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EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida

Revisão de Conhecimentosde Sistemas Lineares2


2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios

2. Revisão de Sistemas Lineares



2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 94



2.1. Classificação de Sistemas

Algumas distinções (somente o que vai interessar neste curso)

Sistemas Lineares x Não-LinearesSistemas Invariantes no Tempo x Variantes no TempoSistemas Causais x Não-Causais (Antecipativos)

Sistemas considerados neste curso: Lineares , Invariantes no Tempo e Causais !



2. Revisão de Sistemas Lineares2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios



2.2. Transformada de Laplace


Ideia da Transformada de Laplace:Transformar uma equação diferencial ordinária linear no domínio do tempo t do tipo

em uma equação algébrica polinomial no domínio da variável complexa s, dada por


Resolução de uma Equação Diferencial Ordinária por Laplace:1. Transformar a equação diferencial ordinária em uma equação algébrica (equação subsidiária).2. Resolver a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas.


3. Aplicar a transformada inversa na solução da equação subsidiáriapara obter a solução da equação diferencial original.




Definição da Transformada:A transformada de Laplace de uma função é definida como:

onde:uma função do tempo tal que para uma variável complexa tal que a transformada de Laplace de




Exemplo 1:

Exemplo 2:




Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace



Propriedade 1: Linearidade

Prova:




TEOREMA DE EULER:cos sin ⇒ cos

sinExemplo 3:

Exemplo 4:




Propriedade 2: Derivada no Tempo

Prova:




Propriedade 2: Derivada no Tempo2.2. Transformada de Laplace



Exemplo 5:

Exemplo 6:

Exemplo 7:




Propriedade 3: Translação na Frequência

Prova:




TRANSLAÇÃO NA FREQUÊNCIA: ⟺ Exemplo 8:

Exemplo 9:




Exemplo 10:

Exemplo 11:

Exemplo 12:

TRANSLAÇÃO NA FREQUÊNCIA: ⟺




Propriedade 4: Translação no Tempo

Prova: ·




Exemplo 13: Pulso Unitário

Exemplo 14: Impulso Unitário →

→ →

→ →

TRANSLAÇÃO NO TEMPO: ⇕




Propriedade 5: Derivada na Frequência

Prova:




Propriedade 5: Derivada na Frequência2.2. Transformada de Laplace



DERIVADA NA FREQUÊNCIA:· Exemplo 15:

Exemplo 16:




Transformadas das funções básicas que compõemas respostas naturais dos sistemas dinâmicos lineares:




Resumo das Propriedades da Transformada de LaplaceHomogeneidade: Aditividade:

Derivada no tempo:




Resumo das Propriedades da Transformada de LaplaceDerivada na frequência:

Translação na frequência:Translação no tempo:Escala no tempo:Convolução:



Alguns pares de Transformada de Laplace:





Quando f(t) é multiplicada por e–t, substituir s por s+a :2.2. Transformada de Laplace


Quando f(t) é multiplicada por e–t, substituir s por s+a :





Exemplo 17:



Quando f(t) é multiplicada por t, derivar F(s) e trocar o sinal :




A transformada inversa de Laplace é dada por: 1( 0) ( )2

stf t F s e dsj


Porém, um método bem mais fácil é:1. Expandir F(s) em uma soma de frações parciais2. Obter a transformada de Laplace de cada fração parcial isoladamente

2.3. Transformada Inversa de Laplace


Na resolução por frações parciais podem ocorrer:


1 – Polos reais e distintos2 – Polos complexos3 – Polos repetidos




Caso 1 – Polos reais distintos2.3. Transformada Inversa de Laplace



Exemplo 18:2.3. Transformada Inversa de Laplace



Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace


Obtenha a Transformada inversa de Laplace da seguinte função:22 1( ) 3 2sF s s s




Solução:22 1( ) 3 2sF s s s

22 1 2 1( ) 3 2 (s 1)( 2)s sF s s s s 1 2

1 2r r

s s

22

2 1( 2) ( 1)(s 2 s

sr s s

2 1 2( 2) 1 3( 1) (( 2) 1)ss

11

2 1( 1) ( 1)(s 2) s

sr s s

2 1 2( 1) 1 1( 2) (( 1) 2)ss


Exemplo 20:Obtenha a Transformada inversa de Laplace da seguinte função:



Portanto:1 3( ) ( 1) (s 2)F s s

Utilizando-se as tabelas de transformada inversa de Laplace:

2( ) 3t tf t e e 0t para




Dada a função F(s). Determine f(t): 5 3( ) ( 1)( 2)( 3)sF s s s s




Dada a função F(s). Determine f(t): 5 3( ) ( 1)( 2)( 3)sF s s s s

Solução:31 25 3( ) ( 1)( 2)( 3) ( 1) ( 2) ( 3)rr rsF s s s s s s s

1

1

5 3( 1) ( 1)( 2)( 3) s

sr s s s s 1

1

5 3( 2)( 3) s

sr s s

5( 1) 3 1(( 1) 2)(( 1) 3)

22

5 3 5( 2) 3 7(s 1)( 3) (( 2) 1)(( 2) 3)s

sr s 2

2

5 3( 2) (s 1)( 2)( 3) s

sr s s s




33

5 3( 3) (s 1)( 2)( 3) s

sr s s s 3

3

5 3(s 1)( 2) s

sr s

5( 3) 3 6(( 3) 1)(( 3) 2)

1 7 6( ) 1 2 3F s s s s Então:

Utilizando-se as tabelas de transformada inversa de Laplace:

2 3( ) 7 6t t tf t e e e para 0t





Para Polos complexos conjugados, temos 2 métodos: por Euler

Frações parciais de primeira ordem distintas para cadapólo complexo

por “arranjo matemático” Frações parciais de segunda ordem para cada par de

Polos complexos conjugados.




Exemplo 22:i) Resolução por Euler:




i) Resolução por Euler (continuação):




ii) Resolução por Arranjo Matemático:




ii) Resolução por Arranjo Matemático:

Aplicando a transformada inversa de Laplace:




Observação:

Logo,




Exemplo 23:i) Resolução por Euler:




i) Resolução por Euler (continuação) :




ii) Resolução por Arranjo Matemático :




ii) Resolução por Arranjo Matemático ( continuação ) :




Exemplo 24:2.2. Transformada de Laplace



Fórmula Geral para pólo de multiplicidade n:2.3. Transformada Inversa de Laplace



2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace



2.5. Função de Transferência

SistemaDinâmicoLinear



2.5. Função de Transferência

função de transferência estritamente própriafunção de transferência própriafunção de transferência imprópria (sistema não-causal)



2.6. Polos e Zeros

Zeros pontos onde é nula

Polos pontos onde ou suas derivadas tendem ao infinito



2.6. Polos e Zeros Exemplo 27:



2.7. Exercícios 1) Determine a transformada de Laplace

a) f)b) g)c) h)d) i)e) j)



2.7. Exercícios 2) Determine a transformada inversa de Laplace

a) g)b) h)c) i)d) j)e) k)f) l)



2.7. Exercícios



2.7. Exercícios 4) Determine a transformada inversa de Laplace



2.7. Exercícios 5) Encontre a solução usando a transformada de Laplace



2.7. Exercícios 8) … continuação …

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