Cap tulo 1 Equaes Diferenciais de Primeira Ordem co1.1 Introduo ca

Equaes diferenciais um dos tpicos da matemtica com aplicaes em quase todos os ramos da co e o a co cincia. F e sica, Qu mica, Biologia, Economia so algumas destas reas. Para entender melhor, toda a a equao contendo derivadas de funes so chamadas de equaes diferenciais. Portanto, o estudo ca co a co de equaes diferenciais e suas aplicaes dependem do que se entende por derivada de uma funo, co co ca tpico este j estudado em Clculo I. As equaes abaixo so alguns exemplos de equaes diferenciais o a a co a co que estudaremos neste e no prximo cap o tulo. y + 2xy = 3x2 , xy + sen x y = ex , 3y + 4y + 5y = cos x

As duas primeiras equaes diferenciais so chamadas de primeira ordem e a ultima de segunda co a ordem, devido ` ordem da derivada de maior ordem ser um e dois, respectivamente. a Uma equao diferencial que descreve algum processo f ca sico, qu mico, biolgico, econmico ... o o etc, chamada de modelo matemtico do processo em questo e chegar a esta equao a partir e a a ca das descries destes processos chamado de modelagem do problema. Chegar a este modelos e co e resolv-los o que veremos a seguir. e e Exemplo 1.1 Vimos em Clculo I que calcular a f (x) dx encontrar uma primitiva F da funo a e ca dada f , ou seja, determinar uma funo F tal que, F = f , isto , e ca e F = f f (x) dx = F (x)

Esta equao foi a primeira equao diferencial que resolvemos e a primitiva F nada mais que ca ca e uma soluo para esta equao diferencial. Por exemplo, resolver F (x) = cos(x) equivalente a ca ca e F (x) = cos x dx = sen x + c ,

o que nos mostra que esta equao diferencial tem innitas solues. O estudo da existncia e ca co e unicidade de solues um dos aspectos mais interessantes desta teoria. co e e Exemplo 1.2 Considere um corpo de massa m caindo na atmosfera. Se desprezarmos a resistncia do ar, chamando de v sua velocidade em um determinado instante de tempo t e de a sua acelerao, ca a unica fora atuante a do seu prprio peso p = mg, onde g a constante gravitacional. Pela c e o e segunda lei de Newton teremos F = ma = p = mg = 1 dv = g = v(t) = gt + c dt (1.1)

2

EDO primeira ordem

Se o objeto partiu do repouso, sua velocidade inicial v(0) = 0, e, ento, v(t) = gt. Se o objeto a partiu com uma velocidade inicial v(0) = v0 , ento, v(t) = gt + v0 . A equao 1.1 nos diz que a ca toda soluo v(t) tem inclinao g, isto , a velocidade no varia com o tempo e tem sempre a ca ca e a mesma inclinao. Isto mostrado no grco abaixo, chamado de campo de direes ou vetores, ca e a co onde desenhamos pequenos segmentos de reta com coeciente angular g = 9, 8. Chamando de x(t) a

25

20

15 v(t) 10

5

0 0 0,5 1 t 1,5 2

Figura 1.1: Campo de direes para a equao co ca posio do objeto em cada instante de tempo t, temos que ca

dv dt

=g

dx 1 = v(t) = gt + v0 = x(t) = gt2 + v0 t + c dt 21 Se o objeto parte de uma posiao inicial x(0) = x0 , tem-se x(t) = 2 gt2 + v0 t + x0 . c

e Exemplo 1.3 Considere o problema anterior, agora, com o ar oferecendo uma resistncia proporcional ` velocidade. As foras atuantes no sistema, agora, so o peso e a resistncia do ar. Assim, a c a e pela segunda lei de Newton, dv dv k m = mg kv = =g v (1.2) dt dt m Podemos fazer uma anlise do comportamento da soluo desta equao diferencial sem resolva ca ca e la, como zemos no exemplo 1, atravs do seu campo de direes. Para isto, vamos dar valores `s e co a m constantes envolvidas na equao 1.2. Considere g = 9, 8 s2 , m = 20 kg e o coeciente de resistncia ca e kg do ar k = 5 s .80

60

40 v(t)

20

0 0 4 8 t 12

Figura 1.2: Campo de direes da equao co ca

dv dt

= 9, 8

v 4

Observe que o campo de vetores na gura 1.2 traado no plano t v sem resolver a equao e c ca dv 1.2, dando-se um valor para a velocidade v, por exemplo v = 60 e obtendo-se o valor de dt = 5, 2

W.Bianchini

3

para todo valor de t. Com isso traa-se pequenos segmentos de retas, ou vetores, para determinados c valores de t, eqidistantes, ao longo da reta v = 60 com o mesma declividade. Olhando para a gura, u observe que se o objeto partir com velocidade acima de 40 m/s, ou abaixo, esta velocidade tende a diminuir ou crescer, respectivamente, e se aproximar da velocidade terminal ou de equil brio que, como se v no grco, deve ser prxima de 40 m/s. e a o k Voltemos para a resoluo da equao 1.2. Chamando ca ca = h, observe que m 1 dv dv = g hv =1 dt g hv dt Integrando ambos os lados com respeito ` varivel t, obtm-se: a a e 1 dv dt = g hv dt dt = t + c1 (1.4) (1.3)

Agora, para calcular a integral do lado esquerdo acima, observe que se v = v(t), ento, dv = v (t)dt. a Fazendo esta substituio, tem-se: ca 1 dv dt = g hv dt 1 dv g hv (1.5)

Agora, fazemos a substituio u = g hv du = h dv, assim, ca 1 1 dv = g hv h 1 1 1 du = ln |u| + c2 = ln |g hv| + c2 u h h (1.6)

Assim, as equaes 1.4 e 1.6 implicam que co 1 ln |g hv| + c2 = t + c1 ln |g hv| = ht hc1 + c2 = ht + c3 h

onde, c3 = hc1 + c2 uma constante real qualquer. Assim, e |g hv| = eht+c3 = g hv = eht+c3 = ceht = v = g ceht h

onde c = ec3 , ou seja, c uma constante real qualquer diferente de zero. e Se o objeto parte do repouso, temos uma condio inicial v(0) = 0, e assim, ca v(0) = e, portanto, g g c = 0 = c = h h

g (1 eht ) (1.7) h A gura 1.3 mostra o campo de vetores com as condies iniciais v(0) = 0 e v(0) = 60. co g Note que a soluo v(t) h , quando o tempo t , que tambm uma soluo da equao ca e e ca ca g 1.2. Para vericar isto, basta substituir v = h na equao 1.2 e vericar que dar 0 = 0. ca a dx Se quisermos determinar a posio do objeto em cada instante, basta lembrar que ca = v(t) e dt supondo que sua posio inicial x(0) = 0, tem-se ca v(t) = x(t) = g g t + 2 eht h h

480

EDO primeira ordem

60

v(t)

40

20

0

2

4

6

8 t

10

12

14

Figura 1.3:

1.2

Equaoes Separveis c a

A resoluo da equao do exemplo 1.3 da seo anterior pode ser esquematizada de modo a car ca ca ca mais prtico e rpido de se resolver equaes daquele tipo. Tal mtodo chamado de separao de a a co e e ca variveis e as equaes de equaes separveis. Note que a substituio que zemos na integral do a co co a ca lado esquerdo em 1.4, nos d uma igualdade que, de um lado temos apenas a varivel v e do outro, a a apenas a varivel t, isto , separamos as variveis t e v. a e a Resumindo: O mtodo de separao de variveis se aplica a equaes do tipo e ca a co dy = g(x) h(y) dx Assim, se y = f (x) uma soluo de 1.8, ento, e ca a dy 1 = g(x) h(y) = f (x) = g(x) = dx h(f (x)) porm, como y = f (x) dy = f (x) dx e assim, e 1 dy = h(y) Exemplo 1.4 Resolva as equaes co dy dy y cos x (a) = xy (b) = dx dx 1 + 2y 2 Soluo: (a) Separando as variveis ca a 1 dy = xy dy = x dx dx y Integrando ambos os lados, resultax2 x2 x2 x2 + C1 = |y| = e 2 ec1 = y = ec1 e 2 = ce 2 , ln |y| = 2

(1.8)

1 f (x) dx = h(f (x))

g(x) dx

(1.9)

g(x) dx

(c)

dy = 3y + 5 dx

0=cR

Observe que a funo y = 0, tambm soluo. Portanto, a soluo geral desta equao ca e e ca ca ca e y = ce 2 ,x2

cR

A gura 1.4 mostra o campo de vetores e aos grcos da soluo para vrios valores de c. a ca a

W.Bianchini

5

4

y(x) 2

2

1

1 x

2

2

4

Figura 1.4: Campo de vetores e curvas integrais para y = xy (b) Separando as variveis e integrando a 1 + 2y 2 1 dy = cos x dx = ( + 2y) dy = cos x dx = ln |y| + y 2 = senx + c y y Observe que no podemos explicitar y como uma funo de x. A soluo, neste caso, chamada de a ca ca e soluo impl ca cita da equao. ca Observe que y = 0 tambm soluo da equao. e e ca ca3

2 y(x)

1

8

6

4

2

2

4 x

6

8

1

2

3

Figura 1.5: Campo de vetores e curvas integrais para (c)

dy dx

=

y cos x 1+2y 2

Separando as variveis e integrando e supondo 3y + 5 = 0, temos a 5 ec1 e3x dy = dx ln |3y + 5| = x + c1 y = 3y + 5 3

e e ca ca Observe que y = 5 tambm soluo da equao. Assim, se colocarmos ec1 = c, podemos reescrever 3 a soluo como ca 5 + ce3x , y= 3 onde c R. 5 Observe na gura 1.6 que as solues convergem rapidamente para a soluo de equil co ca brio y = 3

61

EDO primeira ordem

4

3

x 2

1

1

1

y(x) 2

3

Figura 1.6: Campo de vetores e curvas integrais para y = 3y + 5

1.3

Equaoes Lineares cy (x) + p(x)y(x) = q(x) (1.10)

Equaes do tipo co ou, simplicadamente, y + py = q , onde p = p(x) e q = q(x) so funes cont a co nuas em algum intervalo I R, so chamadas de equaes a co diferencias lineares de 1a ordem. As funes p = p(x) e q = q(x) so chamadas de coecientes da co a equao. E claro que a equao 1.2 pode ser reescrita na forma acima: ca ca dv k + v = g. dt m Porm, nem toda equao linear separvel. Por exemplo: y + 3y = x no separvel.(Tente e ca e a a e a separar!) Para se encontrar uma soluo de uma equao linear, a idia transformar o lado esquerdo de ca ca e e 1.10 em alguma coisa do tipo F = f , tal qual no mtodo de separao de variveis. Para isto, e ca a vamos multiplicar o lado esquerdo por uma funo de tal modo que ele se transforme na derivada do ca produto de duas funes, pois com o que ele se parece! co e Vamos chamar de u esta funo. Queremos, ento, que ca a u(y + py) = (uy) = u y + uy uy + upy = u y + uy Assim, upy = u y u = p ln |u| = u p dx |u| = ep dx

Como queremos uma funo para multiplicar ambos os lados da equao 1.10, podemos considerar ca ca u=e chamado de fator integrante. Exemplo 1.5 Resolva as equaes co (a) y + 2y = cos x (b) O fator integrantep dx

x3 y y = 1 u=e2 dx

= e2x

W.Bianchini . Multiplicando ambos os lados da equao por u obtm-se ca e ye2x = e2x cos x ye2x = e2x cos x dx

7

Integrando-se duas vezes por partes, obtm-se e y= 1 2 cos x + senx + ce2x 5 5

Observe na gura 1.7 que uma soluo particular da equao converge rapidamente para a soluo ca ca ca 2 1 de equil brio y = 5 cos x + 5 senx.0.8

0.6 sol.part y(x) 0.4

0.2

4

2

0

2

4 x

6

8

0.2 sol.equil

0.4

Figura 1.7: ca Exemplo 1.6 (b) Primeiramente, a equao x3 y y = 1 tem que ser colocada na forma linear y + py = q. Assim, supondo x = 0, x3 y y = 1 y Logo, o fator de integrao u = e ca ex2 2 x2 2

y 1 = 3 3 x x

. Multiplicando ambos os lados da equao 1.6, obtm-se ca ex2 2

y=

x3 e

dx = 1e

x2 2

+ c y = 1 + ce 2x21

1

0.5 x 3 2 1 1 2 3

0.5

y(x)

1

1.5

2

Figura 1.8:

8

EDO primeira ordem

Observe na gura 1.8 que muito embora a equao no esteja denida para x = 0, todas as ca a solues passam pelo ponto (0, 1). co Exemplo 1.7 Resolva o problema de valor inicial xy + 2y = 4x2 e y(1) = 2 2 A equao acima equivalente ` equao y + x y = 4x e portanto seu fator integrante u = x2 . ca e a ca Assim, multiplicando a equao por u, obtm-se ca e (x2 y) = 4x3 y = x2 + c x2

Como a condio inicial y(1) = 2, ento, c = 1, e, portanto, a soluo ser ca a ca a y = x2 + 1 x2

Veja na gura 1.9 que a soluo que passa pelo ponto (1, 2) descont ca e nua em x = 0 e, portanto, temos uma soluao cont c nua apenas para x > 0. Se impusssemos a condio inicial y(1) = 1, a e ca soluo do problema seria y = x2 , contnua em todo x R. ca

4

2

y(x)0 -2 -1 0 x -2 1 2

-4

Figura 1.9: A existncia de solues de equaes diferenciais de 1a ordem linear ou separvel, bem como a e co co a unicidade de tais solues, tratada na prxima seo. co e o ca

1.4

Existncia e Unicidade de solues e co

At agora, s apresentamos dois mtodos para encontrar a soluo de uma equao diferencial de e o e ca ca a ca e 1a ordem do tipo separvel ou linear. Vimos que quando uma condio inicial dada encontramos apenas uma soluo. A pergunta que no quer calar : ca a e Ser que n~o encontraramos outras solu~es se tivssemos outros mtodos de resolu~o a a co e e ca para aplicar? Isto , a solu~o nica? e ca e u Ou ainda, antes mesmo de comear a perder um bocado de tempo tentando encontrar uma c soluo: ca A solu~o desta equa~o existe? ca ca Para equaes lineares, as respostas a essas duas perguntas dado pelo teorema: co e

W.Bianchini Teorema 1.1 Dado o problema com condio inicial: ca y + py = q y(x0 ) = y0

9

(1.11)

se as funes p = p(x) e q = q(x) so cont co a nuas em um intervalo aberto I, contendo o ponto x0 , ento existe uma unica funo y = f (x), x I que satisfaz o problema de valor inicial 1.11. a ca Note que o teorema garante a existncia e a unicidade de uma soluo apenas no intervalo onde e ca 2 as funes p e q so cont co a nuas. No exemplo 1.7 a funo p = x no cont ca a e nua no ponto x = 0, porm, dependendo da condio inicial, existem solues que so cont e ca co a nuas no ponto x = 0. Para equaes no-lineares, temos um teorema mais geral: co adf Teorema 1.2 Se f e dy so contnuas em um retngulo R = {(t, y); |t| < a, |y| < b}, ento existe a a a algum intervalo I = {t; |t| < c < a}, no qual existe uma unica soluo y = h(t) do problema de valor ca inicial y = f (t, y), y(t0 ) = y0

1.51.5.1

Aplicaes coCrescimento e Decaimento Exponencial

1. Decaimento Radioativo O istopo radioativo trio desintegra-se numa taxa proporcional ` quantidade presente. Se 100 o o a gramas deste material so reduzidos a 80 gramas em uma semana, ache uma expresso para a a a quantidade de trio em qualquer tempo. o Calcule, tambm, o intervalo de tempo necessrio para a massa decair ` metade de seu valor e a a original, chamado de meia vida. Soluo: Seja Q(t) a quantidade de trio em um instante t (dias). Como o trio desintegra-se ca o o numa taxa proporcional ` quantidade presente, tem-se: a dQ = kQ dt onde k < 0, pois Q(t) decrescente. Como j vimos, a soluo desta equao diferencial e a ca ca pode ser encontrada atravs do mtodo de separao de variveis ou pelo fator integrante, cuja e e ca a soluo : ca e Q(t) = cekt Como a condio inicial Q(0) = 100, ento, ca a Q(t) = 100ekt Para calcular o valor da constante k, usamos o fato de que o istopo reduzido a 80 g em 7 o e dias, isto , e 1 Q(7) = 100e7k = 80 k = ln 0, 8 = 0.031 7 Para calcular a meia vida L do trio, tem-se o ln2 1 = 21, 74 dias Q(L) = Q(0) 100e0.031 L = 50 L = 2 0.031

10 2. Crescimento Populacional

EDO primeira ordem

Uma cultura de bactrias, com uma quantidade inicial Q0 bactrias, cresce a uma taxa propore e cional ` quantidade presente. Ao m de 20 minutos cresceu 5%. a (a) Determine a quantidade de bacteria em qualquer tempo t. (b) Quanto tempo levar a cultura para duplicar? a Soluo: (a) Seja Q(t) a quantidade presente de bactrias no instante t. Como a taxa de ca e crescimento de bactrias proporcional ` quantidade presente, tem-se e e a dQ = kQ = Q(t) = Q0 ekt dt Como Q(20) = 1, 05 Q0 = Q0 e20k = 1, 05Q0 = k =1 20

ln 1, 05 = 0, 00243 Portanto,

Q(t) = Q0 e0,00243t (b) Vamos agora determinar para qual valor de t tem-se Q(t) = 2Q0 . Q0 e0,00243t = 2Q0 = t = 284, 13 3. Misturas Considere um tanque contendo, inicialmente, 100 litros de salmora com 10 kg de sal. Suponha que uma torneira despeje mais salmora no tanque numa taxa de 3 l/min, com 1/4 kg de sal por litro e que a soluo bem misturada esteja saindo por um orif no fundo do tanque na ca cio mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Soluo: Seja Q(t) a quantidade de sal no tanque em qualquer instante t. Ento, ca a

dQ = taxa de variao da quantidade de sal no tanque em relao ao tempo t ca ca dt quantidade de sal que entra - quantidade de sal que sai = taxa relao ao tempo ca = taxa de entrada - taxa de sa da quantidade de sal da 1 kg l Q(t) kg l = 3 3 4 l min 100 l min 3 3 Q = 4 100 Assim 3 3 dQ + Q = = Q(t) = 25 + ce0,03t dt 100 4 Como Q(0) = 10, ento, c = 15 e, portanto, a Q(t) = 25 15e0,03t co a sica 4. Aplicaes ` F

W.Bianchini

11

(a) Um paraquedista salta de um avio e cai livremente durante 30 segundos. Durante este a tempo a resistncia do ar desprezada. Quando seu para-quedas abre a resistncia do e e e ar proporcional ` sua velocidade. Encontre a velocidade do paraquedista a partir do e a instante em que o para-quedas abriu. Soluo: Suponha que o aviador tenha massa m. Ento, antes do para-quedas abrir temos: ca a dv m = mg = v = gt + c , dt onde g a constante gravitacional. Como a velocidade inicial v(0) = 0, ento, v = gt e e a assim v(30) = 30g, que a condio inicial quando do problema quando o para-quedas e ca abre. Neste caso, como as foras atuantes so o peso do paraquedista e fora de resistncia, c a c e tem-se, dv k dv + v=g m = mg kv dt dt m k Resolvendo-se esta equao utilizando o fator integrante u = e m t , obtm-se ca e k m v(t) = g + ce m t k Com a condio inicial v(0) = 30g, obtm-se ca e mg k t m )e m v(t) = g + (30g k k e Observe que quando t + v(t) mg , que chamada de velocidade limite. k (b) Um torpedo de massa m = 1 lanado horizontalmente, debaixo dgua, com velocidade e c a inicial v0 m/s. A resistncia dgua proporcional ` velocidade do torpedo ao quadrado e a e a com constante de proporcionalidade k = 103 . Se o torpedo deve atingir o alvo com pelo menos metade de sua velocidade inicial para causar danos, qual a distncia mxima a e a a qual o tiro ainda produzir efeito? a Soluo: Como a unica fora atuante a resistncia dgua, tem-se a equao: ca c e e a ca dv = 103 v 2 dt que resolvendo-se por separao de variveis obtm-se: ca a e 1 1 dv = 103 dt = v = 3 2 v 10 t + c Como sua velocidade inicial v(0) = v0 , ento, c = v10 , e, portanto, sua velocidade a e v0 v(t) = 3 10 v0 t + 1 Assim, supondo que sua posio inicial dada por x(0) = 0, sua posio em cada instante ca e ca dada por e x(t) = 103 ln (103 v0 t + 1) Agora, para calcular a distncia mxima para o tiro ter efeito, devemos calcular o tempo a a que o alvo atingido com metade de sua velocidade inicial, isto , para que valor de t e e v0 tem-se v(t) = 2 . v0 v0 103 = = 103 v0 t + 1 = 2 = t = 103 v0 t + 1 2 v0 Calculando-se a distncia com esse tempo, obtm-se: a e x 103 v0 = 103 ln (2) = 693, 14 metros

12

EDO primeira ordem

1.6

Exerc cios

1. Resolva as seguintes equaes diferenciais: co dy = ex+y dx dy (b) = 2xy dx dx (c) (t2 xt2 ) + x2 + tx2 = 0 dt (d) xy = 2 y 1 dy (e) x ln y =y dx (f) (x2 + 1)y + y 2 + 1 = 0 e y(0) = 1 (a) dy ex = e y(0) = 1 dx y dy x+y (h) = dx x (i) y + 3y = x + e2x (g) (j) y + x2 y = x2 (k) y 3y = sen2x (l) y + 2y = xe2x e y(1) = 0 R: y = ce3x R: y = ln1 c+ex2

R: y = cex R:t+x tx

+ ln | x | = c e x = 0 t

R: y = (ln |x| + c)2 + 1 e y = 1 R: (ln y)2 = ln x2 + c R:y = 1x 1+x R: y = 2ex 1 R: y = c|x| + x ln |x| R: y =x 3

1 + e2x + ce3x 9 R: y = ce 3 + 13 sen2x 11x3

1 11

cos 2x

R: y =

x2 2x e 2

1 e2x 2

(m) xy + 2y = 4x2 e y(1) = 2 R: y = x2 + x2 dy cos x 3 (n) +2 y = senx R: y = c3 cos x+cos x 3sen2 x dx senx ca ca (o) y + y = x2 y 2 (Equao de Bernoulli : y + p(x)y = q(x)y n . Soluo: multiplique a u n 1n n equao por y e faa a substituio u = y ca c ca y y = 1n ) 2. Uma cultura de bactrias cresce a uma taxa proporcional ` quantidade de bactrias presentes e a e em cada instante. Ao m de 10 minutos cresceu 3%. (a) Determine a constante de proporcionalidade. (b) (b) Quanto tempo levar a cultura para duplicar? a R: (a) k =1 10

ln ( 103 ) (b) t = 100

ln 2 k

3. Certa substncia radioativa decresce a uma taxa proporcional ` quantidade presente. Observaa a se que aps 1 hora houve uma reduo de 10% da quantidade inicial da substncia, determine o ca a a meia-vida da substncia. a R: 6, 6 horas. ca a 4. Devido a uma maldio rogada por uma tribo vizinha, os membros de uma aldeia so gradu almente impelidos ao assassinato ou ao suic dio. A taxa de variao da populao 2 p ca ca e pessoas por ms, quando o nmero de pessoas p. Quando a maldio foi rogada, a populao e u e ca ca era de 1600. Quando morrer toda a populao da aldeia? a ca R: 40 meses.

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13

5. Um tanque com 50 gales de capacidade contm inicialmente 10 gales de gua. Adiciona-se o e o a ao tanque uma soluo de salmoura com 1 kg de sal por galo, ` razo de 4 gales por minuto, ca a a a o enquanto a mistura escoa ` razo de 2 gales por minuto. Determine: a a o (a) O tempo necessrio para que ocorra o transbordamento. a (b) A quantidade de sal presente no tanque por ocasio do transbordamento. a R: (a) 20 minutos (b) 48 kg 6. Um tanque com capacidade de 900 litros contm inicialmente 100 litros de gua pura. Entra e a gua com 4 gramas de sal por litro numa taxa de 8 litros por minuto e a mistura escoa numa a taxa de 4 litros por minuto. Determine a quantidade de sal no tanque quando a soluo est ca a para transbordar. 7. Certa industria lana seus dejetos qu c micos em um rio que desagua num lago. Os dejetos causam irritao na pele quando sua concentrao superior ou igual a 20 partes por milho ca ca e a (ppm). Pressionada pelos ecologistas do Green Peace, fazem 30 dias que a fbrica parou a de lanar dejetos, cuja concentrao no lago foi estimada em 120 ppm. Hoje, vericou-se c ca que a concentrao de dejetos no lago de 60 ppm. Supondo-se que a taxa de variao ca e ca da concentrao de dejetos no lago proporcional ` concentrao presente no lago em cada ca e a ca instante, quanto tempo ainda levar para se poder nadar sem o perigo de sofrer irritao na a ca pele? R: 47,5 dias. 8. Um ve culo de massa m = 1, partindo do repouso impulsionado por uma fora constante F . e c O meio oferece uma resistncia ao deslocamento proporcional ` velocidade, onde a constante e a de proporcionalidade k = 3. Quanto valer F de modo que a velocidade limite seja 10? Em e a que instante o ve culo atinge a velocidade 5? R: F = 30, t = ln 21/3 9. Um barco a vela em repouso de massa m = 1 pe-se em movimento impulsionado pela fora o c do vento que proporcional ` diferena de velocidade do vento, V km/h, e do barco, v km/h, e a c sendo k = 2/3 a constante de proporcionalidade. A resistncia que a gua oferece ao movimento proporcional a velocidade do barco com e a e constante de proporcionalidade r = 1/3. Qual deve ser a velocidade constante V do vento, para que o barco atinja a velocidade mxima a limite de 50 km/h? 10. A fora devida ` resistncia do ar que atua num ve c a e culo de massa m kv, onde k constante e e e v a velocidade. Qual a fora constante que o motor do ve e c culo deve transmitir a ele para que a velocidade mxima seja v1 ? Em que tempo ve a culo atinge a metade da velocidade mxima? a R: F = kv1 t =m k

ln 2

11. Um ve culo de massa m = 1, partindo do repouso impulsionado por uma fora constante F . e c O meio oferece uma resistncia ao deslocamento proporcional ` velocidade, onde a constante e a de proporcionalidade k = 3. Quanto valer F de modo que a velocidade limite seja 10? Em e a que instante o ve culo atinge a velocidade 5?F R: F = 30 ; t = 1 ln ( F 15 ). 3

12. Uma bala de massa m = 0, 01 kg introduz-se em uma tbua de 0, 10 m de espessura, com a velocidade de 200 m/s. Ela sofre uma resistncia da tbua ao seu movimento proporcional ao e a quadrado de sua velocidade, com constante de proporcionalidade k. Determine k e o tempo

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EDO primeira ordem que a bala leva para perfurar a tbua, sabendo-se que sai com velocidade de 80 m/s. Despreze a a fora da gravidade. c R: k =ln (5/2) , 10

t=

3 4.104 k

13. Um navio de massa m se move em direo ao cais com velocidade de 12km/h. Seu motor desca e ligado a uma distncia de 3km do cais. Considerando que a resistncia da gua proporcional a e a e ` velocidade com constante de proporcionalidade k = 6m: a (a) (a) Determine a velocidade do navio 1 hora aps o motor ser desligado. o (b) (b) O navio atingir o cais? Justique. a 14. Um barco a vela em repouso de massa m = 1, posto em movimento impulsionado pela fora e c do vento que proporcional ` diferena de velocidade do vento V km/h e do barco, v km/h, e a c 2 sendo k = 3 a constante de propocionalidade. A resistncia que a gua oferece ao movimento proporcional ` velocidade do barco com e a e a constante de proporcionalidade r = 1 3 Qual deve ser a velocidade constante V do vento, para que o barco atinja a velocidade mxima a limite de 50 km/h? Resp: v(t) = 2 V (1 et ). vellimit = 75 km/h 3 15. Em uma comunidade de 100 pessoas, inicialmente, existe 1 pessoa infectada com um v rus. A velocidade de propagao do v ca rus proporcional a k vezes o nmero de pessoas infectadas e u 1 vezes o nmero de pessoas no infectadas. Aps 1 dia, 4 da comunidade est contamindada. u a o a (a) Aps 2 dias, quantas pessoas estaro contaminadas? o a (b) Se p(t) o nmero de pessoas contaminadas no instante t, determine limt p(t). e u (c) Desenhe o grco de p(t). a