conocer al menos la medida de uno de estos ngulos.

Es necesario conocer al menos la medida de dos de estos ngulos.

Es necesario conocer al menos la medida de tres de estos ngulos.

b) Una manera de encontrar la medida de los ngulos formados por las

dos lneas que se cruzan es:

Usar el hecho de que la suma de todos los ngulos internos de un

paralelogramo es igual a 360.

Usar el hecho de que la suma de todos los ngulos internos de un

triangulo es 180.Usar el hecho de que los ngulos opuestos formados por dos lneas

que se cruzan son iguales.

Usar el hecho de que los ngulos opuestos formados por dos lneas

que se cruzan son complementarios.

Desafomatemtico

Lasumadelosngulosinternosdecualquier

tringuloes180.

Lasumadelosngulosinternosdecualquierparalelogramoes360.

Conceptosclave

a

c

d

g

h

47o

b e f

Los ngulos a, d, ey hmiden 43 o cada uno. Los ngulos b, c, fy g, 137o.


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PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

FORMA,ESPACIO

YMEDIDA


Ahora practica

1. Traza en tu cuaderno las lneas rectas que cumplan con los enunciados

siguientes:

a) Un par de ngulos opuestos por el vrtice que sumen ms de 120.

Cul es la medida de la suma de los otros ngulos opuestos?

Cul es la medida de los cuatro ngulos formados?

b) Un par de ngulos opuestos por el vrtice que sumen exactamente 120.

Cul es la medida de la suma de los otros ngulos opuestos?

Cul es la medida de los cuatro ngulos formados?

2. En cada una de las figuras siguientes determina los ngulos restantes a

partir del ngulo que se muestra.

a) b)

3. En cada una de las siguientes figuras encuentra la medida de los ngulos.

a) b)

Las lneas rectasL1y

L2que se muestran en

la figura son paralelasy la lnea recta mlasinterseca.

Al los pares de ngulosayc,byd,eyg,fyhse les llamangulos opuestos por el

vrtice.

A los ngulos c,d,fyese les llama ngulosinternos.

A los ngulos a,b,gyhse les llama ngu-los externos.

A los pares de nguloscyd,eyfse lesllama ngulos colatera-les internos.

A los pares de ngulosayb,gyhse lesllama ngulos colatera-les externos.

Se les llama ngulosalternos internosa lospares de ngulos cye,dyf.

Se les llama ngulosalternos externosa lospares de ngulos ayg,byh.

Se les llama nguloscorrespondientesa lospares de ngulos a ye,byf,cyg,dyh.

Conceptosclave

c) Un segmento de recta toca a una lnea recta formando con ella un ngulo de 40.

Si otra recta, paralela a la primera, corta tambin a la lnea recta pero en un punto

diferente al de la primera, cul ser la medida del ngulo que formar con la recta?

40 180 40 360 40 180 + 40

d) Si un segmento de recta toca a una lnea recta en un solo punto y forma con ella

dos ngulos, cmo son esos ngulos entre s?Iguales Perpendiculares Complementarios Suplementarios

m

a

e

h

dc

f

g

bL1

L2

a

b

63

c

40

a =

b =

d =

c =

75o 95oa

b

a= b + 60o

a

e

f

h

g

c

bd

28o

menos de 240.

360

360

240

27

130

130

130

130

a= 120

b= 60

50

50

50

50

63

27

10

7567

10


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PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


4. Justifica el hecho de que la media del ngulo externo de un tringulo (el

ngulo den la figura), es igual a la suma de las medidas de los dos ngu-

los interiores no adyacentes al ngulo externo (by cen la figura).

La medida de los ngu-los opuestos por el vrti-

ce es la misma.a=c,b=d,e=g yf=h.

Los ngulos alternos

internos son iguales enmedida.c=eyd =f.

Los ngulos alternosexternos son iguales enmedida.a =g yb=h.

La medida de los ngu-los correspondientes esla misma.a=e,b=f,c =gyd=h.

Los ngulos colateralesinternos suman 180.

c+d= 180yf+e= 180.

Los ngulos colateralesexternos suman 180.a +b= 180y g+h= 180.

Procedimiento

1. Es posible determinar los valores de los ngulos en el problema del De-

safo matemtico si las lneas rectas que forman el acrlico no hubieran

sido paralelas? Explica.

Validacin

1. En el diagrama, escribe sobre las lneas las palabras que faltan para com-

pletar correctamente los enunciados.

Regresoal Desafomatemtico

Una forma de resolver elproblema es encontrar la medida

de de los ngulosformados por las lneas paralelas y lalnea transversal. Para ello podemos

partir del hecho de que la suma delos ngulos internos de cualquiertringulo es 180.

Consideramos el tringuloformado por la lnea transversalhorizontal, el lado derecho dela puerta y la diagonal superior.Podemos observar que elngulo formado por la lnea

horizontal y el lado derecho de

la puerta mide .

Por tanto:

47 + 90 + h= ,

por lo que h = .

Por serhyengulosopuestos por el vrtice:

= = .

Como la suma de los nguloscolaterales es 180:

g= = y

f= = .

Finalmente, por serhyd,eya,gycyfybngulos correspondientes:

h= = ,e= = ,

f= = yg= = .

d a

b

c

m

a

e

h

dc

f

g

bL1

L2

La suma de los ngulos dy aes igual a 180, por ser stos ngulos comple-

mentarios d= 180 a. Por otro lado, la suma de los ngulos internos de

cualquier tringulo es igual a 180, de este modo: d= ( a+ b+ c) a

d= b+ c.

No, porque si las lneas que forman el acrlico no son paralelas ya no es

posible conocer la medida de los ngulos.

cada uno

90o

180o

180o180o43o

180o

43o

h

h

e

e

43o

137o

137o137o137o

d a

cb


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PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

FORMA,ESPACIO

YMEDIDA

Contenido: Construccin de tringulos con base en ciertos datos. Anlisis de las condiciones de posibilidady unicidad en las construcciones.

Construccin de tringulosEn general, para trazar una figura geomtrica slo es necesario conocer algunos de sus ele-

mentos, por ejemplo, para construir figuras regulares nicamente necesitamos la medida

de uno de sus lados, porque los dems miden lo mismo y los ngulos entre ellos ya estn

establecidos. Un caso especial son los tringulos de todo tipo, que se pueden construir a

partir solamente de algunas de sus medidas. A lo largo de esta ficha resolvers problemas enlos que construirs tringulos a partir de los elementos mnimos necesarios.

1. En un terreno se encuentran varios edificios que estn

por demolerse, un grupo de ingenieros topgrafos llev

a cabo una serie de medidas para determinar las dimen-

siones que tendr un nuevo espacio urbano, cuya forma

ser triangular. Debido a los obstculos en la zona, slo se

pudieron obtener las medidas que se muestran en la imagen, que corres-ponde a una representacin a escala donde 1 cm equivale a 4 m. A partir

de esta informacin determina:

a) Cuntos tringulos distintos se pueden construir a partir de esa infor-

macin.

b) Todas las medidas faltantes en el o los tringulos por construir.

c) Determina las medidas reales de los lados del nuevo espacio urbano.



a) Para determinar las medidas del terreno debemos considerar:

Trazar la circunferencia que tiene al lado dado como una de sus

cuerdas.

Falta un vrtice del tringulo, por lo que no es posible trazar el trin-

gulo.

Trazar todos los tringulos posibles que cumplan con las caracters-ticas dadas y compararlos entre s.

Slo si el tringulo es equiltero podemos conocer la medida de los

otros dos lados, ya que todos sus lados seran iguales.

b) Para obtener la medida del ngulo faltante debemos considerar:

Que la suma de los ngulos internos de un tringulo es 180.

Que existen ngulos rectos, obtusos y agudos.

Desafomatemtico

Recuerdaquelasuma

detodoslosngulos

internosdecualquier

tringuloesiguala180

grados.

Conceptosclave

55.77 41.41

6 cm

Slo se puede construir un nico tringulo.

Los lados que faltan miden 4 y 5 cm. El ngulo faltante mide 82.82.

16, 24 y 20 metros.


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PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


Ahora practica1. Realiza los siguientes ejercicios, utiliza regla, transportador y comps.

a) La longitud de un lado de un tringulo es de 2.5 cm. Traza tres tringulos distintos que

cumplan con esta condicin.

Cuntos tringulos ms podras construir a partir de conocer la longitud de solo un ladodel tringulo?

b) Se sabe que la medida de un ngulo interno en un tringulo es de 40, en el siguiente

espacio traza tres tringulos distintos que cumplan con esta condicin.

Cuntos tringulos ms podras construir a partir de conocer la medida de solo un n-

gulo del tringulo?

c) Se sabe que las medidas de dos ngulos internos de un tringulo son de 50 y 35, respec-

tivamente. En el siguiente espacio traza tres tringulos que cumplan con esta condicin.

Cuntos tringulos ms podras construir a partir de conocer solo dos de los ngulos

internos de un tringulo?

Cuntos tringulos podras construir si conocieras la medida de sus tres ngulos?

Que un tringulo est formado por 3 lados y 3 ngulos.

Que los ngulos internos y externos de un tringulo que tienen un vrtice comn

suman 360.

Una infinidad de tringulos.

2.09 cm

2.508 cm

3.344 cm

3 cm 4 cm2.5 cm

2.5 cm 3 cm 4 cm

40

35 35 3550 50 50

40 40




R. M.

R. M.

R. M.


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PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

FORMA,ESPACIO

YMEDIDA


d) Dibuja un tringulo cuyas longitudes de sus lados sean 3 cm, 4 cm y 5 cm. A partir del

tringulo final, y haciendo uso de tu transportador, determina las medidas de sus ngulos

internos.

En clase, compara tu tringulo con el de tus compaeros, cmo son entre s?

Cuntos tringulos distintos podras construir a partir de la medida de tres lados jos?

e) Dibuja un tringulo. Dos de sus lados debern medir 2 cm y 3 cm, respectivamente,

y el ngulo que forman estos segmentos deber ser de 30. A partir del trazo final y

haciendo uso de tu regla y transportador determina las medidas del lado faltante y elde los ngulos internos restantes.

A partir de los mismos datos traza otro tringulo diferente al que has realizado, puedes

hacerlo?

Concluye, cuntos tringulos distintos podras trazar a partir de dos lados jos y el n-

gulo que forman?

f) Haciendo uso de tu regla y comps, dibuja en el siguiente espacio, un tringulo en el

que uno de sus lados mida 5 cm y los ngulos adyacentes a ese lado midan 20 y 30.

Una vez trazada la figura mide la longitud de sus lados y del ngulo restante.

Con los mismos datos traza otro tringulo diferente al que has realizado, puedes

hacerlo?

Menciona cuntos tringulos distintos podras trazar a partir de un lado jo y la medida

de sus dos ngulos adyacentes.

4 cm 3 cm

5 cm

89

37 53

Los tringulos son concruentes.

Slo un tringulo.

2 cm

3 cm

1.6 cm112

30 38

3.2 cm125

3020

2.4 cm

5 cm

No, no es posible hacerlo.

Slo un tringulo.

No, cualquier otro tringulo es congruente al primero.

Slo un tringulo.


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PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


g) Traza un tringulo cuyas medidas de su lados sean 6 cm, 2 cm y 3 cm. Qu tipo de

tringulo obtuviste?

A partir de lo visto en clase, explica tu resultado de acuerdo con las condiciones de po-

sibilidad de construir tringulos.

2. Responde las siguientes preguntas:

a) Puede haber un tringulo con dos ngulos obtusngulos? Explica.

b) Podras trazar un tringulo con dos ngulos rectos? Por qu?

1. Con base en lo que viste a lo largo de la ficha, corrobora si tu solucin al Desafo

matemtico fue correcta. Con los datos que obtuvieron los ingenieros, pudieron de-

terminar las dimensiones completas del terreno? Por qu?

Validacin

1. Escribe sobre las lneas las palabras que faltan para completar correctamente los

enunciados.


Para resolverel Desafomatemticose necesitadeterminar laforma exacta delterreno del nuevoespacio urbano, elcual tendr forma

de .

Aunque nicamente seconocen dos

y un , sepuede determinar laforma final y los datosque faltan haciendouso de las condicionesde posibilidad yunicidad de lostringulos.

Completando el trazo deltringulo en la figura, sepuede determinar que lamedida del ngulo interno

faltante es de: .

Y las medidas de los ladosfaltantes son:

.

Dado que en laimagen 1 cm equivalea 4 m en la realidad,las medidas reales del

terreno son: ,

y .

Este tringulo no existe.

No es posible trazar un tringulo con estas medidas.

La suma de la longitud de dos lados cualesquiera de un tringulo siempre debe ser

mayor que la longitud del tercero.

No, un tringulo con dos ngulos internos obtusos no puede existir, porque la suma de

los ngulos interiores de un tringulo es igual a 180.

No, no se puede construir un tringulo con dos lados rectos porque stos sera parale-

los y nunca se intersecaran, es decir el tringulo no se podra formar.

S, porque es posible determinar los lados faltantes del tringulo a partir de un lado fijo

y la medida de sus dos ngulos adyacentes.

trangulo

ngulos adyacentes

lado

82.82

16 cm

24 cm20 cm

4 y 5 cm


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PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

FORMA,ESPACIO

YMEDIDA

Contenido: Resolucin de problemas que impliquen el clculo de reas de figuras compuestas, incluyendoreas laterales y totales de prismas y pirmides.

rea de figuras compuestasEn nuestra vida cotidiana, frecuentemente encontramos objetos, espacios, construcciones

y dems elementos, cuya forma puede llegar a ser muy elaborada; sin embargo, en algu-

nos casos, estas figuras se puedan descomponer en figuras geomtricas ms simples como

cubos, prismas y pirmides. Un ejemplo de la aplicacin de este procedimiento es que, en

general, el primer paso para una construccin es determinar la cantidad de material re-querido para su elaboracin, lo que implica determinar su rea lateral total o su volumen;

descomponer una figura en figuras ms simples permitir calcular con mayor facilidad el

rea total y el volumen de la figura original, pudiendo determinar con ello la cantidad total

de material requerido.

1. Con el fin de simular un diamante para una pelcula de cien-

cia ficcin, a una empresa dedicada a la fabricacin de ob-

jetos de utilera le solicitaron que hiciera una pieza de vidriocortado con la forma y dimensiones que se muestran en la

imagen. Una vez terminado el corte de la figura se proce-

der a pulir todas sus caras. Se estima que este ltimo pro-

cedimiento se lleve a cabo a una razn de 3 cm2por minuto.

a) En cunto tiempo se podr pulir completamente la

pieza?


1. Selecciona la opcin correcta

a) En qu figuras geomtricas podras descomponer la superficie de la pieza?

En 1 prisma octagonal y en 2 pirmides octagonales.

En 8 rectngulos iguales y 8 tringulos issceles tambin iguales.

En 8 rectngulos, 11 tringulos y 2 octgonos.

En 8 rectngulos iguales y 16 tringulos issceles tambin iguales.

b) Una vez que identificaste las figuras que componen la superficie de la pieza, seala las

frmulas que emplearas para calcular lo que se pide.

V= rea de la base Altura; V = rea de la base Altura3

A= Base Altura; A =Base Altura

2

A= Base Altura; A = Base Altura2

;A= Permetro Apotema2

A= Lado 2;A = Permetro Apotema2

c) Una vez que conoces la superficie de la pieza, con qu operacin calcularas el

tiempo necesario para pulirla?

Con una multiplicacin. Con una divisin.

Mediante una suma. Elevando el rea al cuadrado.

Desafomatemtico

10 cm

12 cm 23.3 cm

40cm

20cm

1688 min = 28 h y 8 min.


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25

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


Ahora practica

1. En una cartulina cuadrada de 5 cm de lado, Miguel traz, en su centro, una circunfe-

rencia de 2.5 cm de radio. Si recort la circunferencia, qu rea de la cartulina sobr?

2. Observa la figura de la imagen, cul es su rea?

3. En un estudio fotogrfico se ha propuesto acondicionar un cuarto que corresponder

al lugar donde se revelarn las fotos; para ello es necesario pintar las paredes y el te-cho de color negro y colocar un material antiderrapante en el piso. Para realizar el

pedido de la pintura y el material para el piso, se midi un solo lado del cuarto, pues

todos miden exactamente lo mismo. La medida obtenida fue de 2.5 m para cada arista.

a) Qu figura geomtrica tiene el cuarto?

b) Qu rea ocupar el material antiderrapante?

c) Cul es el rea total del cuarto considerando paredes, techo y piso?

4. El dueo de un acuario ha construido una pecera con forma de prisma cuadrangular,

cuyo largo es de 6 m y la longitud de una arista de la cara cuadrangular es de 4 m.

a) Qu figuras geomtricas reconoces en las paredes que conforman la pecera?

b) Cul es el rea de las paredes laterales que conforman la pecera?

c) Cul es el rea total de la pecera?

7.5 cm

6 m

4 m

25 cm2 6.25 cm 2= 18.75 cm 2.

rea = 19.635 cm2.

Las bases del prisma son cuadrados y las caras son rectngulos.

128 cm2.

96 cm2.

Un cubo.

6.25 m2.

37 m2.


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PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

FORMA,ESPACIO

YMEDIDA


5. Una prestigiada empresa de perfumes ha decidido lanzar una nueva

fragancia al mercado. El diseo de la presentacin es de una pirmide

cuadrangular. Tomando en cuenta que las medidas del frasco son las

que se indican en la imagen, cul es el rea lateral total del envase?

6. Una florera ha diseado una nueva presentacin para sus floreros, que

sern elaborados con vidrio cortado, estos tendrn la forma de octae-

dros, que es un cuerpo geomtrico formado por tringulos equilteros,

como el que se muestra en la imagen. Si el precio del vidrio es de $350

el metro cuadrado, cul ser el costo por el material para cada florero?

a) Cul es el rea de las paredes laterales que conforman el florero?

7. Alberto participar en un concurso de alebrijes. Para su construccin

utilizar un bloque de madera que tiene forma de prisma hexagonal,

cuyas medidas se muestran en la imagen.

a) Qu figuras geomtricas reconoces en el bloque de madera?

b) Cul es el rea total de las paredes laterales que conforman el bloque?

c) Cul es el rea de la base del bloque?

d) Cul es el rea total de las caras del bloque?

8. Los diseadores de las cajas de chocolates de una fbrica han decidido

que el envase de un determinado producto tenga la forma de un prisma

heptagonal regular. La forma y dimensiones del nuevo envase se mues-

tran en la siguiente imagen. Cul ser su rea lateral total?

5 cm

15 cm

10cm

8.66 cm

25 cm

5 cm

4.33 cm

20 cm

7 cm

7.27 cm

175 cm2.

$12.12.

346.4 cm2= 3.464 10 2m2.

Hexgonos y rectngulos.

750 cm2.

64.95 cm2.

879.9 cm2.

rea = 1196.23 cm2.


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PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


9. El dodecaedro es un cuerpo geomtrico cuyas caras son

pentgonos regulares.

a) Cuntas caras tiene el dodecaedro de la imagen?

b) Calcula el rea total de sus caras laterales.

1. Lee nuevamente el Desafo matemtico y, con base en lo que practicaste en el desa-

rrollo de esta ficha, revisa si tus respuestas son correctas. Compara tus resultados conlos de tus compaeros y concluyan, en conjunto, las soluciones correctas.

a) Si ahora se cortan las piezas de vidrio por separado, es decir, se construye por com-

pleto, en forma separada, el prisma y cada una de las pirmides, cul sera el rea

lateral total de las tres figuras?

Validacin

1. En el diagrama siguiente escribe sobre las lneas las palabras que faltan para completar

correctamente los enunciados.

Regresoal Desafomatemtico

Para resolverel Desafomatemtico sedebe obtener elrea total de lasuperficie deldiamante, para locual la figura sepuede dividir en

y .

El rea total de estas figuras es:

=

El rea total de estas figuras es:

=

El rea lateral total del diamante es:

+ =

De modo que el tiempo necesario parapulir la pieza es de:

t= = min = h.

El rea de la primera figurase puede calcular con lafrmula:

. Por tanto su rea es:

El rea de la segunda figurase puede calcular con lafrmula:

.Por tanto su rea es:

2.5cm

1.72 cm

12 caras.

129 cm2

.

El rea de la pieza de vidrio es igual a 5064 cm2. El tiempo necesario para pulir la pieza

es: 5064 cm2/ 3 (cm2/min) = 1688 min = 28 h y 8 min.

El rea de cada pirmide es igual a 1412 cm2.El rea del prisma octagonal es 4160 cm2.

El rea total de las tres figuras es igual a 6 984 cm2.

tringulos

tringulos A= b h

A= 10 cm 40 cm = 400cm 2

A= 10 cm 23.3 cm2 = 116.5cm2

A= b h2

116.5

1864

400 cm2 8 32000 cm2

1688 13

3200 cm2

5024

186416

5064 cm2

3 cm2/min


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FORMA,ESPACIO

YMEDIDA

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

FORMA,ESPACIO

YMEDIDA

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


Contenido: Resolucin de problemas relacionados con el porcentaje, determinar qu porcentaje representauna cantidad y obtener una cantidad cuando se conoce una parte de ella y su porcentaje.

El PorcentajeEn tus cursos previos de Matemticas has aprendido a comparar dos o ms cantidades, en-

tre estos procedimientos destacan la diferencia, es decir, la resta entre dos cantidades, y la

razn, que se puede expresar por medio de una fraccin o un cociente. En este ltimo caso,

la razn tambin puede representar una proporcin o la parte que una cantidad representa

con relacin a otra. En esta leccin pondrs en prctica otra forma de comparar cantidadesmediante porcentajes.

1. La compaa constructora Cas-ita

S. A.muestra, con el diagrama de

la derecha, el avance en la cons-

truccin de su nuevo conjunto

habitacional. En el diagrama, el

total de conos que se muestranrepresenta el 15% del nmero to-

tal de casas que habr en el conjunto. Las casas terminadas se representan

con los conos de color azul, y los conos en blanco representan las casas

que faltan por construir. Cuntas casas en total faltan por construir por la

compaa?


1. Seala la opcin correcta.

a) De acuerdo con el diagrama, cul es la tasa porcentual de casas

construidas en la unidad habitacional?

15% 33.33% 60% 66.67%

b) Si el total de casas dibujadas en el diagrama representa el 15 %, esto

significa que:

En total se construirn 160 casas.

Si en el total de casas fuera de 100, faltaran 15 por construir.

Faltaran 15 100 = 1500 casas por construir

Si en el total de casas fuera de 100, faltaran 85 por construir.

c) Cul es la expresin matemtica con la que se puede calcular el n-mero total de casas que habr en la unidad habitacional a partir del

nmero de casas representadas en el diagrama?

Porcentaje = cantidad tasa

Casas representadasPorcentaje

100 = Total de casas

Total de casas = porcentaje 100

Porcentaje = Casas representadasTotal de casas

Desafomatemtico

Se le llama tasaa la ra-zn entre dos cantida-des, donde una corres-ponde a la frecuenciade un suceso o a unnmero determinadode elementos, y la otra altotal o universo consi-

derado.

Por ejemplo:La tasa que expresa larelacin entre 234 torni-llos que pasan el controlde calidad de un lote de1 300 es:

tasa =234

1300 = 0.18

=18

100= 18%.

Una tasa puede ex-presarse como nme-

ro decimal, fraccindecimal o porcentaje.En este ltimo casorecibe el nombre de tasaporcentual.

Conceptosclave

53.33 casas


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PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


Ahora practica

1. La Familia Ramrez ha cosechado 75% de las 40 hectreas que tiene

cultivadas.

a) Cuntas hectreas han sido cosechadas?

b)Cuntas hectreas faltan por cosechar?

2. Mariana recibir 18% de comisin por la venta de un equipo de cmputo

cuyo precio es de $15100, cunto dinero recibir Mariana?

3. La presa Temazcal, en el estado de Oaxaca, est al 63% de su capaci-

dad, la cual es de 8.12 109m3. Cul es el volumen de agua que con-tiene la presa?

4. Para ir del pueblito de Santiago al de San Marcos, existen dos caminos.

El tiempo de recorrido para el primer trayecto es de 2 horas y 15 minu-

tos; el del segundo es de 1 hora y 45 minutos.

a) Qu porcentaje representa el tiempo de recorrido del primer camino

respecto del segundo?

b) Qu porcentaje representa la duracin del trayecto por el segundo ca-

mino respecto a la duracin del primero?

5. El costo de una casa hace 7 aos era de $350000, hoy es de $72000.

a) En qu porcentaje se increment su valor?

Para calcular qupor-

centaje (o qutantopor-

ciento) de unacantidad

representaotra,pode-

mosutilizarla siguiente

expresin:

Porcentaje =cantidad

tasaporcentual.

Ejemplo.

Siqueremos conocer

cules el 17%del precio

deunoszapatosque

cuestan$250, se procede

de lamanerasiguiente.

porcentaje= $25017

100

= $250 0.17= $42.50.

As, $42.50representael

17% de $250.

Procedimiento

El Porcentajecorres-ponde a una cantidadcon relacin a un total,en referencia a una tasaporcentual.

Ejemplo.Si en un grupo de 32estudiantes se forma unequipo de 8 alumnos,este equipo representa el25 por ciento del total dealumnos, ya que:8 de 32 es proporcional a25 de 100, es decir:

832

= 25100

= 0.25 = 25%

El smbolo % indica porciento, es decir, porcada 100.Esto significa que 25% de32 es 8.

Conceptosclave30 ha.

10 ha.

0.18 15 100 = $2718.

(8.12 109m 3) (0.63) = 5.12 109 m 3.

T1= 2.25 horas, T

2= 1.75 horas, entonces

T1

T2

100 =2.251.75

100 = 128.5%

T1= 2.25 horas, T

2= 1.75 horas, entonces

T1

T2

100 =1.752.25

100 = 77.7%

720 000350000

100 = 205.7%


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YMEDIDA

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

FORMA,ESPACIO

YMEDIDA

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO



b) Cuntas veces se incrementa el valor de un objeto, si decimos que su

precio aument 100%?

c) Cuntas veces se incrementa el valor de un objeto si decimos que su

precio aumenta 200%?

6. El costo de un automvil hace tres aos era de $144000, hoy es de

$65000.

a) Qu porcentaje representa el precio actual del automvil con respecto

al que tena hace tres aos?

7. Un banco cobra un inters de 3.5% mensual por concepto de inters enel saldo de una tarjeta de crdito.

a) Si el saldo del mes en curso de un cuentahabiente es de $2500, cunto

pagar por concepto de inters?

b) Si el mes pasado pag $120 de inters, cul haba sido su saldo?

8. En el municipio de San Jacinto han sido vacunados 336 nios, y ellos

representan el 60% de la poblacin infantil.

a) Cul es la poblacin infantil en el municipio?

b) Cuntos nios faltan por vacunar?

9. A 112 das de iniciada la construccin de una autopista, se lleva un avan-

ce del 56%. Si se contina con ese ritmo, cunto tiempo se necesitar

para terminar la obra?

Para obtener el total alque hace referencia unporcentaje, conociendola tasa correspondien-te, se puede aplicar lasiguiente expresin:

porcentaje

tasa porcentual= total.

Ejemplo:Daniel pag $975 porconcepto de IVApor untelevisor. Si el IVAes de15% Cul es el preciooriginal del televisor?Aplicando la expresinanterior tenemos:

porcentaje

tasa porcentual=

975

0.15 =

975

15 100

= 6 500

El precio original deltelevisor es de $6 500.

Procedimiento

Es comnconfundirel porcentaje de una

cantidadconla tasa

porcentual.

Ejemplo.

Siuncuadernocuesta

$24ytiene un descuento

del 20%. El descuento en

el preciodel cuaderno

es de $4.80.Unerror

comn es pensar que

el porcentajeesde20%,

cuandoelporcentajees

eldescuento, esdecir

$4.80, 20%representa latasa.

Errorfrecuente

Faltan por vacunar 224 nios.

Poblacin infantil = 3360.6

= 560

120 1003.5

= $3428.57

2500 3.5100

= $87.50

65000144000

100 = 45.1%

El triple.

El doble.

1120.56

= 200 das


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PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


10. Esta quincena Carlos ahorr $3 200, si esa cantidad representa 46% de su sueldo,

cul es su sueldo quincenal?

11. En las elecciones de una ciudad los candidatos a la presidencia municipal obtuvie-

ron los porcentajes siguientes: El candidato del partido blanco recibi el 43% de los

votos; el candidato del partido naranja recibi el 37% de los votos; el candidato delpartido violeta recibi el 16% de los votos; y el del partido beige el 3%. El resto de

los votos fueron nulos. Si en el padrn electoral estn registrados 26500 electores.

Cuntos votos recibi cada uno de los candidatos?

1. Regresa al problema del Desafo matemtico y, con base en lo que practicaste, revisa

si tu respuesta es correcta. Corrgela en caso necesario.

2. Qu significa que el porcentaje de una cantidad es un nmero decimal y no un n-

mero entero?

Validacin

1. Completa los prrafos en el siguiente diagrama.


Como esta tasa es la misma para el nmeroreal de casas, podemos aplicarla paraencontrar el nmero total de casas poredificar:

% = = .

Por tanto, el nmero total de casas por edificar

es de casas.

Como la cantidad total de casas en el

diagrama es , la cantidad de casas queformarn la unidad habitacional es:

x= = .

As, habr casas en total.

En el diagrama se

representan casassin edificadar de un

total de , lo querepresenta una tasa de:

Tasa = 100

= %.

Por tanto, la tasaporcentual de casasque ya estn edificadas

es .

32000.46

= $6956.52

El porcentaje es un valor aproximado, por eso en el caso de que ste se refiera a

elementos unitarios (como personas o casas) el valor del porcentaje adecuado, es el

nmero entero que ms se aproxima.

24

24

8100 160

160

160 160 166.67

33.33

33.33

53.3366.67%

2415

33.33100

824

Partido blanco: 11 395; partido naranja: 9805; partido violeta: 4240; partido beige: 795.


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YMEDIDA

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

FORMA,ESPACIO

YMEDIDA

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


Contenido: Resolucin de problemas que impliquen el clculo del inters compuesto, crecimiento poblacional u otrosque requieran procedimientos recursivos.

Procedimientos recursivosEn muchas situaciones cuantitativas podemos observar cambios regulares que ocurren en

intervalos constantes de tiempo o durante procesos repetitivos y que, adems, dependen

de una cantidad inicial y una tasa de cambio; por ejemplo, el crecimiento poblacional o

el incremento en el capital ahorrado en un banco. A partir de la cantidad inicial se puede

determinar la cantidad generada al trmino de una primera etapa, aplicando la tasa corres-pondiente y, a partir de esta nueva cantidad, calcular la de la siguiente etapa y as sucesiva-

mente. A este tipo de procedimientos se les denominan procedimientos recursivos.

1. En un laboratorio de investigacin bacteriolgica se observa la reaccin

que una colonia de bacterias tiene ante un nuevo antibitico. Si en el culti-

vo existe una poblacin inicial de 500 individuos y se sabe que sta dismi-

nuye 4% por cada hora transcurrida como efecto del antibitico, en cun-

to tiempo la poblacin inicial de bacterias se habr reducido a la mitad?


1. Seala la opcin correcta.

a) Cunto es el 4% de 500?

2 000 200 20 2

b) Cuntas bacterias habr en el cultivo despus de una hora?

1500 300 480 498

c) Cuntas bacterias habr en el cultivo despus de dos horas?

1 000 460 Entre 460 y 461 474

d) Cuntas bacterias habr en el cultivo despus de tres horas?

500 440 Entre 442 y 443 455

e) Cul es la tasa de cambio a la que disminuye la poblacin de bacte-

rias?

500 200 44

100

f) Cul de las siguientes expresiones algebraicas representa el procedi-miento recursivo con el que se puede calcular la poblacin de bacte-

rias a partir de la poblacin que haba una hora antes?

xn+ 1

= xn 500 x

n = x

n + x

n t

xn= x

n 200 x

n+ 1 = x

n x

n t

Dondexnrepresenta el nmero de bacterias en el tiempo n,x

n+ 1, en

nmero de bacterias una hora ms que en el tiempo n, y tla tasa de

decrecimiento.

Desafomatemtico

El porcentajedeunacantidadseobtienealmultiplicardichacan-tidadpor elporcentajeexpresadoen nmerodecimal.Por ejemplo:18%de$5000seobtienehaciendolamultiplica-cin:

$50000.18=$900.

Procedimiento

En 17 horas.


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PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


Ahora practica

1. Luisa ha decidido ahorrar su dinero en el banco. Este le ofrece regresarle su capital

original ms 15% de esta cantidad por concepto de intereses.

a) Cunto dinero tendr Luisa al trmino del primer mes?

b) Si decide ahorrar en el banco todo lo que tendr despus de un mes, cunto dinero

tendra al trmino del segundo mes?

c) Si decide continuar ahorrando en el banco todo el dinero acumulado

cada mes, cunto dinero tendra al finalizar seis meses?

2. Pablo y Jos Manuel han decidido ahorrar por un periodo de tres me-

ses. Pablo deposita en su alcanca $200 al final de cada mes; Jos Ma-

nuel invirti $600 en un fondo de inversin, con un plan en el que reci-

be 22% de inters mensual.

a) Completa la siguiente tabla:

b) Qu cantidad total aportaron Pablo y Jos Manuel en los tres meses?

c) Con qu cantidad contaba cada uno al final del mes?

Para resolver problemasque implican proce-dimientos recursivos,como en el caso de unainversin que paga elinters compuesto; seobtiene el porcenta-

je correspondiente a

la cantidad inicial deacuerdo con la tasa daday el resultado se suma ala cantidad inicial.

La siguiente expresinalgebraica permite efec-tuar ese clculo:

Cantidad actual = Can-tidad inicial + (Cantidadinicial tasa en nmerosdecimales).

Este procedimiento se

repite hasta obtener elresultado deseado.

Procedimiento

Saldo al final de mes

Primer mes Segundo mes Tercer mes

Pablo

Jos Manuel

Ahorro inicial + ahorro inicial 15

100.

Ahorro inicial ( 1 + 2 (15

100) + (

15100

) 2).

Ahorro inicial (1 + 15100

) 6.

200

$ 1493.04

600

400

732

600

893.04

Pablo contaba con $600 y

Jos Manuel contaba con 893.04.


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YMEDIDA

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

FORMA,ESPACIO

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PENSAMIENTOA

LGEBRAICO



3. Raquel ha decidido ahorrar en un banco que le ofrece una tasa de inters del 7%

mensual. Al inicio del ao deposita $5000 en su cuenta y permite que el dinero se

invierta cada mes, sin hacer ningn retiro.

a) Cunto dinero tendr en su cuenta al final del ao?

b) Despus de cunto tiempo su capital rebasar los $14000?

4. Una especie de microorganismos duplica su poblacin cada 6 horas. Si a las 12:00 h

haba 5 individuos, cul sera la poblacin despus de una semana? Cul es la tasa de

crecimiento? Considera que la reproduccin no tiene mecanismo de control alguno.

5. En el ao 2000 la poblacin de una ciudad era de 45566 habitantes. Considerando

que su tasa de crecimiento anual es de 1.7% y que se mantiene constante, responde:

a) Cul es la poblacin esperada en el ao 2012?

b) Cuntos habitantes habr en el ao 2020?

6. En una ciudad hay 10000 habitantes infectados con un virus y cada da el nmero de

infectados aumenta a una tasa del 10%.

a) Cuntas personas estarn infectadas en 5 das?

b) Si en esa ciudad la poblacin es de 200000 habitantes, en cuntos das se infectar

toda la poblacin?

$ 11 260.96.

Despus de 16 meses.

La tasa de crecimiento es del 200%.

La poblacin despus de una semana es de 114383962274 805.

La poblacin esperada en el ao 2012 ser de 55 782 habitantes.

63 835 habitantes.

16105.10 personas.

Entre 31 y 32 das.


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YMEDIDA

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

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Contenido: Comparacin de dos o ms eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: es msprobable que, es menos probable que.

Comparacin de eventos a partir de susresultados posiblesUna moneda lanzada al aire gira tan rpido que es prcticamente imposible saber si al caer, la

cara que quede hacia arriba ser sol o guila. Para tratar de determinar con certeza el resul-

tado de este experimento se tendra que conocer la fuerza con la que se lanz, la rapidez conla que est girando, la forma en que interacciona con el aire a su alrededor, y otras variables

que complican mucho los clculos, adems de repetir cada clculo en cada lanzamiento.

Conocer en forma precisa dicha informacin es un trabajo arduo y, en algunos casos, es

imposible, pues lo ms seguro es que los datos con los que se cuenta cambien con el tiempo.

Sin embargo, en situaciones como sta, aunque no puede saberse el resultado con absoluta

precisin, s es posible cuantificar la ocurrencia de un evento determinando su probabilidad.

1. Santiago y Karina juegan a lanzar una cani-ca dos veces en un tablero con nueve orifi-

cios marcados con un nmero, como se mues-

tra en la figura de la derecha.

Santiago obtiene un punto si el valor de la suma de

los nmeros donde cae la canica es un nmero par.

Karina obtiene un punto si el valor la suma de los n-

meros donde cae la canica es un nmero impar.

Gana el juego el primero que acumule cinco puntos.

a) Ambos tienen las mismas probabilidades de ganar? Si no es as, quin

de los dos tiene ms oportunidades de ganar?



a) Si se lanza una canica dos veces sobre los orificios, de cuntas formas

puede caer?

9 18 36 81

b) Cuntas sumas posibles existen en el juego, es decir, cuntos ele-mentos tiene el espacio muestral?

9 18 36 81

c) Cuntas de esas sumas dan como resultado un nmero par?

9 18 40 41

d) Cuntas de esas sumas dan como resultado un nmero impar?

9 18 40 41

Desafomatemtico

Los juegos de azar son

ejemplos de experien-cias o experimentosaleatorios. En ellos no sepuede conocer cul serel resultado antes de queste se realice.

Se le llama espaciomuestral al conjuntode todos los resultadosposibles de un experi-mento aleatorio, stese escribe entre llaves ycada resultado posible sesepara con una coma.

Ejemplo:El espacio muestral delanzar una moneda alaire es: {guila, sol}.

Conceptosclave

No, Santiago tiene ms oportunidades de ganar.


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PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

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LGEBRAICO


Contenido: Comparacin de dos o ms eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: es msprobable que, es menos probable que.

4. Un juego entre tres jugadores se inicia con un arreglo de fichas

como se muestra en la figura de la derecha; al azar, cada uno de

los jugadores retira, por turno, 1 o 2 fichas. Pierde el jugador que

se lleva la ltima ficha.

a) De qu color son las fichas que tienen ms probabilidad de ser

retiradas del juego?

b) De qu color es la ficha que tiene menos posibilidades de ser

tomada al ltimo?

5. De seis tarjetas como las que se muestran se eligen dos al azar.

a) Si se suman los nmeros de las dos tarjetas, qu es ms probable queocurra, que la suma sea 1

2o 1? Justifica tu respuesta.

b) Qu suma es menos probable de obtener 12

o 34

? Por qu?

6. En una feria hay un juego de dardos, en el que

se usa un disco como tiro al blanco dividido

en diferentes secciones como se muestra en

la figura. El premio que se gana depende de

los sectores circulares en los que acierte el

dardo mientras gira el disco.

a) Si se arroja un dardo y ste da en el blanco,

qu es ms probable que suceda, que haya acertado en el sector de13

o

en el que corresponde a1360 ?, por qu?

b) Si se arrojan dos dardos, qu es ms probable, que la suma de las frac-

ciones que representan los sectores circulares sea1120

o9

20?

Para comparar cul dedos o ms eventos tienems posibilidades deocurrir, se cuenta el n-mero de resultados o su-cesos posibles en el es-pacio muestral. El eventoque incluye un nmeromayor de resultados enel espacio muestral tienems probabilidades deque ocurra.

Ejemplo:Si se lanza dos veces unamoneda al aire, qu esms probable obtener?,que ambas veces seobtenga sol o que ambasveces las caras obtenidassean diferentes?

El espacio muestral parael experimento aleatorioque consiste en lanzardos monedas es el si-guiente: {AA, AS, SA, SS}.Aqu A representa quela cara de la monedaque queda hacia arribadespus de lanzarla seaguila y S que la cara dela moneda sea sol.

Como el evento de queambas caras sean soltiene un solo resultadoposible en el espaciomuestral (SS) y el eventode que ambas caras seandiferentes (AS y SA) tienedos resultados posibles,el segundo evento es elms probable.

Procedimiento

14

14

14

14

12

12

13

15

1360

14

Las fichas de color azul.

Las fichas de color negro.

Es ms probable que la suma sea12

, porque es ms probable sacar un par

de tarjetas de marcada con14

que un par de tarjetas con 12

.

Es ms probable que el dardo de en el sector que corresponde a 13

por-

que ste tiene un rea mayor que el sector que corresponde a 1360

.

Es menos probable que la suma sea34

que12

, porque para que dos tarjetas

sumen34

es necesario sacar al menos una tarjeta marcada con12

y hay me-

nos tarjetas de stas que las marcadas con1

4.

1120


39/44


40/44

40

FORMA,ESPACIO

YMEDIDA

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO

FORMA,ESPACIO

YMEDIDA

PENSAMIENTOA

LGEBRAICO


Contenido: Anlisis de casos en los que la media aritmtica o mediana son tiles para comparardos conjuntos de datos.

Anlisis de datos a partir de su mediaaritmtica o medianaPiensa el tiempo que te ha tomado llegar hoy a la escuela, fue el mismo que el de ayer?, fue el

mismo durante toda la semana pasada? Seguramente no, pues aunque todos los das realizas

el mismo recorrido, el tiempo que tardas depende de varios factores, como qu tan rpidote desplazas, la frecuencia del transporte pblico, del trfico, de todo esto y ms. Si registra-

ras tu tiempo de traslado durante todo un mes, podras obtener un valor representativo del

tiempo que, en general, tardas en llegar a la escuela y con ese dato podras tomar decisiones

al respecto. En esta ficha aplicars lo aprendido al anlisis de datos utilizando el promedio o

media aritmtica, y la mediana. Estos parmetros que vas a estudiar pertenecen al campo de

la estadstica, la cual tiene una amplia aplicacin en el mbito cientfico y en la vida cotidiana.

1. En la zona escolar 5 del estado de Coahuila se llevar a cabo una com-

petencia de ajedrez por equipos, por ello, en la escuela Juan de la Ba-rrera se elegir al equipo con mejor ranking en ese deporte. Los equipos

y sus integrantes se muestran en la siguiente tabla.

Cul equipo debera ir a la competencia? Justifica tu respuesta.


1. Selecciona la respuesta correcta.

a) Considerar la suma total de los puntos de cada equipo sera un buen

criterio para elegir al mejor?

S, porque el equipo con ms puntos necesariamente es el mejor.

No, porque los equipos tienen distinto nmero de integrantes.S, porque el total de puntos refleja el desempeo de todo el equipo.

No, porque hay que considerar a los jugadores uno a uno.

b) Cul es valor que mejor representa el desempeo de cada equipo?

La suma total del puntaje de los elementos de cada equipo.

La moda, es decir, el valor que ms se repite en cada equipo.

El promedio o media aritmtica.

La mediana, es decir, el valor intermedio en cada equipo.

Desafomatemtico

Elpromedioomedia

aritmticadeuncon-

juntodedatosseobtiene

alsumartodoslosdatos

ydespus dividiresta

sumaentreelnmero

totaldedatos.

Conceptosclave

Cuando la cantidad dedatos es un nmeroimpar, la mediana seobtiene ordenndolos demenor a mayor. El n-mero que se encuentraexactamente a la mitadde esta ordenacin es lamediana.Cuando la cantidad dedatos es un nmero par,y al ordenar los datosdos de stos quedaranen medio, la medianase obtiene a partir delpromedio entre estos

dos datos.

Conceptosclave

Equipo de Tercero A

Nombre Puntaje

Ed Castillo

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