E.E. Dona Antônia Valadares

E.E. Dona Antônia Valadares

MatemáticaFunção Quadrática ou

Função do 2º grau

Prof: Alexsandro de Sousa

Função Quadrática

Há várias situações do dia-a-dia em que a

função quadrática está presente.Engenharia

Arquitetura

Física

Biologia

Esporte

Indústria/ comércio

Comunicações

Natureza

No esporte

Nas comunicações

Antena de Satélite

Na arquitetura

Forno Solar - França Murphy Center at Asphalt Green - EUA

Ponte 25 de Abril

Ponte em betão

armado

Função quadrática

a) y = x² + 3x + 2 ( a=1; b=3; c=2 )

b) y = x² ( a=1; b=0; c=0 )

c) y = x² - 4 ( a=1; b=0; c=-4 )

2 ( 0)y ax bx c a

Uma função quadrática é uma função

com uma expressão algébrica do tipo

O gráfico da função quadrática é

uma parábola.

Propriedades da Parábola

É definida por um polinômio de 2º grau;

Pode possuir: Duas raízes reais e distintas;

Duas raízes reais e iguais;

Nenhuma raiz real (não cruza o Eixo X).

O sinal de a fornece a informação sobre a concavidade da função: a < 0 concavidade para baixo;

a > 0 concavidade para cima;

Concavidade da parábola

Quando a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima.

Quando a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

Raízes (zeros) da função do 2.º grau

Para determinar as raízes (ou zeros) da função do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c,

basta calcular os valores de x que tem imagem igual a zero.

Ou seja, devemos resolver a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0

E, para isso, usamos a fórmula de báskara.

2a

Δbx

Podemos estabelecer uma relação entre o discriminante ∆ e a intersecção da parábola com o eixo x.

• Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.

• Se ∆ = 0, a função tem duas raízes reais iguais e a parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

• Se ∆ < 0, a função não tem raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x.

Vértice da parábola

O vértice V (xv, yv) é um ponto

fundamental da parábola, o

único ponto pertencente ao

eixo de simetria.

• Calculamos a média aritmética das raízes x’ e x’’, para

obtermos a abscissa (xv) desse vértice.

• Em seguida, substituímos xv, na função e encontramos a

ordenada do vértice yv.

Outra maneira de obter o vértice V (xv, yv) de uma parábola da

equação f(x) = ax2 + bx + c, é:

2a

bxv

4a

Δyv

Para determinar o vértice da parábola, fazemos o seguinte:

2

'x'x'xv

Outro ponto importante da parábola é o ponto de intersecção da

função com o eixo y.

Para determiná-lo, basta substituir x = 0 na função

(0, c )

Construção do gráfico da função do 2.º grau

Exemplo: f(x) = 2x

X Y

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

Exemplo: f(x) =2 2 3x x

X Y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

Outro método para construir o

gráfico da função quadrática

Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 6x + 8, com x e y IR.1º passo: determinar as raízes da função

x2 – 6x + 8 = 0

∆ = (-6)2 – 4.1.8 = 36 -32∆ = 4

2'x'

4x'

2.1

46)(x

2º passo: estudo da concavidade

a = +1 concavidade para cima

a = 1

b = -6c = 8

3º passo: determinar o vértice da parábola

32

24V

2

'x'x'V

x

x

Vy = 32 – 6 . 3 + 8

Vy = 9 – 18 + 8

Vy = -1

V = (3, -1)

4º passo: ponto de intersecção da função com o eixo y

(quando x=0)

f(x) = x2 - 6x + 8

f(0) = 02 – 6.0 + 8

f(0) = 8

Temos então o ponto (0,8)

5º passo: esboço do gráfico

f(x) = x2 – 6x + 8Termo

independente

Raízes da função

Vértice

Construção do gráfico da função do 2.º grauPasso a passo

1º passo: determinar as raízes da função

2º passo: estudo da concavidade

3º passo: determinar o vértice da parábola

4º passo: ponto de intersecção da função com o eixo y(quando x=0)

5º passo: esboço do gráfico

Valores das constantes

0

0

0

0

0

a concavidade para cima

a concavidade para baixo

c valor que toca no eixo y

não toca no eixo x

toca em dois pontos no eixo x

toca em um ponto no eixo x