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ProgramaçãoLinear

Retirado e/ou adaptado de:

Dent, Harrison, Woodford (1986). Farm Planning with Linear Programming: Concept and Practice. Butterworths: Sydney.

A Programação Linear e o Planeamento

Vimos como o planeamento de curto prazo pode ser visto como a selecção de um conjunto apropriado de actividades animais e vegetais para a exploração agrícola, e do nível a que cada uma delas deve ser conduzida. Esta escolha é feita a partir do conhecimento da disponibilidade de uma série de recursos necessários à implementação daquelas actividades, de um rendimento associado a cada actividade, e de um objectivo de gestão.

Contudo, para alguns problemas de planeamento não é viável a determinação do nível óptimo de actividades com recurso às técnicas de orçamentação, uma vez que elas envolvem um enorme conjunto de aborrecidos cálculos sempre que vários planos alternativos são postos em confronto.

Mesmo que tais cálculos sejam efectuados com a ajuda de um computador, eles não permitem a busca rigorosa de todas as combinações de níveis de actividades, nem a determinação rigorosa da combinação óptima.

Tais limitações podem todavia ser ultrapassadas com o recurso àProgramação Linear.

Alguns usos da Programação Linear

A Programação Linear é um Método de Investigação Operacional incluído na categoria da Programação Matemática.

Foi desenvolvida nos anos 40 do século XX para uso em operações militares, mas foi subsequentemente reconhecida como muito apropriada para resolver uma vasta gama de problemas de planeamento empresarial e comercial.

Actualmente é uma das mais usadas técnicas de Investigação Operacional, e em agricultura tem sido vastamente utilizada em planeamento.

No âmbito do Planeamento Agrícola, o seu uso tem caído principalmente em problemas relacionados com:

A escolha de actividades agrícolas;

A determinação de rotas óptimas para frotas de transportes de ou para explorações agrícolas;

A determinação da composição de rações para animais a custos mínimos.

Características de um Problema de Programação Linear

A técnica da Programação Linear é uma metodologia geral que pode ser aplicada a uma vasta gama de problemas possuidores das seguintes características:

Uma gama de actividades possíveis, podendo o gestor (o agricultor) exercer o direito de escolha na selecção das actividades que deseja levar à prática;

Uma gama de restrições que impedem a livre selecção entre a gama de actividades possíveis;

Uma escolha racional de uma combinação de níveis de actividades está relacionada com alguma medida da utilidade do gestor (por exemplo, o lucro) associada a cada uma das actividades, ou seja, há um objectivo que pode ser quantificado.

As Hipóteses em que se baseia a Programação Linear

Ainda que adiante vejamos melhor este aspecto, importa desde já referir que, como em todos os modelos de planeamento, o modelo de Programação Linear incorpora um determinado número de hipóteses.

Ela assume em particular que, para determinada actividade, as relações que ligam o consumo de recursos, o custo dos recursos, os níveis da actividade e a rentabilidade da actividade, são todas lineares.

Isto quer dizer, por exemplo, que a duplicação do nível a que uma actividade é realizada resulta precisamente na duplicação das quantidades de recursos utilizadas pela actividade ou na duplicação o rendimento a partir dela obtido.

Esta hipótese da linearidade é justamente a que dá o nome à técnica. Como se referiu, outras hipóteses igualmente importantes serão analisadas mais à frente.

Vejamos então um exemploImaginemos uma grande exploração agrícola dedicada fundamentalmente à produção de ovelhas, para carne.

O agricultor nota que dispõe de alguns recursos disponíveis.

Considera por isso a possibilidade de produzir também algum trigo e alguma batata.

O agricultor está disposto a produzir uma combinação daquelas duas actividades, ou qualquer uma delas isoladamente.

Imaginemos para começar que a área a dedicar à produção de trigo e/ou batata está apenas limitada pela disponibilidade de mão-de-obra que o agricultor dispõe durante o período de Primavera.

Para quantificar o problema, imaginemos que o agricultor dispõe de 450 horas de mão-de-obra não utilizadas durante a primavera, e que cada hectare de trigo requer, naquele período, 1,5 horas, enquanto que cada hectare de batata requer, no mesmo período, 9 horas.

A restrição Mão-de-Obra de Primavera

Então o agricultor pode produzir 300 hectares de trigo e nenhuma batata;

Ou 50 hectares de batata e nenhum trigo;

Ou misturas das duas actividades, de acordo com a tabela apresentada no slide seguinte.

Uma vez que a batata requer seis vezes mais mão-de-obra do que o trigo, cada 10 hectares extra de batatas terão de representar o sacrifício de 60 hectares de trigo.

A restrição Mão-de-Obra de Primavera – Tabela

Área de Trigo (ha) Área de Batatas (ha)300 0240 10180 20120 3060 400 50

Os dados desta tabela podem igualmente ser apresentados de uma forma gráfica, com os eixos a representarem as áreas de cada uma das actividades, conforme o apresentado no slide seguinte.

A restrição Mão-de-Obra de Primavera – Gráfico

A restrição como Fronteira de Possibilidades de Produção

A partir do gráfico anterior torna-se evidente que é possível uma vasta gama de combinações de áreas – de facto, qualquer combinação ao longo da linha AB está nessas condições.

Uma linha como aquela, ligando áreas de actividades viáveis ou admissíveis, é conhecida por fronteira de possibilidades de produção.

Todos os pontos ao longo daquela linha são viáveis e representam combinações de áreas das actividades que consomem a totalidade da mão-de-obra de primavera disponível.

Também qualquer ponto abaixo da linha, e dentro do triângulo OAB éviável, ficando contudo sempre alguma mão-de-obra de primavera disponível.

Qualquer ponto acima da fronteira de possibilidades de produção é inviável, pois conduziria a um consumo de mão-de-obra de primavera superior àquele de que o agricultor dispõe.

A restrição como expressão algébrica

A restrição Mão-de-Obra de Primavera sobre as áreas das duas actividades em consideração também pode ser expressa algebricamente. Façamos xt representar a área de trigo a cultivar e xb a área de batatas a cultivar, e teremos:

1,5 xt + 9 xb ≤ 450

Esta expressão de desigualdade indica que a procura (ou consumo) de mão-de-obra de primavera deve ser igual ou inferior à quantidade disponível do recurso.

Tal consumo compõe-se da área de trigo (xt ha) multiplicada pelas necessidades de mão-de-obra de primavera por hectare do trigo (1,5 horas) mais a área de batatas (xb ha) multiplicada pelas necessidades por hectare da batata (9 horas).

A xt e a xb chamamos de níveis das actividades.

O facto da expressão ser uma desigualdade e não uma igualdade exacta permite que nem toda a mão-de-obra de Primavera disponível tenha de ser consumida.

A introdução de mais restrições

Suponhamos agora que depois de analisar melhor as suas operações agrícolas o agricultor nota que há mais dois recursos que podem limitar a livre selecção das áreas de trigo e de batatas:

Considerações sobre rotações levam-no a considerar que não deverá dedicar mais de 100 hectares àquelas duas actividades;

Para além disso, uma análise mais correcta aos seus mapas anuais de consumos de mão-de-obra revela que esta também se pode tornar escassa no Outono. De facto, apenas 450 horas de mão-de-obra podem ser consideradas livres durante o Outono.

De acordo com os seus cálculos, cada hectare de trigo deverá consumir 5 horas de mão-de-obra de Outono, enquanto que cada hectare de batata deverá consumir apenas 3 horas.

Ficamos portanto perante duas novas restrições, que tal como a anterior podem ser representadas graficamente.

O gráfico do slide seguinte mostra agora a representação gráfica das três restrições em consideração: 1) a mão-de-obra de Primavera, 2) a área total e 3) a mão-de-obra de Outono.

A nova representação gráfica

A nova Região Viável ou de Admissibilidade

A nova situação de planeamento é agora observável através do gráfico, no qual três restrições se levantam àselecção das áreas de trigo e batata, em vez de uma sórestrição como anteriormente.

As áreas de trigo e batata agora viáveis ou admissíveisestão confinadas aos pontos situados sobre ou abaixo das três restrições simultaneamente.

A região viável ou admissível está portanto contida entre os eixos do gráfico e a fronteira de possibilidades de produção ACDE. Uma região consideravelmente menor que a primeira.

As novas expressões algébricas

Note-se, pelo gráfico, que não há uma única combinação de áreas de trigo e de batatas que consuma a totalidade dos recursos disponíveis. Nos pontos C e D dois dos recursos são consumidos na totalidade e um é consumido parcialmente. Em todos os demais pontos da fronteira de possibilidades de produção, apenas um recurso é consumido na totalidade. Nos pontos interiores à fronteira de possibilidades de produção, nenhum dos recursos é consumido na totalidade.

As duas restrições adicionais podem ser escritas algebricamente da seguinte forma:

1 xt + 1 xb ≤ 100 (área de terra)

5 xt + 3 xb ≤ 450 (mão-de-obra de Outono)

A Introdução de um ObjectivoAs duas expressões anteriores são mais uma vez desigualdades e não igualdades exactas, permitindo desta forma o “não uso” de alguma terra e/ou de alguma mão-de-obra de Outono.

O objectivo de planeamento é, normalmente, o de seleccionar a combinação única de áreas que conduza ao lucro máximo (ainda que possam existir muitos outros objectivos de gestão).

Para se proceder a tal selecção necessitamos da informação sobre a rentabilidade do trigo e da batata.

Assumamos então que o agricultor estima que o trigo lhe proporcione uma Margem Bruta de 360 € por hectare, e que as batatas lhe proporcionem uma Margem Brutade 1.080 € por hectare.

Se considerássemos, por exemplo, um plano que previsse a cultura de 50 hectares de batata e zero hectares de trigo (ponto A dos gráficos anteriores) , ele conduziria a uma Margem Bruta de (50 x 1.080) € = 54.000 €. A área de trigo que daria origem àmesma MB seria 54.000 / 360 = 150 hectares. A mesma MB poderia ser obtida a partir de qualquer combinação de trigo e batata situada ao longo da linha que, num gráfico, une 50 ha de batata e zero de trigo com 150 ha de trigo e zero de batata (gráfico do slide seguinte).

A Introdução de um Objectivo (continuação)

As Rectas de Iso-receitaRepare-se no gráfico anterior onde, por exemplo, 25 ha de batatas e 75 hectares de trigo também conduziriam a uma MB de (25 x 1.080) + (75 x 360) = 54.000 €.

Uma linha como aquela, que une todos os pontos que conduzem a um resultado (Margem Bruta) igual, denomina-se uma Recta de Iso-receita.

Muitas outras rectas de iso-receita podem ser desenhadas. Por exemplo, 75 hectares de batatas e zero de trigo originarão uma MB de 81.000 €, o mesmo acontecendo com 30 ha de batatas e 135 de trigo, ou nenhum de batatas e 225 ha de trigo.

O gráfico do slide seguinte apresenta um conjunto de rectas de iso-receita como as anteriormente descritas, a que chamamos de “família de rectas de iso-receita”.

Uma Família de Rectas de Iso-receita

Explicação matemática para o comportamento das rectas de iso-receita

Olhando bem para as rectas do gráfico anterior, observamos que elas são todas paralelas entre si, e que cada uma tem um declive de -1/3, ou seja, para que nos mantenhamos sobre uma mesma recta de iso-receita, a área de batatas tem de ser reduzida em 1/3 de hectare por cada hectare extra de trigo que se cultive. Vejamos porquê:

A Margem Bruta pode ser escrita como:

MB = 360 xt + 1.080 xb

Aquela expressão pode simplesmente ser transformada numa outra, da seguinte forma:

xb = MB / 1.080 - 360 xt / 1.080 ou xb = (MB / 1.080) – 1/3 xt

Esta é claramente a expressão de uma recta, em que MB/1.080 representa a ordenada na origem e -1/3 o declive.

Como é óbvio, se a MB se alterar, altera-se apenas a ordenada na origem, e não o declive da recta. E mais ainda, se a MB aumentar, a recta passa a ter uma maior ordenada na origem, ou seja, afasta-se da origem do gráfico, tal como se acabou de ver no gráfico anterior.

O Plano ÓptimoDeverá agora ser evidente que, sendo o objectivo do agricultor o de maximizar o rendimento (Margem Bruta neste caso), que o plano óptimo será aquela combinação de níveis de actividades (áreas de trigo e batatas) que é viável em termos das restrições apontadas e que se situa numa recta de iso-receita mais alta do que qualquer outra.

Este plano pode ser localizado desenhando uma recta de iso-receita com o declive adequado (-1/3 no nosso caso) em qualquer zona do gráfico, fora da fronteira de possibilidades de produção anteriormente desenhada, e deslocando-a paralelamente a si própria na direcção da origem do gráfico, até que ela toque a dita fronteira de possibilidades de produção.

No nosso caso, e como se pode ver no gráfico do slide seguinte, tal ocorre no ponto C onde: 1) a área de trigo é de 60 ha, 2) a área de batatas é de 40 ha, e 3) a MB total é de 64.800 €.

O Plano Óptimo

O Plano Óptimo

Observando o gráfico anterior, vemos que se nos movermos ao longo da fronteira de possibilidades de produção a partir do ponto C, seja em direcção ao ponto A, seja em direcção aos pontos D e E, atingiremos sempre planos com menor Margem Bruta.

Esta situação ilustra a regra geral que estabelece que a combinação mais rentável de níveis de actividades ocorre onde uma recta de iso-receita toca (e não corta) a fronteira de possibilidades de produção.

Além disso, e excepto no caso pouco provável em que a recta de iso-receita e um segmento da fronteira de possibilidades de produção têm o mesmo declive, o plano óptimo situa-se num vértice desta.

O Plano ÓptimoUma vez que o nosso plano óptimo se situa sobre as restrições terra e mão-de-obra de Primavera, as quantidades disponíveis destes dois recursos serão totalmente utilizadas. Acontece portanto que no ponto C:

1 xt + 1 xb = 100 (1)

1,5 xt + 9 xb = 450 (2)

O plano contudo permite o não uso de alguma da mão-de-obra de Outono, uma vez que para este recurso, as necessidades são inferiores às disponibilidades, mantendo-se portanto a desigualdade:

5 xt + 3 xb ≤ 450

Ainda no ponto C, as duas expressões (1) e (2) formam duas equações com duas incógnitas, que podem ser resolvidas simultaneamente, encontrando-se assim xt = 60 e xb = 40. Nestas circunstâncias:

MB = (360 x 60) + (1.080 x 40) = 64.800 €

Os pontos A, D e E podem ser avaliados da mesma maneira, verificando-se como jáse tinha dito que conduzem sempre a uma MB menor que a anterior.

O Problema posto de forma Algébrica

O exemplo que temos vindo a acompanhar poderia então ser representado matematicamente recorrendo a todas as expressões anteriormente apresentadas, da seguinte forma:

Maximizar MB = 360 xt + 1.080 xb

Sujeito a, 1,5 xt + 9 xb ≤ 4501 xt + 1 xb ≤ 1005 xt + 3 xb ≤ 450xt ≥ 0xb ≥ 0

As duas últimas restrições são indispensáveis à completa formulação do problema, pois impedem que a solução apresente valores negativos para os níveis de actividades procurados. Repare-se que aquando da solução gráfica se fez exactamente o mesmo, ao se ter apenas trabalhado no primeiro quadrante (aquele em que ambas as variáveis são sempre maiores ou iguais a zero)

A primeira função, que neste caso é uma função de maximização, é a que nos serve de critério de comparação entre diferentes planos. Tem por isso a denominação de Função Objectivo.

Representação Algébrica Geral dos Problemas de Programação Linear

O nosso modelo pode também ser expresso através de uma notação algébrica mais abstracta, e ampliado por forma a permitir um número não especificado de actividades e de restrições. Algumas novas notações são necessárias para este novo modelo. Particularmente admitamos que:

xj = variáveis de decisão [nível da actividade j, com j = (1 ... n)];

cj = coeficientes da função objectivo [margem bruta da actividade j, com j = (1 ... n)];

bi = termos independentes [disponibilidade do recurso i, com i = (1 ... m)];

aij = coeficientes tecnológicos [quantidade do recurso i requerida por uma unidade da actividade j]

Para ilustrar o uso destes símbolos com o problema antes exposto, podíamos dizer que:

x1 = área de trigo x2 = área de batatas

c1 = 360 €, MB do trigo c2 = 1.080 €, MB das batatas

b1 = 450 h, disp. MO Prim. b2 = 100 ha, disp. Terra b3 = 450 h, disp. MO Outono

a11 = 1,5 – necessidades de MO Prim. para 1 ha de trigo

a12 = 9 – necessidades de MO Prim. para 1 ha de batatas

a21 = 1 – necessidades de Terra para 1 ha de trigo

a22 = 1 – necessidades de Terra para 1 ha de batatas

a31 = 5 – necessidades de MO Out. para 1 ha de trigo

a32 = 3 – necessidades de MO Out. para 1 ha de batatas

Representação Algébrica Geral dos Problemas de Programação Linear

Usando então a notação geral, a formulação algébrica de um problema de Programação Linear pode escrever-se da seguinte forma:

0,,0,0

, ) (

21

2211

22222121

11212111

2211

≥≥≥≥=≤+++

≥=≤+++≥=≤+++

+++=

n

mnmnmm

nn

nn

nn

xxxbxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

asujeitoxcxcxcZMinimizarMaximizar

K

K

MMM

K

K

K

A representação Tabular do Problema de Programação Linear

É por vezes conveniente exprimir estas equações da Programação Linear na forma de uma Tabela. No caso do nosso exemplo teríamos:

Actividades

Trigo (ha) Batatas (ha)

Relação B Nome do Recurso

1,5 9 ≤ 450 MO Prim.

1 1 ≤ 100 Terra

5 3 ≤ 450 MO Out.

360 1.080 Max Z Mar. Bruta

De uma forma geral estas tabelas podem ser descritas conforme o modelo apresentado no slide seguinte.

A representação Tabular do Problema de Programação Linear

Actividades

x1 x2 ... xn

a11 a12 a1n ≤ = ≥ b1

a21 a22 a2n ≤ = ≥ b2

... ... ... ... ... ...

am1 am2 amn ≤ = ≥ bm

c1 c2 ... cnMax; Min;

Igualar Z

Relação B Nome do Recurso

As Hipóteses da Programação Linear

As Tabelas anteriores constituem modelos de Programação Linear de problemas de planeamento específicos.

Como modelos que são, eles são por natureza abstracções da realidade e baseiam-se numa série de hipóteses a que jáanteriormente se fez referência.

Essa Hipóteses visam garantir fundamentalmente a linearidade do modelo e são normalmente as seguintes:

Proporcionalidade

Aditividade

Divisibilidade

Não Negatividade

Linearidade da Função Objectivo

As Hipóteses da Programação Linear

Proporcionalidade:Em cada actividade a quantidade de bens que entram e saem são sempre proporcionais ao nível da mesma, isto é, se por exemplo, for duplicado o nível duma actividade, ter-se-ão de duplicar todos os "inputs" (os recursos utilizados) sendo duplicados todos os "outputs" (os produtos).

Aditividade:Dadas N actividades, o resultado do emprego conjunto das mesmas é a sua adição. Por exemplo, combinando as actividades A e B tem-se uma nova actividade, resultante da combinação destas.

Divisibilidade e Não Negatividade:O nível de uma actividade pode assumir qualquer valor positivo de um dado intervalo, o que equivale a supor que os bens são perfeitamente divisíveis, isto é, susceptíveis de variar em quantidades infinitesimais.

Linearidade da Função Objectivo:Cada actividade contribui para o objectivo global perseguido pelo sistema (por exemplo, cada actividade normalmente tem associado um certo lucro ou um certo custo) .Esta hipótese indica que essa contribuição para a função económica é proporcional ao nível da actividade. A contribuição total é a soma das contribuições de todas as actividades.