EDO - APOSTILA 02

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Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia Email: [email protected] EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA ESPECIAL PROGRAMA DO CURSO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1. Conceito de Equações Diferenciais 2. Classificação das Equações Diferenciais 3. Modelos Matemáticos 4. Tipos de Equações Diferenciais 4.1. Equações Diferenciais de Primeira Ordem 4.1.1. Variáveis Separáveis 4.1.2. Equações Homogêneas 4.1.3. Equações Exatas 4.1.4. Equações Lineares 4.1.5. Equações de Bernoulli 4.1.6. Aplicações das Equações Lineares de Primeira Ordem 4.2. Equações Diferenciais de Ordem Superior 4.2.1. Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem Homogêneas e Não-homogêneas 4.2.2. Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior Homogêneas e Não-homogêneas 4.2.3. Aplicações de Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem CONCEITO E CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1. Seqüência: 2. Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de EQUAÇÃO DIFERENCIAL (ED). Nosso problema central: Dada uma ED como , que função y = f(x) satisfaz à equação? O método de encontrarmos essa função será descrito ao longo do nosso curso. As Equações Diferenciais são classificadas: 1º) Quanto ao Tipo a) Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) – Contém derivadas de uma ou mais variáveis dependentes com relação a uma única variável independente. Exemplos: b) Equações Diferenciais Parciais (EDP) – São aquelas que envolvem as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes. Exemplos: 1 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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EQUAÇÕES DIFERENCIAISAULA ESPECIAL

PROGRAMA DO CURSO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

1. Conceito de Equações Diferenciais2. Classificação das Equações Diferenciais3. Modelos Matemáticos4. Tipos de Equações Diferenciais4.1. Equações Diferenciais de Primeira Ordem4.1.1. Variáveis Separáveis4.1.2. Equações Homogêneas4.1.3. Equações Exatas4.1.4. Equações Lineares4.1.5. Equações de Bernoulli4.1.6. Aplicações das Equações Lineares de Primeira Ordem4.2. Equações Diferenciais de Ordem Superior4.2.1. Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem Homogêneas e Não-homogêneas4.2.2. Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior Homogêneas e Não-homogêneas4.2.3. Aplicações de Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem

CONCEITO E CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

1. Seqüência:

2. Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de EQUAÇÃO DIFERENCIAL (ED).

Nosso problema central: Dada uma ED como , que função y = f(x) satisfaz à equação? O método de

encontrarmos essa função será descrito ao longo do nosso curso.

As Equações Diferenciais são classificadas:

1º) Quanto ao Tipo

a) Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) – Contém derivadas de uma ou mais variáveis dependentes com relação a uma única variável independente. Exemplos:

b) Equações Diferenciais Parciais (EDP) – São aquelas que envolvem as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes. Exemplos:

NOTA: Em nosso curso estudaremos somente as Equações Diferenciais Ordinárias de uma variável dependente, em relação a uma única variável independente.

2º) Quanto à Ordem

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A ordem de uma ED é dada pela derivada de maior ordem que comparece na equação. Assim, a EDO

é uma EDO de 2ª Ordem.

3º) Quanto à Linearidade

Uma Equação Diferencial é dita linear quando pode ser escrita sob a forma:

, que apresenta as seguintes

propriedades:

(i) A variável dependente y e todas as suas derivadas são do 1º grau.

(ii) Os coeficientes são todos dependentes apenas da variável independente x.

Assim, são lineares as equações diferenciais e as

equações são equações diferenciais não-lineares.

3. Exemplos Resolvidos

1. Classifique as Equações Diferenciais:

a)

b)

c)

d)

2. Verifique se a função dada é solução da Equação Diferencial:

a)

b)

c)

MODELOS MATEMÁTICOS

1. Queda-Livre

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Equação Diferencial:

2. Sistema Massa-Mola

Equação Diferencial:

3. Pêndulo Simples

Equação Diferencial:

4. Circuito Elétrico Simples em Série RLC

Equação Diferencial:

5. Crescimento Populacional

Equação Diferencial:

6. Exemplos Resolvidos

1. Qual a ED para a velocidade v de um corpo de massa m em queda vertical através de um meio que oferece uma resistência proporcional ao quadrado da velocidade?

2. Encontre as EDS dos circuitos elétricos simples em série RC e LC, sujeitos a uma tensão externa e(t).

EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS

1. Tipo:

2. Transforma-se em:

3. Métodos de Separação: Direto Fatoração Artifícios de Cálculo

4. Exemplos Resolvidos

1. Resolva as EDOS por Separação de Variáveis:

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a)

b)

c)

d)

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÊNEAS

1. Tipo: , onde M(x,y) e N(x,y) são funções homogêneas de mesmo grau.

2. Método de Solução

Mudança de Variável: , esta última é utilizada sempre que a expressão M(x,y) for mais simples que N(x,y).

3. Exemplos Resolvidos

1. Resolva as EDOS a seguir:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - MODELOS DE PROVA

Questão 01: Resolva a EDO

4 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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Solução:

Questão 02: Resolva a EDO

Solução:

Substituindo:

5 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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Questão 03: Resolva a EDO com as condições dadas

, x = 1 e y = 0.

Solução:

Questão 04: Resolva a EDO

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Solução:

Decompondo em Frações Parciais

Substituindo:

Questão 05: Resolva a Integral

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Solução:

Substituindo:

Agora você deve resolver essas questões:

Questão 01: Resolva a EDO

Questão 02: Resolva a EDO

Questão 03: Resolva a EDO com as condições dadas

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, x = 1 e y = 2.

Questão 04: Resolva a EDO

Questão 05: Resolva a Integral

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS HOMOGÊNEAS

As Equações Diferenciais Ordinárias do tipo M(x,y) dx+ N(x, y) dy = 0 são homogêneas quando as funções M(x, y) e N(x, y) forem homogêneas do mesmo grau. O método de resolução consiste na substituição y = ux e dy = u dx + x du ou na substituição . Mas qual delas

aplicar? A prática nos manda utilizar a segunda substituição ( ) sempre que a expressão de M(x, y) for mais simples do que N(x, y). O exemplo a seguir esclarece este ponto. Acompanhe com atenção as duas substituições para a mesma Equação Diferencial e decida pelo melhor caminho.

Resolva a Equação Homogênea

1ª Solução:

Integrando:

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Encontrando as constantes das frações parciais:

Resolvendo o sistema:

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Assim:

Substituindo e Integrando:

2ª Solução:

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Como se pode observar a segunda solução é bem mais rápida. Mas a decisão de escolha é sua.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS I MÉTODOS DE RESOLUÇÃO

PROGRAMA

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1. Introdução2. Variáveis Separáveis3. Equações Diferenciais Exatas4. Fator Integrante5. Equações Diferenciais Homogêneas6. Equações Diferenciais Lineares7. Equação Diferencial de Bernoulli8. Equações de Ordem Superior9. Aplicações Práticas

1. INTRODUÇÃOEquação Diferencial é toda equação onde figuram derivadas ou diferenciais. A ordem de uma equação diferencial é dada pela maior derivada que comparece na equação. Assim, uma equação onde é a derivada de maior é a terceira é classificada como equação de 3ª ordem.Uma outra importante classificação das equações diferenciais é dividi-las em Equações Diferenciais Lineares e Equações Diferenciais Não-Lineares Uma Equação Diferencial é dita Linear quando puder ser escrita sob a forma:

Observando a expressão acima, podemos notar que as equações diferenciais lineares têm coeficientes dependentes de apenas uma variável e a variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau.Se as equações diferenciais têm derivadas de funções de uma única variável independente, então, ela é chamada Equação Diferencial Ordinária (EDO); caso as derivadas envolvam funções com mais de uma variável independentes ela é chamada de Equação Diferencial Parcial (EDP).Qualquer função, dentro de um determinado intervalo, quando substituída na equação diferencial reduz esta a uma identidade, é chamada solução da equação dada.As equações diferenciais ou um sistema de equações diferenciais descrevem matematicamente o comportamento de algum sistema ou fenômeno físico, como por exemplo, o funcionamento de um circuito elétrico.Neste nosso estudo, aprenderemos alguns métodos de resolução das equações diferenciais, bem como identificaremos os principais tipos de equações diferenciais de primeira ordem.

2. VARIÁVEIS SEPARÁVEIS

2.1. Reconhecimento e ResoluçãoToda equação diferencial redutível à forma:

denomina-se de separável ou tem variáveis separáveis. Para

resolve-la basta integrá-la. É preciso que, neste ponto de nosso estudo, façamos uma advertência a todos os alunos para que revisem algumas Técnicas de Integração.Muitas vezes ao aplicarmos outros métodos de resolução de equações diferenciais, recaímos no método de variáveis separáveis, daí a sua importância.

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2.2. Exemplos Resolvidos

Ex.1: Resolva a equação

Solução

Integrando ambos os membros da expressão (1):

Ex.2: Resolva a equação

Solução:

, integrando a expressão (1) obtemos:

2.3. Exercícios Propostos

01)

02)

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03)

04)

05)

06)

07)

08)

09)

10)

11)

12)

3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS

3.1. Reconhecimento e Resolução

Dada uma equação diferencial redutível à forma:

, ela será uma Equação Diferencial Exata se, e somente se, .

1º) Método de Resolução

A sua resolução tem o seguinte procedimento:

(1) Suponha que

(2) Escreva

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(3) Faça

(4) Dessa forma,

(5) Substitua na Solução Geral f(x,y) = c.

2º) Método de Resolução

(1) Suponha que

(2) Escreva

(3) Faça

(4) Dessa forma,

(5) Substitua na Solução Geral f(x,y) = c.

3.2. Exemplos Resolvidos

Ex.1: Resolva

Solução: Sejam M9x,y) = 2xy e N(x,y) = x² - 1

Assim, temos:

. Logo, a equação dada é exata. Então, temos:

, integrando essa equação, obtemos:

. Derivando esta última expressão em relação a y e igualando com N(x,y), temos:

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Ex.2: Resolva

Solução:Temos que:

Então, existe uma f(t, y), tal que:

Integrando esta última equação em relação a y, obtemos:

. Assim:

3.3. Exercícios Propostos

01) Resp.:

02) Resp.:

03) Resp.:

04) Resp.:

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05) Resp.:

06) Resp.:

07) Resp.:

08) Resp.:

09) Resp.:

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

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23)

24)

25)

26)

27)

4. FATOR INTEGRANTE

Quando a Equação Diferencial não é exata, podemos usar um Fator Integrante que pode ser:

onde

ou

onde

Dessa forma, o fator integrante multiplicado pela equação diferencial não exata irá transforma-la numa equação diferencial exata.Veremos mais tarde, que o uso do fator integrante permite que outros tipos de equações diferenciais sejam resolvidos.

5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÊNEAS

5.1. ReconhecimentoUma equação é chamada de Equação Diferencial Homogênea se ambos os coeficientes M(x,y) e N(x,y) são funções homogêneas de mesmo grau.A equação é homogênea se .

5.2. Método de Resolução

Uma equação diferencial homogênea reduzida à forma pode ser resolvida por meio da substituição algébrica y = ux ou x = vy, onde u e v são novas variáveis independentes. Esta transformação transformará a equação dada em uma equação de variáveis separáveis de 1ª ordem. Quando devemos utilizar a transformação x = vy? Na verdade, ela pode ser usada em ualquer equação diferencial homogênea, porém, a prática nos ensina que ela deve ser tentada sempre que a função M(x,y) for mais simples do que N(x,y). Pode acontecer também que ao fazermos a substituição

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algébrica y = ux ou x = vy resulte em integrais difíceis ou impossíveis de serem resolvidas, uma outra substituição pode tornar a resolução mais fácil.

5.3. Exemplos Resolvidos

Ex.1: Verifique se as funções são homogêneas

a) Solução:

A função é homogênea e de grau dois.

b)

Solução:

A função é homogênea e de grau

Ex.2: Resolva as equações abaixo:

a)

Solução:Podemos observar que tanto o coeficiente M(x,y) = x² + y² quanto o coeficiente N(x,y) = x² - xy são homogêneos de grau 2 (como você pode comprovar).

Fazendo y = ux, temos dy = u dx + x du e substituindo na equação dada, temos:

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Mas: , logo:

b)

Solução:Você deve comprovar a homogeneidade dessa equação.Vamos fazer a seguinte transformação y = ux. Assim, temos:

Como podemos notar essa integral é difícil de ser resolvida, vamos então tentar a transformação x = v y. Assim, temos:

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e substituindo na equação dada:

Simplificando a última expressão:

5.4. Exercícios Propostos(I) Verifique se são homogêneas as funções:

01)

02)

03)

04)

05)

06)

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(II) Resolva as equações homogêneas a seguir:

01)

02)

03)

04)

05)

06)

07)

08)

23 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668