EDSON BARBOSA DA SILVA

APLlCA90ES DO CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

UTILIZANDO 0 MAPLE V

CURITIBA

2002

EDSON BARBOSA DA SILVA

APlICA<;:OES DO CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL UTILIZANDO 0MAPLE V

Monografia apresentada como requisito parcial a obten9ao do titulo deEspecialista em Educa9iio Matematica, Curso de P6s-Gradua9iio emEducayao Matemtdica, Universidade Tuiuti do Parana.

Orientador: Prof. MATEUS BERNARDES

CURITIBA2002Dedico esta monografia a esposa e filhos

III

RESUMO

o objetivo principal da disciplina Calculo Diferencial e Integral eapresentar ao estudante ferramentas objetivas, orientando-os a resultadosconcretos.

E de suma importancia que 0 academico visualize e renitagraficamente 0 comportamento e a soluc;ao do problema apresentado.

Aplicac;oes em forma de modelagem esta sendo urn elopositivo interagindo a matematica as aplica,oes na Biologia, na Quimica,na Fisica, em a diversas.

SUMARIO

Resumo .. ...... 111

Introdu9iio .. . 01

1.1 Objetivos .. . 01

1.2 Uma breve Historia do Caleulo .. . 01

1.3 Teenologia Edueaeional no ensino de ealeulo .. . 01

1.4 0 software Maple V .. .............. 01

1.5 A Importiineia do Trabalho .... . 02

1.6 Organiza9iio da Monografia .. . 02

2 Revisiio da Literatura .. ..04

3 Fun90es e Grafieos .. . 05

3.1 Constru9iio grafiea de algumas fun90es .. . 06

4 Derivadas .. ......... 08

4.1 Defini9iio de Derivadas .. . 08

4.2 Aplica9iio de Derivada no Maple V .. . 09

5 Integra9iio ... . 10

5.1 0 Teorema Fundamental do Caleulo ... .10

5.2 As Primitivas: Integrais Indefinidas .. . 11

7 Caleulo de Volume ... . 16

8 Conclusiio ... . 19

Referencias .. . 20

INTRODUQAo

1.1 OBJETIVOS

o ensina da matematica, teve inicio no periodo das antigas civiliza~oes,e

infiuenciou todo 0 seu desenvolvimento ate as dias atuais. Este trabalho busca

mostrar a importancia desta.

1.2 UMA BREVE HISTORIA DO CALCULO

Eo grande a responsabilidade do professor de matematica para os cursos

da area de engenharia, pois e atraves do dominic de calculos matematicos,

que 0 futuro profissional estara apta a solucionar diferentes problemas, como

calcular areas de regioes planas limitadas, tambem a volume de urn solido em

coordenadas cartesianas, cilindricas e esfericas.

1.3 TECNOLOGIA EDUCACIONAL NO ENSINO DE CALCULO

Pretende-sa aqui desenvolver uma metodologia com uma seqUencia de

conteudos matematicos adequados as reais necessidades dos futures

profissionais de engenharia, atraves do software Maple V.

1.4 0 SOFTWARE MAPLE V

Oepara-se com situac;:oes no cotidiano da pratica profissional, em que

profissionais, como tecnicos das diversas areas da ci€mcia exata, apresentam

dificuldades em apresentar a solU(;ao bern como uma representaC;Bo grafica da

situac;ao exposta.

1.5. IMPORTANCIA DO TRABALHO

A maior limitayc30 para a desenvolvimento deste trabalho e demonstrar a

capacidade de armazenamento de informagoes, a velocidade de operayao e a

precisao que fazem do usa do computador uma ferramenta indispensavel em

todas as atividades academicas, profissionais e domesticas. Porem, ensinar 0

aluno somente a operar urn computador naa garante a melhoria da qualidade

de ensina. E' de surna importancia que as estudantes estejam ao menos

familiarizados com 8ssa tecnologia, pois sao membros da futura sociedade.

Uma das principais raz6es do usa do computador na educag80 edesenvolver 0 raciocinio e possibilitar situayoes de resoluyao de problemas,

afim de despertar 0 pensamento do aluno.

1.6. ORGANIZACAO DA MONOGRAFIA

Este trabalho foi dividido em mais sete (7) Capitulos, alem desta

introduyao.

o 2° Capitulo traz a revisao bibliografica, com urn breve relato do que

existe de trabalhos que auxiliem na valida9clo da presente proposta.

o 3° Capitulo enfatiza as Func;oes e seus Graficos, urn modele de

aplicayao.

o 4° Capitulo apresenta a Derivada, a importfmcia fundamental, na

preparac;ao adequada dos alunos na area de modelagem do calculo diferencial

e integral.

o 5° Capitulo levanta urn breve hist6rico da Integral, a Teorema

Fundamentaldo Calculo.

o 60 Capitulo mostra atraves do Maple a resoluyao de areas

acompanhadas de seus graficos.

o 7° Capitulo traz a definiC;3o de urn solido, seu volume pela aplicag30

do Maple

o 8° Capitulo mostra as conclusoes do autor referentes ao avan90

tecnol6gico oriundo da informatiza9Bo, com software nos diversos segmentos,

principalmente na area da engenharia.

2 REVISAO DA LITERATURA

Em GEORGE 8. THOMAS, 2002, apresenta-se urn estuda sabre

problemas de revisao de matematica basic8, com 0 objetivo de preparar a

aluno para a calculo de engenharia. 0 autor da muita enfase a resolur;ao de

exercicios de matematica, visando com ista dar base suficiente para 0 aluno

poder resolver cal cui as matematicos.

Alern dissa, a trabalha de INDER JEET TANEJA., 1997, prap6ern urna

abordagem computacional no ensina de calculo dando enfase it construc;ao de

9n;ficas.

3 FUNI;OES E GRAFICOS

As fungoes sao as melhores ferramentas para descrever a mundo real

em termos matematicos. Este capitulo discute as ideias basicas das fungoes,

seus gn.ficos, abordando 0 MAPLE V.

Inumeras func;oes matematicas estao embutidas Qutras sao dadas a

seguir:

- funC;:8o exponencial

- fun,ao logaritmo natural

: exp(x);

: In(x);

- valor absoluto ou modulo : abs(x);

- raiz quadrada : sqrt(x);

- fun,oes trigonometricas : sin(x), cos(x), tan(x), sec(x), csc(x) e cot(x);

- 0 comando Ufactor" serve para fatorar a expresseo dada.

- 0 comando "nurner" serve para representar 0 numerador de uma fray8o.

- Ocomando "demom" serve para representar 0 denominador de uma frag8o.

- 0 comando "subs" serve para 5ubstituir 0 valor da expresseo por urn valor

fixe dado.

- 0 comando "expand" serve para expandir a expresseo dada.

- 0 comando ":=" serve para nomear uma expressao dada.

- 0 comando "rem(p(x),q(x),x}" fornece a resto da divisao de urn polinornio

p(x) par q(x).

- 0 comando "convert" serve para converter a operac;ao desejada.

- 0 comando "parfrac" serve para achar as fra~5es parciais.

- 0 comando "plot" serve para tra~ar graficos de func;Oes.

- 0 comando "plots[dispay]" e utilizado para colocar diversos graticos no

mesmo sistema.

- 0 comando "plots[textplot]" serve para colocar 0 nome da func;ao no grafico

no local escolhido no plano cartesiano.

3.1. CONSTRUCAO GRAFICA DE ALGUMAS FUNCOES

Construir as graficos das fun90es nurn mesmo sistema de coordenadas,

colocando as variac;Oes de x e y.

a) f(x) = x' - 3x - 2;

b) f(x) = 2x' + 2x - 8;

Resolu9ao:

plot(x'2-3·x-2.2·x'2+2·x-81.x=-10 .15,y=-15 ..15);

-10 ·8 ·6 ·4 10 12 14

·8·10·12·14

Func;ao trigonometrica:

Construir a grafieD da func;ao f(x) = sen6x + 2 cos2x, -1i s: x s: 1(

f: =x->sin (6*x) +2*cos (2*x) :

plot (f (x) , x=-Pi .. Pi, ti tIe=' Grafico da func;::aof');

Gratico cla fun~ao 1

-3

L1= I.x=-2:. {y=-t.\'=!:

4 DERIVADAS

~ chamado derivada quando S8 define a coeficiente angular de uma

curva como 0 limite dos coefrcientes angulares das secantes. Tem como

ferramenta medir a taxa de variayao de uma funyao e e urn dos conceitos mais

importantes de calculo. As derivadas sao muito usadas em engenharia,

ciemcia, economia, medicina e ciemcia da computac;ao para calcular a

velocidade e a acelerac;ao, para explicar a funcionamento de maquinas, para

estimar a diminuic;ao do nivel da agua quando ela e bombeada para fora de urn

tanque e para preyer as conseqOencias de erros carnetidos durante as

mediyoes.

4.1 Defini~iio de Derivada

A derivada de uma fungao f(x) em relagao a variavel x e a fungao f

cujo valor em x e:

I. f(x+II)-f(x)

EP h

Desde que 0 limite exista. Se f(x) existe para todos os valores no intervalo (a ,

b), entao f e chamada diferenciavel em (a , b). Uma interpretagao geometrica

de r (x) e a inclinagiio da reta tangente do grafico da f no ponto (x , f(x)).

o Maple permite computar a derivada das diversas func;oes utilizando as

seguintes comandos:

o comando "0" e "diff" serve para calcular a valor da derivada da func;ao.

o comando "slope" serve para representar a inclinac;ao da reta.

- 0 comando "Oiff" e utilizado para representar a func;ao na forma de

derivac;ao.

4.2 CALCULO DE DERIVADA NO MAPLE

Calcular a derivada das seguintes func;oes:

a) 11:=5'x'4-3'x'2-2/x;

f1 := 5x4- 3 X2 -2x

.,. diff(11,x);

11'= 20 x' -6x+2x'

b) > 12:=x->x'2'cos(x)'3;

.,. diff(12(x),x);

12' = 2x cos'(x) - 3 x' cos'(x) sin(x)

10

5 INTEGRAGAO

Vimos como a necessidade de calcular taxas de variac;ao

instantElneas levau as descobridores do calculo a uma inv85ti9a9;3.0

sobre os coeficientes angulares de retas tangentes ,as derivadas

calculo diferencial. Mas eles sabiam que as derivadas contavam 56 a

metade da hist6ria. Ah~m de urn metoda de calculo para descrever como

as fungoes estavam variando em urn dado momento, eles tambem

precisavam de urn metoda para descrever como essas variac;6es

instantaneas poderiam se acumular ao longo de urn intervalo para produzir

a fung8o. Ou seja, estudando como urn comportamento variou, eles queriam

conhecer 0 comportamento em s1. Por exemplo:

Partindo da velocidade de urn objeto em movimento, eles queriam ter

condiltoes de determinar sua posiltao em funltao do tempo. E por isso

que eles tambem investigavam areas sobre curvas, uma pesquisa que

acabou descobrindo 0 chamado calculo integral.

Como eles tinham 0 calculo para determinar coeficientes angulares

de retas tangentes e tambem para determinar areas sob curvas, duas

operagoes geometricas que pareciam nao ter relaltao entre si, 0 desafio para

Newton e Leibniz era demonstrar a ligaltao que eles sabiam intuitivamente

existir. A descoberta dessa ligayao ( chamada de Teorema Fundamental do

Calculo ) reuniu os calculos diferencial e integral, tornando-os a ferramenta

mais poderosa que os mate maticos ja obtiveram para entender 0 universo.

5.1 0 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO

a teorema fundamental do Calculo permite relacionar as operaltoes

de derivayao e integrayao. Conhecendo uma primitiva F(x) de uma funyao

continua f: [a , b ]-> IR pode-se calcular a integral definida:

If(x)d~F(b)-F(a)

II

o MAPLE oferece as seguintes comandos para resolver as integrais:

o comando "Int" serve para escrever a expressao em forma de integraL

o comando "int" e utilizado para calcular 0 valor da integral.

5.2 AS PRIMITIVAS: INTEGRAlS INDEFINIDAS.

Atraves dos comandos do MAPLE serao resolvidos as seguintes

integrais indefinidas:

int (x"3+5*x"2+3*x-5, x)

> smartplot(1/4*x ...4+S/3*x ....3+3/2*x ...2-5*x);

1000

Ive4000

3000

2000

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10x

12

int( (x"2+1) * (x"3+5*x+3) ....2, xl;

I ') 11.r" +x('+ 7 x'+ 9x"+ 34 x' + 15x2+9-,9-' + 7 3

smartplot (1/9 *x" 9+11 / 7 *x" 7+x .....6+7 * x'" 5+ 9 * x ....4+ 34 / 3 * x" 3+ 15 *x'" 2+ 9* x)

1e-+DB

Live

5e-+D7

-10 -6 -4 -2 2 4 6 B 10

-5e-+D7

-1e-+DB

int(exp(x) *sin(x) , x);

f eXsin(x) dx

1 1- 2 e'cos(x)+ 2 e'sin(.r)

smartplot(-1/2*exp (x) *cos (x) +1/2*exp (x) *sin (x» ;

6000

2 4-10 -8 -6 -4

5000

4000

3000

2000

1000

-2

13

10

int (log (x) /x"'2, x);

fIOg(X) ---,-(/.\

:c

In(.r)

.Y X

smartplot (-In (x) /x-l/x) ;

Live

1000

BOO

600

400

200

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10X

14

15

6 CALCULO DE AREAS

Agora podemos calcular areas usando primitivas, mas devemos ter cuidado

para distinguir a area 'resultante' ( em que a area sob a eixo x e computada

como negativa) da area total. A palavra "area' nao adjetivada sera usada para

representar area total.

6.1 UTILIZANDO 0 MAPLE PARA 0 CALCULO DE AREA.

Encontrar a area limitada par:

y = 5 - x, e y = x +3 no intervalo de -2 a 1

Solu9;;0:

Kl:=Int(S-x"2,x=-2 .. 1); 12

K2=Int (x+3, x=-2 .. 1); 15/2

I

K2= J x+3dx.,value (kl-k2) : 9/2

16

7 CALCULO DE VOLUMES

7.1 Defini~ao de volume de um solido

o volume de um solido compreendido entre os pianos x = a e x = b e cuja area

da secc;ao transversal par x e uma fun<;ao integravel A(x) e a integral de a ateb de A.

v = r A(x)dx

7.2. Calculo de Volume atraves do MAPLE

Encontrar 0 volume do s61idogerado pela rotac;:ao em torna do eixo dos

x, da regiaD limitada pel a curva y = X2 + X - 3 , 0 eixo x e as retas x = -3 e x = 3;

Resolu9ao

Resolve-s8 este exemplo construindo as graficos das func;oes e os

solidos de revoluyao e em seguida calcula-se as integrais necessarias.

a) Inicialmente, define-s8 a func;ao f dada e em seguida apresentamos 0 seu

9nifico:

f: = (x) ->x"2+x-3:plot(f{x) ,x=-3 .. 3);

17

4-

-3 -2 -1

-2

Em seguida constr6i-se a grafico de revolu9ao em tome do eixo x dando 0

seguinte comando:

plot3d ( [x, f (x) *cos (t) I f (x) *sin (t) ] I x=-3 .. 3, t;::::O_. 2*Pi) ;

A seguir, calculamos 0 volume do grafico obtido acima dando 0 seguinte

comando:

Pi*Int«x~2+x-3)~2/x=-3 ..3)=Pi*int«x~2+x-3)~2/x=-3 ..3) ;

Pi*Int«x~2+x-3)~2/x=-3 ..3)=Pi*int«x~2+x-3)~2/x=-3 ..3);

1

f' ~ 306TC .} (x- + x - 3) dx = -5- TC

Volume u.v.

18

19

CONCLUSAO

Atualmente0 Curso de Calculo Diferencial e Integral esta num

patamar elevado.

A informatica deu urn grande salta, atraves de software como

exemplo a MAPLE, e passivel visualizar graficamente e resolver as calculos

afim.

As dificuldades do passado deixa de existir, basta ter 0

dominic das ferramentas para solucionar as problemas apresentados.

Nos diversos setores, principalmente na engenharia

ganharam mais rapidez e resultados mais precisos.

20

REFERENCIAS

[1J ANTON, H. Calculo, um Novo Horizonte, volumes 1 e 2, 6' edi,ao. PortoAlegre: Bookman, 2000.

[2J BASSANEZI, R.C. e FERREIRA JR., W.C. Equa~6es Diferenciais comAplica~6es. Sao Paulo: Editora Harbra, 1988.

[3J GONCALVES, M.B. e FLEMMING, DV., Calculo A, vol. 1.Sao Paulo: MakranBooks, 2000.

[4J BOULOS. P. Calculo Diferencial e Integral, vol. 1. Sao Paulo: Makran Books,1999.

[5J BOULOS. P. e ABUD, Z.1. Calculo Diferencial e Integral, vol. 2. Sao Paulo:Makran Books, 2000.

[6J TANEJA, I.J. MAPLE VI Uma Abordagem Computacional no Ensino deCalculo. Florianopolis: Editora UFSC.

[7J FINNEY, RoosL.Calculo, vol.1 . Sao Paulo: Editora Addison Wesley.