Ejercicios Resueltos Del Algebra de Baldor

Ejercicios Resueltos del Algebra de Baldor. Consultado en la siguiente direccin electrnica http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm . Definicin: Dos o ms trminos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente. Reduccin de dos trminos semejantes del mismo signo P r o c e d i m i e n t o Parareducirtrminossemejantesconelmismosignosesumanlos coeficientesdetodoslostrminosyseanteponealcoeficientetotalel mismo signo que comparten, y a continuacin se escribe la parte literal. Reducir: 1.x + 2x. S o l u c i n : El signo comn a todos los trminos es el +. Los coeficientes de los trminos son 1 y 2. La parte literal igual en todos los trminos es x. 1 + 2 = 3;x + 2x = 3x. 2.8a + 9a S o l u c i n : El signo comn a todos los trminos es el +. Los coeficientes de los trminos son 8 y 9. La parte literal igual en todos los trminos es a. 8 + 9 = 17;8a + 9a = 17a. 3.11b + 9b S o l u c i n : El signo comn a todos los trminos es el +. Los coeficientes de los trminos son 11 y 9. La parte literal igual en todos los trminos es b. 11 + 9 = 20;11b + 9a = 20b. 4.b 5b. Solucin: El signo comn a todos los trminos es el . Los coeficientes de los trminos son1 y 5. La parte literal igual en todos los trminos esb. 1 + 5 = 6; b 5b = 6b. 5.8m m Solucin: El signo comn a todos los trminos es el . Los coeficientes de los trminos son8 y 1. La parte literal igual en todos los trminos esm. Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] 8 + 1 = 9;8m m = 9m. 6.9m 7m Solucin: El signo comn a todos los trminos es el . Los coeficientes de los trminos son9 y 7. La parte literal igual en todos los trminos esm. 9 + 7 = 16;9m 7m = 16m. Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Reduccin de dos trminos semejantes de distinto signo P r o c e d im i e n t o Parareducirdostrminossemejantesdedistintosigno,sehallala diferenciaentreloscoeficientesdelostrminos,colocandoantesdeesta diferencia el signo del coeficiente mayor (en valor absoluto) y a continuacin se escribe la parte literal. Nota: dos trminos semejantes con igual coeficiente y distinto signo se anulan. Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Reduccin de ms de dos trminos semejantes de signos distintos Procedimiento Parareducirunpolinomioconmsdedostrminossemejantesyconsignos distintos, se procede as: 1) Se reducen a un solo trmino todos los positivos. 2)Se reducen a un solo trmino todos los negativos. 3)Se calcula la diferencia entre los coeficientes de los trminos hallados en los dos pasos anteriores. 4) El signo que preceder la diferencia hallada en elpaso anterior ser el que tenga el coeficiente mayor en valor absoluto de los trminos hallados en los pasos (1) y (2). 5) Por ltimo, se escribe la parte literal. R e d u c i r: Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Reduccin de trminos semejantes Reduccin de un polinomio que contenga trminos semejantes de diversas clases P r o c e d i m i e n t o 1.Se agrupan los trminos semejantes de cada clase en un mismo parntesis 2.Se reducen los trminos semejantes 3.Se da la respuesta, ordenando el polinomio resultante Nota:recordemosquelostrminossemejantessonaquellosquetienenlas mismas letras y afectadas por los mismos exponentes Reducir los polinomios siguientes: Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Productos notables a) Cuadrado de la suma de dos cantidades P r o c e d i m i e n t o 1.Se identifica tanto el primero como el segundo trmino del binomio 2."Elcuadradodelasumadedoscantidadesesiguala,elcuadradodela primeracantidad,mseldobleproductodelaprimeracantidadporla segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad" 3.Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2 Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades P r o c e d i m i e n t o 1.Se identifica tanto el primero como el segundo trmino del binomio 2."El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad" 3.Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2 Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] c) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades P r o c e d i m i e n t o 1. "Elproductodelasumaporladiferenciadedoscantidadesesigualal cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 2.Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] d) Cubo de un binomio P r o c e d i m i e n t o 1.Se desarrolla el parntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3: 2. "Elcubodelasumadedoscantidadesesigualalcubodelaprimera cantidadmseltriplodelcuadradodelaprimeraporlasegunda,msel triplodelaprimeraporelcuadradodelasegunda,mselcubodela segunda" 3."El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidadmenoseltriplodelcuadradodelaprimeraporlasegunda,msel triplodelaprimeraporelcuadradodelasegunda,menoselcubodela segunda" 4.Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] e) Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b) P r o c e d i m i e n t o 1.El desarrollo de los parntesis da un trinomio 2.El primer trmino ser el cuadrado del primer trmino de los parntesis (igual en ambos) 3.El segundo trmino ser el producto de la suma de los trminos independientes por el primer trmino comn de los parntesis 4.El tercer trmino ser el producto de los trminos inde pendientes Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Ejercicios varios. Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] e) Factor comn P r o c e d i m i e n t o 1.Se identifica el factor comn 2.Se divide cada trmino del polinomio por el factor comn 3. Se escribe el factor comn y a continuacin, dentro de un parntesis, los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno precedido de su respectivo signo) Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] f) Factor comn por agrupacin de trminos P r o c e d i m i e n t o 1.Se agrupan los trminos convenientemente, utilizando parntesis 2.Se saca factor comn de cada uno de los parntesis 3.Se realiza una segunda factorizacin (el factor comn ser, en este caso, el parntesis Factorizar o descomponer en dos factores: Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] g) Trinomio cuadrado perfecto Definicin:Unacantidadesuncuadradoperfectocuandoeselresultadodelproductodedos factores iguales. P r o c e d i m i e n t o 1.Se ordena el trinomio 2.Se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trminos 3.Se halla el doble producto de las races obtenidas en el paso anterior 4.Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo trmino del trinomioysielprimeroytercertrminostienenigualsigno,setratadeun trinomio cuadrado perfecto y se Factorizar como tal. 5. Seescribedentrodeunparntesislasracescuadradasdelprimery tercertrmino,separadasporelsignodelsegundotrmino,yelparntesis elevado al cuadrado. Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] h) Diferencia de cuadrados perfectos P r o c e d i m i e n t o 1.Se extrae la raz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2.Se abren dos parntesis 3.En el primer parntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las races halladas en el paso 1. Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] i) Diferencia de cuadrados perfectos (caso especial) P r o c e d i m i e n t o 1.Se extrae la raz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2.Se abren dos parntesis 3.En el primer parntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las races halladas en el paso 1. 4.Se reduce, si es el caso Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] j)Trinomiocuadradoperfectoydiferenciadecuadradosperfectos(combinacindeestosdos casos) P r o c e d i m i e n t o 1.Se identifica el trinomio cuadrado perfecto (o los ...) 2.Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto 3.Se factoriza la diferencia de cuadrados resultante 4.Se reduce, si es el caso Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] k) Trinomio cuadrado perfecto por adicin y sustraccin P r o c e d i m i e n t o 1.Se ordena el trinomio 2.Se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trminos 3.Se halla el doble producto de las races halladas en el paso anterior 4. Secomparaelresultadoobtenidoenelpasoanteriorconelsegundo trmino del trinomio 5. Sesumaoresta,segnelcaso,lacantidadnecesariaparacrearel segundo trmino del trinomio cuadrado perfecto 6. Serestaosesumalamismacantidadquesesumoorestoenelpaso anterior, para que el valor de la expresin no se altere Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] l) Trinomio cuadrado perfecto por adicin y sustraccin Factorizar una suma de dos cuadrados P r o c e d i m i e n t o 1.Se extrae la raz cuadrada de ambos trminos 2.Se halla el doble producto de las races halladas en el paso anterior 3.Se suma y se resta el producto hallado en el paso anterior 4.Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto as formado 5.Se factoriza la diferencia de cuadrados Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] P r o c e d i m i e n t o 1.Se ordena el trinomio 2. Seabrendosparntesis,encadaunodeloscualesseescribirun binomio 3.Se saca la raz cuadrada del primer trmino del trinomio, esta raz ser el primer trmino de cada uno de los parntesis 4. Elsignoqueseparealbinomiodelprimerparntesisserelsegundo signo del trinomio 5.Seaplicala"leydelossignos"alproductodelossignosdelsegundoy tercertrminosdeltrinomio;steserelsignoquesepareelbinomiodel segundo parntesis 6. Silossignossoniguales,sebuscandosnmeroscuyasumaseaigualal coeficientedelsegundotrminodeltrinomioycuyoproductoseaigualal tercer trmino del trinomio 7.Silossignossondiferentes,sebuscandosnmeroscuyadiferenciasea igualalcoeficientedelsegundotrminodeltrinomioycuyoproductosea igual al tercer trmino del trinomio 8. Elmayorde losnmeroshallados en uno de lospasos anteriores ser el segundotrminodelprimerparntesis,elmenordelosnmerosserel segundo trmino del segundo parntesis 9. Sieltercertrminoesunnmeromuygrandesedescomponeensus factoresprimosparafacilitarlabsquedadelosnmerosrequeridosenlos pasos 7 y 8 Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Casos especiales Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] P r o c e d i m i e n t o Para Factorizar esta clase de trinomios se lleva a la formay se factoriza 1.Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer trmino, esto es por a 2.Se escribe el trinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c) 3.Se abren dos parntesis, en cada uno de los cuales se escribir un binomio 4. Sesacalarazcuadradadelprimertrminodeltrinomio,estarazserelprimer trmino de cada uno de los parntesis 5.El signo que separe al binomio del primer parntesis ser el segundo signo del trinomio 6.Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer trminos del trinomio; ste ser el signo que separe el binomio del segundo parntesis 7Si los signos son iguales, se buscan dos nmeros cuya suma sea igual al coeficiente del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer trmino del trinomio 8 Silossignossondiferentes,sebuscandosnmeroscuyadiferenciaseaigualal coeficientedelsegundotrminodeltrinomioycuyoproductoseaigualaltercertrmino del trinomio 9. Elmayordelosnmeroshalladosenunodelospasosanterioresserelsegundo trminodelprimerparntesis,elmenordelosnmerosserelsegundotrminodel segundo parntesis 10.Si el tercer trmino es un nmero muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la bsqueda de los nmeros requeridos en los pasos 7 y 8 11. Se factorizan los parntesis que tengan factor comn 12. Se simplifica Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Factorizar una expresin que es el cubo de un binomio P r o c e d i m i e n t o El desarrollo del cubo de un binomio es: Enestaclasedeejerciciossenosdaunaexpresincomoelmiembroderechodelas identidades anteriores, es decir un cuadrinomio; y debemos constatar si se trata de un cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresiones anteriores); para lo cual debemos proceder: 1.Se ordena el cuadrinomio en forma descendente o ascendente respecto a una letra 2.Se extrae la raz cbica del primero y cuarto trminos del cuadrinomio 3. Seobservasitodoslossignossonpositivososisealternanpositivonegativo positivonegativo 4. Setriplicaelcuadradodelarazcbicadelprimertrminoporlarazcbicadel cuarto trmino y se compara con el segundo trmino del cuadrinomio dado 5. Setriplicalarazcbicadelprimertrminoporelcuadradodelarazcbicadel cuarto trmino y se compara con el tercer trmino del cuadrinomio dado 6. Silasdoscomparacioneshechasenlospasos4y5sonpositivas,setratadel desarrollodel cubode un binomioy se factoriza como tal:dentrode unparntesis se escribenlas racescbicasdel primero y cuarto trminosdelcuadrinomioy separadas por el signo ms o por el signo menos, segn el caso; y se eleva al cubo el parntesis 7. Silasdoscomparacioneshechasenlospasos4y5sonnegativas,nosetratadel desarrollo del cubo de un binomio y no se puede factorizar como tal Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Suma o diferencia de cubos perfectos P r o c e d i m i e n t o 1.Se abren dos parntesis 2.En el primer parntesis se escribe la suma o la diferencia, segn el caso, de las races cbicas de los dos trminos 3.En el segundo parntesis se escribe el cuadrado de la primera raz, menos (si es una suma de cubos) o ms (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raz por la segunda, mas el cuadrado de la segunda raz Descomponer en dos factores: Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Casos especiales P r o c e d i m i e n t o 1.Se abren dos parntesis 2.Enelprimerparntesisseescribelasumaoladiferencia, segn elcaso,delas races cbicas de los dos trminos 3. En el segundo parntesis se escribe el cuadrado de la primera raz, menos (si es una suma de cubos) o ms (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raz por la segunda, mas el cuadrado de la segunda raz Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Combinacin de casos de factores Descomposicin de una expresin algebraica en tres factores P r o c e d i m i e n t o 1.Se saca el factor comn 2.Se factoriza la expresin resultante, aplicando el mtodo de factorizacin requeridoporlaformadelpolinomio(estudiadosenlosdiezcasosde factorizacin: Ejercicios 89 a 110) Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Descomponer en tres factores: Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Descomposicin de una expresin algebraica en cuatro factores Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Descomposicin de un polinomio en factores por el mtodo de evaluacin P r o c e d i m i e n t o Recordemos que "un polinomio entero y racional en x, que se anula para x = a, es divisible por x - a" (Corolario del Teorema del residuo) 1.Sacamos los divisores del trmino independiente 2.Hallamos el valor del polinomio, P(x), para cada uno de los divisores hallados en el paso anterior 3.Tomamos como correcto el divisor, a,para el cual el polinomio se anula (da cero): hemos hallado uno de los factores del polinomio; este factor es, x - a 4.Buscamos los coeficientes del otro factor por medio de la "Divisin sinttica" Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Ejercicios variossobre ladescomposicin en factores Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Para cualquier polinomio que tenga races enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que unpolinomiotienes races enteras esencontrar valoresde xnmerosenterosquealsustituirlos en el polinomio nos da cero. Siunpolinomiode,porejemplo,cuartogrado

,tienecuatroraces enteras,,, , ,se factoriza

Pero cmo se obtienen las races?, por la regla de Ruffini Ejemplo: Factorizar 4 16 12 Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del trmino independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 12 y 12 Probemos con uno Se copian los coeficientes del polinomio: 1411612 Y se escribe en una segunda lnea el nmero uno 1 1411612 El primer coeficiente se copia abajo en una tercera lnea 1 1411612 1 Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el nmero que estamos probando, en este caso tambin uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del 4 1 1411612 1 1 Se suma 4+1=3 1 1411612 1 13 Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] 1411612 13 Se multiplica 3 por 1=3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, 1 1 13 Se suma 31=4 y as sucesivamente 1 1411612 13412 134120 Comovemoslaltimasumahadado cero.Esoquieredecirqueunoesunarazdelpolinomioy que nos sirve para Factorizar. Si hubiera dado distinto de cero habra que seguir probando los dems divisores de 12. Los coeficientes que han quedado en la ltima fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x1, y la ltima suma es el resto de dicha divisin. Si escribimos la relacin fundamental de una divisin entera, o sea que Dividendo=Divisor x Cociente + Resto 4 16 12 1 3 4 12 Dehechoyahemosfactorizadoelpolinomio,peroelsegundofactordetercergradohayque intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini. Aplicando sucesivas veces esta regla queda: 1 1411612 13412 134120 2 2 2 121160 2 2 6130 Como las races son, 1, 2 y 2 y el ltimo cociente es x3 La factorizacin final es: 4 16 12 1 2 2 3 Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningn resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los nmeros reales. Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades P r o c e d i m i e n t o 1.Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador 2.Simplificamos. Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Cociente dela suma o diferenciadeloscubosdedoscantidadesentrela sumao diferenciade las cantidades P r o c e d i m i e n t o 1. Factorizamosladiferenciaolasuma,segnelcaso,decubosenel numerador 2.Simplificamos. Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Dmaso Rojas Noviembre2007 Recopilador: Dmaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] ESTIMADOESTUDIANTE:ElProyectodeMejoramientoAcadmicobuscaqueustedcompartaunespaciocon compaerosyprofesoresendondesevivencienexperienciasymtodosdeestudioefectivosqueorientenla utilizacin de su trabajo independiente para que ste se convierta en una disciplinay una actitud interior. En ese sentido, estas guas se constituyen en un APOYO a dicho trabajo. Competencia -Utilizaradecuadamentelasexpresionesalgebraicas,suspropiedadesbsicasyoperacionespararesolversituacionesproblemaen distintos contextos. -Indicadores de logro: Factoriza expresiones con base en los casos desarrollados. Se agradece a los docentes Jorge Agudelo, Elizabeth Bedoya y Francisco Crdoba por sus aportes a esta gua. JUSTIFICACIN En muchas situaciones se presentan problemas que conducen al planteamiento de ecuaciones, como movimientoparablicoenfsica,problemasdeutilidadeneconoma,diseoyconstruccindeestructuras ingenieriles,entreotros,paralascualesesnecesarioencontrarracesosolucionesyuna manera de encontraresas races es aplicar procesos de factorizacin a los polinomios asociados a estas ecuaciones. Igualmentelafactorizacinpermiterealizarsimplificacionesyreduccinamnimasexpresiones,loquehace menos engorrosas las derivadas y las integrales en clculo. Enestagua sepretendequeel estudiante complementeelaprendizajedesarrolladoenelaula declaseen la algebraica. COMPLEMENTO A LAS NOTAS DE CLASE 1.Factor comn monomio Resulta cuando el factor comn de todos los trminos del polinomio es un monomio. Ejemplo: Factorizar: 4ax3 - 2x2= 2x2(2ax 1) Vemos como tanto 2 como x2estn multiplicando en ambos trminos, por lo tanto 2x2sale como factor comn: 4ax3 - 2x2= 2x2(2ax 1) Recordar y repasar: El trmino 2x2es el Mximo Comn Divisor (MCD) de los dos trminos 2.Factor comn polinomio Resulta cuando el factor comn que aparece es un polinomio. Normalmente hay que hacer la agrupacin debida para obtenerlo. Ejemplo: Factorizar a(x + 3) + b(x + 3) Vemos como (x + 3) est multiplicando en ambos trminos [tanto a a como a b], por lo tanto (x + 3) sale como factor comn: a(x + 3) + b(x + 3) = (x + 3)(a + b) Ejemplo: Factorizar:ax + bx + aw + bw Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw) Sacamos factor comn en cada binomio: x(a + b) + w(a + b) No qued factor comn polinomio: (a + b) x(a + b) + w(a + b) Luego se divide ----------------------- = x + w (a + b) Por lo tanto:ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w) Ejemplo: Factorizar: 2a2+ 4a 8b 4ab Por observacin agrupamos: ( 2a2 4ab ) + ( 4a 8b ) En cada binomio hay factor comn: 2a(a 2b) + 4(a 2b) Result un factor comn polinomio: (a 2b) 2a(a 2b) + 4(a 2b) Luego se divide --------------------------= 2a + 4 (a 2b) Por lo tanto: 2a2 4ab + 4a 8a = (a 2b)(2a + 4) ACTIVIDAD: FACTORIZAR PREGUNTASRESPUESTAS xy2- y2w= y2( x - w ) 5xy2- 15y= 5xy( y - 3 ) 24a3b2- 12a3b3 = 12a3b2( 2 - b ) 4xy - 8xy2- 12xy3 = 4xy( 1 + 2y - 3y2) 16a4b5 - 20a3b2- 24a2b6 = 4a2b4 ( 4a2b - 5a + 6b2) xa + 2- 3xa + 3- 5xa = xa(x2+ 3x3+ 5) 2x(a - 1) - 3y(a - 1)= (a - 1)(2x - 3y) x(a + 9) - a - 9= (a + 9)(x - 1) - x - y + a(x + y)= (x + y)(a - 1) (a + b - 2)(a2+ 2) - a2- 2= (a2+ 2)(a + b - 3) a2x2- 8bx2+ a2y2- 8by2 = (x2 + y2)(a2- 8b) 6ax - 2by - 2bx - 12a + 6ay + 4b= (6a - 2b)(x + y - 2) a2b3- m5 + a2b3x2- m5 x2- 3a2b3x + 3m5x= (a2b3- m5)(1- 3x + x2) (x + 3)(x + 2)(x + 5) + (x + 2)(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(x + 3)2 3.Factorizar un Binomio de la forma: xn yn. 3.1Factorizarla diferencia de dos cuadrados. Por multiplicacin se obtiene: (a + b)(a - b) = a2- b2. Recprocamente, se puede escribir: a2- b2= (a + b)(a - b). Por lo tanto la diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus races cuadradas por su diferencia. Ejemplos: Factorizar las expresiones siguientes: 9x216y2= (3x)2- (4y)2= (3x + 4y)(3x 4y) (7a + 3)2- (5a - 4)2= (7a + 3 + 5a - 4)(7a + 3 5a + 4) = (12a - 1)(2a + 7). Hay casos especiales, como polinomios que pueden tomar la forma de diferencia de cuadrados ya sea agrupando debidamente sus trminos o agregndoles y restndoles un mismo trmino: 9x4 + 11x2 + 4 9x4 + 11x2 + x2+ 4 - x2 = 9x4+ 12x2+ 4 - x2 = (3x2 + 2)2 - (x)2 = (3x2 + 2 + x)(3x2 + 2 - x) En este ejemplo, se ha adicionado x2 con el fin de convertir el trinomio en cuadrado perfecto, y se ha restado el mismo trmino para que la expresin vare. 3.2Factorizar de la suma de dos cubos.Del producto notable: (a + b)(a2- ab + b2) = a3+ b3, se deduce bilateralmente: a3+ b3= (a + b)(a2- ab + b2). La suma de los cubos de dos trminos es igual a la suma de las races cbicas de esos trminos por el cuadrado imperfecto de la diferencia. Ejemplo. Factorizar: 27x3+ 8y3= (3x)3+ (2y)3= (3x + 2y)(9x2- 3x2y + 4y2) = (3x + 2y)(9x2- 6xy + 4y2). 3.3Factorizar de la diferencia de dos cubos.Similar que para la suma de dos cubos, del producto notable: (a - b)(a2+ ab + b2) = a3- b3 se obtiene inversamente: a3- b3= (a - b)(a2+ ab + b2). La diferencia de los cubos de dos trminos es igual a la diferencia de las races cbicas de esos trminos por el cuadrado imperfecto de la suma. Ejemplo. Factorizar: 125a3- b3c3= (5a)2- (bc)2= (5a - bc)(25a2+ 5abc +b2c2) = (5a - bc)(25a2+ 5abc + b2c2). 3.4Factorizar un binomio de la forma: xnyn.Sea factorizar el binomiox5+ y5. Sus divisores, de la formaxnyn solo pueden serxn+ yn , yxn- yn . Al ensayarlos sucesivamente, aplicando la propiedad del residuo de la divisin,(El residuo de la divisin de un polinomio entero enx,entre un binomio de la formax a, se obtiene sustituyendo, en el dividendo, xpor el simtrico de a.)se obtiene: P(-y) = -y5+ y5= 0. P(y) = y5+ y5= 2y5. Por lo tantox5+ y5 es divisible entre x + ypero no entrex - y . Al efectuar la divisin, se halla el otro factor del binomio propuesto, o sea: (x5+ y5) (x + y) = x4- x3y + x2y2- xy3+ y4. luego: x5+ y5 =(x + y)(x4- x3y + x2y2- xy3+ y4) . Para factorizar un binomio de la formaxn yn hay que examinar qu binomio de la formaxn yn lo divide exactamente,y multiplicar este divisor por el cociente de la divisin. Cuando el binomio esxn- yn y n es par, es preferible considerar dicho binomio como una diferencia de cuadrados. Ejemplo. Factorizar: x3+ 1 = (x + 1)(x3- x + 1). x7- y7= (x - y)(x6+ x5y + x4y2+ x3y3+ x2y4+ xy5+ y6). a4- b4= (a2+ b2)(a2- b2) = (a2+ b2)(a + b)(a - b). 4.Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio en el que dos de sus trminos son positivos y son cuadrados perfectos y el tercero corresponde al doble producto de las races cuadradas de los trminos positivos. Recuerda!Una cantidad es un cuadrado perfecto si corresponde al cuadrado de otra cantidad. Actividad 1 Cules de los siguientes trinomios corresponden a un TCP. Para aquellos que no lo sean explique las razones por las cules no lo son. 1.q2 4q + 4. 2.q2 5q 6. 3.3q2 2 6q + 2. 4.4q2 6q + 9. 5.9q4+ 6 2q + 2. Sabes identificar un TCP? SiNo Continua con la siguiente actividad Revisa nuevamente la teora o consulta el texto gua El esquema anterior te sugiere que cada que repases la identificacin de cualquiera de los trinomios o la regla para factorizarlo, te detengas y analices si debes retomar nuevamente la teora o puedes continuar avanzando! Regla para factorar un TCP: 1.Se ordena el trinomio por potencias descendentes de la letra principal. 2.Se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trminos del trinomio. 3.Secalculael doble de laprimera raz porla segunda y se compara conel trmino de la mitad del trinomio. 4.Si el resultado es igual, los dos trminos del binomio se separan por el signo del segundo trmino y el binomio que se forma se eleva al cuadrado. Ilustracin:Factorizar o descomponer en factores Ej. :c 2 10c + 25 SolucinVeamos que esta expresin es un TCP: se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trminos c 2 = c 25 = 5 Ahora se multiplican estas dos races por dos:2 c 5 = 10c , dado que este resultado coincide con el segundo trmino, es posible afirmar que el trinomio es cuadrado perfecto, por lo tanto podemos factorizarlotal y como lo propone la regla, as: c 2 10c + 25 = (c 5)2 Ej.: x 2 4x + 16 4 Solucin Usando el procedimiento descrito anteriormente, se obtiene x 2 x = 42 16= 4 2 =x 4 = 4x 2 2 2 x 2 | x| 4x + 16 = 4 | 4 \ 2 . Ej. : 1 + 2a5 a10 Solucin Primero debemos organizar la expresin para que los cuadrados perfectos sean positivos, tal y como se expresa en la identificacin 1 + 2a5 a10= (1 2a5+ a10 ) Ahora, factoricemos el TCP del parntesis 1 = 1 a10 = a 5 2 1 a5 = 2a 1 + 2a5 a10= (1 2a5+ a10 ) = (1 a5 )2 Actividad 2Descomponer en factores 1.49p6 70qp3+ 25q2 p4 2.q8+ 18q4+ 81 3.12q2+ 36 + q4 4.9 + 6p p2 5. 9q2+ 3 qp + p 1644 5.Trinomio CuadradoPerfecto por Adicin y Sustraccin Un trinomio ordenado con relacin a una letra, corresponde a un TCP por adicin y sustraccin, si al sumarle un cuadrado perfecto al segundo trmino del trinomio, ste se convierte en un TCP, por lo cual nos sugiere que inicialmente se debe de verificar si el trinomio dado es cuadrado perfecto. Ilustremos lo anterior con un ejemplo: Ejercicio Identificar si q4+ q2 p2+ p4corresponde a un TCP por adicin y sustraccin Solucin Verifiquemos primero si el trinomio es cuadrado perfecto q4= q2 p4= p2 luego2(q2 )p2 = 2q2 p2 Dado que el segundo trmino del trinomio no coincide con el resultado obtenido en el paso anterior, podemos afirmar que el trinomio no es cuadrado perfecto, pero ser posible adicionarle una cantidad al segundo trmino del trinomio para que este se convierta en un TCP y que esta cantidad corresponda a un cuadrado perfecto?, s es posible y dicha cantidad es q2 p2, por lo tanto podemos concluir que el trinomio dado es un TCP por adicin y sustraccin. Regla para factorar un TCP por adicin y sustraccinIlustremos esta regla factorizandio el trinomio dado en el ejercicio anterior Ejemplo 1Factorar q4+ q2 p2+ p4 Solucinq4+ q2 p2+ p4 +q2 p2q2 p2(paso1) (q4+ 2q2 p2+ p4 )q2 p2 (paso2) = (q2+ p2 )2 q2 p2 (paso3) = q2+ p2+ qp(q2+ p2 qp) = q2+ qp + p2 (q2 qp+p2 ) (paso4) Justificacin del procedimiento anterior Paso1. Sumamos q2 p2al segundo trmino para que eltrinomiose convierta en TCP y restamos la misma cantidad para que ste no vare. Paso2. Efectuamos suma. Paso 3. Factorizamos el TCP. Paso 4. Factorizamos la diferencia de cuadrados y ordenamos Ejemplo 2Descomponer q4 16q2 p2+ 36p4 Solucin Veamos si el trinomio dado es cuadrado perfecto q4= q2 36p4= 6p2 luego2(q2 )( p2 ) = 12q2 p2 El trinomio dado no es un TCP, pero si le adicionamos 4q2 p

al segundo trmino se nos convertira en un TCP, adems esta cantidad es un cuadrado perfecto, por lo tanto el trinomio dado es un TCP por adicin y sustraccin, ahora procedamos a factorizarlo de la misma forma que se efectu con en el ejemplo anterior q4 16q2 p2+ 36p4 +4q2 p24q2 p2 (q4 12q2 p2+ 36p4 ) 4q2 p2 = (q2 6p2 )2 4q2 p2 =(q2 6p2+ 2qp)(q2 6p2 2qp) =(q2+ 2qp 6p2 )(q2 2qp 6p2 ) Actividad 3Factorar los siguientes trinomios 1.q8+ 3q4+ 4 2.q4 3q2 p2+ p4 3.q8 4q4 p4+ 16p8 4.16q4 25q2 p2+ 9p4 5.4q4 29q2+ 25 6.Trinomios de la forma??? + p??? + Algunos trinomios de la forma ??? + p??? +pueden ser: 1.q2+ 5q + 6 2.q4 5q2 50 3.q6+ 7q3 44 4.a2 b2 ab 42 5.(5q)2 95x + 8 Cumplen las siguientes condiciones: -El primer trmino es un cuadrado perfecto en el que aparece la variable. -Elsegundotrminotienecomocoeficienteunnmerorealcualesquiera,multiplicadoporlaraz cuadrada del primer trmino -El tercer trmino es un trmino independiente Actividad 4Identifique los trinomios que correspondan a trinomios de la forma ??? + p??? +y para aquellos que no lo sean explique. 1.q2 9q + 18 2.q2+ q4 12 3.q4+ q 12 4.3q2+ 2q + 8 5.q6 19q3 42 2 Regla para factorar un trinomio de la forma : ??? + p??? + -Organice la expresin de con relacin a una letra. -El trinomio se descompone en dos factores binomios. El signo que separa las cantidades del primer factorcorresponde al signo del coeficientedel segundo trmino y el signo que separalas cantidades del segundo factor corresponde al producto de los signos de los coeficientes del segundo y del tercer trmino en el trinomio. -Laprimeracantidaddecadafactorcorrespondealarazcuadradadelprimertrminoylas segundascantidadessondosnmerosrealestalesquesuproductoseaigualaltercertrminoysu suma,silossignosqueseparanlascantidadesencadafactorsoniguales,osuresta,silossignos que separan las cantidades en cada factor son diferentes, sea igual al coeficiente del segundo trmino. Actividad 5 Factorice cada uno de los trinomios identificados en la actividad anterior. 7.Trinomios de la forma:q??? + p??? + Observaquelanicadiferenciaconrespectoaltrinomiodelaforma ??? +p??? +,esqueelprimer trminoesuncuadradoperfectoenelqueaparecelavariable,multiplicadoporunrealcualesquiera diferente de uno. Ilustremos una forma general de factorizar este tipo de trinomio resolviendo el siguiente ejercicio: EjercicioDescomponer en factores 6q2 11q + 10 Solucin 6q2+ 11q 10 = 66q + 11q 10 6 Multiplicamos y dividimos todo el trinomio por el coeficiente de q2 62 q2+ 116q 60 = 6 (6q)2+ 116q 60 Observa que el trinomio tom la forma ??? + p??? + , = 6 6q + 15(6q 4) = 6 = 32q +52(3q 2) 6 62q + 5(3q 2) = 6 por lo tanto procedemos a factorizarlo de acuerdo con la regla dada anteriormente para este tipo de trinomios Finalmente lo que se pretende es eliminar nuevamente el denominador con el producto de los factores comunes del numerador = 2q +(3q 2)

Ejercicios Resueltos Del Algebra de Baldor

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