Universidade Federal do Rio de Janeiro

EEE 335 Eletromagnetismo II

Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima

0 2 4 6 8 10

!0.2

0

0.2

0.4

0.6J0

J1J2 J3

Alguns Exercícios Resolvidos❖ (3.8b) Considere um caso no qual os campos vetoriais

complexos podem ser representados pelas expressões abaixo. Substitua nas equações de Maxwell na forma complexa e separe parte real e imaginária para obter o conjunto de equações diferenciais. Verifique o resultado usando as componentes instantâneas

E = E0(x, y, z) exp(j✓1(x, y, z))

H = H0(x, y, z) exp(j✓2(x, y, z))

J = J0(x, y, z) exp(j✓3(x, y, z))

⇢ = ⇢0(x, y, z) exp(j✓4(x, y, z))

r·D = ⇢ r· (E0 exp(j✓1)) =⇢

"exp(j✓4)

Aplicando uma identidade vetorial

E0 ·r (exp(j✓1)) + exp(j✓1)r·E0 =

⇢

"exp(j✓4)

Parte Real Parte Imaginária

Usando a formulação temporal r· (E0 cos(!t+ ✓1)) =⇢0"

cos(!t+ ✓4)

Se expandir os cosenos acima obtemos a expressão da parte Real

r⇥ (H0 exp(j✓2)) = J0 exp(j✓3) + j!"E0 exp(j✓1)

r(exp(j✓2))⇥H0 + exp(j✓2)r⇥H0 = J0 exp(j✓3) + j!"E0 exp(j✓1)

Repetindo o procedimento anterior verifica-se a igualdade da parte real com a!expressão obtida pela manipulação direta da expressão temporal

E0 ·r (cos ✓1) + cos ✓1 r·E0 E0 ·r (sin ✓1) + sin ✓1 r·E0

Uso do Vetor A❖ Fonte puntual de corrente — injeta corrente no meio!

❖ O Vetor A possui apenas componentes na direção de J

❖ E e H podem ser tridimensionais

J = I0` �(x)�(y)�(z)z

r2Az + k2Az = 0

1

r2d

dr

✓r2

dAz

dr

◆+ k2Az = 0

1

rexp(�jkr)

1

rexp(jkr)

r2A� µ"@2A

@t2= �µJ

Uso do Vetor A❖ Fonte puntual de corrente J = I0` �(x)�(y)�(z)z

Az =

C

rexp(�jkr) Quando k tende a zero vira equação de Poisson

Az =

I`

4⇡rexp(�jkr)

❖ Calcular o campo elétrico e magnético

E+@A

@t= �r� E+ j!A = �r�

r·A+ j!µ"� = 0r·A+ µ✏@�

@t= 0

Uso do Vetor A❖ Fonte puntual de corrente J = I0` �(x)�(y)�(z)z

E = �j!A+1

j!µ"r (r·A)

Er =

I`

2⇡exp(�jkr) cos ✓

✓Zc

r2+

1

j!" r3

◆

E✓ =

I`

2⇡exp(�jkr) sin ✓

✓j!µ

r+

Zc

r2+

1

j!" r3

◆

H� =

I`

2⇡exp(�jkr) sin ✓

✓jk

r+

1

r2

◆

Potencias

❖ Potencial vetor no domínio do tempo!

❖ Potencial vetor no domínio da frequência!

❖ Potencial escalar

r2A = µ✏@2A

@t2+ µ�

@A

@tr2A = j!µ (� + j!✏)A

r2� = j!µ (� + j!✏)�

Unidades dos Potenciais❖ Potencial Vetor (Magnético)!

!

❖ Potencial Escalar (elétrico)!

!

❖ Potencial Vetor (Elétrico)!

!

❖ Potencial Escalar (Magnético)

A Wb/m ou V-s/m ou J/A

� V

�⇤

F C/m

A-espira

Alguns Exercícios Resolvidos❖ (3.11b) — Em coordenadas cilíndricas

r2A = r

r2Ar �

2

r2@A�

@�� Ar

r2

�+ �

r2A� +

2

r2@Ar

@�� A�

r2

�+ z

⇥r2Az

⇤

❖ Em coordenadas esféricas

r2Ar �2

r2

Ar + cot ✓A✓ + csc ✓

@A�

@�+

@A✓

@✓

�= µ"

@2Ar

@t2

r2A✓ �1

r2

csc

2 ✓A✓ � 2

@Ar

@✓+ 2 cot ✓ csc ✓

@A�

@�+

@A�

@✓

�= µ"

@2A✓

@t2

r2A� � 1

r2

csc

2 ✓A� � 2 csc ✓@Ar

@�� 2 cot ✓ csc ✓

@A✓

@�+

@A�

@✓

�= µ"

@2A�

@t2

Mais Exercícios❖ 3.19c: Uma alternativa ao calibre de Lorentz é o calibre

de Coulomb. Discuta os problemas associados ao uso dessa abordagem e verificando que as equações associadas são idênticas a configurações envolvendo apenas cargas estáticas

Algumas Respostas❖ (3.11c) kz = !2µ" ❖ (3.13b) 4

3⇡A2

Zc

Mais Exercícios

❖ 3.11b, 3.11c, 3.13b, 3.19a -> vão ser apresentados em aula!

❖ 3.17a, 3.18a, 3.20b, 3.20c