EL1A1-ELETRICIDADE 1

OBJETIVO

O constante avanço da tecnologia mostra que a industria eletroeletrônica faz parte da área do conhecimento que mais afetam o nosso dia a dia e portanto o estudo dos conceitos básicos desta disciplina constitui a base dos conhecimentos a serem adquiridos futuramente no campo da eletrônica e suas aplicações nas diferentes áreas industriais.

BIBLIOGRAFIA:Introdução a Analise de Circuitos Elétricos,

10ª Ed. Boylestad

Evolução histórica do avanço da eletrônica.

Gráficos Temporais: (a) Longo Alcance; (b) Expandido

Foto do primeiro transistor.

(resistor de transferência)

Desenvolvido em 1947 pelos físicos

William Shockley, John Bardeen e

Walter Brattain.

A construção foi realizada sem a

necessidade de bulbos de vidro, vácuo

ou tensão para aquecer o filamento.

Unidades de Medida:

Equivalência das Unidades:

Unidades da Potencia de 10

Exemplo de notação mostrada numa calculadora cientifica:

333,3333

1:

133,33

1:

33,03

1:

EEngenharia

ECientifica

Normal

A seguir e mostrado a notação para potencias de 10 e alguns

exemplos. (exercícios a serem feitos em sala)

43

32

21

10

100001,010000

1101000

10001,01000

110100

1001,0100

11010

101,010

1101

i) Converter 20 kHz para megahertz

j) Converter 0,01 ms para microssegundos.

k) Converter 0,002000 Km para milímetros.

Tensão e Corrente

Para uma compreensão clara dos conceitos de corrente e tensão devemos

entender o átomo e sua estrutura:

O átomo mais simples é o de Hidrogênio, constituído por duas partículas, o

próton e o elétron.

Ao lado vemos um átomo de hidrogênio, onde o

núcleo do átomo é o próton com polaridade positiva

e o elétron em orbita carregado negativamente

O átomo de Helio, por exemplo tem dois

nêutrons, alem de dois elétrons e dois

prótons

CAPITULO 2

Em todos os átomos neutros, o numero de elétrons é igual ao numero de

prótons.

A massa do elétron =

A massa do próton = massa do nêutron =

2

21)/(

r

QQKrepulsaoatracaoF

Constatou-se experimentalmente que cargas de mesmo sinal se repelem, enquanto cargas

de sinais contrários se atraem.

O modulo da força de atração ou repulsão entre dois corpos carregados com cargas Q1 e

Q2 distribuídas com simetria esférica, ou se forem pontuais é dado por:

Lei de Coulomb:

Onde:

F é dado em newtons

K é uma constante: 9,0x109N.m2/C2

Q1 e Q2 cargas dadas em Coulombs

“r” é a distancia em metros, entre os

centros das duas cargas.

gx 281011,9

gx 2410672,1

CORRENTE:

Os elétrons livres são as partículas carregadas responsáveis pela corrente

elétrica num fio de cobre ou em qualquer outro solido condutor de

eletricidade.

Movimento aleatório dos elétrons em um fio de

cobre, quando não existe “pressão” (campo

elétrico) aplicada

Movimento aleatório dos elétrons livres

em uma estrutura cristalina

Agora se ligar os dois terminais de uma bateria aos de uma lâmpada de filamento,

montando assim o mais simples dos circuitos elétricos.

A bateria provoca a custa de energia química, um

acumulo de cargas positivas em um terminal e um

acumulo de cargas negativas no outro.

Fechando o circuito, os elétrons livres serão atraídos

pelo terminal positivo(pois sua carga é negativa),

adquirindo assim um movimento de arrasto no sentido

deste terminal.

A atividade química da bateria produzira uma absorção

de elétrons no terminal positivo e manterá um

fornecimento regular de elétrons no terminal negativo. O

escoamento de carga(elétrons) através do filamento da

lâmpada provocara o seu aquecimento ate que ele fique

incandescente.

Cxx

CeletronaC 19

18106,1

1042,6

1/arg

t

QI

)(

)(

)(

ssegundost

CcoulombsQ

AamperesI

Expressão para o calculo da corrente: 1 Amper = .1

.1042,6 18

seg

eletronsx

Exemplos:

1- A cada 64 ms, 0,16 C atravessam uma seção reta (como no exemplo da lâmpada).

Determine a corrente em amperes.

2- Determine o tempo o tempo necessário para que 4x1016 elétrons atravessem a

seção reta, como no exemplo 1, se a corrente for 5 mA.

Resolução de exercícios:

TENSAO:

Existe uma diferença de potencial de 1 volt (V) entre dois pontos se acontece uma troca de

energia de 1 joule (J) quando deslocamos uma carga de 1 coulomb (C) entre estes dois

pontos.

mghencialenergiapotW )(

A determinação de uma diferença de potencial ou de uma tensão envolve sempre dois

pontos de um sistema. Se modificarmos a escolha de qualquer um destes pontos, a

diferença de potencial não será mais, em geral, a mesma. E a definição da ddp é definida

de um modo geral por:

Q

WV

V

WQ

QVW

(Volt)

(Joules)

(Coulomb)

Exemplo:2.3 Encontre a diferença de potencial entre dois

pontos de um sistema elétrico, se é necessário despender 60

J de energia para deslocar uma carga de 20 C entre estes dois

pontos.

Exemplo:2.4 Determine a energia necessária para deslocar uma

carga de 50 µC através de uma diferença de potencial de 6 V.

NOTAÇÃO:

Uma notação clara é muito importante quando analisamos sistemas elétricos e

eletrônicos. Para distinguir entre fontes de tensão (baterias, geradores, etc.) e quedas de

potencial nos terminais de elementos dissipativos, utilizaremos a seguinte notação.

E: para fontes de tensão (volts).

V: para quedas de tensão (volts).

A terminologia aplicada quando estudamos este assunto causa, algumas vezes, uma certa confusão,

entre os termos encontrados com freqüência temos:

Potencial: a tensão em um ponto do circuito em relação a outro ponto do mesmo circuito escolhido

como referencia. É comum escolhermos a terra como referencia, considerando arbitrariamente o seu

potencial igual a zero.

Diferença de potencial: a diferença algébrica de potencial (ou de tensão) entre dois pontos de um

circuito.

Tensão: quando este termo aparece isolado, significa o mesmo que potencial.

Diferença de voltagem: a diferença algébrica de tensão (ou de potencial) entre dois pontos de um

sistema. Os termos queda ou aumento de tensão são auto-explicativos.

Força eletromotriz (fem): outro nome dado a tensão que uma fonte é capaz de estabelecer entre os

seus terminais. Este termo, que não é muito utilizado na literatura atual, foi criado no inicio do estudo

do eletromagnetismo, quando os conceitos que acabamos de mencionar não eram ainda bem

compreendidos.

FONTES DE CORRENTE CONTINUA (CC): A abreviatura CC utilizada engloba todos os sistemas elétricos em que o escoamento de cargas se da

sempre no mesmo sentido.

Fontes de Tensão de CC: As fontes de tensão continua podem ser divididas em três amplas

categorias:

BATERIAS(utilizam reações químicas): fonte mais comum de corrente

continua, consiste, por definição, em uma combinação de duas ou mais

células, estas podem ser classificadas por primarias ou secundarias. A

célula secundaria é recarregável ( reação química reversível)

Símbolo para uma

fonte de tensão de

corrente continua

Corte de uma célula Alcalina Células primarias

Células primarias de lítio-iodo

Bateria de chumbo - acido de 12 V

Baterias recarregáveis de níquel-cadmio Bateria de níquel -hidreto metálico (Ni-HM)

NUMERO DE AMPERES-HORAS: A capacidade das baterias de manter uma corrente fixa durante um certo intervalo de tempo é

usualmente medida em amperes hora (Ah) ou miliamperes hora (mAh).

Por exemplo uma bateria cujo numero de amperes-hora é 100 será capaz, ao menos teoricamente, de

sustentar uma corrente de 1 A durante 100h, 2 A durante 50 h, 10 A durante 10 h e assim por diante.

)(

)(

Adrenadacorrente

AhhoraamperetaxautilVida

GERADORES: O gerador de corrente continua é bastante diferente, tanto na construção quanto no modo

de operação, da bateria. Quando um torque externo faz o eixo do gerador girar com a

velocidade angular especificada pelo fabricante, aparece entre os terminais externo do

gerador uma ddp cujo valor também deve ser especificado pelo fabricante. Um gerador de

corrente continua é capaz, em geral, de apresentar uma tensão entre os terminais maior

do que grande parte das baterias, e é também capaz de gerar potencias maiores.

Gerador de corrente continua

FONTE DE ALIMENTAÇÃO : A fonte de corrente continua mais comum nos laboratórios utiliza a retificação e a filtragem,

procurando obter uma tensão continua o mais estabilizada possível. Esta fonte, em resumo converte

uma tensão variável no tempo em uma tensão de valor fixo.

Muitas fontes de alimentação utilizadas em laboratório possuem 3 terminais, fornecendo uma tensão

de saída ajustada e regulada

Fonte de alimentação de

laboratório a) Terminais disponíveis ; (b) tensão positiva em relação a terra;

(c) tensão negativa com relação `a terra; (d) tensão flutuante.

FONTES DE CORRENTE CONTINUA COM CORRENTE CONSTANTE: Uma fonte de tensão ideal mantém sempre uma tensão fixa entre seus terminais, mesmo que a

solicitação de corrente pelo sistema elétrico alimentado pela fonte varie, ex bateria de automóvel.

CONDUTORES E ISOLANTES: Denominamos condutores os materiais que permitem a passagem de uma corrente razoavelmente

intensa com a aplicação de uma tensão relativamente pequena.

Alem disso, os átomos dos materiais que são bons condutores possuem apenas um elétron na camada

mais distante do núcleo, a camada de Valencia.

Os isolantes são materiais que possuem poucos elétrons livres, sendo necessária a aplicação de uma

tensão muito elevada para que eles sejam percorridos por uma tensão mensurável.

Isoladores: (a) para painéis de controle.

(b) Para antenas.

(C) De porcelana, para linhas de transmissão.

Material Rigidez Dielétrica

Media(kV/cm)

AMPERIMETROS E VOLTIMETROS:

Ligação de um voltímetro para se obter

uma leitura positiva (+)

Ligação de um amperímetro para

se obter uma leitura positiva (+)

Volt-ohm-miliamperímetro (VOM)

analógico.

Multímetro digital.

Exemplo de um esquema elétrico de uma lanterna:

a) Lanterna; (b) Circuito elétrico; (c) Pilha

CAPITULO 3

RESISTÊNCIA

O escoamento de carga através de qualquer material encontra a oposição de uma força semelhante,

em muitos aspectos ao atrito mecânico. Esta oposição resultante das colisões entre elétrons e entre

elétrons e átomos do material, que converte energia elétrica em calor, é chamada de resistência do

material.

Unidade de medida é : Ohm

Símbolo: Ώ letra grega omega. Símbolo de resistência e sua

abreviação.

A resistência de qualquer

material de seção reta

uniforme é determinada por

4 fatores:

Composição.

Comprimento.

Área da seção reta.

Temperatura.

A

lR

onde:

R: resistência.

: resistividade (letra grega ro)

l: comprimento.

A: área da seção reta.

Resistência - Fios Circulares:

-Para dois fios de dimensões idênticas e `a mesma temperatura, como ilustrado na fig.

(a), quanto maior a resistividade, maior a resistência.

-Como indicado na fig. (b), quanto maior o comprimento de um condutor maior a

resistência.

- Na fig. (c) ilustra que mantidos constantes todos os outros parâmetros, quanto menor a

área da seção reta de um condutor, maior a sua resistência.

- E finalmente na fig. (d) vemos que para metais feitos do mesmo material e com a

mesma forma geométrica, quanto mais alta a temperatura de um condutor, maior a

resistência.

Para fios circulares, as suas grandezas tem as seguintes unidades:

1 mil quadrado 1 mil circular (CM)

Definição de mil circular (CM)

Note que a área do condutor é medida em mil circulares e não em metros quadrados ou

polegadas quadradas, como seria natural se usássemos a equação:

Área(circulo) r = raio

d = diâmetro

O mil é unidade de comprimento e se relaciona `a polegada por:

Por definição um fio com diâmetro de 1 mil possui uma área de 1 mil circular (CM), como

visto na fig. Abaixo:

(1 mil)2 1 mil quadrado

mil quadrado 1 mil quadrado =

Fazendo uma operação matemática obtêm-se

1 mil quadrado =

Para um fio com um diâmetro de N mils (onde N pode ser um numero positivo).

1 mil quadrado

mil quadrado

Como d = N, a área em mils circulares é simplesmente igual ao diâmetro em mils ao

quadrado, isto é:

Na fig. Abaixo esta demonstrado como o fato de uma área pode ser igual ao quadrado do diâmetro, para

diâmetros de 2 e 3 mils.

EXERCICIOS DE FIXAÇÃO:

Exemplo 2.1:

a) Determine a capacidade (numero de mAh ) e a vida útil em minutos para a bateria BH 500, de 0,9 V

da fig. (a) Abaixo, sabendo que a corrente de descarga é 600 mA.

b) Se a corrente de descarga for 50 mA, a que temperatura a taxa mAh da bateria da fig. (b) será 90 %

do seu valor maximo.

a) Vemos da fig. (a) que a 600 mA a capacidade é aproximadamente 450 mAh, logo utilizando a eq. Abaixo:

min4575,0600

450 h

mA

mAhVida Útil =

b) Observando a fig. (b) vemos que o maximo ocorre em aproximadamente 520 mAh, assim 90 % do valor

maximo correspondem a uma taxa de 468 mAh que ocorre exatamente acima do congelamento. Do gráfico

podemos então determinar que esta ultima taxa ocorre nas temperaturas de 1oC e 45oC.

Ex:3.1 Qual a resistência de um fio de cobre com um diâmetro de 0,020 polegadas a 20oC?

Ex:3.2 Um numero indeterminado de pés de um fio foi removido de uma caixa, conforme a fig. 3.7.

Encontre o comprimento do fio de cobre restante, sabendo que ele possui um diâmetro de 1/16 de

polegada, e uma resistência de 0,5 ohms.

Ex:3.3 Qual a resistência de uma barra de cobre, como a usada no painel de distribuição de energia de

um prédio comercial com as dimensões indicadas na fig. 3.8?

Ex:3.4 Encontre a resistência de 650 pés de fio de cobre # 8 (T = 20oC).

Ex:3.5 Qual o diâmetro, em polegadas, de um fio de cobre # 12 ?

Ex:3.6 Para o sistema da fig. 3.10, a resistência total de cada linha de transmissão não pode exceder

0,025 ohms e a corrente máxima solicitada pela carga é 95 A. Que fio deve ser usado?

Fio de cobre circular maciço

Entrada

Tamanhos mais comuns de fios e algumas de suas áreas de aplicação.

Ex:3.1

Ex:3.2

Ex:3.3

Ex:3.4

Ex:3.5

Ex:3.6

RESISTENCIA: UNIDADES METRICAS

As unidades de ρ podem ser derivadas de:

A resistividade de um material é na verdade a resistência de uma amostra como aparece na fig.

Abaixo, e ao lado tem-se uma tabela com os valores de ρ em ohms- centímetros . Observe que a

área é expressa agora em centímetros quadrados, podendo ser determinada com o uso da eq.

A =

Ex3.7

Determine a resistência de 100 pés do fio de telefone de cobre # 28 se o seu diâmetro for de

0,0126 polegadas.

Usando as unidades para fios circulares e a tabela de resistividade, acima, para a área de um fio

de # 28, encontramos.

EFEITOS DA TEMPERATURA:

A temperatura tem um efeito significativo sobre a resistência de condutores, semicondutores e isolantes.

Nos condutores: para os condutores, um aumento da temperatura resulta em um aumento no valor de

resistência. Conseqüentemente, os condutores tem um coeficiente de temperatura positivo.

Nos semicondutores: para os semicondutores, um aumento da temperatura resulta em uma diminuição

no valor de resistência. Conseqüentemente, os semicondutores tem coeficientes de temperatura

negativos.

Nos isolantes: como nos semicondutores, um aumento na temperatura resulta em uma diminuição na

resistência dos isolantes. O resultado eh um coeficiente de temperatura negativo.

Temperatura Absoluta Inferida:

Ex: 3.9 Se a resistência de um fio de cobre é 50 ohms a 20oC, qual a sua resistência a 100oC

(ponto de ebulição da água) ?

Solução:

Da eq. Acima tem-se

Ex:3.10 Se a resistência de um fio de cobre `a temperatura de congelamento da água (0oC) é 30

ohms, qual a sua resistência a -40oC?

Solução:

Da eq. Acima tem-se

Coeficiente de Temperatura da Resistência:

Quanto maior o coeficiente de temperatura da resistência de um material,mais sensível será o valor de

resistência a mudanças de temperatura.

coeficiente de temperatura da resistência

Para determinar a resistência R `a

temperatura t, utilizamos:

Foram determinados experimentalmente os

valores de α 20 para muitos materiais conforme a

tabela ao lado, e podemos escrever a eq. acima

como:

Formula que permite calcular a resistência a

partir dos parâmetros relevantes:

Ex:3.12 Para um resistor de carbono de 1KΏ cuja PPM é 2500, determine a resistência a 60oC.

PPM/o C: A sensibilidade a temperatura da resistência dos materiais é fornecida em partes por milhão por

graus Celsius, o que permite avaliar a sensibilidade do resistor a variações de temperatura.

Um valor de 1000 PPM/oC significa que uma variação de 1º C na temperatura significa numa mudança no

valor da resistência de 1000 PPM ou 1000/1000000 = 1/1000 de seu valor nominal, uma variação não

muito significativa para a maioria das aplicações.

∆R é o valor nominal do resistor a temperatura.

∆T é a temperatura a partir do valor de referencia, 20oC

SUPERCONDUTORES: são condutores de eletricidade que, para todos os fins práticos, tem resistência zero.

EFEITO COOPER:

No estado supercondutor , há um emparelhamento de eletrons, e eles se propagam em pares, ajudando-se

mutuamente a manter a velocidade mais alta.

CERAMICA:

Propriedade que os supercondutores possuem de poder trabalhar a temperatura ambiente mantendo as

propriedades da supercondutividade.

A temperatura na qual um supercondutor retorna as

características de um condutor convencional é

chamada de temperatura critica e simbolizada por Tc.

TIPOS DE RESISTORES

Resistores Fixos: O mais comum dos resistores fixos de baixa potencia é o resistor de

carbono moldado e sua estrutura básica esta mostrada a seguir:

Tamanho real

resistores fixos de carbono de diferentes potenciais.

Valores de resistência para uma dada tolerância: (a) 20% (b) 10%

Resistores variáveis: Como o próprio nome sugere, estes resistores tem uma resistência que pode

variar, fazendo-se girar um botão, parafuso ou o que for apropriado para a aplicação especifica. a

seguir é mostrado os diferentes tipos de resistores variáveis:

Resistência entre os terminais de um potenciômetro:(a) entre

os terminais externos; (b) entre todos os terminais.

a) Trimmer de 4 mm

(aprox. 5 ∕ 32 polg.

b) Elementos condutores de

plástico e cermet.

A soma das resistências entre o

cursor e os dois terminais é igual a

resistência total do potenciômetro:

Códigos de cores e valores dos resistores:

Muitos resistores, fixos e variáveis, são grandes o suficiente para ter a resistência escrita, em ohms, em

seu invólucro. Há alguns, entretanto, que são muito pequenos para terem números impressos; neste caso,

é usado um código de cores. Para os resistores de carbono 4 ou 5 cores são impressas em uma

extremidade do invólucro, como ilustrado na fig.abaixo e cada cor tem o valor numérico associado

indicado na tabela de cores abaixo:

Resistores SMD

À medida que o tempo passa, menores são os equipamentos e, naturalmente, os componentes

internos também acompanham esta diminuição do tamanho. Hoje, dentro desta filosofia, são

encontrados facilmente resistores SMD nos aparelhos eletrônicos. Estes resistores são soldados na

superfície da placa e, por serem muito pequenos, possuem números impressos no corpo,

obedecendo à mesma idéia de contagem, porém com números ao invés de cores.

As redes de resistores (vários resistores dentro de um mesmo encapsulamento) também obedecem

a esta metodologia.

Ex:3.13 Encontre o intervalo no qual deve estar o valor de um resistor que tem as faixas coloridas

abaixo para satisfazer a tolerância especificada pelo fabricante.

CONDUTANCIA: Quando calculamos o inverso da resistência de um material, obtemos uma medida da facilidade com

que o material conduz eletricidade. Esta grandeza é chamada de condutância, seu símbolo é G, e é

medida em Siemens (S) e é definida por:

Uma resistência de 1 MΏ é equivalente a uma condutância de 10-6 S. Quanto maior a condutância,

portanto, menor a resistência e maior a condutividade.

Em função das propriedades do material, a condutância é dada por:

MEDIDORES DE RESISTENCIA (OHMIMETROS): O medidor de resistência é um instrumento que tem, dentre outras as seguintes funções:

a) Medir a resistência de um elemento individual ou de elementos combinados;

b) Detectar situações de “circuito aberto”(resistência alta) e de “curto circuito” (resistência baixa).

c) Verificar continuidade das conexões de um circuito e identificar os fios em um cabo múltiplo.

Medindo a resistência de um elemento isolado.

Verificando a continuidade de uma conexão.

Identificando os fios de um cabo múltiplo.

Obs:

Jamais conecte um medidor de resistência a um circuito energizado!!

Jamais guarde um multímetro com a chave posicionada para medidas de resistência.

TERMISTORES: É um dispositivo semicondutor de dois terminais cuja resistência, como o

nome sugere, é sensível a variações de temperatura.

Gráfico das características de um termistor e o símbolo.

CÉLULA FOTOCONDUTORA: é um dispositivo semicondutor de dois terminais cuja

resistência é determinada pela intensidade da luz incidente em sua superfície. Quando a iluminação

aumenta de intensidade, cresce o numero de elétrons e átomos em níveis mais altos de energia, o

que acarreta um aumento do numero de “portadores livres” e uma correspondente queda da

resistência.

Gráfico das características de uma célula fotocondutora

e o símbolo.

CAP. 4

LEI DE OHM

Considerando a seguinte relação :

Onde qualquer processo de conversão de energia pode

ser relacionado a uma equação deste tipo. oposicao

causaEfeito

aresistenci

ddpcorrente

R

EI

Em circuitos elétricos, o efeito que desejamos estabelecer é o escoamento de cargas

ou corrente. A diferença de potencial(ddp) ou tensão entre dois pontos do circuito é a

causa( análoga a diferença de pressão no escoamento de um fluido), e a resistência

representa a oposição ao escoamento de cargas.

Eq. Da lei de Ohm

I

ER

IRE

(Amper, A)

(volts, V)

(Ohms, Ώ)

Este circuito ilustra as três grandezas envolvidas

nas equações acima, observe que a fonte de

tensão “empurra” a corrente em um sentido tal que

ela atravessa a bateria do terminal negativo para o

positivo.

Ex:4.1

Determine a corrente resultante quando conectamos uma bateria de 9V aos terminais de um

circuito cuja resistência é 2,2Ώ.

Solução:

AV

R

EI 09,4

2,2

9

Ex:4.2

Calcule a resistência de uma lâmpada de 60W se, quando aplicamos uma tensão de 120 V aos

seus terminais, ela é percorrida por uma corrente de 500 mA.

Solução:

24010500

1203 Ax

V

I

ER

Ex:4.3

Calcule a corrente que atravessa o resistor de 2 KΏ na fig. Abaixo, se a queda de tensão entre

seus terminais é 16V.

Solução:

mAx

V

R

VI 8

102

163

Ex:4.4

Calcule a ddp que deve ser aplicada ao ferro de soldar, como ilustrado a seguir, para que ele seja

percorrido por uma corrente de 1,5 A . A resistência interna do ferro é 80 ohms.

Solução:

VAIRE 120)80)(5,1(

GRAFICOS VxI (tensão x corrente): Estes gráficos também são chamados de curvas características, geralmente representaremos a

tensão no eixo vertical (ordenada) e a corrente no eixo horizontal (abscissa).

Indica o sentido da corrente.

Indica a polaridade.

I

VRcc

RR

I

x

yinclinacaom

1

Para um gráfico IxV de um resistor, quanto menor for a

resistência maior será a inclinação da reta.

)(ohmsI

VR

Esta expressão nos diz que se

escolhermos um certo ∆v(ou ∆I), o

∆I(ou ∆V) correspondente pode

ser obtido do gráfico, conforme o

gráfico ao lado:

Ex:4.5

Determine a resistência associada ao gráfico ao

lado, utilizando as equações vistas acima, e

compare os resultados.

Solução:

KmA

V

I

VR

mAIVV

cc 23

6

3;6

K

mA

V

I

VR

VV

21

2

8;6

Para:

No intervalo:

Curva característica de um diodo semicondutor

Um diodo se comporta como um resistor de

resistência muito baixa se a corrente elétrica tenta

atravessá-lo em um sentido e como um resistor de

resistência muito elevada quando a corrente tenta

atravessá-lo no sentido oposto.

POTENCIA: É uma grandeza que mede quanto trabalho pode ser realizado em um certo período de tempo, ou

seja é a rapidez com que um trabalho é executado.

)(.

1)(1s

j

seg

jouleWwatt )./_,,(

s

jsegjoulesouWwatts

t

WP

wattshp 7461

Ou pode ser resumida

pela expressão.

Expressão mais utilizada em eng. Mecânica.

A potencia consumida por um componente ou sistema elétrico pode ser calculada em termos da

corrente que o atravessa e da tensão aplicada.

mas E assim

Utilizando a definição de resistência, podemos obter para a potencia duas outras expressões:

e ou

e

Um sistema pode ceder ou consumir ou consumir potencia. Para distinguir estas duas

possibilidades, devemos observar a polaridade da tensão aplicada e o sentido da corrente que

atravessa o sistema:

a) Potencia fornecida.

b) Potencia dissipada por uma fonte.

O valor da potencia cedida ou consumida por uma bateria é dado por:

Onde E é a ddp entre os terminais da fonte

e I é a corrente que a atravessa.

Algumas vezes conhecemos a potencia e desejamos determinar a corrente ou a tensão. Através de manipulações

algébricas extremamente simples, podemos obter expressões para cada uma destas grandezas, como se segue:

EXEMPLO:4.9 Determine a corrente que percorre um resistor de 5 KΩ quando ele dissipa

20 mW.

Solução:

EFICIENCIA: De acordo com a conservação da energia:

Entrd. Energia = saída energia + energ. Perdida +

energ. Armazenada no sist.

Dividindo ambos os lados por t:

t

w

t

w

t

w armzdperdse _

se

t

wP

armzdperdse PPP /.

Definimos eficiência (ᵑ) através da

seguinte relação:

entrada

saida

potencia

potenciaEficiencia

3

3

2

2

1

1

3

2

1

e

s

e

s

e

s

P

P

P

P

P

P

%100% xP

P

e

s

%100% xW

W

e

s

EXEMPLO:4.12

Determine a energia cedida por um sistema para o qual o rendimento é igual a 0,85, se a energia

cedida ao sistema é 50 J.

Solução:

e

s

w

w es ww = (0,85)(50J)

= 42,5 J

A fig. 4.19 ilustra os componentes de uma usina geradora (de energia elétrica). Neste caso a fonte de

energia mecânica é uma queda de água. A eficiência de cada um destes subsistemas é dada por:

1

1

1

e

s

P

P

2

2

2

e

s

P

P

3

3

3

e

s

P

P

Se efetuarmos os produto dessas três eficiências,

3

3

2

2

1

1 ..e

s

e

s

e

s

P

P

P

P

P

P

Logo a eficiência total do sistema será dada por:

ntotal ...... 321

EXEMPLO:4.13 Calcule a eficiência total do sistema da fig. 4.19 sabendo que:

EXEMPLO:4.14 No caso de a eficiência η1 cair para 40%, calcule a nova eficiência total e compare

este resultado o obtido no exemplo 4.13.

Solução:

Obs.: é claro que 32,3% é muito menor que 72,7%. Assim, o limite superior para a eficiência de

um sistema de vários estágios (sistema em cascata) é dado pelo rendimento do subsistema

menos eficiente.

ENERGIA: A potencia de um sistema é, em geral, uma característica intrínseca que só depende de sua

constituição interna. Portanto energia é a potencia decorrente da utilização de um sistema num

certo intervalo de tempo. Portanto quanto maior o intervalo de tempo , maior será o trabalho

realizado e mais energia será consumida pelo sistema.

)()()( hxTempoWpotenciaWhEnergia

1000

)()()(

hxTempowpotenciaKwhEnergia

EXEMPLO: 4.15

Suponha que a posição dos ponteiros em um medidor seja a ilustrada na fig. Abaixo. Se o resultado de

uma leitura anterior foi de 4650 kWh, calcule a conta a ser paga pelo consumo de energia entre as duas

leituras, se cada kWh custa 9 centavos.

EXEMPLO:4.16

Calcule a quantidade de energia (em quilowatts-hora) necessária para manter uma lâmpada de

filamento acessa continuamente durante um ano.

Solução:

EXEMPLO:4.17

Durante quanto tempo um aparelho de tv de 205 W deve ficar ligado para consumir 4 Kwh ?

Soluçao:

EXEMPLO:4.18

Qual é o custo da utilização de um motor de 5 HP durante 2 horas se a tarifa é de 9 centavos por kWh?

Solução:

W(kWh)

Custo

CAPITULO 5

CIRCUITOS EM SERIE

Atualmente dois tipos de corrente elétrica são utilizados nos equipamentos elétricos e eletrônicos: a

corrente continua (cc) ,cuja intensidade e sentido não variam com o tempo, e a corrente alternada (ca),

cuja intensidade e sentido mudam constantemente.

Por convenção como discutido anteriormente, o sentido da corrente convencional, indicado na fig.

Acima é oposto ao movimento dos elétrons (I elétron). Alem disso, o fato de que o escoamento de

carga é uniforme nos leva a concluir que a corrente continua I é a mesma em todos os pontos do

circuito. Observamos que ha um aumento de potencial ao atravessarmos a bateria (de – para +), e

uma queda de potencial ao atravessarmos o resistor (de + para -).

Sentido convencional da

corrente para circuitos de

cc de uma fonte.

CIRCUITOS EM SERIE:

Um circuito consiste em um numero qualquer de elementos unidos por seus terminais, por pelo

menos um caminho fechado através do qual a carga possa fluir.

O circuito possui 3 elementos, conectados em 3 pontos(a,b,c), de

modo a constituir um caminho fechado para a corrente I.

Dois elementos estão em serie se:

1. possuem somente um terminal em comum (isto é, um terminal de um esta conectado

somente a um terminal do outro.)

2. O ponto comum entre os dois elementos não esta conectado a outro elemento

percorrido por corrente.

Quando dois ou mais elementos de um circuito estão ligados em serie, a corrente é a mesma

em todos eles.

A resistência total de um circuito em serie é a soma das resistências do circuito.

Nt RRRRR ......321

t

sR

EI

NN IRVIRVIRVIRV ;;.........;; 332211

1

2

11

2

111R

VRIIVP EIPdel

Ndel PPPPP ........321

EXEMPLO:5.1

a) Encontre a resistência total para o circuito da fig. 5.7.

b) Calcule a corrente fornecida pela fonte , IE.

c) Determine as tensões V1, V2 e V3.

d) Calcule a potencia dissipada por R1, R2 e R3.

e) Determine a potencia fornecida pela fonte e compare-a `a soma das potencias calculadas no

item (d).

Solução:

EXEMPLO:5.2

Determine Rt, I e V2 para o circuito da fig. 5.8

Solução:

Note o sentido da corrente, estabelecido pela

bateria, e a polaridade da ddp entre os terminais

de R2, determinada pelo sentido da corrente.

Como R1 = R2 = R4

EXEMPLO:5.3

Dados Rt e I, calcule R1 e E para o circuito da fig. 5.9

Solução:

FONTES DE TENSÃO EM SERIE

Duas ou mais fontes de tensão podem ser ligadas em serie, como mostrada na fig. Abaixo, para aumentar ou

diminuir a tensão total aplicada a um sistema. A tensão resultante é determinada somando-se as tensões

das fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridade oposta. A polaridade resultante é aquela

para a qual a soma é maior.

LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSOES

A lei de kirchhoff para tensões (LKT) afirma que a soma algébrica das variações de potencial em

uma malha, fechada é nula.

Uma malha fechada é qualquer caminho continuo que deixa um ponto em um sentido e retorna ao mesmo

ponto vindo do sentido oposto, sem deixar o circuito.

O circuito abcda é uma malha fechada. Por convenção o sentido da corrente

é horário.

A tensão aplicada a um circuito em serie é igual a soma das quedas de

tensão nos elementos em serie.

A aplicação da lei de kirchhoff para tensões não precisa seguir um

caminho que inclua elementos percorridos por corrente.

EXEMPLO:5.4

Determine as tensões desconhecidas nos circuitos da fig. Abaixo:

Solução:

No exemplo, se escolhemos o sentido horário, iremos descobrir que existem quedas de tensão nos

resistores R1 e R2 e também na fonte E2. Todas essas diferenças de potencial deverão portanto ser

tomadas com sinal negativo ao aplicarmos a LKT. Portanto no circuito (a):

Na fig. (b) a tensão desconhecida não esta entre os terminais de um elemento percorrido por corrente,

entretanto como dito anteriormente, a LKT não se aplica apenas a elementos percorridos por corrente.

Neste caso, há duas formas de possíveis de calcular a corrente desconhecida, percorrendo a malha

da esquerda(que envolve a fonte E e o resistor R1) no sentido horário temos:

Percorrendo a malha da

direita(que envolve os

resistores R2 e R3) no

sentido horário, temos:

EXEMPLO:5.5

Encontre V1 e V2 para o circuito

abaixo:

Solução:

Para a malha 1, começando no ponto a e escolhendo o sentido

horário:

Para a malha 2, começando no ponto a e escolhendo o sentido

horário:

EXEMPLO:5.6

Usando a lei de kirchhoff para tensões, determine as tensões desconhecidas para os circuitos abaixo:

Solução:

Observe que os elementos indicados por retângulos nas fig. Acima podem ser fontes, resistores ou uma

combinação dos dois tipos de componentes, aplicando a LKT ao circuito (a):

No circuito (b), a polaridade da tensão desconhecida não foi indicada. Neste caso iremos supor uma

polaridade qualquer e se o resultado for positivo indica que a escolha estava correta, agora iremos

aplicar a LKT no sentido horário:

Como o resultado deu negativo,

sabemos que a deve ser negativo

e b positivo, mas o valor

encontrado esta correto.

EXEMPLO:5.7

Para o circuito da fig. Abaixo:

a) Encontre RT

b) Encontre I

c) Encontre V1 e V2

d) Encontre a potencia dissipada pelos

resistores de 4 Ω e 6 Ω.

e) Encontre a potencia fornecida pela

bateria e compare-a a dissipada pelos

resistores de 4 Ω e 6 Ω combinados.

f) Verifique a LKT (escolha o sentido

horario).

EXEMPLO:5.8

Para o circuito da fig. abaixo :

a) Determine V2 usando a LKT.

b) Determine I.

c) Determine R1 e R3.

Solução:

INTERCAMBIANDO ELEMENTOS EM SERIE

Os elementos de circuitos em serie podem ser intercambiados sem que a resistência total, a corrente

que atravessa o circuito e a potencia consumida pelos diferentes elementos sejam afetadas.

O circuito (a) pode ser

substituído pelo circuito (b)

sem que os valores I e V2

sejam afetados.

a b

EXEMPLO:5.9

Determine I e a tensão entre os

terminais do resistor de 7Ω no

circuito abaixo:

Solução:

O circuito é substituído pelo circuito:

REGRA DOS DIVISORES DE TENSÃO

Nos circuitos em serie, a tensão entre os terminais dos elementos resistivos se divide na mesma

proporção que os valores de resistência.

No circuito (a) observamos que o

resistor de maior valor captura a maior

parte da tensão, vemos que as razoes

entre as tensões e os resistores são

as mesmas

Fig. (a) Como a tensão se divide entre

elementos em serie.

Fig.(b) O elemento resistivo maior ira

capturar a maior parte da tensão aplicada.

A razão entre os valores das resistências

determina a divisão da tensão em um circuito cc em

serie.

Resultados que confirmam as conclusões anteriores.

Na discussão anterior a corrente era determinada antes das tensões

no circuito. Há entretanto, um método, conhecido como regra dos

divisores de tensão, que permite determinar as tensões sem que seja

necessário calcular a corrente. A regra pode ser deduzida analisando o

circuito ao lado.

Aplicando a definição de resistência:

Note que o formato para V1 e V2 é

Em palavras, a regra dos divisores de tensão determina que:

A tensão entre os terminais de um resistor em um circuito em serie é igual ao valor

desse resistor vezes a tensão total aplicada aos elementos em serie do circuito dividida

pela resistência total dos elementos em serie.

EXEMPLO:5.10

Determine a tensão V1 para o circuito da fig. Ao lado.

Solução:

Da definição tem-se

EXEMPLO:5.11

Usando a regra dos divisores de tensão,

determine as tensões V1 e V3 para o circuito

em serie abaixo:

Solução:

EXEMPLO:5.12

Determine a tensão V’ para o circuito em serie

anterior:

Solução:

Também não é necessário que a tensão E seja a tensão da fonte do circuito. Por exemplo:

Se V é a tensão total entre os terminais de um conjunto de elementos, ligados em serie como

mostrado no circuito abaixo, então.

EXEMPLO:5.10

Determine os valores de R1 e R2 no divisor de

tensão da fig. Abaixo para que VR1 = 4VR2.

Solução:

A resistência total é dada por

FONTES DE TENSÃO E TERRA

NOTAÇÃO

Exceto em uns poucos casos especiais, os sistemas elétricos e eletrônicos são aterrados por razoes

de segurança e para fins de referencia. O símbolo para ligação a terra é:

Três formas de mostrar o mesmo circuito em serie de corrente continua.

Substituindo a notação especial para uma

fonte de tensão cc pelo símbolo padrão.

Substituindo a notação especial para uma fonte de tensão cc

negativa pela notação padrão.

Notação de Duplo Índice Inferior

O fato de que a tensão é uma grandeza que existe entre dois

pontos resultou em uma notação de duplo índice inferior que

define o primeiro índice inferior como correspondendo ao ponto

de maior potencial.

Em resumo:

A notação de duplo índice inferior Vab especifica o ponto ‘a’

como de maior potencial. Se este não for o caso, um sinal

negativo deve ser associado ao valor de Vab.

Em outras palavras

A tensão Vab é a tensão no ponto ‘a’ em relação ao ponto ‘b’

Notação de Índice Inferior Único

Se o ponto ‘b’ da notação for especificado como o potencial

da terra(zero volts), pode ser usada uma notação de subscrito

inferior que estabelece a tensão em um ponto em relação ao

terra.

No circuito ao lado vemos que Va é a tensão entre o ponto ‘a’

e o terra, neste caso ela é 10V, pois é medida diretamente

entre os terminais da fonte de tensão E. A tensão Vb é a

tensão entre o ponto ‘b’ e a terra. Como o resistor de 4Ω esta

ligado entre esses mesmos pontos, Vb= 4V.

Em resumo:

A notação de índice inferior único Va especifica a tensão

no ponto ‘a’ em relação ao terra (zero volt). Se a tensão é

menor que zero, um sinal negativo deve ser associado ao

valor de Va.

Comentários gerais

Uma relação particularmente útil, que terá varias aplicações na analise de circuitos eletrônicos, se

adotarmos a notação mostrada, a seguinte relação será sempre valida:

Em outras palavras, se a tensão nos pontos ‘a’ e ‘b’ em relação ao terra for conhecida, a tensão Vab

poderá ser determinada usando a equação acima.

Por exemplo no circuito anterior:

EXEMPLO:5.14

Encontre a tensão Vab para as condições da

fig. Abaixo:

Solução:

Aplicando a eq.:

EXEMPLO:5.15

Encontre a tensão Va para a configuração da fig.

Abaixo:

Solução:

Aplicando a eq.:

EXEMPLO:5.16

Encontre a tensão Vab para a

configuração da fig. abaixo

Solução:

Influencia de tensões positivas e negativas sobre a

queda de tensão total.

EXEMPLO:5.17

Encontre as tensões Vb, Vc e Vac no circuito da

fig. Abaixo.

Solução: Começando no potencial da terra(zero volt), subimos 10V

para chegar ao ponto ‘a’ e em seguida passamos por uma

queda de potencial de 4V para chegar ao ponto ‘b’. O

resultado é que o medidor ira ler.

Se continuarmos ate o ponto ‘c’ haverá uma queda adicional

de 20V, o que nos dara:

A tensão Vac pode ser obtida usando a equação geral

ou simplesmente observando a fig. Acima.

EXEMPLO:5.18

Determine Vab, Vcb e Vc para o circuito da fig.

Abaixo:

Solução: Ha duas maneiras de se resolver este problema. O primeiro

é fazer um desenho como na fig. Abaixo e notar que existe

uma queda de 54V entre os terminais dos resistores em

serie R1 e R2.

A corrente pode ser determinada usando a definição de

resistência e o valor da queda de tensão:

O outro modo é redesenhar o circuito da forma indicada

na fig. Abaixo para estabelecer claramente o fato de que

as tensões de E1 e E2 devem ser somadas e resolver o

circuito em serie resultante.

EXEMPLO:5.19

Usando a regra dos divisores de tensão, determinar as

tensões V1 e V2 da fig. Ao lado.

Solução:

Redesenhando o circuito com o símbolo da bateria,

obtemos o circuito da fig. Abaixo, aplicando a regra dos

divisores de tensão.

EXEMPLO:5.20

Para o circuito da fig. Abaixo:

a) Calcule Vab.

b) Calcule Vb.

c) Calcule Vc.

Soluções: a) Regra dos divisores de tensão.

b) Regra dos divisores de tensão.

ou

c) VterradapotencialVc 0

EXERCICIOS:

1- Calcule a resistência total (ou equivalente) e a corrente I para cada um dos circuitos abaixo:

3- Calcule a tensão aplicada E necessária para que a corrente em cada um dos circuitos da fig.

Abaixo seja a indicada.

5- Determine o sentido e a intensidade de corrente I nos dois circuitos da fig. Abaixo. Antes de calcular a

corrente, modifique cada um dos circuitos, para que contenha somente uma bateria.

7- Nos circuitos da fig. Abaixo calcule o valor e a polaridade de Vab. Cada uma das “caixas” pode conter

uma carga, uma fonte de potencia ou uma combinação das duas.

15- Utilizando a regra dos divisores de tensão, encontre Vab(incluindo a polaridade) nos circuitos da

fig. Abaixo.

25- Determine o valor e o sentido da corrente I,

assim como o valor e a polaridade da tensão V, nos

circuitos da fig. Abaixo.

27- No circuito da fig. Abaixo, determine as

tensões:

a) Va, Vb, Vc, Vd e Ve.

b) Vab, Vdc e Vcb.

c) Vac, Vdb.

Exercícios complementares do capitulo 4.

CAPITULO 6

CIRCUITOS COM ELEMENTOS EM PARALELO

Dois elementos, ramos ou circuitos estão ligados em paralelo

quando possuem dois pontos em comum, na fig. Ao lado os

terminais ‘a’ e ‘b’ são comuns aos elementos 1 e 2, estes

últimos estão ligados em paralelo.

Varias aparências diferentes

para uma configuração com

três elementos em paralelo.

Circuito no qual 1 e 2 estão em

paralelo e 3 esta em serie com a

combinação em paralelo de 1 e 2.

Circuito onde 1 e 2 estão em serie e 3

esta em paralelo com a combinação de

1 e 2.

CONDUTANCIA E RESISTENCIA TOTAIS

Vimos anteriormente nos circuitos em serie a resistência total é a soma das resistências individuais.

No caso de elementos em paralelo, a condutância total é a soma das condutâncias individuais.

GR

RG

1

1

EXEMPLO:6.1

Determine a condutância e a resistência total para o circuito em paralelo da fig. Abaixo

EXEMPLO:6.2

Qual o efeito que um resistor adicional de 10Ω em paralelo teria sobre a condutância e a resistência

total do circuito da fig. Do exemplo 6.1.

Solução:6.1

Solução:6.2

EXEMPLO:6.3

Determine a resistência equivalente para o circuito da fig. Abaixo.

Solução:

Todos estes exemplo ilustram uma característica interessante de qualquer conjunto de resistores

em paralelo:

A resistência total(ou equivalente) de um conjunto de resistores em paralelo é sempre menor

que a do resistor de menor resistência do conjunto.

Alem disso, quanto maior a diferença entre os valores de dois resistores em paralelo, mais o valor da

resistência equivalente será próximo do da menor resistência.

EXEMPLO:6.4

a) Calcule a resistência equivalente

para o circuito da fig.6.9

Solução:

a) O circuito pode ser redesenhado:

b) Idem para o circuito da fig. 6.10

Solução:

b) Novamente redesenhando o circuito:

No caso de termos dois resistores em paralelo, temos:

No caso de termos três resistores em paralelo, temos:

EXEMPLO:6.5

Repita o exemplo 6.1 utilizando as definições acima.

Solução:

EXEMPLO:6.6

Repita o exemplo 6.2 utilizando as definições acima.

Solução:

Aplicando duas vezes a eq.:

EXEMPLO:6.7

Calcule a resistência total do circuito em paralelo da fig. 6.13

Solução:

Redesenhamos novamente o circuito de uma forma mais conveniente:

EXEMPLO:6.8

Determine o valor de R2, na fig. 6.15 de modo

que a resistência equivalente do circuito seja 9

KΩ.

Solução:

EXEMPLO:6.9

Determine os valores de R1, R2 e R3 no circuito da

fig. Abaixo, sabendo que R2=2R1, R3=2R2 e que a

resistência equivalente deste circuito é 16 KΩ.

Solução:

como

e

obtemos

Quando temos resistores em paralelo, o valor da resistência equivalente sempre diminui quando

acrescentamos um resistor em paralelo ao circuito.

Os exemplos a seguir ilustram esta situação.

EXEMPLO:6.10

a) Determine a resistência equivalente para

o circuito da fig.6.17

b) Se adicionarmos a este circuito um

resistor idêntico aos anteriores como

vemos na fig. 6.18.

c) Se adicionarmos como ilustra a fig. 6.19,

um resistor de resistência muito alta ao

circuito 6.17, que efeito isto terá sobre a

resistência total do circuito?

d) Qual o efeito sobre a resistência

equivalente, se adicionarmos ao circuito

da fig. 6.17 um resistor de resistência

muito pequena em paralelo como vemos

na fig. 6.20?

Soluções:

CIRCUITOS EM PARALELO

)( 21

21

RR

RRRT

T

FR

EI

22

22

11

11

21

R

E

R

VI

R

E

R

VI

e

EVV

Todos os elementos de um circuito que

estão em paralelo estão submetidos `a

mesma diferença de potencial.

Concluindo:

Para circuitos em paralelo com apenas uma

fonte, a corrente que atravessa esta fonte é igual

a soma das correntes em cada um dos ramos do

circuito.

A potencia dissipada pelos resistores e a potencia fornecida pela bateria podem ser obtidas de:

EXEMPLO:6.11

Para o circuito com resistores em paralelo da fig.

6.22

a) Calcule RT.

b) Determine Is

c) Calcule I1 e I2, verificando que Is=I1+I2.

d) Calcule a potencia dissipada por cada uma

das cargas resistivas.

e) Calcule a potencia dissipada pelos resistores.

Soluções:

EXEMPLO:6.12

Considerando os dados fornecidos na fig. 6.23

a) Determine R3

b) Calcule E

c) Obtenha Fs

d) Determine I2

e) Calcule P2

Soluções:

LEI DE KIRCHHOFF PARA A CORRENTE

Alei de kirchhoff para a tensão nos da uma relação muito importante entre os valores da tensão ao longo

de uma malha fechada de um circuito. Vamos considerar agora a lei de kirchhoff para a corrente, que

fornece uma relação igualmente importante entre as correntes que chegam a qualquer nó.

A lei de kirchhoff para a corrente(LKC) afirma que a soma algébrica das correntes que entram e

saem de uma região, sistema ou nó é igual a zero.

Em forma de equação, temos:

saementram II

saementram II

saementram II

EXEMPLO:6.13

Determine as correntes I3 e I4 no circuito da

fig. 6.26, utilizando a LKC

Solução:

Trabalhamos primeiro o nó ‘a’, pois neste

caso I3 é a única incógnita, e depois

determinamos as correntes em ‘b’

EXEMPLO:6.14

Determine I1, I3, I4 e I5 da fig. Abaixo:

Solução:

saementram II

EXEMPLO:6.15

Utilizando a LKC, determine as correntes I3 e

I5 na fig. abaixo

Solução:

EXEMPLO:6.16

Encontre o valor e o sentido das correntes I3, I4, I6 e I7

no circuito da fig. Abaixo. Embora os elementos não

estejam em serie nem em paralelo, podemos aplicar a

LKC para determinar todas as correntes

desconhecidas.

Solução:

A lei de kirchhoff para a corrente pode ser aplicada mesmo quando as conexões internas de

um circuito não são conhecidas.

No exemplo a seguir, conhecemos todas as correntes no circuito integrado, exceto o de I1, tratando o

sistema como se fosse um único nó, podemos aplicar a LKC, e fazemos uma tabela para facilitar os

nossos cálculos:

Comparando as correntes

que entram e que saem

determinamos I1

REGRA DO DIVISOR DE CORRENTE

A regra do divisor de corrente (RDC) nos diz, como sugere o nome, como uma corrente que entra em um

conjunto de elementos em paralelo se divide entre estes elementos.

No caso de dois elementos em paralelo com resistências iguais, a corrente se distribui entre os

dois elementos em partes iguais.

Se os elementos em paralelo tiverem resistências diferentes, o elemento de menor resistência será

percorrido pela maior fração de corrente.

A razão entre os valores das correntes nos dois ramos será inversamente proporcional a razão

entre as suas resistências.

Ilustração da forma como a corrente se

divide entre resistências diferentes. Dedução da regra do divisor de corrente:

E assim por diante.

No caso particular de dois resistores em paralelo:

Note a diferença entre os índices

Note a diferença entre os índices

EXEMPLO:6.17

Determine a corrente I2 no circuito da fig. 6.34 utilizando a regra do divisor de corrente

Solução:

Fig.6.34

EXEMPLO:6.18

Calcule o valor da corrente I1 no circuito da fig. 6.35

Fig.6.35

Solução:

Existem duas maneiras de resolver este problema, a

primeira utiliza:

A segunda opção:

EXEMPLO:6.19

Determine o valor das correntes I1, I2 e I3 para o

circuito da fig. Abaixo:

Solução:

Determinando I1

Aplicando a LKC

Ou utilizando a regra do divisor de corrente

E como a corrente total que entra tem de ser igual

a corrente total que sai na configuração em

paralelo.

EXEMPLO:6.20

Determine o valor de R1 de modo a efetuar a divisão de corrente ilustrada na fig. Abaixo:

Solução: Aplicando a RDC

Substituindo os valores numéricos:

Uma outra solução alternativa seria:

Obs. Vimos pelos resultados obtidos nos exemplos anteriores que:

A corrente procura o caminho de menor resistência.

Para dois resistores em paralelo, a maior corrente passara através do resistor de menor resistência.

Uma corrente que entre em uma configuração de vários resistores em paralelo ficara dividida entre

estes resistores na razão inversa do valor de suas resistências, como ilustrado a seguir:

FONTES DE TENSAO EM PARALELO

Devemos conectar duas fontes de tensão em

paralelo, somente se as voltagens nos seus

terminais forem idênticas.

O intuito de colocar duas fontes ou mais em

paralelo é a obtenção de uma intensidade de

corrente maior.

Se duas baterias com forcas eletromotrizes

diferentes forem ligadas em paralelo, acabarão

ambas descarregadas ou seriamente danificadas,

pois a tendência da bateria de fem mais elevada é

cair rapidamente ate igualar-se a da fonte de tensão

mais baixa

A alta corrente resultante excede em muito as

correntes usuais de operação da bateria de fem

mais elevada.

CIRCUITOS ABERTOS E CURTOS-CIRCUITOS

Em um circuito aberto podemos ter uma ddp qualquer entre seus terminais, mas o valor da

corrente é sempre zero.

A corrente que percorre um curto-circuito tem seu valor determinado pelo seu sistema a que o

curto esta conectado, mas a ddp entre seus terminais é sempre nula.

EXEMPLO:6.21

Determine a tensão Vab no circuito da fig.

Abaixo:

Solução:

Como o circuito esta aberto, a corrente I deve ser

nula, logo a queda de tensão entre os terminais

dos resistores também é nula

0)0( RIRV

VEVab 20

Aplicando a LKC

EXEMPLO:6.22

Determine para o circuito da fig. Abaixo, as tensões

Vab e Vcd

Solução:

Como o circuito esta aberto, a corrente que o percorre

é zero, sendo assim a ddp é nula entre os terminais

dos resistores. Neste caso podemos substituir ambos

os resistores por curtos-circuitos:

Logo vemos que:

Para obter Vcd é necessário utilizar

a LKT

EXEMPLO:6.23

Determine, para cada um dos circuitos da fig. 6.47, as tensões e as correntes desconhecidas.

Solução:

No caso da fig.(a), a corrente sempre procura o

caminho de menor resistência. No caso da fig. (b) o circuito faz com que a

corrente seja zero, logo a ddp entre os terminais

dos resistores é nula.

EXEMPLO:6.24

Calcule a corrente I e a tensão V no circuito

abaixo:

EXEMPLO:6.25

Determine V e I no circuito abaixo, se o

resistor R2 for substituído por um curto.

Solução: Colocamos um curto-circuito em paralelo

(jumper) com o resistor de 10 KΩ, e obtemos o circuito

abaixo:

Solução: com R2 curto -circuitado, a corrente

sempre procura o caminho de menor resistência

logo, não existe escoamento por R3 e portanto

não existe ddp entre os terminais deste resistor.

PROBLEMAS:

1) Para cada uma das configurações da fig. 6.61, determine quais dos elementos estão em serie e

quais estão em paralelo.

2) Ache a condutância e a resistência totais para os circuitos da fig. 6.63

5) Na fig. 6.65 fornecemos a resistência total de cada circuito. Calcule os valores da resistência

desconhecida.

9) No circuito da fig. 6.69:

a) Calcule a condutância e a resistência totais.

b) Determine IF a corrente em cada um dos ramos em paralelo.

c) Verifique que a soma das correntes nos ramos é igual a corrente entregue pela fonte.

d) Calcule a potencia dissipada em cada resistor e verifique se a potencia entregue pela fonte é igual

a potencia dissipada total.

e) Se você dispõe de resistores de 0,5 W; 1 W; 2 W; e 50 W, que valor mínimo escolheria para cada

resistor?

13) Determine as correntes I1 e IF nos circuitos: 18) Calcule todas as correntes desconhecidas

(modulo e sentido) nos circuitos abaixo:

21) Calcule as quantidades desconhecidas nos circuitos abaixo:

23) Utilizando a regra do divisor de corrente, calcule as correntes desconhecidas no circuitos

abaixo:

CAPITULO 7

CIRCUITOS EM SERIE-PARALELO

Como o próprio nome diz, os circuitos em serie - paralelo são aqueles que contem componentes ligados

em serie e paralelo

Para se obter uma habilidade na analise de circuitos serie-paralelo devemos procurar adquirir a maior

experiência possível, através da pratica constante.

Método de Redução e Retorno: No caso de muitos circuitos em serie-paralelo com uma única fonte, o

método mais simples consiste em reduzir todo o circuito a um único componente equivalente ligado a

fonte, determinar a corrente fornecida pela fonte e repetir o processo no sentido inverso ate chegar ao

valor da grandeza desconhecida. Por exemplo na fig.7.1(a), desejamos obter V4 como não existe uma

ligação simples entre R4 e a bateria..

Reduzimos o circuito a uma

configuração mais simples como

em (c) e calculamos a corrente e

iniciamos o sentido inverso como

em (d)

Método do Diagrama de Blocos

Exemplo:7.1 tendo um circuito da forma de blocos e substituindo por resistores os blocos teríamos.

Aplicando a regra dos

divisores de corrente para

determinar as correntes em

“B” e “C”

Ou aplicando a LCK:

EXEMPLO:7.2

Se os blocos do ex.7.1 forem substituídos por um circuito como mostrado a seguir:

Fazendo a analise por regiões:

B e C ainda estão em paralelo:

Retornando ao circuito original

Ou aplicando a LTK:

EXEMPLO:7.4

Calcule para o circuito da fig. 7.10, a corrente

I4 e a tensão V2.

EXEMPLO:7.6

a) Calcule as tensões V1; V3 e Vab no circuito da

fig.7.16

b) Calcule a corrente fornecida pela fonte.

EXEMPLO:7.7

Determine no circuito da fig. 7.18 as tensões V1

e V2 e a corrente I.

EXEMPLO:7.9

Calcule as correntes e tensões indicadas no circuito da fig. 7.22

CIRCUITOS EM CASCATA

No circuito da fig. Abaixo vemos um circuito em cascata de três seções, devemos calcular a

resistência total do circuito e a corrente fornecida pela fonte, em seguida repita os passos no sentido

inverso ate obter a corrente ou tensão desejada, vamos aplicar este método para determinar V6.

FONTE COM DIVISOR DE TENSÃO (COM CARGA E SEM CARGA)

O termo carga significa qualquer elemento, circuito ou sistema que consome corrente da fonte, a ligação

de uma carga pode afetar a tensão de saída da fonte. Utilizando um circuito divisor de tensão como o

mostrado na fig. Abaixo, podemos ter varias tensões de saída a partir de uma única fonte, nesta figura

esta mostrado uma situação de ausência de carga.

EXEMPLO:7.11

Determine R1, R2, e R3 para o divisor de tensão da fig.7.36.

Podemos utilizar resistores de 2w neste circuito?

LIGACAO DE UMA CARGA A UM POTENCIÔMETRO

EXEMPLO:7.12

Calcule as tensões V1 e V2 para o potenciômetro com carga como ilustrado na fig. Abaixo:

TRABALHO PARA NOTA:

Em função dos conceitos adquiridos relativos aos circuitos em serie, paralelo e serie-paralelo,

desenvolva um trabalho para projetar um Amperímetro, um Voltímetro e um Ohmimetro,

utilizando o galvanômetro de D’arsonval (Faça uma pesquisa sobre a origem deste aparelho).

Este trabalho deve ser realizado em dupla e será entregue no dia 28 de maio de 2009 e devera ser

complementado com exemplos numéricos para cada aparelho.

PROBLEMAS

PROB: 01

Nos circuitos a seguir, quais os elementos que estão em serie, e quais os que estão em paralelo? Em

outras palavras quais os elementos que são percorridos pela mesma corrente(serie) e quais os que

estão submetidos a mesma ddp(paralelo). Restrinja a analise a elementos isolados, não incluindo

nenhuma combinação de elementos.

PROB:02

Considere o circuito da fig. Abaixo.

a) Temos I = I3 = I6? Justifique a sua resposta.

b) Se I = 5A e I1 = 2A, calcule I2.

c) A igualdade I1 + I2 = I4 + I3 é verdadeira? Justifique.

d) Se V1 = 6V e E = 10V, calcule V2.

e) Se R1 = 3Ω, R2 = 2Ω, R3 = 4Ω e R4 = 1Ω, calcule a resistência total.

f) Se as resistências dos resistores são as fornecidas no item ‘e’ e, E = 10V, qual o valor de I?

g) Utilizando os valores dados em ‘e’ e ‘f’, calcule a potencia fornecida pela bateria E e dissipada

pelos resistores R1 e R2.

PROB:03

Obtenha, do circuito abaixo.

a) R1.

b) Ifonte, I1 e I2.

c) Va.

PROB:04

Determine no circuito abaixo:

a) A corrente I1.

b) As correntes I2 e I3.

c) As tensões Va e Vb.

PROB:05

Dada a fonte com divisor de tensão da fig. Abaixo:

a) Calcule a tensão da fonte E.

b) Determine os resistores de carga Rc1 e Rc2.

c) Determine os resistores do divisor de tensão

R1, e R2 e R3.

CAPITULO 8

METODOS DE ANALISE E TOPICOS SELECIONADOS (CORRENTE CONTINUA)

Foram desenvolvidos métodos de analise que nos permitem de maneira sistemática, resolver um circuito

com qualquer numero de fontes em qualquer arranjo.

Os procedimentos que serão discutidos neste capitulo são a analise das correntes nos ramos, o

método das malhas e o método dos nós.

Qualquer deles pode ser aplicado a um circuito dado, o “melhor” método não pode ser definido por

regras, somente adquirindo-se uma compreensão clara e bem fundamentada das vantagens relativas a

cada um.

FONTES DE CORRENTE:

Freqüentemente chamada de dual da fonte de tensão. Uma bateria fornece uma tensão fixa, com a

corrente por ela fornecida podendo variar de acordo com a carga, enquanto a fonte de corrente fornece

uma corrente fixa, com a tensão de saída podendo variar com a carga.

=

Fonte de Corrente

(a) Símbolo do Transistor (b) Circuito Equivalente

O interesse por fontes de corrente se deve a

dispositivos semicondutores como o transistor

Nas figuras acima são representadas fontes ideais, significando perfeitas ou seja, que não apresentam

perdas internas. Em (a) vemos que a tensão de saída é E volts, independentemente da corrente I. O

sentido e a intensidade de I irão ser determinados pelo circuito ao qual a fonte esta conectada. Em (b)

vemos uma fonte de corrente e vemos que a intensidade da corrente fornecida é independente da tensão

entre os terminais da fonte. A polaridade e a intensidade da tensão da fonte VF serão determinadas pelo

circuito ao qual a fonte esta conectada.

Podemos concluir:

Uma fonte de corrente determina a corrente no ramo onde esta situada.

A intensidade e a polaridade da tensão entre os terminais de uma fonte de corrente são uma

função do circuito do qual ela faz parte.

EXEMPLO:8.1 Encontre a tensão da fonte VF e

a corrente I1 para o circuito da fig. Ao lado.

Solução:

EXEMPLO: 8.2 Encontre a tensão VF e as

correntes e I1 e I2 para o circuito da fig. Ao lado.

Solução:

Aplicando a LKC:

CONVERSÕES DE FONTES A fonte de corrente anteriormente é chamada de fonte ideal devido a resistência interna. Na realidade

todas as fontes, sejam de tensão ou corrente, possuem alguma resistência internas nas posições

indicadas nas figuras 8.6 e 8.7

Se levarmos em conta a resistência interna de qualquer dos dois

tipos de fonte, então cada uma delas pode ser convertida para o

outro tipo, conforme veremos a seguir.

EXEMPLO:8.4

a. Converta a fonte de tensão da figura 8.9(a) em

uma fonte de corrente e calcule a corrente na

carga de 4Ω para cada tipo de fonte.

b. Substitua a carga de 4Ω por uma de 1KΩ e

calcule a corrente Ic para a fonte de tensão.

c. Repita o calculo do item (b) supondo uma fonte

de tensão ideal (RF= 0Ω), pois Rc é muito maior

que RF . Esta é uma das situações em que

considerar a fonte como ideal leva a uma

aproximação apropriada?

FONTE DE CORRENTE EM PARALELO

Se duas ou mais fontes de corrente estão em paralelo, elas podem ser substituídas por uma única fonte

resultante com a corrente tendo a intensidade e sentido da corrente da fonte resultante, estas grandezas

podem ser encontradas através da diferença entre a soma das correntes em um sentido e a soma das

correntes no sentido oposto. A nova resistência em paralelo é determinada pelos métodos estudados

para os resistores em paralelo.

Consideraremos os exemplos a seguir para entender este conceito:

EXEMPLO:8.6

Reduza as fontes de corrente em paralelo das figuras 8.11 e 8.12 a única fonte de corrente.

EXEMPLO:8.7

Reduza o circuito da figura 8.13 a uma única fonte e calcule a corrente em Rc.

Neste exemplo, iremos converter a fonte de tensão em uma fonte de corrente.

Aplicando a regra dos divisores de corrente

ao circuito resultante:

EXEMPLO:8.8

Determine a corrente I2 na figura abaixo:

Solução:

Observamos que se convertemos a

fonte de corrente em uma fonte de

tensão, teremos um circuito em serie:

FONTES DE CORRENTE EM SERIE

A corrente em qualquer ramo de um circuito pode ter somente um valor, por exemplo se observamos

a situação mostrada na figura abaixo:

Ao aplicarmos a LCK vemos que a corrente que entra é menor do que a corrente que sai.

Logo:

“ Fontes de corrente de diferentes intensidades não podem ser ligadas em serie”

Assim como as fontes de tensão de diferentes valores não podem ser ligadas em paralelo.

ANALISE DAS CORRENTES NOS RAMOS Iremos considerar agora o primeiro de uma serie de métodos para resolver circuitos com duas ou

mais fontes. A introdução mais direta a um método a ser descrito, é listar a serie de passos

necessários a sua aplicação.

Este método ira fornecer a corrente em cada ramo do circuito.

Uma vez que esta seja conhecida, todas as outras grandezas, como tensão e potencia, podem ser

determinadas:

1) Associe uma corrente distinta de sentido arbitrário a cada ramo do circuito.

2) Indique as polaridades para cada resistor, de acordo com o sentido escolhido para a

corrente.

3) Aplique a LTK para tensões a varias malhas do circuito. (uma maneira de descobrir

quantas vezes iremos aplicar a LTK é descobrir o numero de “janelas” no circuito.)

4) Aplique a LCK para correntes ao numero mínimo de nos que inclua todas as correntes nos

ramos do circuito.

5) Resolva as equações lineares simultâneas resultantes para as correntes de ramo

escolhidas.

Determinação do numero de malhas independentes: (a) aplicação da LTK duas vezes; (b) Serão

necessárias aplicar três vezes a LTK.

Determinação do numero de aplicações da lei de Kirchhoff para correntes

EXEMPLO:8.9

Aplique o método das correntes nos

ramos ao circuito da figura ao lado.

EXEMPLO:8.10

Aplique a analise das correntes nos ramos do

circuito da figura abaixo:

Solução:

Foi escolhido aleatoriamente o sentido das

correntes (de modo a combinar com cada

bateria).

Determina-se as polaridades e aplicamos a

LTK em cada malha no sentido horário:

Malha:1

Malha:2

Aplicando a LCK para o no “a”:

Substituindo a 3ª equação nas outras duas:

Substituindo I2 em

termos de I1 e I3

ou

Multiplicando a 2ª eq.

Por : -1

EXEMPLO:8.13

Encontre as correntes nos ramos do circuito da

figura ao lado.

Solução:

Os Passos 1 e 2 estão indicados no circuito.

Passo 3: Aplicamos a LTK a cada malha:

Sentido horário, a partir

do ponto “a”

Malha 1:

Malha 2:

Sentido horário, a partir

do ponto “b”

Que é reescrita como:

Multiplicando a primeira eq. Por -1,

obtemos:

A corrente no resistor de 4Ω e na fonte de 4 V, para a

malha 1 é:

Sinal (-) indica sentido oposto

EXEMPLO:8.17

Escreva as equações de malha para o circuito

da figura abaixo.

Solução:

Passo 1: É associada uma corrente de malha

no sentido horário a cada malha.

I1 não atravessa um elemento em

comum com I3

I3 não atravessa um

elemento em comum com I1

A soma dos termos resulta em:

Que reescritos como determinantes, ficam

MÉTODO DOS NÓS (ABORDAGEN GERAL)

No método das malhas, obtivemos as equações gerais dos circuitos aplicando a LTK para cada uma

das malhas. Iremos agora empregar a LCK em um procedimento chamado método dos nós.

Um nó é definido como uma junção de dois ou mais ramos. Se escolhermos um no qualquer do circuito

como referencia, os nos restantes do circuito irão ter um potencial fixo em relação ao no de referencia

escolhido. O método é aplicado da seguinte forma:

1. Determine o numero do nos do circuito.

2. Escolha um no de referencia e rotule cada no restante com um valor de tensão: V1, V2 e assim por

diante.

3. Aplique a LCK a todos os nos, exceto ao de referencia. Suponha que todas as correntes

desconhecidas saem do no para aplicar a LCK a cada no. Cada no deve ser tratado como uma

entidade isolada, independentemente da aplicação da LCK a outros nos.

4. Resolva as equações resultantes para obter as tensões dos nos.

EXEMPLO:8.19

Aplique o método dos nós ao circuito da figura abaixo:

Solução:

Passos 1 e 2: O circuito possui 2 nós. O nó inferior foi

tomado como referencia ou terra, potencial igual a zero volts,

e o outro como V1, a tensão do no 1 em relação a terra,

como podemos ver na figura a seguir:

Consideramos I1 e I2 como saindo do

nó conforme a figura abaixo e a LCK

fornece:

A corrente I2 é relacionada a tensão nodal

V1 e pela definição de resistência:

A corrente I1 é determinada pela mesma

expressão:

e

Substituindo na eq. Obtida da LCK

Reagrupando os termos, temos:

As correntes I1 e I2 podem ser obtidas usando as equações já encontradas:

O sinal negativo indica simplesmente que a corrente I1 possui sentido oposto ao indicado (na

figura anterior.)

EXERCICIO:8.20

Aplique o método dos nós ao circuito da figura abaixo:

EXEMPLO:8.21

Determine as tensões nodais para o circuito

da figura ao lado:

Solução:

Passo 1 e 2: Definindo os nós e aplicando a LCK

para o nó V1.

Referencia

Expandindo e reagrupando:

Para o nó V2 as correntes são definidas como

na figura abaixo e aplicando a LCK:

Referencia

Novamente expandindo e reagrupando:

O que resulta em duas equações e duas

incógnitas.

8.1

e

Como V1 é maior que V2, o sentido da corrente em

R3 é de V1 para V2 . Seu valor é:

Como V1 é positivo, o sentido da corrente IR1 é de

V1 para a terra e a intensidade desta corrente é:

Finalmente, como V2 é negativo, o sentido da corrente

IR2 é da terra para V2, com modulo igual a:

MÉTODO DOS NÓS (ABORDAGEN GERAL) Essas conclusões podem ser generalizadas para incluir circuitos com qualquer numero de nós. Isto nos

permite escrever as equações nodais rapidamente e em uma forma conveniente para o uso de

determinantes. Uma exigência importante eh que todas as fontes de tensão sejam convertidas em

fontes de corrente antes que o procedimento acima seja aplicado.

1. Escolha um nó de referencia e associe um valor de tensão aos (N-1) nós restantes do

circuito.

2. O numero de equações necessárias para a solução é igual ao numero de tensões definidas,

(N-1). A coluna 1 de cada equação é formada pela soma das condutâncias ligadas ao nó de

interesse, multiplicada pela tensão associativa ao nó.

3. Precisamos considerar agora os termos comuns, que como vimos no exemplo anterior são

sempre subtraídos da primeira coluna. É possível haver mais de um termo comum se a

tensão do nó de interesse possuir um elemento em comum com mais de uma outra tensão

de nó.

4. A coluna a direita da igualdade é a soma algébrica das fontes de corrente ligadas ao nó de

interesse. Uma fonte de corrente recebe o sinal positivo se fornece corrente a um nó, e o

sinal negativo se extrai corrente do nó.

5. Resolva as equações simultâneas resultantes para obter as tensões nodais desejadas.

EXEMPLO:8.23

Escreva as equações nodais para o circuito da figura abaixo:

Solução:

Passo 1: a figura é refeita com as tensões

pertinentes assinaladas (definindo os nós), como

visto na figura abaixo:

Soma das Condutâncias

conectadas ao nó 1

Condutância

mutua

Soma das Condutâncias

conectadas ao nó 2

Condutância

mutua

colocando corrente

ao nó 1

Fornecendo corrente

ao nó 2

e

EXRCICIO:8.24

Encontre a tensão entre os terminais do resistor

de 3Ω da figura abaixo pelo método dos nós.

CIRCUITOS EM PONTE: Este tipo de circuitos tem muitas aplicações praticas e podem ser utilizados em medidores assim

como em sensores resistivos. As formas mais usuais são as mostradas a seguir:

32 RR 41 RR e

EXEMPLO DE APLICAÇÃO:

Examinando o circuito abaixo e aplicando o método das malhas e o método dos nós:

(a) (b)

O método das malhas na figura (b), leva a:

e

Com o resultado:

A corrente total no resistor de 5Ω :

Aplicando o método dos nós na figura

abaixo:

e

e

Similarmente:

Podemos concluir que quando V5Ω = 0 e I5Ω = 0 existe somente para uma condição particular entre os

resistores do circuito. Dizemos então que o circuito em ponte esta equilibrado quando a condição

anterior se cumpre o que nos fornece a seguinte relação:

CONVERSOES Y - ∆ (T – ¶ ) E (T – ¶ ) ∆ - Y ( ¶ - T )

CAPITULO 9

TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO A corrente que atravessa, ou a tensão entre os terminais de um elemento de um circuito linear

bilateral é igual a soma algébrica das correntes ou das tensões produzidas independentemente por

cada uma das fontes.

Numero de circuitos = Numero de fontes independentes

A serem analisados

Para levar em conta separadamente os efeitos de cada fonte é necessário que estas sejam

removidas e substituídas sem afetar o resultado final.

Remoção dos efeitos das fontes

ideais:

Remoção dos efeitos das fontes

reais:

O principio da superposição não pode ser usado para calcular a potencia dissipada em um circuito,

já que a dissipação de potencia em um resistor varia com o quadrado da corrente ou tensão, sendo

portanto um efeito não-linear.

Este resultado é incorreto o que pode ser demonstrado

Elevando ao quadrado a corrente total.

Corrente total obtida através do teorema da superposição.

Deste modo, em geral:

A potencia total fornecida a um elemento resistivo deve

ser determinada utilizando a corrente total que o

atravessa ou a tensão total entre seus terminais, e não

simplesmente somando as potencias fornecidas pelas

fontes separadamente.

TEOREMA DE THEVENIN Este teorema afirma que:

“ Qualquer circuito de corrente continua linear bilateral de dois terminais pode ser substituído por

um circuito equivalente constituído por uma fonte de tensão e um resistor em serie” a seguir um

exemplo do circuito:

Na figura (a) o circuito no interior da caixa esta ligado com o exterior

por dois terminais, utilizando o teorema de thevenin podemos

substituir tudo que existe na caixa por uma fonte e um resistor, sem

mudar as características do circuito entre os terminais “a” e “b”

No circuito (a) com exceção de Rc, todo ele deve ser substituído por uma fonte e um resistor em

serie. Os valores desses dois componentes do circuito equivalente de Thevenin devem ser tais

que o valor de Rc se comporte, no circuito (a), da mesma forma que no circuito (b).

Para Obter os valores de RTh e Eth, devemos executar os passos da seqüência:

1. Isole a parte do circuito para a qual deseja obter um equivalente de Thevenin.

2. Assinale claramente os dois terminais do circuito remanescente.

3. Para calcular RTh, elimine todas as fontes (substituindo as fontes de tensão por curtos-

circuitos e as fontes de corrente por circuitos abertos) e em seguida determine a resistência

equivalente entre os dois terminai escolhidos.

4. Para calcular Eth, introduza todas as fontes de volta no circuito e em seguida determine a

ddp entre os dois terminais escolhidos( tenha sempre em mente que a ddp deve ser

calculada com o circuito em aberto, assinalados no item 2).

5. Desenhe o circuito equivalente de Thevenin e recoloque entre os terminais de circuito

equivalente a parte que foi removida no passo 1.

TEOREMA DE NORTON

“ Qualquer circuito de corrente continua linear bilateral de dois terminais pode ser substituído ,

introduza todas por um circuito equivalente formado por uma fonte de corrente e um resistor

em paralelo”, como na figura a seguir:

1. Isole a parte do circuito para a qual deseja obter o

equivalente de Norton.

2. Assinale claramente os dois terminais do circuito

remanescente.

3. Para calcular RN, elimine todas as fontes

(substituindo as fontes de tensão por curtos-circuitos

e as fontes de corrente por circuitos abertos) e em

seguida determine a resistência equivalente entre os

dois terminais escolhidos.

4. Para calcular IN introduza todas as fontes de volta no circuito e em seguida determine a

corrente de curto-circuito entre os dois terminais escolhidos.

5. Desenhe o circuito equivalente de Norton e recoloque entre os terminais de circuito

equivalente a parte que foi removida no passo 1.

Podemos também obter o circuito equivalente de Norton a partir do circuito equivalente de Thevenin e

vice-versa.

TEOREMA DA TRANSFERÊNCIA MÁXIMA DE POTENCIA

Este teorema afirma o seguinte: “A potencia transferida a uma carga por um circuito de corrente continua linear bilateral será

máxima quando a resistência desta carga for exatamente igual a resistência de thevenin do

circuito ligado a esta carga”.

Na figura ao lado vemos as condições para transferência

máxima de potencia a uma carga utilizando o circuito

equivalente de Thevenin. A potencia fornecida a carga será

máxima quando:

Vamos agora considerar um exemplo no qual ETh = 60V e RTh = 9 Ω (fig. Abaixo):

A potencia fornecida a carga é dada por:

logo

e

A eficiência de operação em corrente continua de um sistema é definida como a razão entre a potencia

dissipada pela carga e a potencia fornecida pela fonte:

TEOREMA DE MILLMAN O teorema de Millman permite reduzir um numero qualquer de fontes de tensão em paralelo em

apenas uma.

A aplicação é feita basicamente em três passos:

1. Transforme todas as fontes de tensão em fontes de corrente, como visto anteriormente.

2. Combine as fontes de corrente em paralelo.

3. Converta a fonte de corrente resultante em fonte de tensão.

O teorema de Millman afirma em geral que, para um numero qualquer de fontes de tensão em paralelo:

ou

A resistência equivalente é dada por:

Em termos de valores de resistência:

e

TEOREMA DA SUBSTITUIÇÃO

O enunciado do teorema da substituição é o seguinte: “Se a corrente que atravessa um ramo qualquer de um circuito bilateral de corrente continua e a

tensão entre os terminais do mesmo ramo são conhecidas, ele pode ser substituído por qualquer

combinação de componentes que mantenha inalteradas a tensão e a corrente associadas ao ramo”.

Neste exemplo vemos a corrente e a tensão

conhecidas associadas a ab, iremos obter os ramos

equivalentes:

Observamos que todos os ramos

equivalentes estão submetidos a

mesma ddp e são atravessados

pela mesma corrente.

Uma ddp e uma corrente conhecida em um circuito podem ser substituídas, respectivamente, por

uma fonte de tensão e uma fonte de corrente ideal.

EXERCICIOS PARA NOTA:

CAPITULO 10 CAPACITORES

O capacitor, assim como o indutor, são componentes que exibem seu comportamento

característico quando ocorrem variações de tensão ou corrente no circuito em que se

encontram. Alem considerando o componente como ideal, eles não dissipam energia, mas a

armazenam e podem devolve-la mais tarde ao circuito.

Campo Elétrico:

Vimos anteriormente que existe uma forca de atração ou repulsão entre dois corpos

carregados.

Este campo elétrico é representado pelas linhas de campo

Ao lado vemos a distribuição de linha de campo

em torno de uma carga positiva isolada, a

intensidade do campo elétrico é maior na

posição “a” do que em “b”.

AD

)/( aunidadeArefluxo

Ate aqui só consideramos distribuições esféricas de carga,

mas a analise pode ser estendida a superfícies carregadas

de qualquer formato e tamanho, ao lado vemos um circuito

simples com duas placas, este elemento esta separado por

um material isolante (neste caso o ar), é chamado de

Capacitor. Capacitância é uma medida da quantidade de

carga que o capacitor pode armazenar em suas placas.

“ Um capacitor possui uma capacitância de 1 farad se

uma carga de 1 Coulomb for depositada em suas placas

por uma diferença de potencial de 1 volt entre elas.

2

21

r

QKQF

Uma carga com o dobro do valor produzira o dobro de linhas de campo por

unidade de área.

Intensidade do campo Elétrico em um ponto é a força que atua em uma carga

unitária positiva neste ponto.

229

2

1

2

21

/.109

)1(

CmNxK

r

kQ

r

QKQF

CAPACITANCIA:

Na pratica esta unidade se mostra muito grande para a

maioria das aplicações; assim, é mais comum usarmos

o microfarad (µF 10-6 ) ou o picofarads (pF 10-9).

O numero de linhas de campo por unidade de área entre as placas é bastante uniforme, observamos

na fig. Da esquerda o efeito de borda, ou que na pratica é ignorado.

Se uma diferença de potencial de V volts é

aplicada entre duas placas separadas por uma

distancia d, a intensidade é dada pela formula

ao lado.

Efeito dielétrico sobre a distribuição do campo na região entre as placas de um capacitor.

Diferentes valores de capacitância podem ser obtidas do mesmo par de placas paralelas inserindo-se certos

materiais isolantes entre elas: em (a) ocorre um alinhamento dos dipolos no dielétrico; (b) Componentes do

campo elétrico entre as placas de um capacitor quando um dielétrico esta presente.

O objetivo do dielétrico é

criar um campo elétrico que

se opõe ao campo elétrico

criado pelas cargas livres

das placas.

A razão entre a densidade de fluxo e a

intensidade do campo elétrico no dielétrico

é chamada de permissividade do

dielétrico.

Permissividade relativa é a razão

entre a permissividade de qualquer

dielétrico e a permissividade do

vácuo.

Onde A é a área das placas em metros quadrados, d é a distancia entre

as placas em metros e ɛr é a permissividade relativa. Portanto a

capacitância aumenta quando a área das placas aumenta, quando a

distancia entre as placas diminui e quando o dielétrico é substituído por

outro que possui um maior valor de ɛr.

Permite calcular a intensidade de campo

elétrico entre placas em função da

permissividade, da carga e da área das

placas.

EXEMPLO 10.1:

Determine a capacitância de cada

capacitor do lado direito das figuras

abaixo.

EXEMPLO 10.2:

Para o capacitor da figura ao lado:

a) Determine a capacitância.

b) Determine a intensidade do campo elétrico

entre as placas se 450V forem aplicados nas

placas.

c) Determine a carga resultante em cada placa.

EXEMPLO 10.3:

Uma grossa placa de mica de 1,5 mm possui a mesma area das placas do exemplo 10.2 e é inserida

entre elas.

a) Determine a intensidade do campo elétrico entre as placas.

b) Determine a carga em cada placa.

c) Determine a capacitância.

RIGIDEZ DIELETRICA:

Para cada dielétrico existe um valor de campo elétrico que, se aplicado ao dielétrico, quebrara ligações

moleculares internas, permitindo a passagem de corrente.

A tensão por unidade de comprimento (intensidade do campo elétrico) necessária para que haja uma

condução em um dielétrico é uma indicação de sua rigidez dielétrica e é denominada de tensão de

ruptura.

Quando a ruptura ocorre, o capacitor passa ater características muito semelhantes as de um condutor.

A rigidez dielétrica media para diversos dielétricos aparece na tabela abaixo:

Rigidez dielétrica de alguns materiais. (1 mil = 0,001

polegadas.)

CORRENTE DE FUGA:

Quando aplicamos uma tensão entre as placas de um capacitor, uma corrente de fuga, devido aos

elétrons livres, flui de uma placa para a outra.

Entretanto esta corrente é tão pequena que pode ser ignorada para a maioria das aplicações praticas

Representação do efeito de corrente de

fuga, cujo valor típico é maior que 100 MΩ Em alguns capacitores, como os eletrolíticos, tem

corrente de fuga relativamente altas. Quando

carregados e depois desconectados dos circuitos,

perdem a carga num tempo na ordem de

segundos devido ao fluxo de cargas de uma placa

para a outra.

TIPOS DE CAPACITORES:

Assim como os resistores, todos os capacitores podem ser classificados em duas categorias: fixos e

variáveis.

Símbolo de um capacitor fixo. Símbolo de um capacitor variável

A linha curva representa a placa que é normalmente conectada ao ponto de potencial mais baixo.

Capacitores Fixos:

Diversos tipos de capacitores fixos estão disponíveis atualmente. Alguns dos mais comuns são os

de mica; cerâmica; eletrolíticos; tântalo; e de filme de poliéster.

Estrutura básica de um capacitor de

mica. (foil = folha metálica).

A área total é a área de uma das laminas multiplicada pelo numero

de laminas do dielétrico. É encapsulada em um material plástico e

isolante.

A rigidez dielétrica é da ordem de 5.0000 V/mil.

A corrente de fuga é muito pequena cerca de 1.000 mΩ.

Os valores típicos estão entre alguns picofarads e 0,2µF com

tensões de 100 V ou mais.

(a)

Capacitores de mica.

Modelos de capacitores cerâmicos e configuração interna.

Os capacitores cerâmicos também possuem uma corrente de fuga

muito baixa (Rfuga) da ordem de 1.000MΩ.

Sao utilizados em circuitos de corrente alternada ou continua.

São encontrados na faixa de alguns picofarads ate 2µF e com

tensões de trabalho muito altas, como 5000 V ou mais.

Nos últimos anos vem crescendo o interesse por capacitores monolíticos, possuem estruturas de um

único modulo, devido a sua aplicação em circuitos híbridos, também vem crescendo o uso de circuitos

microstrip (strip-line), na figuras abaixo é mostrado exemplo deste componente.

CAPACITOR ELETROLITICO:

Eles são projetados principalmente para uso em circuitos de corrente continua por que apresentam boas

características de isolamento quando a tensão é aplicada com uma certa polaridade, mas se comportam

como um condutor quando a tensão é aplicada com a polaridade oposta.

Entretanto, existem capacitores eletrolíticos que podem ser usados em circuitos de corrente alternada

(como em motores de partida de automóveis) e em casos nos quais a tensão aplicada ao capacitor

muda de polaridade por curtos períodos de tempo.

A tensão de trabalho é a tensão que pode ser

aplicada entre os terminais do capacitor por longos

períodos de tempo sem que ocorra a ruptura.

A tensão de pico é a máxima tensão continua que

pode ser aplicada por curtos períodos de tempo.

Eles possuem baixas tensões de ruptura e correntes

de fuga relativamente elevadas.

CAPACITOR DE TANTALO:

Existem dois tipos: de dielétricos

sólidos e os de dielétricos

úmidos.

Nos dois casos, o tântalo em pó

com alto grau de pureza é

prensado em forma retangular ou

cilíndrico, como mostrado ao

lado.

(Dióxido de magnésio)

CAPACITOR DE POLIESTER

Ele consiste em duas folhas de metal separadas por folha de poliéster, como Mylar.

A camada externa de poliéster se comporta como um invólucro isolante.

As folhas de metal são ligadas a terminais que se projetam axial ou radialmente para fora

do invólucro.

Os dados do capacitor são impressos no

invólucro do capacitor, se suas dimensões

não forem suficientes para isso, é utilizado

um código de cores.

Uma faixa (normalmente preta) é as vezes

impressa nas proximidades do terminal que

esta ligado a folha metálica mais próxima

da superfície.

CAPACITOR VARIAVEL

O dielétrico desses capacitores é o ar. Na fig.(a) A capacitância é modificada girando-se o

eixo, o que faz variar a área comum as placas fixas e moveis. Quanto maior a área maior é

a capacitância, conforme a equação apresentada. Na fig.(b) vemos um capacitor de ajuste

variável chamado de “trimmer”, e é mudada girando-se o parafuso, o que faz variar a

distancia entre as placas (a área comum é fixa) e conseqüentemente a capacitância.

Medidor Digital de

Capacitância

Tipos e valores mais comuns de capacitores

Diversos métodos para marcação de capacitores pequenos

a) O valor é reconhecido imediatamente como sendo em pF, sendo a letra K indicador de uma

tolerância de ± 10%. É bastante freqüente interpretar a letra K como um multiplicador de 103, e a

capacitância é lida como sendo de 20.000 pF ou 20ηF.

b) Na fig vemos que há espaço para inserir a letra “n” que combinada com o pequeno tamanho, é uma

indicação clara que esse capacitor é de 200ηF. Para evitar confusão, as letras usadas para indicar

a tolerância não incluem N,U ou P, pois elas sugerem multiplicadores, o J representa uma tolerância

de ±5%.

c) Neste capacitor os dois primeiros dígitos representam o valor e o terceiro digito é o expoente da

potencia de 10 do multiplicador( ou o numero de zeros a serem acrescentados), o F representa uma

tolerância de ±1%.

d) A letra M representa uma tolerância de ± 20% .

FASE DE CARGA EM CIRCUITOS CAPACITIVOS

Quando a chave é fechada ocorre uma

transferência de elétrons da placa superior para a

placa inferior, onde a placa superior resulta numa

carga positiva e a placa inferior numa placa

negativa. Inicialmente a transferência ocorre

rapidamente, e fica mais lenta a medida que a

tensão do capacitor se aproxima da carga da

bateria, quando isto ocorre, cessa o movimento

de elétrons, portanto, as placas terão uma carga

dada por Q = CVc = CE.

Decaimento Rápido

Pequena Variação de ic

Observe que quando a chave é fechada em t =0 s, a

corrente salta para um valor limitado apenas pela

resistência do circuito e em seguida começa a diminuir

em direção a zero a medida que as placas se carregam

ic durante a fase de carga

Pequeno Aumento de Vc

Crescimento rápido

Como a tensão entre as placas esta relacionada diretamente

a carga das placas pela equação Vc = q/C, a rapidez com

que a carga é inicialmente depositada nas placas resulta em

um rápido aumento de Vc.

Vc durante a fase de carga

Neste ponto, o capacitor adquire características de um circuito aberto: existe tensão entre as

placas sem que haja corrente ‘entre’ elas.

Observe que na fig. Ao lado a tensão entre os

terminais do capacitor é a tensão da fonte , pois:

VRRiv

Aiii

RR

RC

0)0(

0

Nos circuitos de corrente continua, os

capacitores podem ser substituídos por circuitos

abertos uma vez que a fase de carga tenha

terminado.

RC

t

C eR

Ei

_

Logo por processos matemáticos podemos obter a

corrente de carga pela expressão ao lado.

Voltando ao momento que a chave é

fechada, podemos também concluir que o

capacitor se comporta nesse instante

como um curto circuito , conforme a fig. ao

lado

R

Eiii RC

VEERR

EERiRvEv RRC 0)(

A corrente:

A tensão

RC

t

e Este fator é uma função exponencial da forma

e-x, em que:

......71828,2

e

RC

tx

A seguir é mostrado um gráfico com este

comportamento:

A função e-x (x=≥ 0). Observe a rápida

diminuição de e-x com o aumento do valor

de x.

Valores de e-x para alguns valores de x

RC

t

e O fator RC na eq. Ao lado é chamado de constante de tempo do sistema e

seu símbolo é a letra grega tau (ζ) e sua unidade de medida é o segundo:

RC

Se substituirmos na função exponencial , obtemos . Após a

passagem de uma constante de tempo, ou seja, a função é igual

a 36,79% do valor maximo 1.

RC RC

t

e

t

e

3679,01

eee T

t

Nas tabelas acima observamos as variações percentuais em valores absolutos da corrente. Observe que

na primeira constante de tempo a corrente cai de 63,2%, mas somente 0,4% entre a quinta e a sexta

constante. A taxa de variação de ic é portanto muito sensível a constante de tempo determinada pelos

parâmetros do circuito R e C.

Fazendo t=0 na equação:

A corrente ic em um circuito capacitivo de corrente continua é praticamente zero

após terem se passado cinco constantes de tempo na fase de carga.

Gráfico universal de constantes de tempo:

Ic em função de t durante a fase de carga.

Voltando a atenção para a tensão nos terminais do capacitor durante a fase de carga, é possível

demonstrar que essa tensão é dada por:

Observando a expressão acima concluímos que, para todos os efeitos práticos, a tensão Vc é E volts

após cinco constantes de tempo na fase de carga, conforme visto no gráfico abaixo:

Se mantivermos R constante e reduzirmos C, o produto RC e o tempo equivalente a cinco

constantes de tempo diminuirão.

“A tensão entre os terminais de um capacitor não pode variar instantaneamente”.

Vc em função de t durante a fase de carga Efeito de C na fase de carga

A velocidade com que a carga é depositada nas placas durante a fase de carga pode ser determinada

substituindo se:

em

carga

A tensão entre os terminais do resistor pode ser determinada pela lei de Ohm:

ou

vR em função de t durante a fase de carga

EXEMPLO 10.5:

a) Determine as expressões matemáticas para o comportamento transitório de vc, ic e vR para o circuito

mostrado abaixo, quando a chave é colocada na posição 1. desenhe as curvas de vc, ic e vR.

b) Quanto tempo temos de esperar ate que possamos supor, para todos os efeitos práticos, que ic

aproximadamente igual a zero e vc aproximadamente igual a E volts.

SOLUÇÃO:

Será realizada em sala de aula.

Uma vez que a tensão entre os terminais do

capacitor se torna igual a tensão da bateria E, o

capacitor esta totalmente carregado e permanece

neste estado se não forem feitas mudanças no

circuito.

Agora se abrirmos a chave do circuito, o capacitor conservara sua carga por um período de tempo

determinado pela corrente de fuga.

Para capacitores como os de mica e cerâmica, a corrente de fuga ( ) é muito pequena, o que

permite ao capacitor reter a sua carga, e portanto a diferença de potencial entre as placas por um longo

tempo.

No caso dos capacitores eletrolíticos, que possuem correntes de fuga muito altas, a descarga ocorre

muito mais rapidamente, conforme visto em “b”.

De qualquer maneira, para garantir que o capacitor esta totalmente descarregado, ele deve ter seus

terminais curto-circuitados por uma chave de fenda ou um fio, antes de ser manuseado.

fuga

Cfuga

R

vi

TRANSIENTES EM CIRCUITOS CAPACITIVOS: FASE DE DESCARGA

No circuito onde estudamos a carga do capacitor, se em qualquer instante deste

processo colocamos a chave na posição 2, o capacitor começará a descarregar com a

mesma constante de tempo . A tensão estabelecida pela carga entre os

terminais do capacitor da origem a uma corrente elétrica que eventualmente descarrega

o capacitor por completo, este se comporta como uma bateria cuja tensão de saída

diminui com o tempo, observaremos que a corrente ic circula agora no sentido inverso, o

que muda a polaridade entre os terminais de R.

RC

Na expressão acima vemos a tensão entre os terminais do capacitor quando ele esta carregado

totalmente.

Observamos que as curvas e a constante de tempo utilizadas são as mesmas.

Durante a fase de descarga, a corrente ic também diminui com o tempo de acordo com a expressão:

A descarga completa ocorre, para

todos os efeitos práticos, após cinco

constantes de tempo. Se a chave no

circuito for alternada nas posições 1

e 2 a cada cinco constantes de

tempo, as curvas de vc, ic e vR terão

o aspecto das curvas ao lado.

EXEMPLO 10.6:

Depois que vc no exemplo anterior (10.5), atingiu o valor final de 40v, a chave é colocada na posição

2, como mostrado na figura abaixo. Determine as expressões matemáticas para o comportamento

transitório de vc ic e vR depois que a chave é fechada. Construa os gráficos de vc, ic e vR usando os

sentidos da polaridade da figura do exemplo anterior (10.5). Considere t = 0 quando a chave é

colocada na posição 2.

EXEMPLO10.7:

a) Determine a expressão matemática para o comportamento transitório para a tensão entre os

terminais do capacitor da figura abaixo se a chave for colocada na posição 1 em t = 0s.

b) Repita o item “a” para ic.

c) Determine as expressões matemáticas para vc e ic se a chave for colocada na posição 2 após 30 ms

(considere que a corrente de fuga do capacitor seja infinita).

d) Determine as expressões matemáticas para a tensão vc e a corrente ic se a chave for colocada na

posição 3 em t = 48 ms.

e) Plote as formas de onda da tensão vc e da corrente ic obtidas nos itens anteriores, no mesmo eixo

do tempo usando a definição de polaridade e sentido de corrente vista na figura abaixo, vc em

função do tempo e tomando como positivos a polaridade e sentido da corrente encontrados nas

formas de onda do circuito anterior.

SOLUÇÃO EXEMPLO10.6:

SOLUÇÃO EXEMPLO10.7:

VALORES INICIAIS:

t

fifC eVVVv

)(

t

fifC eVVVv

)(

Uma vez que a chave é fechada, começa a fase do transitório, que só termina, para todos os efeitos

práticos, após cinco constantes de tempo.

O valor estacionário é determinado simplesmente substituindo o capacitor por um circuito aberto

equivalente e determinado a tensão entre as placas.

EXEMPLO 10.9:

O capacitor visto na fig. Abaixo tem uma tensão inicial de 4V.

a) Determine a expressão matemática para a tensão entre os terminais do capacitor uma vez que a

chave é fechada.

b) Determine a expressão matemática para a corrente durante o período transitório.

c) Faca um esboço das formas de onda da tensão e da corrente, desde o valor inicial ate o final.

SOLUÇÃO DO EXEMPLO 10.9

VALORES INSTANTÂNEOS

Para determinar a tensão ou a corrente em um instante particular que não seja um múltiplo de

Por exemplo se:

Pode ser necessário saber o

valor de vc em t= 5ms, o que

não corresponde a um

múltiplo de pela tabela ao

lado vemos que é

aproximadamente 0,93 em t =

5ms

EQUIVALENTE DE THEVENIN:

EXEMPLO10.10:

CRTh

Para o circuito da figura abaixo:

a) Determine a expressão matemática para o comportamento transitório da tensão vc e da corrente ic

em função do tempo após o fechamento da chave (posição 1 em t = 0s).

b) Determine a expressão matemática para a tensão vc e a corrente ic em função do tempo se a chave

for colocada na posição 2 em t = 9 ms.

c) Desenhe as formas de onda de tensão e corrente, para os itens “a” e “b”, no mesmo eixo.

SOLUÇÃO EXEMPLO 10.10:

A CORRENTE ic:

A corrente ic associada a uma capacitância C esta relacionada a tensão entre os terminais do

capacitor por:

Derivada da

tensão

Se não houver

Variação da tensão

CAPACITORES EM SERIE E EM PARALELO: Aplicando a lei de Kirchhoff para

tensões ao longo da malha:

Entretanto:

De forma que:

Dividindo por Q os dois lados, fica:

A capacitância total entre dois

capacitores em serie:

A tensão entre os terminais de cada um dos capacitores

do circuito acima, pode ser determinada por:

Para cada um dos capacitores do circuito teremos uma equação

similar.

No caso dos capacitores em paralelo, a tensão é a

mesma entre os terminais de todos os capacitores, e a

carga total é a soma das cargas dos capacitores:

Entretanto

Portanto:

Mas:

Assim:

CAPITULO 11

CIRCUITOS MAGNETICOS O magnetismo representa uma parte importante em quase todos os equipamentos elétricos usados hoje

em dia, sejam eles industriais, de pesquisa, ou domésticos. Os geradores, motores elétricos,

transformadores, disjuntores, aparelhos de TV, computadores, gravadores e telefone utilizam efeitos

magnéticos para realizar uma variedade grande de tarefas.

CAMPOS MAGNÉTICOS:

Linhas de Campo magnético para um ima permanente.

Linhas de Campo magnético

para um sistema de dois imas

com pólos opostos adjacentes

Linhas de Campo magnético

para um sistema de dois imas

com pólos opostos iguais.

Se colocarmos um material não magnético, como vidro, nas

proximidades de um ima permanente, a distribuição das linhas de

campo magnético sofrera uma alteração quase imperceptível.

Entretanto se um material magnético, como ferro doce, for colocado

nas proximidades do ima, as linhas de campo passarão pelo ferro, em

vez do ar, por que as linhas de campo passam com mais facilidade

através de materiais magnéticos do que através do ar.

Utilização de uma blindagem magnética para proteger componentes e instrumentos sensíveis a

campos magnéticos presentes no ambiente.

Linhas de Campo nas proximidades de um condutor percorrido por uma corrente.

Linhas de Campo em uma bobina

com mais de uma espira percorrida

por uma corrente. O campo

magnético tem um caminho

continuo em torno da bobina

Linhas de Campo percorridas por uma corrente e

tem a mesma direção e sentido no centro da

espira.

Determinação do sentido das linhas de campo magnético no interior de um eletroímã: (a) Método;

(b) Notação

Algumas aplicações de Efeitos magnéticos

DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO O numero de linhas de campo magnético é chamado de “Densidade de Fluxo magnético” e sua

intensidade é determinada por:

)(

)(

)(

2mradosmetrosQuadA

Wbwebers

TteslasB

AB

EXEMPLO11.1

De acordo com a figura ao lado,

determine a densidade de fluxo em

teslas.

EXEMPLO:11.2

De acordo com a figura do exemplo 11.1, se a densidade de fluxo for 1,2 T e a área da seção reta for

0,25 polegada ao quadrado, determine o fluxo magnético no interior da peça.

O instrumento utilizado para medir a densidade de

fluxo em Gauss, é mostrado ao lado. (1T=104 Gauss).

Vemos no instrumento que o valor indicado equivale a:

Txgauss

Tgauss 4

41094,1)

10

1(964,1

PERMEABILIDADE MAGNÉTICA:

A permeabilidade magnética (µ) de um material, é uma medida pela facilidade com que as linhas de

campo magnético podem se estabelecer no material, esta grandeza é semelhante, em muitos aspectos,

a condutividade elétrica.

A permeabilidade do espaço livre ( vácuo )µo é:

0

r

0

r Permeabilidade relativa.

Como a permeabilidade relativa é uma variável, dependendo de outras grandezas do circuito

magnético, seus valores não podem ser tabelados.

Am

Wbo

7104

RELUTÂNCIA:

A resistência de um material ao fluxo de cargas (corrente ) é dado pela equação:

),( ohmsA

lR

A relutância de um material a tentativa de estabelecer um fluxo magnético no seu interior é dada

por:

),(Wb

Atourels

A

l

LEI DE OHM PARA CIRCUITOS MAGNÉTICOS:

Lembrando da equação:

oposicao

causaEfeito

A expressão acima foi introduzida quando falamos da lei de ohm para circuitos elétricos. No caso

dos circuitos magnéticos, o efeito desejado é o fluxo magnético no material; a causa é a força

magneto motriz (fmm), representa a forca externa ( ou “pressão” ) necessária para estabelecer um

fluxo magnético no interior do material.

A propriedade que se opõe `a criação do fluxo magnético é a relutância.

NI

Fatores que contribuem para a forca magneto motriz.

A forca magneto motriz é proporcional ao

numero de espiras em torno do núcleo

(no qual desejamos estabelecer o fluxo

magnético) pela intensidade de corrente

que atravessa o enrolamento.

FORCA MAGNETIZANTE (H):

lH

l

NIH

Fluxo magnético

Força Magneto motriz

N espiras

Comprimento médio

l= 0,2 m

No caso do circuito magnético visto na

figura ao lado.

Se NI = 40 NA e l = o,2 m.

Variação de µ com a

força magnetizante

HB

A densidade de fluxo e a

força magnetizante estão

relacionadas por:

HISTERESE:

Gráficos da densidade de fluxo B em função da forca magnetizante H aplicada a um material são

muito usados pelos engenheiros. Curvas desse tipo são encontrados em manuais e folhetos

distribuídos pelos fabricantes de materiais magnéticos.

A seguir mostraremos um exemplo de um gráfico de B x H obtido experimentalmente conforme o

desenho a seguir:

aço

N espiras

Curva de Histerese

Definição da curva normal de magnetização.

Curva normal de magnetização para três materiais ferromagnéticos.

Ampliação da figura anterior, na região de

baixas forcas magnetizantes

LEI CIRCUITAL DE AMPERE

Por analogia com a lei de kirchhoff para tensões (∑ V = 0 ). Obtemos o seguinte:

∑ = 0. (chamada de lei circuital de ampere)

Em outras palavras afirma que a soma algébrica das elevações e quedas da força magneto

motriz (fmm) em um circuito magnético fechado é nula; ou seja, a soma das elevações de

(fmm) é igual a soma das quedas de (fmm) na malha fechada.

Quando aplicada a circuitos magnéticos, as fontes de (fmm) são expressas por:

NI

Como exemplo da aplicação das expressões acima, vamos considerar o circuito magnético da figura

abaixo, constituído por três materiais ferromagnéticos diferentes. Aplicando a lei circuital de ampere,

temos:

Todos os termos que aparecem nessas

equações são conhecidos, com exceção das

forcas magnetizantes para as diferentes partes

do circuito magnético, que podem ser obtidas a

partir do gráfico B – H se a densidade de fluxo

B for conhecida.

O FLUXO Φ:

Se aplicarmos as relações descritas anteriormente, a lei de kirchhoff para correntes chegaremos

a seguinte conclusão:

(na junção “a”)

(na junção “b”)

Distribuição do fluxo em um circuito magnético

serie paralelo.

CIRCUITOS MAGNÉTICOS EM SERIE: DETERMINAÇÃO DO PRODUTO NI

Alguns problemas envolvendo circuitos magnéticos são basicamente de dois tipos:

I. Em um deles é dado o fluxo (Φ), sendo que a fmm NI tem de ser calculada, este é o tipo de

problema que aparece no projeto de motores, geradores e transformadores.

II. No outro NI é conhecido e o fluxo (Φ) tem de ser calculado, este é o tipo de problemas que

aparecem principalmente no projeto de amplificadores magnéticos, porem a solução não é trivial e

utilizamos o método das tentativas.

EXEMPLO11.3:

Para o circuito em serie vista na figura abaixo:

a) Calcule o valor de I necessário para gerar um fluxo magnético Φ = 4x10-4 Wb.

b) Determine µ e µr , para o material nessas condições.

Solução:

Seção

Um trecho continuo

Tabela. Construída para resolver o item “a”

EXEMPLO 11.4:

O eletroímã mostrado na figura abaixo atraiu uma barra de ferro fundido. Determine a corrente I

necessária para estabelecer um fluxo no núcleo com o valor indicado na figura.

Solução:

Tabela: dados do problema.

EXEMPLON11.5:

Determine a corrente no secundário I2 do transformador visto na figura abaixo, se o fluxo resultante no

núcleo é 1,5 x 10-5 Wb, no sentido horário.

Solução:

ENTREFERROS:

Vamos analisar o efeito dos entreferros, ou espaço vazio, nos circuitos magnéticos. A dispersão das

linhas de campo fora da área comum do núcleo para o interior do entreferro.

Entreferros (a) com efeito de borda; (b) ideal

Densidade de fluxo no

entreferro: Para efeitos

práticos:

Para a maioria das aplicações praticas, a permeabilidade

do ar é igualada `a do vácuo. E a forca magnetizante no

entreferro é: A queda de fmm no entreferro é HgIg. Uma eq.

De Hg:

EXEMPLO 11.6:

Calcule o valor de I necessário para estabelecer um fluxo Φ = 0,75 x 10-4 Wb no circuito magnético em

serie mostrado na figura (rele ) abaixo:

Solução:

CIRCUITOS MAGNÉTICOS EM SERIE - PARALELO: A analogia entre circuitos elétricos e magnéticos leva ao conceito de circuitos magnéticos serie

paralelo, análogos aos conceitos dos circuitos elétricos.

EXEMPLO 11.7:

Determine a corrente I necessária para estabelecer um fluxo de 1,5 x 10-4 Wb:

Solução:

DETERMINACAO DE Φ:

EXEMPLO 11.8:

Calculo o fluxo magnético (Φ) para o circuito da figura abaixo:

Solução:

EXEMPLO 11.9:

Calcule o fluxo para o circuito magnético em serie da figura abaixo, com a fmm aplicada.

Solução:

Supondo que toda a fmm NI esta aplicada ao entreferro,

APLICAÇÕES:

Sistemas de gravação:

(a) Fitas de vídeo e áudio; (b) Processos de fabricação.

Alto – falantes e Microfones

Ima permanente

(fixo)

Cone Flexível

Terminal de

entrada

Ima

Ima

Bobina

Entreferro

Cone

Alto falante de alta fidelidade:

Gravação em disco rígido utilizando um eletroímã em forma de U.

Obtenção de imagens por ressonância magnética.

CAPITULO 12

INDUTORES

Neste capitulo iremos estudar um outro elemento chamado de indutor, que possui varias características de

resposta semelhantes em muitos aspectos ao capacitor.

A LEI DE FARADAY PARA A INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA:

Quando um condutor retilíneo se desloca em um campo magnético de tal forma que o numero de linhas de

campo que o atravessam varia com o tempo, é induzida uma ddp entre seus terminais.

Gerando uma tensão induzida a partir do movimento de um condutor em um campo magnético.

Se uma bobina de N espiras é colocada em uma região onde o fluxo esta variando, como na

figura abaixo, a tensão induzida na bobina pode ser calculada com o auxilio da lei de Faraday:

),( Vvoltsdt

dNe

Onde N é o numero de espiras da bobina e

é a taxa de variação do fluxo que atravessa a

bobina.Para que o fluxo varie basta que a bobina

esteja se movendo em uma região onde o campo

não é uniforme ou que a intensidade do campo

esteja variando.

A LEI DE LENS:

Vimos anteriormente que o campo magnético nas vizinhanças de uma bobina de N espiras

percorrida por uma corrente I tem o aspecto:

Quando a corrente varia, o fluxo que atravessa a bobina também varia (conforme visto

anteriormente), essa variação do fluxo induz uma tensão entre os terminais da bobina. A polaridade

dessa tensão é tal que ela tende a estabelecer uma corrente na bobina que produz um fluxo no

sentido contrario ao fluxo original.

A lei de lens:

“Um efeito ocorre sempre de forma a se opor a causa que o produziu.”

AUTO-INDUTÂNCIA

A propriedade de uma bobina se opor a qualquer variação de corrente é medida pela sua auto-

indutância, L.

Os indutores são bobinas de varias dimensões projetadas para introduzir quantidades

especificas de indutância em um circuito. A indutância de uma bobina depende das propriedades

magnéticas de seu núcleo. Materiais ferromagnéticos são freqüentemente usados para aumentar

a indutância, aumentando o fluxo no interior da bobina:

Geometrias de indutores para as quais as equações acima são apropriadas.

TIPOS DE INDUTORES:

Os indutores, como os capacitores não são ideais. A cada indutor estão associados uma resistência

igual a resistência das espiras, e a uma capacitância parasita devido as capacitâncias entre as espiras

das bobinas, a seguir é mostrado um circuito equivalente do indutor:

Circuito equivalente completo de um indutor.

Circuito equivalente pratico de um indutor.

Símbolos de Indutores.

Vários tipos de indutores: (a) indutor toroidal de potência (1,4 µH a 5,6 mH) (cortesia da Microtan Co.,

Inc.); (b) indutores para montagem em superfície embalados em carretéis (0,1 µH até 1.000 µH em

carretéis de 500 peças em 46 valores) (cortesia da Bell Industries); (c) indutores encapsulados (0,1 µH a

10 µH); (d) indutores de filtro de alta corrente (24 µH a 60 A até 500 µH a 15 A); (e) indutores de filtros

dalta corrente (40 µH a 5 H); (f) indutores de núcleo de ar (1 a 32 espiras) para aplicação em altas

freqüências. (Fotos (c) a (f), cortesia da Dale Electronics, Inc.)

(a) (b)

(c)

(d) (e) (f)

Tipo: De núcleo aberto Valores Típicos: 3 mH a 40 mH Aplicações: Usado em filtros passa-baixa. Encontrado em circuitos de alto-falantes.

Tipo: Toroidal Valores Típicos: 1 mH a 30 mH Aplicações: Usado em linhas de transmissão para filtrar transientes e reduzir interferências eletromagnéticas. Encontrado em muitos eletrodomésticos.

Tipo: Cilíndrico Valores Típicos: 3 µH a 1 mH Aplicações: Usado em linhas de transmissão de alta corrente.

Tipo: Linha de retardo Valores Típicos: 10 µH a 50 µH Aplicações: Usado em receptores de televisão em cores para corrigir diferenças de tempo entre os sinais de cor e o sinal de branco e preto.

Tipo: Com derivações Valores Típicos: 0,6 mH a 50 mH Aplicações: Usado em filtros de linha, fontes de alimentação chaveadas, carregadores de baterias e outros equipamentos eletrônicos.

Tipo: De RF Valores Típicos: 10 µH a 50 µH Aplicações: Usado em receptores de rádio e televisão e em circuitos de comunicação. Encontrados em circuitos de AM, FM e UHF.

Tipo: Encapsulado Valores Típicos: 0,1 µH a 100 µH Aplicações: Usado em uma grande variedade de circuitos com osciladores, filtros passa-baixa e outros.

Tipo: Para montagem em superfície Valores Típicos: 0,01 µH a 100 µH Aplicações: Encontrado em muitos circuitos eletrônicos que exigem componentes em miniatura para que sejam montados emplacas de circuito impresso com multicamadas.

Tipo: Ajustável Valores Típicos: 1 µH a 100 µH Aplicações: Indutor variável usado em osciladores e outros circuitos de RF de transceptores e receptores de rádio e televisão.

Diferentes tipos de Indutores e suas aplicações.

TENSÃO INDUZIDA: A indutância de um indutor também é uma medida da taxa de variação do fluxo no seu interior em

função da variação da corrente aplicada:

N: numero de espiras

Φ: fluxo magnético.

i:corrente

EXEMPLO 12.3:

Determine a forma de onda da tensão media no indutor de 4 mH, sendo que a corrente no indutor

varia com o tempo conforme a figura abaixo:

Solução:

TRANSIENTES EM CIRCUITOS R – L: FASE DE ARMAZENAMENTO As variações de corrente e tensão que ocorrem em um circuito de corrente continua quando um indutor

armazena energia sob a forma de um campo magnético podem ser melhor compreendidas examinando

o circuito abaixo:

No instante que a chave é fechada, a indutância do indutor não permite que ocorra uma variação

instantânea de corrente. A queda de potencial no indutor, VL é igual a tensão aplicada E, como

determina a LTK, pois VR = iR = (0)R = 0 V. A corrente iL parte portanto de zero, estabelecendo uma

queda de tensão no resistor e uma correspondente queda de VL.

No instante em que a chave da figura (a) é fechada, temos o circuito equivalente ao da figura (b).

“Um indutor ideal (R = 0 Ω) se comporta como um curto circuito em um circuito de corrente

continua, uma vez estabelecido o estado estacionário”

(a) (b)

A equação para a corrente iL durante a fase de

armazenamento é a seguinte:

Observe que a expressão (1-e -t/ζ-), que também

aparece na equação da tensão Vc em um

capacitor na fase de carregamento, o gráfico da

equação é mostrado:

Quando o circuito chega ao estado

estacionário, a fase de armazenamento

esta encerrada, e o circuito equivalente

passa a ser:

O fato de que ζ tem dimensão de tempo pode ser

verificado por:

Tirando o valor de L temos:

O eixo dos tempos esta expresso

em constantes de tempo logo para

circuitos indutivos tem-se:

Que nos conduz a razão:

Para a maioria das aplicações praticas, consideraremos que:

“ a fase de armazenamento termina e o circuito R – L entra no estado estacionário após um

período equivalente a 5 constantes de tempo”.

Alem disso, como L/R tem sempre um valor diferente de zero, embora possa ser muito pequeno, o

intervalo de tempo de 5 constantes sempre será maior do que zero:

“A corrente não pode mudar instantaneamente em um circuito indutivo”.

Se mantivermos r constante e aumentarmos L, a razão L/R aumentara, fazendo aumentar o tempo de

subida. A variação no comportamento transitório da corrente iL é plotada na figura 12.19.

Observe a semelhança nos gráficos mostrados no estudo dos capacitores.

Gráficos de funções y = 1 – e−t/τ e y = e−t/τ.

As figuras dos circuitos mostrados indicam que a tensão no indutor salta bruscamente para E volts

quando a chave é fechada e cai gradualmente para 0 volt. A queda ocorre de maneira exponencial, e

VL pode ser descrita matematicamente ,durante a fase de armazenamento, pela equação:

Podemos ver no gráfico de VL com o eixo do tempo

novamente expresso em constante de tempo.

Obviamente a tensão tende a zero com a mesma

rapidez com a qual a corrente tende ao valor maximo.

VALORES INICIAIS:

Esta seção é semelhante na qual discutimos o efeito dos valores iniciais sobre a fase transiente em

circuitos capacitivos. Como a corrente num indutor não pode mudar instantaneamente, ela começa a

fase de transiente como valor inicial, que depende dos parâmetros do circuito, antes que a chave seja

fechada. Em seguida, ele passa pela fase transiente ate chegar ao estado estacionário, após 5

constantes de tempo:

TRANSIENTES EM CIRCUITOS R – L: FASE DE DECAIMENTO

Na analise de circuitos R-C, observamos que o capacitor pode manter a carga e armazenar energia

em forma de um campo elétrico por um período de tempo determinado apenas pela corrente de fuga.

Nos circuitos R- L, a energia é armazenada em um campo magnético estabelecido pela corrente no

indutor. Entretanto, ao contrario do capacitor, um indutor isolado não pode reter a energia armazenada,

pois a ausência de um circuito fechado faz a corrente cair para zero, perdendo toda a energia

armazenada no campo magnético.

Se o circuito R-L, tivesse chegado ao

estado estacionário e a chave fosse

rapidamente aberta, provavelmente

ocorreria uma centelha entre os contatos,

pois a corrente cairia do maximo E/R para

zero muito rapidamente. A variação de

corrente di/dt na equação VL=L(di/dt)

induziria uma alta tensão que, em conjunto

com a tensão E aplicada, aparece entre os

contatos da chave.

Este conceito é utilizado nos sistemas de

ignição dos automóveis, para a queima do

combustível nos cilindros. Cerca de 25000

volts são gerados pela rápida queda de

corrente na bobina de ignição que ocorre

quando o circuito é aberto.

Para analisar o decaimento de um circuito R – L temos de utilizar um circuito como mostrado na

figura (a), quando a chave é fechada, a tensão no resistor R2 é E volts e o ramo R-L tem um

comportamento idêntico ao descrito anteriormente, com as mesmas formas de onda e os mesmos

valores de tensão e corrente. Um circuito equivalente de thevenin de E em paralelo com R2 se

reduziria apenas a fonte de tensão mostrada na figura (b) já que R2 estaria em curto ao substituir a

fonte de tensão por um curto na determinação da resistência de Thevenin.

No circuito ao lado esta desenhado um circuito

separado que mostra o que acontece quando a

fase de armazenamento termina e o circuito

atinge o estado estacionário, e a chave pode

ser aberta sem que ocorra o centelhamento,

pois o resistor R2 oferece um caminho para a

corrente iL. A tensão VL inverte de polaridade e o

seu valor é determinado por:

A tensão no indutor varia instantaneamente, mas

não a corrente. A corrente iL mantêm o mesmo

sentido como observado no circuito anterior, logo

após a abertura da chave, iL ainda é dada por

Im=E/R1.

Que é maior do que E volts em função da razão R2/R1. ou seja

quando a chave é aberta, a tensão no indutor inverte de

polaridade e cai instantaneamente de E para –[1+(R2/R1)]E

volts

VALORES INSTANTANEOS:

INDUTORES EM SERIE E PARALELO:

Circuito equivalente para t > 5τ

Substituição do indutor por um curto-circuito para t > 5τ.

Curva da potência para um elemento indutivo na fase transiente

ENERGIA ARMAZENADA POR UM INDUTOR:

O indutor ideal, assim como o capacitor ideal, não dissipa a energia que recebe. No caso do Indutor

ideal, essa energia é armazenada em um campo magnético. As curvas de tensão, corrente e potencia

são mostradas na figura abaixo. Esta energia é representada pela região sombreada sob a curva da

potencia, e fazendo as integrações sob as áreas da curva é que determinamos a energia armazenada.

Dimmer:(a) aparência externa; (b) construção interna; (c) esquema.

Funcionamento básico do dimmer visto na Figura anterior: (a) tensão máxima na lâmpada; (b) aproximação

do ponto de corte da tensão na lâmpada; (c) iluminação reduzida na lâmpada.

Controle direto, via reostato, do brilho de uma lâmpada de 60 W.

Partes constituintes de um tubo de imagem usado em TV e computador PC.

CAPITULO 13

CORRENTES E TENSÕES ALTERNADAS SENOIDAIS Ate agora analisamos circuitos de corrente continua, nos quais as correntes e tensões não variam,

exceto durante os transientes. Vamos estudar agora os circuitos que variam as intensidades das fontes.

É importante estudarmos a tensão variante no tempo fornecida pelas empresas geradoras de energia

elétrica, a qual é denominada tensão CA (Corrente alternada – do inglês: Alternate Current- AC). A seguir

é mostrada formas de onda alternada fornecida por geradores disponíveis comercialmente. O termo

alternada indica apenas que o valor da corrente ou da tensão se alterna, ao longo do tempo,

regularmente entre dois níveis.

Senoidal Quadrada Triangular

O sinal particularmente mais importante é a forma de onda senoidal, é o tipo de tensão gerado por

todas as usinas de energia elétrica em do o mundo.

Esta tensões podem ser geradas das mais diversas formas como mostrado a seguir:

Fontes de corrente alternada: (a) usina geradora; (b) gerador ca portátil; (c) gerador eólico;

(d) painel solar; (e) gerador de sinais.

FORMA DE ONDA SENOIDAL:

Valor instantâneo; Amplitude de pico; valor de pico; Valor pico a pico; Forma de onda periódica;

Período (T); Ciclo; freqüência (Hz)

Definição de ciclo e período de uma forma de onda senoidal.

Ilustração do efeito da mudança de freqüência sobre o período de uma forma de onda senoidal

EXEMPLO 13.1:

Calcule o período de uma forma de onda periódica cuja freqüência é:

a) 60 Hz.

b) 1000 Hz.

c) 1,5 x 103

EXEMPLO 13.2:

Determine a freqüência da forma de onda vista nas figuras:

(a) (b)

EXEMPLO 13.3:

A partir dos desenhos das figuras abaixo e das sensibilidades indicadas, determine o período, a

freqüência e o valor de pico da forma de onda.

(a)

(b)

DEFINIÇÕES DE POLARIDADE E SENTIDO:

Em cada caso, a polaridade e o sentido da corrente serão correspondentes ao semiciclo positivo da

forma de onda esta representada na figura abaixo, juntamente com os símbolos de fonte de tensão e

corrente senoidal.

SENOIDE:

“A senoide é a única forma de onda cuja forma não se altera ao ser aplicada a um circuito contendo

resistores, indutores e capacitores.”

A unidade escolhida para o eixo horizontal na

figura ao lado é o grau.

Uma outra unidade de medida escolhida é o

radiano (rad), ela é definida por um arco,

como visto na figura abaixo:

Se definirmos x como sendo o numero de intervalos de comprimento r (o raio) que podem ser acomodados

em toda a circunferência:

O numero ¶ é a razão entre o comprimento da circunferência de um circulo e seu diâmetro

Gráfico da função seno com o eixo horizontal em radianos

Geração de uma forma de onda senoidal

usando as projeções de um vetor girante.

Nos gráficos abaixo estão representadas as equações na qual para um mesmo raio vetor, tomamos

ω = 100 rad/seg e ω = 500 rad/seg

FORMA GERAL DE UMA SENOIDE

Para quantidades elétricas como a

tensão e a corrente tem-se:

RELAÇÕES DE FASE:

Ate agora consideramos senoides com máximos e

mínimos conforme o gráfico acima, e zeros nos

pontos mostrados.

Quando ocorre um deslocamento para a esquerda

ou para a direita de 0o, a expressão passa a ser:

RELAÇÃO DE FASE ENTRE O SENO E O COSSENO.

Se a forma de onda corta o eixo horizontal com inclinação positiva e adiantada de 90º (¶ /

2), como no gráfico abaixo, é chamada de função cosseno.

Os termos atrasado e adiantado são utilizados para indicar diferenças de fase entre duas formas de onda

senoidais de mesma freqüência plotada no mesmo gráfico (conforme gráfico anterior). As relações

geométricas podem ser deduzidas podem ser deduzidas por:

Se encontrarmos uma expressão da forma:

O sinal negativo deve ser associado a

função trigonométrica, e não a Amplitude:

Como:

Podemos também escrever:

A relação de fase entre duas formas de onda

indica qual delas esta atrasada ou adiantada e

de quantos graus ou radianos.

Exemplos:

MEDIDAS DE FASE:

Agora podemos determinar a diferença entre duas senoide, utilizando um osciloscópio:

Substituindo os dados da fig. Na

expressão acima.

Portanto “e” esta adiantada de 144º

em relação a “i”

VALOR MÉDIO:

Será feito um estudo individual por conta do aluno sobre o assunto.

VALOR EFICAZ:

Iremos discutir as diferenças entre correntes continuas e alternadas no que diz respeito `a potencia

dissipada no circuito e aprender a calcular a amplitude da corrente alternada senoidal necessária para

fornecer a mesma potencia que uma corrente continua dada.

“Do ponto de vista da potencia dissipada, uma corrente alternada equivale a uma corrente

continua igual a 0,707 vezes a sua amplitude de pico”.

O valor da corrente continua equivalente, do ponto de vista de dissipação de potencia, a uma corrente

alternada é chamado de valor eficaz.

Resumindo:

ou

ou

e

CAPITULO 14

OS ELEMENTOS BÁSICOS E OS FASORES

Como foi definido anteriormente a derivada dx/dt como sendo a taxa de variação de x em relação ao

tempo. Se não houver variação de x em um instante particular, dx=0, e a derivada será nula. No caso

de uma senoide, dx/dt sera zero somente nos pontos de maximo e mínimo ( ωt = ¶/2 e ωt = 3¶/2 )

Portanto podemos concluir que a derivada de uma senoide, é uma co-senoide, e ela tem o mesmo

período e a mesma freqüência que a função senoide.

No caso de uma tensão senoidal a derivada pode ser obtida por diferenciação:

Efeito da freqüência sobre o valor de pico da derivada

RESPOSTA DOS ELEMENTOS BÁSICOS R, L e C A UMA TENSÃO OU CORRENTE

SENOIDAL

RESISTOR:

No caso das freqüências utilizadas em linhas de transmissão e também

para freqüências ate umas poucas centenas de quilohertz, o efeito da

freqüência sobre o valor da resistência é praticamente nulo. Portanto no

circuito ao lado podemos considerar a resistência como sendo

constante:

Em um elemento resistivo a corrente e a

tensão estão em fase.

No caso de um elemento puramente resistivo a tensão

e a corrente no dispositivo estão em fase, sendo a

relação entre seus valores de pico dada pela lei de

ohm.

INDUTOR:

A tensão Vdispositivo, do dispositivo

no interior da caixa se opõe a da fonte

“e” e assim, reduz a corrente “i”

Logo:

Vdispositivo = iR

Portanto a tensão no indutor é diretamente

proporcional a freqüência (ou mais

especificamente, a freqüência angular da corrente

alternada senoidal nele) e a indutância do

enrolamento. Para valores crescentes de “f” e “L”,

conforme a figura ao lado, o valor da tensão VL

aumenta conforme descrito anteriormente.

Comparando as duas figuras acima, vemos que a valores maiores de VL correspondem maiores

valores de oposição. Como VL aumenta tanto em função de ω (= 2¶ f ) quanto de “L” a oposição de

um dispositivo indutivo tem a forma definida pela figura acima.

No caso do indutor visto no circuito ao lado, vimos no

capitulo 12 que:

Derivando:

Portanto:

ou onde

Observe que o valor de pico de VL é diretamente proporcional a ω (=2¶ f) e a “L”, como

observado anteriormente.

Para um indutor, VL esta adiantada 90º em relação a iL

ou iL esta atrasada 90º em relação a VL.

Se um ângulo de fase for incluído na

expressão senoidal para iL A oposição causada por um indutor em um

circuito de corrente alternada senoidal

pode ser calculada a partir de:

A grandeza ωL, denominada reatância indutiva é simbolizada por XL e medida em ohms:

A reatância indutiva é uma oposição a corrente que resulta em uma troca continua de energia entre a

fonte e o campo magnético do indutor.

CAPACITOR:

No caso do capacitor, determinamos a corrente i

Para uma dada tensão entre seus terminais. Deste

modo a relação entre tensão e corrente será

conhecida e a tensão de oposição (V elemento)

poderá ser determinada para qualquer corrente

senoidal.

E como a capacitância é uma medida da rapidez

com que um capacitor armazena carga em suas

placas.

“ Para uma dada variação da tensão entre os

terminais de um capacitor, quanto maior o

valor da capacitância, maior será a corrente

capacitiva resultante”

Na figura abaixo estão ilustrados os parâmetros que

determinam a oposição de um elemento capacitivo a

passagem de corrente.

O gráfico “Vc” e “ic” da figura ao lado mostra

que:

“para um capacitor, ic esta adiantada de

90º em relação a Vc”

oposição

Se a corrente esta adiantada em relação a tensão aplicada, o circuito é capacitivo; se a

corrente esta atrasada em relação a tensão, o circuito é indutivo; se a corrente e a tensão

estão em fase, o circuito é resistivo.

EXEMPLO14.1 EXEMPLO14.3

EXEMPLO14.5

COMPORTAMENTO DE INDUTORES E CAPACITORES EM REGIMES DE CORRENTE

CONTINUA, ALTA FREQÜÊNCIA E BAIXA FREQÜÊNCIA:

Nos circuitos de corrente continua, a freqüência é nula e a reatância de um indutor é dada por

Nos circuitos de corrente continua, a reatância de um capacitor é dada por:

Justifica-se portanto a substituição de capacitores por curtos-circuitos em circuitos de corrente

continua. Em altas freqüências é muito pequena, e em algumas aplicações praticas o capacitor

pode ser substituído por um curto-circuito

Efeito das freqüências altas e baixas sobre o comportamento de indutores e capacitores.

MEDIDAS DO ÂNGULO DE FASE ENTRE A TENSÃO APLICADA E A CORRENTE FORNECIDA

POR UMA FONTE

Uso de um osciloscópio para determinar a diferença de fase entre a tensão aplicada e a corrente da

fonte.

RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DOS DISPOSITIVOS BÁSICOS

Ate aqui vimos que a resistência de um

resistor independe da freqüência

aplicada , mas do ponto de vista pratico

todo resistor tem capacitâncias

parasitas e indutâncias que são

afetadas pela freqüência aplicada, os

valores dessas capacitâncias e

indutâncias são desprezíveis ate um

certo valor de freqüência, conforme

podemos ver na figura ao lado.

Gráfico das curvas de variação da

resistência com a freqüência para

resistores de carbono.

Gráfico de R em função da freqüência para a nossa

faixa de estudo.

A equação tem a forma de uma equação de

reta

Para os indutores:

Para os capacitores

Portanto em resumo, a medida que a freqüência do sinal

aplicado aumenta, a resistência de um resistor

permanece constante, a reatância de um indutor aumenta

linearmente e a reatância de um capacitor diminui de

forma não-linear.

EXEMPLO14.8

EXEMPLO 14.9

Na figura “a” Rs representa as perdas no cobre devido as correntes parasitas, Cp é a capacitância

parasita que existe entre as espiras do indutor.

No caso de indutores na faixa de microhenries, uma freqüência de 1Mhz pode ocasionar efeitos

indesejáveis. A figura “b” mostra um gráfico da impedância em função da freqüência, observamos que

um indutor de 100 microhenries se comporta como um indutor ideal.

(a) (b)

Circuito equivalente de um indutor real. ZL em função da freqüência para o circuito equivalente (a).

Circuito equivalente de um capacitor real.

Variação da impedância com a freqüência para um capacitor de filme

metalizado de 0,01 µ F.

POTENCIA MEDIA E FATOR DE POTENCIA

O valor da potencia media não depende do fato de a tensão estar atrasada ou adiantada em

relação a corrente.

Agora aplicando as equações anteriores da potencia, aos dispositivos básicos R, L e

C.

RESISTOR: INDUTOR: CAPACITOR:

A potencia media ou potencia dissipada

por um indutor ideal (sem resistência

associada) é zero.

Pelo fato de v estar adiantada de 90º em

relação a i (isto num circuito puramente

indutivo).

A potencia media ou

potencia dissipada num

capacitor ideal (sem

resistência associada) é

zero.

Pelo fato de i estar

adiantada 90º em relação a

v (isto num circuito

puramente capacitivo).

EXEMPLO 14.10

EXEMPLO 14.11

FATOR DE POTENCIA

Para uma carga puramente resistiva, como a ilustrada

em (a), a diferença de fase entre v e i é 0º

Para uma carga puramente reativa (indutiva ou capacitiva),

como a ilustrada em (b), a diferença de fase entre v e i é 90º

EXEMPLO14.12

(a)

(b)

NUMEROS COMPLEXOS

Um numero complexo pode ser representado por um ponto em um plano, referido a um sistema de eixos

cartesianos. Este ponto também determina um raio vetor a partir da origem

Existem duas maneiras de representar um numero complexo:

FORMA RETANGULAR:

EXEMPLO 14.13:

FORMA POLAR:

EXEMPLO 14.14:

CONVERSÃO ENTRE AS DUAS FORMAS:

As equações abaixo mostram a relação entre as duas formas, polar e retangular.

Retangular para Polar

Polar para retangular

EXEMPLO 14.17:

EXEMPLO 14.18:

EXEMPLO 14.15:

EXEMPLO 14.16:

OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM NÚMEROS COMPLEXOS:

As operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão podem ser realizadas, a seguir

mostraremos as regras utilizadas, antes porem iremos associar o símbolo j aos números

imaginários:

Complexo conjugado: É obtido simplesmente

trocando-se o sinal da parte imaginária, na forma

retangular ou o sinal do ângulo, na forma polar

INVERSO OU RECÍPROCO:

É 1 dividido pelo numero complexo.

ADIÇÃO:

Para adicionar dois números complexos, basta apenas adicionar as partes reais e imaginarias

separadamente:

EXEMPLO 14.19:

SUBTRAÇÃO:

Na subtração, as partes reais e imaginarias também são consideradas separadamente:

EXEMPLO 14.20:

MULTIPLICAÇÃO:

Para multiplicar dois números complexos na forma retangular, multiplique as partes real e imaginaria

de um pelas partes do outro:

Quando os números estão na forma polar, multiplicamos os módulos e somamos algebricamente os

ângulos:

EXEMPLO 14.22:

EXEMPLO 14.23:

DIVISÃO:

Para dividir dois números complexos na forma retangular, multiplique o numerador e o denominador pelo

conjugado do denominador, identificando depois as partes real e imaginaria.

Para dividir um numero complexo na forma retangular por um numero real, tanto a parte real quanto a parte

imaginaria tem de ser divididas por esse numero.

Na forma polar, a divisão é realizada simplesmente dividindo o modulo do numerador pelo modulo do

denominador e subtraindo os respectivos ângulos.

EXEMPLO14.24:

EXEMPLO 14.25:

EXEMPLO 14.26: