Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

EEC4164 —Telecomunicações 2

(2001/2002)

1ª Parte – Duração: 1 hora (sem consulta) 1ª chamada – 4 de Janeiro de 2002

1. a) Mostre que a potência média do ruído de quantização uniforme vale 2 12∆ , sendo o respectivo degrau de

quantização.

∆

b) Deseja-se que o erro de quantização não ultrapasse um certa percentagem, X, do valor pico-a-pico de entrada

do quantizador. Determine uma expressão que relacione a percentagem X com o número de bits usados em

cada amostra. Por exemplo, se X=1% poderia usar 6 bits no conversor A/D?

2. Considere a geração de sequências pseudo-aleatórias de comprimento máximo.

a) O polinómio 5 4 3 1x x x x+ + + + gera uma destas sequências. Desenhe o respectivo circuito com registos de

deslocamento.

b) Qual é o período da sequência PN gerada pelo polinómio anterior?

c) Desenhe o circuito do baralhador gerado pelo polinómio em octal 238.

d) calcule o valor da função de autocorrelação de uma sequência PN de comprimento 255. (4)R

3. a) Apresente um diagrama de blocos de um sistema gerador de impulsos duobinários modificados. Este sistema

não deve provocar propagação de erros de decisão no receptor.

b) Qual é a largura de banda de impulsos de resposta parcial da classe II (1 2 ) correspondentes a dados

gerados à cadência de 140 kbits/s?

2z z+ +

4. Num sistema MSK em que se transmitem dados com débito binário 1bR T= b bits/s faz-se corresponder o bit 1 da

mensagem à frequência superior à portadora . cfa) Determine o índice de modulação e o espaçamento entre frequências.

b) Desenhe a treliça de fases correspondente à sequência binária 0111010100.

c) Apresente uma das diferenças que distingue um sinal MSK de um sinal FSK de Sunde.

5. Em M-ASK a probabilidade de símbolo errado é dada pela expressão 0

122

M dQM N

−

, em que d representa a

distância euclidiana entre os pontos da constelação, considerados equiprováveis. Tendo os factos precedentes em

consideração deduza a expressão da probabilidade de símbolo errado em QAM (considere uma distância mínima

d entre pontos e apenas constelações quadradas).

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Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

EEC4164 – Telecomunicações 2

2ª Parte – Duração 1 hora (sem consulta) 1ª Chamada – 4-1-2002

1 – Na figura seguinte apresenta-se o código de linha HDB3 de uma determinada

sequência binária.

a) Admita que o primeiro impulso positivo corresponde ao bit “1” e obtenha a

sequência binária correspondente ao código.

b) Desenhe a forma de onda do código de linha CMI correspondente à sequência

binária “1 0 0 1 1 0 1 0 0 1”.

c) Estime a largura de banda para cada um dos códigos anteriores se os impulsos

usados forem do tipo cosseno elevado, com factor de “roll -off” de 50%,

sabendo que o sinal binário tem um débito de 100 kbit/s.

2 – Um sinal quaternário com impulsos rectangulares de amplitudes 0 V, 1 V, 2 V e

3 V está presente na entrada de um dispositivo de decisão. O canal de transmissão é do

tipo AWGN com No = 10−7 W/Hz e na entrada do decisor o ruído fica limitado por um

filtro com largura de banda equivalente de ruído de BN = 100 kHz.

a) Calcule o valor mínimo da probabilidade de símbolo errado (Ps) se os símbolos

forem equiprováveis.

b) Calcule os novos valores das amplitudes dos símbolos e a relação sinal-ruído na

entrada do decisor que garantem a probabilidade mínima de símbolo errado de

Ps = 15%.

c) Calcule a probabilidade de símbolo errado Ps se usar os níveis de tensão e

limiares de decisão da alínea a) mas as probabilidades de ocorrência dos

símbolos são agora P0V = P3V = 10% e P1V = P2V = 40%.

Tb A

-A 0

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2ª Parte – Duração 1 hora (sem consulta) 1ª Chamada – 4-2-2002

3 – A sonda Mariner 10 foi lançada em 1974 com o objectivo de explorar o planeta

Mercúrio através da transmissão de imagens. As características da sonda e da estação de

recepção terrestre estão expostas na tabela seguinte:

Parâmetro Valor

Modulação PSK

Potência do emissor da sonda (PT) 42 dBm

Frequência de emissão (f) 2,3 GHz

Ganho da antena da sonda (Ge) 28 dB

Ganho da antena da estação terrestre (Gr) 61 dB

Temperatura de ruído do sistema de recepção (T) 12,6 K

Distância Mercúrio-Terra (d) 1,6×108 km

Constante de Boltzman (k) −199 dBm/Hz/K

a) Sabendo que a atenuação no espaço livre, em dB, é dada pela expressão

L = 92.4 + 20log10(d) + 20log10(f), com d em km e f em GHz, determine a máxima

taxa de transmissão que poderia ser recebida na Terra com probabilidade de erro

Pe = 0,05. Note que a densidade espectral de potência do ruído é kT.

b) Explique como poderia reduzir para metade o tempo de transmissão das imagens

sem que o desempenho do sistema fosse alterado, ou seja, de modo a manter a

mesma curva ( )obe NEfP = .

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EEC4164 —Telecomunicações 2 (2001/2002)

1ª Parte – Duração: 1 hora (sem consulta) 2ª chamada – 21 de Janeiro de 2002

1. Considere a transmissão de símbolos binários “0” e “1”, representados por impulsos de amplitude A0 e A1, respectivamente, através de um canal que introduz ruído aditivo n(t) de média nula e função densidade de probabilidade . Sendo a probabilidade de ocorrência do bit “0” e sendo também

e , mostre que o limiar de decisão ( )p n (0) 1 (1)P P= −

( ) (p x p= 1( )p xN

0 0 )x A−N 1 ( )Np x A= − γ deve ser escolhido de modo a

satisfazer a equação 1

0

(0)(1)

pP p

( )( )

P γγ

= .

2. Um sinal s(t) de duração limitada a T segundos atravessa um canal AWGN de densidade espectral de potência (d. e. p.) 0 2N W/Hz. Como sabe, no receptor o elemento decisor é antecedido de um filtro de recepção seguido de um amostrador.

a) Qual deve ser a resposta impulsional e a função de transferência do filtro se quiser obter a relação sinal-ruído máxima possível à entrada do decisor?

b) Quanto vale essa relação sinal-ruído com esse filtro no instante de amostragem mais conveniente? c) Na ausência de ruído qual o valor do sinal à entrada do decisor no referido instante de amostragem se

( ) sens t tπ= T t T≤ ≤, 0 , com T=1 ms?

3. a) Considere as seguintes funções-base:

1

1 2( ) 1 2

0

t Tt T t

t Tψ

≤= − < ≤ >

T 21

( )0

t Tt

t Tψ

≤= >

Exprima as funções 1( )s t , 2 ( )s t e 3 ( )s t da figura em função de ψ1(t) e ψ2 (t).

T/2 T

-1-2-3

1

23

s1(t)

t tT/2T

-1

1

s2(t)

tT/2T

-1-2

1

2

s3(t)

b) Considere os vectores e representativos de dois sinais e recebidos com ruído aditivo gaussiano com d. e. p.

[ ]1 11 12Tz z=z [2 21 22

Tz z=z ] 1( )z t 2 ( )z t

0 2N . Determine a energia do sinal e escreva uma expressão da probabilidade de símbolo errado em função das componentes dos vectores, supondo que os sinais são equiprováveis.

1( )z t

4. a) Descreva como pode obter um sinal de DPSK. Por que motivo por vezes se usa esta modulação em vez de PSK? Em termos de probabilidade de bit errado como compara DPSK com BPSK e BFSK com detecção coerente?

b) Descreva como faria a desmodulação diferencialmente coerente de um sinal DPSK.

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EEC4164 – Telecomunicacoes 2Segunda Parte – Duracao: 1 hora (sem consulta) 2a Chamada – 21 de Janeiro de 2002

1 Um sinal discreto periodico possui a distribuicao relativa de amplitudes apresentada no graficoda figura seguinte.

(a) Dimensione um quantizador uniforme dequatro nıveis adequado a este sinal, com 6 Vde gama dinamica. Represente a caracterıs-tica entrada-saıda do quantizador, indicandoclaramente os nıveis de quantizacao e deci-sao.

(b) Determine a relacao sinal-ruıdo de quantiza-cao,

(SN

)Q, do sinal de saıda.

(c) O uso de um quantizador nao-uniforme usan-do a lei-A melhoraria o valor de

(SN

)Q? Jus-

tifique convenientemente.

+1−2 −1 +2 +3 +4

fX(x)

0,2

0,4

0,1

0,3

x (V)

2 Os impulsos gerados por uma fonte sao unipolares do tipo NRZ de amplitudes {0,+A} Vcorrespondentes aos sımbolos equiprovaveis m0 e m1, respectivamente, e debitados a cadenciade R sımbolos/s. O canal atravessado por tais impulsos contamina o sinal com ruıdo aditivocuja CDF (funcao de distribuicao cumulativa), FY (y), esta indicada na seguinte expressao (yrepresenta a amplitude do ruıdo):

FY (y) = P (Y � y) =

1 − 12e−y , y � 0

12ey , y < 0

O sinal recebido e amostrado e estimado por um detector com tres estados de saıda possıveis:

• estado“0”se o sinal recebido for menor que o limiar γ0, indicando que o sımbolo transmitidomais provavel foi m0;

• estado “1” se o sinal recebido for maior que o limiar γ1 (γ1 > γ0), indicando que o sımbolotransmitido mais provavel foi m1;

• estado “X” se o sinal recebido estiver entre os dois limiares, indicando que nao existe confi-anca suficiente para se efectuar uma estimacao. Nesta situacao o sımbolo e retransmitido.

(a) Determine o valor dos limiares γ0 e γ1 de modo que a probabilidade de estimacao erradade um qualquer sımbolo , isto e, m0 ser estimado como m1 ou vice-versa, seja igual einferior a 1%.

(b) Se os limiares forem tal que 0 < γ0 < γ1 < A, qual a probabilidade de existir retransmis-sao? Determine o tempo medio de transmissao de um pacote de N sımbolos.

3 O modulador 8-OFDM, representado na figura seguinte, faz uso de tres subportadoras para atransmissao dos sımbolos mi atraves de um canal.

φ0(t) = kcos(2πf0t)

φ1(t) = kcos(2πf1t)

φ2(t) = kcos(2πf2t)

migeradorde dados

conversoroctal -

- binario

c1

c0

c2

conversorunipolar -

- polar

b0 (lsb)

b1

b2 (msb)

s(t)

lsb - least significant bitmsb - most significant bit

mi ∈ {0, 1, . . . , 7} cj ∈ {−1, +1}bj ∈ {0, 1}

k =√

2T

R sımbolos/s

T = 1R

A fonte de dados gera sımbolos pertencentes ao alfabeto {0,1,. . . 7} a cadencia de R sımbolos/s.Admita que as funcoes sinusoidais φ0, φ1 e φ2 sao ortogonais entre si.

(a) Efectue um esboco do desmodulador coerente, devidamente parametrizado, capaz de es-timar os sımbolos mi com a menor probabilidade de erro possıvel.

(b) Sabendo que a energia de um sımbolo 8-OFDM e Es, represente a constelacao do sinals(t), indicando o mapeamento de bits efectuado por este modulador.

(c) Sendo o canal atravessado por s(t) do tipo AWGN (com densidade espectral de po-tencia unilateral N0), mostre que a probabilidade de sımbolo errado e aproximada por

Pe ≈ 3Q(√

2Es

3N0

), para Es

N0� 1.

(d) Determine a mınima largura de banda ocupada pelo sinal 8-OFDM sem que haja perdade ortogonalidade entre as tres subportadoras.

(e) Compare quantitativamente a modulacao 8-OFDM e 8-PSK em termos de probabilidadede bit errado e eficiencia espectral.

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(2001/2002)

1ª Parte – Duração: 1 hora (sem consulta) Exame de recurso – 4 de Fevereiro de 2002

1. Um sinal analógico é amostrado usando o método “Sample & Hold” com impulsos de duração T. Porque é que por vezes é necessário usar um circuito igualizador do tipo

( )g t( )h t

1 sinc( )x para, a partir das amostras de , recuperar o sinal

original? Em que condições se considera dispensável usar esse igualizador?

( )g t

2. a) Considere dois sinais e de duração limitada a 0 ( )s t 1( )s t [ ]0,T segundos, correspondentes aos bits 0 e 1, respectivamente. Sendo

0sE e 1sE as suas respectivas

energias à saída de um filtro adaptado, prove que, na presença de ruído aditivo gaussiano com d. e. p. 0 2N , a probabilidade de se cometerem erros de decisão é dada

por 0 1 0 1

0

2

2s s s sE E E E

N

ρ + −

Q .

[ ]1 T− ]1 3 T1 =sb) Dois sinais são representados pelos vectores s e num espaço de sinal ortonormado. Determine o coeficiente de correlação entre os sinais.

0 2= [

3. a) Mostre que as duas funções-base seguintes são ortonormais.

[ ]1

2 cos(2 ) 0,1( )0 outros valores

t tt πψ ∈=

[ ]2

2sen(2 ) 0,1( )0 outros valores

t tt πψ ∈=

b) Considere as seguintes formas de onda com valores não nulos apenas no intervalo : 0 1t≤ ≤

[ ]0( ) 2 cos(2 ) sen(2 )x t tπ= + tπ [ ]1( ) 2 cos(2 ) 3sen(2 )x t tπ π= + t

[ ]2( ) 2 3cos(2 ) sen(2 )x t tπ= + tπ [ ]3( ) 2 3cos(2 ) 3sen(2 )x t tπ π= + t

[ ]4( ) 2 cos(2 ) sen(2 )x t tπ= − tπ [ ]5( ) 2 cos(2 ) 3sen(2 )x t tπ π= − t

[ ]6( ) 2 3cos(2 ) sen(2 )x t tπ= − tπ [ ]7 ( ) 2 3cos(2 ) 3sen(2 )x t tπ π= − t 8( ) ( ) 0, ,7i ix t x t i+ = − = …

Desenhe os pontos da constelação para estas formas de onda usando as funções-base da alínea a).

c) Calcule o valor da energia média quando todos os sinais são equiprováveis.

d) Repita a alínea anterior para o caso dos sinais ocorrerem com as seguintes probabilidades:

0 4 8 121( ) ( ) ( ) ( )8

p x p x p x p x= = = =

1( ) 1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,1524ip x i= =

e) Seja 3( ) ( ) 4 ( )i iy t x t tψ= + , em que 3( ) 1tψ = , . Calcule a energia média de , , para o caso de todos os sinais serem equiprováveis.

0 t≤ ≤1(y t) yEi

4. Um sistema de FSK usa os seguintes dois sinais num canal AWGN:

00

2cos(2 ) 0( )

0 outros

bE f t t Ts t Tπ

≤ ≤=

valores

[ ]01

2cos 2 ( ) 0( )

0 outros valores

bE f t t Ts t Tπ

+ ∆ ≤ ≤=

100T sµ= 50 10f Hz= 2 20,01Vσ = 20,32bE V= s

Considere a detecção coerente destes sinais.

a) Calcule a probabilidade de bit errado, , se eP410 Hz∆ = .

b) Determine o menor ∆ de modo que 22

be

EP Q

σ

=

.

c) Um sinal de BFSK de Sunde pode ser desmodulado sem se conhecer a fase da respectiva portadora. Apresente um diagrama de blocos de um receptor adequado.

Nota: cos( ) cos cos sen sena b a b a b+ = −

sen( ) sen cos cos sena b a b a b+ = +

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2ª Parte – Duração 1 hora (sem consulta) Recurso – 4-2-2002

1 – Um sinal analógico distribui-se uniformemente no intervalo –2 V a 2 V e ocupa uma banda de

10 kHz. Este sinal é amostrado à taxa de Nyquist e quantizado em 256 níveis por um quantizador

uniforme de gama dinâmica 4 V.

a) Calcule, em dB, a relação sinal-ruído de quantização.

b) Para a transmissão do sinal binário utiliza-se um codificador duobinário com

pré-codificação. Apresente o diagrama de blocos do codificador e calcule a sequência de

saída do mesmo no caso da sequência binária de entrada ser 0100110111 (suponha que o

registo do pré-codificador é inicializado com o valor 0).

c) Calcule a largura de banda do sinal duobinário.

2 – Os sinais e s associados aos símbolos binários 1

e 0, respectivamente, são transmitidos através de um canal AWGN

(com densidade espectral de potência unilateral N

( )ts1 ( ) ( )tst 10 −=

o) e detectados com

um filtro integrate&dump (I&D). O sinal s está representado na

figura ao lado.

1

s1(t)

A

T/2 T t ( )t

a) Sabendo que a função de transferência do filtro I&D é ( ) ( ) fTjefTfTTfH π

ππ −=

sin , mostre

que a potência do ruído à saída do filtro vale 2TNN o= . Note que ( ) 1sin

=

∫∞−

dfff

ππ

2∞+

.

b) Prove que a probabilidade de símbolo errado é

=

o

be N

EQP

23

, admitindo que o nível de

decisão do detector colocado a jusante do filtro I&D é 0 V.

c) Qual a melhoria do desempenho da detecção, em dB, se ( )ts0 e forem detectados

optimamente.

( )ts1

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Recurso – 4-2-2002

3 – Pretende-se projectar uma ligação digital em banda de canal através de um canal AWGN com

densidade espectral de potência unilateral de valor –30 dBm/Hz e atenuação de 20 dB. A potência

transmitida é 30 dBm e pretende-se ter no receptor uma relação Eb/No de 10 dB. As modulações

em consideração são as seguintes:

• QPSK

• DPSK com detecção diferencialmente coerente.

• FSK de Sunde com detecção não coerente

• 4-FSK

a) Calcule o débito do sinal binário para o qual se tem a relação Eb/No pretendida.

b) Supondo então que Eb/No = 10 dB, verifique quais das modulações candidatas garantem

uma probabilidade de bit errado inferior a 10−3.

c) No caso de haver mais do que uma modulação candidata a satisfazer o critério anterior,

diga, justificando convenientemente, qual escolheria tendo em conta os critérios de

eficiência espectral e simplicidade do receptor.